Matematik Tingkatan 5

CONTOHKhas untuk guru sahaja

Dengan setiap pembelian buku, guru boleh
dapatkan salinan lembut (softcopy) dalam
bentuk PDF untuk memudahkan proses
pengajaran dan pembelajaran di rumah (home-
based learning).

Sekiranya guru memerlukan PDF, sila
hubungi Bahagian Penjualan dan Pemasaran
Cemerlang Publications Sdn. Bhd. di talian:

03-89592001
03-89593001
016-3324137

Resos Guru

Bab 1 Ubahan
Variation

Ubahan langsung
Direct variation

CONTOHHubungan antara dua pemboleh ubah yang dikaitkan Ubahan tercantum
Joint variation
oleh satu pemalar.
Hubungan antara lebih daripada dua pemboleh
Relationship between two variables which are related by a ubah yang dikaitkan oleh satu pemalar.
Relationship between more than two variables which
constant. y are related by a constant.

y = kxn z ∝ xy → z = kxy

y ∝x → y = kx

x

O

Ubahan songsang
Inverse variation

Hubungan antara dua pemboleh ubah dengan Ubahan bergabung
Combined variation
keadaan hasil darab kedua-dua pemboleh ubah
Hubungan antara lebih daripada dua pemboleh
adalah dikaitkan oleh satu pemalar.
Relationship between two variables such that the product ubah yang melibatkan ubahan langsung, ubahan
of both variables related by a constant.
songsang dan ubahan tercantum.
y∝ 1 y Relationship between more than two variables which
x xny = k involves direct variation, inverse variation and joint
↓
variation.
k
y = x xy xy
w w
xy = k z∝ →z = k

1
xn

O

Bab 2 Matriks
Matrices

• Pengenalan matriks/ Introduction to matrix

a11 a12 a1j Bilangan baris, i Dikenali sebagai matriks peringkat i × j.
a21 Number of rows, i Known as matrix with order i × j.
ai1 ¼ aij
Matriks X dan matriks Y adalah sama jika dan hanya jika
Bilangan lajur, j kedua-dua matriks mempunyai peringkat dan setiap unsur
Number of columns, j sepadan yang sama.
Matrix X and matrix Y are the same if and only if both matrices have
the same order and corresponding elements.

R1

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

• Operasi asas matriks/ Basic operations on matrices

Penambahan dan penolakan matriks Penambahan berulang
Addition and subtraction of matrices Repeated addition

• Hanya dilaksanakan dengan matriks yang sama • Kesimpulannya dikenali sebagai pendaraban

peringkat skalar
Only performed on matrices with the same order In conclusion, it is known as scalar multiplication
• Penambahan dan penolakan dilakukan pada
a b + a b + a b =3 a b
unsur yang sepadan c d c d c d c d
Addition and subtraction are carried on the
X1 + X2 + X3 + … + Xn = nX
corresponding elements

a b + p q = a+p b+q
c d r s c+r d+s

CONTOH a b – p q = a–p b–q
c d r s c–r d–s

Ciri-ciri penambahan dan penolakan matriks
Characteristics of addition and subtraction on matrices

• Penambahan matriks mematuhi Hukum Kalis Tukar Tertib dan Hukum Kalis Sekutuan
The addition of matrices obeys the Commutative Law and Associative Law

X + Y = Y + X , (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
• Penambahan dan penolakan matriks mematuhi Hukum Kalis Agihan
Addition and subtraction on matrices obey the Distributive Law
n(X + Y) = nX + nY , n(X ‒ Y) = nX ‒ nY
• Matriks kekal sama selepas penambahan atau penolakan matriks sifar
The matrix remains the same after the addition or subtraction of a zero matrix

a b + 0 0 = a b , a b – 0 0 = a b
c d 0 0 c d c d 0 0 c d

Pendaraban dua matriks
Multiplication of two matrices

Matriks/ Matrix: X × Y = Z
Peringkat/ Order:
iX × jX iY × jY iX × jY

=

Hasil darab/Product


Syarat pendaraban/ Condition of multiplication:
• Bilangan lajur matriks pertama dan bilangan baris matriks kedua mesti adalah sama
The number of columns of the first matrix and the number of rows of the second matrix must be the same

• Peringkat hasil darab adalah bilangan baris matriks pertama × bilangan lajur matriks kedua
The order of the product is the number of rows of the first matrix × the number of columns of the second matrix

• Cara pendaraban/ Method of multiplication:

[a b] × p = [ap + bq], a × [p q] = ap aq , a b p qr ap + bs aq + bt ar + bu
q b bp bq c d× s tu = cp + ds cq + dt cr + du

e f ep + fs eq + ft er + fu



R2

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

• Jenis matriks lain/ Other types of matrices

Matriks identiti Matriks songsang
Identity matrix Inverse matrix

• Suatu matriks segi empat sama yang diwakili oleh • Matriks identiti diperoleh apabila matriks, X
didarabkan dengan matriks songsang, X‒1
I dengan unsur 1 disusun sepanjang pepenjuru
Identity matrix is obtained when matrix, X is multiplied
utama with inverse matrix, X–1
A square matrix which is represented by I with
X X‒1 = X‒1X = I
element 1 arranged along the main diagonal

10 100 • Rumus untuk menentukan matriks songsang
01 010 Formula to determine inverse matrix
001

• Pendaraban dengan matriks identiti X = a b
c d
menghasilkan matriks diri sendiri
CONTOH
Multiplication with identity matrix results in the matrix X‒1 = 1 d –b , ad – bc ≠ 0
ad ‒ bc –c d
itself

XI = IX = X


• Penyelesaian persamaan serentak dengan kaedah matriks/ Solution for simultaneous equations using matrix method

1 Kenal pastikan persamaan 2 Wakilkan persamaan dalam 3 Selesaikan masalah melalui
Identify the equations
ax + by = p bentuk matriks matriks
cx + dy = q Represents the equations in the Solve the problem through matrices

form of matrix AX = P
A‒1AX = A‒1P
a b x = p IX = A‒1P
c d y q X = A‒1P

AX = P x = 1 d –b p
y ad ‒ –c d q
bc

Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans
Consumer Mathematics: Insurance

Insurans/ Insurance

• Untuk memulihkan kedudukan kewangan pemegang polisi kepada keadaan sebelum berlakunya kerugian
(prinsip indemniti)

To restore the financial position of the policyholder to the condition before the loss occurs (principle of indemnity)

Pemegang polisi/ Policyholder Membayar premium Syarikat insurans/ Insurance company
Pays a premium
Individu yang membeli polisi insurans Organisasi yang janji membayar
yang dikontrakkan oleh syarikat pampasan kepada pemegang polisi
insurans sekiranya kerugian berlaku berdasarkan
An individual who bought the insurance kontrak insurans
policy which is contracted by an insurance An organisation who promises to
company compensate the policyholder if any loss
incurred as per the insurance contract
Insiden berlaku
An incident occurred Membayar pampasan
Pays a compensation

• Premium ialah jumlah wang yang dibayar untuk suatu kontrak insurans
Premium is the total amount of money paid for a contract of insurance

R3

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

• Jenis insurans/ Types of insurances

Jenis insurans
Types of insurances

Insurans hayat Insurans am Insurans berkelompok
Life insurance General insurance General insurance

Menyediakan perlindungan Membekalkan perlindungan Memberikan perlindungan kepada
kewangan kepada ahli keluarga sekumpulan individu, seperti
atau benefisiari daripada sebarang kerugian atau pekerja syarikat atau murid-murid
Provides coverage to a group
kerosakan harta benda yang of individuals, such as company
employees or students
Prepares financial protection to family ditanggung
Provides coverage against any loss
members or beneficiaries
Risiko/CONTO RisksH
Jenis perlindunganor damaged incurred to the property
Types of coverage
borne

Hilang upaya (keilatan) Insurans motor
Loss of ability Motor insurance
Penyakit kritikal
Critical illness Insurans kebakaran
Kematian Fire insurance
Death
Insurans perubatan dan kesihatan
Medical and health insurance

Insurans kemalangan diri
Personal accident insurance

Insurans perjalanan
Travel insurance

• Pengiraan premium/ Calculations for premiums
Premium untuk insurans hayat
Premium for life insurance

Nilai muka polisi/ Face value of policy × Kadar premium bagi setiap RMx
RMx Premium rate per RMx


Premium untuk insurans motor
Premium for motor insurance

Bagi polisi komprehensif/ For comprehensive policy: Kadar premium bawah
• Semenanjung Malaysia/ Peninsular Malaysia Tarif Motor
Kadar bagi RM1 000 pertama + RM26 bagi setiap atau sebahagian RM1 000 yang berikut
The rate for the first RM1 000 + RM26 for each and part of the following RM1 000 The premium rates
under Motor Tariff

• Wilayah Sabah dan Wilayah Sarawak/ Sabah Regional and Sarawak Regional
Kadar bagi RM1 000 pertama + RM20.30 bagi setiap atau sebahagian RM1 000 yang berikut
The rate for the first RM1 000 + RM20.30 for each and part of the following RM1 000

Bagi polisi pihak ketiga, kebakaran dan kecurian/ For third party, fire and theft policy:
• 75% × polisi komprehensif/ comprehensive policy

Bagi polisi pihak ketiga/ For third party policy:
• Kadar berdasarkan jadual/ The rate is based on the table

Peratus Klausa Diskaun Tanpa Tuntutan (NCD) ditolak sekiranya ada
Percentage of No Claim Discount (NCD) is subtracted if available


R4

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

• Ciri-ciri dalam kontrak insurans dan pengiraan tuntutan pampasan
Characteristics of an insurance contract and calculation for claims of compensation

Deduktibel
Deductible

• Suatu jumlah yang perlu ditanggung oleh pemegang polisi sebelum layak membuat sebarang tuntutan
daripada syarikat insurans

An amount which needs to be borne by the policyholder before qualifies to make any claim from the insurance company
• Terdapat dalam kontrak insurans harta, insurans perubatan dan kesihatan, dan insurans motor
Found in contracts of property insurance, medical and health insurance, and motor insurance

Jumlah pampasan = Jumlah kerugian – Deduktibel
Total compensation = Total loss – Deductible



Ko-insurans
Co-insurance

Suatu perkongsian bersama kerugian antara pemegang polisi dan syarikat insurans
A cost sharing of the loss between the policyholder and the insurance company
• Dalam insurans harta, pemegang polisi diperlukan menginsuranskan hartanya pada suatu jumlah tertentu.
In property insurance, the policyholder is required to insure his or her property at a certain amount.

Jumlah yang perlu diinsuranskan = Peratusan ko-insurans × Nilai boleh insurans harta
Amount required to be insured = Percentage of co-insurance × Property’s insurable value
CONTOH
Pampasan/ Compensation:
Kes 1: Nilai yang diinsuranskan = Jumlah insurans yang dibeli
Case 1: Insurable value = Total insurance bought

Pampasan = Jumlah kerugian – Deduktibel
Compensation = Total loss – Deductible

Kes 2: Nilai yang diinsuranskan < Jumlah insurans yang dibeli
Case 2: Insurable value < Total insurance bought

Jumlah insurans yang dibeli
Jumlah yang perlu diinsuranskan
( )Pampasan =
× Jumlah kerugian – Deduktibel

(Compensation = Total insurance bought )× Total loss – Deductible

Total amount required to be insured

Kes 3: Mengalami kerugian menyeluruh
Case 3: Suffers a total loss

Pampasan = Jumlah insurans yang dibeli – Deduktibel
Compensation = Total insurance bought – Deductible

• Dalam insurans kesihatan, pemegang polisi perlu menanggung sebahagian kos perubatan yang dilindungi oleh
kontrak insurans mengikut suatu kadar yang dipersetujui selepas mengambil kira peruntukkan deduktibel.

In health insurance, the policyholder needs to bear part of the medical cost covered by the contract insurance as per the
agreed rate after the provision of deductible has taken into account.

 Dalam polisi dengan peratusan ko-insurans 75/25, syarikat insurans akan memampas 75% kos perubatan
yang dilindungi oleh polisi dan 25% adalah ditanggung oleh pemegang polisi.

In the policy with a 75/25 co-insurance percentage, the insurance company will compensate 75% of the medical cost
covered by the policy and 25% will be borne by the policyholder.

Pampasan = (Kos perubatan – Deduktibel) × Peratusan ko-insurans yang ditanggung oleh syarikat insurans
Compensation = (Medical cost – Deductible) × Co-insurance percentage which is borne by the insurance company



R5

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian
Consumer Mathematics: Taxation

Percukaian/ Taxation

• Cukai ialah hasil dibayar oleh rakyat sebagai sumbangan kepada negara dan diurus oleh kerajaan demi
pembangunan negara.

Tax is the revenue paid by the citizens as contribution to the country and managed by the government for the country’s
development.

• Percukaian ialah pengutipan cukai daripada pembayar cukai.
Taxation is the collection of tax from taxpayers.

Tujuan/ Purposes Kegunaan/ Usage
Pendidikan
Sumber pendapatan kerajaan Education
Source of government revenue Kesihatan
Healthcare
Untuk melaksanakan polisi kerajaan Kebajikan
To implement government’s policy Social welfare
Pembangunan
Mengawal penjualan barangan atau Development
perkhidmatan
To control the sales of goods or services

Untuk menstabilkan ekonomi
To stabilise the economy
CONTOH Infrastruktur dan kemudahan awam
Infrastructure and public facilities
Pertanian dan perindustrian
Agriculture and industrial
Keselamatan dan pertahanan negara
National security and defence

• Jenis cukai/ Type of taxes

Jenis cukai Huraian Dikutip oleh
Type of tax Detail Collected by

Cukai • Dikenakan atas pendapatan yang diperoleh seorang individu Lembaga Hasil Dalam
bergaji atau sesebuah syarikat yang beroperasi di Malaysia
pendapatan Negeri (LHDN)
Income tax Imposed on the income earned by a salaried individual or a company Inland Revenue Board (IRB)
operating in Malaysia

• Mentaksirkan pendapatan tahunan dan cukai pendapatan
dibayar sekali setiap tahun

Assess annual income and income tax is paid once a year

Cukai jalan • Dikenakan kepada pengguna jalan raya yang memiliki kenderaan Jabatan Pengangkutan
Road tax Levied on road users who possessed any vehicle Jalan (JPJ)

• Pengguna jalan raya perlu membayar cukai jalan sebelum tarikh Road Transport
tamat tempoh cukai jalan Department

Road users need to pay the road tax before the expiry of the existing
road tax

• Laporan pemeriksaan Puspakom dan bayaran cukai perlu
dihantar kepada JPJ untuk mengaktif balik cukai jalan bagi cukai
jalan yang tempoh tamat lebih daripada satu tahun

Puspakom inspection report and road tax need to be sent to JPJ to
reactivate the road tax for road taxes which had expired for more than
one year

• Dikenakan kepada semua pegangan atau harta tanah
Levied on all holdings and properties
Cukai pintu Majlis perbandaran atau
Property • Dikenali juga sebagai cukai taksiran, dikutip untuk membiayai
kos penyelenggaraan bandar majlis daerah
assessment tax Municipal council or
Also known as assessment tax, collected to cover the municipal
district count

expenses


R6

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Cukai tanah • Dikenakan terhadap pemilik tanah pertanian, tanah perusahaan Pejabat Tanah dan
Quit rent
dan tanah bangunan Galian
Levied on the owner of agricultural land, corporate land and land with Land and Mines Office

building

• Cukai jualan dikenakan sekali atas pelbagai barangan bercukai

pada peringkat pengeluaran atau pengimportan
Sales tax is levied once on various taxable goods at the stage of

manufacturing or during importation

Cukai jualan dan • Cukai perkhidmatan dikenakan terhadap pengguna yang Jabatan Kastam Diraja
Malaysia (JKDM)
perkhidmatan menggunakan perkhidmatan bercukai
Sales and Service tax is levied on consumers who receive taxable services Royal Malaysian Custom
Service tax Department (RMCD)

• Biasanya dikutip daripada pelanggan oleh pembekal dan

kemudian dibayar kepada kerajaan dalam tempoh masa tertentu
CONTOH
Usually collected from the customers by the providers and then paid to

the government within a designated period


* Pembayaran cukai merupakan tanggungjawab setiap rakyat. Pengelakan cukai akan dikenakan hukuman
berdasarkan perundangan yang berkenaan.

Tax payments are the responsibility of each citizen. Evasion of tax will be penalised accordingly to the legal acts.

• Pengiraan bayaran pelbagai cukai/ Calculation for the payment of various taxes

Cukai pendapatan/ Income tax

• Bukan keseluruhan pendapatan dikenakan cukai, perbelanjaan peribadi yang membawa manfaat kepada

masyarakat dan sebahagian perbelanjaan bagi kepentingan persendirian boleh dikecualikan.
Not the whole income is being taxed, personal expenses which benefits the society and parts of the expenses for

self-interest can be exempted.

Pendapatan bercukai = Jumlah pendapatan tahunan – Pengecualian cukai – Pelepasan cukai
Chargeable income = Total annual income – Tax exemption – Tax relief

 Pengecualian cukai: Perbelanjaan peribadi, yang bermanfaat kepada masyarakat dalam bentuk hadiah,

derma, atau sumbangan kepada kerajaan atau pelbagai organisasi yang diluluskan oleh kerajaan, adalah

dikecualikan
Tax exemption: Personal expenses, which benefit the society in the form of gifts, donations, or contributions to the

government or government-approved organisations, are exempted Pelepasan cukai pada
tahun tertentu oleh
 Pelepasan cukai: Perbelanjaan bagi kepentingan persendirian atau ahli-ahli keluarga
yang tidak dikenakan cukai pendapatan boleh dikecualikan sehingga suatu had LHDN
tertentu mengikut dasar yang ditetapkan oleh kerajaan Tax reliefs of certain

Tax relief: Expenses for self-interest or family members who are not taxed can be relieved up years by IRB

to a fixed limit as per the policy set by the government

• Cukai pendapatan dikenakan daripada pendapatan bercukai berdasarkan suatu Kadar cukai pendapatan
kadar yang ditetapkan oleh kerajaan setiap tahun mengikut polisi kerajaan pada pada tahun taksiran
belanjawan tahunan tertentu

Income tax imposed from the chargeable income based on a rate fixed by the government Income tax rates on certain
every year based on the government policy on the annual budget assessment year

• Dua jenis rebat diberikan kepada pembayar cukai untuk mengurangkan
pembayaran cukai

Two types of rebates are given to taxpayers to reduce tax payments
 RM400 bagi pendapatan bercukai tidak melebihi RM35 000 (tertakluk kepada perubahan semasa)
RM400 for chargeable income not more than RM35 000 (subjected to change)

 Jumlah bayaran zakat atau fitrah oleh warganegara beragama Islam
Amount of zakat or fitrah paid by Muslim citizens

Jumlah cukai pendapatan yang perlu dibayar = (Pendapatan bercukai × Kadar cukai pendapatan) – Rebat cukai
Total payable income tax = (Chargeable income tax × Rate of income tax) – Tax rebate



R7

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Pembayaran cukai/ Tax payment

• Pembayar cukai boleh membayar cukai pendapatannya sekali gus melalui pelbagai perkhidmatan atau secara
potongan cukai bulanan (PCB)

Taxpayers can pay their income tax in one lump sum through various services or by monthly tax deduction

• PBC ialah sebahagian pendapatan pekerja dipotong untuk membayar cukai tahunan semasa
Monthly tax deduction is a part of the worker’s income being deducted to pay the income tax of the current year

Kes 1: Cukai pendapatan > Jumlah PCB
Case 1: Income tax > Total monthly tax deduction
 Pembayar cukai perlu menjelaskan baki cukai pendapatan yang perlu dibayar
Taxpayer needs to clear the balance of the payable income tax

Kes 2: Cukai pendapatan < Jumlah PCB
Case 2: Income tax < Total monthly tax deduction
 LHDN akan memulangkan lebihan PCB kepada pembayar cukai melalui akaun bank
IRB will refund the excess monthly tax deduction to the taxpayer via bank account

Jenis taksiran cukai/ Type of tax assessment
CONTOH
Taksiran cukai berasingan Taksiran cukai bersama
Separate tax assessment Joint tax assessment

Seseorang individu yang berkahwin membuat Salah seorang suami atau isteri membuat taksiran

taksiran cukai seperti setiap individu yang lain cukai dengan jumlah pendapatan daripada kedua-
A married individual files the tax assessment as any
another individual dua orang
One of the husband or wife files the tax assessment with
the total incomes from the both of them

Pengecualian cukai adalah berdasarkan setiap Pengecualian cukai adalah berdasarkan jumlah

individu daripada suami isteri
Tax exemption is based on each individual Tax exemption is based on the total from the couple

Perlepasan cukai adalah berdasarkan perbelanjaan Perlepasan cukai adalah berdasarkan jumlah

setiap individu tertakluk kepada had yang perbelanjaan daripada suami isteri dan tertakluk

ditetapkan oleh kerajaan kepada had yang ditetapkan oleh kerajaan

Tax relief is based on the expenses of each individual Tax relief is based on the total expenses from the couple

subjected to the limit set by the government and subjected to the limit set by the government




Cukai jalan Kadar cukai jalan
Road tax Road tax rates

• Dikenakan berdasarkan lokasi penggunaan kenderaan, jenis kenderaan dan kapasiti enjin
Imposed based on the location of the vehicle usage, types of vehicles and the engine capacity

Cukai jalan = Kadar asas (berdasarkan kapasiti enjin) + Kadar progresif (jika ada)
Road tax = Basic rate (based on the engine capacity) + Progressive rate (if any)



Cukai pintu
Property assessment tax

• Dikenakan berdasarkan lokasi, jenis hartanah dan nilai tahunan Nilai tahunan ialah anggaran
Imposed based on the location, types of properties and annual value sewa bulanan dalam setahun
Annual value is the estimated
Cukai pintu = Kadar cukai pintu × Nilai tahunan monthly rental in a year
Property assessment tax = Property assessment tax rate × Annual value

R8

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Cukai tanah
Quit rent

• Dikenakan berdasarkan lokasi, luas dan jenis tanah
Imposed based on the location, area and type of land

Cukai tanah = Kadar cukai tanah per unit keluasan × Jumlah keluasan tanah
Quit rent = Quit rent rate per unit area × Total area of the land



Cukai jualan dan perkhidmatan
Sales and service tax

• Cukai jualan dikenakan berdasarkan jenis barangan dan kadar cukai biasanya adalah 5% atau 10%
Sales tax is imposed based on the types of goods and the tax rate is usually at 5% or 10%
• Cukai perkhidmatan adalah ditetapkan kepada 6%
Service tax is fixed at 6%

Cukai = Harga barangan atau perkhidmatan × Kadar yang dikenakan
Tax = Price of goods or service × Rate imposed


CONTOH
Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
Congruency, Enlargement and Combined Transformations

Sifat kekongruenan segi tiga
Properties of triangle congruency

Kekongruenan Sisi-Sisi-Sisi Sisi-Sudut-Sisi
Congruency Side-Side-Side Side-Angle-Side

Objek dan imej yang kongruen mempunyai saiz (SSS) (SAS)
dan bentuk yang sama.
Object and image which are congruent have the same Sudut-Sisi-Sudut Sudut-Sudut-Sisi
size and shape. Angle-Side-Angle Angle-Angle-Side

b (ASA) (AAS)
a
Sudut-Sudut-Sudut Sisi-Sisi-Sudut
Segi tiga A dan segi tiga B adalah kongruen. Angle-Angle-Angle Side-Side-Angle
Triangles A and B are congruent.
(AAA) (SSA)

Sudut tegak-Hipotenus-Sisi
Right angle-Hypotenuse-Side

(RHS)

Segi tiga dengan SSA atau AAA adalah kongruen

jika dan hanya jika luas kedua-dua segi tiga adalah

sama
Triangles with SSA or AAA are congruent if and only if
the areas of both triangles are the same

Pembesaran
Enlargement

• Objek dan imej di bawah suatu pembesaran adalah serupa, iaitu sama bentuk tetapi saiz berbeza
Object and image under an enlargement are similar, which are having the same shape but different size

• Pembesaran memindahkan titik-titik objek daripada satu titik tetap, P (pusat pembesaran) dengan satu nisbah
malar, k (faktor skala).

Enlargement moves the points of the objects from a fixed point, P (centre of enlargement) with a constant ratio, k (scale
factor).

k= Jarak titik imej dari P/ Distance of point of image from P atau/ or Panjang sisi imej/ Side length of image
Jarak titik objek dari P/ Distance of point of object from P Panjang sisi objek/ Side length of object

R9

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Kesan faktor skala terhadap pembesaran/ Effects of scale factor towards enlargement

Faktor skala, k Saiz imej banding dengan objek Kedudukan imej
Scale factor, k Size of image compared to object Position of image

k>1 Besar daripada objek
Bigger than object

k=1 Sama dengan objek Di sebelah sama dengan objek
0<k<1 Same with the object On the same side with the object
‒1 < k < 0
Kecil daripada objek
Smaller than object

Kecil daripada objek
Smaller than object

Sama dengan objek Bertentangan dengan objek
Same with the object Opposite of the object
k = ‒1CONTOH

k < ‒1 Besar daripada objek
Bigger than object

Hubungan antara luas objek dan imej dengan faktor skala, k
Relationship between the areas of object and image with the scale factor, k

k2 = Luas imej/ Area of image
Luas objek/ Area of object

Gabungan transformasi/ Combined transformation

• Imej terbentuk selepas objek mengalami dua transformasi
Image formed after the object underwent two transformations

Objek di bawah transformasi X diikuti transformasi Y dikenali objek di bawah gabungan transformasi YX
Object under transformation X followed by transformation Y is known as object under combined transformation YX

• Imej terbentuk di bawah gabungan transformasi XY adalah sama dengan imej terbentuk di bawah gabungan
transformasi YX boleh dikatakan mematuhi sifat kalis tukar tertib

Image formed under combined transformation XY is the same with the image formed under combined transformation
YX can be said to obey the commutative law

Perihalan gabungan transformasi/ Description of combined transformation

Adakah objek dan imej kongruen?
Is the object and image congruent?

Tidak/ No Ya/ Yes

Adakah objek dan imej serupa Adakah orientasi sama?
tetapi saiz berbeza? Is the orientation same?

Is the object and image similar but Ya/ Yes Tidak/ No
different size?
Adakah jarak bagi setiap titik Adakah orientasi
Ya/ Yes songsang?
sepadan sama?
Pembesaran Is the distance of each Is the orientation inverted?
Enlargement corresponding point the same?
Ya/ Yes
Ya/ Yes Tidak/ No

Translasi Putaran Pantulan
Translation Rotation Reflection

R10

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Teselasi
Tessellation

• Suatu pola bagi bentuk berulang yang memenuhi suatu satah tanpa ruang kosong atau pertindihan
A pattern of recurring shapes which fills a plane without leaving any empty space or overlapping
• Rekaan bentuk teselasi mengaplikasikan transformasi isometri (translasi, pantulan atau putaran)
The design of tessellation applies isometric transformation (translation, reflection or rotation)

Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
Ratios and Graphs of Trigonometric Functions

Nisbah trigonometri bagi sudut 0° N θ N 360°
Trigonometric ratios for angles 0° N θ N 360°
CONTOH
• Fungsi sinus, kosinus dan tangen boleh diwakilkan dalam bulatan unit Sukuan II y Sukuan I
The functions of sine, cosine and tangent can be represented in a unit circle Quadrant II αθ Quadrant I
 Bulatan unit yang berjejari 1 unit dibahagikan kepada empat sukuan
The unit circle with a radius of 1 unit is divided into four quadrants x

 Sudut rujukan sepadan, α ialah suatu sudut tirus yang tercangkum Sukuan III Sukuan IV
Quadrant III Quadrant IV
kepada paksi-x dan sentiasa N 90°.
The corresponding reference angle, α is an acute angle subtended to the

x-axis and always N 90°.

• Sudut rujukan sepadan, α pada setiap sukuan: Bulatan unit/ Unit circle
Corresponding reference angle, α in each quadrant:

Sukuan/ Quadrant I II III IV
Sudut α/ Angle α θ 180° ‒ θ θ ‒ 180° 360° ‒ θ

• Nilai nisbah trigonometri dalam setiap sukuan:
The values of the trigonometric ratios in each quadrant:

Sukuan/ Quadrant I II III IV

Nilai fungsi Semua nilai (+) sin θ = (+) sin θ = (–) sin θ = (–)
The value of function All values (+) kos/ cos θ = (‒) kos/ cos θ = (‒) kos/ cos θ = (+)

tan θ = (‒) tan θ = (+) tan θ = (–)

• Nilai nisbah trigonometri boleh didapati daripada koordinat titik pada lilitan sebuah bulatan unit
The values of trigonometric ratios can be obtained from the coordinates of the point on the circumference of a unit circle

sin θ = Koordinat-y/ y-coordinate kos θ = Koordinat-x tan θ = Koordinat-y/ y-coordinate
cos θ = x-coordinate Koordinat-x/ x-coordinate

• Nilai bagi sudut umum dalam nisbah trigonometri
The values of common angles in trigonometric ratios

θ 0° 30° 45° 60° 90°
sin θ 0 31
1 11 2
kos/ cos θ 0 22 1
20
tan θ 31
22 3 ±∞

1 1
3

R11

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Fungsi trigonometri
Trigonometric functions

• Nisbah trigonometri boleh diwakili sebagai fungsi dalam graf nilai trigonometri melawan sudut
The trigonometric ratios can be represented as a function in a graph of trigonometric values against angles

y = sin x y = kos/ cos x y = tan x
y y y

11

0 A 360° x A 0 180° 360° x
180° A 1P
–1 0 90° 180° 270° 360° x
A

–1
1P
CONTOH 1P

 A ialah amplitud, ukuran jarak titik minimum atau maksimum ke garis keseimbangan (paksi-x)
A is the amplitude, the measurement of the distance of the minimum or maximum point to the centre line (x-axis)

A = Nilai maksimum/ Maximum value ‒ Nilai minimum/ Minimum value
2

 P ialah tempoh, selang satu kitaran lengkap fungsi trigonometri
P is period, the interval of one complete cycle of the trigonometric function
• Fungsi trigonometri biasanya ditulis dalam bentuk berikut:
Trigonometric functions usually are written in the following forms:

y = a sin bθ + c y = a kos/ cos bθ + c y = a tan bθ + c

Dengan/ With a > 0 dan/ dan b > 0

Kesan perubahan nilai a, nilai b dan nilai c terhadap bentuk fungsi trigonometri:
The effects of changes in values of a, b and c towards the shape of the trigonometric functions:

Perubahan nilai Kesan
Change of value Effect
Nilai amplitud berubah (kecuali graf tangen yang tiada amplitud)
a The values of amplitude change (except graph of tangent which does not have amplitude)

• Bilangan tempoh berubah
Number of period changes

• Semakin tinggi nilai b, bilangan tempoh semakin meningkat
The higher the value of b, the more the number of periods

b • Bilangan tempoh, n/ Number of periods, n

Graf sinus dan graf kosinus: Graf tangen:
Sine graph and cosine graph: Tangent graph:

n = 360° n = 180°
b b

Kedudukan berubah sepanjang paksi mencancang (paksi-y)
The position changes along the vertical axis (y-axis)
c  c < 0, graf bergerak ke bawah/ the graph moves down

 c > 0, graf bergerak ke atas/ the graph moves up

R12

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
Measures of Dispersion for Grouped Data

Perwakilan data
Data representation

• Data yang terkumpul boleh dipersembahkan melalui beberapa jenis graf atau plot
Grouped data can be presented through a few types of graphs or plots

 Jenis perwakilan data/ Types of data representation

 Graf kekerapan melawan data selanjar
Graph of frequency against continuous data

 Setiap palang mewakili kelas dengan selang yang sama
Each bar represents a class with equal interval

 Julat setiap selang kelas adalah antara sempadan bawah dan
sempadan atas bagi kelas tersebut

The range of class interval is between the lower boundary and upper
boundary of the class

 Untuk menunjukkan serakan maklumat dan taburan kekerapan
To show the dispersion of information and the frequency distribution
Kekerapan/HFrequency
Kekerapan/ FrequencyO
Histogram/ Histogram

 Graf kekerapan melawan data selanjar
Graph of frequency against continuous data

 Titik tengah bagi setiap kelas ditandakan
Midpoint of each class is marked

 Garis lurus menyambungkan setiap titik tengah
Straight lines connect each midpoint

 Untuk menunjukkan serakan maklumat dan taburan kekerapan
To show the dispersion of information and the frequency distribution
KekerapanCO longgokanNTPoligon kekerapan
Cumulative frequencyFrequency polygon

Ogif/ Ogive  Graf kekerapan longgokan melawan data selanjar
Graph of cumulative frequency against continuous data

 Kekerapan longgokan ditandakan pada setiap sempadan atas
Cumulative frequencies are marked at each upper boundary

 Satu lengkung menyambungkan semua titik-titik
A curve connects all the points

 Untuk menunjukkan kuartil dan persentil keseluruhan data
To show the quartiles and percentiles of the overall data

• Pengiraan yang diperlukan sebelum membina graf
Calculations required before constructing graphs
 Saiz selang kelas = Nilai data terbesar ‒ Nilai data terkecil

Bilangan kelas
Size of class intervals = Biggest data value – Smallest data value

Number of classes

 Sempadan bawah = Had atas kelas sebelumnya + Had bawah kelas
2

Lower boundary = Upper limit of previous class + Lower limit of the class
2

R13

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

 Sempadan atas = Had atas kelas + Had bawah kelas selepasnya
2

Upper boundary = Upper limit of the class + Lower limit of the next class
 Titik tengah = Had bawah kelas + Had ata2s kelas

2
Midpoint = Lower limit of the class + Upper limit of the class

2
 Kekerapan longgokan ialah penambahan kekerapan dan jumlah kekerapan daripada semua kelas sebelumnya.
Cumulative frequency is the sum of frequency and the total frequency from all the previous classes.

CONTOH Bentuk taburan data Analisis ogif
Distribution shapes of data Analysis of ogive

• Bentuk taburan data bagi histogram dan poligon • Kuartil ialah pembahagian jumlah data kepada
kekerapan
empat bahagian yang sama rata
Distribution shapes of data for histogram and frequency Quartile is the division of all the data into four equal parts
polygon
 Kuartil pertama, Q1 (Kuartil bawah)

mengandungi 25% data, N
4
First quartile, Q1 (Lower quartile) contains 25% of the
N
data, 4

Bentuk loceng Seragam  Kuartil kedua, Q2 (Median) mengandungi 50%
Bell-shaped Uniform-shaped
data, N
2

Second quartile, Q2 (Median) contains 50% of the
N
data, 2

 Kuartil ketiga, Q3 (Kuartil atas) mengandungi

Pencong ke kanan Pencong ke kiri 75% data, 3N
Right-skewed Left-skewed 4
Third quartile, Q3 (Upper quartile) contains 75% of
3N
the data, 2

* Boleh digunakan untuk memplotkan plot

kotak
Can be used to plot box plot

Bentuk-U Bimod Q1 Q2 Q3
U-shaped Bimodal




• Persentil ialah pembahagian data kepada 100
bahagian dan diwakili oleh P1, P2, P3, …, P99

Percentile is the division of the data to 100 parts and
represented by P1, P2, P3, …, P99

 Pengiraan dijalankan seperti menghitung
peratusan

Calculation is performed as if calculating percentage

R14

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Sukatan serakan
Measures of Dispersion

• Julat, julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai adalah digunakan untuk menghuraikan serakan data
Range, interquartile range, variance and standard deviation are used to describe the dispersion of data
 Julat daripada ogif/ Range from ogive

Julat = Titik tengah kelas tertinggi ‒ Titik tengah kelas terendah
Range = Midpoint of the highest class – Midpoint of the lowest class

 Julat antara kuartil daripada ogif/ Interquartile range from ogive

Julat antara kuartil = Kuartil qkueatirgtiale,,QQ33––KFuirastrtqiul apretirleta, mQ1a, Q1
Interquartile range = Third

CONTOH
 Varians bagi data terkumpul/ Variance for grouped data

σ2 = ∑(x ‒ x̅ )2 Diberi/ Given:
∑f x = titik tengah selang kelas/ midpoint of class interval
f = kekerapan/ frequency
= ∑f x2 ‒ x̅ 2 x = min data/ mean of data
∑f


 Sisihan piawai ialah punca kuasa dua varians. Semakin rendah nilai sisihan piawai, taburan data semakin

dekat dengan min.
Standard deviation is the square root of variance. The lower the value of standard deviation, the distribution of data is

more closer to the mean.

Tafsiran taburan data daripada plot kotak
Interpreting the distribution of data from box plot

• Plot kotak melibatkan nilai minimum, nilai maksimum, kuartil pertama, median dan kuartil ketiga, maka taburan
data dapat ditafsirkan dengan menggunakan plot kotak.

Box plot involves minimum value, maximum value, first quartile, median and third quartile, hence the data distribution can
be interpreted using a box plot.

• Sungut ialah dua bahagian garis di luar plot segi empat (kotak), dan dibahagi kepada sungut kiri dan sungut
kanan.

Whiskers are the two lines which lie outside the quadrilateral plot (box) and is divided into left whisker and right whisker.

Q1 Q2 Q3  Sungut kiri dan kanan adalah sama panjang
Q1 Q2 Q3 Left whisker and right whisker are of equal length
 Taburan simetri
Q1 Q2 Q3 Symmetric distribution

 Sungut kiri adalah lebih panjang daripada sungut kanan
Left whisker is longer than right whisker
 Taburan pencong ke kiri
Left-skewed distribution

 Sungut kiri adalah lebih pendek daripada sungut kanan
Left whisker is shorter than right whisker
 Taburan pencong ke kanan
Right-skewed distribution



R15

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru

Bab 8 Pemodelan Matematik
Mathematical Modelling

Model matematik
Mathematical model

• Mewakilkan suatu senario atau sistem untuk memperoleh kefahaman dan penyelesaian secara kualitatif dan/
atau kuantitatif bagi masalah dunia sebenar serta meramalkan perlakuan masa depan.

Represents a scenario or a system to obtain qualitative and/ or quantitative understanding and solutions for real-world
problems and even predict future behaviour.

Masalah dunia sebenar
Real-world problems
CONTOH
1 Menentusahkan dan mentafsir
Mengenal pasti dan mendefinisikan penyelesaian dalam konteks masalah
masalah berkenaan
Identify and defining the problems Verifying and interpreting solutions in the
context of the problem
2
Diulangi jika perlu
Membuat andaian dan mengenal pasti Repeated if needed
pemboleh ubah
Making assumptions and identifying variables Memurnikan model matematik
Refining the mathematical model
3

Mengaplikasi matematik untuk
menyelesaikan masalah
Applying mathematics to solve the problems

Melaporkan dapatan
Reporting the findings



R16

CONTOH Panduan Peng

Pentaksiran yang disediakan untuk murid menguasai dan
memahirkan diri dalam pembelajaran daripada buku teks.
Latihan yang sedia ada berdasarkan dokumen standard
kurikulum dan pentaksiran.

Standard kandungan yang dirangkumi oleh latihan.

Menunjukkan muka surat dalam buku teks yang dirangkumi
oleh latihan.

Standard pembelajaran yang terlibat dalam latihan.

Tahap penguasaan yang perlu dikuasai oleh murid dalam
latihan.

Tahap kesukaran soalan yang disediakan dalam latihan.

ii

CONTOH gunaan Buku

Soalan yang berunsur kemahiran berfikir aras tinggi (KBAT)
untuk merangsang dan mempertingkatkan pemikiran murid.

Contoh soalan yang dilengkapi dengan langkah kerja dan
jawapan supaya murid senang memahami penyelesaian soalan.

Meningkatkan kesedaran murid supaya dapat mengelak
melakukan kesalahan lazim atau salah faham konsep
matematik.

Memberikan idea, panduan atau informasi ekstra bagi
penyelesaian soalan.

Praktis latihan yang berdasarkan modul pengajaran dan
pembelajaran.

Soalan-soalan yang disediakan di bahagian buku ini
adalah untuk membantu murid-murid menyesuaikan diri
dengan soalan di SPM.

Video pembelajaran matematik dalam talian yang
dipersembahkan oleh guru-guru yang terkenal berdasarkan
DSKP dan buku teks.

iii

Kandungan

Panduan Penggunaan Buku................................................................................................... ii
Rekod Pentaksiran Murid........................................................................................................v

Bab 1 Ubahan 5.3 Gabungan Transformasi........................................68

Variation Combined Transformation

Ubahan Langsung....................................................... 1

1.1 Direct Variation 5.4 TTeessseellalastii..o..n......................................................................75

Ubahan Songsang....................................................... 7

Inverse Variation
1.2CONTOH Praktis ke Arah SPM .............................................................76

1.3 Ubahan Bergabung..................................................13 Nisbah dan Graf Fungsi

Combined Variation Bab 6 Trigonometri
Ratios and Graphs of Trigonometric
Praktis ke Arah SPM .............................................................15 Functions

Bab 2 Matriks 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi

Matrices Sudut θ, 0°N θ N 360°....................................... 79

2.1 MMaattrriickess...........................................................................18 The Value of Sine, Cosine and Tangent for
Angle θ, 0° N θ N 360°
Operasi Asas Matriks.............................................19
2.2 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen.......83
Basic Operation on Matrices
The Graphs of Sine, Cosine and
Praktis ke Arah SPM .............................................................27
Tangent Functions

Praktis ke Arah SPM .............................................................88

Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans Sukatan Serakan Data Terkumpul

Consumer Mathematics: Insurance Measures of Dispersion for

3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans..................30 Bab 7 Grouped Data

Risk and Insurance Coverage

Praktis ke Arah SPM .............................................................37 7.1 SDeisrpaekrasnio..n........................................................................91

Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian 7.2 Sukatan Serakan.................................................... 103

Consumer Mathematics: Taxation Measures of Dispersion

4.1 TPaexractuikonaian...................................................................41 Praktis ke Arah SPM .......................................................... 111

Praktis ke Arah SPM .............................................................53 Bab 8 Pemodelan Matematik

Mathematical Modelling

Kekongruenan, Pembesaran dan 8.1 Pemodelan Matematik........................................ 115

Bab 5 Gabungan Transformasi Mathematical Modelling
Congruency, Enlargement and
Combined Transformations Praktis ke Arah SPM .......................................................... 121

5.1 CKoenkgornugernuceynan............................................................56 Soalan SPM Kertas 2 Bahagian C....... 127
5.2 EPnemlarbgeesmareannt .................................................................61 Kertas Model SPM...................................... 139

Semua laman sesawang dalam

buku ini boleh dicapai pada QR

September 2021

iv

Rekod Pentaksiran Murid
Matematik Tingkatan 5

Bab TP Tafsiran Menguasai Tandatangan
()/ Guru & Tarikh
Belum

Menguasai
()

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan.

2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah.

1CONTOH4Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam
konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang matriks.

2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah.

2 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam
konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang insurans.

2 Mempamerkan kefahaman tentang insurans.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang insurans untuk melaksanakan tugasan mudah.

3 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam
konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang percukaian.

2 Mempamerkan kefahaman tentang percukaian.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang percukaian untuk melaksanakan tugasan
mudah.

4 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang kekongruenan, pembesaran dan
gabungan transformasi.
5
Mempamerkan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan
2 transformasi.

v

Matematik Tingkatan 5 Rekod Pentaksiran Murid

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan
transformasi untuk melaksanakan tugasan mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang
4 kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks

penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang
5 kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks
penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang
6 kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks

penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri.

2 Mempamerkan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri.
CONTOH
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk
melaksanakan tugasan mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah
4 dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang
6 mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah
5 dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang

kompleks.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan
6 graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin

secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang serakan dan sukatan serakan data
terkumpul.

2 Mempamerkan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data
terkumpul.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data
terkumpul untuk melaksanakan tugasan mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan
7 4 serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang

mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan
5 serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang

kompleks.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan
6 serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin

secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pemodelan matematik.

2 Mempamerkan kefahaman tentang pemodelan matematik.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pemodelan matematik untuk
melaksanakan tugasan mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik
4 dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan
8 fungsi linear.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik
5 dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan

fungsi kuadratik dan eksponen.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik
6 dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan

fungsi kuadratik dan eksponen secara kreatif.

vi

Bab 1 Ubahan

Variation

MODUL PBD Praktis DSKP

1.1 Ubahan Langsung Buku Teks m/s 1 – 16 Info
Direct Variation Digital 1.1

1 Nyatakan perubahan perkara bagi setiap situasi berikut. SP: 1.1.1 TP1
State the change of subject for each of the following situations.
Mudah
Contoh

Jumlah gaji Malik berubah secara langsung dengan bilangan jam (i) Jumlah gaji Malik adalah dua kali

bekerja. Nyatakan perubahan pada ganda.
The total salary of Malik varies directly as the number of his working hours. Malik’s total salary is doubled.
State the change on
(ii) Jumlah gaji Malik bertambah
(i) jumlah gaji Malik jika bilangan jam bekerja adalah dua kali
sebanyak 40%.
ganda, Malik’s total salary increases by 40%.
Malik’s total salary if his number of working hours is doubled,
(iii) Bilangan jam bekerja adalah
(ii) jumlah gaji Malik jika bilangan jam bekerjanya bertambah
separuh daripada bilangan jam
sebanyak 40%,
Malik’s total salary if his number of working hours increases by 40%, bekerja asal.
The number of working hours is
(iii) bilangan jam bekerja jika jumlah gaji yang diterima oleh Malik
halved.
adalah separuh daripada gaji asal.
the number of working hours if Malik’s salary is halved.
CONTOH
(a) Jumlah gaji Amin berubah secara langsung dengan bilangan jam (i) Jumlah gaji Amin adalah tiga kali

bekerja. Nyatakan perubahan pada ganda.

The total salary of Amin varies directly as the number of his working hours. Amin’s total salary is tripled.
State the change on
(ii) Jumlah gaji Amin bertambah
(i) jumlah gaji Amin jika bilangan bekerja adalah tiga kali ganda,
sebanyak 30%.
Amin’s total salary if his number of working hours is tripled,
Amin’s total salary increases by 30%.
(ii) jumlah gaji Amin jika bilangan jam bekerjanya bertambah ( iii) Bilangan jam bekerja adalah
sebanyak 30%,
Amin’s total salary if his working hours increases by 30%, separuh daripada bilangan jam

(iii) bilangan jam bekerja jika jumlah gaji yang diterima oleh Amin bekerja asal.
The number of working hours is halved.
adalah separuh daripada gaji asal.

the number of working hours if Amin’s salary is halved.

(b) Fatimah ingin memasak bubur kacang merah. Amaun gula yang (i) Amaun gula adalah separuh
ditambah berubah secara langsung dengan amaun air yang
daripada amaun asalnya.
digunakan. Nyatakan perubahan pada The amount of sugar is halved.
Fatimah would like to cook red bean porridge. The amount of sugar added
(ii) Amaun air adalah separuh daripada
varies directly as the amount of water used. State the change on
amaun asalnya.
(i) amaun gula jika amaun air adalah separuh daripada amaun The amount of water is halved.

asalnya, (iii) Amaun gula berkurang sebanyak
the amount of sugar if the amount of water is halved,
40%.
(ii) amaun air jika amaun gula adalah separuh daripada amaun The amount of sugar decreases by

asalnya, 40%.
the amount of water if the amount of sugar is halved,

(iii) amaun gula jika amaun air berkurang sebanyak 40%.
the amount of sugar if the amount of water decreases by 40%.

(c) Nilai rintangan bagi seutas dawai berubah secara langsung dengan (i) Nilai rintangan bertambah

nilai suhunya. Nyatakan perubahan pada sebanyak 20%.

The value of resistance of a wire varies directly as its temperature. State the The value of resistance increases by
change on
20%.

(i) nilai rintangan jika nilai suhunya bertambah sebanyak 20%, (ii) Nilai rintangan berkurang sebanyak
the value of resistance if the temperature increases by 20%,
10%.
(ii) nilai rintangan jika nilai suhunya berkurang sebanyak 10%, The value of resistance decreases by
the value of resistance if the temperature decreases by 10%,
10%.
(iii) suhu jika nilai rintangan bertambah dua kali ganda.
the temperature if the value of resistance is doubled. ( iii) Suhu bertambah dua kali ganda.
The temperature is doubled.

1

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

(d) Masa yang diambil untuk menghasilkan jem strawberi oleh Puan

Tharani adalah seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.

The time taken to produce strawberry jam by Puan Tharani is shown in the

table below.

10 20 30 40 (i) Bilangan botol jem bertambah
Masa (minit) sebanyak 40%.
Time (minutes)

Bilangan botol jem 2 4 6 The number of bottles of jam increases
strawberi
Number of bottles of by 40%.
8 (ii) Bilangan botol jem adalah separuh

strawberry jam daripada bilangan asalnya.

The number of bottles of jam is halved.

Nyatakan perubahan pada bilangan botol jam yang dihasilkan ( iii) Bilangan botol jem bertambah dua
apabila
State the change in the number of bottles of jam produced when kali ganda.
The number of bottles of jam is
(i) masa yang diambil bertambah sebanyak 40%,
the time taken increases by 40%, doubled.
CONTOH
(ii) masa yang diambil adalah separuh daripada masa asalnya,

the time taken is halved,

(iii) masa yang diambil bertambah dua kali ganda.

the time taken is doubled.

2 (a) Dengan melukis graf y melawan x, tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x. SP: 1.1.2 TP2
By drawing the graph of y against x, determine whether y varies directly as x.
Mudah

x1234
y 10 20 30 40

y
40

30

20
10

O x
1234

Maka, y berubah secara langsung dengan x.
Hence, y varies directly as x.

2

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

(b) Dengan melukis graf y melawan x, tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x.
By drawing the graph of y against x, determine whether y varies directly as x.

x 5 10 15 20
y 0.1 0.2 0.3 0.4

y
0.4

0.3

CONTOH 0.2
0.1

O x
5 10 15 20

Maka, y berubah secara langsung dengan x. / Hence, y varies directly as x.

3 Tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x. Kemudian, tuliskan hubungan tersebut dalam bentuk

ubahan.

Determine whether y varies directly as x. Then, write the relation in the form of variation. SP: 1.1.2 TP2 Mudah

Contoh

x 3 6 9 12 (a) x 3 6 9 12 (b) √x 0.1 0.2 0.3 0.4
y1236
y2468 y1111 y 0.3 1.2 2.7 4.8
x3332
y2222 x 0.01 0.04 0.09 0.16
x3333
y 30 30 30 30
x
y y
Ya kerana x adalah pemalar. Tidak kerana x bukan pemalar. y
is not a constant. x
Yes because y is a constant. No because y Ya kerana adalah pemalar.
x x
Yes because y is a constant.
x

∴y∝x ∴y∝x

(c) x3 1 8 27 64 (d) √x √2 2 √6 √8

y 1 8 27 64 y3 1 8 27 64

Tips Bestari x1234 x2468

Jika y berubah secara langsung y 1 4 9 16 y1234
x
y y1111
dengan x, maka x = k, dengan x2222
keadaan k ialah pemalar.
y Tidak kerana y bukan pemalar.
If y varies directly as x, then x = k, x not a constant. y
where k is a constant. is x
No because y Ya kerana adalah pemalar.
x
Yes because y is a constant.
x

∴y∝x



3

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

4 Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan: SP: 1.1.2 TP2 Mudah
Based on the following tables, determine whether y varies directly as:

Contoh

√x (a) x3 (b) 3√x
x 1 4 9 16 x
1234 x 1 8 27 64
y 1 23 4
y 0.1 0.2 0.3 0.4 100 200 300 400 √y 1 23 4
x3 1 49 16
√x 1 2 3 4 y 1 8 27 64 3√x
y1111 x3 1 23 4
√x 10 10 10 10 100 25 100 25 y
9 4
y
Ya kerana y adalah pemalar. Tidak kerana y bukan pemalar. 3√x
√x x3 not a constant.
y No because y Tidak kerana y bukan
√x x3 is

Yes because is a constant. pemalar. 3√x
CONTOH
No because y is not a constant.
3√x


5 Dalam setiap yang berikut, tentukan pemalar ubahan. Seterusnya, ungkapkan ubahan yang diberi dalam bentuk

persamaan. SP: 1.1.2 TP2 Sederhana

In each of the following, determine the constant of variation. Hence, express the variation given in the form of equation.

Contoh (a) y ∝ x dan y = 4 apabila x = 6. (b) y ∝ x2 dan y = 14 apabila x = 2.
y ∝ x and y = 4 when x = 6. y ∝ x2 and y = 14 when x = 2.
y ∝ x dan y = 5 apabila x = 5.
y ∝ x and y = 5 when x = 5. y = kx y = kx2
y ∝ x → y = kx
5 = k(5) 4 = k(6) 14 = k(2)2
k = 1
∴y=x k = 4 k = 14
6 4
Kesalahan Umum 2 2 7 7
Meninggalkan jawapan dalam bentuk ini = 3 ∴ y = 3 x = 2 ∴ y = 2 x2
Leaving the answer in this form

(c) y ∝ x3 dan y = 1 apabila x = 0.1. (d) y ∝ √x dan y = 10 apabila x = 25. (e) y ∝ 3√x dan y = 6 apabila x = 27.
y ∝ x3 and y = 1 when x = 0.1. y ∝ √x and y = 10 when x = 25. y ∝ 3√x and y = 6 when x = 27.

y = kx3 y = k√x y = k 3√x

1 = k(0.1)3 10 = k√25 6 = k 3√27

k = 1 k = 10 k = 6
(0.1)3 √25 3√27

= 1 000 ∴ y = 1 000x3 = 2 ∴ y = 2√x = 2 ∴ y = 23√x



6 Hitung nilai p bagi setiap ubahan berikut. SP: 1.1.2 TP4 Sederhana
Calculate the value of p for each of the following variations.

Contoh

y∝x Tips Bestari (a) y ∝ x2
x
x 16 p y ∝ xn ditulis sebagai y = kxn dengan 1 2
y46 1 1 y1 y2 y 4 p
2 3
keadaan n = 1, 2, 3, , atau x n = x n .
1 2
y1 y2 y1 y2
x 1n = x 2n Kaedah Alternatif y ∝ xn is written as y = kxn such that x 1n = x 2n
1 1 y1 y2
n = 1, 2, 3, 2 , 3 atau n = n .
y ∝ x → y = kx x 1 x 2
146 = 6 p
p 4 = k(16) 4 = 22
1 12
16 k = 4
4
p = 6 × y = 1 x p = 4 ×4
4 1
= 24
6 = 1 (p) = 16
4
p = 24



4

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

(b) y ∝ x3 p 3 (c) y ∝ √x p (d) y ∝ 3√x p
x 16 54 x 16 x 27

y y 28 35 y46

y1 = y2 1 1
x 1n x 2n
y ∝ √x → y ∝ x2 y ∝ 3√x → y ∝ x3

28 = 35 4 1 = 6
1 1 1
162 p2 273 p3
16 = 54
p3 33 1 35 × 4 1 6× 3
28 9 4
27 p 2 = p 3 = 2
54
p3 = 16 × = 5 =

= 8 p = (5)2 ( ) 93
2
p = 3√8 = 25 p =
= 2
= 729
8
CONTOH


7 Bagi setiap ubahan tercantum berikut, ungkapkan a dalam sebutan b dan c. SP: 1.1.3 TP3 Sederhana
In each of the following joint variations, express a in terms of b and c.

Contoh (a) a ∝ bc2 dan a = 63 apabila b = 7 (b) a ∝ √bc2 dan a = 100 apabila
dan c = 3. b = 100 dan c = 5.
a ∝ bc dan a = 20 apabila b = 5
dan c = 1. a ∝ bc2 and a = 63 when b = 7 and a ∝ √bc2 and a = 100 when b = 100
a ∝ bc and a = 20 when b = 5 and c = 3. and c = 5.
c = 1.

a = kbc2 a = k√bc2

a = kbc 63 = k × 7 × 32 100 = k × √100 × 52
63
20 = k × 5 × 1 k = 63 k = 100
20 250
k = 5 = 1
2
= 4 = 5

∴a = bc2

∴ a = 4bc ∴ a = 2 √bc2
5

8 Hitung nilai q bagi setiap ubahan berikut. SP: 1.1.3 TP4 Sukar
Calculate the value of q for each of the following variations.

Contoh 2 (a) y ∝ x2z2 4 (b) y ∝ x3z 4
y ∝ xz q q

x1 x2 x2

y3 y 8 y 2 32
3

z12 z23 z 0.5 q

y ∝ x2z2 → y = kx2z2 y ∝ x3z → y = kx3z

y ∝ xz → y = kxz 8 = k(22)(22) 2 = k(23)(0.5)
3 = k(1)(1) 3
k = 3 k = 1
k = 1 2
y = 3xz 6
q = 3(2)(2) y = 1 x3z
= 12 y = 16 x2z2 2

q = 16 (42)(32) 32 = 1 (43)(q)
2

= 24 q = 32
32

= 1



5

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

9 Jawab setiap soalan berikut dengan langkah terperinci. SP: 1.1.4 TP5 TP6 Sederhana Sukar
Answer each of the following question with detailed working.

(a) Luas sebuah bulatan, A, berubah secara langsung (b) Jadual berikut menunjukkan kadar pertukaran
dengan kuasa dua panjang jejarinya, r. Dolar Amerika Syarikat (USD) ke Ringgit Malaysia
(RM).
The area of a circle, A, varies directly as the square of the
length of its radius, r. The following table shows the exchange rates of United
States Dollar (USD) to Ringgit Malaysia (RM).
(i) Tulis hubungan antara A dan r dengan
menggunakan simbol ∝.
USD 1 2 3 4
Write the relation between A and r by using the
symbol ∝. RM 4.1 8.2 12.3 16.4

(ii) Lakarkan graf A melawan r2. (i) Tentukan sama ada USD berubah secara
Sketch the graph of A against r2. langsung dengan RM.

(i) A ∝ r2 Determine whether USD varies directly to RM.
(ii) Berapakah Ringgit Malaysia boleh ditukar
(ii) A
dengan menggunakan 5.5 USD?
How much Ringgit Malaysia can be exchanged

using 5.5 USD?
CONTOH
(i) RM 4.1 4.1 4.1 4.1
USD

O r2 Ya kerana RM adalah pemalar.
USD

Yes because RM is a constant.
USD

(ii) URSMD = 4.1 = x
5.5

x = 4.1 × 5.5 = 22.55

Ia boleh ditukar ke RM22.55.
It can be exchanged for RM22.55.

(c) Tenaga kinetik, E, suatu objek berubah secara (d) Diberi r berubah secara langsung dengan s dan
punca kuasa dua t.
langsung dengan jisim objek, m, dan kuasa dua
Given r varies directly as s and square root of t.
halaju objek, v.
Kinetic energy, E, of an object varies directly as the mass (i) Sekiranya r = 80 apabila s = 5 dan t = 16,
ungkapkan t dalam sebutan r dan s.
of the object, m, and the square of velocity of the object,
v. If r = 80 when s = 5 and t = 16, express t in terms
of r and s.
(i) Ungkapkan pernyataan tersebut dengan
(ii) Kemudian, hitung nilai t apabila s = 2 dan
menggunakan simbol ∝. r = 10.
Express the statement using the symbol ∝.
Hence, calculate the value of t when s = 2 and
(ii) Diberi E = 125 J apabila m = 10 kg dan r = 10.
v = 5 m s−1. Ungkapkan E dalam sebutan m dan v.
(i) r ∝ s√t → r = ks√t
Given that E = 125 J when m = 10 kg and 80 = k × 5 × √16
v = 5 m s−1. Express E in terms of m and v.

(i) E ∝ mv2 k = 80
5(4)

(ii) E = kmv2 =4
125 = k × 10 × 52
r = 4s√t
r
125 √t = 4s
10(25)
k = t = r2
16s2
125
= 250 (ii) s = 2 dan/ and r = 10,
t = 161(022)2
= 1
2

∴ E = 21 mv2 = 100
64

= 25 / 1 9
16 16



6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

1.2 Ubahan Songsang Buku Teks m/s 17 – 25 Info
Inverse Variation Digital 1.2

1 Nyatakan perubahan perkara bagi setiap situasi berikut. SP: 1.2.1 TP1
State the change of subject for each of the following situations.
Mudah
Contoh

Adam mengambil bahagian dalam maraton 42 km. Jadual di bawah (i) t v ÷2
×2 4 10.50
menunjukkan hubungan antara masa yang diambil oleh Adam dengan 8 5.25

purata kelajuannya.
Adam takes part in a 42 km marathon. The table below shows the relation
between the time taken by Adam and his average speed.

Masa, t (jam) 45678 Laju purata menjadi separuh
Time, t (hours)
daripada laju purata asalnya.
Laju purata, v (km j−1) 10.50 8.40 7.00 6.00 5.25 The average speed is halved.
Average speed, v (km h−1)
(ii) t v
CONTOH
Nyatakan perubahan pada laju purata apabila 8 5.25 ×2
State the change on average speed when ÷2 10.50

(i) masa yang diambil adalah dua kali ganda, 4
the time taken is doubled,
Laju purata menjadi dua kali
(ii) masa yang diambil adalah separuh daripada masa asalnya.
the time taken is halved. ganda daripada laju asalnya.
The average speed is doubled.

(a) Fabian mengambil bahagian dalam maraton 21 km. Jadual di bawah (i) t v
1 21
menunjukkan hubungan antara masa yang diambil oleh Fabian 2
÷2
dengan purata kelajuannya. ×2 10.5
Fabian takes part in a 21 km marathon. The table below shows the relation

between the time taken by Fabian and his average speed.

Masa, t (jam) 1 1.5 2 2.5 3 Laju purata menjadi separuh
Time, t (hours)
daripada laju purata asalnya.
Laju purata, v (km j−1) The average speed is halved.
Average speed, v (km h−1)
21 14 10.5 8.4 7

Nyatakan perubahan pada laju purata apabila (ii) t v
State the change on average speed when ÷2 3 7
1.5
(i) masa yang diambil adalah dua kali ganda, ×2
the time taken is doubled, 14

(ii) masa yang diambil adalah separuh daripada masa asalnya. Laju purata menjadi dua kali ganda
the time taken is halved.
daripada laju asalnya.
The average speed is doubled.

(b) Cik Pollen ingin membelikan hadiah kepada murid-muridnya yang

mendapat A dalam ujian Matematik. Beliau telah mengehadkan

jumlah wang untuk membeli hadiah. Jika harga sebuah hadiah

ialah RM20, maka beliau boleh membeli 20 buah hadiah. Nyatakan

bilangan hadiah yang dapat dibeli oleh Cik Pollen jika

Miss Pollen wants to buy some gifts for her students who scores A in a
Mathematics test. She fixed the money to buy the gifts. If the price of a gift (i) Bilangan hadiah akan bertambah
sebanyak 0.5 kali ganda.
is RM20, then Miss Pollen can buy 20 gifts. State the number of gifts that
The number of gifts will increase by
can be bought by Miss Pollen if
0.5 times.
(i) harga sebuah hadiah berkurang sebanyak 0.5 kali ganda,

the price of a gift decreases by 0.5 times, (ii) Bilangan hadiah akan berkurang

(ii) harga sebuah hadiah bertambah sebanyak dua kali ganda. sebanyak dua kali ganda.

the price of a gifts increases by two times. The number of gifts will decrease by

two times.


7

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

2 Diberi bilangan pekerja, x yang diperlukan berubah secara songsang dengan bilangan hari, d yang diperlukan untuk

memasang jubin di dalam sebuah rumah. Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara x dengan d.
It is given that the number of workers, x needed varies inversely as the number of days, d needed to install tiles in a house. The

table below shows the relation between x and d.

Bilangan pekerja, x 1 2 4 5 8
Number of workers, x

Bilangan hari yang diperlukan 20 10 5 4 2.5

untuk memasang jubin, d
Number of days needed

to install tiles, d

Dengan menggunakan graf, tentukan sama ada d berubah secara songsang dengan x atau x2. Seterusnya, tulis

hubungan menggunakan simbol ∝. SP: 1.2.2 TP4 Sederhana

By using graph, determine whether d varies inversely as x or x2. Hence, write the relation by using the symbol ∝.

x1 2 4 5 8CONTOH

d 20 10 5 4 2.5
1 1
x 1 0.5 0.25 0.2 0.125
x2
4 16 25 64

1d

20

Graf d melawan 1 adalah satu
x
garis lurus yang bermula dari
15
asalan.
The graph d against 1 is a straight
x
line starts from the origin.
10
∴d∝ 1
x

5

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1
x

2d
20

15 Graf d melawan x2 ialah

hiperbola.

Graph d against x2 is a hyperbola.

10 ∴ d ∝ 1
x2

5

O 10 20 30 40 50 60 x2

8

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

3 Dua kuantiti, x dan y berubah mengikut jadual di bawah. Dengan menggunakan skala yang sesuai, lukis graf y melawan
1
x dan tunjukkan bahawa y berubah secara songsang dengan x. SP: 1.2.2 TP4

Two quantities, x and y vary based on the table below. By using a suitable scale, draw the graph of y against 1 and show that
y varies inversely as x. x
Sederhana

x 1.25 2 2.5 4 5 8 10

y 8 5 4 2.5 2 1.25 1


x 1.25 2 2.5 4 5 8 10
y 85 4 2.5 2 1.25 1
1 0.8 0.5 0.4 0.25 0.2 0.125 0.1
x y
CONTOH
8

7

6

5

4

3

2

1

1
x
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Graf y melawan 1 menunjukkan satu garis lurus yang bermula dari asalan. Maka, y berubah secara songsang dengan x.
x
1
The graph of y against x shows a straight line that starts from the origin. Hence, y varies inversely as x.

9

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

4 Tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan x. SP: 1.2.2 TP2 Mudah
Determine whether y varies inversely as x.

Tips Bestari

Jika y berubah secara songsang dengan x, maka xy = k, dengan keadaan k ialah pemalar.
If y varies inversely as x, then xy = k, where k is a constant.



Contoh

x 3 6 9 12 (a) x 3 6 12 24 (b) x 2 5 10 50
y8421 y 50 10 52
y 3 3 1 3 xy 24 24 24 24 xy 100 50 50 100
2 4

xy 9 9 9 9 Ya kerana xy adalah satu Tidak kerana xy bukan satu
Ya kerana xy adalah satu pemalar.
Yes because xy is a constant. pemalar. pemalar.
CONTOH
Yes because xy is a constant. No because xy is not a constant.

(c) √x 1 2 4 8 (d) x 24 30 40 60 (e) √x 2 3 4 5
y 64 32 16 8 y3 125 64 27 8 y3 8 27 64 125

x 1 4 16 64 y5432 x 4 9 16 25

xy 64 128 256 512 xy 120 120 120 120 y2345

Tidak kerana xy bukan satu Ya kerana xy adalah satu xy 8 27 64 125

pemalar. pemalar. Tidak kerana xy bukan satu

No because xy is not a constant. Yes because xy is a constant. pemalar.

No because xy is not a constant.



5 Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan: SP: 1.2.2 TP2 Mudah
Based on the following tables, determine whether y varies inversely as:

Contoh (a) x3 (b) √x 1 64 4 096
x1234 x
x2
x1234 y4321 3√y 8 4 2
y 144 36 16 9 x3 1 8 27 64 64
x2 1 4 9 16 x3y 4 24 54 64 √x 1 8 8
x2y 144 144 144 144
y 512 64
Ya kerana x2y adalah satu pemalar.
Yes because x2y is a constant. Tidak kerana x3y bukan satu √xy 512 512 512

pemalar.

No because x3y is not a constant. Ya kerana √xy adalah satu
pemalar.
Yes because √xy is a constant.


10

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

6 Dalam setiap yang berikut, tentukan pemalar ubahan dan seterusnya, ungkapkan ubahan yang diberi dalam bentuk

persamaan. SP: 1.2.2 TP3 Sederhana

In each of the following, determine the constant of variation and hence, express the given variation in the form of equation.

Contoh

y∝ 1 dan y = 0.1 apabila x = 10. (a) y∝ 1 dan y = 9 apabila x = 2. (b) y∝ 1 dan y = 3 apabila x = 2.
x x x3
1
y∝ 1 and y = 0.1 when x = 10. y ∝ x and y = 9 when x = 2. y ∝ 1 and y = 3 when x = 2.
x x3

xy = k xy = k x3y = k
10 × 0.1 = k 2 × 9 = k (2)3(3) = k
k = 18 k = 24
k = 1
∴y= 1 ∴ y = 18 ∴ y = 24
x x x3

CONTOH(c) y ∝ 1 dan y = 1 apabila (d) y∝ 1 dan y = 8 apabila x = 1 . (e) y ∝ 1 dan y = 6 apabila
√x x2 2 3√x
1 1
x = 0.01. y ∝ x2 and y = 8 when x = 2 . x = 0.001.

y ∝ 1 and y = 1 when x = 0.01. x2y = k y ∝ 1 and y = 6 when x = 0.001.
√x 3√x
( ) 1 2
√xy = k 2 3√xy = k
× 8 = k

√0.01 × 1 = k k = 2 3√0.001 × 6 = k

k = 0.1 ∴ y = 2 k = 3
x2 5
1
∴y = 10√x ∴ y = 3
53√x


Tips Bestari

y∝ 1 ditulis sebagai y = k dengan keadaan n = 1, 2, 3, 1 atau xn1 y1 = xn2 y2 .
xn xn 2

y∝ 1 is written as y = k such that n = 1, 2, 3, 1 or xn1 y1 = xn2 y2 .
xn xn 2

7 Hitung nilai p bagi setiap yang berikut. SP: 1.2.2 TP4 Sederhana
Calculate the value of p for each of the following.

Contoh

y∝ 1 (a) y∝ 1 (b) y ∝ 1
x x √x

x 4 16 x 0.1 p x1p
y 8p y 36 18
y49

xn1 y1 = xn2 y2 xn1 y1 = xn2 y2 y ∝ 1 →y∝ 1
( 4)(8) = (16)(p) (0.1)(36) = (p)(18) √x
1
p = 2 11
x2

p = 0.2 (12)(4) = (p2)(9)

1 4
9
p2 =

( ) p = 4 2 16
9 81
=

(c) y ∝ 1 (d) y∝ 1 (e) y ∝ 1
x2 x3 3√x
x
x 36 x1p 27 125
p 54
y y 32 4 y4p

( 32)(p) = (62)(54) (13)(32) = (p3)(4) 3√27 × 4 = 3√125(p)
12 = 5p
p = 216 p3 = 8

p = 3√8 p = 12
5
= 2



11

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

8 Jawab setiap soalan berikut dengan langkah terperinci. SP: 1.2.3 TP5 TP6 Sukar
Answer each of the following questions with detailed working.

(a) Frekuensi gelombang, f, berubah secara songsang (b) Arus elektrik, I, berubah secara songsang dengan
dengan panjang gelombang, λ. rintangan, R. Jika I = 5 A apabila R = 20 Ω, hitung
The frequency of a wave, f, varies inversely as the nilai I apabila R = 25 Ω.

wavelength of the wave, λ. The electric current, I, varies inversely as the resistance, R.
(i) Tuliskan hubungan antara f dan λ dengan If I = 5 A when R = 20 Ω, calculate the value of I when

menggunakan simbol ∝. R = 25 Ω.

Write the relation between f and λ by using the 1
symbol ∝. R
Lakarkan 1 I ∝
λ
(ii) graf f melawan . IR = k

Sketch the graph of f against 1 . (5)(20) = k
λ
k = 100

I = 100
R
CONTOH 1
(i) f ∝ λ Apabila R = 25 Ω, / When R = 25 Ω,

(ii) f I = 100
25

= 4 A

1

Oλ

(c) Masa yang diperlukan, t, untuk Ah Suun berjalan ke (d) Jadual berikut menunjukkan hubungan antara

sekolahnya berubah secara songsang dengan punca pemboleh ubah p dan pemboleh ubah q.
The following table shows the relation between a variable
kuasa dua kelajuannya, s. Dengan purata kelajuan
4 km j−1, dia mengambil masa selama setengah jam p and a variable q.

untuk sampai ke sekolahnya. Berapa lamakah masa, p 12 16 x 48

dalam minit, yang diambilnya jika dia berjalan q 64 27 8 1
dengan purata kelajuan 16 km j−1?
The time taken, t, for Ah Suun to walk to his school varies Diberi p berubah secara songsang dengan punca
inversely as the square root of his walking speed, s. With kuasa tiga q.
an average speed of 4 km h−1, he takes half hour to reach
his school. How much time, in minutes, does he need if Given that p varies inversely as the cube root of q.
he walks with an average speed of 16 km h−1? (i) Ungkapkan p dalam sebutan q.
Express p in terms of q.
t ∝ 1 (ii) Cari nilai x.
√s Find the value of x.

t(√s ) = k (i) p ∝ 1 → p = k
3√q 3√q
( ) 30
60 (√4 ) = k 12 = k
3√64
k = 1 ∴ t = 1
√s k = 48

Apabila s = 16 km j−1 / When s = 16 km h−1, ∴ p = 48
3√q
t = 1
√16 (ii) x = 48
3√8
= 1 jam/ hour
4 = 24

= 15 minit/ minutes



12

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

1.3 Ubahan Bergabung Buku Teks m/s 26 – 29 Info
Combined Variation Digital 1.3

1 Ungkapkan pernyataan berikut dengan menggunakan simbol ∝. SP: 1.3.1 TP1 Mudah
Express the following statements by using the symbol ∝.
a ∝ b2
Contoh 3√c

a berubah secara langsung dengan kuasa dua b dan berubah secara songsang dengan punca
kuasa tiga c.
a varies directly as the square of b and inversely as cube root of c.

(a) v berubah secara langsung dengan h dan secara songsang dengan kuasa dua k. v ∝ h
v varies directly as h and inversely as square of k. k2

CONTOH(b) a= 3bc a ∝ bc
√d √d



2 Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada setiap yang berikut ialah suatu ubahan bergabung atau bukan.

Based on the following tables, determine whether each of the following is a combined variation or not. SP: 1.3.1 TP2 Mudah

Contoh

y ∝ z (a) y∝ x2
w z

x 1 248
y 3
w2 3 4 5 1 6 9 12
y 5 10 15 20 z 1
z 20 60 120 200 2 16 16
yw 1 1 1 1 x2 3 3
z2222 yz
x2 4 16 64

333

Ya kerana yw adalah satu pemalar. yz
z x2yz
yw
Yes because z is a constant. Ya kerana x2 adalah satu pemalar.
Yes because is a constant.

(b) y∝ z (c) y ∝ z√x
x3 w

x234 w 10 15 30 40
y 846 128 27
z 72 32 18 x 1 4 9 16
x3 8 27 64
yx3 y 3 6 9 12
z 94 108 96
z 10 15 30 40

√x 1 2 3 4
yw
z√x 3 3 3 3

Tidak kerana yx3 bukan satu pemalar. yw
z z√x
yx3 Ya kerana adalah satu pemalar.
No because z is not a constant.

Yes because yw is a constant.
z√x



13

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

3 Bagi setiap ubahan bergabung berikut, tentukan pemalar dan seterusnya, ungkapkan y dalam sebutan x dan z.
For each of the following combined variations, determine the constant of variation and hence, express y in terms of x and z.

SP: 1.3.1 TP3 Sederhana

Contoh

y∝ x dan y = 6 apabila x = 7 dan (a) y ∝ z2 dan y = 5 apabila x =2 (b) y ∝ √z dan y = 100 apabila
z x x3
dan z = 10.
z = 14. x = 5 dan z = 25.
x z2
y∝ z and y = 6 when x = 7 and y ∝ x and y = 5 when x=2 and y ∝ √z and y = 100 when x = 5
x3
z = 14. z = 10. and z = 25.

yz = k yx = k yx3 = k
x z2 √z

6 × 14 5×2 = k 100 × 53 = k
7 102 √25
= k z2
12x 1 ∴ y = 10x k = 2 500
k = 12 ∴ y = z k = 10 ∴ y = 2 500√z
x3
CONTOH
4 Hitung nilai p bagi setiap yang berikut. SP: 1.3.1 TP4

Calculate the value of p for each of the following. Sederhana

Contoh

a∝ b a26 (a) a∝ b2 a24 (b) a ∝ b a26
c b3p c3 b28 √c b 8 36
c39 c1p cp9

kb 2b a = kb2 a = b2 a = kb a = b
c c c3 2c3 √c 2√c
a= a =
2 = k(2)2 4 = (8)2 k(36) 2 = 8
k(3) 2p 13 2p3 6 = √9 2√p
2 = 3 6 = 9
4k = 2 2 p3 = 16 36k = 18 √p = 2

k=2 2p = 54 k = 1 p = 3√8 k = 1 p = 22
2 2
p = 27 = 2 = 4



5 Jawab setiap soalan berikut dengan langkah terperinci. SP: 1.3.2 TP5 TP6 Sukar
Answer each of the following question with detailed working.

(a) Untuk isi padu kuboid tetap, lebarnya, w, berubah (b) Isi padu sebuah bekas tertutup, V, berubah secara

secara songsang dengan panjang, l, dan tinggi, h. K langsung dengan suhu, T, dan berubah secara
For a fixed volume of a cuboid, its width, w, varies B songsang dengan tekanan yang dikenakan, P.
A
inversely as its length, l, and height, h. T The volume of a closed container, V, varies directly as

(i) Ungkapkan hubungan antara ketiga-tiga the temperature, T, and varies inversely as the applied

kuantiti tersebut menggunakan simbol ∝. pressure, P.

Express the relationship between the three (i) Tuliskan hubungan antara ketiga-tiga kuantiti

quantities using the symbol ∝. menggunakan simbol ∝.

(ii) Lakarkan graf w melawan 1 . Write the relation between the three quantities
lh
using the symbol ∝.

Sketch the graph of w against 1 . (ii) Diberi V = 50 m3 apabila P = 100 kPa dan
lh
T = 290 K. Hitung isi padu, dalam m3, bekas

tersebut apabila P = 60 kPa dan T = 348 K.
Given that V = 50 m3 when P = 100 kPa and
(i) w ∝ 1
lh T = 290 K. Calculate the volume, in m3, of the

(ii) w container when P = 60 kPa and T = 348 K.

(i) V ∝ T
P

(ii) V = kT V = 500T
P 29P

50 = k × 290 = 500(348)
100 29(60)
1
O lh k = 500 = 100
29



14

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

(c) r berubah secara langsung dengan kuasa dua s dan (d) Diberi x berubah secara langsung dengan y dan z

berubah secara songsang dengan t dan punca kuasa dan berubah secara songsang dengan w. Jika nisbah

dua u. Diberi bahawa r = 1, t = 2 dan s = 3 apabila x : y : w : z = 1 : 3 : 6 : 3, ungkapkan x dalam sebutan

u = 4. Ungkapkan t dalam sebutan r, s dan u. y, w dan z.
r varies directly as the square of s and varies inversely as Given that x varies directly as y and z and varies inversely

t and the square root of u. Given that r = 1, t = 2 and as w. If the ratio x : y : w : z = 1 : 3 : 6 : 3, express x in
s = 3 when u = 4. Express t in terms of r, s and u. terms of y, w and z.

r ∝ s2 r = 4s2 x = kwyz
t√u 9t√u
k(3)(3)
r = ks2 t = 4s2 1 = 6
t√u 9r√u
k = 23
1= k(32)
2 × √4 2yz
∴ x = 3w
CONTOH 4
k= 9



MODUL PP Praktis ke Arah S P M

Kertas 1

Jawab semua soalan./ Answer all questions.

1 Jadual berikut menunjukkan hubungan antara 3 Diberi x berubah secara langsung dengan y. Antara
x dengan y. berikut, yang manakah adalah pemalar?

The following table shows the relation between x and y. Given that x varies directly as y. Which of the following is a
constant?
x1234
y 2 8 18 32 A xy
B x + y
Antara berikut, yang manakah mewakili hubungan C x − y
D yx
tersebut?
Which of the following represents the relation? 4 Hukum kegravitian semesta Newton menyatakan
bahawa daya tarikan, F, antara dua objek berubah
A y ∝ x
1
B y ∝ x2 secara langsung dengan jisimnya, m1 dan m2,
dan berubah secara songsang dengan kuasa dua
C y ∝ x2

D y ∝ x3 jaraknya, d. Antara hubungan berikut, yang manakah

2 Diberi a ∝ 1 . Antara berikut yang manakah benar? tidak betul?
b The Newton’s law of universal gravitation states that the

1 force of attraction, F, between two objects varies directly as
b
Given that a ∝ . Which of the following is correct? their masses, m1 and m2 , and inversely as the square of the
distance apart, d. Which of the following relations is not
I Apabila a meningkat, b meningkat.
When a increases, b increases. correct?

II Hasil darab a dan b adalah satu pemalar. A F ∝ 1
The product of a and b is a constant. d

III Graf a melawan b adalah satu garis lurus melalui B F ∝ m1

asalan. C F ∝ m2
The graph of a against b is a straight line passing
m1m2
through the origin. D F ∝ d2

A I sahaja/ only

B II sahaja/ only

C I dan/ and II sahaja/ only

D I, II dan/ and III

15

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

5 Antara berikut, yang manakah menunjukkan 8 Antara graf berikut, yang manakah mewakili
y berubah secara langsung dengan x? hubungan y ∝ x3?

Which of the following shows that y varies directly as x? Which of the following graphs represents the relation of
y ∝ x3?
A x 1 2 3 4
y1234 A y

B x 1 2 3 4 O x
y4321 B y

C x 2 4 6 8
y 2 4 8 10

CONTOH D x 2468 O x2
y 4 16 36 64 C y

6 Diberi r berubah secara songsang dengan s, dan r = 5 O x3
apabila s = 4. Antara berikut, yang manakah bukan D y
satu kemungkinan pasangan nilai r dan s yang
sepadan? O x2

Given that r varies inversely as s, and r = 5 when s = 4. 9 Setiap hari, Zhu Onn memandu keretanya dengan
Which of the following is not a possible pair of
corresponding value of r and s? laju yang tetap. Suatu ketika, dia menggunakan

A r = 10, s = 2.5 2 jam untuk perjalanan sejauh 50 km. Sekiranya
B r = 2, s = 10
C r = 10, s = 2 perjalanannya hari ini ialah 75 km, berapa lamakah
D r = 1, s = 20
masa yang diperlukannya?
7 Antara berikut, yang manakah menunjukkan Every day, Zhu Onn drives his car with constant speed.
a berubah secara langsung dengan b dan berubah
secara songsang dengan punca kuasa dua c? Once, he used 2 hours to travel 50 km. If he travelled 75

Which of the following shows that a varies directly as b and km today, how much time does he need for his journey?
varies inversely as square root of c?
A 1 jam/ hour C 3 jam/ hours
A a 2 8 18

b123

c123

B 2 jam/ hours D 4 jam/ hours

B a 30 45 50 10 Arul menggunakan masa 30 minit untuk membaca
b 135
c 149 buku yang mempunyai 20 halaman. Sekiranya masa

C a 30 45 50 yang diambil oleh Arul membaca buku berubah
b 135
c 123 secara langsung dengan punca kuasa dua bilangan

D a 2 8 18 halaman di dalam buku itu, berapa lamakah masa
b123
c321 yang diperlukan oleh Arul untuk membaca sebuah

buku yang mempunyai 80 halaman?
Arul used 30 minutes to read a book that has 20 pages.

If the time taken for Arul to read a book varies directly as
the square root of the number of pages in the book, how
much time does Arul need to read a book with 80 pages?

A 15 minit/ minutes
B 30 minit/ minutes
C 1 jam/ hour
D 2 jam/ hours

16

Matematik Tingkatan 5 Bab 1

Kertas 2

Jawab semua soalan./ Answer all questions.

Bahagian A

1 Rajah berikut menunjukkan satu graf y melawan x2.
The following diagram shows a graph of y against x2.

y

O5 x2

(a) Adakah y berubah secara langsung dengan x2? Wajarkan jawapan anda.
Does y vary directly as x2? Justify your answer.

[2 markah/ marks]

(b) Diberi y berubah secara langsung dengan pemboleh ubah z dengan keadaan z = x2 + c dan c merupakan satu

pemalar. Apakah nilai c?
Given that y varies directly as variable z where z = x2 + c and c is a constant. What is the value of c?

[2 markah/ marks]
Jawapan/ Answer:

(a) Tidak kerana graf tersebut bukan satu garis lurus melalui asalan.
No because the graph is not a straight line passing through the origin.
(b) Graf y melawan z adalah satu garis lurus melalui asalan ketika c = −5 seperti yang y

ditunjukkan di bawah. Oleh itu, c = −5.
The graph of y against z is a straight line passing through the origin when c = −5 as shown below.

Hence, c = −5.
CONTOH
Oz

Bahagian B

2 Diberi a berubah secara langsung dengan kuasa dua b dan punca kuasa tiga c dan secara songsang dengan d.
Given that a varies directly as the square of b and cube root of c and varies inversely as d.

(a) Tuliskan hubungan antara a, b, c dan d dengan menggunakan simbol ∝.
Write the relation between a, b, c and d using the symbol ∝.

[2 markah/ marks]

(b) Cari nilai pemalar jika b = 2a = 10, c = 27 dan d = 12.
Find the value of the constant if b = 2a = 10, c = 27 and d = 12.

[2 markah/ marks]

(c) Jika b digandakan dengan 2, c dan d digandakan dengan 8, bagaimanakah perubahan a?
If b is doubled, c and d are multiplied by 8, how did a change?

[4 markah/ marks]
Jawapan/ Answer:

(a) a ∝ b23√c (b) 2a = 10 (c) a1d1 = a2d2
d a = 5 b213√c1 b223√c2

a= kb2 3√c a1d1 = a2(8d1)
d b213√c1 (2b1)23√8c1

5= k(10)2 3√27 = a2d1
12 b213√c1

k= 60 ∴ a1 = a2
100 × 3
Oleh itu, a tidak berubah.
= 1 Hence, a remains the same.
5

17

Jawapan Penyelesaian
Lengkap Kertas

Model SPM

Bab 1 2 (a)

1.1 Ubahan Langsung y
40
Direction Variation

1 (a) (i) Jumlah gaji Amin adalah tiga kali

CONTOH ganda. 30
Amin’s total salary is tripled.

(ii) Jumlah gaji Amin bertambah sebanyak

30%.
Amin’s total salary increases by 30%.

(iii) Bilangan jam bekerja adalah separuh 20

daripada bilangan jam bekerja asal.
The number of working hours is halved.

(b) (i) Amaun gula adalah separuh daripada 10

amaun asalnya.
The amount of sugar is halved.

(ii) Amaun air adalah separuh daripada O x
1234
amaun asalnya.
The amount of water is halved. Maka, y berubah secara langsung dengan

(iii) Amaun gula berkurang sebanyak 40%. x.
The amount of sugar decreases by 40%. Hence, y varies directly as x.

(c) (i) Nilai rintangan bertambah sebanyak
(b)
20%.
The value of resistance increases by 20%. y

(ii) Nilai rintangan berkurang sebanyak

10%. 0.4
The value of resistance decreases by 10%.

(iii) Suhu bertambah dua kali ganda.
The temperature is doubled.
0.3
(d) (i) Bilangan botol jem bertambah

sebanyak 40%. 0.2
The number of bottles of jam increases by

40%.

(ii) Bilangan botol jem adalah separuh

daripada bilangan asalnya. 0.1
The number of bottles of jam is halved.

(iii) Bilangan botol jem bertambah dua kali

ganda. O x
The number of bottles of jam is doubled. 5 10 15 20

Maka, y berubah secara langsung dengan
x.

Hence, y varies directly as x.

J1

Matematik Tingkatan 5 Jawapan

3 (a) x 3 6 9 12 (b) 3√x

y1236 x 1 8 27 64

y1111 √y 1 2 3 4
x3332
3√x 1 2 3 4
y
Tidak kerana x bukan pemalar. y 1 4 9 16
y is not a constant.
No because x y 1 2 3 4
3√x
(b) √x 0.1 0.2 0.3 0.4
Tidak kerana y bukan pemalar.
y 0.3 1.2 2.7 4.8 No because 3√yx3√ixs not a constant.
CONTOH
x 0.01 0.04 0.09 0.16

y 30 30 30 30 5 (a) y = kx
x 4 = k(6)

Ya kerana y adalah pemalar. 4
x 6
k =
Yes because y is a constant.
∴y∝x x 2
= 3

(c) x3 1 8 27 64 ∴y = 2 x
3

y 1 8 27 64 (b) y = kx2

x1234 14 = k(2)2

y 1 4 9 16 k = 14
x 4
7
= 2

Tidak kerana y bukan pemalar. ∴ y = 7 x2
x 2

No because y is not a constant. (c) y = kx3
x
(d) √x √2 2 √6 √8
1 = k(0.1)3

y3 1 8 27 64 k = 1
(0.1)3

x2468 = 1 000
∴ y = 1 000x3
y1234
(d) y = k√x
y1111
x2222 10 = k√25

Ya kerana y adalah pemalar. k = 10
x √25
y
Yes because x is a constant. = 2

∴y∝x ∴ y = 2√x

4 (a) x3 (e) y = k 3√x

x1234 6 = k 3√27

y 100 200 300 400 k = 6
3√27

x3 1 8 27 64 k=2

y 100 25 100 25 ∴ y = 23√x
x3 9 4
y1 y2
y 6 (a) x 1n = x 2n
x3
Tidak kerana bukan pemalar. 142 = p
22
No because y is not a constant.
x3
p = 4 ×4
1
= 16

J2

Matematik Tingkatan 5 Jawapan

(b) y1 = y2 y = 1 x3z
x 1n x 2n 2

16 = 54 32 = 1 (43)(q)
p3 33 2
32
p3 = 16 × 27 q = 32
= 8 54
= 1
p = 3√8 9 (a) (i) A ∝ r2

= 2 (ii) A

(c) y ∝ √x → y ∝ 1

x2

28 = 35
1 1


CONTOH 162 p2
1
= 35 × 4 O r2
p2 = 5 28

p = (5)2 (b) (i) RM 4.1 4.1 4.1 4.1
USD
= 25

(d) y ∝ 3√x 1 Ya kerana RM adalah pemalar.
USD
→ y ∝ x3

4 = 6 RM
1 1 USD
273 p3 Yes because is a constant.

1 = 6 × 3 (ii) URSMD = 4.1 = x
4 5.5
p3

= 9 x = 4.1 × 5.5 = 22.55
2

( )p = 93 Ia boleh ditukar ke RM22.55.
2
It can be exchanged for RM22.55.
= 729 (c) (i) E ∝ mv2
8
(ii) E = kmv2

7 (a) a = kbc2 125 = k × 10 × 52

63 = k × 7 × 32 k = 125
10(25)
k = 63
63 125
= 1 = 250

∴ a = bc2 = 1
2
(b) a = k√bc2

100 = k × √100 × 52 ∴ E = 1 mv2
2
k = 100
250 (d) (i) r ∝ s√t → r = ks√t

= 2 80 = k × 5 × √16
5
80
∴ a = 2 √bc2 k = 5(4)
5
=4
8 (a) y ∝ x2z2 → y = kx2z2
r = 4s√t
8 = k(22)(22) r
3 √t = 4s

k = 1 t = r2
6 16s2
1
y = 6 x2z2 (ii) s = 2 dan/ and r = 10,

q = 1 (42)(32) t = 161(022)2
6

= 24 100
(b) y ∝ x3z → y = kx3z = 64

2 = k(23)(0.5) = 25 / 1 9
16 16
k = 1
2

J3

Matematik Tingkatan 5 Jawapan

1.2 Ubahan Songsang Graf 2
Graf d melawan x2 ialah hiperbola.
Inverse Variation Graph d against x2 is a hyperbola.

1 (a) (i) t v

1 21 ∴d∝ 1
×2 ÷2 x2

2 10.5 2d

Laju purata menjadi separuh daripada

laju purata asalnya. 20
The average speed is halved.


(ii) t v 15

CONTOH 3 7 10
÷2 ×2

1.5 14

Laju purata menjadi dua kali ganda 5

daripada laju asalnya. O 10 20 30 40 50 60 x2
The average speed is doubled.

(b) (i) Bilangan hadiah akan bertambah

sebanyak 0.5 kali ganda. 3
The number of gifts will increase by 0.5 x 1.25 2 2.5 4

times.

(ii) Bilangan hadiah akan berkurang 5 8 10

sebanyak dua kali ganda.
The number of gifts will decrease by two

times. y 8 5 4 2.5 2 1.25 1

2 1 0.8 0.5 0.4 0.25 0.2 0.125 0.1
x1 2 4 5 8 x

d 20 10 5 4 2.5

1 1 0.5 0.25 0.2 0.125 y
x
8
x2 1 4 16 25 64 7
6
Graf 1 1 5
x 4
Graf d melawan adalah satu garis lurus yang 3
2
bermula dari asalan.

The graph d against 1 is a straight line starts from
the origin. x

∴ d ∝ 1
x

1d

20 1

1
15 x
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

10 Graf y melawan 1 menunjukkan satu garis
5 x
O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lurus yang bermula dari asalan. Maka, y berubah

secara songsang dengan x.
1
1 The graph of y against x shows a straight line that
x
starts from the origin. Hence, y varies inversely as x.

J4

Matematik Tingkatan 5 Jawapan

4 (a) x 3 6 12 24 6 (a) xy = k

y8421 2×9=k

k = 18

xy 24 24 24 24 ∴ y = 18
x
Ya kerana xy adalah satu pemalar.
Yes because xy is a constant. (b) x3y = k
(b) x 2 5 10 50
(2)3(3) = k
y 50 10 5 2
xy 100 50 50 100 k = 24

∴ y = 24
x3

Tidak kerana xy bukan satu pemalar.
No because xy is not a constant.
(c) √x 1 2 4 8

y 64 32 16 8
x 1 4 16 64
xy 64 128 256 512
CONTOH (c) √xy = k

√0.01 × 1 = k

k = 0.1

∴ y = 1
10√x

(d) x2y = k

Tidak kerana xy bukan satu pemalar. ( ) 1 2
No because xy is not a constant. 2
(d) x 24 30 40 60 ×8=k

k = 2

y3 125 64 27 8 ∴y = 2
(e) x23√xy
y5432 = k

xy 120 120 120 120 3√0.001 × 6 = k

Ya kerana xy adalah satu pemalar. k= 3
Yes because xy is a constant. ∴y= 5
(e) √x 2 3 4 5 3
53√x
y3 8 27 64 125
7 (a) xn1 y1 = xn2 y2
x 4 9 16 25
y2345 (0.1)(36) = (p)(18)
p = 0.2

xy 8 27 64 125 (b) y ∝ 1 →y∝ 1
√x
Tidak kerana xy bukan satu pemalar. 1
No because xy is not a constant.
5 (a) x3 x2

11

(12)(4) = (p2)(9)

x1234 1 = 4
9
y4321 p2
x3 1 8 27 64
x3y 4 24 54 64 ( ) 4 2 16
Tidak kerana x3y bukan satu pemalar. p= 9 81
No because x3y is not a constant. =

(c) (32)(p) = (62)(54)
p = 216

(b) √x (d) (13)(32) = (p3)(4)
p3 = 8

x 1 64 4 096 p = 3√8
=2
3√y 8 4 2

√x 1 8 64 (e) 3√27 × 4 = 3√125(p)

y 512 64 8 12 = 5p

√xy 512 512 512 p = 12
5
Ya kerana √xy adalah satu pemalar.
Yes because √xy is a constant.

J5

Matematik Tingkatan 5 Jawapan

8 (a) (i) f ∝ 1 2 (a) x 1 2 4 8
λ
y 3 6 9 12
(ii) f

z 1 2 16 16
3

x2 1 4 16 64

1 yz
λ x2 3 3 3 3

O Ya kerana yz adalah satu pemalar.
x2
(b) I ∝ 1 yz
R Yes because x2 is a constant.
CONTOH
IR = k (b) x 2 3 4

(5)(20) = k

k = 100 y 846 128 27

I = 100 z 72 32 18
R

Apabila R = 25 Ω, / When R = 25 Ω, x3 8 27 64

I = 100 yx3 94 108 96
25 z

= 4 A 1 Tidak kerana yx3 bukan satu pemalar.
√s z
(c) t ∝ yx3
z
t(√s ) = k No because is not a constant.

( ) 30 (√4 ) = k (c) w 10 15 30 40
60 x 1 4 9 16
y 3 6 9 12
k = 1 z 10 15 30 40
1
∴ t = √s √x 1 2 3 4
yw
Apabila s = 16 km j−1 / When s = 16 km h−1, z√x 3 3 3 3
1
t = √16

= 1 jam/ hour
4

= 15 minit/ minutes Ya kerana yw adalah satu pemalar.
z√x
(d) (i) p ∝ 1 → p = k Yes because yw is a constant.
3√q 3√q z√x

12 = k 3 (a) yx =k
3√64 z2
k = 48
∴ p = 48 5×2
3√q 102 = k

(ii) x = 48 k = 1
3√8 10

= 24 ∴ y = z2
10x

1.3 Ubahan Bergabung (b) yx3 = k
√z
Combined Variation

1 (a) v ∝ h 100 × 53 = k
k2 √25
k = 2 500
(b) a ∝ bc
√d 2 500√z
∴ y = x3

J6

CONTOH