Matematik Tambahan Tingkatan 5

Kandungan

Jadual Taburan Normal................................................................................................................ i
Rekod Pentaksiran Murid....................................................................................................... ii

Bab 1 Sukatan Membulat Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan

Circular Measure Permutation and Combination

1.1 RRaaddiiaann.............................................................................. 1 4.1 PPeilrimh uAtattuiro..n....................................................................46
4.2 CGoambubinngaatnio..n....................................................................50
Panjang Lengkok Suatu Bulatan........................ 1
Praktis ke Arah SPM .............................................................52
Arc Length of a Circle
1.2 CONTOH

1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan.................................... 5

Area of Sector of a Circle

1.4 Aplikasi Sukatan Membulat.................................. 8 Bab 5 Taburan Kebarangkalian

Application of Circular Measures Probability Distribution

Praktis ke Arah SPM ............................................................... 9

5.1 Pemboleh Ubah Rawak.........................................54

Bab 2 Pembezaan Random Variable

Differentiation 5.2 Taburan Binomial.......................................................58

Had dan Hubungannya Binomial Distribution

2.1 dengan Pembezaan..................................................12 5.3 Taburan Normal.......................................................65
Limit and its Relation to Differentiation
Normal Distribution

Pembezaan Peringkat Pertama.........................14 Praktis ke Arah SPM .............................................................74

2.2 The First Derivative

2.3 Pembezaan Peringkat Kedua..............................18 Bab 6 Fungsi Trigonometri

The Second Derivative Trigonometric Functions

2.4 Aplikasi Pembezaan................................................19 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif.......................77

Application of Differentiation Positive Angles and Negative Angles

Praktis ke Arah SPM .............................................................26 Nisbah Trigonometri bagi

6.2 Sebarang Sudut..........................................................78

Bab 3 Pengamiran Trigonometric Ratios of any Angle

Integration 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus

Pengamiran sebagai Songsangan dan Tangen..................................................................81

3.1 Pembezaan...................................................................29 Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions
Integration as the Inverse of Differentiation
6.4 Identiti Asas................................................................85
Kamiran Tak Tentu.................................................29
Basic Identities
Indefinite Integral
3.2 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan
Sudut Berganda.........................................86
Kamiran Tentu...........................................................33 Rumus

3.3 Definite Integral Addition Formulae and Double Angle Formulae

3.4 Aplikasi Pengamiran..............................................41 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri............................89

Application of Integration Application of Trigonometric Functions

Praktis ke Arah SPM .............................................................43 Praktis ke Arah SPM .............................................................92

Bab 7 Pengaturcaraan Linear Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

Linear Programming Kinematics of Linear Motion

7.1 Model Pengaturcaraan Linear...........................96 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan

Linear Programming Model sebagai Fungsi Masa............................................ 107

7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear.................... 100 Displacement, Velocity and Acceleration as a
Function of Time
Application of Linear Programming
Pembezaan dalam Kinematik
Praktis ke Arah SPM .......................................................... 104 8.2
Gerakan Linear....................................................... 110

Differentiation in Kinematics of Linear Motion

8.3 Pengamiran dalam Kinematik

Gerakan Linear....................................................... 115

Integration in Kinematics of Linear Motion

8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear............ 118

Application of Kinematics of Linear Motion

Praktis ke Arah SPM .......................................................... 121

CONTOH
Kertas Model SPM.................................... 123

Format Instrumen SPM
Matematik Tambahan (3472)

Bil. Perkara Kertas 1 (3472/1) Kertas 2 (3472/2)

1 Jenis Instrumen Ujian Bertulis

2 Jenis Item • Subjektif Respons Terhad
• Subjektif Respons Terhad Berstruktur

Bahagian A: Bahagian A:
12 soalan (64 markah) 7 soalan (50 markah)
(Jawab semua soalan) (Jawab semua soalan)
3 Bilangan Soalan
Bahagian B: Bahagian B:
3 soalan (16 markah) 4 soalan (30 markah)
(Jawab dua soalan) (Jawab tiga soalan)

Bahagian C
4 soalan (20 markah)
(Jawab dua soalan)

4 Jumlah Markah 80 markah 100 markah

• Mengingat dan Memahami • Mengingat dan Memahami
• Mengaplikasi
• Mengaplikasi • Menganalisis
• Menilai
5 Konstruk • Menganalisis • Mencipta

• Menilai

• Mencipta

6 Tempoh Ujian 2 jam 2 jam 30 minit

7 Cakupan Konstruk Standard kandungan dan standard pembelajaran dalam
8 Aras Kesukaran Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) KSSM

(Tingkatan 4 dan Tingkatan 5)

Rendah : Sederhana : Tinggi
5:3:2

9 Kaedah Penskoran Analitik

10 Alatan Tambahan Kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram

JADUAL TABURAN NORMAL

KEBARANGKALIAN HUJUNG ATAS Q(z) BAGI TABURAN NORMAL N(0, 1)
THE UPPER TAIL PROBABILITY Q(z) FOR THE NORMAL DISTRIBUTION N(0, 1)

123456789

z0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tolak/ Minus

0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 4 8 12 16 20 24 28 32 36

0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 4 8 12 16 20 24 28 32 36

0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 4 8 12 15 19 23 27 31 35

0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 4 7 11 15 19 22 26 30 34

0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 4 7 11 14 18 22 25 29 32

0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 3 7 10 14 17 20 24 27 31

0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 3 7 10 13 16 19 23 26 29
CONTOH
0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 3 6 9 12 15 18 21 24 27

0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 3 5 8 11 14 16 19 22 25

0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 3 5 8 10 13 15 18 20 23

1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 2 5 7 9 12 14 16 19 21

1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 2 4 6 8 10 12 14 16 18

1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 2 4 6 7 9 11 13 15 17

1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 2 3 5 6 8 10 11 13 14

1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1 3 4 6 7 8 10 11 13

1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1 2 4 5 6 7 8 10 11

1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0486 0.0475 0.0465 0.0455 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1 2 3 4 4 5 6 7 8

1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1 1 2 3 4 4 5 6 6

1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 1 1 2 2 3 4 4 5 5

2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 0 1 1 2 2 3 3 4 4

2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 0 1 1 2 2 2 3 3 4

2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0 1 1 1 2 2 2 3 3

2.3 0.0107 0.0104 0.0102 011112222

0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 3 5 8 10 13 15 18 20 23

0.00889 0.00866 0.00842 2 5 7 9 12 14 16 18 21

2.4 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 2 4 6 8 11 13 15 17 19

0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639 2 4 6 7 9 11 13 15 17

2.5 0.00621 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.00480 2 3 5 6 8 9 11 12 14

2.6 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00379 0.00368 0.00357 1 2 3 5 6 7 8 9 10

2.7 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.00264 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2.8 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193 1 1 2 3 4 4 5 6 6

2.9 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139 0 1 1 2 2 3 3 4 4

3.0 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100 0 1 1 2 2 2 3 3 4

(z)( )f= 1 exp – 1 z2 f (z) Contoh/ Example:
2 Q(k) Jika X ~ N(0, 1), maka P(X > k) = Q(k)
AB2πB If X ~ N(0, 1), then P(X > k) = Q(k)

Q(z) = ∫ f (z) dz z

0k

i

Rekod Pentaksiran Murid
Matematik Tambahan
Tingkatan 5 KSSM

Bab TP Tafsiran Menguasai Tandatangan
()/ Guru & Tarikh
Belum

Menguasai
()

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang sukatan membulat.

2 Mempamerkan kefahaman tentang sukatan membulat.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sukatan membulat untuk melaksanakan
tugasan mudah.
CONTOH
1 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan
membulat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan
membulat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan
6 membulat dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pembezaan.

2 Mempamerkan kefahaman tentang pembezaan.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pembezaan untuk melaksanakan tugasan
mudah.

2 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan
5 dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pengamiran.

2 Mempamerkan kefahaman tentang pengamiran.

Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan
3 mudah.

3 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengamiran
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengamiran
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengamiran
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pilih atur dan gabungan.

2 Mempamerkan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan untuk melaksanakan
tugasan mudah.

4 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pilih atur dan
gabungan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pilih atur dan
5 gabungan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pilih atur dan
gabungan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

ii

Bab TP Tafsiran Menguasai Tandatangan
()/ Guru & Tarikh
Belum

Menguasai
()

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pemboleh ubah rawak.

2 Mempamerkan kefahaman tentang taburan kebarangkalian.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang taburan kebarangkalian untuk melaksanakan
tugasan mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan
4 kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan
kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan
kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi trigonometri.
CONTOH
2 Mempamerkan kefahaman tentang fungsi trigonometri.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan
tugasan mudah.

6 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi
trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi
trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi
6 trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang model pengaturcaraan linear.

2 Mempamerkan kefahaman tentang model pengaturcaraan linear.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang model pengaturcaraan linear untuk
melaksanakan tugasan mudah.

7 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengaturcaraan
linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengaturcaraan
5 linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengaturcaraan
linear dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang sesaran, halaju dan pecutan.

2 Mempamerkan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan.

Mengaplikasikan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan untuk
3 melaksanakan tugasan mudah.

8 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kinematik
gerakan linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kinematik
gerakan linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kinematik
gerakan linear dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

iii

Bab 1 Sukatan Membulat

Circular Measure

MODUL PBD Praktis DSKP

1.1 Radian Buku Teks m/s 2 – 4 Info
Radian Digital 1.1

1 Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. SP: 1.1.1 TP1 TP2 Mudah
Convert each of the following angles into degrees.

Contoh 2π
3
1.025 rad (a) 3.385 rad (b) rad (c) 5.175 rad

180° = 3.385 × 180° 60 = 5.175 × 180°
π π π
= 1.025 × =123π × 180°
π
= 193.92° = 296.47°
CONTOH= 58.72° = 120°
π = 3.142

Tips Bestari

π rad = 180° ⇔ 1 rad = 180°
π



2 Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian. SP: 1.1.1 TP1 TP2 Mudah
Convert each of the following angles into radians.

Contoh (a) 15° (b) 60° (c) 170°

230° = 230° × π = 15° × π = 60° × π = 170° × π
180° 180° 180° 180°

= 4.0148 rad = 0.2618 rad = 1.0473 rad = 2.9674 rad

Tips Bestari

180° = π rad ⇔ 1° = π rad
180°

1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan Buku Teks m/s 5 – 11 Info
Arc Length of a Circle Digital 1.2

1 Cari panjang lengkok AB bagi setiap sektor yang berikut. [Guna π = 3.142] SP: 1.2.1 (i) TP2 TP3 Mudah
Find the length of arc AB for each of the following sectors. [Use π = 3.142] B

Contoh (a)

A

A

6 cm

23° B 8 cm 64°
O O

AB = 2πj × θ Pastikan nilai θ adalah dalam darjah. AB = 2(3.142)(8) × 64°
360° 360°
Make sure the value of θ is in degrees.

= 2(3.142)(6) × 23° = 8.937 cm
360°

= 2.409 cm

1

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 (b) A

Contoh

5.4985 rad

O B 1.484 rad B
11 cm O 9 cm

A AB = 9(1.484 rad)
= 13.356 cm
AB = jθ Pastikan nilai θ adalah dalam radian.
= 11(5.4985 rad)
= 60.484 cm Make sure the value of θ is in radians.

CONTOH
2 Cari jejari, r, bagi setiap sektor yang berikut. [Guna π = 3.142 jika perlu] SP: 1.2.1 (ii) TP3
Find the radius, r, for each of the following sectors. [Use π = 3.142 if needed]
Sederhana

Contoh (a) (b) B

25 cm O
r 40°
B 40 cm A

5.25 rad A 7 cm
Or
Ar
1.047 rad B

O

25 = r(1.047 rad) 40 = r(5.25 rad) 7 = 2(3.142)(r) × 40°
360°
25 40
r = 1.047 r = 5.25 r = 7(360°)
40°(2)(3.142)

= 23.88 cm = 7.62 cm = 10.025 cm

3 Cari nilai sudut θ bagi setiap sektor yang berikut. [Guna π = 3.142 jika perlu] SP: 1.2.1 (iii) TP3 Sederhana
A
Find the value of angle θ for each of the following sectors. [Use π = 3.142 if needed] 13 cm
θO
Contoh (a) 8 cm B (b)

12 cm A O

θ

Oθ 9 cm 11 cm 10 cm

B AB

[θ dalam radian/ in radians] [θ dalam radian/ in radians] [θ dalam darjah/ in degrees]

9 = 12θ 11 = 8θ 10 = 2(3.142)(13) ×θ
360°
θ = 9 θ = 11
12 8
θ = 10(360°)
= 0.75 rad = 1.375 rad 2(3.142)(13)

= 44.068°

2

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1

4 Rajah menunjukkan satu sektor OAB dengan pusat O. Cari perimeter tembereng berlorek bagi setiap yang berikut.

[Guna π = 3.142] SP: 1.2.2 TP4

The diagram shows a sector OAB with centre O. Find the perimeter of the shaded segment for each of the following.

[Use π = 3.142] Sederhana

Contoh

(a)

BA
B

A

0.6109 rad 21 cm
5 cm 20°

O

180° O
3.142
0.6109 rad = 0.6109 ×

= 34.997° 20° = 20° × π
180°
Perimeter
CONTOH = 0.3491 rad
= Lengkok AB + Perentas AB

Arc AB + Chord AB 20°
2
= 5(0.6109) + √52 + 52 ‒ 2(5)(5) kos/cos 34.997° Perimeter = 21(0.3491) + 2(21) sin

= 3.0545 + √9.0411 Kaedah alternatif bagi perentas AB: = 7.3313 + 7.2932
= 3.0545 + 3.0068
Alternative method for chord AB: = 14.62 cm
= 6.0613 cm
1 AB
sin ∠AOB = 2
2
r

1 AB = r sin ∠AOB
2 2

AB = 2r sin ∠AOB
2

= 2(5) sin 34.997°
2

= 3.0068 cm

(b) O 40 cm B (c) O

0.5237 rad 87°
15 cm

AB
A

0.5237 rad = 0.5237 × 180° 87° = 87° × π
π 180°

= 30° = 1.5186 rad

Perimeter = 40(0.5237) + 2(40) sin 30° Perimeter = 15(1.5186) + 2(15) sin 87°
2 2
= 20.948 + 20.7068
= 22.7795 + 20.6506
= 41.65 cm
= 43.43 cm

3

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1

5 Selesaikan setiap masalah yang berikut. [Guna π = 3.142] SP: 1.2.3 TP5 Sukar
Solve each of the following problems. [Use π = 3.142]

Contoh (a) Rajah menunjukkan satu rim tayar kereta dengan

Rajah menunjukkan sebuah jam analog dengan diameter 22 cm.
jarum minit sepanjang 17 cm. The diagram shows the rim of a car tyre with a diameter
The diagram shows an analogue clock with a minute of 22 cm.
hand of 17 cm.

Hitung panjang, dalam cm, lengkok minor antara Cari panjang, dalam cm, lengkok bagi tiga sektor

nombor 3 dan nombor 5. rim tayar kereta itu.
Calculate the length, in cm, of the minor arc between Find the length, in cm, of the arc for three sectors of the
number 3 and number 5. rim of the car tyre.
CONTOH
Sudut lengkok minor antara 3 dan 5: Sudut bagi tiga sektor rim tayar:
Angle of minor arc between 3 and 5: The angle for three sectors of the rim of tyre:

1 2π × 21 = 3.142 × 1 2π × 3 = 2(3.142) × 3
12 3 5 5
36
= 1.0473 rad = 3.7704 rad

Panjang lengkok minor/ Length of minor arc: Panjang lengkok/ Length of arc:
s = 17 × 1.0473 rad
22 × 3.7704 rad = 11 × 3.7704
= 17.8 cm 2

= 41.47 cm

(b) Rajah menunjukkan sebuah bekas makanan berbentuk bulat dengan jejari 7 cm. Bekas makanan itu dibahagi
kepada dua tembereng.
The diagram shows a circular food container with a radius of 7 cm. The food container is divided into two segments.

14. 6 65 cm Jazilah mengisikan bahagian tembereng major dengan pasta dan sos pasta di

bahagian tembereng minor. Cari perimeter tembereng yang diisikan dengan

pasta.
Jazilah fills the major segment section with pasta and the pasta sauce in the minor
segment section. Find the perimeter of the segment which is filled with pasta.

θmin = 2π – θmaj Panjang perentas/ Length of chord:

7θmin = 14.665 2(7) sin 120.02° = 2(7)(0.8661)
7(2π – θmaj) = 14.665 2
2(3.142) – θmaj = 2.095 = 12.125 cm

θmaj = 6.284 – 2.095 Perimeter tembereng major:
= 4.189 rad Perimeter of major segment:

θmin = 2.095 × 180° 12.125 + 7(4.189) = 12.125 + 29.323
3.142
= 41.448 cm

= 120.02°

4

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1

1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan Buku Teks m/s 12 – 19 Info
Area of Sector of a Circle Digital 1.3

1 Cari luas bagi setiap sektor yang berlorek berikut. SP: 1.3.1 (i) TP3 Mudah
Find the area for each of the following shaded sectors.

Contoh (a) A

A 12 cm B
2.793 rad 95°
O 13 cm B
O

1 1 3.142
2 2 180°
Pastikan unit θ adalah dalam radian. ( )
Luas/ Area = r 2θ Luas/ Area = × 122 × 95° ×
Ensure that the unit of θ is in radians.

= 1 × 132 × 2.793 rad = 1 × 122 × 1.6583 rad
CONTOH 2 2

= 236 cm2 = 119.4 cm2

(b) A B (c) A

15 cm 4 cm 0.4364 rad

OB

302°

1 3.142
2 180°
[ ]
Luas/ Area = × 152 × (360° – 302°) × Luas/ Area = 1 × 42 × (6.284 – 0.4364) rad
2
1 3.142
2 180°
( )=
× 152 × 58° × = 1 × 42 × 5.8476 rad
2
1
= 2 × 152 × 1.0124 rad = 46.78 cm2

= 113.9 cm2

2 Cari jejari, r, dalam cm, bagi setiap sektor yang berikut dengan luas, L, yang diberi. SP: 1.3.1 (ii) TP3
Find the radius, r, in cm, for each of the following sectors with the given area, L.
Mudah

Contoh (a) (b) O

A

5.680 rad 45° B
A rO r
1.206 rad B
B Or A

[L = 556.64 cm2] [L = 291.852 cm2] [L = 157.10 cm2]

L = 556.64 L = 291.852 L = 157.1
1 12 × r2 × 1.206 rad = 291.852
2 1 3.142
2 180°
× r2 × 5.68 rad = 556.64 ( )
× r2 × 45° × = 157.1
r2 = 196 r2 = 484
1
r = 14 cm r = 22 cm 2 × r2 × 0.7855 rad = 157.1

r2 = 400

r = 20 cm

5

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1

3 Cari nilai sudut θ, dalam radian, bagi setiap sektor yang berikut dengan luas, L, yang diberi. SP: 1.3.1 (iii) TP3
Find the angle θ, in radians, for each of the following sectors with the given area, L.
Mudah

Contoh (a) (b)

O 8 cm B

θ

A B θ
θ A
B
10 cm 5 cm O

O A

[L = 130.9 cm2] [L = 39.15 cm2] [L = 33.504 cm2]

L = 130.9 L = 39.15 L = 33.504
1 21 × 52 × θ = 39.15 12 × 82 × θ = 33.504
2 × 102 × θ = 130.9 θ = 3.132 rad θ = 1.047 rad

θ = 2.618 rad

CONTOH
4 Rajah menunjukkan sektor OABC dengan pusat O. Cari luas tembereng ABC yang berlorek bagi setiap yang berikut.

[Guna π = 3.142] SP: 1.3.2 TP4

The diagram shows sector OABC with centre O. Find the area of shaded segment ABC for each of the following. Sederhana
[Use π = 3.142]

Contoh C (a) B
C
B A
7 cm
60

A 11 cm 1 π rad × 180° = 60°
π rad 1 3 1π
3

O π rad
6
LABC = LOABC – LOAC
O

( ) ( ) =1 1 30
2 2
r 2θr – r2 sin θd 1 π rad × 180° = 30°
1 6 1π
1
= 2 r 2(θr – sin θd) LABC = LOABC – LOAC

= 1 × 112 × (1.0473 rad – sin 60°) = 1 × 72 × (0.5237 rad – sin 30°)
2 2

= 10.967 cm2 = 0.5807 cm2

(b) A (c) O
B
O 88°
0.7855 rad 6 cm

18 cm

AC

C B

0.7855 rad × 180° = 45° 88° × π = 1.5361 rad
π 180°

LABC = LOABC – LOAC LABC = LOABC – LOAC

= 1 × 182 × (0.7855 rad – sin 45°) = 1 × 62 × (1.5361 rad – sin 88°)
2 2

= 12.70 cm2 = 9.661 cm2

6

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1

5 Selesaikan setiap masalah yang berikut. [Guna π = 3.142] SP: 1.3.3 TP5 Sukar
Solve each of the following problems. [Use π = 3.142]

Contoh (a) Rajah menunjukkan corak bulatan pada jubin

Rajah menunjukkan sebuah bekas makanan bulat lantai.
yang dibahagi kepada dua sektor. Sektor yang
berlorek diisi dengan nasi. The diagram shows the circular pattern on some floor
The diagram shows a round food container which is tiles.
divided into two sectors. The shaded sector is filled with
rice.

0.768 rad

Diberi panjang lengkok minor ialah 4.608 cm dan Diberi diameter bulatan pada corak jubin itu ialah

tinggi bekas makanan itu ialah 5 cm. Hitung isi 15.24 cm. Cari jumlah luas, dalam cm2, bahagian

padu, dalam cm3, nasi yang boleh diisi ke dalam yang berwarna pada jubin lantai di atas.
Given the diameter of the circle on the pattern of the
bekas makanan itu. tiles is 15.24 cm. Find the total area, in cm2, of the
Given the length of the minor arc is 4.608 cm and the coloured section on the tiles above.
height of the food container is 5 cm. Calculate the
volume, in cm3, of rice which can be filled into the food
container.
CONTOH 90° = 90° × 3.142 R
2 180° Q
1

= 1.571 rad

Jejari bekas makanan/ Radius of the food container: Luas/ Area PQR: P
r(0.768 rad) = 4.608
r = 6 cm 1 15.24 2
2 2
( ) × × (1.571 rad – sin 90°)

Isi padu nasi/ Volume of rice: = 1 × (7.62)2 × (1.571 – 1)
2

1 r 2θ × h = 1 (62)(2π – 0.768 rad) × 5 = 16.577 cm2
2 2

= 1 18 – 0.768 rad] × 5 Jumlah luas/ Total area:
2 16.577× 2 × 16 = 530.5 cm2
1 (36)[2(3.142)

= 18(5.516) × 5

= 496.44 cm3

(b) Rajah menunjukkan piza berjejari 7.5 cm yang dibeli oleh Daleela.
The diagram shows a pizza with a radius of 7.5 cm which was bought by Daleela.

10.47 cm Daleela memakan sekeping piza dengan panjang lengkok 10.47 cm. Jika
ketebalan piza itu ialah 0.5 cm, cari isi padu, dalam cm3, piza yang tinggal.

Daleela ate a slice of pizza with an arc length of 10.47 cm. If the thickness of the pizza

is 0.5 cm, find the volume, in cm3, of the remaining pizza.

θmin = 2π – θmaj Isi padu piza yang tinggal:
The volume of the remaining pizza:

7.5θmin = 10.47 1 × 7.52 × 4.888 rad × 0.5 = 68.74 cm3
θθmmaajj 2
2(3.142) – = 1.396
= 6.284
– 1.396

= 4.888 rad

7

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1

1.4 Aplikasi Sukatan Membuat Buku Teks m/s 12 – 19 Info
Application of Circular Measures Digital 1.4

Selesaikan setiap masalah berikut yang melibatkan sukatan membulat. SP: 1.4.1 TP5 TP6 Sukar Soalan
Solve each of the following problems involving circular measures. KBAT Ekstra

Contoh

Rajah menunjukkan sebuah bekas yang diisi penuh (a) Rajah menunjukkan kotak bento bulat yang
dibahagikan kepada tiga sektor. O ialah pusat kotak
dengan air. bento.
The diagram shows a container which is fully filled with The diagram shows a round bento box which is partitioned
water. into three sectors. O is the centre of the bento box.

22 cm A
θ
B
15 cm

14 cm O 5.25π cm

CONTOHDiberi kapasiti bekas itu ialah 907.5π cm3. Cari C
Given the capacity of the container is 907.5π cm3. Find
(i) nilai θ, dalam radian, Diberi AC = 14 cm dan panjang lengkok BC = 5.25π cm.
the value of θ, in radians, Given AC = 14 cm and the length of arc BC = 5.25π cm.
Cari/ Find
(ii) perimeter, dalam cm, keseluruhan bekas.
the perimeter, in cm, of the whole container. (i) ∠BOC dalam sebutan π,
∠BOC in terms of π,
[ Guna/ Use π = 3.142]
(ii) isi padu, dalam cm3, sektor AOB dalam sebutan π
(i) Isi padu/ Volume = 907.5π
jika tinggi kotak itu ialah 6 cm.
21 × 222 × θ × 15 = 907.5(3.142) the volume, in cm3, of sector AOB in terms of π if the
height of the box is 6 cm.

θ = 907.5(3.142) × 2 (i) 124 × ∠BOC = 5.25π
222 × 15 ∠BOC = 0.75π

= 0.7855 rad

(ii) Panjang lengkok/ Length of arc, s = 22 × 0.7855 (ii) ∠AOB = π – 0.75π

= 17.281 cm = 0.25π

Perimeter = 2(22 + 22 + 17.281) + 3(15) Isi padu/ Volume:

= 2(61.281) + 45 1 × 72 × 0.25π × 6 = 36.75π cm3
2
= 167.562 cm

(b) Rajah menunjukkan sebuah kolam renang yang berbentuk trapezium dibahagikan kepada bahagian orang

dewasa dan bahagian kanak-kanak. Kolam renang kanak-kanak adalah satu sektor bulatan.
The diagram shows a trapezoidal swimming pool is divided into the adult section and children section. The children
swimming pool is a sector of a circle.

Diberi luas keseluruhan kolam renang itu ialah 285 m2, cari

Given the area of the whole swimming pool is 285 m2, find

13.9 m DAe wdualtsa Ka nak-k anak 17 m (i) tluheasa,rdeaa,lainmmm2,2o, bf athheagadiaunlt orang dewasa,
section,

Child ren (ii) perimeter, dalam m, kolam renang bahagian orang dewasa.

55° the perimeter, in m, of the adult section of the swimming pool.

30 m [Guna/ Use π = 3.142]

1 55° × 3.142
2 180°
( )(i) Luas/ Area = 285 –
× 172 × (ii) Perimeter: 55° × 3.142
180°
( ) +
= 285 – 138.728 13.9 + (30 – 17) + 17 ×
= 146.272 cm2
(30 – 17 kos/ cos 55°)

= 13.9 + 13 + 16.32 + 20.25

= 63.47 m

8

MODUL PP Praktis ke Arah Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1

SPM

Kertas 1

Jawab semua soalan./ Answer all questions.

Bahagian A / Section A

1 Rajah 1 menunjukkan sebuah semibulatan yang 2 Rajah 2 menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat
berpusat O melingkungi sebuah bulatan yang O.
berpusat P. Diagram 2 shows a circle with centre O.
Diagram 1 shows a semicircle with centre O encloses a
circle with centre P. Oθ P
Q
P

CONTOHAOB Rajah 2/ Diagram 2

Rajah 1/ Diagram 1 Panjang lengkok kawasan berlorek ialah 78.55 cm
dan ialah lima kali panjang lengkok minor PQ.
Diberi diameter bulatan ialah 32 cm. Cari The length of arc of the shaded region is 78.55 cm and is
Given the diameter of the circle is 32 cm. Find five times the length of the minor arc PQ.
[Guna/ Use π = 3.142]
(a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, (a) Cari/ Find
the perimeter, in cm, of the shaded region,
[Guna/ Use π = 3.142] (i ) jejari, dalam cm, bulatan,
[3 markah/ marks] the radius, in cm, of the circle,

(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek dalam (ii ) nilai θ, dalam radian.
sebutan π.
the area, in cm2, of the shaded region in terms of π. the value of θ, in radians.
[2 markah/ marks] [3 markah/ marks]

Jawapan/ Answer: (b) Hitung perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.
Calculate the perimeter, in cm, of the shaded region.
(a) Lilitan bulatan/ Circumference of circle: [2 markah/ marks]

2πj = 1 × 3.142 × 32 Jawapan/ Answer:
21 (a) (i) θmaj = 2π – θmin
2

= 100.544 cm

Perimeter semibulatan/ Perimeter of semicircle: rθ min = 78.55
2(32) + πj = 64 + 3.142(32) 5

= 64 + 100.544 = 15.71 cm
= 164.544 cm
rθmaj = 78.55
Perimeter kawasan berlorek: r(2π – θmin) = 78.55
Perimeter of shaded region: 2rπ – rθmin = 78.55

100.544 + 164.544 = 265.088 cm 2rπ – 15.71 = 78.55

(b) Luas semibulatan/ Area of semicircle: r = 78.55 + 15.71
2(3.142)
1
2 × 322 × π = 512π cm2 = 15 cm

Luas bulatan/ Area of circle: (ii) (15)θmin = 15.71
162 × π = 256π cm2 θmin = 1.0473 rad

Luas kawasan berlorek: (b) Perimeter: 1.0473 × 180°
Area of shaded region: 2 × 3.142
( )78.55 + 2(15) sin
512π – 256π = 256π cm2

= 78.55 + 30 sin(29.99°)

= 78.55 + 14.996

= 93.55 cm

9

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1

Kertas 2

Jawab semua soalan./ Answer all questions.

Bahagian B / Section B

1 Rajah 1 menunjukkan tiga buah bulatan yang serupa masing-masing dengan pusat O, P dan Q bertindih antara satu

sama lain.
Diagram 1 shows three similar circles with centres O, P and Q respectively, overlapping with each other.

Diberi OP = OQ dan RS = 43.3 cm. Cari [3 markah/ marks]
R Given OP = OQ and RS = 43.3 cm. Find [3 markah/ marks]
[4 markah/ marks]
[Guna/ Use π = 3.142]
(a) jejari, dalam cm, bulatan itu,
P O Q the radius, in cm, of the circles,

(b) perimeter, dalam cm, kawasan yang berlorek,
S the perimeter, in cm, of the shaded region,

(c) luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek,
the area, in cm2 , of the shaded region,
CONTOHRajah 1/ Diagram 1

Jawapan/ Answer:

(a) PQ = QR = PR (b) Panjang lengkok/ Length of arc RPS:
⇒ ∠RPQ = ∠PQR = ∠QRP = 60°
25 × 120° × 3.142 = 25 × 2.0947 rad
180°

RS = 43.3 = 52.367 cm

2 r sin 60° = 43.3 Lilitan bulatan/ Circumference of circle:
2(3.142) × 25 = 157.1 cm
r = 2 43.3
sin 60°

= 25 cm Perimeter: 157.1 + 2(52.367) = 157.1 + 104.734
= 261.834 cm

(c) Luas tembereng/ Area of segment PROS:

1 × 252 × (2.0947 rad – sin 120°) = 1 × 252 × 1.2287
2 2

= 383.96 cm2

Luas kawasan berlorek/ Area of shaded region:
3.142(252) – 2(383.96) = 1 963.75 – 767.922

= 1 195.828 cm2

2 Rajah 2 menunjukkan dua buah bulatan yang berlainan saiz dan bersentuhan pada satu titik. O ialah pusat bagi
bulatan besar.

Diagram 2 shows two circles of different sizes and are in contact at one point. O is the centre of the big circle.

Diberi luas kawasan berlorek ialah 60.75π cm2.
Given the area of the shaded region is 60.75π cm2.
(a) Cari diameter, dalam cm, bagi bulatan besar.
Find the diamete r, in cm, of the big circle.
O [3 markah/ marks]

Rajah 2/ Diagram 2

10