นางสาวศิริยากร อินภูวา รหัสนักศึกษา 65040140129 สาขาวิชา คณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี จัดทำ โดย ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1
จำ นวนเต็ม
คำ นำ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง จำ นวนเต็ม ฉบับนี้จัดทำ ขึ้นเพื่อใช้ ประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เพื่อให้ได้ศึกษาหาความรู้ในเรื่อง จำ นวนเต็ม และได้ศึกษาอย่างเข้าใจ เพื่อเป็นประโยชน์กับการเรียน ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า หนังสืออิเล็กทรอนิกส์เล่มนี้จะเป็น ประโยชน์ต่อผู้อ่านหรือนักเรียนที่กำ ลังหาข้อมูลในเรื่องนี้อยู่ หากมี ข้อผิดพลาดประการใด ผู้จัดทำ ขอน้อมรับไว้และขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย จัดทำ โดย นางสาวศิริยากร อินภูวา จำ นวนเต็ม ก.
จำ นวนเต็ม
สารบัญ เรื่อง จำ นวนเต็ม ข. หน้า คำ นำ สารบัญ จำ นวนเต็ม คืออะไร? เส้นจำ นวน การเปรียบเทียบจำ นวนเต็ม ค่าสัมบูรณ์ของจำ นวนเต็ม จำ นวนตรงข้าม การบวก ลบ คูณ หาร จำ นวนเต็ม สมบัติของจำ นวนเต็ม แบบฝึกหัด อ้างอิง ประวัติผู้จัดทำ ก. ข. 1-2 3 4 5-10 11-13 14 ค. ง.
จำ นวนเต็ม
จำ นวนเต็ม คืออะไร? “จำ นวนเต็ม” เป็นจำ นวนที่ไม่มีทั้งเศษส่วนและทศนิยมเป็นส่วนประกอบ มี 3 ชนิดด้วยกัน คือ จำ นวนเต็มศูนย์ ได้แก่ 0 จำ นวนเต็มบวก ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5,… จำ นวนเต็มลบ ได้แก่ …,-5, -4, -3, -2, -1 จำ นวนเต็มบวก “จำ นวนเต็มบวก” หรือเรียกอีกอย่างว่า “จำ นวนนับ” ก็คือ จำ นวนเต็ม ที่มีค่ามากกว่า 0 ขึ้นไป ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5,… นับไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด และบอกไม่ได้ด้วย ว่าจำ นวนนับตัวสุดท้ายคืออะไร จำ นวนเต็มลบ “จำ นวนเต็มลบ” หรือ “เลขติดลบ” เป็นจำ นวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือจำ นวนที่เป็นตัวเลขด้านซ้ายมือของศูนย์บนเส้นจำ นวนนั่นเอง จำ นวนเต็ม 1.
จำ นวนเต็ม คืออะไร? จำ นวนเต็มศูนย์ 0 ไม่ใช่จำ นวนนับ เพราะเมื่อเรานับจำ นวนอะไรก็ตามเราไม่ได้เริ่มนับ จาก 0 และเราไม่นิยมพูดว่า เรามีปากกา 0 ด้าม ศูนย์อาจจะมีความหมายว่า “ไม่มี” เช่น ไม่มีดินสอ ไม่มีคน เป็นต้น หรือศูนย์ไม่ได้แทนความไม่มีก็ได้ อธิบายได้ง่ายๆจากอุณหภูมิ อุณหภูมิที่ 0 องศาเซลเซียส ไม่ได้แปลว่าไม่มีอุณหภูมิ หรือไม่ได้ “จำ นวนเต็มศูนย์” ก็คือ 0 นั่นเอง น้องๆต้องจำ ไว้ว่า แปลว่าไม่ร้อนไม่หนาว เพราะเราเกิดความรู้สึกในขณะที่อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียนได้ จำ นวนธรรมชาติ เมื่อเรียนเรื่องจำ นวนเต็ม ทุกคนอาจจะได้ยินคำ ว่า “จำ นวนธรรมชาติ” จำ นวนธรรมชาติในทางคณิตศาสตร์ จะหมายถึง “จำ นวนเต็มบวก” หรือ “จำ นวนนับ” ได้แก่ 1, 2, 3, 4,… ส่วนทางตรรกศาสตร์และเซต จะหมายถึง “จำ นวนเต็มไม่เป็นลบ” ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4,… จำ นวนเต็ม 2.
เส้นจำ นวน คืออะไร? “เส้นจำ นวน” (Number Line) เป็นเส้นตรงที่ถูกลากขึ้นมาเส้นหนึ่ง แล้ว ให้จุดหนึ่งบนเส้นนั้นแทนด้วยศูนย์โดยกำ หนดให้จุดที่ห่างออกไป ทางซ้ายมือของศูนย์เป็นตัวแทนของจำ นวนเต็มลบ โดยแต่ละจุดห่างออกไปช่องละหนึ่งหน่วยเท่าๆกัน และจำ นวนเต็มลบที่ ถัดจากศูนย์จะเริ่มจาก -1, -2, -3 ในทางกลับกัน จุดทางด้านขวามือของศูนย์ที่ห่างออกไปเป็นช่องยาวหนึ่ง หน่วยเท่าๆกัน จะเป็นตัวแทนของจำ นวนเต็มบวก โดยเริ่มจาก 1, 2, 3,… และต้องจำ ไว้ว่าบนเส้นจำ นวนใดๆ จำ นวนที่อยู่ทางขวาจะมากกว่าจำ นวน ที่อยู่ทางซ้ายเสมอ จำ นวนหนึ่งมากกว่าจำ นวนหนึ่ง จำ นวนหนึ่งน้อยกว่าอีกจำ นวนหนึ่ง หรือ จำ นวนทั้งสองเท่ากัน เมื่อเรานำ จำ นวนเต็มสองจำ นวนมาเปรียบเทียบกัน ผลลัพธ์ที่ได้อยู่ใน สามรูปแบบนี้ เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ได้แก่ ซึ่งจากหลักการข้างต้น น้องๆ สามารถแทนค่าได้ดังนี้ ถ้า a, b, c เป็นจำ นวนธรรมชาติใดๆ แล้ว a – b = c แล้ว a > b a – b = -c แล้ว b > a หรือ a < b a – b = 0 แล้ว a = b การเปรียบเทียบจำ นวนเต็ม จำ นวนเต็ม 3.
เราสามารถอธิบายง่ายว่า “จำ นวนตรงข้าม” หรือในภาษาอังกฤษใช้คำ ว่า Opposite Number ก็คือ จำ นวนสองจำ นวนที่อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะเท่า กันมันจะเป็นจำ นวนตรงข้ามกัน และผลบวกของจำ นวนเต็มที่ตรงข้ามกัน จะเท่ากับ 0 เช่น (-2) ตรงข้ามกับ 2 ดังนั้น (-2) + 2 = 0 ค่าสัมบูรณ์ของจำ นวนเต็ม “ค่าสัมบูรณ์” (Absolute Value) ของจำ นวนเต็มใดๆ ก็หมายถึง ระยะ ห่างระหว่างจำ นวนเต็มนั้นกับ 0 บนเส้นจำ นวน ไม่ว่าจำ นวนนั้นจะห่างจาก ศูนย์ไปทางซ้ายหรือทางขวา ดังนั้นค่าสัมบูรณ์จึงเป็นได้แค่ศูนย์หรือบวก เสมอ จะเป็นลบไม่ได้ มีสัญลักษณ์ คือ “| |” ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 เขียนในรูปสัญญลักษณ์ |3| = 3 ค่าสัมบูรณ์ของ -3 คือ 3 เขียนในรูปสัญญลักษณ์ |-3| = 3 ตัวอย่าง จำ นวนตรงข้าม จำ นวนเต็ม 4.
การ บวก ลบ คูณ หาร จำ นวนเต็ม การบวกจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มบวก : การบวกจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มบวก น้องๆต้องนำ เอาค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสองจำ นวนมาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำ นวนเต็มบวก เช่น หาผลบวกของ 5 + 8 = ? ค่าสัมบูรณ์ของ |5| = 5 ค่าสัมบูรณ์ของ |8| = 8 ดังนั้น ถ้าเรานำ ค่าสัมบูรณ์ของ 5 มาบวกกับค่าสัมบูรณ์ของ 8 แล้วตอบเป็นจำ นวนเต็มบวก เราจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 15 การบวกจำ นวนเต็มลบด้วยจำ นวนเต็มลบ : การบวกจำ นวนเต็มลบด้วยจำ นวนเต็มลบ น้องๆต้องนำ ค่าสัมบูรณ์ของทั้ง สองจำ นวนมาบวกกันแล้วตอบเป็นจำ นวนเต็มลบ เช่น หาผลบวกของ (-5) + (-8) = ? ค่าสัมบูรณ์ของ |-5| = 5 ค่าสัมบูรณ์ของ |-8| = 8 ดังนั้น ถ้าน้องๆนำ ค่าสัมบูรณ์ของ -5 มาบวกด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -8 แล้วตอบเป็นจำ นวนเต็มลบ เราจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ -13 จำ นวนเต็ม 5.
การ บวก ลบ คูณ หาร จำ นวนเต็ม การบวกจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มลบ มีสองรูปแบบ การบวกระหว่างจำ นวนเต็มบวกกับจำ นวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่า กัน 1. : เอาค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอบเป็น จำ นวนเต็มบวกหรือจำ นวนเต็มลบตามจำ นวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า เช่น หาผลบวกของ 7 + (-13) = ? ค่าสัมบูรณ์ของ |7| = 7 ค่าสัมบูรณ์ของ |-13| = 13 ดังนั้น เอาค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่า คือ 13 ลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่าคือ 7 ดังนั้นเราจะได้ผลลัพธ์เป็นจำ นวนเต็มลบ ตามค่าสัมบูรณ์ของ -13 คำ ตอบที่ได้จึงเป็น -6 จำ นวนเต็ม 6.
การ บวก ลบ คูณ หาร จำ นวนเต็ม การบวกจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มลบ มีสองรูปแบบ การบวกระหว่างจำ นวนเต็มบวกกับจำ นวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่า กัน 1. : เอาค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอบเป็น จำ นวนเต็มบวกหรือจำ นวนเต็มลบตามจำ นวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า เช่น หาผลบวกของ 7 + (-13) = ? ค่าสัมบูรณ์ของ |7| = 7 ค่าสัมบูรณ์ของ |-13| = 13 ดังนั้น เอาค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่า คือ 13 ลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่าคือ 7 ดังนั้นเราจะได้ผลลัพธ์เป็นจำ นวนเต็มลบ ตามค่าสัมบูรณ์ของ -13 คำ ตอบที่ได้จึงเป็น -6 2. การบวกระหว่างจำ นวนเต็มบวกกับจำ นวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน : ผลบวกที่ได้จะเท่ากับ 0 เสมอ เช่น หาผลบวกของ 3 + (-3) = ? ค่าสัมบูรณ์ของ 3 เท่ากับ 3 ค่าสัมบูรณ์ของ -3 เท่ากับ 3 ไม่ว่าเราจะเอาค่าสัมบูรณ์ของ 3 มาลบด้วยคาสัมบูรณ์ของ -3 หรือจะเอา ค่าสัมบูรณ์ของ -3 มาลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของ 3 ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับศูนย์ เหมือนกัน จำ นวนเต็ม 7.
การ บวก ลบ คูณ หาร จำ นวนเต็ม การบวกจำ นวนเต็มลบด้วยจำ นวนเต็มบวก : เราสามารถใช้หลักการเดียวกันกับการบวกจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มลบ ได้เลย เช่น หาผลบวกของ (-12) + 8 = ? ค่าสัมบูรณ์ของ -12 = 12 ค่าสัมบูรณ์ของ 8 = 8 ดังนั้น เมื่อ 12 – 8 = 4 คำ ตอบ = -4 (ตอบเป็นจำ นวนเต็มลบ ตามตัวที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า) การลบจำ นวนเต็ม การลบจำ นวนเต็ม มีหลักการง่ายมากๆ คือ ถ้าเราแทน A ด้วยจำ นวนใดๆ เราจะได้ A – B = A + (-B) เช่น หาผลลบของ -18 – 25 = ? -18 – 25 = (-18) + (-25) = (-43) หรือ หาผลลบของ -9 – (-18) = ? -9 -18 = (-9) + (18) = 9 จำ นวนเต็ม 8.
การ บวก ลบ คูณ หาร จำ นวนเต็ม การคูณจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มบวก การคูณจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มลบ การคูณจำ นวนเต็มลบด้วยจำ นวนเต็มบวก การคูณจำ นวนเต็มลบด้วยจำ นวนเต็มลบ : จำ นวนเต็มบวก x จำ นวนเต็มบวก = จำ นวนเต็มบวก เช่น 7 x 5 = 35 8 x 3 = 24 : จำ นวนเต็มบวก x จำ นวนเต็มลบ = จำ นวนเต็มลบ เช่น 9 x (-5) = – (9 x 5) = – 45 : จำ นวนเต็มลบ x จำ นวนเต็มบวก = จำ นวนเต็มลบ เช่น (-5) x 6. = – (5 x 6) = – 30 : จำ นวนเต็มลบ x จำ นวนเต็มลบ = จำ นวนเต็มบวก เช่น (-7) x (-4) = 28 การคูณจำ นวนเต็ม จำ นวนเต็ม 9.
การหารจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มบวก การหารจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มลบ การหารจำ นวนเต็มลบด้วยจำ นวนเต็มบวก การหารจำ นวนเต็มลบด้วยจำ นวนเต็มลบ : ตัวตั้งและตัวหารเป็นจำ นวนเต็มบวกทั้งคู่ ผลหารจะเป็นจำ นวนเต็มบวก เช่น 24 ÷ 3 = 8 : ถ้าตัวตั้งหรือตัวหาร ตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำ นวนเต็มบวก และอีกตัวเป็น จำ นวนเต็มลบ ให้นำ ค่าสัมบูรณ์มาหารกัน และตอบเป็นจำ นวนเต็มลบ เช่น 35 ÷ (-7) = |35| ÷ |-7| = (-5) : ใช้หลักการเดียวกันกับการหารจำ นวนเต็มบวกด้วยจำ นวนเต็มลบ เช่น (-35) ÷ 7 = |-35| ÷|7| = (-5) : นำ ค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร และตอบเป็น จำ นวนเต็มบวก เช่น (-63) ÷ (-7) = |-63| ÷ |-7| = 9 การ บวก ลบ คูณ หาร จำ นวนเต็ม การหารจำ นวนเต็ม จำ นวนเต็ม 10.
เมื่อให้ a และ b เป็นจำ นวนเต็มใดๆ สมบัติการสลับที่การบวก : a + b = b + a สมบัติการสลับที่การคูณ : a x b = b x a จำ ให้ดี การลบไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ แต่น้องๆสามารถเปลี่ยนการลบให้อยู่ใน รูปการบวกได้ และมันจะสามารถสลับที่กันได้ตามสมบัติการบวก เช่น 12 – 6 = 12 + (-6) ดังนั้น 12 – 6 = (-6) + 12 จำ ให้ดี การหารไม่มีคุณสมบัติการสลับที่เช่นกัน แต่เราสามารถเปลี่ยนการหารให้ อยู่ในรูปการคูณและสลับที่ได้ตามสมบัติการบวก เช่น 12 ÷ 6 = 12 x ⅙ = ⅙ x 12 สมบัติของจำ นวนเต็ม สมบัติการสลับที่ จำ นวนเต็ม 11.
สมบัติของจำ นวนเต็ม สมบัติการเปลี่ยนหมู่ เมื่อให้ a, b และ c แทนจำ นวนเต็มใดๆ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก (a + b) + c = a + (b + c) สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ (a x b) x c = a x (b x c) สมบัติการแจกแจง เมื่อ a, b และ c แทนจำ นวนเต็มใดๆ แล้ว a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (b + c) x a = (b x a) + (c x a) จำ นวนเต็ม 12.
สมบัติของจำ นวนเต็ม สมบัติของ 1 a x 1 = a = 1 x a a ÷ 1 = a a ÷ a = 1 ถ้า a เป็นจำ นวนเต็มใดๆ แล้ว (จำ นวนใดก็ตามคูณ 1 จะเท่ากับจำ นวนนั้น) (ถ้า a เป็นจำ นวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0) สมบัติของ 0 a + 0 = a = 0 + a a x 0 = 0 = 0 x a 0 ÷ a = 0 a x b = 0 จะได้ a = 0 หรือ b = 0 เมื่อ a เป็นจำ นวนเต็มใดๆ แล้ว (จำ นวนใดๆก็ตามบวกศูนย์จะได้เท่ากับจำ นวนนั้น) (จำ นวนใดๆก็ตามคูณศูนย์จะได้เท่ากับศูนย์) (ถ้า a เป็นจำ นวนเต็มใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0) (ถ้าผลคูณของจำ นวนเต็มสองตัวเท่ากับศูนย์แล้ว จำ นวนใดจำ นวนหนึ่งในนั้น ต้องเป็นศูนย์) จำ นวนเต็ม 13.
แบบฝึกหัด จงหาผลลบ แนวคิดการลบจำ นวนเต็ม การลบจำ นวนเต็มใช้การเขียนให้อยู่ในรูปการบวก คือ ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำ นวนตรงข้ามของตัวลบ จากนั้นใช้วิธีทำ แบบการบวกจำ นวนเต็ม 1) (-100) – 20 2) 20 – (-100) 3) -22 – 15 4) 15 – (-22) 5) (-63) – 27 6) 27 – (-63) 7) -24 – (-28) 8) -28 – (-24) จงหาผลลบ แนวคิดการลบจำ นวนเต็ม 1) การลบจำ นวนเต็มใช้การเขียนให้อยู่ในรูปการบวก คือ ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำ นวนตรงข้ามของตัวลบ จากนั้นใช้วิธีทำ แบบการบวกจำ นวนเต็ม 2) ทำ ส่วนที่อยู่ในวงเล็บก่อน 1) (18 – 11) – 15 2) 18 – (11 – 15) 3) (-25 – 12) – 27 4) -25 – (12 – 27) 5) [36 – (-13)] – (-21) 6) 36 – [(-13) – (-21)] 7) [(-50) – (-18)] – (-32) 8) (-50) – [(-18) – (-32)] จำ นวนเต็ม 14.
อ้างอิง สรุปครบจบเรื่อง “จำ นวนเต็ม” โดย At home กวดวิชาออนไลน์ https://www.athometh.com/math/integer/ สืบค้นเมื่อวันที่ 30 สิงหาคม พ.ศ. 2566 แบบฝึกหัด 1.3 (ข้อ 3) [ม.1 เล่ม 1 บทที่ 1 จำ นวนเต็ม : สสวท. 2560] สืบค้นเมื่อวันที่ 30 สิงหาคม พ.ศ.2566 แบบฝึกหัด 1.3 (ข้อ 4) [ม.1 เล่ม 1 บทที่ 1 จำ นวนเต็ม : สสวท. 2560] สืบค้นเมื่อวันที่ 30 สิงหาคม พ.ศ.2566 จำ นวนเต็ม ค.
จำ นวนเต็ม
ประวัติผู้จัดทำ ชื่อ นางสาวศิริยากร อินภูวา ชื่อเล่น แอนมัม เรียน คณะครุศาสตร์ สาขาวิชา คณิตศาสตร์ ปีที่ 2 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี เบอร์ติดต่อ 091-064-7507 อีเมล: [email protected] FACEBOOK: ANMUM SIRIYAKORN LINE: ANMUM5154 จำ นวนเต็ม ง.
จำ นวนเต็ม
THANK YOU