จะบ่ส่งแหมละ

สารบัญ ก

สารบญั หน้า
บทนิยาม
รูปแบบการกาหนดลาดบั ก
ลาดบั เลขคณิต 1
สรุปลาดบั เลขคณิต 2-4
ลาดบั เรขาคณิต 5-7
8
9-11

1

บทนยิ าม ลาดบั คือ ฟังกช์ นั ที่มีโดเมนเป็นเซต
ของจานวนเตม็ บวก ที่เรียงจาก นอ้ ยไปมาก
โดยเริ่มต้งั แต่ 1
ลาดบั จากดั เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมน เป็น เซตของ
จานวน เตม็ บวก n ตวั แรก คือ มีโดเมน
เป็น{1,2,3,4...n}ดงั น้นั ลาดบั จากดั
คือ f(1), f(2), f(3),…….., f(n)
ลาดบั อนนั ต์ เป็นฟังกช์ นั ที่มีโดเมนเป็นเซตของ
จานวนเตม็ บวก คือ มีโดเมนเป็น{1,2,3,4...}
ดงั น้นั ลาดบั อนนั ต์
คือ f(1), f(2), f(3),......., f(n),.....

2

3

ดงั น้นั สี่พจน์แรกของลาดบั น้ี คือ - 2 , 4 , 8 , 1 6
ดงั น้นั ส่ีพจนแ์ รกของลาดบั น้ี คือ 3,5,3,5

4

ลาดบั เลขคณติ 5

บทนิยาม ลาดบั เลขคณิต

(arithmetic sequence) คือ ลาดบั ท่ีผลต่างซ่ึง
เกิดจากพจนท์ ่ี n + 1 ลบดว้ ยพจน์ท่ี n มีคา่
คงตวั และค่าคงตวั น้ีเรียกวา่ ผลต่างร่วม
(common difference) เขียนแทนผลต่างร่วม

น้ีดว้ ย d

6

ตัวอย่าง ลาดบั เลขคณติ
1. ลาดบั 1, 3, 5, …, 99 เป็นลาดบั เลขคณิต
มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากบั 2
2. ลาดบั 6, 3, 0, …, -27 เป็นลาดบั เลขคณิต
มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากบั -3
3. ลาดบั 5, 5, 5, …, 5 เป็นลาดบั เลขคณิต
มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากบั 0
4. ลาดบั 0, 0, 0, …, 0 เป็นลาดบั เลขคณิต
มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากบั 0
จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ จะพบวา่ d เป็นจานวนจริงใด
ๆ และ ถา้ d = 0 จะไดว้ า่ ทุกพจน์ของลาดบั มีคา่
เท่ากนั และเรียกลาดบั น้ีวา่ “ลาดบั คงตวั ”
เช่น ขอ้ 3 และขอ้ 4

7

การหาพจน์ต่าง ๆ ของลาดบั เลขคณติ

กาหนดลาดบั เลขคณิต a1 , a2 , a3 ,…
ให้ a1 เป็นพจนแ์ รกของลาดบั
และ d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่นๆ ของ
ลาดบั เลขคณิตในรูปของ a1 และ d ดงั น้ี
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
a4 = a1 + 3d
.

.

.

an = a1 + ( n – 1 )d

8

สรุป พจน์ท่วั ไปหรือพจนท่ี n ของ
ลาดบั เลขคณติ คือ an = a1 + ( n – 1 )d
เม่ือ an คือ พจนท์ ี่ n ของลาดบั เลขคณิต
a1 คือ พจนท์ ี่ 1 ของลาดบั เลขคณิต
n คือ ตาแหน่งของพจนท์ ี่ n
d คือ ผลต่างร่วม (พจนท์ ี่ n+1ลบดว้ ย
พจนท์ ่ี n)

9

ลาดบั เรขาคณิต
พจิ ารณาลาดบั 4,8,16,32,64, ..... จะเห็นวา่ เม่ือนา
พจน์หลงั หารดว้ ยพจน์หนา้ ที่อยตู่ ิดกนั มีผลหารเป็น
คา่ คงตวั เท่ากบั 2 เสมอ

บทนยิ าม

ลาดบั เรขาคณิต (geometric seuence) คือ
ลาดบั ที่มีผลหารซ่ึงเกิดจากพจนท์ ี่ n+1 หารดว้ ย
พจน์ที่ n มีคา่ คงตวั และคา่ คงตวั น้ีเรียกวา่
อตั ราส่วนร่วม (common ratio) เขียนแทน
อตั ราส่วนร่วมน้ีดว้ ย r

10
ตวั อย่างท่ี 1 จงหาพจน์สุดทา้ ยของลาดบั เรขาคณิต

ท่ีมีพจนแ์ รก เท่ากบั 3 และมีอตั ราส่วนร่วม

เท่ากบั 2 และจานวนพจนเ์ ท่ากบั 8
3

วิธีทา

จากโจทย์ จะไดว้ า่

an = a1rn-1
an = 3(2)⁸-¹
an = 3

3(2)⁷
3

an = 27
36

an = 128
179
ดงั น้นั พจน์สุดทา้ ยของลาดบั เรขาคณิต คือ 128
179

11
ตวั อย่างท่ี 2 จงหาพจน์แรกของลาดบั เรขาคณิตที่

มีพจน์ที่ 4 เท่ากบั 9 และพจนท์ ี่ 9 เท่ากบั 2,187

วธิ ีทา

สมมติใหล้ าดบั เรขาคณิต คือ a1, a1r, a1r², a1r³
ดงั น้นั a₄ = a1r³ = 9
a₉ = a1 r⁸ = 2,187

และ a9 = a1r8 = 2,187
a4 9
a1r³

ซ่ึงจะไดว้ า่ r⁵ = 2,187 = 243 = 35
r= 9
3

เราทราบแลว้ วา่ พจน์ท่ี 4 หรือ a1r³ = 9
ดงั น้นั เราจะสามารถหาค่า a1ไดน้ น่ั คือ 9 1
a1= 33 = 3

และ ลาดบั เรขาคณิต คือ 1, 1, 3, 9 …
3

ผ้ทู าโดย

นาย ณฐั ชากร ยงเกตุการณ์ เลขท่ี 1
นาย อริราภ์ แก้วปาเฟื อย เลขท่ี 3
นาย รัชชานนท์ ดาเอยี่ ม เลขที่ 4
นาย วรปรัชญ์ ตรองจติ เลขท่ี 5
นาย สุรวุฒิ ตนั สา เลขที่ 6