1
i Pertama-tama penulis memanjatkan segala puji kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan banyak karunia dan nikmat Nya, sehingga E-LKPD ini dapat selesai disusun. E-LKPD ini disusun dengan penuh perjuangan namun selalu diberi kemudahan oleh Allah SWT, yang mana E-LKPD ini tidak seperti E-LKPD pada umumnya. Shalawat beriring salam semoga tetap tercurah limpahkan kepada baginda Agung Nabi Muhammad SAW, yang kita nantikan syafaatnya kelak di yaumul qiyamah. Aamiin. E-LKPD ini berisi materi vektor dan operasinya dimana dikemas dalam bentuk flipbook yang berbasis diferensiasi. Media pembelajaran ini diharapkan dapat memudahkan peserta didik dalam memahami materi vektor dan operasinya sehingga hasil belajar siswa dapat menjadi lebih baik dan memuaskan. Penulis menyadari dalam penyusunan E-LKPD ini banyak kekurangan, sehingga kritik dan saran sangat diperlukan dalam rangka memperbaiki ELKPD ini. Semoga E-LKPD ini dapat membantu dan bermanfaat dalam pembelajaran vektor dan operasinya. Salatiga, April 2024 Eka Safira Diamudrika Kata Pengantar Kata Pengantar
ii 1. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) ini berupa flipbook yang bisa digunakan secara online melalui link yang telah diberikan oleh peneliti. Berupa lembar kerja peserta didik elektronik (E-LKPD). 2. E-LKPD ini disajikan dengan serangkaian kegiatan berdasarkan langkah-langkah model pembelajaran Problem Based Learning (PBL) yang memberi pengalaman belajar siswa dalam memahami materi vektor dan operasinya. Langkah-langkah model pembelajaran PBL yang ada dalam E-LKPD ini adalah : 3. Dalam menyelesaikan masalah terdapat yang harus dilalui oleh peserta didik, yaitu sebagai berikut : 4. Pada tampilan Flipbook terdapat beberapa simbol dengan masingmasing fungsinya sebagai berikut : Petunjuk Penggunaan Petunjuk Penggunaan • Orientasi Masalah • Mengorganisasi Peserta Didik • Membimbing Penyelidikan • Mengembangkan dan Menyajikan Hasil • Analisis dan Evaluasi
iii 5. Ikuti langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan yang ada di dala E-LKPD 6. Jika terdapat kesulitan dalam kelompok dan pertanyaan, bertanyalah kepada guru di dalam kelas
iv Kata Pengantar............................................................................................................... i Kata Pengantar............................................................................................................... i Petunjuk Penggunaan ................................................................................................... ii Petunjuk Penggunaan ................................................................................................... ii Daftar Isi....................................................................................................................... iv Peta Konsep................................................................................................................... v Kata Pengantar.............................................................................................................. v Tujuan Pembelajaran dan Indikator Pencapaian Pembelajaran...................... vi Pendahuluan ................................................................................................................. 1 Permasalahan 1 ...................................................................................................... 2 Permasalahan 2 ...................................................................................................... 5 Mari Menyimak ...................................................................................................... 5 Permasalahan 3 ..................................................................................................... 10 Mari Menyimak .................................................................................................... 10 Pendalaman Materi..................................................................................................... 11 Contoh Soal................................................................................................................. 14 Uji Kompetensi............................................................................................................ 22 Glosarium.................................................................................................................... 23 Daftar Pustaka............................................................................................................. 24 Daftar Isi
v Peta Konsep Kata Pengantar Vektor dan Operasinya
vi Tujuan Pembelajaran dan Indikator Pencapaian Pembelajaran Tujuan Pembelajaran Di akhir fase F+, peserta didik dapat menjelaskan pengertian vektor dan notasi vektor serta dapat melakukan operasi dasar dua vektor Tujuan Pembelajaran Di akhir fase F+, peserta didik dapat menjelaskan pengertian vektor, notasi dan jenis vektor serta dapat melakukan operasi dasar dua vektor Indikator Pencapaian Pembelajaran 1. Menjelaskan pengertian Vektor menggunakan masalah kontekstual. 2. Menjelaskan Notasi pada Vektor 3. Melakukan operasi dasar pada Vektor Indikator Pencapaian Pembelajaran 4. Menjelaskan pengertian Vektor menggunakan masalah kontekstual. 5. Menjelaskan Jenis dan Notasi pada Vektor 6. Melakukan operasi dasar pada Vektor
1 Ayo Mengingat Kembali 7.1 Pendahuluan Notasi Vektor Bentuk Vektor kolom = ⃗ atau ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 5 4 ) Bentuk Vektor Baris = ⃗ atau ⃗⃗⃗⃗⃗ = (5 4) Vektor dapat ditulis dengan : - Notasi i,j dengan u = 3 + 4 - Vektor u = ( ) = + ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ P = Titik Pangkal Q = Titik Ujung ⃗ atau ⃗⃗⃗⃗⃗ = (5 3) ⃗ = 5 + 3 ⃗ = ( 5 3 ) = Contoh
2 Untuk memahami permasalahan 1, mari kita amati video berikut ini ! Orientasi Pada Masalah Permasalahan 1 Dalam kehidupan sehari-hari konsep vektor banyak kita jumpai. Selain vektor kita juga mengenal skalar. Coba ingat lagi apa perbedaan vektor dan skalar dan apa saja contoh vektor dan skalar dalam kehidupan sehari-hari Ayo Melihat https://www.youtube.com/watch?v=kL HRRj2COPE
3 Memahami Masalah (Setelah melihat video, tuliskan apa yang diketahui dan ditanya dari video tersebut. Tuliskan dengan kata-katamu sendiri) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Setelah mengetahu apa yang terdapat dalam video tersebut mari kerjakan soal berikut : 1. Setelah melihat video tersebut apa yang kalian ketahui mengenai pengertian vektor? Dan berikan contohnya dalam kehidupan sehari-hari! 2. Apakah sama besaran vektor dan skalar? Jika berbeda jelaskan mengapa dan berikan contoh besaran skalar dalam kehidupan sehari-hari! Mengorganisasi Peserta Didik Membimbing Penyelidikan Ayo Berfikir Ayo Berdiskusi
4 (Sebelum hasil diskusi dikumpulkan dan dipresentasikan, Analisis dan evaluasi apakah langkah diatas sudah sesuai seperti yang ada di dalam video? ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….. Pengembangan dan Penyajian Hasil Ayo Menyimpulkan
5 Orientasi Pada Masalah Permasalahan 2 Setelah melakukan peragaan diatas, dapatkah kalian menentukan : 1. Gambar untuk ilustrasi peragaan 1 dan 2 2. Notasi Vektor untuk peragaan 1 3. Perpindahan yang terjadi pada peragaan 2 Tentukanlah satu temanmu untuk memperagakan kegiatan berikut. 1. Berjalanlah lima langkah ke arah utara dengan arah 45, kemudian kembalilah ke posisi semula. 2. Berjalanlah enam langkah ke arah barat, kemudian enam langkah ke arah timur. Ayo Bergerak
6 Memahami Masalah Untuk memahami ilustrasi peragaan diatas, lakukanlah diskusi dan gambarkan ilustrasi tersebut kedalam bidang koordinat kartesius seperti dalam kotak berikut: Mengorganisasi Peserta Didik Ayo Menulis Y X
7 Langkah 1 Dalam menggambar ilustrasi, asumsikan teman kalian sebagai sebuah titik yang berjalan diatas bidang koordinat kartesius. Satu langkah mewakili satu kotak yang ada pada bidang koordinat kartesisus. Langkah 2 1. Setelah membuat ilustrasi pada bidang koordinat kartesius misalkan perpindahan titik awal peragaan satu sebagai titik pangkah dan sebagai titik ujung. Dan misalkan itu sebagai vektor . 2. Dalam peragaan 2, perhatikan perpindahan yang terjadi dengan asumsi gerakan teman sebagai titik. Membimbing Penyelidikan Ayo Berdiskusi
8 Langkah 3 Setelah melalui langkah 2, coba tuliskan bentuk penyajian pada : Peragaan 1 menggambarkan jenis vektor………………………….. Karena……………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Peragaan 2 menggambarkan jenis vektor………………………….. Karena……………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Tuliskan Notasi Vektor pada Peragaan 1 dan 2 ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
9 Setelah melakukan langkah-langkah diatas periksa kembali jawaban sebelum dikumpulkan dan dipresentasikan! Dalam permasalahan 2, kita dapat menyimpulkan beberapa jenisvektor yaitu………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Pengembangan dan Penyajian Hasil Ayo Menyimpulkan
10 Permasalahan 3 Orientasi Pada Masalah Putri adalah seorang pecinta bintang, ia selalu menantikan malam di setiap harinya. Baginya, bintang seperti sahabat yang selalu menyapa dirinya dan melambai dengan keindahan cahayanya. Suatu malam putri membayangkan beberapa bintang yang bergerak diatas langit. Bintang-bintang itu putri bayangkan sebagai bintang A,B dan C. Untuk memahami permasalahan berikut, peserta didik bisa membaca materi operasi pada vektor dalam buku Ayo Membaca = (
11 A. Notasi Vektor a. Secara Geometris Notasi vektor digambarkan dengan ⃗⃗⃗⃗⃗ dimana A adalah pangkal vektor atau titik pangkal, sedangkan B adalah ujung vektor atau titik ujung. Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ juga dapat dituliskan dengan menggunakan huruf bercetak tebal, sebagai AB. Penulisan vektor lainnya dengan menggunakan satu huruf yaitu u atau ⃗ . b. Secara analitis Secara analitis sebuah vektor disajikan oleh n-tupel terurut bilangan real, yakni = [1, 2, 3, … , ] dengan n adalah bilangan asli. Untuk n = 2 dikatakan bahwa vektor berada di ruang dimensi 2. Jadi, untuk n = 2, = [1, 2 ]. B. Jenis Vektor a. Vektor satuan Vektor satuan. Simbolnya ialah ̅, yaitu vektor yang panjangnya satu satuan panjang dan arahnya sesuai dengan vektor yang dibicarakan. Jadi, |̅| = 1 (gambar (ii)). B A ത ത ̅ (ii) Pendalaman Materi
12 b. Vektor Negatif atau Vektor Lawan c. Vektor Nol Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol dan tidak punya arah tertentu atau vektor dengan titik pangkal dan ujung yang sama. Vektor nol dinyatakan dengan titik secara grafis. d. Vektor dalam Koordinat Kartesius Secara umum, jika koordinat titik A(x, y), maka vektor posisi titik A adalah OA = a, dapat dinyatakan sebagai: ത = ̅+ ̅atau ത = Secara umum, jika koordinat A(1, 1 ) dan B(2, 2) maka: Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ = ത − ത = ( 2 − 1 2 − 1 ) atau ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2 − 1 )̅+ (2 − 1 )̅ Panjang Vektor |⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(2 − 1 ) 2 + (2 − 1 ) 2. Penjumalahan Dua Vektor 1. Jumlah Vektor Searah Diketahui vektor ത = ( 1 2 ) = 1̅+ 2, dan ̅ vektor ത = ( 1 2 ) = 1̅+ 2.̅ Penjumlahan vektor ത dan ത dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang sejenis. ⇔ ത + ത = ( 1 2 ) + ( 1 2 ) ⇔ ത + ത = ( 1 + 1 2 + 2 ) = (1 + 1 )̅+ (2 + 2 ).̅
13 2. Jumlah Dua Vektor Berlainan Arah a) Aturan Segitiga Gambar di bawah menunjukkan jumlah vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ ditulis ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ , yaitu vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ . Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ merupakan sisi ketiga ∆ yang sisi pertamanya vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ dan sisi keduanya vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ . A C B
14 1. Arah pergeseran suatu vektor dinotasikan dengan pasangan bilangan, yaitu ( ). Sebagai contoh, pergeseran titik P ke Q seperti pada gambar disamping, yaitu 5 satuan ke kanan dan 3 satuan ke atas, yang dinotasikan dengan ( 5 3 ), dengan a = 5 dan b = 3 disebut “elemen/anggota vektor” ⃗⃗⃗⃗⃗ . 2. Contoh Soal
15 1. Perhatikan gambar vektor-vektor berikut ! Tentukan manakah vektor yang a. Besarnya sama tetapi arahnya berbeda b. Arahnya sama tetapi besarnya berbeda c. Besar dan arahnya sama d. Besar dan arahnya berbeda 2. Tentukan komponen-komponen dari vektor-vektor berikut. Ayo Berlatih Ayo Berlatih
16 3. Diketahui koordinat titik A(3, 4) dan B(9, 12). Tentukan: a. Vektor posisi dari titik A dan B b. Komponen vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ c. Panjang vektor⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d. Vektor satuan dari vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ 1. Hasil perkalian suatu vektor dengan suatu skalar positif adalah suatu vektor yang mempunyai arah sama. Misalnya ത = 3̅+ 4̅maka: 5ത = 5(3̅+ 4)̅ = 15̅+ 20̅ 2. Gabungan beberapa operasi aljabar vektor. Misalnya ത = 2̅− ̅, ത = 3̅+ 2, dan ̅̅= 4̅− 5, maka: ̅ ത + ത − ̅= (2̅− )̅ + (3̅+ 2)̅ − (4̅− 5)̅ = ( 2 −1 ) + ( 3 2 ) − ( 4 −5 ) = ( 2 + 3 − 4 −1 + 2 + 5 ) = ( 1 6 ) Jadi, ത + ത − ̅= ̅+ 6.̅ b) Aturan Jajar Genjang Gambar di samping menunjukkan jumlah dua vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ , ditulis ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ . Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah diagonal jajar genjang ABCD yang sisi-sisi berdekatannya vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ . Dalam bentuk analitis, jika ത = [1, 2, 3 ] dan ത = [1, 2, 3 ], jumlah ത dan ത didefinisikan sebagai: D B CA
17 Contoh : Dimas berjalan 20 m ke arah Timur dari suatu titik awal O, dilanjutkan dengan 5 m dalam arah yang sama. Lalu, ia berbalik arah dan berjalan sejauh 35 m ke arah Barat. Tentukan jarak (posisi) dan arah Dimas dari titik O. Jawab: Penjumlahan tiga vektor sebagai berikut: Resultan = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ((⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ത + ത = [1 + 1, 2 + 2, 3 + 3 ] ത + ത = [1 + 1, 2 + 2, 3 + 3 ]
18 Besaran ⃗⃗⃗⃗⃗ = 10 m Jadi, posisi dan arah Dimas adalah 10 m di sebelah barat O. A. Pengurangan Dua Vektor Pengurangan vektor ത dari vektor ത dinyatakan sebagai ത − ത. Operasi ini sama dengan penjumlahan vektor ത dengan vektor negatif ത, yaitu: Ayo Berdiskusi Ayo Berdiskusi ത − ത = ത + (−ത) ത − ത = ത + (−ത)
19 Pada gambar diketahui garis lurus OD, dengan ⃗⃗⃗⃗⃗ = ത dan ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Nyatakan tiap vektor berikut dalam vektor ത. a. ⃗⃗⃗⃗⃗ c. AD⃗⃗⃗⃗⃗ b. ⃗OC⃗⃗⃗⃗ d. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
20 1. Perhatikan dua vektor di bawah ini. a. Gambarkan 2A b. Gambarkan 3B c. Gambarkan 2A 2. Buat Dua titik Buat dua titik A(3, 2) dan B(–6, 8) dalam sistem koordinat Kartesius. a. Gambarkan vektor posisi OA dan OB. b. Gambarkan hasil pengurangan vektor OB dengan OA. c. Buat pengurangan kedua vektor dengan menggunakan vektor kolom. 3. Perhatikan gambar vektor-vektor di bawah ini. Operasikan vektorvektor secara grafis dan komponen. Gunakan kertas berpetak untuk operasi vektor secara grafis.Tentukan juga panjang vektor hasil penjumlahan. Ayo Berlatih Ayo Berlatih
21 a. + d. − + 2 b. 2 − e. + + + c. + + f. − 3 −
22 Uji Kompetensi
23 Vektor Skalar Notasi Glosarium
24 Daftar Pustaka