EUCLID (ตัวอย่างทฤษฎีบท)

ยาก!

EUCLIDง่ายนิดเดียว

บทนิยาม เเละ ทฤษฎีบท

ยูคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงของกรีก ได้เข้ามาอยู่ที่เมืองอเล็กซานเดรียในสมัย
กษัตริย์ปโตเลมีที่ 1 (King Ptolemy I) เป็นพระอาจารย์สอนเรขาคณิตในราชสำนัก เขาเป็นผู้
รวบรวมทฤษฎีบทเลขาคณิตไว้ในหนังสือเล่มหนึ่งที่มีชื่อว่า “ตำราเรขาคณิต” (Text – books
on Geometry) และตำราอีกเล่มหนึ่งที่มีชื่อว่า “อีลีเมนต์” (Element) ซึ่งกล่าวถึงวงกลม ส่วน
โค้ง และมีวิธีพิสูจน์ตามวิธีพีชคณิตและเรขาคณิต ตำราเหล่านี้ที่ได้กล่าวมาได้ใช้ในการเรียนการ
สอนต่อเนื่องมาจนถึงปัจจุบัน เป็นเวลาไม่น้อยกว่า 2,000 ปี

ประวัติชีวิตของเขาอย่างแน่นอน ทราบกันเพียงว่าเขาเป็นอาจารย์สอนคณิตศาสตร์ที่
โรงเรียน Royal School ที่เมืองอเล็กซานเดรียประเทศอียิปต์ เขาเป็นผู้รวบรวมตำรา
เรขาคณิตขึ้นและพิมพ์ออกจำหน่าย ปรากฏว่าขายดีมากไม่มีหนังสือใดเทียบได้ยกเว้นเสียแต่
คัมภีร์ไบเบิล

ยูคลิดได้รับเกียรติให้เป็นบิดาแห่งวิชาเรขาคณิต (The Father of Geometry)
ทั้งนี้เพราะเขาได้เป็นผู้รวบรวมความรู้ต่างๆ ทางเรขาคณิตให้มีความสัมพันธ์กันทั้งผลงานของ
เทลีส ปิทากอรัส เพลโต และของพวกอียิปต์ปรับปรุงวิธีการให้ดีขึ้น จัดเรียงลำดับจากง่ายไป
หายาก และได้เพิ่มเติมบทพิสูจน์และทฤษฎีที่ขาดหายไป ตำราของเขามีมากมายหลายสิบเล่มและ
เก็บอยู่ที่ห้องสมุดที่เมืองอเล็กซานเดรีย แต่ห้องสมุดก็ถูกทำลายไปหลายครั้งหลังจากผ่าน
สงครามมาหลายยุคหลายสมัย เหลือมาให้เรียนกันในปัจจุบันเพียงบางส่วนเท่านั้น

ตัวอย่าง
ทฤษฎีบท
EUCLID

[Euclid I. 4.]
ทฤษฎีบท4.ถา้สามเหลี่ยมสองรูปมีด้านเท่ากันสองด้านและมุมระหว่าง
ด้านที่เท่ากันมีขาดมุมเท่ากันแล้วสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ

∆ ∆ ∆กำหนดให้ ABCและ DEFมีAB=DE,AC=DFและBÂC=ED,F จะต้องพิสูจน์ว่า ABC และ
∆DEF เท่ากันทุกประการ

บทสร้าง เลื่อนจุด A ทับจุด D และแนวเส้นตรงABทับแนวเส้นตรงDE

ข้อพิสูจน์ เหตุผล หมายเหตุ
ข้อความ 1.AB=DE การกล่าวอ้างของทฤษฎีบทนี้จะใช้คำย่อว่า
2.BÂC=ED,F ด้าน-มุม-ด้าน หรือ ด.ม.ด
1.จุด B ทับจุด E 3.AC=DF
2.AC ซ้อนทับ DF 4.จุด B ทับจุด E และ จุด C ทับจุด F
3.จุด C ทับจุด F
4. BC, EF เป็นเส้นตรงเดียวกัน ∆ ∆5.A ทับจุดD,จุดBทับจุดE,จุดCทับจุดF

∆ ∆5. ABC ซ้อนทับ DEFพอดี 6.จาก(5) ABC ซ้อนทับ DEF
∆ ∆6. ABCและ DEFเท่ากันทุกประการ

[Euclid I. 5.]
ทฤษฎีบท5.มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

∆กำหนดให้ ABCเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีAB=ACและBCเป็นฐาน

จะต้องพิสูจน์ว่า ABC = ACB
บทสร้าง ลาก AD แบ่งครึ่งมุม BAC

ข้อพิสูจน์ เหตุผล
ข้อความ 1.บทสร้าง
2.กำหนดให้
1.BAD = DAC 3.บทสร้าง
2.AB = AC
∆ ∆4.ด.ม.ด.(1),(2)เเละ(3)
∆ ∆3.AD ด้านร่วม
5. ABD เเละ ACD เท่ากันทุกประการ
4. ABD เเละ ACD เท่ากันทุกประการ 6.จาก(5),ABC = ABD เเละ ACD = ACB
5.ABD = ACD
6.ABC = ABD = ACD = ACB

[Euclid I. 6.]
ทฤษฎีบท6.ถ้าสามเหลี่ยมมีมุมเท่ากันสองมุมแล้วด้านตรงมุมที่เท่ากัน
ต้องยาวเท่ากัน

∆กำหนดให้ ABC มี ABC= ACD

จะต้องพิสูจน์ว่า AB = AC
ข้อพิสูจน์ สมมติ AB ≠ AC โดยไม่สูญเสียสาระสําคัญของกรณีทั่วไปเราสามารถสมมติให้
AB > AC

∆ ∆บทสร้างให้ D เป็นจุดบนด้าน AB ที่ทําให้ BD = AC และ ลากเส้น CD

เพราะฉะนั้น พื้นที่ BDC < พื้นที่ ABC

ข้อพิสูจน์

ข้อความ

1. BD = AC BCD เเละ เหตุผล
1.บทสร้าง
∆2.BC เป็นด้านร่วมของ 2.จากรูปที่ 1.14
∆ABC 3.เป็นมุมเดียวกัน
3.DBC = ABC 4.กำหนดให้ ABC = ACB

4.DBC = ACB ∆ ∆5.ด.ม.ด.(1),(2)เเละ(4)

∆ ∆5. BDC เเละ ABC เท่ากันทุกประการ 6. BDC เเละ ABC เท่ากันทุกประการ
∆ ∆6.พื้นที่ BDC = พื้นที่ ABC 7.จาก(*)เเละ(6)ขัดเเย้งกัน
7.เกิดข้อขัดเเย้ง

เพราะฉะนั้น ที่สมมติไว้ไม่จริง

เพราะฉะนั้น AB = AC

[Euclid I. 13.]
ทฤษฎีบท1.มุมประชิดของเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ตั้งอยู่บนเส้นตรงอีกเส้น
หนึ่งรวมกันเท่ากับสองมุมฉาก

กำหนดให้ 0 อยู่บนเส้นตรง AB และ C อยู่นอกเส้นตรง AB ลากเส้นตรง OC

⊥จะต้องพิสูจน์ว่า AOC + COB = 2 มุมฉาก

บทสร้าง ลากเส้นตรง OD AB

ข้อพิสูจน์ เหตุผล
ข้อความ 1.COB=COD
2.AOD=AOC+COD
1.AOC+COB=AOC+COD+DOB จาก(1)เเละ(2)
4.AOD=DOB=90’
2.AOD+COB=AOC+COD+DOB

3.AOC+COB=AOD+DOB

4.AOC+COB=2มุมฉาก

[Euclid I. 14.]
ทฤษฎีบท2.ที่จุดปลายOของเส้นตรงOCมีเส้นตรงOAและOBอยู่คนละด้าน
ของเส้นตรงOCถ้าAOC+COB=180' เเล้วOAเเละOBเป็นเส้นตรงเดียวกัน

กำหนดให้ CO เป็นเส้นตรง มีเส้นตรง 0A และ OB อยู่คนละด้านของ OC
และ AOC + COB = 180°
จะต้องพิสูจน์ว่า OBและOAเป็นเส้นตรงเดียวกัน
บทสร้าง ลากเส้นตรง OX ให้อยู่เเนวเดียวกันกับ OA

ข้อพิสูจน์ เหตุผล
ข้อความ 1.AOX เป็นเส้นตรง
2.กำหนดให้
1.AOC+COX=180’ 3.จาก(1)เเละ(2)
4.จาก(3) COX=COB
2.AOC+COB=180’ 5.OXและOAเป็นเส้นตรงเดียวกัน

3.COX=COB

4.OBและOXเป็นเส้นตรงเดียวกัน

5.OBและOAเป็นเส้นตรงเดียวกัน

จัดทำโดย

นางสาวกัญญาณัฐ พลรักษา
รหัสนักศึกษา63419701017

อยากทำความเข้าใจมากขึ้น
สแกนฉันเลย!