Den lille lysegule - om funktioner

17. marts 2017 Version 1.00

Indholdsfortegnelse

Hvad er en funktion? ··········································································· 2 - 3
Lineære funktioner ·············································································4 - 10
Ligefrem proportionale funktioner ························································ 11 - 12
Omvendt proportionale funktioner························································ 13 - 15
Eksponentialfunktioner······································································ 16 - 19
Potensfunktioner ············································································· 20 - 25
GeoGebra ···························································································· 26

af Erik Holm

Optimeret til brug på VUC’s AVU niveau (F, E, D)

Side 1 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Funktioner

En funktion er i matematisk forstand et
redskab, der beskriver sammenhængen
mellem en såkaldt afhængig variabel og
en anden, såkaldt uafhængig variabel.

Man kan forstå funktioner som en slags maskine, hvor
man kommer et x ind, og så spytter den et y ud på den

Funktionen beskriver en sammenhæng mellem de to
variable x og y. Vi siger, at x er den uafhængige variabel,
fordi vi helt selv kan bestemme, hvilket x vi "kommer ind i
maskinen". Derimod er vi ikke selv herrer over, hvad der
kommer ud af maskinen. Derfor kalder vi y den afhængige
variabel. Vi siger, at y afhænger af, hvilket x vi kommer ind,
eller at y er en funktion af x.
Dette skriver vi kort som y=f(x)

Side 2 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Et eksempel på en (lineær) funktion er

y = 2x + 2

Vi vælger selv, hvilket x vi kommer ind.
Her kommer vi et 2-tal ind i ’maskinen’, dvs. der hvor
der før stod et x, skriver vi nu et 2-tal.

y=2*2+2

y=4+2

y=6

så spytter funktionen tallet 6 ud. Når x er 2, bliver
y altså 6. Bemærk, at vi selv valgte, hvilket tal vi kom
ind i funktionen, mens det var funktionen, der
bestemte, hvilket tal den spyttede ud.

Et andet eksempel:

f(x) = -½x + 4

Vi kommer et 3-tal ind i stedet for x:

y = -½ * 3 + 4 
y = -1,5 + 4 

y = 2,5

Side 3 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Lineære funktioner

Funktionsforskriften for en lineær funktion er:

y = ax + b eller f(x) = ax + b

a er stigningstallet / hældningskoefficienten
b er skæringen med 2. aksen / y-aksen (starttallet)

Hældningskoefficienten er den værdi y vokser
med, hver gang vores x-værdi vokser med 1.

a bestemmer ligeledes om funktionen er stigende eller faldende. Er
a positiv, stiger funktionen (når vi tegner den) fra venstre mod høj-
re og er a negativ, falder stiger funktionen fra venstre mod højre
(se eksempler på næste side).

Når lineære funktioner tegnes giver det en ret linje.
Vi bruger eksemplet fra side 3: y = 2x + 2

Først opstilles et sildeben/ordnede talpar (til en ret linje behøves
kun 2 talpar, da ALLE talpar vil ligge på samme linje):

x05
y 2 12

Punkterne (x,y) = (0,2) og © Erik Holm
(x,y) = (5,12) afsættes i et
koordinat system og der tegnes
en ret linje gennem disse.

Side 4

17. marts 2017 Version 1.00

Opstilling af funktionsforskriften

(lineær funktion) ud fra en given graf

1
a = -½

a=2

1

På den røde graf kan vi aflæse at når vi, fra et vilkårligt punkt på linjen, går 1 til
højre, så stiger grafen med 2 - altså er stigningstallet (og dermed a værdien) 2.
Grafen skærer y-aksen i punktet (0,-2), altså er b værdien (startværdien) -2.

Funktionsforskriften bliver dermed: y = 2x - 2

På samme måde kan vi, på den blå graf, aflæse at stigningstallet er -½ (altså
negativt og dermed faldende), samt at den skærer y-aksen i punktet (0,2), og
dermed er b værdien 2.

Funktionsforskriften bliver dermed: y = -x + 2

Side 5 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Eksempler på lineære funktioner

Eksempel 1: Taxa tur (stigende)

Et eksempel på en lineær funktion er en taxatur, man skal give et
startgebyr (b-værdien), herefter betaler man en bestemt
pris (a- værdien) pr. km. når man kører et antal kilometer (x-værdien).
Til sammen giver disse værdier prisen på turen (y værdien).
Fx startgebyret er på 35 kr., herefter koster det 15 kr. pr. kørte km.
Funktionen bliver y = 15x + 35
Herefter kan laves et ’sildeben’ (det anbefales at begynde med x=0):

x 0 10
y 35 185

Grafen kan nu tegnes på et stykke papir, laves i Excel eller i GeoGebra.
Det pæneste resultat fås i GeoGebra.

y = 15x + 35

Hver gang x stiger med 1, stiger y med 15.
Grafen skærer y-aksen i 35.

Side 6 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Eksempel på lineære funktioner

Eksempel 2: Køreskole (stigende)

Hos Byens Køreskole kan du købe en basispakke som består af:

• teoriundervisning
• manøvrebane
• køreteknisk kursus
• de obligatoriske 16 almindelige kørelektioner
Basispakken koster 10.100 kr. (b-værdien)

Skal du købe flere køretimer, koster de 425 (a-værdien) kr. per time.

Skal du bruge 3 ekstra køretimer, koster kørekortet altså 11.375 kr. fordi 425 · 3 +
10.100 = 11.375.

Antallet af ekstra køretimer kaldes x og kørekortets pris y. Så kan sammenhængen
mellem prisen og antallet af ekstra køretimer skrives ved forskriften:

f(x) = 425x + 10.100

x 0 10
y 10.100 14.350

Side 7 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Eksempel på lineære funktioner

Eksempel 3: Temperatur (faldende)

Som bekendt falder luftens temperatur, når man stiger op igennem atmosfæren.
Udenfor flyveren i 10 km’s højde er der således frosttemperaturer.
Spørgsmålet er, hvordan luft-temperaturen T(h) falder med højden h over
jordoverfladen.
En model, som holder nogenlunde i en del tilfælde er, at temperaturen falder lineært:
T(h) =a·h +T0 . hvor temperaturen T0 er temperaturen ved jordoverfladen, og a er en
konstant.
Lad os i det følgende sige, at vi har en situation, hvor temperaturen ved
jordoverfladen er lig med 15°C og hvor temperaturen falder med
0,7 grader pr. 100 meters opstigen.
Lad os i det følgende vedtage, at vi kalder højden for x (regnet i meter) og
temperaturen for y (regnet i °C).

Vi kan hermed opstille følgende lineære sammenhæng y =-0,007·x +15

Vi ser at når der i opgaven står falder, betyder det at a-værdien er negativ
(der sættes et minus foran) og grafen vil falde fra venstre mod højre.

Side 8 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Eksempler på lineære funktioner

2 ligninger med 2 ubekendte

Tilbud 1

x 0 10
y 0 9.950

SAMSON

f(x) = 995x

Tilbud 2

Pris pr. Minimum
påbegyndte Pr. tur kr.
time kr.

900,00

865,00

Takst 9 g(x) = 900x + 1.000
x 0 10 g(x) = 865x + 1.770
y 1.000 10.000

Takst 10
x 0 10
y 1.770 10.420

Side 9 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Tilbud 1
Tilbud 2 - Takst 9
Tilbud 2 - Takst 10

Af graferne kan vi aflæse (punkterne hvor de skærer hinanden) at tilbud 1 er
billigst, hvis flytningen kan være i bilen og tager under ca. 10,5 timer. Mel-
lem 10,5 og 22 timer er tilbud 2 - takst 9 billigst, og varer flytningen mere
end 22 timer vil tilbud 2 - takst 10 altid kunne betale sig.

Det gælder altid, at den graf der ligge lavest
(tættest på x-aksen) er altid den billigste.

Sådanne 2 ligninger med 2 ubekendte kan også løses som en ulighed, hvis vi
fx vil finde ud af i hvor mange timer der skal gå før tilbud 1 ikke længere er
billigst gør vi sådanne:

Vi starter med at sætte højre siderne lig hinanden:

995x < 900x + 1.000 

995x - 900x < 1.000 

95x < 1.000 

X < 10,53

Vi ser altså, at ved nøjagtig 10,53 timer er de 2 tilbud lige dyre og
derunder er tilbud 1 billigst.

Side 10 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Ligefremproportionale funktioner

Ligefrem proportionale funktioner er også lineære funktioner, dog uden b-
værdi da de altid vil gå gennem punktet (0,0).
I ligefrem proportionale funktioner vil det altid forholde sig således:
Hvis x ændre sig, vil y ændre sig i samme takt.
Sagt på en anden måde, hvis x fordobles, så fordobles y også eller hvis x ti-
dobles, så tidobles y også osv. Forskriften ser sådan ud:

y = ax

Eksempler på ligefrem proportionale funktioner:

Påfyldning af benzin/diesel

Prisen pr. liter benzin er ca. 11,50 kr. Køber man 0 liter bliver det 0 kr.,
1 liter = 11,50 kr. - 2 liter = 23,- kr. osv. Funktionsforskriften bliver derfor:

y = 11,50x

Bemærk at der IKKE er nogen startværdi (b-værdien), da 0 liter jo
ikke koster noget.

Side 11 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Køb af benzin

y = 11,50x

Campingplads
På en campingplads betaler en voksen 62 kr. pr. overnatning.
Hvis x betegner antal overnatninger og yden tilhørende pris, kan vi opstille
sammenhængen mellem x og y i følgende tabel:

Læg mærke til, at prisen altid er 62 gange så stor som antallet af overnatnin-
ger. Vi kan derfor beskrive sammenhængen mellem y og x med formlen:

y = 62x
Denne sammenhæng mellem x og y er en lineær sammenhæng, fordi vi kan
skrive y = 62x på formen y = ax + b. Hvis vi nemlig vælger a = 62 og b = 0, får
vi jo netop y = 62x.

Overnatninger på

campingplads

y = 62x

Side 12 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00
Omvendt proportionale funktioner

En omvendt proportionalitet skrives som: hvor x ≠ 0 (man må aldrig

dividere med 0)

Grafen for en omvendt proportionalitet kaldes for en hyperbel (se herunder).

Grafen består af 2 adskilte
symmetriske buer som
aldrig vil skære hverken x
eller y aksen.

Som skrevet består grafen af 2 adskilte symmetriske buer. Se symmetriakserne her-
over (de røde linjer)

Side 13 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Eksempler på omvendt
proportionale funktioner

Eksempel 1: På farten

Et praktisk eksempel er en køretur fra Næstved til Faxe på 30 km.

Tiden vil da afhænge af farten

Og funktionsforskriften er: x er hastighed i km/t og y er tid i timer

Man kan aflæse på grafen at, hvis man kører 30 km/t så tager det 1 time at
køre de 30 km.
Hvis man kører 60 km/t så tager det den halve tid, nemlig ½ time.
Hvis man kører 90 km/t så tager det time = 20 min.

Når man fordobler sin hastighed, så halverer man den tid
det tager at komme frem.

Sagt på en anden måde:
jo hurtigere vi kører, jo hurtigere kommer vi frem.

Side 14 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

EKSEMPEL 2: Ohms lov

I elektroniske apparater – f.eks. radio og fjernsyn – kan strømstyrken reguleres
i de mange forskellige elektriske kredsløb. Det gøres ved hjælp af modstande:
strømstyrken=f(modstanden)
Jo større modstand, jo mindre strømstyrke og omvendt.
Formel ser sådan ud: I= hvor:

I er lydstyrken i ampere
U er spændingen i volt
R er modstanden i ohm

Formlen ligner y= . For forskellige værdier af U får man forskellige hyperbler.

Vi ser her at ved større og større a – værdier, jo længere
væk fra akserne ligger graferne.

Side 15 © Erik Holm

Eksponentialfunktioner17. marts 2017 Version 1.00

Eksponentialfunktioner skrives på formen: y = b · ax

Fx: y = 2x, hvor a = 2, hvor a > 0 og a  1 er a udviklingshastigheden /
grundtallet for funktionen.
hvis a > 1 vil grafen være stigende
hvis a = 1 vil grafen være en vandret linje
hvis 0 < a < 1 vil grafen være faldende

Graferne for eksponentialfunktioner
er en bløde buer der stiger kraftigere og kraftigere
(bortset fra, hvis a = 1)

Et eksempel på en hverdags-
ting der kan beskrives med
denne type graf er: rentetil-
skrivning over en årrække.
Sagt på en anden måde: jo
længere tid man lader
pengene stå i banken, jo mere
vokser den årlige rente
(rentes rente begrebet).

Side 16 © Erik Holm

17. marts 2017 Eksempler på Version 1.00

eksponentielle funktioner

Eksempel 1: Penge i banken (positiv vækst)

I år 0 indsætter en person 1 kr. i banken til en rente på 1% p.a.

Hvor meget kan hans efterkommere hæve, hvis de har stået i banken lige til nu?

y = b · ax <=> K1 = K2 · (1 + r)n (renteformlen) <=> K1 = 1 · (1 + 0,01)2016
K1 = 1 · (1 + 0,01)2016 <=> K1 = 1 · 1,012016 <=> K1 ≈ 515.097.623
Med andre ord: hvis der var blevet indsat 1 krone i år 0 til en årlig rente-
sats på 1%, kunne man i dag hæve mere end 500.000.000 kr.

Til højre ser du samme
udregning, lavet i Excel

Her ser du samme funktion som graf.

Bemærk hvordan udviklingen begyn-
der at tage fart omkring år 1600.

Hele udviklingen skyldes rentes rente
begrebet.

Side 17 © Erik Holm

17. marts 2017 Eksempler på Version 1.00

eksponentielle funktioner

Eksempel 2: Kaninbestand (positiv vækst)

y = b · ax <=> K1 = K2 · (1 + r)n (renteformlen)
<=> K1 = 1 · (100 + 0,05)n

X 1 5 10 15 30 50
(antal måneder)

y
(antal kaniner) 110 127 163 208 432 1.147

Side 18 © Erik Holm

17. marts 2017 Eksempler på Version 1.00

eksponentielle funktioner

Eksempel 3: Bilers værditab (negativ vækst)

En bil koster som ny 160.000 kr. Bilens værdi falder med 25% om året.
Funktioner bliver: Værdi(x) = 160.000 * (1-0,25)x
En tabel vi se sådanne ud:

Antal år (x) 01234 5 6
Bilens værdi 160.000 120.000 90.000 67.500 50.625 37.969 28.477

Det grafiske billede (laver i GeoGebra) ser sådanne ud:

Side 19 © Erik Holm

Potensfunktioner17. marts2017 Version 1.00

2. gradsfunktioner

Funktioner, der kan skrives på fomen: y = b·xa, kaldes potensfunktioner.

Fx: y = 3·x2, hvor b = 3 og a = 2, a kaldes eksponenten.

Grafen for nogle potensfunktion kaldes for en
parabel (dem hvor a = 2).

Disse kaldes også 2. gradsfunktioner, men mere
om dem på HF.

Side 20 © Erik Holm

17. marts 2017 Eksempler på Version 1.00

potens funktioner (2. gradsligning)

Eksempel 1: Bremselængde

Bremselængden for en bil vokser, når ha-
stigheden vokser.

De helt præcise tal afhænger også af bilen,
vejen og vejret, men kan med god tilnær-
melse beregnes ud fra formlen:

B = 0,004 · H2

H = hastigheden og B = bremselængde

Hvis fx hastigheden er 80 km/t fås:
B = 0,004*802  B = 25,6 m, altså ved
80 km/t skal der bruges 25,6 meter for at
bringe bilen til standsning.

Ved 100 km/t: B = 0,004*1002  B = 40 m
Ved 120 km/t: B = 0,004*1202  B = 49 m
Ved 200 km/t: B = 0,004*2002  B = 160 m

Side 21 Som det ses ved nulpunktet
vil grafen fortsætte til ud til
venstre (parabel), men det
er i denne forbindelse kun
den positive del der er
interessant (man kan jo
ikke køre med en negativ
hastighed)

© Erik Holm

17. marts 2017 Potensfunktioner øvrige Version 1.00

I modsætning til lineære-, eksponentielle- og 2. grads funktioner kan grafen
for potensfunktioner se meget forskellige ud. Udseendet afhænger i høj grad
af, hvilken værdi a har.

Se nedenstående grafer.

Side 22 © Erik Holm

17. marts 2017 Eksempler på Version 1.00
potens funktioner

Eksempel 1: Lydniveau

Lydniveauet for et bestemt musikanlæg kan beskrives ved modellen

dB = 0,5 · v1,5

hvor v er volumen for musikanlægget, og dB er lydniveauet for musik-
anlægget (målt i decibel).

Grafen for potensfunktionen er vist her:

Side 23 © Erik Holm

17. marts 2017 Eksempler på Version 1.00
potens funktioner

Eksempel 2: Bold

Rumfanget af en bold kan beregnes med formlen .

V = 4/3 · π · r3

V er rumfanget og r er radius.

Side 24 © Erik Holm

17. marts 2017 Eksempler på Version 1.00
potens funktioner

Eksempel 3: Hestefoder

Man kan med god tilnærmelse beregne hestes behov for foder med denne
funktion: f(x) = 0,04 · x0,75
x er hestens vægt i kg, og f(x) er antal foderenheder pr. dag.
Foderenheder
Der er ikke lige meget næring i alle slags dyrefoder. Derfor bruger man
foderenheder.
En foderenhed svarer fx til ca. 1 kg korn eller ca. 2 kg hø eller ca. 4 kg halm.

Side 25 © Erik Holm

Gamle eksamensopgaver17.marts2017 Version 1.00

Side 26 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Lavet i GeoGebra

Side 27 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Side 28 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Løst i regneark

Løst i GeoGebra

Side 29 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

1.
2.
3.
4.

5.

Side 30 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Side 31 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Side 32 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Side 33 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Side 34 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

Isens bæreevne i kg/cm2

7.000

6.000

5.000

4.000

3.000

2.000

1.000

-
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Isens tykkelse i cm

Side 35 © Erik Holm

17. marts 2017 Version 1.00

- et redskab i matematikundervisningen

Geogebra er et gratis værktøj til fremstilling af diverse funktioner, Du kan søge på Geogebra på nettet, og herefter
installere det på din computer. Du kan også finde en masse gode instruktioner til programmet bl.a. på adressen
https://sites.google.com/site/ggbvideoer/

Funktioner med afgrænsning i Geogebra:

I input linjen skrives ”fu…” så få du, bl.a., denne mulighed:

Skriv nu selve funktionen (her: 0.004^x2),

Flyt en position til højre med tabulatortasten og skriv
startværdien (her 0).

Flyt en position til højre med tabulatortasten og skriv
slutværdien (her 150) tryk på <enter>.

Funktion[0.004x^2,0,150]

Funktion[10x+25,0,15]

Til højre er et eksempel på en afgrænset anden-
gradsligning. Kunne fx være simulering af et
kast med en genstand.

Side 36 © Erik Holm