เรื่อง เซต

เรือง

เซต

คณิตศาสตร

มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

คํานํา

หนังสอื อิเลก็ ทรอนกิ ส (E-book) เร่อื งเซต เปนหนงั สือเสริมความรู
ทางคณิตศาสตรท่ีนําเสนอความรูเรอื่ ง เซต จัดทําขึน้ เพอ่ื ใชเปนสวน
หนง่ึ ในการจัดการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตรใ นชั้นเรยี นและ
สามารถนาํ ไปศึกษาเพม่ิ เติมนอกเวลาเรยี นได หนังสืออิเล็กทรอนิกส
(E-book) เลมนไ้ี ดสรุปเน้ือหาไวอยา งสั้น ๆ ชวยใหผูอา นเกิดความ
เขาใจมากยง่ิ ขน้ึ ทาํ ใหการเรยี นคณติ ศาสตรไ มใ ชเ รอ่ื งยากอกี ตอ ไป

ผจู ดั ทําหวงั วาคูมอื การใชห นังสอื อเิ ลก็ ทรอนิกส (E-book ) เลม
นี้ จะเปน ประโยชนต อ การเรียนรขู องนกั เรยี น และการจดั กจิ กรรม
การเรยี นการสอนสําหรบั ครผู สู อนในกลมุ สาระการเรียนรู
คณิตศาสตร

นางสาวฐติ ิรัตน ฝอยทอง

สารบัญ หนา
1
เซต 1
รูปแบบการเขียนเซต 2
เซตจํากดั และเซตอนันต 4
ความสัมพันธระหวา งเซต 5
แบบฝก หดั 1.1 7
7
เอกภพสัมพทั ธ 8
แบบฝกหัด 1.2 8
9
สับเซตและเพาเวอรเ ซต 10
สบั เซต 12
เพาเวอรเซต 14
แบบฝกหัด 1.3 15

เฉลยแบบฝก หดั 1.1
เฉลยแบบฝก หัด 1.2
เฉลยแบบฝกหดั 1.3

เซต

ความหมายของเซต

ในวิชาคณติ ศาสตร ใชคาํ วา“ เซต” ในการกลา วถึงกลมุ ของสง่ิ ตา งๆ และเมือ่ กลาวถึง
กลุม ใดแลว สามารถทราบไดแ นน อนวา สิ่งใดอยใู นกลมุ และสิง่ ใดไมอ ยใู นกลุม เชน

เซตของจํานวนเฉพาะบวกที่นอ ยกวา 15

เซตของช่อื วันในหนึง่ สัปดาห

เรียกสิ่งทอี่ ยูในเซตวา สมาชิก (elements) เชน เซตของจํานวนเฉพาะบวกที่
นอยกวา 15 มสี มาชิก ไดแก 2, 3, 5, 7, 11 และ 13 เซตของชอ่ื วันในหนงึ่ สปั ดาหมี
สมาชิก ไดแ ก วันจันทร วนั องั คาร วนั พุธ วันพฤหัสบดี วันศุกร วนั เสาร และวันอาทิตย

สง่ิ ท่ีไมเ รยี กวา เซต คือ กลมุ ของส่ิงทบ่ี ง บอกคุณภาพ เชน เซตของคนสวย, เซตของ
คนขยนั , เซตของคนด,ี เซตของคนเกง

รูปแบบการเขียนเซต

1) แบบแจกแจงสมาชกิ

เปน การเขยี นแจกแจงสมาชกิ ทุกตัวลงในเครอ่ื งหมายวงเลบ็ ปก กาที่มีลกั ษณะ { } และ
ใชเคร่ืองหมายจุลภาค ( , ) คนั่ สมาชิกแตล ะตัว เชน เซตของจํานวนนับท่ีนอยกวา 5 เขียน
แทนดว ย {1, 2, 3, 4} โดยทั่วไปจะแทนเซตดวยอักษรภาษาอังกฤษตัวพมิ พใหญ เชน A,
B, C และแทนสมาชกิ ดวยตวั พิมพเ ลก็ เชน a, b, c

ตัวอยา ง

กาํ หนดให A แทนเซตของพยญั ชนะ 3 ตัวแรกในภาษาองั กฤษ
A = {a, b, c} อา นวา A เปน เซตที่มี a, b และ c เปน สมาชกิ

กําหนดให B แทนเซตของจํานวนเต็มบวกทเ่ี ปนคู
B = {2,4, 6, 8,…}

ขอ สงั เกต เราใชจ ุดสามจดุ (…) เพื่อแสดงวา มีสมาชกิ อื่นๆ ซง่ึ เปนท่เี ขา ใจกันอยูแ ลว วา มีอะไรในเซตบา ง
เชน {1,2,…, 10} หมายถึง เขา ใจวา มี 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 เปนสมาชิกของเซตดวย หรือใชแ ทนเซต
อนันต (Infinite Set) ท่ีบอกวามีจาํ นวนอีกมากมายไมส น้ิ สุด

1

2) แบบบอกเงือนไข

เปนการใชต วั แปรเขยี นแทนสมาชิกแลวทําการบรรยายสมบัตขิ องสมาชิกทอ่ี ยูในรปู ตัวแปร
เชนA = {x | x เปน พยัญชนะสามตวั แรกในภาษาอังกฤษ} อา นวา A เปนเซตซึ่งประกอบไปดว ย
สมาชิก x โดยที่ x เปนพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤษ เครือ่ งหมาย “|” แทนคําวา "โดยท”่ี

ตัวอยา ง

A = {x | x เปนสระในภาษาองั กฤษ}
อา นวา A เปนเซตที่ประกอบดว ยสมาชกิ x โดยที่ x เปน สละในภาษาองั กฤษ}
B = {x | x เปน จํานวนเตม็ และ -1 < x < 2}

∈ ∉การเปนสมาชิกของเซต

เราใชสัญลักษณ แทนการเปน สมาชิกและ แทนการไมเปน สมาชิก เชน

กําหนดให A = {1, 2, 3, 4} A
A
∈จะไดว า 1 เปน สมาชิกของ A เขียนแทนดว ย 1A
∈2 เปนสมาชกิ ของ A เขียนแทนดว ย 2 A
∈3 เปน สมาชิกของ A เขียนแทนดว ย 3
∈4 เปน สมาชกิ ของ A เขียนแทนดว ย 4 A
∉5 ไมเ ปน สมาชิกของ A เขียนแทนดวย 5

จํานวนสมาชกิ ของเซต (Cardinal Number) เขียนแทนดวย n(A)

เซตจาํ กดั และเซตอนันต์

บทนยิ าม

เซตจํากัด เปน เซตทีม่ จี ํานวนสมาชิกเทา กับศนู ยหรอื เทา กบั จํานวนเต็มบวกใดๆ
เซตอนนั ต เปน เซต็ ที่ไมส ามารถบอกจํานวนสมาชิกของเซตได

2

เซตจํากัด (Finite Set) คอื เซต็ ที่สามารถบอกจํานวนสมาชิกทีแ่ ตกตางกันในเซต
น้ัน วา มีจํานวนเทา ใดทม่ี ากกวา หรือเทา กับ 0 ตวั หรอื กลา วอีกนัยหนึ่ง กค็ ือ เปน เซ็ตที่มี
สมาชิกจํานวนแนนอน รวมทัง้ เซตวางทไี่ มม ีสมาชกิ เลยดว ย เชน

A = {x | x เปนจํานวนจรงิ ซงึ่ x-1= 1}
B = {x | x เปนจํานวนเตม็ บวกที่มีคานอ ยกวา 20 }
เซตจํากัดทีม่ ีจาํ นวนจากสมาชิกเทา กับศูนย คือ เซตท่ีไมมีสมาชิกอยเู ลย เรียกวา เซตวาง
(Empty Set) เขียนแทนดว ยสญั ลักษณ Ø หรอื { } (วงเล็บปกกาทไี่ มมสี มาชกิ อย)ู
ตวั อยางเชน

∴A = {x | x เปน จํานวนเตม็ และ 1 < x < 2} A = Ø
∴B = { x | x เปน จํานวนเตม็ บวก และ x + 1 = 0 } B = Ø

เนอ่ื งจากเราสามารถบอกจาํ นวนสมาชิกของเซตวางได ดงั นนั้ เซตวา งเปน เซตจํากดั

บทนยิ าม

เซตวาง คือ เซตท่ีไมม สี มาชกิ อยเู ลย

เซตอนนั ต (Infinite Set) คอื เซตทไี่ มใ ชเ ซตจํากดั หรอื กลา วอีกนยั หน่ึง คอื เซตที่มี
จาํ นวนสมาชิกมากมายจนนบั ไมถวน หรือไมส ามารถบอกจํานวนสมาชกิ ทแ่ี ตกตางในเซต
นน้ั วามีจํานวนเทาใดได เชน

A = {x | x เปนเซตของจํานวนจริง }
B = {x | x เปนจํานวนเต็มบวก }

3

ความสัมพันธ์ระหวา่ งเซต

เซตท่ีเทากัน (Equal Set) คอื เซตที่มจี าํ นวนสมาชกิ เทา กนั และมสี มาชกิ เหมือนกัน

บทนยิ าม

เซต A เทา กับเซต B ก็ตอ เมอ่ื เซตทง้ั สองนี้มสี มาชกิ เหมอื นกนั กลาวคือ เซต A
เปน สมาชกิ ของเซต B และสมาชกิ ทุกตวั ของเซต B เปน สมาชิกของเซต A เซต
A เทา กับเซต B เขียนแทนดว ย A = B

↔เซตทเ่ี ทียบเทา กนั (Equivalent Set) คอื เซตที่มีจํานวนสมาชิกเทากนั อาจเขยี นแทน

ดว ยเครื่องหมาย
นยิ าม 1. ถา A และ B เปนเซตจํากัด เรียกวา A เทียบเทากบั B เม่อื n(A) = n(B)

2. ถา A และ B เปน เซตอนนั ต เรียกวา A เทียบเทา กบั B เม่อื สามารถนาํ สมาชิก
ทุกตวั ของ A และ B มาจบั คกู นั แบบหน่งึ ตอ หนึง่ ได

เซตท่ีเทา กนั ยอ มเปน เซตเทยี บเทากัน แตเ ซตเทียบเทากันอาจไมเปนเซตทเี่ ทากันก็ได
ตัวอยา ง A = {1, 2, 3}, B = {3, 2, 2, 1}

↔เน่ืองจาก A และ B มีจํานวนสมาชกิ เทากนั แสดงวาเปนเซตเทียบเทา (A B)

และมีสมาชิกเหมือนกัน (ตรวจสอบลกั ษณะการเขยี นเซต ตามหลกั การเขยี นเซตท่ีวา
ไมค าํ นงึ ถึงลาํ ดับ และไมค าํ นึงถึงการเขยี นซ้ํา) ดงั นน้ั A=B

C = {1, 2, {3}}, D = {3, 2, 2, 1)

↔เนือ่ งจาก C และ D มจี าํ นวนสมาชกิ เทากนั แสดงวา เปน เซตเทียบเทา (C D)

แตส มาชิกไมเ หมือนกัน ดงั น้นั A ≠ B

4

แบบฝกหดั 1.1

1. ใหเ้ ขียนเซตต่อไปนแี บบแจกแจงสมาชกิ
1.1 กําหนดให้ A เปนเซตของจํานวนเต็มลบทีมคี ่ามากกวา่ -3
.............................................................................................................................
1.2 กําหนดให้ B เปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวกทมี สี องหลัก
.............................................................................................................................
1.3 กําหนดให้ C เปนเซตของจํานวนเฉพาะทีมคี ่าน้อยกวา่ 15
...........................................................................................................................
1.4 กาํ หนดให้ D เปนเซตของจํานวนเตม็ บวกทีมีคา่ มากกวา่

100
..............................................................................................................................

2. ให้เขียนเซตตอ่ ไปนีแบบบอกเงอื นไขของสมาชิก
2.1) M = { -1, 1}
............................................................................................................................
2.2) N = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }
............................................................................................................................
2.3) O = { 1, 2, 3, … }
...........................................................................................................................
2.4) P = {a, e, i, o, u}
...........................................................................................................................

5

3. ใหบ้ อกจาํ นวนสมาชิกของเซตตอ่ ไปนี
3.1) A = { 1, 2, {1}, {1, 2, 3}}

∈.........................................................................................................................

3.2) B = { x | x N และ 2 < x < 10 }

∈.............................................................................................................................

3.3) C = { x | x I และ -3 < x < 4 }
..............................................................................................................................
4. เซตใดต่อไปนี เซตใดเปนเซตจาํ กัด เซตใดเปนเซตอนนั ต์
4.1) {1, 2, 3, 4, 5}
.................................................................................................................................
4.2) { x | x เปนจาํ นวนเตม็ ทหี ารด้วย 3 ลงตวั }
.................................................................................................................................
4.3) { x | x เปนจาํ นวนเฉพาะทีมากกวา่ 5 และน้อยกวา่ 11 }
................................................................................................................................

6

เอกภพสมั พัทธ์

เอกภพสมั พทั ธ (Relatively Universe) เซตที่กําหนดข้ึนโดยมขี อ ตกลงวา ตอ
ไปจะกลาวถงึ สมาชิกของเซตนีเ้ ทา นน้ั จะไมมกี ารกลา วถึงสง่ิ ใดท่ไี มเปน สมาชิกของเซต
นนี้ ยิ มใชสัญลกั ษณ U แทนสัญลักษณเอกภพสัมพัทธ

บทนยิ าม

เอกภพสมั พัทธ คอื เซตท่กี าํ หนดขอบขายในการพิจารณาสมาชิกของเซตท่ีกลา วถงึ

ตัวอยาง
กาํ หนดให B = { x | x -15 ≤ X ≤ 5 และ x หารดว ย 3 ลงตวั } เมอื่ U = 1

ใหเขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชกิ
วิธที ํา เมือ่ U เปนเซตของจาํ นวนเต็ม ซง่ึ เซต B มสี มาชกิ เปน จํานวนเต็มทม่ี ากกวา

หรือเทา กับ -15 แตน อยกวา 5 และหารดว ย 3 ลงตัว
จะไดสมาชิกในเซต B คอื -15, -12, -9, -6, -3, 0, 3
ดงั นั้น B = {-15, -12, -9, -6, -3, 0, 3 }

แบบฝกหดั 1.2

1. กําหนดให C = { x | }

1.1) ใหเขยี นเซต C แบบแจกแจงสมาชกิ เม่อื U =

1.2) ใหเขียนเซต C แบบแจกแจงสมาชิก เม่ือ U =

7

สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

สบั เซต หรอื เซตยอ่ ย (Subsets)

บทนยิ าม

เซต A เปนสบั เซตของเซต B กต็ อ่ เมอื สมาชกิ ทกุ ตวั ของเซต A เปนสมาชกิ ของเซต B

⊂A เปนสบั เซตของเซต B เขยี นแทนดว้ ย A B
⊄A ไมเ่ ปนสบั เซตของเซต B เขยี นแทนดว้ ย A B

ตวั อยา่ ง ถา้ A = {1}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 4, 5, 6} และ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

⊂ ⊂ ⊂ ⊄ ⊄ ⊄จะได้ A B, B D และ A D แต่ A C , B C และ C D

ตวั อยา่ ง ถา้ กาํ หนด A = {a, b, c}

∅จะไดส้ บั เซตทงั หมดของ A คอื {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c},
⊂ถา้ A B และ A ≠ B เชน่ A = {1}, B = {1, 2} จะเรยี ก A วา่ เปน สบั เซตแทข้ องเซต B
⊂ถา้ A B และ A = B เชน่ A = {a, b}, B = {a, b} จะเรยี ก A วา่ เปน สบั เซตไมแ่ ทข้ องเซต B

⊂เซต A เปนสับเซตแท้ของเซต B กต็ อ่ เมือ A B แต่ A ≠ B

ขอ้ สงั เกต

⊂1. เซตทกุ เซตเปนสบั เซตของตวั มนั เอง นนั คอื ถา้ A เปนเซตใดๆ แลว้ (A A)
∅⊂2. เซตวา่ งเปนสบั เซตของทกุ ๆ เซต นนั คอื ถา้ A เปนเซตใดๆ แลว้ ( A)
⊂3. เซตทกุ เซตเปนสบั เซตของเอกภพสมั พัทธ์ นนั คอื ถา้ A เปนเซตใดๆ แลว้ (A U)
⊂∅ ∅4. ถา้ A แลว้ A=
⊂ ⊂ ⊂5. ถา้ A B และ B C แลว้ A C
⊂ ⊂6.กําหนด A และ B เปนเซต กล่าวว่า A B และ B A กต็ อ่ เมอื A=B

ถา A มีจาํ นวนสมาชกิ เทา กับ n ตวั แลว จํานวนสบั เซตทง้ั หมดของเซต A เทา กบั เซต
และจาํ นวนสบั เซตแทท ง้ั หมดของเซต A เทา กับ - 1

8

เพาเวอร์เซต

เซตของสบั เซตทังหมดของเซต A เรยี กวา่ เพาเวอรเ์ ซตของเซต A เขยี นแทนดว้ ย
P(A)

กําหนดให้ A = { 1, 2, 3 }

∅จะได้ สบั เซตทังหมดของเซต A คือ ,{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
∅ดงั นนั P(A) = { ,{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

ตัวอยา่ ง กําหนดให้ A = { 1, 2, {1}} หาเพาเวอรเ์ ซต็ ของเซต A
วธิ ที ํา เพาเวอรเ์ ซตของเซต A คือ

∅P(A) = { , {1}, {2}, {{1}}, {1, 2}, {1,{1}}, {2, {1}}, {1, 2,{1}}}

ถ้า A เปนเซตจาํ กัดทีมสี มาชกิ n ตัว แล้วเพาเวอรเ์ ซตของเซต A
มจี าํ นวนสมาชกิ เท่ากับ ตัว นนั คือ n(P(A)) =

9

แบบฝกหัด 1.3

1. ให้หาสบั เซตทังหมดของเซตต่อไปนี
1.1) A = {5, 7}
ตอบ.................................................................................................
........................................................................................................

1.2) B = {a, b, {c}}
ตอบ.................................................................................................
........................................................................................................

1.3) C = {5, {6}, {7}}
ตอบ.................................................................................................
........................................................................................................

2. ให้หาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี
2.1) M = {1, {3}}
ตอบ..................................................................................
.......................................................................................
2.2) N = {x, {y}, z}
ตอบ................................................................................
......................................................................................
2.3) O = { 1, 3, 5, 7,}
ตอบ ................................................................................
.......................................................................................

10

11

เฉลยแบบฝกหัด 1.1

1. ให้เขียนเซตตอ่ ไปนีแบบแจกแจงสมาชกิ
1.1 กาํ หนดให้ A เปนเซตของจาํ นวนเต็มลบทมี คี า่ มากกวา่ -3
ตอบ ..........A = {-2, -1}.....................................................
1.2 กําหนดให้ B เปนเซตของจํานวนเต็มบวกทมี สี องหลัก
ตอบ .........B = {10, 11, 12, …, 99}..................................
1.3 กําหนดให้ C เปนเซตของจํานวนเฉพาะทีมคี ่านอ้ ยกวา่ 15
ตอบ .........C = {2, 3 ,5 ,7, 11, 13}................................
1.4 กาํ หนดให้ D เปนเซตของจํานวนเตม็ บวกทีมีคา่ มากกวา่ 100
ตอบ..........D = {101, 102, 103, … }.................................

2. ใหเ้ ขียนเซตต่อไปนแี บบบอกเงอื นไขของสมาชิก

2.1) M = { -1, 1}

ตอบ M = {x | x เปนจาํ นวนเตม็ และ }

2.2) N = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

ตอบ N = {x | x เปนจํานวนเต็ม และ -4 < x < 4}

2.3) O = { 1, 2, 3, … }

ตอบ O = {x | x เปนจํานวนนบั } หรอ {x | x เปนจาํ นวนเต็มบวก}

2.4 P = {a, e, i, o, u}

ตอบ P = { x | x เปนสระภาษาอังกฤษ}

12

3. ให้บอกจาํ นวนสมาชกิ ของเซตต่อไปนี
3.1) A = { 1, 2, {1}, {1, 2, 3}}

∈ตอบ.........n(A) = 4 ตวั ................................................................................

3.2) B = { x | x N และ 2 < x < 10 }

∈ตอบ.........n(B) = 7 ตวั .................................................................................

3.3) C = { x | x I และ -3 < x < 4 }
ตอบ.........n(C) = 6 ตัว..................................................................................
4. เซตใดตอ่ ไปนี เซตใดเปนเซตจาํ กดั เซตใดเปนเซตอนันต์
4.1) {1, 2, 3, 4, 5}
ตอบ......เซตจาํ กัด.......................................................................................................
4.2) { x | x เปนจาํ นวนเตม็ ทีหารดว้ ย 3 ลงตัว }
ตอบ......เซตอนันต.์ .......................................................................................................
4.3) { x | x เปนจาํ นวนเฉพาะทมี ากกวา่ 5 และน้อยกวา่ 11 }
ตอบ.......เซตจํากัด........................................................................................................

13

เฉลยแบบฝกหัด 1.2

1. กําหนดให C = { x | }

1.1) ใหเขียนเซต C แบบแจกแจงสมาชิก เม่อื U =

1.2) ใหเขยี นเซต C แบบแจกแจงสมาชกิ เม่ือ U =

วธิ ที าํ 1.1) เมอื่ U เปนเซตของจาํ นวนเต็ม จะไดส มาชิกใน
เซต C คือ 0,1
ดังนัน้ C เทา กับ {0, 1} เม่ือ U =

1.2) เม่อื U เปนเซตของจํานวนเตม็ บวก จะไดสมาชกิ ใน
เซต C คือ 1
ดังนัน้ C เทา กบั {1} เมอื่ U =

14

เฉลยแบบฝกหัด 1.3

1. ให้หาสบั เซตทังหมดของเซตต่อไปนี

∅1.1) A = {5, 7}

ตอบ สบั เซตทังหมดของเซต A คือ , {5}, {7}, {5,7}
1.2) B = {a, b, {c}}

∅ตอบ สบั เซตทังหมดของเซต B คือ , {a}, {b}, {{c}}, {a, b}, {a,{{c}}, {b,

{{c}},
{a, b, {c}}

∅1.3) C = {5, {6}, {7}}

ตอบ สบั เซตทังหมดของเซต C คือ , {5}, {{6}}, {{7}}, {5,{{6}}, {5,{7}},
{{6},{7}}, {5, {6}, {7}}

2. ให้หาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี
2.1) M = {1, {3}}

∅ตอบ P(M) = { , {1}, {{3}}, {1,{3}}}

2.2) N = {x, {y}, z}

∅ตอบ P(N) = { , {x}, {{y}}, {z}, {x, {y}}, {x, z}, {{y}, z}, {x, {y}, z}}

2.3) O = { 1, 3, 5, 7,}

∅ตอบ P(O) = { , {1}, {3}, {5}, {7}, {1,3}, {1,5}, {1,7}, {3, 5}, {3,7},

{5, 7}, {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {1, 5, 7}, {3, 5, 7}, {1, 3, 5, 7}}

15

ผู้จัดทํา
นางสาวฐิติรัตน์ ฝอยทอง
รหัสนักศึกษา : 6210121204056

หมู่เรียนที 2
สาขาคณิตศาสตร์ ชันปที 3