NOTA PINTAR MATEMATIK SPM

NOTA PINTAR
MATEMATIK SPM

(1449)

Disediakan oleh:

EN. MOHAMAD ZAWAWI BIN MD ZAIN
GURU CEMERLANG MATEMATIK

@zawawizain
zawawi_zain
Zawawi Zain

1 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 1 BAB 6: PERSAMAAN LINEAR SERENTAK
Contoh1:
Hitung nilai x dan y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut:

x − 2y = 10

4x + 3y = 7

Kaedah Penghapusan Kedah Penggantian
x = 10 + 2y
(x – 2y =10) x 4 Gantikan dlm persamaan
4x + 3y = 7
4x – 8y = 40 1 4(10+2y) + 3y = 7
11y = −33
4x + 3y = 7 2
y = -3
Persamaan 1 - 2 Gantikan dlm persamaan
x = 10 + 2y
-11y = 33 x = 10 + 2(-3)
x=4
y = -3

Gantikan y = -3 dalam

Persamaan (boleh pilih mana2 persamaan)
x – 2y =10
x – 2(-3) = 10

x=4

Semak jawapan guna Contoh 2:
kalkulator Harga bagi 1kg durian dan 1kg nangka ialah RM11. Beza
Tekan MODE 3x harga antara 3 kg durian dan 1 kg nangka ialah RM5.
EQN → tekan 1 Berapakah harga, dalam RM, bagi 1 kg nangka?
Unknowns 2 3 → tekan 2
a1 = 1 , b1 = -2 , c1 = 10 Penyelesaian: Kata Kunci!
a2 = 4 , b2 = 3 , c2 = 7 Bentukkan persamaan
Tekan ‘=’ → x = 4 x = durian y = nangka Hasil tambah, gabungan, jumlah
Tekan ‘=’ → y = -3 adalah operasi ‘+”

* Jangan lupa untuk ‘clear all’ x + y = 11 ----- 1 Beza, kurang adalah operasi ‘-‘
SHIF MODE 3 = 3x – y = 5 ----- 2

1+2 (+) jika operasi berbeza
4x=16 ( - ) jika operasi sama

x=4

4+y=11

y= 7 Harga bagi 1kg nangka adalah RM7

TINGKATAN 2 BAB 5: BULATAN

Luas bulatan = 2

Lilitan θ jejari Panjang lilitan bulatan = 2
bulatan j
Sektor panjang lengkok sudut pusat
o bulatan lilitan bulatan = 360o
diameter luas sektor sudut pusat
luas bulatan = 360o
Panjang lengkok= θ  2 πj
360
Luas sektor= θ  πj2
360

2 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 2 BAB 6: BENTUK GEOMETRI TIGA DIMENSI

Isipadu Silinder = πj2t Isipadu kon = 1 πj2t Isipadu sfera = 4 πj3
3 3

j j

tt

Isipadu piramid = 1 luas tapak  tinggi j
3 Isipadu piramid = 1 luas tapak  tinggi
= 1plt
3 3
= 1  ( 1  ab)  t
t t 32
ℓ
a
p b

Isipadu piramid = 1 luas tapak  tinggi Isipadu prisma = luas keratan rentas x panjang
3 = ( 1  ab) p
2
= 1  ( 1  a b)  t
t 32

b

b p Luas keratan rentas
a

a

Isipadu prisma = luas keratan rentas x panjang Isipadu prisma = luas keratan rentas x panjang

= ( 1  ab)p = ( 1  (a + b) t)p
2 2

b

bt p Luas keratan rentas
p
Luas keratan rentas

aa

Isipadu prisma = luas keratan rentas x panjang Isipadu prisma = luas keratan rentas x panjang

= ( 1  (a + b) t)p = ( 1  (a + b) t)p
2 2

b p b a Luas keratan rentas
Luas keratan rentas t p
t
a

3 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 3 BAB 9: GARIS LURUS

Kecerunan, m m = − pintasan - y y
pintasan - x 4
m = y2 − y1
x2 − x1 Cth:

Cth: A(2, 4) dan B (4, - 6) m= −4
4
x1,y1 x2,y2

m= −6−4 m = -1
4−2
o 4x

m = -5

Persamaan c adalah pintasan y ContoH:
y = mx + c

* Untuk membentuk suatu persamaan,
kecerunan, m dan pintasan – y, c adalah

diperlukan.

Persamaan selari dengan paksi y

Cth: y
C

o D Persamaan CD: x = 3
3 x

Persamaan selari dengan paksi x Cari
Cth:
a) Persamaan bagi garis lurus SR.
y b) Pintasan – x bagi garis lurus SR.

ox Jawapan:
-2 S T Persamaan ST: y = -2
a) m = − 6 − (−2) b) gantikan y = 0
Pintasan x 4 − (−2)
y=0
* mencari pintasan x dengan menggantikan m= −2 0=−2x+7
3 3
y = 0 dalam persamaan
y = mx + c x = 21
2

y = −2x+c
3

Gantikan R(6,3)

3 = − 2 (6) + c
3

c=7

y = −2x+7
3

b) gantikan y = 0
0=−2x+7
3
x = 21
2

4 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 4 BAB 1: FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRATIK DALAM SATU

PEMBOLEHUBAH

Fungsi Kuadratik

Bentuk Am : = 2 + +

Paksi simetri Paksi simetri Paksi simetri

b<0 b>0 b=0

Bentuk graf a>0
c = pintasan-y

Paksi simetri Paksi simetri Paksi simetri
b<0 b>0 b=0

Bentuk graf a<0
c = pintasan-y

Persamaan Kuadratik

Bentuk am: ax2 + bx + c = 0

Sebuah roket air dilancarkan dari sebuah

Langkah penyelesaian pelantar. Ketinggian, h dalam meter, rocket air

i) Tukar persamaan kepada bentuk am itu pada masa t saat selepas dilancarkan ialah

ax2 + bx + c = 0 h = -2t2 + 3t + 2. Bilakah roket air itu tiba di

ii) Pemfaktoran permukaan tanah?

Nilai jawapan -2t2 + 3t + 2 = 0 Bila sampai
2t2 – 3t – 2 = 0 permukaan tanah,
(x + 2)2 = 2x+7 (2t + 1) (t – 2) = 0 ketinggian h = 0
(x + 2)(x + 2) = 2x+7
x2 + 2x + 2x + 4 -2x -7 = 0 t= −1 ,t=2 Tukar bentuk am
x2 + 2x - 3 = 0 2 ax2 + bx + c = 0
(x – 1) (x + 3) = 0
x = 1 atau x = -3 t=2

Mencari jawapan menggunakan kalkulator Pemfaktoran

Tekan MODE 3x Nilai masa t hanya nilai
EQN → tekan 1 yang positif kerana masa
Unknowns 2 3 → tekan anak panah kanan tiada nilai negatif
Degree 2 3 → tekan 2
Peringatan:
a = 1 , b = 2, c = -3 Masa, jarak, panjang, umur,
x1 = 1 tekan ‘=’ berat …. Tiada nilai negatif ( - )

x2 = -3

* Jika jawapan dalam perpuluhan tekan SHIFT
ab/c

5 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 4 BAB 2: ASAS NOMBOR Operasi Tambah
Pertukaran Asas 6738+1758=

Asas p Asas 10 Asas q

Contoh: 11
Tukar 13214 kepada nombor dalam asas lima. 6 5 37
+ 1 4 47
1 1 3 07

Langkah 1: Tukar kepada asas 10

3210 3+4= 710 = 107
1+5+4 = 1010 = 137
1 3 2 14 1+6+1 = 810 = 117
Langkah 2: Pembahagian berulang
(1 × 43) + (3 × 42) + (2 × 41) + (1 × 40) Operasi Tolak
= 12110 401056-13256=

5 121 56
3606
5 24 - 1
4 0 1 0 56
5 4 -4 - 1 3 2 56

0 -4 3 4 3 4 06

Jawapan = 4415

TINGKATAN 4 BAB 4: OPERASI SET

 = persilangan  = kesatuan A’ = pelengkap bagi A

A B B A B B A'B B
\
A A A

A B A B A B =  atau ∩ = { }

BA

Contoh:

Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q, dan set R dengan keadaan set
semesta, ξ = P  Q R

(a) P  R Q (b) P  (Q R')
P 2Q

P

R 13 5 R

6
7

4

Kaedah perwakilan
* Selesaikan dalam ( ) dahulu

P  (Q R')

( 2 3 4  1 2 3 4 5)
1356  12345

1 3 5 (lorek kawasan 1,3,5)

6 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 4 BAB 3: PENAAKULAN LOGIK

Pernyataan ialah suatu ayat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, iaitu sama ada benar
atau palsu, tetapi bukan kedua – duanya.

Soalan, arahan atau seruan adalah bukan pernyataan.

Cth pernyataan: Cth bukan pernyataan:

i) 2 x 1 = 2 (pernyataan benar) i) Apakah nilai bagi 3 × −3?

ii) 2 x 5 = 20 (pernyataan palsu) ii) 2x + 2 = 4

iii) 2 ialah nombor perdana iii) x = -3

(pernyataan benar)

Pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’

Contoh

i) Semua nombor genap boleh dibahagi tepat dengan 2.

ii) Sebilangan nombor perdana adalah nombor ganjil.

iii) Sebilangan nombor ganjil adalah nombor perdana.

Penafian pernyataan (tidak atau bukan) Pernyataan majmuk ( ‘dan’ atau ‘atau’)

Pernyataan : p Jadual Kebenaran

Penafian : ~p p q p dan q p atau q

Cth: Benar Benar Benar Benar

Pernyataan : 21 ialah gandaan 5 (palsu) Benar Palsu Palsu Benar

Penafian : 21 bukan gandaan 5 (benar) Palsu Benar Palsu Benar

Implikasi “ Jika p, maka q” Palsu Palsu Palsu Palsu
Contoh:
Cth 1:
i) Jika x + 3 = 5, maka x = 2
Antejadian : x + 3 = 5 5+2> 6+2 dan −3 + 4 < −2 + 4
Akibat : x = 2
Palsu dan Benar

Jawapan: Palsu

Cth 2:

7 atau 9 ialah nombor perdana

Benar atau Palsu

Jawapan: Benar

Implikasi “ p jika dan hanya jika q”
Contoh: Tulis 2 implikasi berdasarkan pernyataan majmuk yang diberikan.

H mempunyai 7 sisi jika dan hanya jika H ialah heptagon.
Jawapan:
Implikasi 1: Jika H mempunyai 7 sisi maka H ialah heptagon

Implikasi 2: Jika H ialah heptagon maka H mempunyai 7 sisi.

Akas, Songsangan dan Kontrapositif Cth:

Pernyataan: Jika p, maka q. Pernyataan : Jika = 3 maka + 2 = 5

Akas : Jika q, maka p Akas : Jika + 2 = 5 maka = 3

Songsangan: Jika ~p, maka ~q Songsang : Jika ≠ 3 maka + 2 ≠ 5

Kontrapositif: Jika ~q, maka ~p Kontrapositif : Jika + 2 ≠ 5 maka ≠ 3

Nilai kebenaran bagi “Jika p, maka q”, Akas, Songsangan dan Kontrapositif

pq Pernyataan Akas Songsangan Kontrapositif
Jika p, maka q Jika p, maka q Jika ~p, maka ~q Jika ~p, maka ~q
Benar Benar
Benar Palsu Benar Benar Benar Benar
Palsu Benar Palsu Benar Benar Palsu
Palsu Palsu Benar Palsu Palsu Benar
Benar Benar Benar Benar

7 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

Hujah Deduktif
Hujah deduktif yang SAH boleh dikategorikan kepada 3 bentuk berikut:

Bentuk I Bentuk II Bentuk III

Premis 1 Semua A ialah B Jika p, maka q Jika p, maka q

Premis 2 C ialah benar p benar benar Bukan q adalah benar

Kesimpulan C ialah B q adalah benar Bukan p adalah benar

Hujah deduktif dikatakan MUNASABAH jika semua premis dan kesimpulannya adalah benar.

Conton 1 : Bentuk I Contoh 3: Bentuk III

Premis 1 : Semua gandaan 3 ialah gandaan Premis 1 : Jika Y⊂ Z, maka Y ∩ Z = Y
30 Premis 2 : Y ∩ Z ≠ Y

Premis 2 : 15 ialah gandaan 3 Kesimpulan : Y⊄ Z

Kesimpulan : 15 ialah ialah gandaan 30. Sah dan munasabah kerana semua premis

Sah dan tidak munasabah kerana premis 1 dan kesimpulan adalah benar.

dan kesimpulan adalah palsu.

Contoh 4:

Contoh 2: Bentuk II Premis 1 : Jika m < 8 , maka m < 10

Premis 1 : Jika m < 8 , maka m < 10 Premis 2 : 7 < 10

Premis 2 : 7 < 8 Kesimpulan : 7 < 8

Kesimpulan : 7 < 10 Tidak sah tetapi munasabah kerana tidak

Sah dan munasabah kerana semua premis membentuk hujah deduktif yang sah.

dan kesimpulan adalah benar.

Membentuk hujah deduktif yang sah

Sudut yang dicangkum di pusat sebuah poligon sekata yang mempunyai n sisi ialah 360 o .
n

Buat satu kesimpulan secara deduksi bagi sudut yang dicangkum di pusat sebuah poligon

sekata yang mempunyai 5 sisi.

Jawapan: 360 o = 72o
5

Hujah Induktif

Hujah Kesimpulan Kuat Semua Premis Benar Meyakinkan
Induktif benar Ada premis yang Palsu Tidak meyakinkan

Kesimpulan Lemah Tidak meyakinkan
palsu

Contoh1: Contoh2:
Premis 1 : 2 × 3 = 6 Premis 1 : 9 ialah gandaan 3
Premis 2 : 4× 3 = 12 Premis 2 : 12 ialah gandaan 3
Premis 3 : 6× 3 = 18 Premis 3 : 15 ialah gandaan 3
Kesimpulan : Semua gandaan 3 ialah
Kesimpulan : Hasil darab gandaan 2 dengan
nombor ganjil
3 ialah nombor genap Lemah dan tidak meyakinkan
kerana kesimpulan adalah palsu.
Kuat dan meyakinkan kerana kesimpulan dan semua
Buat satu kesimpulan secara induktif
premis adalah benar. bagi urutan nombor 0, 4, 26, 84, …
yang mengikut pola berikut:
Membentuk hujah induktif 0 = 3 (0)
4 = 3 (1) + 1
Buat satu kesimpulan secara induktif bagi urutan 26=3 (8) + 2
nombor 1, 7, 17, 31, … yang mengikut pola berikut: 84=3(27) + 3
1 = ( 2 x 1) – 1 Jawapan:
7 = ( 2 x 4) – 1 3(n3) + n , n = 0, 1, 2, 3, …
17=( 2 x 9) – 1
31= (2 x 16) – 1

Jawapan:
(2 x n2) – 1 , n = 1, 2, 3, …

8 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 4 BAB 5: RANGKAIAN DALAM TEORI GRAF

Rangkaian Simbol Penyelesaian b
Nama

Senaraikan bucu V V={a, b, c}

Bilangan bucu n(V) n(V) = 3

Tepi E E = {(a, b), (b,c), (a,c)} a c
Bilangan tepi n(E) n(E) = 3

Jumlah darjah  d(V ) = 2E  d (V ) = 2 3 = 6

Kos optimum

Kos optimum untuk laluan dari suatu bucu ke bucu yang lain boleh dicari melalui laluan yang

terpendek.

Contoh: Cari kos optimum untuk bergerak dari a ke d.
●c Penyelesaian:

11 Laluan a → b → c →d = 5 + 1+ 1 = 7

b● 4 ●d Laluan a→b →d = 5 + 4 = 9

5 7 6 Laluan a →e →d = 7 + 6 = 13
a● ●e Kos optimum a ke d = 7

Subgraf ●c a ●c
●a
●b

b ● ●d f b ● ●d

f● e d ● ● f●
G1 d G2 c

a ● G ●e Penyelesaian: Penyelesaian: a● ●e

G1 ialah subgraf bagi G. G2 bukan
subgraf bagi G. Kerana tepi ad

tidak berkait

Pokok

Pokok ialah graf tak terarah yang tidak mengandungi sebarang gelung.
Terdapat hanya satu laluan yang mengaitkan mana – mana dua bucu di dalam pokok.

ab ab

c c Terdapat lebih daripada
satu lalaun yang
d mengaitkan a→c.
Pokok
d i) a→c
ii) a→b→c

Bukan Pokok

9 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 4 BAB 6: KETAKSAMAAN LINEAR DALAM DUA PEMBOLEH UBAH

Garis mewakili ‘  ’ & ‘  ’ Garis mewakili ‘ >’ & ‘<’
y  −x
‘  ’ & ‘>’ → kawasan berlorek atas dan kanan

‘  ’ & ‘< ‘ → kawasan berlorek bawah dan kiri

y0 x0 y0

y=x

y  0 x  −1 yx y  −x

y=x

y  2x + 2 x=-1

Pada graf di ruang jawapan, lorekkan rantau yang memuaskan ketiga –
tiga ketaksamaan y  −x + 6 , y  2x - 4 dan x > 1.

Jawapan:

y  − 1x+1 Pertindihan
2 3 kawasan

yang
berlorek

Lukis graf
x=1

Nyatakan tiga ketaksamaan yang mentakrifkan
ketaksamaan dalam rajah dibawah

Jawapan:
i) > −1
ii) ≪ + 2
iii) ≪ − + 2

pePenyelesaian menggunakan
persamaan garis lurus y=mx+c

10 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 4 BAB 7: GRAF GERAKAN

Graf Jarak – Masa Graf Laju – Masa
i) Berhenti → graf mendatar
i) Laju seragam → graf mendatar
jarak
ii) Laju = masa ii) Kadar perubahan laju = Laju Akhir - Laju Awal

iii) Laju purata = Jumlah jarak Masa
Jumlah masa
(Pecutan /Nyahpecutan)

iii) Jarak = Luas di bawah graf

Contoh: Jarak(km) Contoh: Laju(ms-1)

Pecutan 15 Nyahpecutan

30 13

Masa(Minit) Masa(s)
0 30 70 90 0 10 28 40

a) Nyatakan tempoh masa berhenti. a) Nyatakan laju seragam.

b) Hitung laju 30 minit pertama. b) Nyatakan tempoh masa laju seragam.
c) Hitung laju 20 minit terakhir dalam kmh-1
c) Hitung kadar perubahan laju 10 saat yang
d) Hitung laju purata keseluruhan perjalanan
dalam kmh-1. pertama dalam ms-2.

d) Hitung kadar perubahan laju 12 saat
terakhir dalam ms-2.

Jawapan: e) Hitung jumlah jarak keseluruhan

a) 70 – 30 b) 30 = 1 perjalanan.
30
= 40 minit. Jawapan: b) 28 – 10 = 18s
c) 30 d) 30 + 30 a) 15 ms-1
 90 
 20   60  c) 15 −13 d) 0 −15
 60  =60kmh-1 10 12
= 90kmh-1
=0.2ms-2 = -1.25ms-2

d)  1  (15 + 13) 10  + (15 18)+  1 12 15 

2  2 

= 500 m

a) Nyatakan tempoh masa dalam s zarah itu bergerak
dengan laju seragam

b) Hitung kadar perubahan laju dalam ms-2, 2 saat yang
terakhir.

c) Hitung nilai u jika jumlah jarak bagi 125s itu adalah
145m.

Jawapan:

0−15
a) 10 – 8 = 2s b) 2 = −7.5m−2

c) [12 ( + 15) × 8] + (15 × 2)+ 1 × 15 × 2)=145
(2
= 10

11 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 4 BAB 9: KEBARANGKALIAN PERISTIWA BERGABUNG

Hukum Pendarabahan Kebarangkalian = ( ∩ ) = ( ) × ( )

Hukum Penambahan Kebarangkalian = ( ∩ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )

Contoh 1: Contoh 2:

236 yr s mi l e

PQ

Satu kad dipilih secara rawak daripada Satu kod dua huruf hendak dibentuk

kotak P dan kemudian satu kad pula dipilih menggunakan mana – mana dua daripada kad

secara rawak daripada kotak Q. ini. Dua kad dipilih secara rawak, satu persatu,

Dengan menyenaraikan sampel bagi tanpa dikembalikan

semua kesudahan peristiwa yang mungkin, (a) Senaraikan ruang sample

cari kebarangkalian (b) Senaraikan semua kesudahan peristiwa

(a) Satu kad nombor genap dan kad dan cari kebarangkalian bahawa

berlabel Y dipilih. (i) kod itu bermula dengan huruf M

(b) Satu kad nombor gandaan 3 atau kad (ii) kod itu terdiri daripada dua vokal atau

berlabel R dipilih. dua konsonan.

Jawapan: Jawapan:

(a) {(2,Y), (6,Y)} 21 1 (a) S={(S,M),(S,I),(S,L),(S,E)
( ∩ ) = 3 × 2 = 3 (M,S),(M,I),(M,L),(M,E)
2=1 (I,S),(I,M),(I,L),(I,E)
63 (L,S),(L,M),(L,I),(L,E)

(b) {(3,y),(3,R),(6,Y),(2,R),(6,R)} (E,S),(E,M),(E,I),(E,L)}
5 21 1 (b) i) {(M,S),(M,I),(M,L),(M,E)}
6 (3 ∩ ) = 3 × 2 = 3
4 =1
20 5

ii) {(I,E),(E,I),(S,M),(S,L),(M,S),(M,L)

(3 ∪ ) = 211 5 (L,S),(L,M)}
3+2−3=6 8 =2
20 5

Contoh 3:

Sebuah kotak mengandungi 5 biji guli merah 4 biji guli kuning dan 7 biji guli putih. Dua biji guli

dipilih secara rawak satu demi satu tanpa pengembalian.

a) Lukis gambarajah pokok untuk menunjukkan semua kesudahan yang mungkin.

b) Hitung kebarangkalian mendapat guli warna yang sama

c) Hitung kebarangkalian mendapat guli warna yang berbeza.

a) M 4⁄15 MM b) {(MM), (KK), (PP)}
M
K 4⁄15 MK (156 × 145) + (146 × 135) + (176 × 165)
5⁄16 P 7⁄15 MP
4⁄16K M 4⁄15 KM
7⁄16 P 3⁄15 =13270
K 7⁄15 KK
P KP c) 1 – P(warna sama)

M 5⁄15 PM 1 − 37
K 4⁄15 PK 120

P 6⁄15 PP = 83

120

12 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 5 BAB 2: MATRIKS

a) Matriks Songsang 1. Diberi bahawa matriks A =

A =  a b   4 − 32 
c d 5 −

Cari matriks songsang bagi A.

A− 1 = ad 1  d −b  4(−2) 1  − 2 3 
− bc −c a − (5)(−3) − 5 4

Matrik A tiada songsangan sekiranya 1  − 2 3 
7 − 5 4
ad − bc = 0

= Matrik Identiti 2. Diberi N ialah 2  2 dengan
= (10 01)
AA−1 = I keadaan N  7 − 53 =  1 0  .
4 − 0 1

Satu Matrik A didarab dengan songsangannya Cari matriks N
hasilnya ialah Matrik Identiti.

b) Persamaan serentak kaedah matriks 7(−3) 1  − 3 5 
− (4)(−5) − 4 7
a1x + b1 y = c1

a2x + b2 y = c2 1  − 3 75 
−1 − 4
 a1 b1  x  =  c1 
a2 b2 y c2
 3 − 5 
 x  = a1(b2) 1  b2 − b1  c1  4 − 7
y − (a2)(b1) − a2 a1 c2

x = .............. Guna 3. Matriks songsang bagi

y = .............. Kalkulator  −4 −2  1  3 2 
5 3 m n −4
Tekan MODE 3x ialah .
EQN → tekan 1
Unknowns 2 3 → tekan 2 Cari nilai m dan nilai n.

a1 = 1 , b1 = -2 , c1 = 10 −4(3) 1 (−35 −24)
− (5)(−2)
a2 = 4 , b2 = 3 , c2 = 7
Tekan ‘=’ → x = 4 1 (−35 −24) = 1 ( 3 −24)
Tekan ‘=’ → y = -3 −2

* Jangan lupa untuk ‘clear all’ = −2
SHIF MODE 3 = = −5

4. Sebuah kedai menjual 52 helai kemeja – T dan 52 helai seluar dengan harag RM 1716
pada bulan Januari. Pada bulan Februari, kedai itu menjual 60 helai kemeja – T dan 50

seluar dengan harga RM 1800.
Menggunakan kaedah matriks, hitung harga sehelai kemeja – T dan sehelai seluar.

 52 52  x  = 11870106 
60 50 y

 x  = (52)(50) 1 (60)(52)  50 - 52 11780106 
y − − 60 52

x=15 y=18

13 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

TINGKATAN 5 BAB 5: KEKONGRUENAN, PEMBESARAN DAN GABUNGAN

TRANSFORMASI

Translasi  a  (+)gerak kanan /(−)gerak kiri paksi - x / y = 0
b (+) gerak atas / (-) gerak bawah paksi - y / x = 0

Kaedah pengiraan: x=a

Cth: A(2, -3) melalui translasi -42 Pantulan pada y=b
y=x

(2 + 4 , -3 + (-2) ) y = -x
A’(6,-5) - Imej y = mx + c

Putaran Pembesaran
i) Putaran 90o ikut arah jam pada pusat (a,b) Pembesaran dengan faktor skala, k pada
ii) Putaran 90o lawan arah jam pada pusat pusat (a,b)

(a,b) Faktor skala, k = ′= panjang sisi imej
iii) Putaran 180o pada pusat (a,b) panjang sisi objek

Gabungan Transformasi Luas
TR Luas imej = k2 x luas objek

Buat penjelmaan R
dahulu kemudian T

TINGKATAN 5 BAB 7: SUKATAN SERAKAN DATA TERKUMPUL

Jadual

Selang Had Had Kekerapan Titik Sempadan Sempadan Kekerapan
Bawah Atas tengah bawah atas longgokan
Kelas 14 0 9.5 14.5
10 – 14 10 19 3 12 14.5 19.5 0
15 – 19 15 24 6 17 19.5 24.5 3
20 – 24 20 29 8 22 24.5 29.5 9
25 – 29 25 34 14 27 29.5 34.5 17
30 – 34 30 39 12 32 34.5 39.5 31
35 – 39 35 44 5 37 39.5 44.5 43
40 – 44 40 42 48

Soalan – soalan rutin. Sempadan atas – sempadan bawah

a) Saiz selang kelas

14.5 – 9.5 = 5

b) Kelas mod Selang kelas bagi kekerapan yang

= 30 – 34 paling tinggi

c) Min ̅(̅ ̅ )= hasil tambah (nilai titik tengah kelas  kekerapan)
hasil tambah kekerapan

(12 0) + (17  3) + (22 6) + (27 8) + (3214) + (37 12) + (42 5)

0 + 3 + 6 + 8 +14 +12 + 5
1575

48 Berikan jawapan kepada
32.81 2 tempat perpuluhan

d) Julat = Titik tengah kelas tertinggi – Titik tengah nilai terendah
= 42 – 12
= 30

14 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

Histogram Poligon Kekerapan
Titik tengah
Kekerapan Titik tengah Kekerapan
14 14
12 12
10 10

8 8
6 6
4 4
2 2

0 0

Kekerapan Ogif Kuartil pertama Q1
longgokan
……. 1 x jumlah kekerapan = ……
4
…….
0 Nilai kuartil pertama diambil daripada graf

Nilai kuartil ogif.
ketiga
Median Q2
1 x jumlah kekerapan = ……
2

Nilai kuartil Nilai median diambil daripada graf ogif.

pertama

Kuartil ketiga Q3

Q1 Q2 Q3 Sempadan 3 x jumlah kekerapan = ……
atas 4
Nilai kuartil ketiga diambil daripada graf ogif.

Julat antara kuartil = Nilai kuartil ketiga Q3 – nilai kuartil pertama Q1

Persentil ialah nilai yang membahagikan satu set data kepada 100 bahagian.

Contoh : persentil ke 12, P12 → Nilai persentil di ambil daripada Ogif seperti nilai
Mencari nilai Kuartil
12 × Jumlah Kekerapan

100

Mentafsir Plot Kotak

Taburan Simetri Taburan pencong ke kiri Taburan pencong ke kanan
15 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)

Varians dan Sisihan Piawai (Bagi data terkumpul)

Berat dalam (kg) durian yang dikutip daripada dusun Pak Ali.

Jisim (kg) Kekerapan Titik f(x) x2 f x2

1–3 (f) tengah(x) 4 8
224 25 75
64 64
4–6 3 5 15 121 726
196 2156
7–9 1 8 8 289 1445
400 2800
10 – 12 6 11 66 529 4761
∑ f x2= 12035
13 – 15 11 14 154

16 – 18 5 17 85

19 – 21 7 20 140

22 – 24 9 23 207

∑f=44 ∑fx=679

Min ̅= = 679 = 15.43
44

Varians, 2 = ∑ 2 − ̅ ̅2̅ Sisihan Piawai =√∑ 2 − ̅ ̅2̅



= 12035 – 15.432 = √35.44
44
= 35.44 = 5.95

Varians dan Sisihan Piawai (Bagi data tak terkumpul)

Tentukan varians dan sisihan piawai bagi set data 2, 4, 5, 5, 8

Min ̅=2+4+5+5+8 = 4.8

5

Varians, 2 = ∑ 2 − ̅ ̅2̅ Sisihan Piawai =√∑ 2 − ̅ ̅2̅



= 22+42+52+52+82 – 4.82 = √3.76
5
= 1.94
= 3.76

TINGKATAN 5 BAB 3: INSURANS

Pengiraan premium insurans Semoga Nota ini bermanfaat
dan menjadi bahan rujukan
Premium = Nilai muka polisi –(KadpaerrpRreMm ium) untuk pelajar bagi menjawab
RM Matematik SPM dengan
cemerlang.
TINGKATAN 5 BAB 4: PERCUKAIAN ☺ Ikhlas daripada:

1. Cukai Pendapatan Cikgu Zawawi Zain
2. Cukai Jalan
3. Cukai Pintu
4. Cukai Tanah
5. Cukai Jualan dan Perkhidmatan

16 Disediakan oleh: Cikgu Mohamad Zawawi bin Md Zain (GC Matematik)