ลำดับและอนุกรม

ลำ ดับ และอนุก นุ รม ลำ ดับ และอนุก นุ รม จัดทำ โดย นางสาวมุนา รองเดช เลขที่14 นางสาวอาทิตยา ฤทธิ์เดช เลขที่15 เสนอ คุณ คุ ครูพั รู ช พั รี ลักษณะคชา

e-book ฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิษาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 4 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 โดยมีจุดประสงค์ เพื่อการศึกษาความรู้ที่ได้จากเรื่อง ลำ ดับและอนุกรม ทั้งนี้เนื้อหาประกอบด้วยความรู้เกี่ยวกับลำ ดับ,ลำ ดับ เลขคณิต,ลำ ดับเลขาคณิต,อนุกรม,อนุกรมเลขคณิต,อนุกรมเลขาคณิต ตลอดจนการประยุกต์ใช้แก้โจทย์ปัญหา ผู้จัดทำ ใช้หัวข้อนี้ในการทำ e-book เนื่องมาจากเป็นเรื่องที่น่า สนใจ ผู้จัดทำ ต้องขอขอบคุณ คุณครู พัชรี ลักษณะคชา ผู้ให้ความรู้ และแนวทางการศึกษา หวังว่า e-book ฉบับนี้จะให้ความรู้ และเป็น ประโยชน์แก่ผู้อ่านทุก ๆ ท่าน หากมีข้อเสนอแนะประการใด ผู้จัดทำ ขอรับไว้ด้วยความขอบพระคุณยิ่ง

ลำ ดับ (Sequence)ลำ ดับเลขคณิตลำ ดับเรขาคณิตอนุกนุรม (Series)อนุกนุรมเลขคณิตอนุกนุรมเรขาคณิตเรื่อง หน้าน้1578810

บทนิยาม 1 ฟังก์ชันชัที่มีที่โมี ดเมนเป็นเซตของจำ นวนเต็มบวกที่ เรีย รี งจากน้อยไปมากโดยเริ่มริ่ตั้งตั้แต่ 1 เรีย รี กว่า ลำ ดับดั แบ่งลำ ดับดัออกเป็น 2 ชนิด ได้แก่ 1.ลำ ดับดัจำ กัดกัคือ ลำ ดับดัที่มีที่โมี ดเมนเป็น {1,2,3,...,n} 2.ลำ ดับดัอนันนัต์ คือ ลำ ดับดัที่มีที่โมี ดเมนเป็น {1,2,3,...} การเขีย ขี นลำ ดับดัจะเขีย ขี นได้ 2 แบบ แบบที่ 1 เขีย ขี นเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรีย รี งกันกั ไป โดยที่ เรีย รี ก a ว่าพจน์ที่ 1 ของลำ ดับดั เรีย รี ก a ว่าพจน์ที่ n หรือ รื พจน์ทั่วไปของลำ ดับดั 1 n แบบที่ 2 เขีย ขี นเฉพาะพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งทั้ระบุสมาชิกในโดเมน ในกรณีที่ไที่ม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน ให้ถือว่าลำ ดับดันั้นนั้เป็น ลำ ดับดัอนันนัต์ ความหมายของลำ ดับดั 1

จะได้ a = 2(1)+5 = 7 a = 2(2)+5 = 9 a = 2(3)+5 = 11 a = 2(4)+5 = 13 ดังนั้น สี่พจน์แรกของลำ ดับนี้ คือ 7,9,11,13 1 2 3 4 จะได้ a = (1-1)(1+1) = 0 a = (2-1)(2+1) = 3 a = (3-1)(3+1) = 8 a = (4-1)(4+1) = 15 ดังนั้น สี่พจน์แรกของลำ ดับนี้ คือ 0,3,8,15 1 2 3 4 ดังนั้น a = 14+4 = 18 a = 18+4 = 22 5 6 จงเขีย ขี นสี่พ สี่ จน์แรกของลำ ดับ ดั ต่อ ต่ ไปนี้ 1.กำ หนด a n = 2n+5 2.กำ หนด a = (n-1)(n+1) จงหาพจน์ถัด ถัไปสองพจน์ของลำ ดับ ดั ที่กำที่ กำหนดให้ต่อ ต่ ไปนี้ 1.กำ หนด 2,6,10,14 2

ในการหาพจน์ทั่วไปของลำ ดับดัจะใช้การสังสัเกตความสัมสัพันพัธ์ ของพจน์ต่างๆ และความสัมสัพันพัธ์ระหว่างพจน์กับกัลำ ดับดัที่กำที่กำหนด ดังดัตัวตัอย่างต่อไปนี้ 1,4,7,10,13,16 a = 1+(3x0) = 1+(3(1-1)) a = 1+(3x1) = 1+(3(2-1)) a = 1+(3x2) = 1+(3(3-1)) ดังนั้น a = 3n-2 1 2 3 a = an+b เมื่อ มื่ ผลต่า ต่ งคงที่ a = an+bn+c เมื่อผลต่า ต่ งไม่คงที่ n n การหาพจน์ทั่น์วทั่ ไปของลำ ดับดั ใช้การสัง สั เกต พิจารณาพจน์ที่กำ หนดให้ต่อไปนี้ ใช้สูต สู ร 3

จงหาพจน์ทั่ว ทั่ไปของลำ ดับ ดั ต่อ ต่ ไปนี้ 1.กำ หนด 1,3,5,7,9,... a = a(1)+b 1 = a+b ....(1) a = a(2)+b 3 = 2a+b ....(2) (2)-(1) ได้ a = 2 แทนใน (1) จะได้ 1 = 2+b 1-2 = b b = -1 ดังนั้น รูปทั่วไป คือ a = 2n+(-1) 1 2 n 2.กำ หนด 1,3,9,27 a = a(1)+b(1)+c 1 = a+b+c ....(1) a = a(2)+b(2)+c 3 = 4a+2b+c ....(2) a = a(3)+b(3)+c 9 = 9a+3b+c ....(3) (2)-(1) ได้ 2 = 3a+b ....(4) (3)-(2) ได้ 4 = 5a+b ....(5) (5)-(4) ได้ 2 = 2a 1 = a แทนใน (4) จะได้ 2 = 3(1)+b -1 = b แทน a = 1 , b = -1 ใน (1) จะได้ 1 = 1+(-1)+c 1 = c จาก a = an +bn+c จะได้ a = (1)n +(-1)n+1 a =n -n+1 1 2 3 n n n 2 2 2 4

F บทนิยาม 2 ให้ a , a , a , ... เป็นลำ ดับดัที่มีที่ผ มี ลต่างที่ไที่ด้จาก การนำ พจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เที่สมอ ลำ ดับดั ดังดักล่าวนี้เ นี้ รีย รี กว่า ลำ ดับดัเลขคณิต และเรีย รี กผลต่างที่มีที่ค่ มี ค่ าคงตัวตั นี้ว่ นี้ ว่ า ผลต่างร่วม 1 2 3 เมื่อ มื่ a = พจน์ที่ 1 n = ลำ ดับที่ของพจน์ d = ผลต่า ต่ งร่ว ร่ ม 1 an = a1+(n-1)d ลำ ดับดัเลขคณิตณิ มีสู มี ต สู รทั่ว ทั่ไป 5

หา d = 5-1 = 4 จาก a = a +(n-1)d จะได้ a = -1+(40-1)(4) = 157 ดังนั้น a = 157 n 1 40 40 a = 6 a = 10 จาก a = a +(3-1)d 10 = 6+2d d = 2 จะได้ a = 6+2 = 8 3 1 3 1 2 จงหาพจน์ที่ 40 ของลำ ดับเลขคณิต 1,5,9,13 จงหาจำ นวนที่อยู่ระหว่าง 6 และ 10 ที่ทำ ให้จำ นวน ทั้งสามนั้นเป็นพจน์สามพจน์เรียรีงกันในลำ ดับ เลขคณิต 6

บทนิยาม 3 a , a , a , ... เป็น ลำ ดับดัเรขาคณิต ก็ต่อเมื่อมื่เป็นค่า คงที่ทุที่ทุกค่าของจำ นวนนับนัn โดยเรีย รี กค่าคงที่นี้ที่นี้ ว่ นี้ ว่ า อัตอัราส่วนร่วม a a n+1 1 2 3 n r = 20 = 5 , a = 4 2,4,8,16 อัตราส่วนร่วร่ม เท่ากับ r = = 2 2 3 4 2 18,6,2, อัตราส่วนร่วร่ม เท่ากับ r = 6 = 18 1 3 จงเขียนพจน์ที่ 7 ของลำ ดับเรขาคณิต 4,20,100 4 1 จะได้ a = (4)(5) = (4)(15,625) =62,500 7 จงหาอัตราส่วนร่วร่มของลำ ดับเรขาคณิตต่อไปนี้ ลำ ดับดัเรขาคณิตณิ มีสู มี ต สู รทั่ว ทั่ไป an = a1 x r n-1 7

หรือ n 2 Sn= (a1+an) ผลบวกของพจน์ขน์องลำ ดับจำ กัด a1,a2,a3,…,an สามารถเขียนได้ในรูป a1+a2+a3+…+an เรียกผลบวกของพจน์ทุน์ทุกพจน์ขน์องลำ ดับจำ กัดว่า อนุกนุรมจำ กัด โดย เรียก a1 ว่า พจน์ที่น์ ที่1 ของอนุกนุรม เรียก a2 ว่า พจน์ที่น์ ที่2 ของอนุกนุรม เรียก a3 ว่า พจน์ที่น์ ที่3 ของอนุกนุรม . . . เรียก an ว่า พจน์ที่น์ ที่n ของอนุกนุรม อนุก นุ รมเลขคณิต อนุกนุรมที่ได้จากลำ ดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกนุรมเลขคณิต ถ้า a1,a2,a3,…a4 เป็นลำ ดับเลขคณิต แล้วผลบวก n พจน์แน์รก ของอนุกนุรมเลขคณิตจะเขียนแทนด้วย Sn สูตร Sn= [2a1+(n-1)d] n 2 8

หา n ก่อน จาก an=a1+(n-1)d จะได้ 157=7+(n-1)d 150 = n-1 50=n-1 51=n 3 จาก Sn = (a1+an) S51= (7+157) = (164) S51=4182 n 2 2 51 2 51 จาก Sn = [2a1+(n-1)d] จะได้ S15= [2(12)+(15-1)2] S15= 390 n 2 จงหาผลบวกของพจน์ทุน์ทุกพจน์ขน์องอนุกนุรมคณิต 7+10+13+...+157 a1=7 d=10-7 =3 an=157 หอประชุมของโรงเรียนแห่งหนึ่งจัดให้มีแถวเก้าอี้แถวแรก 12 ตัว แถว ที่สอง 14 ตัว แถวที่สาม 16 ตัว เช่นนี้เรื่อยไป ถ้าในหอประชุมจัดเก้าอี้ ไว้ทั้งหมด 15 แถว จงหาว่ามีเก้าอี้ในหอประชุมทั้งหมดกี่ตัว a1=12 d=2 n=15 9

อนุก นุ รมเรขาคณิต อนุกนุรมที่ได้จากลำ ดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกนุรมเรขาคณิต ถ้า a1,a2,a3,…,an เป็นลำ ดับเรขาคณิต แล้ว ผลบวก n พจน์แน์รก ของอนุกนุรมเรขาคณิตจะเขียนแทนด้วย Sn Sn = a1(1-r ) n 1-r หรือ Sn = a1(1-ra ) 1-r n n=8 a1=1 r= 2 1 Sn = a1(1-r ) n 1-r S8 = 1(1-2 ) 1-2 S8 = 1(1-256) สูตร เมื่อ r ไม่เท่ากับ 1 จงหาผลบวกแปดพจน์แน์รกของอนุกนุรมเรขาคณิต 1+2+4+8+... จาก 8 จะได้ 1-2 S8 =255 10