Algebra_lineal_Una_introduccion_moderna

Sección 1.2 Longitud y ángulo: el producto punto 23

Demostración Dado que ambos lados de la desigualdad son no negativos, demostrar
que el cuadrado del lado izquierdo es menor o igual que el cuadrado del lado derecho
IIIII equivale a demostrar el teorema. (¿Por qué?) Calcule

7 u ϩ v7 2 ϭ 1u ϩ v2 # 1u ϩ v2
ϭ u # u ϩ 21u # v2 ϩ v # v Por el ejemplo 1.9
#Յ 7 u7 2 ϩ 2 0u v 0 ϩ 7 v7 2

Յ 7 u7 2 ϩ 27 u7 7 v7 ϩ 7 v7 2 Por Cauchy-Schwarz
˛

ϭ 17u7 ϩ 7v7 22

como se requirió.

Distancia

La distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia entre dos puntos en la
recta numérica real o entre dos puntos en el plano cartesiano. Sobre la recta numérica (fi-
gura 1.30), la distancia entre los números a y b está dada por Έa Ϫ bΈ. (Tomar el valor ab-
soluto garantiza que no es necesario conocer cuál de a o b es mayor.) Esta distancia tam-

bién es igual a 1 1a Ϫ b 22, y su generalización bidimensional es la familiar fórmula para
la distancia d entre los puntos (a1, a2) y (b1, b2), a saber, d ϭ 1 1a1 Ϫ b1 2 2 ϩ 1a2 Ϫ b2 2 2.

ab

Ϫ2 0 3

Figura 1.30

d ϭ Έa Ϫ bΈ ϭ ΈϪ2 Ϫ 3Έ ϭ 5

En términos de vectores, si a ϭ c a1 d y b ϭ c b1 d , entonces d es justo la longitud de a – b,
a2 b2

como se muestra en la figura 1.31. Esta es la base para la siguiente definición.

y
(a1, a2)

(a1, a2)

aϪb

d a
a2 Ϫ b2
(b1, b2)
b

(b1, b2) a1 Ϫ b1 x

Figura 1.31

d 1 1a1 b1 2 2 1a2 b2 2 2 7 a b 7

Definición La distancia d(u, v) entre los vectores u y v en ‫ޒ‬n se define por

d1u, v2 ϭ 7 u Ϫ v7

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24 Capítulo 1 Vectores

Ejemplo 1.20 12 0
Encuentre la distancia entre u ϭ £ 1 § y v ϭ £ 2 § .

Ϫ1 Ϫ2

12
Solución Calcule u v £ 1 § , de modo que

1

d1u, v 2 ϭ 7 u Ϫ v 7 ϭ 1 1 12 2 2 ϩ 1Ϫ1 2 2 ϩ 12 ϭ 14 ϭ 2

Ángulos

El producto punto también se puede usar para calcular el ángulo entre un par de vecto-
res. En ‫ޒ‬2 o ‫ޒ‬3, el ángulo entre los vectores u y v distintos de cero se referirá al ángulo ␪
determinado por estos vectores que satisfaga 0 Յ ␪ Յ 180Њ (vea la figura 1.32).

vv

u u
u

v uv
Figura 1.32
El ángulo entre u y v

v uϪv En la figura 1.33, considere el triángulo con lados u, v y u – v, donde ␪ es el ángulo
entre u y v. Al aplicar la ley de cosenos a este triángulo se produce

7 u Ϫ v 7 2 ϭ 7 u 7 2 ϩ 7 v 7 2 Ϫ 2 7 u 7 7 v 7 cos u
˛

u Al desarrollar el lado izquierdo y usar 7 v7 2 ϭ v # v varias veces, se obtiene

Figura 1.33 #7 u7 2 Ϫ 21u v2 ϩ 7 v7 2 ϭ 7 u7 2 ϩ 7 v7 2 Ϫ 27 u7 7 v7 cos u
˛

que, después de simplificar, nos deja con u # v ϭ 7 u7 7 v7 cos u. A partir de esto se obtiene
˛

la siguiente fórmula para el coseno del ángulo ␪ entre vectores u y v distintos de cero. Se
establece como una definición.

Definición Para vectores u y v distintos de cero en ‫ޒ‬n,
u#v
cos u ϭ
7u7 7v7

Ejemplo 1.21 Calcule el ángulo entre los vectores u ϭ [2, 1, Ϫ2] y v ϭ [1, 1, 1].

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Sección 1.2 Longitud y ángulo: el producto punto 25

Solución Calcule u # v ϭ 2 # 1 ϩ 1 # 1 ϩ 1Ϫ22 # 1 ϭ 1, 7 u7 ϭ 122 ϩ 12 ϩ 1Ϫ222 ϭ

19 3 y 7 v7 ϭ 212 ϩ 12 ϩ 12 ϭ 13. Por tanto, cos ␪ ϭ 1>3 1 3, de modo que ␪ ϭ
cosϪ111>3 1 3 2 Ϸ 1.377 radianes o 78.9Њ.

Ejemplo 1.22 Calcule el ángulo entre las diagonales de dos caras adyacentes de un cubo.

Solución Las dimensiones del cubo no importan, así que se trabajará con un cubo con

lados de longitud 1. Oriente el cubo en relación con los ejes coordenados en ‫ޒ‬3, como se

muestra en la figura 1.34, y tome las dos diagonales laterales como los vectores [1, 0, 1] y

[0, 1, 1]. Entonces el ángulo ␪ entre dichos vectores satisface

cos u ϭ 1 # 0 ϩ0#1ϩ 1 # 1 ϭ 1
2
12 12

de donde se concluye que el ángulo requerido es ␲͞3 radianes o 60Њ.
z

[0, 1, 1] [1, 0, 1]

y
x

Figura 1.34

(En realidad, no es necesario hacer cálculo alguno para obtener esta respuesta. Si di-
buja una tercera diagonal lateral que una los vértices en (1, 0, 1) y (0, 1, 1), obtiene un
triángulo equilátero, pues todas las diagonales laterales tienen igual longitud. El ángulo
que se quiere es uno de los ángulos de este triángulo y por tanto mide 60Њ. En ocasiones
un poco de perspicacia puede ahorrar muchos cálculos; en este caso, ¡brinda una buena
comprobación de su trabajo!)

Comentarios
• Como lo demuestra esta discusión, por lo general tendrá que establecer una
aproximación del ángulo entre dos vectores. Sin embargo, cuando el ángulo es uno de los
llamados especiales (0Њ, 30Њ, 45Њ, 60Њ, 90Њ o un múltiplo entero de ellos), deberá recono-
cer su coseno (tabla 1.1) y por ende proporcionar el ángulo correspondiente con exacti-
tud. En todos los demás casos se usará una calculadora o computadora para aproximar
el ángulo deseado mediante la función coseno inverso.

Tabla 1.1 Cosenos de ángulos especiales

␪ 0Њ 30Њ 45Њ 60Њ 90Њ
10 ϭ 0
cos ␪ 14 ϭ 1 13 12 ϭ 1 11 ϭ 1 2
2 2 2 12 22

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26 Capítulo 1 Vectores

• La deducción de la fórmula para el coseno del ángulo entre dos vectores es válida

solamente en ‫ޒ‬2 y ‫ޒ‬3, pues depende de un hecho geométrico: la ley de los cosenos. En

‫ޒ‬n, para n Ͼ 3, la fórmula puede considerarse como una definición. Esto tiene sentido,
u#v u#v
pues la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que ` ` Յ 1, de modo que
7u7 7v7 7u7 7v7
˛˛

varía de –1 a 1, tal como hace la función coseno.

Vectores ortogonales

La palabra ortogonal se deriva de la El concepto de perpendicularidad es fundamental para la geometría. Quien estudie geo-
palabras griegas orthos, que signi-
fica “derecho, recto”, y gonia, que metría rápidamente se dará cuenta de la importancia y utilidad de los ángulos rectos.
significa “ángulo”. Por tanto, orto- Ahora se generalizará la idea de la perpendicularidad para los vectores en ‫ޒ‬n, donde se le
gonal literalmente significa “en án-
gulo recto”. El equivalente latino es llama ortogonalidad.
rectangular.
#En ‫ޒ‬2 o ‫ޒ‬3, dos vectores u y v distintos de cero son perpendiculares si el ángulo ␪

uv
entre ellos es un ángulo recto; esto es, si ␪ ϭ ␲͞2 radianes o 90Њ. Por tanto, ϭ
7u7 7v7
˛

cos 90Њ ϭ 0, y se concluye que u # v ϭ 0. Esto motiva la siguiente definición.

Definición Dos vectores u y v en ‫ޒ‬n son mutuamente ortogonales si u # v ϭ 0.

Dado que 0 # v ϭ 0 para todo vector v en ‫ޒ‬n, el vector cero es ortogonal a todo

vector.

Ejemplo 1.23 En ‫ޒ‬3, u ϭ [1, 1, Ϫ2] y v ϭ [3, 1, 2] son ortogonales, pues u # v ϭ 3 ϩ 1 Ϫ 4 ϭ 0.

Al usar la noción de ortogonalidad, se obtiene una sencilla demostración del teo-
rema de Pitágoras, válida en ‫ޒ‬n.

Teorema 1.6 Teorema de Pitágoras

Para todos los vectores u y v en ‫ޒ‬n, 7 u ϩ v7 2 ϭ 7 u7 2 ϩ 7 v7 2 si y sólo si u y v son orto-
gonales.

v v #Demostración A partir del ejemplo 1.16, se tiene 7 u ϩ v7 2 ϭ 7 u7 2 ϩ21u v2 ϩ 7 v7 2 para
uϩv
todos los vectores u y v en ‫ޒ‬n. Se concluye inmediatamente que 7 u ϩ v7 2 ϭ 7 u7 2 ϩ 7 v7 2
u
Figura 1.35 si y sólo si u # v ϭ 0. Vea la figura 1.35.

El concepto de ortogonalidad es uno de los más importantes y útiles en álgebra li-
neal, y con frecuencia surge en formas sorprendentes. El capítulo 5 contiene un trata-
miento detallado del tema, pero se le encontrará muchas veces antes. Un problema en el
que claramente tiene un papel es al encontrar la distancia desde un punto hacia una
recta, donde “trazar una perpendicular” es un paso familiar.

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Sección 1.2 Longitud y ángulo: el producto punto 27

Proyecciones

Ahora se considerará el problema de encontrar la distancia desde un punto hasta una
recta en el contexto de los vectores. Como verá, esta técnica conduce a un importante
concepto: la proyección de un vector sobre otro vector.

Como muestra la figura 1.36, el problema de encontrar la distancia desde un punto B
hasta una recta ᐉ (en ‫ޒ‬2 o ‫ޒ‬3) se reduce a encontrar la longitud del seg!mento de recta
perpendicular PB o, de manera equivalente, la longitud del vector PB. Si se elige un
punto A! sobre ᐉ, entonces!, en !el triángulo recto ⌬APB, l!os otros dos vectores son el ca-
teto AP y la hipotenusa AB. AP se llama proyección de AB sobre la recta ᐉ. Ahora observe
esta situación en términos de vectores.

BB

ᐉ ᐉ
P P

v Figura 1.36 A
La distancia desde un punto hasta una recta
u
p Considere dos vectores u y v distintos de cero. Sea p el vector que se obtiene al trazar
Figura 1.37
La proyección de v sobre u una perpendicular desde la punta de v sobre u y sea ␪ el ángulo entre u y v, como se

muestra en la figura 1.37. Entonces, claramente p ϭ 7 p 7 uˆ , donde uˆ ϭ 11> 7 u7 2u es el vec-

tor unitario en la direccuió#nvde u. Más aún, por trigonometría elemental 7 p7 ϭ 7 v7 cos u,
y se sabe que cos ␪ ϭ . Por tanto, después de sustituir, se obtiene
7u7 7v7
˛

u#v 1
p ϭ 7v7 a b a bu
7u7 7v7 7u7
˛

ϭ a u#v bu

7 u7 2

ϭ a u # v bu
u # u

Ésta es la fórmula que se quería, y es la base de la siguiente definición para vectores
en ‫ޒ‬n.

Definición Si u y v son vectores en ‫ޒ‬n y u 0, entonces la proyección de v

sobre u es el vector proyu(v) definido por

u#v
proyu1v2 a u # u b u

En el ejercicio 73 se describe una forma alternativa de obtener esta fórmula.

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28 Capítulo 1 Vectores

v Comentarios

proyu(v) • El término proyección proviene de la idea de proyectar una imagen sobre un
Figura 1.38
muro (con un proyector de diapositivas, por ejemplo). Imagine un haz de luz con rayos

mutuamente paralelos y perpendiculares a u que brillan sobre v. La proyección de v

sobre u es justo la sombra formada, o proyectada, por v sobre u.
u • Puede ser útil considerar a proyu(v) como una función con variable v. Entonces

la variable v ocurre sólo una vez en el lado derecho de la definición. Además, es útil tener

en mente la figura 1.38, que recuerda que proyu(v) es un múltiplo escalar del vector u (no
de v).

• Aunque en la deducción de la definición de proyu(v) se requirió que tanto v
como u fuesen distintos de cero (¿por qué?), es claro a partir de la geometría que la

IIIII proyección del vector cero sobre u es 0. La definición está en concordancia con esto, pues

a u # 0 b u ϭ 0u ϭ 0.
u # u

• Si el ángulo entre u y v es obtuso, como en la figura 1.38, entonces proyu(v) es-
tará en la dirección opuesta de u; esto es, proyu(v) será un múltiplo escalar negativo de u.

#IIIII • Si u es un vector unitario, entonces proyu(v) ϭ 1u v 2 u. (¿Por qué?)

Ejemplo 1.24 Encuentre la proyección de v sobre u en cada caso.

(a) v c 1d y u c2d (b) v 1 e3
(c) v 31 £2§ y u

3

1 1>2
£2§ y u £ 1>2 §

3 1 12

Solución

(a) Calcule u # v ϭ c 2 d # c Ϫ1 d ϭ 1 y u # u ϭ c 2 d # c 2 d ϭ 5, de modo que
13 11

proyu1v 2 a u # v b u 1c2d c 2>5 d
u # u 51 1>5

(b) Puesto que e3 es un vector unitario,

0

#proye31v2 1e3 v2e3 3e3 £ 0 §

3

(c) Se ve que 7u7 ϭ 1 1 ϩ 1 ϩ 1 ϭ 1. Por tanto,
4 4 2

proyu1v 2 1u # v2u 1>2 311 122 1>2
a 1 1 3 b £ 1>2 § £ 1>2 §

2 12 1> 12 2 1> 12
311 122 1

£1§
4 12

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Sección 1.2 Longitud y ángulo: el producto punto 29

Ejercicios 1.2

En los ejercicios 1-6, encuentre u # v. CAS 27. Ejercico 21 CAS 28. Ejercico 22 CAS 29. Ejercico 23

1. u ϭ c Ϫ1 d , v ϭ c 3 d 2. u ϭ c 2 d , v ϭ c9d 30. Sea A ϭ (Ϫ3, 2), B ϭ (1, 0) y C ϭ (4, 6). Pruebe que
21 Ϫ3 6 ⌬ABC es un triángulo recto.

12 1.5 3.0 31. Sea A ϭ (1, 1, Ϫ1), B ϭ (Ϫ3, 2, Ϫ2), y C ϭ (2, 2, Ϫ4).
Pruebe que ⌬ABC es un triángulo rectángulo.
3. u ϭ £ 2 § , v ϭ £ 3 § CAS 4. u ϭ £ 0.4 § , v ϭ £ 5.2 §
CAS 32. Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y
31 Ϫ2.1 Ϫ0.6 una arista adyacente.

5. u ϭ 31, 12, 13, 04, v ϭ 34, Ϫ12, 0, Ϫ54 33. Un cubo tiene cuatro diagonales. Demuestre que nin-
gún par de ellas son perpendiculares.
CAS 6. u ϭ 31.12, Ϫ3.25, 2.07, Ϫ1.834,
v ϭ 3Ϫ2.29, 1.72, 4.33, Ϫ1.544 En los ejercicios 34-39, encuentre la proyección de v sobre u.
Dibuje un bosquejo para los ejercicios 34 y 35.
En los ejercicios 7-12, encuentre 7 u7 para el ejercicio dado y
proporcione un vector unitario en la dirección de u. 34. Un paralelogramo tiene diagonales determinadas por
los vectores
7. Ejercicio 1 8. Ejercicio 2 9. Ejercicio 3
21
CAS 10. Ejercicio 4 11. Ejercicio 5 CAS 12. Ejercicio 6 d1 £ 2 § y d2 £ 1 §

En los ejercicios 13-16, encuentre la distancia d(u, v) entre u 03
y v en el ejercicio dado.
Demuestre que el paralelogramo es un rombo (todos
13. Ejercicio 1 14. Ejercicio 2 los lados de igual longitud) y determine la longitud del
lado.
15. Ejercicio 3 CAS 16. Ejercicio 4
35. El rectángulo ABCD tiene vértices en A ϭ (1, 2, 3),
17. Si u, v y w son vectores en ‫ޒ‬n, n Ն 2 y c es un escalar, B ϭ (3, 6, Ϫ2) y C = (0, 5, Ϫ4). Determine las coorde-
explique por qué las siguientes expresiones no tienen nadas del vértice D.
sentido:
36. Un avión se dirige hacia el este con una velocidad de
(a) 7 u # v7 (b) u # v ϩ w 200 millas por hora. Un viento sopla del norte a 40 mi-
llas por hora. ¿Cuál es la velocidad resultante del
(c) u # 1v # w2 (d) c # 1u ϩ w2 avión?

En los ejercicios 18-23, determine si el ángulo entre u y v es 37. Un bote se dirige al norte a través de un río con una
agudo, obtuso o recto. velocidad de 4 millas por hora. Si la corriente fluye al
este con una velocidad de 3 millas por hora, encuentre
c2d, v 1 21 la velocidad resultante del bote.
1 Ϫ3
18. u ϭ ϭ c d 19. u ϭ £ Ϫ1 § , v ϭ £ Ϫ2 § 38. Ann conduce un bote de motor a través de un río que
1 Ϫ1 tiene 2 km de ancho. El bote tiene una rapidez de
20 km/h en aguas quietas, y la corriente en el río fluye
20. u ϭ [5, 4, Ϫ3], v ϭ [1, Ϫ2, Ϫ1] a 5 km/h. Ann parte desde una orilla en el río hacia un
CAS 21. u ϭ [0.9, 2.1, 1.2], v ϭ [Ϫ4.5, 2.6, Ϫ0.8] muelle directamente frente a ella en la ribera opuesta.
Ella conduce el bote en una dirección perpendicular a
22. u ϭ [1, 2, 3, 4], v ϭ [Ϫ3, 1, 2, Ϫ2] la corriente.
23. u ϭ [1, 2, 3, 4], v ϭ [5, 6, 7, 8]
(a) ¿Cuán lejos río abajo del muelle llegará Ann?
En los ejercicios 24-29, encuentre el ángulo entre u y v en el (b) ¿Cuánto tardará Ann en cruzar el río?
ejercicio dado.
39. Bert puede nadar a un ritmo de 2 millas por hora en
24. Ejercico 18 25. Ejercico 19 26. Ejercico 20 aguas quietas. La corriente en un río fluye con una ve-
locidad de 1 milla por hora. Si Bert quiere nadar a tra-
vés del río hasta un punto directamente opuesto, ¿a
qué ángulo con la orilla del río debe nadar?

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