เอกสารการใช้โปรเเกรม GSPเพื่อสร้างลวดลายประกอบโครงงานคณิตศาสตร์ ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น

48
ข้นั ตอนที่ 75 ดบั เบล้ิ คลกิ เสน้ สมมาตรแกน X  เลอื กพ้นื ทีบ่ ริเวณภายในของรูปส่ีเหล่ยี มจาก
ขั้นตอนที่ 36 – 45  เลือกเมนูการแปลง  สะทอ้ น

ข้ันตอนที่ 76 ดบั เบล้ิ คลกิ จดุ หมนุ ของเสน้ สมมาตรบน(X,Y)  ดบั เบล้ิ คลกิ เสน้ สมมาตรแกน(X,Y)
 เลอื กพ้นื ทบ่ี ริเวณภายในของรูปสีเ่ หล่ยี มจากขนั้ ตอนที่ 36 – 46 เลอื กเมนูการแปลง  หมนุ 
90 องศา

49
ขั้นตอนท่ี 77 เลือกพืน้ ทบ่ี รเิ วณภายในท่ีได้จากข้ันตอนท่ี 47 การแปลง หมุน  90 องศา

ขั้นตอนที่ 78 เลือกพนื้ ที่บริเวณภายในที่ไดจ้ ากขั้นตอนที่ 48  การแปลง  หมุน  90 องศา

50

ลวดลำยจำกกำรออกแบบ

1) ลำยพระธำตุเชิงชุม

เขยี นคู่อันดบั ไดด้ งั นี้
เสน้ ตอกท่ี x = 1 (1,19), (1,20), (1,21)
เส้นตอกท่ี x = 2 (2,18), (2,19), (2,20), (2,21), (2,22)
เส้นตอกที่ x = 3 (3,17), (3,18), (3,19), (3,21), (3,22), (3,23)
เส้นตอกท่ี x = 4 (4,16), (4,17), (4,18), (4,22), (4,23), (4,24)
เสน้ ตอกท่ี x = 5 (5,15), (5,16), (5,17), (5,23), (5,24), (5,25)
เสน้ ตอกท่ี x = 6 (6,14), (6,15), (6,16), (6,21), (6,24), (6,25), (6,26)
เส้นตอกท่ี x = 7 (7,13), (7,14), (7,15), (7,20), (7,21), (7,22), (7,25), (7,26), (7,27)
เสน้ ตอกที่ x = 8 (8,12), (8,13), (8,14), (8,17), (8,21), (8,26), (8,27), (8,28)
เส้นตอกที่ x = 9 (9,11), (9,12), (9,13), (9,14), (9,15), (9,16), (9,17), (9,18), (9,24), (9,27), (9,28),

(9,29)
เสน้ ตอกท่ี x = 10 (10,10), (10,11), (10,12), (10,15), (10,17), (10,18), (10,19), (10,23),(10,24),

(10,25), (10,28), (10,29), (10,30)
เสน้ ตอกที่ x = 11 (11,9), (11,10), (11,11), (11,14), (11,15), (11,18), (11,16), (11,17),(11,18),

(11,24), (11,29), (11,30), (11,31)
เสน้ ตอกท่ี x = 12 (12,8), (12,9), (12,10), (12,12), (12,13), (12,15), (12,17), (12,27), (12,30),

(12,31), (12,32)
เส้นตอกที่ x = 13 (13,7), (13,8), (13,9), (13,11), (13,12), (13,13), (13,14), (13,15), (13,26),

(13,27), (13,28) ), (13,31), (13,32), (13,33)
เสน้ ตอกที่ x = 14 (14,6), (14,7), (14,8), (14,11), (14,13), (14,14), (14,15), (14,16), (14,17),

(14,18), (14,27), (14,32), (14,33), (14,34)

51

เสน้ ตอกท่ี x = 15 (15,5), (15,6), (15,7), (15,11), (15,12), (15,14), (15,15), (15,16), (15,17),
(15,18), (15,19), (15,20), (15,21), (15,33), (15,34), (15,35)

เสน้ ตอกท่ี x = 16 (16,4), (16,5), (16,6), (16,11), (16,12), (16,13), (16,15), (16,19), (16,20),
(16,21),(16,22), (16,23), (16,34), (16,35), (16,36)

เสน้ ตอกที่ x = 17 (17,3), (17,4), (17,5), (17,11), (17,12), (17,13), (17,14), (17,16), (17,18),
(17,20), (17,22), (17,23), (17,24), (17,25), (17,26), (17,35), (17,36), (17,37)

เสน้ ตอกท่ี x = 18 (18,2), (18,3), (18,4), (18,7), (18,11), (18,12), (18,13), (18,14), (18,15),
(18,16), (18,17), (18,18), (18,19), (18,20), (18,21), (18,22), (18,23),
(18,25), (18,26), (18,27), (18,29), (18,36), (18,37), (18,38)

เสน้ ตอกที่ x = 19 (19,1), (19,2), (19,3), (19,6), (19,7), (19,8), (19,15), (19,23), (19,24), (19,26),
(19,27), (19,28), (19,29), (19,30), (19,31), (19,37), (19,38), (19,39)

เส้นตอกท่ี x = 20 (20,1), (20,2), (20,5), (20,6), (20,8), (20,9), (20,11), (20,12), (20,13),
(20,14), (20,15), (20,16), (20,17), (20,18), (20,19), (20,20), (20,21),
(20,22), (20,24),(20,25), (20,27), (20,28), (20,29), (20,30), (20,31),
(20,32),(20,33), (20,34), (20,35), (20,38), (20,39)

เสน้ ตอกที่ x = 21 (21,1), (21,2), (21,3), (21,6), (21,7), (21,8), (21,15), (21,23), (21,24), (21,26),
(21,27),(21,28), (21,29), (21,30), (21,31), (21,37), (21,38), (21,39)

เส้นตอกท่ี x = 22 (22,2), (22,3), (22,4), (22,7), (22,11), (22,12), (22,13), (22,14), (22,15),
(22,16),(22,17), (22,18), (22,19), (22,20), (22,21), (22,22), (22,23),
(22,25) ), (22,26), (22,27), (22,29), (22,36), (22,37), (22,38)

เส้นตอกที่ x = 23 (23,3), (23,4), (23,5), (23,11), (23,12), (23,13), (23,14), (23,16), (23,18),
(23,20),(23,22), (23,23), (23,24), (23,25), (23,26), (23,35), (23,36), (23,37)

เสน้ ตอกที่ x = 24 (24,4), (24,5), (24,6), (24,11), (24,12), (24,13), (24,15), (24,19), (24,20),
(24,21),(24,22), (24,23), (24,34), (24,35), (24,36)

เส้นตอกท่ี x = 25 (25,5), (25,6), (25,7), (25,11), (25,12), (25,14), (25,15), (25,16), (25,17),
(25,18),(25,19), (25,20), (25,21), (25,33), (25,34), (25,35)

เสน้ ตอกที่ x = 26 (26,6), (26,7), (26,8), (26,11), (26,13), (26,14), (26,15), (26,16), (26,17),
(26,18),(26,27), (26,32), (26,33), (26,34)

52

เสน้ ตอกที่ x = 27 (27,7), (27,8), (27,9), (27,11), (27,12), (27,13), (27,14), (27,15), (27,26),
(27,27),(27,28), (27,31), (27,32), (27,33)

เสน้ ตอกท่ี x = 28 (28,8), (28,9), (28,10), (28,12), (28,13), (28,15), (28,17), (28,27), (28,30),
(28,31),(28,32)

เส้นตอกที่ x = 29 (29,9), (29,10), (29,11), (29,14), (29,15), (29,16), (29,17), (29,18), (29,24),
(29,29),(29,30), (29,31)

เส้นตอกที่ x = 30 (30,10), (30,11), (30,12), (30,15), (30,17), (30,18), (30,19), (30,23),(30,24),
(30,25),(30,28), (30,29), (30,30)

เสน้ ตอกที่ x = 31 (31,11), (31,12), (31,13), (31,14), (31,15), (31,16), (31,17), (31,18),(31,24),
(31,27),(31,28), (31,29)

เสน้ ตอกท่ี x = 32 (32,12), (32,13), (32,14), (32,17), (32,21), (32,26), (32,27), (32,28)
เส้นตอกที่ x = 33 (33,13), (33,14), (33,15), (33,20), (33,21), (33,22), (33,25), (33,26), (33,27)
เส้นตอกท่ี x = 34 (34,14), (34,15), (34,16), (34,21), (34,24), (34,25), (34,26)
เส้นตอกที่ x = 35 (35,15), (35,16), (35,17), (35,23), (35,24), (35,25)
เสน้ ตอกท่ี x = 36 (36,16), (36,17), (36,18), (36,22), (36,23), (36,24)
เสน้ ตอกท่ี x = 37 (37,17), (37,18), (37,19), (37,20), (37,21), (37,22), (37,23)
เส้นตอกท่ี x = 38 (38,18), (38,19), (38,20), (38,21), (38,22)
เสน้ ตอกที่ x = 39 (39,19), (39,20), (39,21)

2) ลำยรงุ่ อรุณ

ภำพประกอบ 4 ลายร่งุ อรุณ

53

เสน้ ตอกท่ี x = 1 กำรเขียนคู่อันดบั
เส้นตอกที่ x = 2 (1,20)
เสน้ ตอกที่ x = 3 (2, 19), (2, 20), (2, 21)
เสน้ ตอกท่ี x = 4 (3, 18), (3, 19), (3, 20), (3, 21), (3, 22)
เส้นตอกท่ี x = 5 (4, 17), (4, 18), (4, 19), (4, 20), (4, 21), (4, 23)
เสน้ ตอกที่ x = 6 (5, 16), (5, 17), (5, 18), (5, 22), (5, 23), (5, 24), (5, 30), (5, 31)
เสน้ ตอกที่ x = 7 (6, 15), (6, 16), (6, 17), (6, 23), (6, 24), (6, 25)
เส้นตอกท่ี x = 8 (7, 14), (7, 15), (7, 16), (7, 20), (7, 24), (7, 25), (7, 26)
เส้นตอกท่ี x = 9 (8, 13), (8, 14), (8, 15), (8, 19), (8, 20), (8, 21), (8, 24), (8, 25), (8, 26)
เส้นตอกท่ี x = 10 (9, 12), (9, 13), (9, 14), (9, 18), (9, 19), (9, 21), (9, 22), (9, 26), (9, 27), (9, 28)
(10, 11), (10, 12), (10, 13), (10, 17), (10, 18), (10, 22), (10, 23), (10, 27),
เสน้ ตอกท่ี x = 11 (10, 28), (10, 29)
(11, 10), (11, 11), (11, 12), (11, 16), (11, 17), (11, 23), (11, 24), (11, 28),
เสน้ ตอกท่ี x = 12 (11, 29), (11, 30)
(12, 9), (12, 10), (12, 11), (12, 15), (12, 16), (12, 20), (12, 24), (12, 25), (12,
เสน้ ตอกที่ x = 13 29), (12, 30), (12, 31)
(13, 8), (13, 9), (13, 10), (13, 14), (13, 15), (13, 17), (13, 23),(13,25), (13, 26),
เส้นตอกท่ี x = 14 (13, 30), (13, 31), (13, 32)
(14, 7), (14, 8), (14, 9), (14, 13), (14, 14), (14, 17), (14, 18), (14, 22), 14, 23),
เส้นตอกท่ี x = 15 ((14, 26), (14, 27), (14, 31), (14, 32), (14, 33)
(15, 6), (15, 7), (15, 8), (15, 12), (15, 13), (15, 17), (15, 18), (15, 19), (15, 21),
เส้นตอกที่ x = 16 (15, 22), (15, 23), (15, 27), (15, 28), (15, 32), (15, 33), (15, 34)
(16, 5), (16, 6), (16, 7), (16, 11), (16, 12), (16, 17), (16, 18), (16, 19), (16, 20),
เส้นตอกที่ x = 17 (16, 21), (16, 22), (16, 23), (16, 28), (16, 29), (16, 33), (16, 34), (16, 35)
(17, 4), (17, 5), (17, 6), (17, 10), (17, 11), (17, 13), (17, 14), (17, 15), (17, 16),
(17, 20), (17, 24), (17, 25), (17, 26), (17, 27), (17, 29), (17, 30), (17, 35),
(17, 36)

54

เสน้ ตอกท่ี x = 18 (3, 3), (4, 4), (5, 5), (9, 9), (10, 10), (14, 14), (15, 15), (16, 16), (19, 19),
(20, 20), (21, 21), (24, 24), (25, 25), (26, 26), (30, 30), (31, 31),(35, 35),
(36, 36), (37, 37)

เสน้ ตอกท่ี x = 19 (19, 2), (19,3), (19, 4), (19, 8), (19, 9), (19, 15), (19, 16), (19, 18), (19, 19),
(19, 20), (19, 21), (19, 22), (19, 24), (19, 25), (19, 31), (19, 32), (19, 36),
(19, 37), (19, 38)

เส้นตอกท่ี x = 20 (20, 1), (20, 2), (20, 3), (20, 7), (20, 8), (20, 12), (20, 16), (20, 17), (20, 23), (20, 24),
(20, 28), (20, 32), (20, 33), (20, 37), (20, 38), (20, 39)

เสน้ ตอกท่ี x = 21 (21, 2), (21, 3), (21, 4), (21, 8), (21, 9), (21, 15), (21, 16), (21, 18),
(21, 19), (21, 20), (21, 21), (21, 22), (21, 24), (21, 25), (21, 31), (21, 32),
(21, 36), (21, 37), (21, 38)

เสน้ ตอกที่ x = 22 (22, 3), (22, 4), (22, 5), (22, 9), (22, 10), (22, 14), (22, 15), (22, 16), (22, 19),
(22, 20), (22, 21), (22, 24), (22, 25), (22, 26), (22, 30), (22, 31), (22, 35),
(22, 36), (22, 37)

เสน้ ตอกท่ี x = 23 (23, 4), (23, 5), (23, 6), (23, 10), (23, 11), (23, 13), (23, 14), (23, 15), (23, 16),
(23, 20), (23, 24), (23, 25), (23, 26), (23, 27), (23, 29), (23, 30), (23, 35),
(23, 36)

เส้นตอกที่ x = 24 (24, 5), (24, 6), (24, 7), (24, 11), (24, 12), (24, 17), (24, 18), (24, 19),
(24, 20), (24, 21), (24, 22), (24, 23), (24, 28), (24, 29), (24, 33), (24, 34),
(24, 35)

เสน้ ตอกท่ี x = 25 (25, 6), (25, 7), (25, 8), (25, 12), (25, 13), (25, 17), (25, 18), (25, 19),
(25, 21), (25, 22), (25, 23), (25, 27), (25, 28), (25, 32), (25, 33), (25, 34)

เส้นตอกท่ี x = 26 (26, 7), (26, 8), (26, 9), (26, 13), (26, 14), (26, 17), (26, 18), (26, 22),
(26, 23), (26, 26), (26, 27), (26, 31), (26, 32), (26, 33)

เสน้ ตอกที่ x = 27 (27, 8), (27, 9), (27, 10), (27, 14), (27, 15), (27, 17), (27, 23), (27, 25),
(27, 26), (27, 30), (27, 31), (27, 32)

เส้นตอกท่ี x = 28 (28, 9), (28, 10), (28, 11), (28, 15), (28, 16), (28, 20), (28, 24), (28, 25),
(28, 29), (28, 30), (28, 31)

55

เสน้ ตอกท่ี x = 29 (10, 10), (11, 11), (12, 12), (16, 16), (17, 17), (23, 23), (24, 24), (28, 28),
(29, 29), (30, 30)
เส้นตอกที่ x = 30 (30, 11), (30, 12), (30, 13), (30, 17), (30, 18), (30, 22), (30, 23), (30, 27),
(30, 28), (30, 29)
เส้นตอกที่ x = 31 (31, 12), (31, 13), (31, 14), (31, 18), (31, 19), (31, 21), (31, 22), (31, 26),
(31, 27), (31, 28)
เสน้ ตอกท่ี x = 32 (32, 13), (32, 14), (32, 15), (32, 19), (32, 20), (32, 21), (32, 25), (32, 26),
(32, 27)
เสน้ ตอกที่ x = 33 (33, 14), (33, 15), (33, 16), (33, 20), (33, 24), (33, 25), (33, 26)
เส้นตอกท่ี x = 34 (34, 15), (34, 16), (34, 17), (34, 23), (34, 24), (34, 25), (34, 20), (34, 24),
(34, 25), (34, 26), (34, 30), (34, 31), (34, 32)
เส้นตอกท่ี x = 35 (35, 16), (35, 17), (35, 18), (35, 22), (35, 23), (35, 24), (35, 30), (35, 31)
เสน้ ตอกท่ี x = 36 (36, 17), (36, 18), (36, 19), (36, 21), (36, 22), (36, 23)
เสน้ ตอกที่ x = 37 (37, 18), (37, 19), (37, 20), (37, 21), (37, 22)
เส้นตอกท่ี x = 38 (38, 19), (38, 20), (38, 21)
เสน้ ตอกที่ x = 39 (39, 20)

3) ลำยสเ่ี หลี่ยมเป่ียมสุข

เสน้ ตอกที่ x = 1 ภำพประกอบ 5 ลายสเ่ี หลยี่ มเปี่ยมสขุ
เส้นตอกที่ x = 2 กำรเขียนคอู่ นั ดับ
เส้นตอกท่ี x = 3 (1, 19), (1, 20), (1, 21)
(2, 18), (2, 19), (2, 20), (2, 21), (2, 22)
(3, 17), (3, 18), (3, 19), (3, 21), (3, 22), (3, 23)

56

เสน้ ตอกที่ x = 4 (4, 16), (4, 17), (4, 18), (4, 22), (4 , 23), (4, 24)
เส้นตอกที่ x = 5 (5, 15), (5, 16), (5, 17), (5, 20), (5, 23), (5, 24), (5, 25)
เส้นตอกที่ x = 6 (6, 14), (6, 15), (6, 16), (6, 19), (6, 20), (6, 21), (6, 24), (6,25), (6, 26)
เส้นตอกท่ี x = 7 (7, 13), (7, 14), (7, 15), (7, 18), (7, 19), (7, 21), (7, 22), (7, 25), (7, 26), (7, 27)
เสน้ ตอกท่ี x = 8 (8, 12), (8, 13), (8, 14), (8, 17), (8, 18), (8, 22), (8, 23), (8,26),(8, 27), (8, 28)
เสน้ ตอกที่ x = 9 (9, 11), (9, 12), (9, 13), (9, 16), (9, 17), (9, 23), (9, 24), (9,27), (9, 28), (9, 29)
เส้นตอกท่ี x = 10 (10, 10), (10, 11), (10, 12), (10, 15), (10, 16), (10, 20), (10, 24), (10, 25),

(10, 28), (10, 29), (10, 30)
เสน้ ตอกท่ี x = 11 (11,9), (11, 10), (11, 11), (11, 14), (11, 15), (11, 19), (11, 20), (11,21), (11, 25),

(11, 26), (11, 29), (11, 30), (11, 31)
เสน้ ตอกท่ี x = 12 (12, 8), (12, 9), (12, 10), (12, 13), (12, 14), (12,18), (12, 19), (12, 21),(12, 22),

(12, 25), (12, 27), (12, 30), (12, 31), (12, 32)
เสน้ ตอกที่ x = 13 (13, 7), (13, 8), (13, 9), (13, 12), (13, 13), (13, 17), (13, 18), (13, 22), (13, 23),

(13, 27), (13, 28), (13, 31), (13, 32), (13, 33)
เส้นตอกที่ x = 14 (14, 6), (14, 7), (14, 8), (14, 11), (14, 12), (14, 16), (14, 17), (14, 20), (14, 23),

(14, 24), (14, 28), (14, 29), (14, 32), (14, 33), (14, 34)
เส้นตอกท่ี x = 15 (15, 5), (15, 6), (15, 7), (15, 10), (15, 11), (15, 17), (15, 18), (15, 22),(15, 23),

(15, 29), (15, 30), (15, 33), (15, 34), (15, 35)
เสน้ ตอกที่ x = 16 (16, 4), (16, 5), (16, 6), (16, 9), (16, 14), (16, 18), (16, 19), (16, 21), (16, 22),

(16, 26), (16, 30), (16, 31), (16, 34), (16, 35), (16, 36)
เส้นตอกท่ี x = 17 (17, 3), (17, 4), (17, 5), (17, 8), (17, 9), (17, 13), (17, 14), (17, 15), (17, 19),

(17, 20), (17, 21), (17, 25), (17, 26), (17, 27), (17, 31), (17, 32), (17, 35) ,
(17, 36), (17, 37)
เส้นตอกที่ x = 18 (18, 2), (18, 3), (18, 4), (18, 7), (18, 8), (18, 12), (18, 13), (18, 15), (18, 16),
(18, 20), (18, 24), (18, 25), (18, 27), (18, 28), (18, 32), (18, 33), (18, 36),
(18, 37), (18, 38)
เสน้ ตอกที่ x = 19 (19, 1), (19, 2), (19, 3), (19, 6), (19, 7), (19, 11), (19, 12), (19, 16), (19, 23),
(19, 24), (19, 28), (19, 29), (19, 33), (19, 34), (19, 37), (19, 38), (19, 39)

เสน้ ตอกท่ี x = 20 57

เส้นตอกที่ x = 21 (20, 1), (20, 2), (20, 5), (20, 6), (20, 10), (20, 11), (20, 14), (20, 17),
(20, 18), (20, 20), (20, 22), (20, 23), (20, 26), (20, 20), (20, 30),
เสน้ ตอกที่ x = 22 (20, 34), (20, 35), (20, 38), (20, 39)
(21, 1), (21, 2), (21, 3), (21, 6), (21, 7), (21, 11), (21, 12), (21, 16),
เส้นตอกท่ี x = 23 (21, 23), (21, 24), (21, 28), (21, 29), (21, 33), (21, 34), (21, 37),
(21, 38), (21, 39)
เส้นตอกท่ี x = 24 (22, 2), (22, 3), (22, 4), (22, 7), (22, 8), (22, 12), (22, 13), (22, 15),
เส้นตอกท่ี x = 25 (22, 16), (22, 20), (22, 24), (22, 25), (22, 27), (22, 28), (22, 32),
เส้นตอกท่ี x = 26 (22, 36), (22, 37), (22, 38)
เส้นตอกท่ี x = 27 (23, 3), (23, 4), (23, 5), (23, 8), (23, 9), (23, 13), (23, 14), (23, 15),
เส้นตอกที่ x = 28 (23, 19), (23, 20), (23, 21), (23, 25), (23, 26), (23, 27), (23, 31),
เส้นตอกท่ี x = 29 (23, 32), (23, 35) , (23, 36), (23, 37)
เส้นตอกท่ี x = 30 (24, 4), (24, 5), (24, 6), (24, 9), (24, 14), (24, 18), (24, 19), (24, 21),
เสน้ ตอกที่ x = 31 (24, 22), (24, 26), (24, 30), (24, 31), (24, 34), (24, 35), (24, 36)
(25, 5), (25, 6), (25, 7), (25, 10), (25, 11), (25, 17), (25, 18), (25, 22),
(25, 23), (25, 29), (25, 30), (25, 33), (25, 34), (25, 35)
(26, 6), (26, 7), (26, 8), (26, 11), (26, 12), (26, 16), (26, 17), (26, 20),
(26, 23), (26, 24), (26, 28), (26, 29), (26, 32), (26, 33), (26, 34)
(27, 7), (27, 8), (27, 9), (27, 12), (27, 13), (27, 17), (27, 18), (27, 22),
(27, 23), (27, 27), (27, 28), (27, 31), (27, 32), (27, 33)
(28, 8), (28, 9), (28, 10), (28, 13), (28, 14), (28, 18), (28, 19), (28, 21),
(28, 22), (28, 25), (28, 27), (28, 30), (28, 31), (28, 32)
(29, 9), (29, 10), (29, 11), (29, 14), (29, 15), (29, 19), (29, 20), (29, 21),
(29, 25), (29, 26), (29, 29), (29, 30), (29, 31)
(30, 9), (30, 10), (30, 13), (30, 14), (30, 17), (30, 18), (30, 19), (30, 21),
(30, 22), (30, 23), (30, 26) , (30, 27), (30, 30), (30, 31)
(31, 10), (31, 11), (31, 14), (31, 15), (,31 18), (31, 19), (31, 20),
(31, 21), (31, 22), (31, 25), (31, 26) , (31, 29), (31, 30)

เสน้ ตอกท่ี x = 32 58

เส้นตอกที่ x = 33 (32, 11), (32, 12), (32, 15), (32, 16), (32, 19), (32, 20), (32, 21), (32, 24),
(32, 25), (32, 28), (32, 29)
เสน้ ตอกที่ x = 34 (33, 12), (33, 13), (33, 16), (33, 17), (33, 20), (33, 23), (33, 24), (33, 27),
เส้นตอกท่ี x = 35 (33, 28)
เสน้ ตอกที่ x = 36 (34, 13), (34, 14), (34, 17), (34, 18), (34, 22), (34, 23), (34, 26), (34, 27)
เสน้ ตอกท่ี x = 37 (35, 14), (35, 15), (35, 18), (35, 19), (35, 21), (35, 22), (35, 25), (35, 26)
เส้นตอกที่ x = 38 (36, 15), (36, 16), (36, 19), (36, 20), (36, 21), (36, 24), (36, 25)
เส้นตอกท่ี x = 39 (37, 16), (37, 17), (37, 20), (37, 23), (37, 24)
(38, 17), (38, 18), (38, 22), (38, 23)
(39, 18), (39, 19), (39, 20), (39, 21), (39, 22)

4) ลำยแกว้ ตำดวงหทัย

ภำพประกอบ 6 ลายแกว้ ตาดวงหทัย

เสน้ ตอกที่ x = 1 กำรเขียนคูอ่ ันดบั
เส้นตอกที่ x = 2 (1, 14), (1, 15), (1, 16) (1, 20), (1, 24), (1, 25) (1, 26)
เส้นตอกท่ี x = 3 (2, 13), (2, 14), (2, 15), (2, 19), (2, 20), (2, 21), (2, 25), (2, 26), (2, 27)
เส้นตอกที่ x = 4 (3, 12), (3, 13), (3, 14), (3, 18), (3, 19), (3, 21), (3, 22), (3, 26), (3, 27), (3, 28)
เส้นตอกท่ี x = 5 (4, 11), (4, 12), (4, 13), (4, 17), (4, 18), (4, 22), (4, 23), (4, 27), (4, 28), (4, 29)
เส้นตอกที่ x = 6 (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 16), (5, 17), (5, 23), (5, 24), (5, 28), (5, 29), (5, 30)
(6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 15), (6, 16), (6, 20), (6, 24), (6, 25), (6, 29),
(6, 30), (6, 31)

59

เสน้ ตอกท่ี x = 7 (7, 8), (7, 9), (7, 10), (7, 14), (7, 15), (7, 19), (7, 20), (7, 21), (7, 25), (7, 26),
(7, 30), (7, 31), (7, 32)

เสน้ ตอกที่ x = 8 (8, 7), (8, 8), (8, 9), (8, 13), (8, 14), (8, 18), (8, 19), (8, 20), (8, 21), (8, 22),
(8, 26), (8, 27), (8, 31), (8, 32), (8, 33)

เส้นตอกท่ี x = 9 (9, 6), (9, 7), (9, 8), (9, 12), (9, 13), (9, 18), (9, 22), (9, 27), (9, 28), (9, 32),
(9, 33), (9, 34)

เส้นตอกท่ี x = 10 (10, 5), (10, 6), (10, 7), (10, 11), (10, 12), (10, 18), (10, 22), (10, 28), (10, 29),
(10, 33), (10, 34), (10, 35)

เส้นตอกที่ x = 11 (11, 4), (11, 5), (11, 6), (11, 10), (11, 11), (11, 15), (11, 16), (11, 17), (11, 18),
(11, 22), (11, 23), (11, 34), (11, 25), (11, 29), (11, 30), (11, 34), (11, 35),
(11, 36)

เสน้ ตอกที่ x = 12 (12, 3), (12, 4), (12, 5), (12, 9), (12, 10), (12, 15), (12, 20), (12, 25), (12, 30),
(12, 31), (12, 35), (12, 36), (12, 37)

เส้นตอกที่ x = 13 (13, 2), (13, 3), (13, 4), (13, 8), (13, 9), (13, 15), (13, 19), (13, 20), (13, 21),
(13, 25), (13, 31), (13, 32), (13, 36), (13, 37), (13, 38),

เส้นตอกที่ x = 14 (14, 1), (14, 2), (14, 3), (14, 7), (14, 8), (14, 12), (14, 13), (14, 14), (14, 15),
(14, 18), (14, 19), (14 20), (14, 21), (14, 22), (14, 25), (14, 26), (14, 27),
(14, 28), (14, 32), (14, 33), (14, 37), (14, 38), (14, 39)

เสน้ ตอกท่ี x = 15 (15, 1), (15, 2), (15, 6), (15, 7), (15, 12), (15, 17), (15, 18), (15, 19), (15, 20),
(15, 21), (15, 22), (15, 23), (15, 28), (15, 33), (15, 34), (15, 38), (15, 39)

เสน้ ตอกท่ี x = 16 (16, 1), (16, 5), (16, 6), (16, 9), (16, 10), (16, 11), (16, 12), (16, 16), (16, 17),
(16, 18), (16, 20), (16, 22), (16, 23), (16, 24), (16, 28), (16, 29), (16, 30),
(16, 31), (16, 34), (16, 35), (16, 39)

เสน้ ตอกที่ x = 17 (17, 4), (17, 5), (17, 9), (17, 15), (17, 16), (17, 17), (17, 23), (17, 24),
(17, 25), (17, 31), (17, 33), (17, 36)

เสน้ ตอกท่ี x = 18 (18, 3), (18, 4), (18, 9), (18, 14), (18, 15), (18, 16), (18, 17), (18, 18),
(18, 20), (18, 23), (18, 24), (18, 25), (18, 26), (18, 31), (18, 35), (18, 36)

60

เส้นตอกท่ี x = 19 (19, 2), (19, 3), (19, 6), (19, 7), (19, 8), (19, 9), (19, 10), (19, 13), (19, 14),
(19, 15), (19, 17), (19, 18), (19, 19), (19, 20), (19, 21), (19, 22), (19, 23),
(19, 25), (19, 26), (19, 27), (19, 31), (19, 32), (19, 33), (19, 34), (19, 37),
(19, 38)

เสน้ ตอกท่ี x = 20 (20, 1), (20, 2), (20, 6), (20, 7), (20, 13), (20, 14), (20, 18), (20, 19), (20, 20),
(20, 21), (20, 22), (20, 26), (20, 27), (20, 34), (20, 38), (20, 39)

เส้นตอกที่ x = 21 (21, 2), (21, 3), (21, 6), (21, 7), (21, 8), (21, 9), (21, 10), (21, 13), 21, 14),
(21, 15), (21, 17), (21, 18), (21, 19), (21, 20), (21, 21), (21, 22), (21, 23),
(21, 25), (21, 26), (21, 27), (21, 31), (21, 32), (21, 33), (21, 34), (21, 37),
(21, 38)

เส้นตอกที่ x = 22 (22, 3), (22, 4), (22, 9), (22, 14), (22, 15), (22, 16), (22, 17), (22, 18),
(22, 22), (22, 23), (22, 24), (22, 25), (22, 26), (22, 31), (22, 36), (22, 37)

เส้นตอกที่ x = 23 (23, 4), (23, 5), (23, 9), (23, 15), (23, 16), (23, 17), (23, 23), (23, 24), (23, 25),
(23, 31), (23, 35), (23, 36)

เสน้ ตอกท่ี x = 24 (24, 1), (24, 5), (24, 6), (24, 9), (24, 10), (24, 11), (24, 12), (24, 16), (24, 20),
(24, 28), (24, 29), (24, 30), (24, 31), (24, 34), (24, 35), (24, 39)

เส้นตอกท่ี x = 25 (25, 1), (25, 2), (25, 6), (25, 7), (25, 12), (25, 19), (25, 20), (25, 21), (25, 28),
(25, 33), (25, 34), (25, 38), (25, 39)

เส้นตอกที่ x = 26 (26, 1), (26, 2), (26, 3), (26, 7), (26, 8), (26, 12), (26, 13), (26, 14), (26, 15),
(26, 18), (26, 19), (26, 20), (26, 21), (26, 22), (26, 25), (26, 26), (26, 27),
(26, 28), (26, 32), (26, 33), (26, 37), (26, 38), (26, 39)

เส้นตอกที่ x = 27 (27, 2), (27, 3), (27, 4), (27, 8), (27, 9), (27, 15), (27, 19), (27, 20), (27, 21),
(27, 25), (27, 31), (27, 32), (27, 36), (27, 37), (27, 38)

เส้นตอกที่ x = 28 (28, 3), (28, 4), (28, 5), (28, 9), (28, 10), (28, 15), (28, 20), (28, 25), (28, 30),
(28, 31), (28, 35), (28, 36), (28, 37)

เส้นตอกท่ี x = 29 (29, 4), (29, 5), (29, 6), (29, 10), (29, 11), (29, 15), (29, 16), (29, 17), (29, 18),
(29, 22), (29, 23), (29, 34), (29, 25), (29, 29), (29, 30), (29, 34), (29, 35),
(29, 36)

61

เส้นตอกที่ x = 30 (30, 5), (30, 6), (30, 7), (30, 11), (30, 12), (30, 18), (30, 22), (30, 28), (30, 29),
(30, 33), (30, 34), (30, 35)

เสน้ ตอกที่ x = 31 (31, 6), (31, 7), (31, 8), (31, 12), (31, 13), (31, 18), (31, 22), (31, 27), (31, 28),
(31, 32), (31, 33), (31, 34)

เสน้ ตอกที่ x = 32 (32, 7), (32, 8), (32, 9), (32, 13), (32, 14), (32, 18), (32, 19), (32, 20), (32, 21),
(32, 22) (32, 26), (32, 27), (32, 31), (32, 32), (32, 33)

เส้นตอกท่ี x = 33 (33, 8), (33, 9), (33, 10), (33, 14), (33, 15), (33, 19), (33, 20), (33, 21),
(33, 25), (33, 26), (33, 30), (33, 31), (33, 32)

เส้นตอกท่ี x = 34 (34, 9), (34, 10), (34, 11), (34, 15), (34, 16), (34, 20), (34, 24), (34, 25),
(34, 29), (34, 30), (34, 31)

เส้นตอกท่ี x = 35 (35, 10), (35, 11), (35, 12), (35, 16), (35, 17), (35, 23), (35, 24), (35, 28),
(35, 29), (35, 30)

เส้นตอกท่ี x = 36 (36, 11), (36, 12), (36, 13), (36, 17), (36, 18), (36, 22), (36, 23), (36, 27),
(36, 28), (36, 29)

เสน้ ตอกที่ x = 37 (37, 12), (37, 13), (37, 14), (37, 18), (37, 19), (37, 21), (37, 22), (37, 26),
(37, 27), (37, 28)

เสน้ ตอกที่ y = 38 (38, 13), (38, 14), (38, 15), (38, 19), (38, 20), (38, 21), (38, 25), (38, 26),
(38, 27)

เสน้ ตอกท่ี y = 39 (39, 14), (39, 15) (39, 20), (39, 24), (39, 25) (39, 26)

5) ลำยส่ีห้องหฤทัย

ภำพประกอบ 7 ลายสหี่ อ้ งหฤทยั

62

กำรเขียนคอู่ นั ดบั
เสน้ ตอกท่ี x = 1 (1, 12), (1, 13), (1, 14), (1, 18), (1, 19), (1, 20), (1, 21), (1, 22), (1, 26), (1, 27),

(1, 28)
เสน้ ตอกที่ x = 2 (2, 11),(2, 12), (2, 13), (2, 17), (2, 18), (2, 19), (2, 21), (2, 22), (2, 23), (2, 27),

(2, 28), (2, 29)
เส้นตอกที่ x = 3 (3, 10), (3, 11), (3, 12), (3, 16), (3, 17), (3, 18), (3, 22), (3, 23), (3, 24), (3, 28),

(3, 29), (3, 30)
เสน้ ตอกที่ x = 4 (4, 9), (4, 10), (4, 11), (4, 15), (4, 16), (4, 17), (4, 20), (4, 23), (4, 24), (4, 25),

(4, 29), (4, 30), (4, 31)
เส้นตอกที่ x = 5 (5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 14), (5, 15), (5, 16), (5, 17), (5, 18), (5, 22), (5, 23),

(5, 24), (5, 25), (5, 26), (5, 30), (5, 31), (5, 32)
เสน้ ตอกท่ี x = 6 (6, 7), (6, 8), (6, 9), (6, 13), (6, 14), (6, 15), (6, 16), (6, 17), (6, 18), (6, 19),

(6, 21), (6, 22), (6, 23), (6, 24), (6, 25), (6, 26), (6, 27), (6, 31), (6, 32), (6, 33)
เส้นตอกท่ี x = 7 (7, 6), (7, 7), (7, 8), (7, 12), (7, 13), (7, 14), (7, 18), (7, 19), (7, 20), (7, 21),

(7, 22), (7, 26), (7, 27), (7, 28), (7, 32), (7, 33), (7, 34)
เสน้ ตอกท่ี x = 8 (8, 5), (8, 6), (8, 7), (8,11), (8, 12), (8, 13), (8, 19), (8, 20), (8, 21), (8, 27),

(8, 28), (8, 29), (8, 33), (8, 34), (8, 35)
เส้นตอกท่ี x = 9 (9, 4), (9, 5), (9, 6), (9, 10), (9, 11), (9, 12), (9, 16), (9, 20), (9, 24), (9, 28),

(9, 29), (9, 30), (9, 34), (9, 35), (9, 36)
เสน้ ตอกท่ี x = 10 (10, 3), (10, 4), (10, 5), (10, 9), (10, 10), (10, 11), (10, 12), (10, 15), (10, 16),

(10, 17), (10, 23), (10, 24), (10, 25), (10, 28), (10, 29), (10, 30), (10, 31),
(10, 35), (10, 36), (10, 37)
เสน้ ตอกท่ี x = 11 (11, 2), (11, 3), (11, 4), (11, 8), (11, 9), (11, 10), (11, 11), (11, 12), (11, 16),
(11, 20), (11, 24), (11, 28), (11, 29), (11, 30), (11, 31), (11, 32), (11, 36),
(11,37), (11,38)
เส้นตอกท่ี x = 12 (12, 1), (12, 2), (12, 3), (12, 7), (12, 8), (12, 9), (12, 10), (12, 11), (12, 12),
(12, 13), (12, 19), (12, 20), (12, 21), (12, 27), (12, 28), (12, 29), (12, 30),
(12, 31), (12, 32), (12, 33), (12, 37), (12, 38), (12, 39)

63

เสน้ ตอกท่ี x = 13 (13, 1), (13, 2), (13, 6), (13, 7), (13, 8), (13, 12), (13, 13), (13, 14), (13, 18),
เส้นตอกที่ x = 14 (13, 19), (13, 21), (13, 22), (13, 26), (13, 27), (13, 28), (13, 32), (13, 33),
เส้นตอกท่ี x = 15 (13, 34), (13, 38), (13, 39)
เสน้ ตอกท่ี x = 16 (14, 1), (14, 5), (14, 6), (14, 7), (14, 13), (14, 14), (14, 15), (14, 19), (14, 20),
เสน้ ตอกที่ x = 17 (14, 21), (14, 25), (14, 26), (14, 27), (14, 33), (14, 34), (14, 35), (14, 39)
เสน้ ตอกที่ x = 18 (15, 4), (15, 5), (15, 6), (15, 10), (15, 14), (15, 15), (15, 16), (15, 20), (15, 24),
เส้นตอกที่ x = 19 (15, 25), (15, 26), (15, 30), (15, 34), (15, 35), (15, 36)
เส้นตอกท่ี x = 20 (16, 3), (16, 4), (16, 5), (16, 6), (16, 9), (16, 10), (16, 11), (16, 15), (16, 16),
เส้นตอกท่ี x = 21 (16, 17), (16, 23), (16, 24), (16, 25), (16, 29), (16, 30), (16, 31), (16, 34),
เส้นตอกท่ี x = 22 (16, 35), (16, 36), (16, 37)
(17, 2), (17, 3), (17, 4), (17, 5), (17, 6), (17, 10), (17, 16), (17, 17), (17, 18),
(17, 22), (17, 23), (17, 24), (17, 30), (17, 34), (17, 35), (17, 36), (17, 37),
(17, 38)
(18, 1), (18, 2), (18, 3), (18, 5), (18, 6), (18, 7), (18, 13), (18, 17), (18, 18),
(18, 19), (18, 21), (18, 22), (18, 23), (18, 27), (18, 33),(18, 34), (18, 35),
(18, 37), (18, 38), (18, 39)
(19, 1), (19, 2), (19, 6), (19, 7), (19, 8), (19, 12), (19, 13), (19, 14), (19, 18),
(19, 19), (19, 20), (19, 21), (19, 22), (19, 26), (19, 27), (19, 28), (19, 32),
(19, 33), (19, 34), (19, 38), (19, 39)
(20, 1), (20, 4), (20, 7), (20, 8), (20, 9), (20, 11), (20, 12), (20, 14), (20, 15),
(20, 19), (20, 20), (20, 21), (20, 25), (20, 26), (20, 28), (20, 29), (20, 31),
(20, 32), (20, 33), (20, 36), (20, 39)
(21, 1), (21, 2), (21, 6), (21, 7), (21, 8), (21, 12), (21, 13), (21, 14), (21, 18),
(21, 19), (21, 20), (21, 21), (21, 22), (21, 26), (21, 27),(21, 28), (21, 32),
(21, 33), (21, 34), (21, 38), (21, 39)
(22, 1), (22, 2), (22, 3), (22, 5), (22, 6), (22, 7), (22, 13), (22, 17), (22, 18),
(22, 19), (22, 21), (22, 22), (22, 23), (22, 27), (22, 33), (22, 34), (22, 35),
(22, 37), (22, 38), (22, 39)

64

เส้นตอกท่ี x = 23 (23, 2), (23, 3), (23, 4), (23, 5), (23, 6), (23, 10), (23, 16), (23,17),
(23, 18), (23, 22), (23, 23), (23, 24), (23, 30), (23, 34), (23, 35), (23, 36),
เส้นตอกที่ x = 24 (23, 37), (23, 38)
(24, 3), (24, 4), (24, 5), (24, 6), (24, 9), (24, 10), (24, 11), (24, 15), (24, 17),
เสน้ ตอกท่ี x = 25 (24, 23), (24, 24), (24, 25), (24, 29), (24, 30), (24, 16), (24, 31), (24, 34),
เส้นตอกท่ี x = 26 (24, 35), (24, 36), (24, 37)
เส้นตอกที่ x = 27 (25, 4), (25, 5), (25, 6), (25, 10), (25, 14), (25, 15), (25, 16), (25, 20), (25, 24),
(25, 25), (25, 26), (25, 30), (25, 34), (25, 35), (25, 36)
เส้นตอกท่ี x = 28 (26, 1), (26, 5), (26, 6), (26, 7), (26, 13), (26, 14), (26, 15), (26, 19), (26, 20),
(26, 21), (26, 25), (26, 26), (26, 27), (26, 33), (26, 34), (26, 35), (26, 39)
เสน้ ตอกท่ี x = 29 (27, 1), (27, 2), (27, 6), (27, 7), (27, 8), (27, 12), (27, 13), (27, 14), (27, 18),
(27, 19), (27, 21), (27, 22), (27, 26), (27, 27), (27, 28), (27, 32), (27, 33),
เส้นตอกท่ี x = 30 (27, 34), (27, 38), (27, 39)
(28, 1), (28, 2), (28, 3), (28, 7), (28, 8), (28, 9), (28, 10), (28, 11), (28, 12),
เสน้ ตอกที่ x = 31 (28, 13), (28, 19), (28, 20), (28, 21), (28, 27), (28, 28),
เสน้ ตอกที่ x = 32 (28, 29), (28, 30), (28, 31), (28, 32), (28, 33), (28, 37), (28, 38), (28, 39)
เสน้ ตอกท่ี x = 33 (29, 2), (29, 3), (29, 4), (29, 8), (29, 9), (29, 10), (29, 11), (29, 12), (29, 16),
(29, 20), (29, 24), (29, 28), (29, 29), (29, 30), (29, 31), (29, 32), (29, 36),
(29, 37), (29, 38)
(30, 3), (30, 4), (30, 5), (30, 9), (30, 10), (30, 11), (30, 12), (30, 15), (30, 16),
(30, 17), (30, 23), (30, 24), (30, 25), (30, 28), (30, 29), (30, 30), (30, 31),
(30, 35), (30, 36), (30, 37)
(31, 4), (31, 5), (31, 6), (31, 10), (31, 11), (31, 12), (31, 16), (31, 20), (31, 24),
(31, 28), (31, 29), (31, 30), (31, 34), (31, 35), (31, 36)
(32, 5), (32, 6), (32, 7), (32, 11), (32, 12), (32, 13), (32, 19), (32, 20), (32, 21),
(32, 27), (32, 28), (32, 29), (32, 33), (32, 34), (32, 35)
(33, 6), (33, 7), (33, 8), (33, 12), (33, 13), (33, 14), (33, 18), (33, 19), 33, 20),
(33, 21), (33, 22), (33, 26), (33, 27), (33, 28), (33, 32),(33, 33), (33, 34)

65

เสน้ ตอกท่ี x = 34 (34, 7), (34, 8), (34, 9), (34, 13), (34, 14), (34, 15), (34, 16), (34, 17), (34,18),
(34, 19), (34, 21), (34, 22), (34, 23), (34, 24), (34, 25), (34, 26), (34, 27),
เสน้ ตอกท่ี x = 35 (34, 31), (34, 32), (34, 33)
เส้นตอกที่ x = 36 (35, 8), (35, 9), (35, 10), (35, 14), (35, 15), (35, 16), (35, 17), (35, 18),
เส้นตอกท่ี x = 37 (35, 22), (35, 23), (35, 24), (35, 25), (35, 26), (35, 30), (35, 31), (35, 32)
เส้นตอกที่ x = 38 (36, 9), (36, 10), (36, 11), (36, 15), (36, 16), (36, 17), (36, 20), (36, 23),
เสน้ ตอกท่ี x = 39 (36, 24), (36, 25), (36, 29), (36, 30), (36, 31)
(37, 10), (37, 11), (37, 12), (37, 16), (37, 17), (37, 18), (37, 22), (37, 23),
(37, 24), (37, 28), (37, 29), (37, 30)
(38, 11), (38, 12), (38, 13), (38, 17), (38, 18), (38, 19), (38, 21), (38, 22),
(38, 23), (38, 27), (38, 28), (38, 29)
(39, 12), (39, 13), (39, 14), (39, 18), (39, 19), (39, 20), (39, 21), (39, 22),
(39, 26), (39, 27), (39, 28)

66

บรรณำนกุ รม

สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, The Geometer’s Sketchpad คูม่ ืออำ้ งอิง,
กรุงเทพฯ.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, เรียนรู้กำรใชง้ ำนเบื้องตน้ The Geometer’s
Sketchpad ซอฟต์แวร์สำรวจเชิงคณิตศำสตร์ เรขำคณิตพลวัต, กรุงเทพฯ.