Penerapan Integral Tentu Dalam Menghitung Volume

INTEGRAL TENTU
DALAM MENGHITUNG VOLUME

MK. MATDAS
PRODI S1 PENDIDKAN FISIKA

Skor Nilai :

PENERAPAN INTEGRAL TENTU
DALAM MENGHITUNG VOLUME

DI SUSUN OLEH KELOMPOK 4 :

1. Dede Antonius Permana Sinaga (4202421011)
2. Junianti Nababan (4203121024)
3. Lilisma Hutapea (4203121035)
4. Novita Rahmadhani (4203121040)
5. Putri Andriani MF Siregar (4203121052)
6. Rahma (4202121003)

DOSEN PENGAMPU : Eri Widyastuti S.Pd., M.Si

MATA KULIAH : MATEMATIKA DASAR

PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN FISIKA
FAKLTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2020

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas kehendak nya.
Kami dapat menyelesaikan Laporan yang berjudul “ PENERAPAN INTEGRAL TENTU
DALAM MENGHITUNG VOLUME“ dengan baik dan tepat waktu.

Terima kasih kepada Ibu Ery Widyastuti S.Pd M.Si selaku dosen pengampu mata
kuliah Alat-Alat Ukur Fisika yang telah memberikan motivasi dan saran dalam membuat
Laporan. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan, maupun isi laporan ini masih kuran,
terutama tentang Penerapan Integral Tentu Dalam Menghitung Volume masih banyak
kekurangan, sehingga penulis mengharapkan bagi setiap pembaca untuk menyampaikan
kritikan dan saran yang bersifat membangun guna penyempurnaan laporan kedepannya.
Dalam kesempatan ini penyusun juga mohon maaf jika ada hal yang tidak berkenan dalam
makalah ini dan proses yang dilalui dalam penyusunanya.

Akhir kata, penyusun ucapkan terima kasih kepada semua yang berpartisipasi demi
terselenggarakannya tugas ini dan semoga kita terus dalam lindungan Tuhan Yang Maha Esa.

Medan, 10 Desember 2020
Penulis

Kelompok 4

PENGERTIAN INTEGRAL

Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari
operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian
tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis
integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak
Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut
integral tentu.

I. Integral Tentu

Integral tentu adalah integral yang memiliki nilai batas atas dan batas bawah. Batas-
batas yang diberikan umumnya adalah suatu nilai konstanta. Namun dapat juga batas-batas
tersebut berupa variabel. Untuk mencari nilai integral tertentu dari suatu fungsi, pertama kita
substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi
batas bawah pada fungsi hasil integral.

Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Keterangan:
f(x) = fungsi yang nantinya akan kita integralkan
d(x) = variabel integral
a = batas bawah pada variabel integral
b = batas atas pada variabel integral
F(a) = nilai integral pada batas bawah
F(b) = nilai integral pada batas atas

1

A. Sifat Integral Tentu

1. Sifat Dasar

2. Sifat Gabungan Integral
Jika f terintegralkan pada interval yang memuat titik a, b, dan c, maka
Perhatikan ilustrasi di bawah.

2

3. Sifat Perbandingan
Jika f(x) dan g(x) terintegralkan pada a ≤ x ≤ b, dan f(x) ≤ g(x) untuk setiap x dalam
interval tersebut, maka

4. Sifat Keterbatasan
Jika f(x) terintegralkan pada a ≤ x ≤ b dan m ≤ f(x) ≤ M untuk setiap x dalam interval
tersebut, maka

5. Kelinearan Integral Tentu
Seperti pada integral tak tentu, integral tentu juga memiliki sifat kelinearan.
Misalkan f(x) dan g(x) terintegralkan pada a ≤ x ≤ b dan k adalah konstanta, maka
kf dan f+g terintegralkan sebagai berikut.

Integral sebenarnya dapat ditentukan dengan mudah. Untuk mempermudah perhitungan
integral. Dapat memanfaatkan sifat-sifat integral berikut ini.
Pertama. Jika batas atas dan batas bawah dalam suatu integral tentu adalah sama, maka hasil
integral tentu dari fungsi tersebut akan sama dengan nol karena tidak ada daerah antara batas
batas tersebut.
Berikut ini adalah rumus secara matematis:

3

Kedua. Jika batas atas dan batas bawah dalam integral tentu diubah posisinya (batas atas
menjasi batas bawah dan batas bawah menjadi batas atas) untuk fungsi integral yang sama,
maka akan diperoleh hasil hasil yang sama namun berbeda tanda.
Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Ketiga. Jika f(x) adalah fungsi integral dan k merupakan tetapan (konstanta) sembarang.
Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keempat. Misalkan diberikan dua buah fungsi yaitu f(x) dan g(x), maka integral tentu dari
penjumlahan atau pengurangan kedua fungsi tersebut dapat diselesaikan.
Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Kelima. Misalkan terdapat dua integral dengan nilai fungsi yang sama dan nilai pada batas
atas pada fungsi pertama sama dengan nilai pada batas bawah pada fungsi kedua.
Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keenam. Apabila fungsi f(x) nya bukan suatu fungsi melainkan konstanta.
Berikut ini adalah rumus secara matematis:

4

B. Penerapan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Benda Putar

Integral tentu selain dapat digunakan untuk menghitung luas ternyata penerapan
dapatdigunakan pula dalam penghitungan volume benda putar. Sebelum mengetahui
lebih jauhtentang volume benda putar, kita harus mengetahui terlebih dahulu apa itu volume.
Kitamulai dengan benda-benda sederhana yang disebut tabung lingkaran tegak,
empatdiantaranya diperlihatkan pada gambar dibawah. Dalam tiap kasus benda itu
diperolehdengan cara menggerakkan suatu daerah rata(alas) sejauh h dengan arah tegak lurus
padadaerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda didefinisikan sebagai luas alas
Adikalikan tinggi h.

Kemudian perhatikan sebuah benda pejal yang penampang-penampangnya tegal lurus
terhadap suatu garis tertentu memiliki luas yang diketahui. Khususnya jika garis tersebut
adalah sumbu-x dan andaikan bahwa luas penampangnya di x adalah A(x) dengan
(gambar 2).
Buatlah partisi selang [a,b] dengan menyisipkan titik-titik a=x0<x2<x3<…<xn = b dan lewat
kan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus terhadap sumbu-x, sehingga menggiris
benda menjadi lempengan-lempengan tipis (slabs) (gambar 3).

5

Dan “Volume” benda pejal, V, seharusnya dapat dihampiri dengan jumlah Reiman
Bagaiman normal partisi mendekati nol, kita memperoleh suatu integral tentu,ini kita
definisikan sebagai volume benda

Selain menerapkan rumus diatas untuk mendapatkan volume, seharusnya dipahami pula
proses yang menuju ke penemuan rumus tersebut. Seperti halnya untuk luas, proses ini kita
sebut iris, hampiri, integrasikan.

6

C. CONTOH SOAL
Contoh 1:
Pembahasannya:

Contoh 2:
Pembahasannya:

7

Contoh 3 : Diberikan gambar tabung sebagai berikut!

Tinggi tabung adalah 12 cm dan jari-jarinya 10 cm. Hitunglah volume tabung tersebut dengan
menggunakan integral kemudian buktikan dengan menggunakan rumus tabung yang sudah
dikenal di SMP! Nyatakan volumenya dalam π cm3
Pembahasan
Langkah pertama tempatkan tabung si koordinat cartesian. Sumbu putar tabung tepat berada
di y = 0 atau berhimpit dengan sumbu x seperti ditunjukkan gambar berikut ini.

Langkah berikutnya adalah menentukan persamaan garis yang melalui titik A dan B pada
gambar. Pada kasus tabung ini persamaannya cukup mudah yaitu garis y = 10 atau bentuk
umumnya y = r dimana r adalah jari-jari tabung.

Berikutnya dengan volume benda putar di mana rumusnya adalah:

V = πba∫ 2 dx
y

Volume tabung dari perhitungan dengan memanfaatkan metode integral volume benda putar
adalah 1200π cm3, Seperti telah diketahui volume tabung dapat dicari dengan rumus:
V = πr2t
= π(10)2 x 12
= 1200π cm3

8

Contoh no.4 : Sama seperti contoh sebelumnya, tempatkan kerucut dalam sumbu xy. Agar
lebih mudah putar dulu potongan kerucut itu hingga seperti gambar berikut ini.

Langkah berikutnya adalah menentukan persamaan garis yang melalui titk A dan B yang
diberikan pada gambar di atas. Titik A(0, 5) dan titik B(12, 10).

Gradien atau kemiringan garis AB adalah
m = (10 – 5) / (12 – 0)
m = 5/12

Sehingga persamaan garis AB dengan m = 5/12 dan melalui titik (0, 5) tidak lain adalah:
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = 5/12(x – 0)
y = 5/12 x + 5

Volume kerucut terpancung di atas dengan demikian adalah:

V = πba∫ 2 dx
y

Volume kerucut adalah 700π cm3

9

DAFTAR PUSTAKA

 Dr.Sunismi,M.Pd,Abdul Halim Fathani,S.Si.,M.Pd.2018.KALKULUS
II.Malang.Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Islam Malang

 Isna Silvia, Selly Erawati S, Ima Tarsimah.2014.MATERI INTEGRAL Untuk
SMA/MA Kelas XII. Cirebon. Pendidikan Matematika FKIP UNSWAGATI

 Muhammad Minan Chusni, M.Pd.Si.2018.APLIKASI KALKULUS-INTEGRAL
DALAM FISIKA. Banjarnegara. CV. Pelita Gemilang Sejahtera (PGS)

 Pandri Ferdias, Eka Anis Savitri. 2015.Analisis Materi Volume Benda Putar pada
Aplikasi Cara Kerja Piston di Mesin Kendaraan Roda Dua. Jurnal Pendidikan
Matematika ,6(2),177-182

 Pesta E. S.Cecep Anwar H. F. S.2008.Matematika Aplikasi. Jakarta.Pusat Perbukuan,
Departemen Pendidikan Nasional

 Usman.RM Bambang.S.M.Hasbi.2016.PROSES BERPIKIR DAN RESPON
BALIKAN MAHASISWA TERHADAP PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
KALKULUS INTEGRAL.Jurnal Peluang,4(2),1-18

 Wuryanto, Masrukan.2013. APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA DALAM
PERHITUNGAN VOLUME BANGUN RUANG DI R3 DENGAN
MENGGUNAKAN PROGRAM MAPLE,Journal of Mathematics,2(1),1-8

 Yulia Romadiastri. 2013.PENERAPAN PEMBELAJARAN KONTEKSTUAL
PADA KALKULUS 2 BAHASAN VOLUM BENDA PUTAR.Jurnal
PHENOMENON,1(1),1-13

Link Video Pendukung :

 https://youtu.be/K5XImH8QN5A
 https://youtu.be/syIrJf26W3k
 https://youtu.be/mlmg1Li9LgI
 https://youtu.be/UcGBxGl7TcI
 https://youtu.be/X1sigdH6vFA

10