คณิตศาสตร์ไฟฟ้า

วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้า

เพื่อให้ 1.เข้าใจกฎและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ 2.มีทักษะเกี่ยวกับการนำ คณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้คำ นวณ หาค่าปริมาณทางไฟฟ้า 3.มีเจตคติที่ดีต่ออาชีพ มีกิจนิสัยในการค้นคว้าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ไฟฟ้า 20104-2120 จุดประสงค์รายวิชา สมรรถนะรายวิชา 1.แสดงความรู้ในการหาค่าปริมาณทางเวคเตอร์และ ปริมาณทางเมทริกซ์ 2.ประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์มาคำ นวณ หาค่าปริมาณทางไฟฟ้า คำ อธิบายรายวิชา ศึกษาการหาปริมาณทางเวคเตอร์ การหาปริมาณทางเมทริกซ์ เรขาคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัสเบื้องต้น เพื่อประยุกต์ใช้หาค่า ปริมาณทางไฟฟ้า

หน่วยที่ เมทริกซ์ (Matrix)

เมทริกซ์ หมายถึง กลุ่มของจำ นวนจริงที่นำ มาจัดเรียงกันให้เ ป็ นแถว แต่ละแถวมีจำ นวนที่เท่าๆกัน โดยมีวงเล็บ ( ) หรือวงเล็นเหลี่ยม [ ] ปิด ล้อม เช่น เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุ จำ นวน หรือ โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำ มาบวกและคูณกับตัวเลข สามารถใช้เมทริกซ์แทน ระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และ ใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับ ตัวแปรต้น สองตัว สามารถบวก คูณ และแยกเม ทริกซ์ออกเ ป็ นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เ ป็ นแนว ความคิดที่มีความสำ คัญยิ่งของ พีชคณิตเชิงเส้น โดย ทฤษฎีเมทริกซ์ เ ป็ นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์ เนื้อหาสาระ 1.1 นิยามของเมทริกซ์ สัญลักษณ์ของเมทริกซ์ ต่อไปนี้แทนเมทริกซ์ที่มีมิติ mxn

1.2 ชนิดของเมทริกซ์ 1.2.1 เมท ริ กซ์หลัก (Column Matrix) เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 หลัก

1.2.2 เมท ริ กซ์แถว (Row Matrix) ที่มีแถวเพียง 1 แถว 1.2.3 เมท ริ กซ์แถว (Zero Matrix) สมาชิกทุกตำ แหน่งในเมทริกซ์ มีค่าเท่ากับศูนย์ 1.2.4 เมท ริ กซ์จัตุรัส (Square Matrix) เมทริกซ์ที่มีจำ นวนแถว เท่ากับจำ นวนหลัก

1.2.6 เมท ริ กซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) เ ป็ นเมทริกซ์จัตุรัส ที่มี สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับ 1 ทุกตัว และสมาชิกใน ตำ แหน่งอื่นเ ป็ น 0 หมดทุกตัว เขียนแทนด้วย l , n แทนจำ นววนแถว หรือจำ นวนหลัก 1.2.5 เมท ริ กซ์เฉียง (Diagonal Matrix) เมทริกซ์ A จะเ ป็ นเม ทริกซ์เฉียง ก็ต่อเมื่อ A เ ป็ น เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกที่ไม่อยู่ในแนว เส้นทแยงมุมหลักเ ป็ นศูนย์ทุกตัว

1.2.7เมท ริ กซ์สามเหลี่ยมบนและเมท ริ กซ์สามเหลี่ยมล่าง (Upper Triangular Matrix and Lower Triangular Matrix) เมทริกซ์ A จะเ ป็ นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ก็ต่อเมื่อ a = 0 สำ หรับ i > j และเมทริกซ์ A จะเ ป็ นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง ก็ต่อเมื่อ a = 0 สำ หรับ i < j

หน่วยที่ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)

นิยาม ให้ เ ป็ นเมทริกซ์จตุรัสมีมิติ (n x n) ค่าดีเทอร์มิ ร์ มิแนนต์ ของ A เขียขีนแทนด้วยสัญลักษณ์ |A| หรือรื det A สามารถ หาได้ดังนี้ 1. ถ้า A มีมิติ (1x1) เนื้อหาสาระ ตัวกำ หนด หรือรืดีเทอร์มิ ร์ มิแนนต์ คือ จำ นวนเลขค่าหนึ่งๆ ที่เป็นคุณสมบัติของเมทริกริซ์ จตุรัสรัใดๆ ซึ่งจะเป็นตัวกำ หนดหรือรืบอกได้ว่า ว่ เมทริกริซ์นั้นๆ มีค่าผกผันหรือรืไม่ นอกจากนี้ค่าดีเทอร์มิ ร์ มิแนนต์ยังยัใช้ใช้ นสูตรคำ นวณหาค่าเมทริกริซ์ผกผันและสูตร คำ นวณแก้สมการ AX = B อีกอีด้วย 2.1 การหาดีเทอร์มิแนนต์ (1x1),(2x2) และ (3x3) 2. ถ้า A มีมิติ (2x2)

หลักการจำ โดยการนำ สมาชิกชิ ในแนวทแยงมุมซ้ายลงมาคูณกัน และลบด้วยสมาชิกชิจากซ้ายขึ้นขึ้ ไป คูณกัน 3. ถ้า A มีมิติ (3x3) หลักการจำ โดยการนำ สมาชิกชิหลักที่ 1 และหลักที่ 2 มา เขียขีนต่อท้ายหลักที่ 3 ใช้ก ช้ ารคูณทแยง โดยการคูณลงเป็น บวก คูณขึ้นขึ้เป็น ลบ

หรือรื det A ถ้า A แล้วหา det A ได้ดังนี้ หรือรื A เป็นเมทริกริซ์จัตุรัสรั ไมเนอร์ข ร์ อง คือ ดีเทอร์มิ ร์ มิแนนซ์ของสมาชิกชิ A ที่เหลือจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของ A ออกไป ไมเนอร์ข ร์ อง เขียขีน แทนด้วย หรือรื A เป็นเมทริกริซ์จัตุรัสรัโคแฟกเตอร์ข ร์ อง เขียขีนแทนด้วย หาได้จาก นิยาม กำ หนดให้ A เป็นเมทริกริซ์จัตุรัสรัใดๆ ดีเทอร์มิ ร์ มิแนนซ์ของ A เขียขีนแทนด้วย สามเหลี่ยม A det A 2.2 ไมเนอร์ (Minor) ของสมาชิกของเมทริกซ์จัตตุรัส นิยาม ถ้า 2.3 โคแฟกเตอร์ (Cofactor) ของสมาชิกของเมทริกซ์จัตุรัส นิยาม ถ้า

2.4 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ การแก้สมการเชิงชิเส้นโดยใช้เ ช้ มทริกริซ์ การกำ จัดตัวแปรวิธีวินี้ธีนี้จะใช้ไช้ ด้สะดวก ที่สุดเมื่อระบบสมการเชิงชิเส้นมี 2 ตัวแปร แต่เมื่อระบบสมการเชิงชิเส้นมี ตัวแปรมากกว่า ว่ 3 ตัวแปร ในบางครั้งรั้การแก้ระบบสมการโดยวิธีวิค่ธีค่ อนข้า ข้ งจะ ยุ่ง ยุ่ ยากจึงไม่เป็นที่นิยม การแก้ระบบสมการเชิงชิเส้น 2 ตัวแปร โดยการกำ จัดตัวแปร ให้ร ห้ ะบบสมการ x - 2y = 3 ...(1) 2x + 1y = 1 ...(2) วิธีวิทำธีทำนำ 2 คูณสมการที่ (2) จะได้ 4x + 2y = 2 ...(3) นำ สมการ (1) + (3) จะได้ 5x = 5 ดังนั้นได้ x = 1 เมื่อนำ ค่า x = 1 ไปแทนในสมการื (1) จะได้ y = -1 ดังนั้น x = 1 , y = -1

หน่วยที่ ทฤษฎีเมชเคอร์เรนต์ (Mesh Current Theory)

จากวงจรรูปที่ 3.1 กระแสไฟฟ้า ฟ้ ที่ไหลในแต่ละลูปของวงจรคือกระแสไฟฟ้า ฟ้ไหล และ ซึ่งกระแสไฟฟ้า ฟ้ไหล จะไหลผ่า ผ่ น จะไหลผ่า ผ่ น ส่วน จะไหลผ่า ผ่ น จะไหลผ่า ผ่ น นั่นเอง แต่เห็น ห็ ว่า ว่ กระแสไฟฟ้า ฟ้ ที่ไหลผ่า ผ่ น จะได้มาจากผลรวมระหว่า ว่ งกระแสไฟฟ้า ฟ้ไหลวน ลูป และ ดังจะเห็น ห็ ว่า ว่ กระแสไฟฟ้า ฟ้ไหลผ่า ผ่ นตัวต้านทาน มีค่า เท่ากับ 3.1 ลำ ดับขั้นการแก้สมการโดยใช้วิธีเมชเคอร์เรนต์ ทฤษฎีเมชเคอร์เ ร์ รนต์ ซึ่งต้องยึดยึหลักการ ดังนี้ 1.กำ หนดทิศทางกระแสให้ค ห้ รบทุกลูป (Loop) โดยทิศทางของกระแสที่กำ หนด นั้น จะให้ก ห้ ระแสไหลไปทางไหนก็ได้ 2.เขียขีนสมการโดยใช้ก ช้ ฎแรงดันของเคอร์ช ร์ อฟฟ์ใฟ์ ห้ค ห้ รบทุกลูป โดยให้ยึ ห้ ดยึถือลูปที่ กำ ลังเขียขีนอยู่เ ยู่ ป็นหลักซึ่งจะมีเครื่อรื่งหมายเป็นบวกเสมอ 3.แรงดันตกคร่อ ร่ มความต้านทานที่เกิดจากกระแสในลูปอื่นอื่สมมุติขึ้นขึ้มาไหล ผ่า ผ่ น ถ้าทิศทางของกระแสไหลสวนทางกับลูปหลัก ให้เ ห้ ครื่อรื่งหมายเป็นลบ และ กระแสไหลทางเดียวกับลูปหลัก ให้เ ห้ ครื่อรื่งหมายเป็นบวก 4.ทิศทางของกระแสที่กำ หนดไหลเข้า ข้ หาแหล่งจ่ายขั้วขั้บวก ให้มี ห้ มีเครื่อรื่งหมายเป็น บวก และทิศทางของกระแสที่กำ หนดไหลเข้า ข้ หาแหล่งจ่ายขั้วขั้ลบ ให้มี ห้ มี เครื่อรื่งหมายเป็นลบ

จากกฎแรงดันของเคอร์ช ร์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Voltage Law) สามารถเขียขีน สมการได้ดังนี้ ในลูปที่ 1 ใช้ก ช้ ระแสไฟฟ้า ฟ้ไหลวน ใช้ก ช้ ฎแรงดันของเคอร์ช ร์ อฟฟ์เ ฟ์ป็นหลักใน การเขียขีนสมการจะได้ ในลูปที่ 2 ใช้ก ช้ ระแสไฟฟ้า ฟ้ไหลวน ใช้ก ช้ ฎแรงดันของเคอร์ช ร์ อฟฟ์เ ฟ์ป็นหลักใน การเขียขีนสมการจะได้ ใช้เ ช้ มทริกริซ์และดีเทอร์มิ ร์ มิแนนต์แก้สมการ 2 ตัวแปร

หน่วยที่ ทฤษฎีแรงดันโนดโวลเตจ (Node Voltage Theory)

ความเข้า ข้ใจเบื้อบื้งต้นเพื่อพื่นำ ไปใช้ใช้ นการแก้ปัญหา มีดังนี้ 4.2.1 การวิเวิคราะห์วงจรด้วยวิธีวิโธีนด (Nodal Analysis) วิธีวิแธีรงดันโนด (Node) คือ จุดต่อในวงจรไฟฟ้า ฟ้ ที่มีจำ นวนสาขาของวงจร ต่ออยู่ตั้ ยู่ ตั้งตั้แต่ 2 สาขาขึ้นขึ้ ไป โนดหลัก (Principal Node) หรือรืจุดต่อในวงจร ไฟฟ้า ฟ้ ที่มีจำ นวนสาขาของวงจรต่ออยู่ตั้ ยู่ ตั้งตั้แต่ 3 สาขาขึ้นขึ้ ไปมาต่อรวมกัน โนดเปรียรี นบเทียบ (Reference Node) หรือรืจุดอ้า อ้ งอิงอิซึ่งจะกำ หนดให้เ ห้ป็นจุดเชื่อชื่มต่อ ใดจุดหนึ่งเป็นจุดอ้า อ้ งอิงอิก็ได้ แต่โดยทั่วทั่ ไปแล้วจะเลือกจุดอ้า อ้ งอิงอิที่ต่อร่ว ร่ มอยู่กั ยู่ กับ กราวด์(Ground) เสมอเพราะง่า ง่ ยต่อการพิจพิารณาและการคำ นวณ แรงดันโนด (Node Voltage) คือ ความแตกต่างของระดับแรงดันที่จุด ใดๆ ก็ได้ในวงจรเมื่อนำ ไปเปรียรีบเทียบกับจุดอ้า อ้ งอิงอิการเขียขีนสมการของแรงดัน โนดจะพิจพิารณาเป็ฯขั้นขั้ๆ วิธีวิแธีรงดันโนดแบ่ง บ่ การวิเวิคราะห์ว ห์ งจรเป็นลำ ดับขั้นขั้ตอน ดังนี้ 1.กำ หนดโนดอ้า อ้ งอิงอิ (กราวด์) 2.กำ หนดชื่อชื่แรงดันโนดให้กั ห้ กับโนดที่เหลือ 3.แก้ไขโนดง่า ง่ ยๆก่อนโดยโนดที่มีแหล่งจ่ายไฟเชื่อชื่มต่อกับโนดอ้า อ้ งอิงอิ 4.เขียขีนกฎของเคอร์ช ร์ อฟฟ์สำ ฟ์ สำหรับรัแต่ละโนด ทำ กฎของโอห์ม ห์ 5.แก้ไขระบบผลลัพธ์ข ธ์ องสมการสำ หรับรัแรงดันไฟฟ้า ฟ้โนดทั้งทั้หมด 6.แก้สมการใดๆ ที่ต้องการทราบโดยใช้ก ช้ ฎของโอห์ม ห์ 4.1 หลักการโนดโวลเตจ การวิเวิคราะห์ว ห์ งจรด้วยวิธีวิโธีนด อาศัยกฎกระแสไฟฟ้า ฟ้ ของเคอร์ช ร์ อฟฟ์ KCL เป็น หลักในการพิจพิารณาวิธีวินี้ธีนี้กำ หนดตัวแปรของแรงดันที่โนด (Node Voltage) เทียบกับจุดต่อร่ว ร่ มหรือรืกราวน์ (Ground) ซึ่งจุดต่อร่ว ร่ มหรือรืกราวน์เป็นจุดที่มี แรงดันไฟฟ้า ฟ้ เท่าศูนย์ เรียรีกจุดนี้ว่า ว่ โนดอ้า อ้ งอิงอิ (Reference Node) การ วิเวิคราะห์ว ห์ งจรชีวิชีตวิวิธีวิโธีนด คือ การใช้วิ ช้ ธีวิธีKCL เพื่อพื่วิเวิคราะห์ว ห์ งจร ดังนั้นต้อง ทราบทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้า ฟ้ ว่า ว่ เข้า ข้ หรือรืออกจากโนด 4.2 ขั้นตอนการแก้ปัญหาวงจรไฟฟ้าด้วยโนดโวล

4.2.2 กำ หนดโนดอ้า อ้ งอิงอิและแรงดันไฟฟ้าโนด วงจรตัวอย่า ย่ งรูปที่ 4,1 มี 3 โนด ลักษณะที่จะกำ หนดในการเลือกโนดจะ ต้องมีกิ่งหรือรืสาขาที่มีการแยกออกไปมากกว่า ว่ 2 สาขาขึ้นขึ้ ไป จากตัวอย่า ย่ งมีโนด A,B และ C มีทั้งทั้หมด 3 โนด โดยที่แรงดันที่จุด A เทียบกับจุด C และแรงดันที่ จุด B เทียบกับจุด C โดยจุดที่ทำ เครื่อรื่งหมายด้วยสัญลักษณ์สายดินเพื่อพื่ให้รู้ ห้ รู้ ว่ รู้ า ว่ เป็นโนดอ้า อ้ งอิงอิของวงจร 4.2.3 แรงดันไฟฟ้า ฟ้โนดควบคุมทิศทางของกระแส เราสามารถแสดงแรงดันไฟฟ้า ฟ้ ตกคร่อ ร่ ม ถ้าให้ตั ห้ ตัวต้านทาน 20 โอห์ม ห์ ดัง นั้นมีความแตกต่างระหว่า ว่ งแรงดันไฟฟ้า ฟ้ 2 โนด กระแสที่ไหลผ่า ผ่ นตัวต้านทาน เมื่อเขียขีนเป็นสมการที่สัมพันพัธ์กั ธ์ กับแรงดันโนดจะได้เป็นผลต่างของแรงดันทั้งทั้สอง โนดที่ตัวต้านทานต่ออยู่ หารด้วยค่าความต้านทานตามกฎโอห์ม ห์ โดยผลต่างของ แรงดันที่กระแสไหลเข้า ข้ ลบของแรงดันโนดตามทิศทางของกระแสไหลออก จะ เขียขีนสมการได้ดังรูปที่ 4.2

หน่วยที่ เวคเตอร์ (Vector)

5.1 ความหมายของเวคเตอร์ นิยาม เวคเตอร์ เป็นปริมริาณในทางคณิตศาสตร์มี ร์ มี2 แบบ คือ สเกลาร์กั ร์ กับเวคเตอร์ สเกล าร์เ ร์ป็นปริมริาณที่มีแต่ขนาด เช่น ช่ พื้นพื้ที่ อุณหภุมิ ความยาว เป็นต้น เวคเตอร์เ ร์ป็น ปริมริาณที่มีทั้งทั้ขนาดและทิศทาง เช่น ช่ ความเร็ว ร็ แรง เป็นต้น สามารถแทน เวคเตอร์ใร์ นเชิงชิเรขาคณิตได้ด้วยส่วนของเส้นตรงและลูกศร โดยที่ทิศทางของลูก ศร แทนทิศทางของเวคเตอร์ และความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวคเตอร์ หางลูกศร เรียรีกว่า ว่ จุดเริ่มริ่ต้นของเวคเตอร์ หัวหัลูกศร เรียรีกว่า ว่ จุดสิ้นสุดของ เวคเตอร์ 5.2 การเท่ากันของเวคเตอร์ เวกเตอร์ที่ ร์ ที่เท่ากันต้องมีขนาดยาวเท่ากันและทิศทางไปทางเดียวกัน เวกเตอร์ที่ ร์ ที่ ขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้า ข้ ม ถือว่า ว่ เป็นเวกเตอร์ที่ ร์ ที่ไม่เท่ากัน

5.3 การบวก และการลบเวคเตอร์

5.4 เวคเตอร์ศูนย์ นิยาม เวคเตอร์ศู ร์ ศู นย์ (Zero Vector) คือ เวคเตอร์ที่ ร์ ที่มีขนาดเป็นศูนย์ เขียขีน แทนด้วย ข้อ ข้ สังสัเกต 1.เวคเตอร์ศู ร์ ศู นย์ ไม่จำ เป็นต้องกล่าวถึงทิศทางของเวคเตอร์ แต่ถ้าต้องการกล่าว ถึง มีข้อ ข้ ตกลงว่า ว่ จะระบุทิศทางของเวคเตอร์ศู ร์ ศู นย์เป็นเช่น ช่ ใดก็ได้ 2.เมื่อเขียขีนรูปเรขาคณิตแทนเวคเตอร์ศู ร์ ศู นย์ จุดเริ่มริ่ต้นและจุดสิ้นสุดของ เวคเตอร์เ ร์ป็นจุดเดียวกัน

หน่วยที่ จำ นวนเชิงซ้อน (Complex Number)

6.2.2 โพลาร์ฟร์ อร์ม ร์ (Polar Form) โพลาร์ฟร์ อร์ม ร์ มีรูปแบบทั่วทั่ ไป คือ เมื่อ r คือ ขนาดของปริมริาณเวคเตอร์ โดย 0 คือ มุมมองขนาด (องศา) มุม 0 = tan ดังนั้น เช่น ช่ 6.1 รูปแบบจำ นวนเชิงซ้อน 6.2.1 เรคแทงกูลาร์ฟร์ อร์ม ร์ (Rectangular Form) เรคแทงกูลาร์ฟร์ อร์ม ร์ มีรูปแบบทั่วทั่ ไป คือ x+jy เมื่อ x คือ จำ นวนจริงริ jy คือ จำ นวนจินตภาพ เช่น ช่ z = 3 + j5 , z = 5 - j4, z=-2 + j3, z =-5 - j8 6.2.3 ตรีโรีกณเมทตริกริซ์ฟซ์ อร์ม ร์ (Trigonometry Form) ตรีโรีกณเมทตริกริซ์ฟอร์ม ร์ มีรูปแบบทั่วทั่ ไป คือ r(cos 0 +jsin 0) จะได้ a = r cos 0 b = r sin 0 จาก Z = a + jb ตัวอย่า ย่ งเช่น ช่ Z = 4(cos 30 + j sin 30 ) หรือรื Z = 20(cos 60 - j sin 60) 6.2.4 เอกซ์โซ์ พเนนเชียชีลฟอร์ม ร์ (Exponential Form) เอกซ์โพเนนเชียชีลฟอร์ม ร์ รูปแบบทั่วทั่ ไป คือ e = cos0 +jsin0 Z = r(cos0 + jsin0) = re เช่น ช่ z = 7e, Z=2e

หน่วยที่ เรขาคณิตศาสตร์ (Analytic Geometry)

7.1ระบบพิกัดฉาก ระบบพิกัพิกัดฉากประกอบด้วยเส้นตรง 2 เส้น เส้นหนึ่งอยู่ใยู่ นแนวนอน เรียรีกว่า ว่ แกน x อีกอีเส้นหนึ่งอยู่ใยู่ นแนวตั้งตั้เรียรีกว่า ว่ แกน x,y ทั้งทั้สองเส้นนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก และ เรียรีกจุดตัดว่า ว่ จุดกำ เนิด จุดบนแกน x ด้านขวา ควอดรันรัต์ที่ l (+,+) จุดบนแกน x ด้านซ้าย ควอดรันรัต์ที่ ll (-,+) จุดบนแกน y ด้านบน ควอดรันรัต์ที่ lll (-,-) จุดบนแกน y ด้านล่าง ควอดรันรัต์ที่ lv (+,-)

7.2.1 เส้น ส้ ตรงขนานกัน แกน x ถ้า และ เป็นจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทางระหว่า ว่ งจุด P และจุด Q หาได้โดย ถ้า และ เป็นจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทาง ระหว่า ว่ งจุด P และจุด Q หาได้โดย 7.2 การหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด หรือรื 7.2.2 เส้น ส้ ตรงขนานกัน แกน Y หรือรื

หน่วยที่ ลิมิต (Limit)

8.2.1 ค่าคงตัวแบบไม่ร ม่ ะบุ ค่าคงตัวแบบไม่ระบุพบได้ทั่วทั่ ไปในสูตรคณิตศาสตร์ ซึ่งจะเป็นค่าค่าหนึ่งที่ คงตัว แต่ไม่ระบุตัวเลข 8.2.2 ค่าคงตัวแบบระบุ มักจะมีสัญลักษณ์ใช้แ ช้ ทน เช่น ช่ 1 หรือรื 3.14ในทางฟิสิฟิสิกส์ เคมี หรือรืสาขาที่เกี่ยวข้อ ข้ ง มักมีการอธิบธิายความหมายของตัวเลขสำ หรับรัค่าคงตัว โดย อ้า อ้ งอิงอิถึงตัวเลขหรือรืการวัดวัสิ่งอื่นอื่ด้วยความรู้ที่ รู้ ที่มีอยู่ใยู่ นปัจจุบัน 8.2.3 ตัวแปรทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรทางคณิตศาสตร์ หมายถึง สัญลักษณ์ที่ใช้แ ช้ ทนข้อ ข้ มูลที่เปลี่ยนแปลงค่าได้ โดยมีสัญลักษณ์ที่นิยมใช้ เช่น ช่ a,b,c,x,y,z, .... เพื่อพื่เขียขีนแทนตัวที่ไม่รู้ค่ รู้ ค่ าใน สมการ เช่น ช่ Y = 2X + 5 8.2.4 ฟังฟัก์ชันชั ฟังฟัก์ชันชัคือความสัมพันพัธ์ จากเซตหนึ่งที่เรียรีกว่า ว่ โดเมน ไปยังยัอีกอีเซตหนึ่งที่ เรียรีกว่า ว่ โคโดเมน โดยที่สมาชิกชิตัวหน้าไม่ซ้ำ กัน ความคิดรวบยอดของฟังฟัก์ชันชันี้ เป็นพื้นพื้ฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์แ ร์ ละวิทวิยาศาสตร์เ ร์ ชิงชิปริมริาณ 8.1 ความสำ คัญของลิมิต ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังฟัก์ชันชันั้นนับเป็นความรู้พื้ รู้ พื้นพื้ฐานที่สำ คัญของการ ศึกษาเกี่ยวกับอนุพั นุ นพัธ์ข ธ์ องฟังฟัก์ชันชั ปริพัรินพัธ์แ ธ์ ละการประยุกต์อื่นอื่ๆซึ่งจะได้ศึกษาใน หน่วยการเรียรีนต่อๆ ไป เพราะฉะนั้น จึงต้องศึกษาแนวคิดเกี่ยวกับลิมิตของ ฟังฟัก์ชันชัและความต่อเนื่องให้เ ห้ ข้า ข้ใจอย่า ย่ งถ่องแท้ เพื่อพื่ให้ส ห้ ามารถนำ ไปประยุกต์ใช้ ในเรื่อรื่งที่กล่าวมาข้า ข้ งต้นได้อย่า ย่ งถูกต้อง 8.2 ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์

กำ หนด จงหา f(2) + f(0) วิธีวิทำธีทำ แทน แทน หาค่า 8.2.5 การหาค่าของฟังก์ชัน ในการที่จะหาค่าของฟังฟัก์ชันชันั้น คือการแทนค่าตัวแปรอิสอิระของฟังฟัก์ชันชั กำ หนด f(x) = 2x + 1 จงหา f(2) วิธีวิทำธีทำ f(x) = 2x + 1 แทน f(2) = 2(2) + 1 = 5

หน่วยที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (The Derivative of Function)

เนื่องจากฟังฟัก์ชันชัเป็นความสัมพันพัธ์ร ธ์ ะหว่า ว่ งตัวแปรอิสอิระ (x) กับตัวแปรตาม (y) ซึ่งเขียขีนอยู่ใยู่ นรูปของ y = f(x) เมื่อ x มีการเปลี่ยนแปลงจากค่าของ แล้ว ไปเป็น ค่าของ y ย่อ ย่ มต้องมีการเปลี่ยนแปลงค่าไปด้วยเช่น ช่ กัน นั่นคือ y จะ มีการเปลี่ยนจาก เป็น ค่าที่เปลี่ยนของ x เขียขีนแทนด้วย ซึ่งอาจเขียขีนแทน ก็ได้ ทำ นองเดียวกัน ค่าที่เปลี่ยนของ y เขียขีนแทนด้วย ซึ่งอาจ เขียขีนแทน ได้เช่น ช่ กัน 9.1 ชนิดของฟังก์ชัน ฟังฟัก์ชันชัแบ่ง บ่ ได้เป็น 2 ชนิด คือฟังฟัก์ชันชัพืชพืคณิต และฟังฟัก์ชันชัอดิสัย ฟังฟัก์ชันชัพืชพืคณิต คือ ฟังฟัก์ชันชัที่มีนิพจน์ประกอบด้วย ค่าคงที่ และเครื่อรื่งหมาย บวก ลบ คูณ หาร ยกกำ ลัง หรือรืถอดกรณฑ์ เช่น ช่ -ฟังฟัก์ชันชัเชิงชิเส้น คือฟังฟัก์ชันชัที่อยู่ใยู่ นรูป f(x) = ax + b -ฟังฟัก์ชันชัคงที่ หรือรืฟังฟัก์ชันชัคงตัว คือ ฟังฟัก์ชันชัที่อยู่ใยู่ นรูป f(x) = b จะได้เป็นกราฟ เส้นตรงที่ขนานแกน x -ฟังฟัก์ชันชัขั้นขั้บันได คือฟังฟัก์ชันชัที่มีค่าคงตัวเป็นช่ว ช่ งๆ จะได้กราฟเป็นรูปขั้นขั้บันได -ฟังฟัชั่นชั่ที่เป็นคาบ (Periodic Funciton) เป็นฟังฟัก์ชั่นชั่ที่เป็นคาบ ซึ่ง f(x + p) = f(x) เมื่อ p เป็นจำ นวนจริงริสำ หรับรัทุกค่า X + p ที่อยู๋ใยู๋ นโดเมนของ f 9.2 การเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

หน่วยที่ ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน (The Integration)

ในกระบวนการที่จะหา f(x) จากอนุพั นุ นพัธ์ f’(x) ที่กำ หนด พร้อ ร้ มทั้งทั้ค่าคงที่อีกอีค่า หนึ่งค่าของ f(x) นั้นจะถูกเรียรีกว่า ว่ เป็นปฏิยานุพั นุ นพัธ์ห ธ์ รือรืปริพัรินพัธ์ แบ่ง บ่ ออกได้เป็น 2 ขั้นขั้ตอน แรกเป็นการหาปฏิยานุพั นุ นพัธ์ข ธ์ อง f (Anti-Derivation) ทั้งทั้หมด สำ หรับรั ขั้นขั้ตอนที่สองเป็นการหาอนุพั นุ นพัธ์ที่ ธ์ ที่สอดคล้องกับค่าที่กำ หนดให้เ ห้ ราอาจกล่าวว่า ว่ Integration เป็น Inverse Operator ของ Derivative สัญลักษณ์ เรียรีกว่า ว่ Integral Sign และเรียรีก f(x) ว่า ว่ Integrand นิยาม กำ หนดฟังฟัก์ชันชั f(x) และอนุพั นุ นพัธ์ข ธ์ อง f(x) หรือรื f’(x) สำ หรับรัทุกค่า x ที่อยู่ ในโดเมนของ f ปฏิยานุพั นุ นพัธ์ข ธ์ อง f ทั้งทั้หมดจะเรียรีกว่า ว่ เป็นอินอิทิกรัลรัไม่จำ กัดของ f เทียบกับ x เขียขีนแทนด้วย ทฤษฎีบท กำ หนดฟังฟัก์ชันชั f(x) และ F(x) เป็นปฏิยานุพั นุ นพัธ์ข ธ์ อง f(x) อินอิทิกรัลรัไม่ จำ กัดของ f เทียบกับ x จะเท่ากับผลบวกของ F(x) กับค่าคงที่ นั่นคือ 10.1 การหาปฏิยานุพันธ์ f(x)dx อ่า อ่ นว่า ว่ อินอิทิกรัลรัไม่จำ กัดเขตของ f(x) เทียบกับ x หรือรือินอิทิกรัลรัของ f(x) f(x)dx=F(x)+C เมื่อ C เป็นค่าคงตัวใดๆ ค่า C เรียรีกว่า ว่ เป็นค่าคงที่ของการอินอิทิเกรชันชั (Constant of Integration) หรือรืค่าคงที่ไม่เจาะจง (Arbitrary Constant)

adu = a du = au + c เมื่อ a เป็นค่าคงตัว การหาปฏิยานุพั นุ นพัธ์ (การอินอิทิกรัลรั ไม่จำ ม่ จำกัดเขต) โดยการใช้สู ช้ สู ตร du = u + c เมื่อ ฟังฟัก์ชันชัตรีโรีกณมิติมิ ติ sinudu = -cos u + c cos u du = sin u + c sec u tan u du = sec u + c

หน่วยที่ การประยุกต์ใช้งานทางวงจรไฟฟ้า

สมการสำ หรับรัพลังงาน พลังงานเป็นฟังฟัก์ชันชัของเวลา คือ อัตอัรา (เช่น ช่ อนุพั นุ นพัธ์)ธ์ ที่งานเสร็จ ร็ ดังนั้นสามารถ แสดงโดยสมการนี้ 11.1 พลังงาน ในฟิสิฟิสิกส์ พลังงาน คือ อัตอัราของการทำ งานหรือรืถ่ายโอนความร้อ ร้ นเช่น ช่ ปริมริาณ พลังงานที่ถ่ายโอนหรือรืแปลงต่อหน่วยเวลา ในระบบหน่วยสากลหน่วยของ พลังงานคือวัตวัต์เท่ากับหนึ่งจูลต่าวินวิาที พลังงานเป็นปรมาณสเกลาร์ที่ ร์ ที่ต้องการการเปลี่ยนแปลงทั้งทั้ระบบทางกายภาพ และช่ว ช่ งเวลาที่ระบุ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นขึ้สิ่งนี้แตกต่างจากแนวคิดของงาน ซึ่งวัดวัได้เฉพาะในแง่ข ง่ องการเปลี่ยนแปลงสุทธิใธินสถานะของระบบทางกายภาพ ปริมริาณงานที่เท่ากันนั้นกระทำ เมื่อบรรทุกสัมภาระขึ้นขึ้บันไดโดย ไม่คำ นึงถึง ความเร็ว ร็ แต่จำ เป็นใช้พ ช้ ลังงานมากขึ้นขึ้เมื่องานเสร็จ ร็ ภายในเวลาอันอัสั้นสั้ เมื่อ P คือ กำ ลังไฟฟ้า ฟ้ หน่วยเป็น วัตวัต์ w คือ พลังงาน หน่วยเป็น จุลน์ (J) t คือ เวลา หน่วยเป็น วินวิาที v คือ แรงดันไฟฟ้า ฟ้ หน่วยเป็น โวลต์

11.2 ตัวเก็บประจุ (Capacitor) ตัวเก็บประจุนั้นประกอบด้วยขั้วขั้ไฟฟ้า ฟ้ (หรือรืเพลต) 2 ขั้วขั้แต่ละขั้วขั้จะเก็บประจุ ชนิดตรงกันข้า ข้ มกันทั้งทั้สองขั้วขั้มีสภาพความจุ และมีฉนวนหรือรืไดอิเอิล็กตริกริเป็นตัว แยกคั่นคั่กลาง ประจุนั้นถูกเก็บไว้ที่ ว้ ที่ผิวผิหน้าของเพลต โดยมรไดอิเอิล็กตริกริกั้นกั้เอาไว้ เนื่องจากแต่ละเพลตจะเก็บประจุชนิดตรงกันข้า ข้ ม แต่มีปริมริาณเท่ากันดังนั้นประจุ สุทธิใธินตัวเก็บประจุ จึงมีค่าเท่ากับ ศูนย์ เสมอ 11.3 วงจรอนุพันธ์อันดับหนึ่ง เราจะนิยามว่า ว่ วงจรอนุพั นุ นพัธ์อั ธ์ นอัดับหนึ่ง คือ วงจรที่มีสามารถอธิบธิายได้ด้วย สมการอนุพั นุ นพัธ์อั ธ์ นอัดับหนึ่ง ลักษณะของสมการอนุพั นุ นพัธ์อั ธ์ นอัดับหนึ่งเป็นดังนี้ เมื่อ Y คือ ผลตอบสนองของวงจร (แรงดันหรือรืกระแส) A และ B คือ ฟังฟัก์ชันชั ใดๆ ตอนนี้เราได้พิจพิารณาองค์ประกอบ (ตัวต้านทานตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ ) งาน พิจพิารณาวงจรที่มีค่าผสมต่างๆ ของสองหรือรืสามองค์ประกอบเรื่อรื่ยๆ ในส่วน นี้จะต้องตรวจสอบวงจรง่า ง่ ยๆ สองประเภท : วงจรที่ประกอบด้วยตัวต้านทานและ ตัวเก็บประจุ RC และวงจรประกอบด้วยตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำ RL ตาม ลำ ดับ