ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-1 บทที่ 1 ทฤษฎ ีดอกเบี้ย ส าหรับการลงทุนใด ๆ ก็ตาม สิ่งที่นักลงทุนคาดหวังที่จะได้รับคือ ผลตอบแทนที่จะได้จากการลงทุน นั้น ๆ ซึ่งผลตอบแทนหรือดอกเบี้ยที่ได้รับส่วนใหญ่จะได้อยู่ในรูปของจ านวนเงิน เช่น ลงทุนโดยฝากเงินกับ ธนาคาร ลงทุนโดยซื้อพันธบัตร โดยความหมายของ“ดอกเบี้ย”(interest) ในที่นี้หมายถึง จ านวนเงินที่ผู้ยืม ต้องจ่ายให้กับเจ้าของเงิน เพื่อตอบแทนจากการน าเงินก้อนนั้นไปใช้ประโยชน์ ตัวอย่างเช่น นางสาวสวยขอยืม เงินนายหล่อ เมื่อครบก าหนดระยะเวลาที่ตกลงกัน นางสาวสวยต้องน าเงินจ านวนที่ยืมพร้อมกับเงินอีกจ านวน หนึ่งที่เรียกว่าดอกเบี้ยเพื่อตอบแทนที่นายหล่อให้ยืมเงินมาคืน โดยจ านวนเงินที่ยืมหรือจ านวนเงินลงทุน ซึ่งก็ คือจ านวนเงินเริ่มต้น จะเรียกว่า เงินต้น (principle) ส่วนเงินทั้งหมดที่ได้รับหลังจากเวลาผ่านไประยะหนึ่ง เรียกว่า ค่าสะสม (accumulated value) หรือเงินรวม (amount value) ซึ่งผลต่างระหว่างเงินสะสมและเงิน ต้นก็คือจ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในช่วงระยะเวลาของการลงทุน นั่นก็คือ เงินรวม = เงินต้น + จ ำนวนดอกเบี้ย ดังนั้น เราสามารถค านวณหาค่าสะสม ณ เวลาใดก็ได้ของเงินต้นจ านวนหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขเบื้องต้น คือ เงินต้นคงที่ตลอดระยะเวลาของการลงทุน กล่าวคือ ไม่มีการเพิ่ม (ฝาก) หรือลด (ถอน) จ านวนเงินต้น ภายในระยะเวลาของการลงทุน เพราะฉะนั้น การเปลี่ยนแปลงของเงินที่ลงทุนจึงเป็นผลที่ได้จากดอกเบี้ย นั่นเอง 1. ฟังก์ชันสะสมและฟังก์ชันเงินรวม (the accumulation function and amount function) 1.1 ฟังก์ชันสะสม (the accumulation function) ฟังก์ชันสะสมเป็นฟังก์ชันที่แสดงค่าสะสมของเงินต้น 1 บาท ในระยะเวลา t ปี ( t 0 ) ซึ ่งแทน ฟังก์ชันสะสม ด้วยสัญลักษณ์ at() 1 at() 0 t
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-2 ตัวอย ่ำงที่ 1.1 ก าหนดฟังก์ชันสะสม 2 a t t ( ) = 1 (0.5 ) + , t 0 วิธ ีท ำ จะได้ ค่าสะสมของเงินต้น 1 บาท ในระยะเวลา 1 ปี = a(1) = 2 1 (0.5) + = 1.25 ค่าสะสมของเงินต้น 1 บาท ในระยะเวลา 2 ปี = a(2) = 2 1 (1) + = 2 ค่าสะสมของเงินต้น 1 บาท ในระยะเวลา 3 ปี = a(3) = 2 1 (1.5) + = 3.25 ค่าสะสมของเงินต้น 1 บาท ในระยะเวลา 20 ปี= a(20) = 2 1 (100) + = 101 สามารถเขียนกราฟของ 2 a t t ( ) = 1 (0.5 ) + ได้ดังนี้ เมื่อพิจารณากราฟ จะได้ว่า - ที่จุดเริ่มต้น t = 0 จะได้ a(0) = 1 ซึ่งคือ เงินลงทุนเริ่มต้น - เส้นกราฟเพิ่มขึ้น ดังนั้น at() เป็นฟังก์ชันเพิ่ม - เส้นกราฟต่อเนื่องตลอดทั้งเส้น ดังนั้น at() เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้นสามารถสรุปคุณสมบัติของ at() ได้ดังนี้ 1. a(0) = 1 2. at() เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) 3. ถ้าดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องแล้ว at() เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) โดยปกติแล้ว เงินต้นส าหรับการลงทุนจะเป็นจ านวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ 1 บาท ถ้าสมมติให้เงินต้นของการ ลงทุนเท่ากับ k บาท เราจะสามารถค านวณหาค่าสะสมของเงินต้นได้ โดยใช้ฟังก์ชันเงินรวม
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-3 1.2 ฟังก์ชันเงินรวม (the amount function) ฟังก์ชันเงินรวม เป็นฟังก์ชันที่แสดงค่าสะสมของเงินต้น k บาท ในระยะเวลา t ปี ( t 0 ) ซึ่งแทน ฟังก์ชันเงินรวม ด้วยสัญลักษณ์ At() k At() 0 t ตัวอย ่ำงที่ 1.2ก าหนดฟังก์ชันเงินรวม At() = 2 100[1 (0.5 ) ] + t , t 0 วิธ ีท ำ จะได้ค่าสะสมของเงินต้น 100 บาท ในระยะเวลา 1 ปี = A(1) = 2 100[1 (0.5) ] + = 125 ค่าสะสมของเงินต้น 100 บาท ในระยะเวลา 2 ปี = A(2) = 2 100[1 (1) ] + = 200 ค่าสะสมของเงินต้น 100 บาท ในระยะเวลา 3 ปี = A(3) = 2 100[1 (1.5) ] + = 325 ค่าสะสมของเงินต้น 100 บาท ในระยะเวลา 20 ปี = A(20) = 2 100[1 (100) ] + = 10,100 จากนิยามของฟังก์ชันค่าสะสมและฟังก์ชันเงินรวม สามารถหาความสัมพันธ์ระหว่าง At() และ at() ได้ดังนี้ At() = k a t ( ) เมื่อ k คือเงินต้นของการลงทุน ที่ k > 0 หรืออาจกล่าวได้ว่า at() เป็นกรณีเฉพาะของ At() เมื่อ k = 1 ดังนั้นคุณสมบัติของ At() จึงมีคุณสมบัติเช่นเดียวกับ at() ดังนี้ 1. A(0) = k 2. At() เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 3. ถ้าดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องแล้ว At() เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ฟังก์ชันสะสม at() หรือฟังก์ชันเงินรวม At() เป็นฟังก์ชันที ่มีความส าคัญในการค านวนหาค่า ดอกเบี้ย ซึ่งปัจจุบันมีอยู่ด้วยกันหลายรูปแบบ ตัวอย่างลักษณะกราฟของฟังก์ชันเงินรวม At() แบบต่าง ๆ แสดงดังรูปที่1.1
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-4 (ก) (ข) ฟังก์ชันเงินรวมเป็นฟังก์ชันเส้นตรง ฟังก์ชันเงินรวมเป็นฟังก์ชันเลขก าลัง (linear function) (exponential function) (ค) (ง) ฟังก์ชันเงินรวมเป็นฟังก์ชันคงที่ (constant function) ฟังก์ชันเงินรวมเป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (discrete function) เป็นการลงทุนที่ไม่มีดอกเบี้ย เป็นการลงทุนที่ดอกเบี้ยไม่ได้เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง รูปที่ 1.1กราฟแสดงฟังก์ชันเงินรวม At() แบบต่าง ๆ ในการค านวณหาจ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับตลอดช่วงระยะเวลาการลงทุน สามารถหาได้จาก ผลต่าง ระหว่างเงินรวมกับเงินต้น และหากต้องการหาจ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ nก็สามารถหาได้ในท านอง เดียวกัน ซึ่งก็คือ ผลต่างระหว่างจ านวนเงินตอนปลายปีที่ nกับจ านวนเงินตอนต้นปีที่ n (จ านวนเงินตอนต้นปี ที่ n มีค่าเท่ากับจ านวนเงินตอนปลายปีที่ n–1) ถ้าก าหนดให้ n I แทนจ ำนวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ nของการลงทุน แล้วจะได้ n I = A n A n ( ) ( 1) − −ส าหรับจ านวนเต็ม n 1 A(t) t k 0 A(t) k t 0 A(t) k t 0 A(t) k t 0
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-5 ตัวอย ่ำงที่ 1.3 จากตัวอย่างที่ 1.2 ที่ At() = 2 100[1 (0.5 ) ] + t , t 0 จงหาจ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ 1 ปีที่ 2 และปีที่ 3 ของการลงทุน วิธ ีท ำ ค่าสะสมของเงินต้น A(0) A(1) A(2) A(3) 100 บาท 100 125 200 325 t 0 1 2 3 จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ 1 ของการลงทุน 1 I = A A (1) (0) − = 125– 100 = 25 บาท จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ 2ของการลงทุน 2 I = A A (2) (1) − = 200– 125 = 75 บาท จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ 3ของการลงทุน 3 I = A A (3) (2) − = 325– 200 = 125 บาท ส าหรับเนื้อหาในบทนี้จะกล่าวถึงการค านวณค่าของดอกเบี้ย โดยแสดงในรูปของฟังก์ชันสะสมและ ฟังก์ชันส่วนลด (discount function)ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการค านวณหาค่าสะสมและค่าปัจจุบันหรือเงินต้น ตามล าดับ โดยดอกเบี้ยที่ต้องการค านวณมีอยู่ 5 ชนิด ดังนี้ 1. อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง (effective rate of interest) 2. อัตราส่วนลดที่เป็นจริง (effective rate of discount) 3. อัตราดอกเบี้ยเพียงในนาม (nominal rate of interest) 4. อัตรส่วนลดเพียงในนาม (nominal rate of discount) 5. พลังของดอกเบี้ย (force of interest)
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-6 2. อัตรำดอกเบี้ยที่เป็นจริง (effective rate of interest) ก าหนดให้ i แทนอัตรำดอกเบี้ยที่เป็นจริง โดยจะจ่ายดอกเบี้ยตอนปลายปีปีละ 1 ครั้ง ดังนั้น ส าหรับเงินต้น 1 บาท จะได้จ านวนเงินตอนปลายปีที่ 1 เท่ากับ 1+ i a(0) = 1 a(1) = 1+ i t 0 1 ลักษณะบางประการของอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงมีดังนี้ 1. อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง เป็นการค านวณค่าของดอกเบี้ยที่จ่ายตอนปลายปี 2. จ านวนเงินต้นของการลงทุนต้องคงที่ตลอดช่วงการลงทุน ซึ่งก็คือ จะไม่มีการเพิ่มหรือถอนเงินต้น ระหว่างช่วงเวลาที่ค านวณค่าของดอกเบี้ย 3. อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงนิยมเขียนอยู่ในรูปของ % หรือร้อยละ เช่น i = 3% หมายถึง เงินลงทุน 100 บาท จะได้รับดอกเบี้ย 3 บาท ดังนั้น ถ้าลงทุน 1 บาท ผู้ลงทุนจะได้รับดอกเบี้ยจากการลงทุน = 3 100 = 0.03 บาท ซึ ่งอัตรา ดอกเบี้ยที่เป็นจริงสามารถเขียนอยู่ในรูปของฟังก์ชันเงินรวม โดยใช้แนวคิดนี้ดังนี้ i = 3 100 = 103 100 100 − = (1) (0) (0) A A A − = 1 (0) I A จะเห็นว ่า อัตราดอกเบี้ยที ่เป็นจริงก็คือ อัตราส ่วนระหว ่างจ านวนดอกเบี้ยที ่ได้รับในปีนั้นกับเงิน ตอนต้นปีในท านองเดียวกัน สามารถค านวณอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีใด ๆ ได้ดังนี้ ก าหนดให้ n i แทนอัตรำดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ n นับจากวันลงทุน จะได้ n i = ( ) ( 1) ( 1) A n A n A n − − − = ( 1) n I A n − , ส าหรับจ านวนเต็ม n 1 ตัวอย ่ำงที่ 1.4จงหาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ 1 ปีที่ 2 และปีที่ 3 นับจากวันลงทุนของตัวอย่างที่ 1.3 วิธ ีท ำ ให้อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ 1 ปีที ่ 2 และปีที ่ 3 นับจากวันลงทุน แทนดัวย 1 i , 2 i และ 3 i ตามล าดับ จากตัวอย่างที่ 1.3 จะได้ 1 i = (1) (0) (0) A A A − = 125 100 100 − = 0.25 หรือ 25% ต่อปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-7 2 i = (2) (1) (1) A A A − = 200 125 125 − = 0.6 หรือ 60% ต่อปี 3 i = (3) (2) (2) A A A − = 325 200 200 − = 0.625 หรือ 62.5% ต่อปี จากอัต ร าดอกเบี้ยที ่เป็นจริง n i = ( ) ( 1) ( 1) A n A n A n − − − = ( 1) n I A n − , n 1 สาม า รถหา ความสัมพันธ์ต่าง ๆ ได้ดังนี้ 1. n I = ( 1) n i A n − นั่นคือ จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ n หาได้จาก อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ nคูณกับจ านวน เงินตอนต้นปีที่ n 2. An( ) = (1 ) ( 1) n + − i A n หรือ an( ) = (1 ) ( 1) n + − i a n นั่นคือ จ านวนเงินตอนปลายปีที่ n มีค่าเท่ากับ จ านวนเงินตอนต้นปีที่ n รวมกับจ านวนดอกเบี้ย ที่ได้รับในปีที่ n และจากความสัมพันธ์ an( ) = (1 ) ( 1) n + − i a n นี้ ยังสามารถขยายความสัมพันธ์ได้ดังนี้ an( ) = (1 ) ( 1) n + − i a n = 1 (1 )[(1 ) ( 2)] n n i i a n + + − − = 1 2 (1 )(1 )[(1 ) ( 3)] n n n i i i a n + + + − − − = 1 2 1 (1 )(1 )(1 )...(1 ) n n n i i i i + + + + − − ในกรณีที่อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในแต่ละปีเท่ากัน 1 2 3 = = =...= = n i i i i i จะได้ an( ) = (1 )n + i นั่นคือ ฟังก์ชันสะสม an( ) เป็นฟังก์ชันเลขชี้ก าลัง จาก a(0) = 1 และ a(1) = 1+ i พบว่า มีฟังก์ชันสะสมมากมายที่ผ่านจุด 2 จุดนี้ ยกตัวอย่างเช่น at() = 1+ it หรือ at() = (1 )t + i เมื่อ t 0 โดยสองฟังกชันสะสมนี้เป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการคิดดอกเบี้ย เชิงเดียวและดอกเบี้ยทบต้น ตามล าดับ ซี ่งเป็นวิธีการคิดดอกเบี้ยที่นิยมใช้ค านวณในปัจจุบัน ส าหรับ รายละเอียดของการค านวณดอกเบี้ยแต่ละแบบจะอธิบายในหัวข้อถัด ๆ ไป
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-8 2.1 ดอกเบี้ยเชิงเดียวหรือดอกเบี้ยคงต้น (simple interest) ส าหรับการค านวณหาจ านวนดอกเบี้ยที่คิดด้วยวิธีดอกเบี้ยเชิงเดี๋ยวหรือดอกเบี้ยคงต้น (simple interest) เป็นวิธีการค านวณดอกเบี้ยจากเงินต้นจ านวนเดียวกันหรือคงที่ตลอดช่วงของการลงทุน ตัวอย่างเช่น พิจารณาการลงทุนของเงินต้น 1,000 บาท คิดดอกเบี้ยเชิงเดียวด้วยอัตรา 10% ต่อปี จะ สามารถค านวณหาจ านวนดอกเบี้ยและค่าสะสมของเงินต้น 1,000 บาท ในระยะเวลา 1 ปี 2 ปี และ 3 ปี ได้ ดังนี่ เงินต้น 1,000 ปีที่ 0 1 2 3 ดอกเบี้ย 1,000 0.1 = 100 1,000 0.1 = 100 1,000 0.1 = 100 ค ่ำสะสมปลำยปี 1,000+100 1,100+100 1,200+100 = 1,100 = 1,200 = 1,300 = 1,000+100 = 1,000+200 = 1,000+300 = 1,000(1+0.1(1)) = 1,000(1+0.1(2)) = 1,000(1+0.1(3)) จะได้จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับแต่ละช่วงเวลาจึงเท่ากับ 100 บาท ทุกปี และได้ค่าสะสมของเงินต้น 1,000 บาท ปลายปีที่ 1 เท่ากับ 1,100 บาท ค่าสะสมของเงินต้น 1,000 บาท ปลายปีที่ 2 เท่ากับ 1,200 บาท และค่าสะสมของเงินต้น 1,000 บาท ปลายปีที่ 3 เท่ากับ 1,300 บาท ซึ่งสามารถค านวณค่าสะสมของเงินต้น 1,000 บาท ปลายปีที่ t ได้จาก1,000(1+0.1t) ในท านองเดียวกัน พิจารณาการลงทุนของเงินต้น 1 บาท ที่คิดอัตราดอกเบี้ยเชิงเดียว i ต่อปีสามารถ ค่าสะสมของเงินต้น 1 บาท ในระยะเวลา 1 ปี 2 ปี และ 3 ปี ได้ดังนี้ เงินต้น 1 ปีที่ 0 1 2 3 ดอกเบี้ย 1i = i i i ค ่ำสะสมปลำยปี 1+ i 1+ i + i 1+ 2i + i = 1+ 2i = 1+ 3i จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละปีจะคิดจากเงินต้น 1 บาท เท่ากันทุกปี ดังนั้นจ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับ จะเท่ากับ i เท่ากันและคงที่ทุกปี และจะมีค่าสะสมตอนปลายปีที่ 1 เท่ากับ 1+ iค่าสะสมตอนปลายปีที่ 2 เท่ากับ (1+i ) + i ค่าสะสมตอนปลายปีที่3 เท่ากับ (1+2i ) + i ถ้าพิจารณาไปเรื่อย ๆ จะได้ว่า ค่าสะสมของ เงินต้น 1 บาท ปลายปีที่ t ได้จาก1+ it
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-9 จากความสัมพันธ์ข้างต้น สามารถเขียนฟังก์ชันสะสมและได้ฟังก์ชันเงินรวมของการคิดดอกเบี้ย เชิงเดียวอยู่ในรูปทั่วไปได้ดังนี้ at() = 1+ it ส าหรับ t 0 At() = k it (1 ) + ส าหรับ t 0 ตัวอย ่ำงที่ 1.5 นายขันติกู้เงินมาจ านวน 100,000 บาท เป็นระยะเวลา 3 ปี โดยเจ้าหนี้คิดดอกเบี้ยเชิงเดียวที่ อัตรา 8% ต่อปี อยากทราบว่านายขันติต้องจ่ายเงินคืนเจ้าหนี้รวมเป็นเงินจ านวนเท่าใด และจ านวนดอกเบี้ยที่ ต้องจ่ายไปในการกู้ครั้งนี้ วิธ ีท ำ จากโจทย์จะได้ - เงินต้น k = A(0) = 100,000 - คิดที่อัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปีจะได้ i = 8% = 0.08 ค านวณดอกเบี้ยเชิงเดียวจะได้ ฟังก์ชันเงินรวม At() = 100,000(1 0.08 ) + t ดังนั้น ค่าสะสมของเงินต้น 100,000 บาท ในระยะเวลา 3 ปี= A(3) = 100,000(1 0.08(3)) + = 124,000 บาท จ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่าย = 124,000– 100,000 = 24,000 บาท หรือ หาได้จากจ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่ายในการกู้ครั้งนี้(จ่ายตลอด 3 ปี) = 1 2 3 I I I + + เมื่อ 1 I = 2 I = 3 I = i A (0) = 0.08 100,000 = 8,000 บาท จะได้จ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่าย = 8,000 + 8,000 + 8,000 = 24,000 บาท ดังนั้น นายขันติต้องจ่ายเงินคืนเจ้าหนี้ 124,000 บาท โดยจ่ายจ านวนดอกเบี้ย 24,000 บาท ข้อสังเกต จาก เงินรวมหรือค่าสะสม = เงินต้น + จ านวนดอกเบี้ย ดังนั้นสามารถหาจ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่าย ณ สิ้นสุดระยะเวลา t ปี ได้จากผลต่างระหว่างค่าสะสมและเงินต้น ถ้าคิดดอกเบี้ยเชิงเดียวจะได้ จ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่าย ณ สิ้นสุดระยะเวลา t ปี = A t A ( ) (0) − = k it k (1 ) + − = k i t = I เมื่อ I แทน จ านวนดอกเบี้ย k แทน เงินต้น i แทน อัตราดอกเบี้ยต่อช่วงเวลา t แทน ช่วงเวลานับจากวันลงทุน
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-10 จากความสัมพันธ์ข้างต้น สิ่งที่ต้องพิจารณาคือ ความสอดคล้องกันของ i และ t ซึ่งช่วงเวลา t อาจจะ มีการวัดหน่วยที่แตกต่างกัน เช่น หน่วยเป็นเดือน 3 เดือน 6 เดือน หรือ ปี เช่นหากถ้าอัตราดอกเบี้ยiก าหนด ในรูป % ต่อปี ก็จะได้ t เป็นจ านวนปีที่ลงทุน แต่ถ้า i ก าหนดในรูป % ต่อเดือน ก็จะได้ t เป็นจ านวนเดือนที่ ลงทุน ตัวอย ่ำงที่ 1.6 นางสาวไชโยต้องการยืมเงินจากเจ้าหนี้เป็นระยะเวลา 16 เดือน ซึ่งเจ้าหนี้คิดดอกเบี้ยเชิงเดียว ที่อัตรา 18% ต่อปี โดยครบก าหนดแล้วนางสาวไชโยต้องคืนเงินรวมทั้งหมดเป็นจ านวน 6,200 บาท อยาก ทราบว่านางสาวไชโยยืมเงินมาจ านวนเท่าใด และเสียดอกเบี้ยไปเท่าใด วิธ ีท ำ ก าหนดให้k แทน จ านวนเงินต้น จาก จ านวนดอกเบี้ย I = A t A ( ) (0) − = 6,200 – k (A) คิดที่อัตราดอกเบี้ย 18% ต่อปี จะได้ i = 0.18 ในระยะเวลา 16 เดือน --> ปรับให้หน่วยเดียวกับกัน i (ต่อปี) จะได้ t = 16 12 ปี และจากจ านวนดอกเบี้ย I = k i t = 16 0.18 12 k (B) จาก (A) = (B) จะได้ 6,200 – k = 16 0.18 12 k 6,200 = 1.24 k k = 5,000 บาท ดังนั้น นางสาวไชโยยืมเงินมาจ านวน 5,000 บาท โดยจ่ายจ านวนดอกเบี้ย 1,200 บาท อัตรำดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ n ของกำรลงทุนของกำรคิดดอกเบี้ยเชิงเดียว เมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ n ของการลงทุนและอัตรา ดอกเบี้ยเชิงเดียว จะได้ดังนี้ ก าหนดให้ i แทนอัตราดอกเบี้ยเชิงเดียวต่อปี n i แทนอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่n นับจากวันลงทุน จากสูตรการหาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง n i = ( ) ( 1) ( 1) A n A n A n − − − = ( ) ( 1) ( 1) ka n ka n ka n − − − = ( ) ( 1) ( 1) a n a n a n − − − = (1 ) (1 ( 1)) (1 ( 1)) in i n i n + − + − + − นั่นคือ n i = (1 ( 1)) i + − i n , ส าหรับจ านวนเต็ม n 1
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-11 จากความสัมพันธ์ข้างต้นพบว่า แม้อัตราดอกเบี้ยเชิงเดียว (i) ในแต่ละปีมีค่าคงที่ แต่อัตราดอกเบี้ยที่ เป็นจริงใน 1 ปีใด ๆ ( n i ) กลับมีค่าลดลง ทั้งนี้เนื่องจากจ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละปีคงที่ แต่เมื่อน ามา เปรียบเทียบกับเงินตอนต้นปีในแต่ละปีที่มีค่าเพิ่มขึ้น (เงินตอนต้นปี = เงินตอนต้นปีในปีที่ผ่านมารวมกับ จ านวนดอกเบี้ยในปีนั้น) ท าให้อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีนั้น ๆ มีค่าลดลง (n เพิ่มขึ้น ค่า n i ยิ่งลดลง) ตัวอย ่ำงที่ 1.7จงหาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ 1, 2, 3 นับจากวันลงทุน ของการลงทุน 10,000 บาท โดย คิดดอกเบี้ยเชิงเดียวที่อัตรา 12% ต่อปี วิธ ีท ำ คิดดอกเบี้ยเชิงเดียวที่อัตรา 12% จากความสัมพันธ์ n i = (1 ( 1)) i + − i n จะได้ อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงปีที่ 1: 1 i = 0.12 (1 0.12(1 1)) + − = 0.12 หรือ 12% ต่อปี อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงปีที่ 2: 2 i = 0.12 (1 0.12(2 1)) + − = 0.1071 หรือ 10.71% อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงปีที่ 3: 3 i = 0.12 (1 0.12(3 1)) + − = 0.0968 หรือ 9.68% จากตัวอย่างข้างต้นจะได้ว่า อัตราดอกเบี้ยที่เชิงเดียว i = 0.12 คงที่ตลอดช่วงของการลงทุน แต่อัตรา ดอกเบี้ยที ่เป็นจริงกลับมีค่าลดลงไปเรื่อย ๆ ตามระยะเวลาของการลงทุนที่เพิ ่มขึ้น (ปีที่ 1: 0.12, ปีที ่ 2: 0.1071, ปีที่ 3: 0.0968) ทั้งนี้เนื่องจากเมื่อน าจ านวนดอกเบี้ยที่ได้ซึ่งคงที่มาเทียบกับจ านวนเงินตอนต้นปีที่ เพิ่มขึ้น ท าให้อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีนั้น ๆ ลดลง และลดลงไปเรื่อย ๆ ตามระยะเวลาที่เพิ่มขึ้น 2.2 ดอกเบี้ยทบต้น (compound interest) ในการคิดดอกเบี้ยเชิงเดียวหรือดดอกเบี้ยคงตัวนั้น จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละช่วงเวลาจะเท่า ๆ กัน เนื่องจากคิดที่จากจ านวนเงินต้นคงที่ หรืออาจจะกล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่า จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละครั้ง จะไม่ถูกน ามาลงทุนซ ้าให้เกิดผลก าไรนั่นเอง แต่ส าหรับการคิดดอกเบี้ยทบต้นคือ การน าดอกเบี้ยที่ได้ในแต่ละ ครั้งมาลงทุนเพิ่มเติมเข้าไป เพื่อให้ได้จ านวนดอกเบี้ยเพิ่มขึ้น ดังนั้นจ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละครั้งจึงมีค่า เพิ่มขึ้น ตลอดช่วงระยะเวลาของการลงทุน
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-12 ตัวอย่างเช่น พิจารณาการลงทุนของเงินต้นจ านวน 1,000 บาท คิดดอกเบี้ยทบต้นในอัตรา 10% ต่อปี จะได้เงินรวมหรือค่าสะสมในระยะเวลา 1 ปี 2 ปี และ 3 ปี ของการลงทุนดังนี้ 1,000 0 1 2 3 ดอกเบี้ย 1,000 0.1 = 100 1,100 0.1 = 110 1,210 0.1 = 121 ค ่ำสะสมปลำยปี 1,000+100 1,100+110 1,210+121 = 1,100 = 1,210 = 1,331 = 1,000 1.1 = 1,100 1.1 = 1,210 1.1 = 2 1,000 (1.1) = 3 1,000 (1.1) จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับของเงินต้น 1,000 บาท ปลายปีที่ 1 เท่ากับ 100 บาท ดังนั้นค่าสะสมปลายปีที่ 1 เท่ากับ 1,100 บาท โดยค่าสะสมนี้จะกลายเป็นเงินต้นส าหรับค านวณดอกเบี้ยปลายปีที่ 2 ซึ่งได้เท่ากับ 110 บาท ในท านองเดียวกันจะได้ค่าสะสมปลายปีที่ 2 เท ่ากับ 1,210 บาท และจะเป็นเงินต้นส าหรับค านวณ ดอกเบี้ยปลายปีที ่ 3 ซึ ่งได้เท่ากับ 121 บาท และได้ค่าสะสมปลายปีที ่ 3 เท ่ากับ 1,331 บาท ดังนั้นจาก ความสัมพันธ์ข้างต้น สามารถค านวณค่าสะสมของเงินต้น 1,000 บาท ปลายปีที่ t ได้จาก 1,000(1+0.1) t ซึ่ง ลักษณะดอกเบี้ยที่ค านวณในลักษณะนี้เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น (compound interest) ในท านองเดียวกัน พิจารณาการลงทุนของเงินต้น 1 บาท ที่คิดอัตราดอกเบี้ยทบต้น iต่อปีสามารถค่า สะสมของเงินต้น 1 บาท ในระยะเวลา 1 ปี 2 ปี และ 3 ปี ได้ดังนี้ 1 0 1 2 3 ดอกเบี้ย i i i (1 ) + 2 i i (1 ) + ค ่ำสะสมปลำยปี 1+ i (1 ) (1 ) + + + i i i 2 2 (1 ) (1 ) + + + i i i = 2 (1 ) + i = 3 (1 ) + i จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับที่ปลายปีที่ 1 คิดจากเงินต้น 1 บาท ได้เท่ากับ i และค่าสะสมตอนปลายปีที่ 1 เท่ากับ 1+ i และค่าสะสมนี้จะเป็นเงินต้นส าหรับค านวณดอกเบี้ยปลายปีที่ 2 ซึ่งได้จ านวนดอกเบี้ยปลายปีที่ 2 เท่ากับ i i (1 ) + บาท ค่าสะสมตอนปลายปีที่ 2 เท่ากับ 2 (1 ) + i ในท านองเดียวกันจะได้ดอกเบี้ยปลายปีที่ 3 เท่ากับ 2 i i (1 ) + บาท ค่าสะสมตอนปลายปีที่ 3เท่ากับ 3 (1 ) + i ดังนั้นจากความสัมพันธ์ข้างต้น ถ้าพิจารณาไปเรื่อย ๆ จะได้ว่า ค่าสะสมของเงินต้น 1 บาท ปลายปีที่ t ได้จาก (1 )t + i
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-13 จากความสัมพันธ์ข้างต้น สามารถเขียนฟังก์ชันสะสมและได้ฟังก์ชันเงินรวม ของการคิดดอกเบี้ยทบ ต้นอยู่ในรูปทั่วไปได้ดังนี้ at() = (1 )t + i ส าหรับ t 0 At() = (1 )t k i + ส าหรับ t 0 ตัวอย ่ำงที่ 1.8 นายขันติกู้เงินมาจ านวน 100,000 บาท เป็นระยะเวลา 3 ปี โดยเจ้าหนี้คิดดอกเบี้ยทบต้นที่ อัตรา 8% ต่อปี อยากทราบว่านายขันติต้องจ่ายเงินคืนเจ้าหนี้รวมเป็นเงินจ านวนเท่าใด และจ านวนดอกเบี้ยที่ ต้องจ่ายไปในการกู้ครั้งนี้ วิธ ีท ำ จากโจทย์จะได้ - เงินต้น A(0) = 100,000 - คิดที่อัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี จะได้ i = 8% = 0.08 ค านวณดอกเบี้ยทบต้น จะได้ ฟังก์ชันเงินรวม At() = 100,000(1 0.08)t + ค่าสะสมของเงินต้น 100,000 บาท ในระยะเวลา 3 ปี = A(3) = 3 100,000(1 0.08) + = 125,971.2 บาท และจ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่าย = 125,971.2 – 100,000 = 25,971.2 บาท ดังนั้น นายขันติต้องจ่ายเงินคืนเจ้าหนี้ 125,971.2 บาท โดยจ่ายจ านวนดอกเบี้ย 25,971.2 บาท จากตัวอย่างที่ 1.5 และ 1.8 จะเห็นได้ว่า เงินต้นและอัตราดอกเบี้ยเท่ากัน ลงทุนในระยะเวลาเท่ากัน การคิดดอกเบี้ยทบต้นจะให้ค่าสะสมมากว่าการคิดดอกเบี้ยเชิงเดียว ตัวอย่ำงที ่ 1.9 น าเงินจ านวน 6,000 บาท ไปลงทุนเป็นระยะเวลา 2 ปี หากคิดดอกเบี้ยทบต้นจะได้รับ ดอกเบี้ยจ านวน 2,640 บาท อยากทราบว่าถ้าลงทุนในวงเงิน 20,000 บาท เป็นระยะเวลา 3 ปี จะได้รับ ค่า สะสมเท่าใด โดยใช้อัตราดอกเบี้ยทบต้นเท่าเดิม วิธ ีท ำ จากโจทย์คิดที่อัตราดอกเบี้ยทบต้น จะได้ค่าสะสม At() = (1 )t k i + และจาก ค่าสะสม = เงินต้น + ดอกเบี้ย จะได้ 2 6,000(1 ) + i = 6,000 + 2,640 2 (1 ) + i = 1.44 i = 0.2 ดังนั้น ถ้าลงทุนในวงเงิน 20,000 บาท เป็นระยะเวลา 3 ปี จะได้รับค่าสะสม = 3 20,000(1 0.2) + = 34,560 บาท
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-14 ตัวอย ่ำงที่ 1.10 นักลงทุนสมัครเล่นคนหนึ่งลงทุนในกองทุน X และ Y จ านวน 1,000 บาท เท่ากัน โดยที่ กองทุน X ให้ดอกเบี้ยทบต้นในอัตรา jต่อปี เมื่อ j > 0 ในขณะที่กองทุน Y ให้ดอกเบี้ยเชิงเดียวในอัตรา 1.05j ต่อปี ถ้าปลายปีที่ 2 ของการลงทุน จ านวนเงินในกองทุน X และ Y มีค่าเท่ากัน จงหาจ านวนเงินในกองทุน X ที่ปลายปีที่ 5 ของการลงทุน วิธ ีท ำ ให้ M แทนจ านวนเงินในกองทุน X และ Y ณ ปลายที่ที่ 2 จะได้ 1000 M กองทุน X คิดดอกเบี้ยทบต้นในอัตรา jต่อปี 0 2 1000 M กองทุน Y คิดดอกเบี้ยเชิงเดียวในอัตรา 1.05jต่อปี 0 2 ณ ปลายปีที่ 2: M = จ านวนเงินในกองทุน X = จ านวนเงินในกองทุน Y 2 1000(1 ) + j = 1000(1 1.05 (2)) + j 2 (1 ) + j = 1 2.1 + j 2 1 2 + +j j = 1 2.1 + j j j ( 0.1) − = 0 j = 0.1 (จาก j > 0) ดังนั้น จ านวนเงินในกองทุน X ที่ปลายปีที่ 5 ของการลงทุน = 5 100(1 ) + j = 5 100(1 0.1) + = 161.051 บาท ตัวอย ่ำงที่ 1.11 จงหาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ 1, 2, 3 นับจากวันลงทุน ของการลงทุน 10,000 บาท โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นที่อัตรา 12% ต่อปี วิธ ีท ำ สูตรทั่วไปของการหาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง n i = ( ) ( 1) ( 1) A n A n A n − − − จากโจทย์จ านวนเงินลงทุน A(0) = 10,000 บาท คิดดอกเบี้ยทบต้นที่อัตรา 12% ค านวณค่าสะสมเมื่อเวลาผ่านไป t ปี ได้จาก At() = 10,000(1 0.12)t + จะได้ A(1) = 10,000(1.12) = 11,200 A(2) = 2 10,000(1.12) = 12,544 A(3) = 3 10,000(1.12) = 14,049.28
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-15 อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงปีที่ 1: 1 i = (1) (0) (0) A A A − = 11,200 10,000 10,000 − = 0.12 หรือ 12% อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงปีที่ 2: 2 i = (2) (1) (1) A A A − = 12,544 11,200 11,200 − = 0.12 หรือ 12% อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงปีที่ 3: 3 i = (3) (2) (2) A A A − = 14,049.28 12,544 12,544 − = 0.12 หรือ 12% จากตัวอย่างนี้จะเห็นว่า การคิดดอกเบี้ยทบต้น จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละปีไม่เท่ากัน แต่อัตรา ดอกเบี้ยที่เป็นจริงในแต่ละปีจะเท่ากัน โดยมีอัตราเท่ากับอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อปี อัตรำดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ n ของกำรลงทุนของกำรคิดดอกเบี้ยทบต้น เมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ n ของการลงทุนและอัตรา ดอกเบี้ยเชิงเดียว จะได้ดังนี้ ก าหนดให้ i แทนอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อปี n i แทนอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ n นับจากวันลงทุน จากสูตรการหาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง n i = ( ) ( 1) ( 1) A n A n A n − − − = ( ) ( 1) ( 1) ka n ka n ka n − − − = 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) n n n i i i − − + − + + = 1 1 (1 ) [(1 ) 1] (1 ) n n i i i − − + + − + นั่นคือ n i = i ส าหรับจ านวนเต็ม n 1
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-16 เมื่อพิจารณาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีต่าง ๆ ถ้าการลงทุนโดยได้รับดอกเบี้ยเชิงเดียวต่อปี แล้ว อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงที่ได้รับในแต่ละปีจะมีค่าลดลง แต่ถ้าการลงทุนโดยได้รับดอกเบี้ยบทต้นต่อปี แล้วอัตรา ดอกเบี้ยที่เป็นจริงที่ได้รับในแต่ละปีจะมีค่าคงที่ไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น ในทางการเงินจึงนิยมคิดดอกเบี้ยทบตน มากกว่าการคิดดอกเบี้ยเชิงเดียว อย่างไรก็ดี ถ้าพิจารณาช่วงเวลาก่อนครบปีแรกของการลงทุน 0 < t < 1 ค่าสะสมที่ได้จากการคิด ดอกเบี้ยเชิงเดียวจะมีค่ามากกว่าการคิดดอกเบี้ยทบต้น แต่เมื่อระยะเวลาของการลงทุนมากกว่า 1 ปี t > 0 ค่า สะสมที่ได้จากการคิดดอกเบี้ยทบต้นจะมีค่ามากกว่าการคิดดอกเบี้ยเชิงเดียวแสดงดังรูปที่ 1.2 รูปที่ 1.2กราฟแสดงฟังก์ชันสะสม a(t) ของการคิดดอกเบี้ยเชิงเดียวและคิดดอกเบี้ยทบต้น ดังนั้น ในกรณีการลงทุนระยะสั้น ๆ ไม่ถึงปี นิยมใช้การคิดดอกเบี้ยเชิงเดียวมากกว่า หรือในกรณีที่ ต้องการประมาณค่าการคิดดอกเบี้ยทบต้นที่มีระยะเวลาที่เป็นเศษส่วน แต่เนื่องจากส่วนใหญ่การลงทุน จะใช้ ระยะเวลานานกว่า 1 ปี ดังนั้น ในกรณีที ่ไม่มีการก าหนดชนิดของการค าดอกเบี้ยจึงจะถือว่าเป็นการคิด ดอกเบี้ยทบต้น แต่ในบางสถานการณ์การน าดอกเบี้ยที่ได้ไปลงทุนซ ้าอาจจะได้รับดอกเบี้ยในอัตราที่แตกต่าง จากการลงทุนเริ่มต้น ซึ่งรายละเอียดของการค านวณในลักษณะนี้จะกล่าวในบทถัด ๆ ไป 2.3 ค ่ำปัจจ ุบัน (present value) ในการลงทุนเงินต้นจ านวน 1 บาท เราสามารถค านวณหาค่าสะสม ณ ปลายปีที่ t ใด ๆ ได้ โดยใช้ ฟังก์ชันสะสม แต่ในทางกลับกัน ถ้าเราต้องการมีเงิน 1 ปี ณ สิ้นปีที่ t เราจะต้องลงทุนจ านวนเท่าใดในปัจจุบัน โดยจ านวนเงินที่ลงทุนนี้จะเรียกว่า ค ่ำปัจจ ุบันของเงิน 1 บาท ณ ปลายปีที่ t ซึ่งค่าปัจจุบันนี้มีความส าคัญ อย่างมากส าหรับคณิตศาสตร์การเงิน เพราะเป็นจ านวนเงินที่จะต้องน ามาลงทุนเพื่อให้ได้จ านวนเงินตาม ต้องการในระยะเวลาที่ก าหนด เช่น เราต้องการสะสมเงินจ านวน 200,000 บาท ในอีก 2 ปีข้างหน้า เพื่อใช้ เป็นทุนในการศึกษาต่อ นอกจากนั้นแล้ว ค่าปัจจุบันยังมีความส าคัญอย่างมากในคณิตศาสตร์ประกันภัย เพราะ 1 a(t) 1 t 0 a(t) = (1+i) t a(t) = 1+it
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-17 บริษัทประกันภัยจ าเป็นต้องค านวณหาจ านวนเงินที่ผู้เอาประกันภัยต้องช าระให้กับบริษัทในวันที่ท าสัญญา เพื่อที่ผู้เอาประกันภัยจะได้รับเงินผลประโยชน์จากกรมธรรม์ในวงเงินที่ก าหนดใว้ให้อนาคต เมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันสะสม at() และค่าปัจจุบันของเงิน 1 บาท ณ ปลายปีที่ t ซึ่งแทนด้วย PV จะได้ PV 1 0 t นั่นคือ PV ( ) a t = 1, t 0 ดังนั้น PV = 1 at() = 1 a t( ) − จากความสัมพันธ์ข้างต้นจะได้ว่า ถ้าต้องการเงิน 1 บาท ณ ปลายปีที่ t แล้วจ านวนเงินที่ต้องลงทุนใน ปัจจุบันจะมีค่าเท่ากับส่วนกลับของมูลค่าสะสม 1 at() หรือ 1 a t( ) − ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันส ่วนลด (discount rate) นั่นคือ ฟังก์ชันส่วนลดเป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการลดค่าเงินตอนปลายปีที่ t (1 บาท) กลับมาจุดเริ่มต้น - กรณีที่คิดดอกเบี้ยด้วยดอกเบี้ยเชิงเดียว ฟังก์ชันส่วนลด 1 a t( ) − = 1 1+ it , t 0 - กรณีที่คิดดอกเบี้ยด้วยดอกเบี้ยทบต้น ฟังก์ชันส่วนลด 1 a t( ) − = 1 (1 )t + i = (1 ) t i − + , t 0 ในการลงทุนส ่วนใหญ ่จะคิดดอกเบี้ยทบต้น จึงก าหนดให้ v = 1 1+ i = 1 (1 )i − + เป็นแฟกเตอร์ ส ่วนลด (discount factor)ดังนั้นมูลค่าปัจจุบันของเงิน 1 บาท ณ ปลายปีที่t มีค่าเท่ากับ (1 ) t i − + = t v กรณีคิดดอกเบี้ยเชิงเดียว กรณีคิดดอกเบี้ยทบต้น 1 1 0 t 0 t
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-18 ตัวอย ่ำงที่ 1.12 นายโจได้รับมรดกจ านวน 500,000 บาท แต่มีเงื่อนไขว่า เงินก้อนนี้จะสามารถน ามาใช้ได้ใน อีก 3 ปีข้างหน้า แต่นายโจมีความจ าเป็นต้องใช้เงินในตอนนี้ จึงไปของกู้กับธนาคารโดยมีข้อตกลงว่า นายโจจะ ช าระคืนเงินคืนเป็นเงินก้อนเดียวเมื่อได้รับเงินมรดก จงหาว่าในวันท าสัญญากู้เงินนายโจจะได้รับเงินกู้จ านวน เท่าใด ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยดังนี้ ก. อัตราดอกเบี้ยคงต้น 15% ต่อปี ข. อัตราดอกเบี้ยทบต้น 15% ต่อปี วิธ ีท ำ ก าหนดให้ X แทน จ านวนเงินกู้นายโจจะได้รับที่ในวันท าสัญญา ซึ่งก็คือ ค่าปัจจุบันของเงินจ านวน 500,000 บาท ณ ปลายปีที่ 3 ดังนั้นจะได้ X 500,000 0 3 เมื่อคิดดอกเบี้ยในอัตรา 15% ต่อปี (i = 0.15) ก. ถ้าคิดด้วยอัตราดอกเบี้ยเชิงเดียว จะได้ X = 500,000 1 0.15(3) + = 344,827.59 บาท ข. ถ้าคิดด้วยอัตราดอกเบี้ยทบต้น จะได้ X = 3 500,000(1 0.15)− + = 328,758.12 บาท นั่นคือ ถ้าอัตราดอกเบี้ย 15% ต่อปี ในวันท าสัญญากู้เงินนายโจจะได้รับเงินจ านวน 344,827.59 บาท ถ้าคิดดอกเบี้ยคงต้น และได้รับเงินจ านวน 328,758.12 บาท ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้น จากตัวอย่างนี้จะเห็นได้ว่า เมื่อก าหนดจ านวนเงินตอนปลายปีเท่ากัน ระยะเวลาเท่ากัน และอัตรา ดอกเบี้ยเท่ากัน ค่าปัจจุบันที่ได้จากการคิดดอกเบี้ยทบต้นจะมีค่าน้อยกว่าค่าปัจจุบันที่ได้จากการคิดดอกเบี้ย เชิงเดียว และหากพิจารณาในมุมของการลงทุน จะได้ว่าจ านวนเงินลงทุนเริ่มต้นกรณีคิดดอกเบี้ยทบต้นจะน้อย กว่าจ านวนเงินลงทุนเริ่มต้นกรณีคิดดอกเบี้ยเชิงเดียวเพื่อให้ได้จ านวนเงินที่ต้องการในระยะเวลาที่ก าหนด กรณีที่ต้องการหาค่าปัจจุบันของเงินหลาย ๆ จ านวน ณ เวลาที่ต่างกัน เราสามารถท าได้โดยการน าค่า ปัจจุบันของเงินแต่ละจ านวนมารวมกัน ดังนี้
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-19 PVZ PVB PVA A B …. Z 0 t1 t2 … t ใดๆ นั่นคือ ค่าปัจจุบันของการลงทุน = ค่าปัจจุบันของ A + ค่าปัจจุบันของ B + … + ค่าปัจจุบันของ Z ตัวอย ่ำงที่ 1.13ก าหนดเงื่อนไขต่าง ๆ ดังนี้ 1. ค่าปัจจุบันของเงิน 10,000 บาทที่ปลายปีที่ 6 2. ผลรวมของค่าปัจจุบันของเงิน 6,000 บาท ณ ปลายปีที่ t และเงิน 56,000 บาท ที่ปลายปีที่ 2t 3. เงินจ านวน 5,000 บาท ณ ปัจจุบัน ถ้าค่าปัจจุบันของแต่ละเงื่อนไขมีค่าเท่ากัน ที่อัตราดอกเบี้ยทบต้น i จงค านวณหาค่าปัจจุบันของเงิน 8,000 บาท ณ ปลายปีที่ t+3 โดยใช้อัตราดอกเบี้ยทบต้น i ต่อปี วิธ ีท ำ จากโจทย์ ค่าของแต่ละเงื่อนไขมีค่าเท่ากัน นั่นคือ เงื่อนไขที่ 1 10,000 เงื่อนไขที่ 2 6,000 56,000 เงื่อนไขที่ 3 5,000 8,000 0 t t+3 6 2t ดังนั้น 6 10,000v = 2 6,000 56,000 t t v v + = 5000 จะได้ 6 10,000v = 5000 6 v = 1 2 ------------(1) และ 2 6,000 56,000 t t v v + = 5000 2 56 6 5 t t v v + − = 0 (14 5)(4 1) t t v v + − = 0 t v = 1 4 ------------(2) (จาก i > 0 ดังนั้น v > 0)
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-20 ต้องการหาค่าปัจจุบันของเงิน 8,000 บาท ณ ปลายปีที่ t+3 ดอกเบี้ยทบต้น i ต่อปี นั่นคือหา 3 8,000 t v + จาก 3 8,000 t v + = 6 8,000 t v v แทน (1) และ (2) จะได้ = 1 1 8,000 4 2 = 1,414.21 นั่นคือ ค่าปัจจุบันของเงิน 8,000 บาท ณ ปลายปีที่ t+3 ดอกเบี้ยทบต้น i ต่อปี เท่ากับ 1,414.21 บาท ตัวอย ่ำงที่ 1.14 จงค านวณหาเงินฝาก หากเราต้องการถอนเงิน 30,000 บาท ณ ปลายปีที่ 5 มาจ่ายค่าซื้อ โทรศัพท์มือถือและ 500,000 บาท ณ ปลายปีที่ 5 มาดาวน์รถยนต์ ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย 5% ต่อปี วิธ ีท ำ ก าหนดให้ X แทน จ านวนเงินฝาก X 30,000 500,000 i = 0.05 0 3 5 จะได้ X = 3 30,000v + 5 500,000v = 3 30,000(1 0.05)− + + 5 500,000(1 0.05)− + = 417,678.21 นั่นคือ ต้องฝากเงินเริ่มต้น 417,678.21 บาท จึงจะสามารถถอนเงินได้ตามที่ต้องการ 3. อัตรำส ่วนลดที่เป็นจริง (effective rate of discount) อัตราส่วนลดที่เป็นจริง เป็นการวัดค่าของดอกเบี้ยที่จ่ายตอนต้นงวด แทนด้วยสัญลักษณ์d เพื่อให้เข้าใจมากขึ้นจะยกตัวอย่างประกอบโดยพิจารณาสถานการณ์ 2 สถานการณ์ ดังนี้ สถานการณ์ที่ 1 นายใจกู้เงินจากธนาคาร 100 บาท เป็นระยะเวลา 1 ปี ธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยที่ เป็นจริง 5% ต่อปี จะได้ 100 105 0 1 ณ จุดเริ่มต้น นายใจจะได้รับเงินจ านวน 100 บาท และเมื่อครบ 1 ปี นายใจจะต้องคืนเงินกู้พร้อม ดอกเบี้ย รวมเป็นเงิน 100 + 5 = 105 บาท ให้กับธนาคาร
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-21 สถานการณ์ที่ 2 นายใจกู้เงินจากธนาคาร 100 บาท เป็นระยะเวลา 1 ปี ธนาคารคิดอัตราส่วนลดที่ เป็นจริง 5% ต่อปี จะได้ 95 100 0 1 ณ จุดเริ่มต้น นายใจจะได้รับเงินจ านวน 100 – 5 = 95 บาท และเมื่อครบ 1 ปี นายใจจะคืนเงิน จ านวน 100 ให้กับธนาคาร นั่นคือ ณ จุดเริ่มต้นธนาคารจะหักดอกเบี้ยไว้ล่วงหน้า ดังนั้นเงินที่นายใจจะได้รับ ณ จุดเริ่มต้นจะเท่ากับเงินกู้ลบด้วยจ านวนดอกเบี้ย จากตัวอย่างทั้ง 2 เหตุการณ์ พบว่าถึงนายใจจะจ่ายดอกเบี้ยเป็นเงิน 5 บาท เท่ากัน แต่อัตราดอกเบี้ย ที่เป็นจริงและอัตราส่วนลดที่เป็นจริงนั้นแตกต่างกัน กรณีที่คิดด้วยอัตราดอกเบี้ยจะเป็นการจ่ายดอกเบี้ยตอน ปลายปี แต่กรณีที่คิดด้วยอัตราส่วนลดจะเป็นการจ่ายดอกเบี้นตอนต้นปีดังนั้นสามารถสรุปได้ว่า อัตรำดอกเบี้ยที่เป็นจริง i ต ่อปีหมายความว่า iคิดจากร้อยละของจ านวนดอกเบี้ยที่จ่ายเทียบกับเงิน ตอนต้นปีและอัตรำส ่วนลดที่เป็นจ ริง d ต ่อปีหมายความว่า d คิดจากร้อยละของจ านวนดอกเบี้ยที่จ่าย เทียบกับเงินตอนปลายปี นิยำมที่ 1.1 อัตรำส ่วนลดที่เป็นจริง (effective rate of discount) คือ อัตราส่วนของจ านวนดอกเบี้ย (จ านวนส่วนลด) ที่ได้รับในช่วงเวลา ต่อ จ านวนเงินตอนปลายปี ข้อสังเกต 1. อัตราส่วนลดที่เป็นจริง หรือ d หมายถึง อัตราของส่วนลดที่จ่ายเพียงครั้งเดียวต่อช่วงระยะเวลา ของการค านวณดอกเบี้ย 2. โดยส่วนใหญ่แล้วอัตราส่วนลดที่เป็นจริงจะเขียนอยุ่ในรูป % เช่น d = 8% หมายถึง ได้รับส่วนลด 0.08 บาท ต่อเงินตอนปลายปี 1 บาท 3. จ านวนเงินต้นจะต้องคงที่ตลอดช่วงเวลาของการลงทุน นั่นคือ ไม่มีการเพิ่มหรือถอนเงินต้นระหว่าง ช่วงเวลา ซึ่งเงินต้นหมายถึง เงินลงทุนตอนต้นปี 4. ความแตกต่างระหว่างอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงและอัตราส่วนลดที่เป็นจริงที่ส าคัญคือ ดอกเบี้ย จะจ่ายตอนปลายปี และจ่ายเทียบกับจ านวนเงินตอนต้นปี ส่วนลด จะจ่ายตอนต้นปี และจ่ายเทียบกับจ านวนเงินตอนปลายปี ในการลงทุน เราต้องการค านวณหาจ านวนเงินที่ต้องลงทุน เพื่อให้ได้ผลตอบแทนเป็นจ านวนเงิน ตามที ่ต้องการในเวลาที่ก าหนด ซึ ่งก็คือการหาค ่าปัจจุบัน โดยเทียบกับจ านวนเงินตอนปลายปี ดังนั้น จ าเป็นต้องใช้อัตราส่วนลดที่เป็นจริงในการค านวณ
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-22 ที่ผ่านมาฟังก์ชันสะสม at() เขียนอยู่ในเทอมของอัตราดอกเบี้ย ซึ่งเป็นฟังก์ชันเส้นตรง (ดอกเบี้ย เชิงเดียวหรือดอกเบี้ยคงต้น) และฟังก์ชันเลขชี้ก าลัง (ดอกเบี้ยทบต้น) ในท านองเดียวกัน ฟังก์ชันสะสมก็ สามารถเขียนอยู่ในเทอมของอัตราส ่วนลดได้เช ่นเดียวกัน โดยจะได้ฟังก์ชันเส้นตรงสอดคล้องกับส ่วนลด เชิงเดียว (simple discount) และฟังก์ชันเลขชี้ก าลังสอดคล้องกับส่วนลดทบต้น (compound discount) 3.1 ส ่วนลดเชิงเดียว(simple discount) ก าหนดให้d แทนอัตราส่วนลดต่อปีหรือจ านวนส่วนลด โดยในแต่ละปีจะคิดจากเงิน 1 บาทตอน ปลายปีที่ t ถ้าคิดส ่วนลดเชิงเดียว (simple discount) จะได้จ านวนส่วนลด ในแต่ละปีจะมีค่าเท่ากันซึ่ง เท่ากับ d จะได้ - ในปีที่ t จ านวนดอกเบี้ย (จ านวนส่วนลด) จะเท่ากับ d และค่าปัจจุบันมีค่าเท่ากับ 1–d ณ ตอนปลายปีที่ t–1 - ในปีที่ t–1 จ านวนดอกเบี้ย (จ านวนส่วนลด) จะเท่ากับ d+d = 2d และค่าปัจจุบันมีค่าเท่ากับ 1–2d ณ ตอนปลายปีที่ t–2 - ในปีที่ t–2 จ านวนดอกเบี้ย (จ านวนส่วนลด) จะเท่ากับ d+2d = 3d และค่าปัจจุบันมีค่าเท่ากับ 1–3d ณ ตอนปลายปีที่ t–3 ในท านองเดียวกันของการลงทุนปีใด ๆ จะได้ค่าปัจจุบันของเงิน 1 บาท ณ ปลายปีที่ t จะได้ เท่ากับ 1–td ซึ่งก็คือฟังก์ชันส่วนลด 1 a t( ) − โดยแนวคิดของ 1 a t( ) − เป็นดังนี้ at() 1 ปีที่ 0 1 2 ... t–3 t–2 t–1 t ส่วนลดที่ได้รับ td (t–1)d (t–2)d ... d+2d=3d d+d=2d d ค่าปัจจุบัน 1–td 1–(t–1)d 1–(t–2)d ... 1–3d 1–2d 1–d ดังนั้น มูลค่าปัจจุบัน ณ จุดเริ่มต้น PV = 1 a t( ) − = 1–td ; 1 0 t d หรือ at() = 1 (1 ) td − − ; 1 0 t d จะได้ ในกรณีคิดส่วนลดเชิงเดียวจะได้ฟังก์ชันส ่วนลด 1 a t( ) − = 1−td มีรูปแบบเป็นฟังก์ชัน เส้นตรง
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-23 3.2 ส ่วนลดทบต้น (compound discount) ส าหรับการคิดส่วนลดทบต้น (compound discount) มีแนวคิดดังนี้ เมื ่อก าหนดให้d แทน อัตราส่วนลดต่อปีหรือจ านวนส่วนลด ในแต่ละปีจะคิดจากจ านวนตอนปลายปีนั้น ๆ ดังนี้ - ในปีที่ t จ านวนดอกเบี้ย (จ านวนส่วนลด) จะเท่ากับ d และค่าปัจจุบันมีค่าเท่ากับ 1–d ณ ตอนปลายปีที่ t–1 - ในปีที่ t–1 จ านวนดอกเบี้ย (จ านวนส่วนลด) จะเท่ากับ d(1–d) และค่าปัจจุบันมีค่าเท่ากับ (1–d) – d(1–d) = 2 (1 ) − d ณ ตอนปลายปีที่ t–2 - ในปีที่ t–2 จ านวนดอกเบี้ย (จ านวนส่วนลด) จะเท่ากับ 2 d d (1 ) −และค่าปัจจุบันมีค่าเท่ากับ 2 2 (1 ) (1 ) − − − d d d = 3 (1 ) − d ณ ตอนปลายปีที่ t–3 ในท านองเดียวกัน ณ ปลายปีของการลงทุนใด ๆ ดังนั้นค่าปัจจุบันของเงิน 1 บาท ณ ปลายปีที่ t จะได้เท่ากับ (1 )t − d ซึ่งก็คือฟังก์ชันส่วนลด 1 a t( ) − at() 1 ปีที่ 0 1 2 ... t–3 t–2 t–1 t ส่วนลดที่ได้รับ 1 (1 )t d d − − ... 2 d d (1 ) − d(1–d) d ค่าปัจจุบัน 1–d (1–d)–d(1–d) = 2 (1 ) − d 2 2 (1 ) (1 ) − − − d d d = 3 (1 ) − d ... 1 1 (1 ) (1 ) t t d d d − − − − − = (1 )t − d ดังนั้น มูลค่าปัจจุบัน PV = 1 a t( ) − = (1 )t − d = t v ; t 0 หรือ at() = (1 ) t d − − ; t 0 จะได้ในกรณีคิดส่วนลดทบต้นจะได้ฟังก์ชันส่วนลด 1 a t( ) − = (1 )t − d เป็นฟังก์ชันเลขชี้ก าลัง
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-24 ตัวอย ่ำงที่ 1.15 นายกิตติท าสัญญากู้เงินจ านวน 500,000 บาท เป็นระยะเวลา 5 ปี โดยเจ้าหนี้คิดอัตรา ส่วนลด 8.5% ต่อปี จงหาจ านวนเงินที่นายกิตติจะได้รับในวันที่ท าสัญญา ถ้าเจ้าหนี้คิดส่วนลดดังนี้ ก. ส่วนลดเชิงเดียว ข. ส่วนลดทบต้น วิธ ีท ำ d = 8.5% ต่อปี ? 500,000 0 5 ต้องการหาค่าปัจจุบันของเงิน 500,000 บาท ณ ปลายปีที่ 5 นั่นคือ 1 500,000 (5) a − ก. เมื่อคิดส่วนลดเชิงเดียว จะได้ 1 500,000 (5) a − = 500,000(1 5(0.085)) − = 287,500 ถ้าเจ้าหนี้คิดส่วนลดเชิงเดียว นายกิตติจะได้รับจ านวนเงินที่ในวันที่ท าสัญญา เท่ากับ 287,500 บาท ข. เมื่อคิดส่วนลดทบต้น จะได้ 1 500,000 (5) a − = 5 500,000(1 0.085) − = 320,682.66 ถ้าเจ้าหนี้คิดส่วนลดทบต้น นายกิตติจะได้รับจ านวนเงินที่ในวันที่ท าสัญญา เท่ากับ 320,682.66 บาท จากตัวอย่างข้างต้น ถ้าค่าสะสมจ านวนเท่ากัน อัตราส่วนลดเท่ากัน และลงทุนเป็นระยะเวลาเท่ากัน ที่ t > 1 ค่าปัจจุบันที่คิดด้วยส่วนลดทบต้นมีค่ามากกว่าค่าปัจจุบันที่คิดด้วยส่วนลดเชิงเดียว โดยการคิดมูลค่าทาง การเงินนิยมใช้ส่วนลดทบต้นมากกว่าส่วนลดเชิงเดียว ส าหรับส่วนลดเชิงเดียวจะใช้กรณีที่เป็นการลงทุนระยะ สั้น ๆ ไม่ถึง 1 ปี หรือต้องการประมาณค่าการคิดส่วนลดทบต้นที่มีระยะเวลาเป็นเศษส่วน ดังนั้นถ้าไม่มีการ ก าหนดวิธีการคิดส่วนลดให้ถือว่าเป็นการคิดส่วนลดทบต้น กราฟฟังก์ชันส่วนลดของการคิดส่วนลดเชิงเดียวและส่วนลดทบต้นแสดงดังรูปที่ 1.3 1 a t( ) − รูปที่ 1.3กราฟแสดงฟังก์ชันส่วนลดของการคิดดอกเบี้ยเชิงเดียวและคิดดอกเบี้ยทบต้น 1 1 t 0 a –1 (t) = (1–d) t a –1 (t) = 1–dt
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-25 ตัวอย ่ำงที่ 1.16 ถ้านายกิตติต้องการใช้เงินวันนี้จ านวน 50,000 บาท เค้าจึงไปขอกู้กับเจ้าหนี้รายหนึ่ง โดย สัญญาว่าจะใช้คืนในอีก 5 ปี ข้างหน้า จงหาจ านวนเงินที่นายกิตติกู้ ถ้าเจ้าหนี้คิดอัตราส่วนลดทบต้น 6% ต่อปี วิธ ีท ำ d = 0.06 ต่อปี 50,000 ? 0 5 ต้องการหาค่าสะสมของเงิน 50,000 บาท ณ ปลายปีที่ 5 นั่นคือ 50,000 (5) a เมื่อคิดส่วนลดทบต้น จะได้ 50,000 (5) a = 5 50,000(1 0.06)− − = 68,128.80 จะได้ว่า ถ้าเจ้าหนี้คิดส่วนลดทบต้น นายกิตติจะได้ต้องกู้เงินจ านวน 68,128.80 บาท ตัวอย ่ำงที่ 1.17 เมื่อก าหนดเงื่อนไขดังนี้ ฝากเงินจ านวน X บาท ไว้กับกองทุน A ที่ให้อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี เป็นระยะเวลา 10 ปี กับฝากเงินจ านวน 2 X บาท ไว้กับกองทุน B ซึ่งให้อัตราส่วนลด d ต่อปี เป็นระยะเวลา 10 ปี โดยที่จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับจากทั้งสองกองทุนมีค่าเท่ากัน จงหาอัตราส่วนลดของการลงทุน วิธ ีท ำ ให้ M เป็นจ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับจากกองทุน กองทุน A i = 0.06 ต่อปี X X + M กองทุน B d ต่อปี 2 X 2 X + M 0 10 1. ลงทุนในกองทุน A ด้วยอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปีจะได้ค่าสะสมคือ 10 X (1 0.06) + ดังนั้น M = 10 X X (1 0.06) + − ------------(1) 2. ลงทุนในกองทุน B ด้วยอัตราส่วนลด d ต่อปี จะได้ค่าสะสมคือ 10 (1 ) 2 X d − − ดังนั้น M = 10 (1 ) 2 2 X X d − − − ------------(2) จาก (1) = (2) จะได้
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-26 10 X X (1 0.06) + − = 10 (1 ) 2 2 X X d − − − 10 2(1.06) 2 − = 10 (1 ) 1 d − − − 10 (1 ) d − − = 2.5817 10 (1 ) −d = 1 2.5817 d = 0.0905 จะได้ว่า กองทุน B ให้อัตราส่วนลด 9.05% ต่อปี อัตรำส ่วนลดที่เป็นจริงในปีที่ n ของกำรลงทุน จากนิยามของอัตราส่วนลดที่เป็นจริงที่ค านวณได้จากร้อยละของจ านวนดอกเบี้ยที่จ่ายเทียบกับเงิน ตอนปลายปีดังนั้นในท านองเดียวกัน การค านวณหาอัตราส่วนลดที่เป็นจริงในปีใด ๆ จะได้ดังนี้ เมื่อก าหนดให้ n d แทนอัตราส่วนลดที่เป็นจริงในปีที่n นับจากวันลงทุน ส าหรับจ านวนเต็ม n 1 n d = ( ) ( 1) ( ) A n A n A n − − = ( ) ( 1) ( ) ka n ka n ka n − − = ( ) ( 1) ( ) a n a n a n − − ควำมสัมพันธ์ระหว่ำงอัตรำส ่วนลดและอัตรำส ่วนลดที่เป็นจริงในปี n ของกำรลงทุน ก าหนดให้ n d แทนอัตราส่วนลดที่เป็นจริงในปีที่n นับจากวันลงทุน 1. กรณีอัตรำส ่วนลดเชิงเดียว ให้ d แทนอัตราส่วนลดเชิงเดียวต่อปี จากอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง n d = ( ) ( 1) ( ) a n a n a n − − = 1 1 1 (1 ) (1 ( 1)) (1 ) dn d n dn − − − − − − − − จะได้ n d = 1 ( 1) d − − d n , ส าหรับจ านวนเต็ม n 1 จากความสัมพันธ์ข้างต้นพบว่าอัตราส่วนลดที่เป็นจริงในปีที่ n ใด ๆ มีค่าเพิ่มขึ้น เมื่อ n เพิ่มขึ้น (นั่น คือ n มีค ่าเพิ ่มขึ้น ค ่า n d เพิ ่มขึ้น)และเมื ่อ n 1 อัตราส่วนลดที ่เป็นจริงมีค่าไม่เท่ากับอัตราส ่วนลด เชิงเดียวต่อปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-27 2. กรณีอัตรำส ่วนลดทบต้น ให้d แทนอัตราส่วนลดทบต้นต่อปี จากอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง n d = ( ) ( 1) ( ) a n a n a n − − = ( 1) (1 ) (1 ) (1 ) n n n d d d − − − − − − − − จะได้ n d = d, ส าหรับจ านวนเต็ม n 1 จากความสัมพันธ์พบว่าอัตราส่วนลดที่เป็นจริงในปีที่ n ใด ๆ มีค่าเท่ากับอัตราส่วนลดทบต้นต่อปี พิจารณา อัตราดอกเบี้ย i เงินต้น ค่าสะสม 0 t อัตราส่วนลด d ถ้าจ านวนเงินต้นเท่ากันและลงทุนในระยะเวลาเท่ากัน หากค่าสะสมที่ได้จากอัตราดอกเบี้ย i กับค่า สะสมที่ได้จากอัตราส่วนลด d มีค่าเท่ากัน แล้วจะกล่าวได้ว่า อัตราดอกเบี้ย i และอัตราส่วนลด d สมนัยกัน หรือเท่าเทียบกัน (equivalency) ควำมสัมพันธ์ระหว่ำง iและ d ที่สมนัยกัน (กรณีอัตรำดอกเบี้ยทบต้นและอัตรำส ่วนลดทบต้น) เมื่อพิจารณาเงินต้นจ านวน 1 บาท ลงทุนในระยะเวลา 1 ปี จะได้ 1. ค่าสะสม = a(1) จะได้ 1+ i = 1 (1 ) d − − = 1 1− d i = 1 1 1 d − − นั่นคือ i = 1 d − d
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-28 2. จาก 1+ i = 1 1− d จะได้ 1− d = 1 1+ i d = 1 1 1 i − + นั่นคือ d = 1 i + i 3. จาก v = 1 1+ i 3.1 เมื่อ d = 1 1 1 i − + จะได้ d = 1− v 3.2 เมื่อ d = 1 i + i จะได้ d = iv 4. จาก i = 1 d − d จะได้ i d (1 ) − = d i id − = d นั่นคือ i d − = id ตัวอย ่ำงที่ 1.18 กองทุน A ที่ให้อัตราดอกเบี้ยทบต้น 12% ต่อปี ถ้ากองทุน B ให้อัตราส่วนลดทบต้นที่สมนัย กับอัตราดอกเบี้ยของกองทุน A จงหาราส่วนลดทบต้นที่สมนัย วิธ ีท ำ ให้ d แทนอัตราส่วนลดทบต้นที่สมนัย จาก d = 1 i + i เมื่อ i = 12% ต่อปี = 0.12 จะได้ d = 0.12 1.12 = 0.1071 ดังนั้น อัตราส่วนลดทบต้นที่สมนัยกับอัตราดอกเบี้ยทบต้น 12% ต่อปี คือ 10.71% ต่อปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-29 ตัวอย ่ำงที่ 1.19จงหาอัตราส่วนลดทบต้นต่อปีที่สมนัยอัตราดอกเบี้ยเชิงเดียว 10% ต่อปี ในระยะเวลา 3 ปี วิธ ีท ำ ณ ปลายปีที่ 3: a(3) จากอัตราดอกเบี้ยเชิงเดียว10% = a(3) จากอัตราส่วนลดทบต้น d 1 0.1(3) + = 3 (1 ) d − − = 3 1 (1 ) − d 3 (1 ) − d = 1 1.3 1− d = 1 1 3 1.3 = 0.9163 d = 0.0837 ดังนั้น อัตราส่วนลดทบต้นที่สมนัยกับอัตราเชิงเดียว10% ต่อปี ในระยะเวลา 3 ปี คือ 8.37% ต่อปี ในหัวข้อถัด ๆ ไปจะเป็นการพิจารณากรณีที่มีการจ่ายดอกเบี้ยหรือส่วนลดมากกว่า 1 ครั้งต่อปี ซึ่ง อัตราดอกเบี้ยและอัตราส่วนลดที่จ่ายเช่นนี้จะเรียกว่า อัตราดอกเบี้ยเพียงในนามและอัตราส่วนลดเพียงในนาม 4. อัตรำดอกเบี้ยเพียงในนำม (nominal rate of interest) พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1. ธนาคาร A คิดอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง 6% ต่อปี 2. ธนาคาร B คิดอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปีทบต้นทุกเดือน ธนำคำร A ธนำคำร B … เดือนที่ 0 1 2 3 … 10 11 12 = 1 ปี ถ้าฝากเงิน 1 บาทกับธนาคาร A จะได้เงินรวมหรือค่าสะสม ณ ปลายปีที่ 1 = 1.06 บาท แต่ถ้าฝาก เงินกับธนาคาร B จะได้รับดอกเบี้ยทุกเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยทบต้นส าหรับระยะเวลา 1 เดือน เท่ากับ 6% 12 = 0.5% ต่อเดือน โดยใน 1 ปี จะได้รับดอกเบี้ย 12 ครั้ง ดังนั้นเงินรวมหรือค่าสะสม ณ ปลายปีที่ 1 = 12 (1 0.005) + = 1.0617 บาท ซึ่งมากกว่า 1.06 บาท นั่นคืออัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปีทบต้นทุกเดือนให้ค่า สะสมมากกว่าอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-30 ก าหนดให้ ( ) m i แทนอัตราดอกเบี้ยเพียงในนามที่คิดดอกเบี้ยปีละ m ครั้ง (m งวดต่อปี) โดยที่ m เป็นจ านวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ซึ่ง ( ) m i เป็นเพียงอัตราดอกเบี้ยเพียงในนามแต่อัตราดอกเบี้ย (ที่เป็นจริง) ต่องวดจะได้เท่ากับ ( ) m i m นั่นคือจะคิดดอกเบี้ย ( ) m i m ทุกช่วงเวลา 1 m ของปี ตัวอย ่างเช ่น (12) i เป็นสัญลักษณ์แทนอัตราดอกเบี้ย 6% ต ่อปีทบต้นทุกเดือน นั ่นคือ1 ปี คิด ดอกเบี้ย 12 ครั้ง จะได้ (12) i = 6% และอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงต่อเดือน (12) 12 i = 0.5% หมายความว่าคิด ดอกเบี้ย 0.5% ต่อเดือน หรืออัตราดอกเบี้ย 8% ทบต้นทุก 6 เดือน แสดงว่า 1 ปี คิดดอกเบี้ย 2 ครั้ง จะได้ (2) i = 8% โดยที่อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงต่อ6 เดือน (2) 2 i = 4% หมายความว่าคิดดอกเบี้ย 4% ต่อ 6 เดือน พิจารณาการลงทุนของเงินต้น 100 บาท คิดอัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปีทบต้นทุก 3 เดือน นั่นคือ 1 ปี คิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง จะได้อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงต่อ 3 เดือน (4) 4 i = 2% จะได้ เงินต้น 100 0 3 12 6 12 9 12 12 12 = 1 ปี จ านวนดอกเบี้ย 100(0.02)=2 102(0.02)=2.04 104.04(0.02)=2.0808 106.1208(0.02)=2.1224 ค่าสะสม 100+2 102+2.04 104.04+2.0808 106.1208+2.1224 =102 =104.04 =106.1208 =108.2432 =100(1.02) =102(1.02) =104.04(1.02) =106.1208(1.02) =100(1.02)2 =100(1.02)3 =100(1.02)4 ค่าสะสม ณ ปลายปีที่ 1 ของเงินต้น 1 บาท เท่ากับ 108.2432 บำท ซึ่งจะได้เห็นว่าอัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปีทบต้นทุก 3 เดือน สมนัยกับอัตราดอกเบี้ย 8.2432 % ต่อปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-31 หากพิจารณาที่เงินต้น 1 บาท สามารถเขียนฟังก์ชันสะสม at() ในเทอมของอัตราดอกเบี้ยเพียงใน นาม ( ) m i หรืออัตราดอกเบี้ยต่องวด ( ) m i m ที่จ่ายทุกช่วงเวลา 1 m ของปี ได้จากแนวคิด เงินต้น 1 0 1 m 2 m … m 1 m − m m = 1 ปี จ านวนดอกเบี้ย ( ) 1 m i m ( ) ( ) 1 m m i i m m + … 2 ( ) ( ) 1 m m m i i m m − + 1 ( ) ( ) 1 m m m i i m m − + ค่าสะสม ( ) 1 m i m + 2 ( ) 1 m i m + … 1 ( ) 1 m m i m − + ( ) 1 m m i m + = 1 + i จะได้ ฟังก์ชันสะสม at() = ( ) 1 mt m i m + และ ฟังก์ชันส่วนลด 1 a t( ) − = ( ) 1 mt m i m − + ตัวอย ่ำงที่ 1.20 นายคณิตวางแผนท าธุรกิจร้านกาแฟที่ต้องใช้เงินลงทุน 500,000 บาท จึงติดต่อสถาบัน การเงินเพื่อกู้เงิน โดยก าหนดระยะเวลาคืนที่ปลายปีที่ 10 ซึ่งแต่ละสถาบันคิดอัตราดอกเบี้ยดังนี้ สถาบัน A คิดอัตราดอกเบี้ย 10% ต่อปี ทบต้นทุกปี สถาบัน B คิดอัตราดอกเบี้ย 10% ต่อปี ทบต้นทุก6 เดือน สถาบัน C คิดอัตราดอกเบี้ย 10% ต่อปี ทบต้นทุก3 เดือน สถาบัน D คิดอัตราดอกเบี้ย 10% ต่อปี ทบต้นทุกเดือน ถ้าเราเป็นที่ปรึกษาทางการเงินของนายคณิต เราจะแนะน าให้นายคณิตควรกู้เงินจากสถาบันใด วิธ ีท ำ ณ ปลายปีที่ 10ต้องการค านวณค่าสะสมของเงินกู้ 500,000 บาท ซึ่งคือ 500,000 (10) a สถาบัน A คิดอัตราดอกเบี้ย 10% ต่อปี ทบต้นทุกปี (i = 0.1) จะได้ 500,000 (10) a = 10 500,000(1 0.1) + = 1,296,871.23 บาท จ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่าย = 1,296,871.23– 500,000 = 796,871.23 บาท
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-32 สถาบัน B คิดอัตราดอกเบี้ย 10% ต่อปี ทบต้นทุก6 เดือน ( (2) i = 0.1) จะได้ 500,000 (10) a = 10 2 0.1 500,000 1 2 + = 1,326,648.85 บาท จ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่าย = 1,326,648.85 – 500,000 = 826,648.85 บาท สถาบัน C คิดอัตราดอกเบี้ย10% ต่อปี ทบต้นทุก3 เดือน ( (4) i = 0.1) จะได้ 500,000 (10) a = 10 4 0.1 500,000 1 4 + = 1,342,531.92 บาท จ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่าย = 1,342,531.92 – 500,000 = 842,531.92 บาท สถาบัน D คิดอัตราดอกเบี้ย 10% ต่อปี ทบต้นทุกเดือน ( (12) i = 0.1) จะได้ 500,000 (10) a = 10 12 0.1 500,000 1 12 + = 1,353,520.75 บาท จ านวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่าย = 1,353,520.75 – 500,000 = 853,520.75 บาท ดังนั้น นายคณิตควรกู้เงินจากสถาบัน A เนื่องจากเสียดอกเบี้ยน้อยที่สุด จากตัวอย่างนี้ จะเห็นได้ว่า ถ้าจ านวนเงินต้นเท่ากัน ระยะเวลาการลงทุนเท่ากัน และอัตราดอกเบี้ย เท่ากัน หากคิดดอกเบี้ยทบต้นบ่อยครั้งมากขึ้น (m มากขึ้น) ค่าสะสมที่ได้จะมีค่ามากขึ้นด้วย ตัวอย ่ำงที่ 1.21 จากตัวอย่าง 1.20 ถ้านายคณิตไม่ต้องการกู้เงิน แต่ต้องการสะสมเงินลงทุนให้ครบก่อนจึง ค่อยเปิดร้านกาแฟ โดยมีระยะเวลาในการสะสม 5 ปี หากนายคณิตมี 2 ทางเลือกในการสะสมดังนี้ ทางเลือกที่ 1 คิดอัตราดอกเบี้ย 8.5% ต่อปี ทบต้นทุก6 เดือน ทางเลือกที่ 2 คิดอัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี ทบต้นทุก3 เดือน เราจะแนะน าให้นายคณิตควรเลือกการสะสมทางเลือกใด เพราะเหตุใด วิธ ีท ำ ต้องการค านวณหาค่าปัจจุบันของเงินสะสม 500,000 บาท ณ ปลายปีที่ 5 ซึ่งคือ 1 500,000 (5) a − ทางเลือกที่ 1 คิดอัตราดอกเบี้ย 8.5% ต่อปี ทบต้นทุก6 เดือน ( (2) i = 0.085) จะได้ 1 500,000 (5) a − = 5 2 0.085 500,000 1 2 − + = 329,768.65 บาท
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-33 ทางเลือกที่ 2 คิดอัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี ทบต้นทุก3 เดือน ( (4) i = 0.08) จะได้ 1 500,000 (5) a − = 5 4 0.08 500,000 1 4 − + = 336,485.67 บาท ดังนั้น นายคณิตควรเลือกทางเลือกที่ 1 ในการสะสม เนื่องจากใช้เงินต้นน้อยกว่า แต่ได้ค่าสะสม 500,000 บาท เท่ากัน ตัวอย ่ำงที่ 1.22 นางสาวตาต้องการกู้เงินจ านวน R บาท จากธนาคาร A ซึ่งคิดอัตราดอกเบี้ยทบต้นทุก 6 เดือน โดย ณ ปลายปีที่ 10 จะมีค่าสะสมเท่ากับ 800,000 บาท นางสาวใจก็ต้องการกู้เงินจ านวน R บาท จาก ธนาคาร B ที่คิดอัตราดอกเบี้ยทบต้นทุก6 เดือน โดย ณ ปลายปีที่ 10 จะมีค่าสะสมเท่ากับ 1,120,000 บาท ถ้าอัตราดอกเบี้ยที่ธนาคาร A คิดนั้นเป็นครึ่งหนึ่งของอัตราดอกเบี้ยที่ธนาคาร Bจงหาจ านวนเงินกู้ R วิธ ีท ำ ก าหนดให้ jแทนอัตราดอกเบี้ยต่อ6 เดือน ของธนาคาร A ( (2) i = j) ดังนั้นจะได้ อัตราดอกเบี้ยต่อ6 เดือน ของธนาคาร B = 2j ( (2) i = 2j) ธนาคาร A: ค่าสะสม ณ ปลายปีที่ 10 ของเงินต้น R บาท = 800,000 บาท นั่นคือ 20 R j (1 ) + = 800,000 R = 20 800,000 (1 ) + j -----------(A) ธนาคาร B: ค่าสะสม ณ ปลายปีที่ 10 ของเงินต้น R บาท = 1,120,000 บาท นั่นคือ 20 R j (1 2 ) + = 1,120,000 R = 20 1 0 (1 ,120,0 2 0 + j) -----------(B) จาก (A) = (B) จะได้ 20 800,000 (1 ) + j = 20 1 0 (1 ,120,0 2 0 + j) 20 1 2 1 j j + + = 0 1 0 8 1 0 0 0 , 2 , 0 ,00 0 1 2 1 j j + + = 1 20 (1.4) = 1.017 (2–1.017)j = 1.017–1 j = 0.0173 ดังนั้นจ านวนเงินกู้ = R = 20 800,000 (1 0.0173) + = 567,687.19 บาท
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-34 ควำมสัมพันธ์ระหว่ำง iและ ( ) m i ที่สมนัยกัน i 1+i ( ) m i … ( ) 1 m m i m + 0 1 2 m–2 m–1 m = 1 ปี จากนิยามของสมนัยจะได้ว่า 1+ i = ( ) 1 m m i m + จะได้ i = ( ) 1 1 m m i m + − และ ( ) m i = 1 (1 ) 1 m i m + − 5. อัตรำส ่วนลดเพียงในนำม (nominal rate of discount) จากความสัมพันธ์ อัตราดอกเบี้ย i เงินต้น ค่าสะสม 0 t อัตราส่วนลด d พบว่าการค านวณอัตราดอกเบี้ยเป็นการคิดค่าสะสมแต่ในทางตรงข้ามการค านวณอัตราส่วนลดเป็น การคิดย้อนกลับหาเงินต้นหรือค่าปัจจุบันนั่นเอง เดือนที่ 0 1 2 3 … 10 11 12 = 1 ปี ให้ m แทนจ านวนครั้งในการคิดส่วนลดใน 1 ปี โดยมีค่าเป็นจ านวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ( ) m d แทนอัตราส่วนลดเพียงในนามที่คิดส่วนลดปีละ mครั้ง (m งวดต่อปี)
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-35 นั่นคือจะคิดส่วนลด ( ) m d m ทุกช่วงเวลา 1 m ของปี หรือกล่าวได้ว่า ( ) m d m คืออัตราส่วนลดต่องวด ของการคิดส่วนลดทบต้น หากพิจารณาที่เงินต้น 1 บาท ที่คิดอัตราส่วนลดเพียงในนาม ( ) m d สามารถเขียนฟังก์ชันส่วนลด 1 at( )− หรืออัตราส่วนลดต่องวด ( ) m d m ที่จ่ายทุกช่วงเวลา 1 m ของปี ได้จากแนวคิด เงินต้น 1 at( )− 1 0 1 m … m 2 m − m 1 m − m m = 1 ปี ส่วนลด 1 ( ) ( ) 1 m m m d d m m − − 2 ( ) ( ) 1 m m m d d m m − − … ( ) ( ) 1 m m d d m m − ( ) 1 m d m เงินรวม 1–d = ( ) 1 m m d m − 1 ( ) 1 m m d m − − … 2 ( ) 1 m d m − ( ) 1 m d m − 1 จะได้ ฟังก์ชันส่วนลด 1 a t( ) − = ( ) 1 mt m d m − และ ฟังก์ชันสะสม at() = ( ) 1 mt m d m − − ตัวอย ่ำงที่ 1.23จงหาค่าต่อไปนี้เมื่อก าหนดอัตราส่วนลดเพียงในนาม 10% ต่อปี ทบต้นทุก 3 เดือน ก. ค่าปัจจุบันของเงิน 50,000 บาท ที่จ่าย ณ ปลายปีที่ 3 ข. ค่าสะสม ณ ปลายปีที่ 5 ของเงินต้น 40,000 บาท วิธ ีท ำ จากโจทย์จะได้ อัตราส่วนลดเพียงในนาม (4) d = 0.1 จ่ายปีละ 4 ครั้ง ก. หาค่าปัจจุบันของเงิน 50,000 บาท ที่จ่าย ณ ปลายปีที่ 3 1 50,000 (3) a − 50,000 0 3 จะได้ 1 50,000 (3) a − = 4 3 0.1 50,000 1 4 − = 36,899.92 บาท
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-36 ข. หาค่าสะสม ณ ปลายปีที่ 5 ของเงินต้น 40,000 บาท 40,000 40,000 (5) a 0 3 จะได้ 40,000 (5) a = (4 5) 0.1 40,000 1 4 − − = 66,369.37 บาท ควำมสัมพันธ์ระหว่ำง d และ ( ) m d ที่สมนัยกัน จากนิยามของสมนัยจะได้ว่า 1− d = ( ) 1 m m d m − จะได้ d = ( ) 1 1 m m d m − − และ ( ) m d = 1 1 (1 ) m d m − − หรือ ( ) m d = 1 1 m v m − ควำมสัมพันธ์ระหว่ำง ( ) m i และ ( ) m d ที่สมนัยกัน ก าหนดให้ ( ) m i แทนอัตราดอกเบี้ยเพียงในนามต่อปีทบต้นปีละ m ครั้ง และ ( ) n d แทนอัตราส่วนลดเพียงในนามต่อปีทบต้นปีละnครั้ง จากนิยามของสมนัยจะได้ว่า a(1) = ( ) 1 m m i m + = ( ) 1 n n d n − − ถ้า m = n จะได้ ( ) 1 m m i m + = ( ) 1 m m d m − − จากความสัมพันธ์นี้ เราสามารถหา ( ) m i ในรูปของ ( ) m d และหา ( ) m d ในรูปของ ( ) m i ได้ดังนี้ ( ) m m m i m + = ( ) m m m m d − ( ) ( ) ( )( ) m m m i m d + − = 2 m ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m mi md i d − − = 0 ( ) ( ) ( ) m m m i d − = ( ) ( ) m m i d
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-37 จะได้ 1. ( ) ( ) m m i d m m − = ( ) ( ) m m i d m m *** ดังนั้น ( ) m i m = ( ) ( ) 1 m m d i m m + 2. ( ) m d m = ( ) ( ) 1 m m i m i m + *** และ ( ) m d m = ( ) ( ) 1 m m i d m m − 3. ( ) m i m = ( ) ( ) 1 m m d m d m − *** นอกจากนั้นยังสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่าง iกับ ( ) m d และ d กับ ( ) m i ที่สมนัยกันได้ดังนี้ a(1) = 1+ i = ( ) 1 m m i m + = ( ) 1 n n d n − − = 1 (1 ) d − − ถ้า m = n = 1 จะได้ ( ) m i = i อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง และ ( ) m d = d อัตราส่วนลดที่เป็นจริง ตัวอย ่ำงที่ 1.24ก าหนดให้อัตราส่วนลดเพียงในนาม 10% ต่อปี ทบต้นทุก 3 เดือน จงหา ก. อัตราส่วนลดทบต้นต่อปีที่สมนัยกัน ข. อัตราดอกเบี้ยเพียงในนามทบต้นทุกครึ่งปีที่สมนัยกัน วิธ ีท ำ จากโจทย์จะได้ อัตราส่วนลดเพียงในนาม (4) d = 0.1 จ่ายปีละ 4 ครั้ง ก. หาอัตราส่วนลดทบต้นต่อปีที่สมนัยกัน จาก 1− d = ( ) 1 m m d m − จะได้ d = ( ) 1 1 m m d m − − = 4 0.1 1 1 4 − − = 0.0963 หรือ 9.63% ต่อปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-38 ข. หาอัตราดอกเบี้ยเพียงในนามทบต้นทุกครึ่งปีที่สมนัยกัน ซึ่งในกรณีนี้ m n จาก 2 (2) 1 2 i + = 4 0.1 1 4 − − จะได้ (2) 1 2 i + = 2 0.975− (2) i = 2 2(0.975 1) − − = 0.1039 หรือ 10.39% ต่อปี 6. พลังของดอกเบี้ยและพลังของส ่วนลด (force of interest and force of discount) จากหัวข้อที่ผ่าน ๆ มา ช่วงระยะเวลาที่ใช้ในการค านวณค่าของดอกเบี้ยจะมีช่วงเวลาเป็นปี เช่น อัตรา ดอกเบี้ยที่เป็นจริงหรืออัตราส่วนลดที่เป็นจริง ซึ่งเป็นการค านวณค่าของดอกเบี้ยที่จ่ายต่อปี หรืออัตราดอกเบี้ย เพียงในนามและอัตราส่วนลดเพียงในนามเป็นการค านวณค่าของดอกเบี้ยที่จ่ายทุกช่วงเวลา 1 m ของปีแต่ใน บางสถานการณ์เราสนใจค านวณค่าดอกเบี้ยในช่วงเวลาสั้น ๆ หรือค านวณค่าของดอกเบี้ย ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ซึ ่งอัตราดอกเบี้ยต่อปีที ่คิดทบต้นในช่วงเวลาสั้น ๆ หรือคิดทบต้นทุกจุดเวลา t นั้น จะเรียกว ่า พลังของ ดอกเบี้ย (force of interest) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ t 6.1 พลังของดอกเบี้ย(force of interest) ข้อสมมุติฐานในการค านวณพลังของดอกเบี้ย คือ เงินทุนคงที่ระหว่างการลงทุน นั่นคือ ไม่มีการเพิ่ม หรือลดจ านวนเงินต้น ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของเงินจะเป็นผลตอบแทนที่เกิดจากดอกเบี้ยเพียงปัจจัยเดียวเท่านั้น พิจารณาการลงทุนที่มีจ านวนเงินต้น k บาท จะได้จ านวนเงินในกองทุน ณ เวลา t ก็คือ ฟังก์ชันเงิน รวม At() ซึ่งการเพิ่มขึ้นของเงินในกองทุนด้วยดอกเบี้ย ณ เวลา t สามารถค านวณได้โดยการหาอัตราการ เปลี่ยนแปลงของ ที่จุดเวลา t หรือหาค่าความชันของโค้ง At() ณ เวลา t จากหลักพื้นฐานทางแคลคูลัส เราสามารถหาค่าความชันของโค้ง At() ที ่เวลา t ได้โดยการหา อนุพันธ์ที่จุดนั้น และจากจ านวนดอกเบี้ยที่เปลี่ยนแปลงนี้จะขึ้นอยู่กับจ านวนเงิน ณ เวลา t ด้วย ดังนั้น พลัง ของดอกเบี้ย (force of interest) ณ เวลา t แทนด้วยสัญลักษณ์ t สามารถหาได้ดังนี้ t = ( ) ( ) A t At = 1 ( ) ( ) d A t A t dt = ln ( ) d A t dt หรือ = ( ) ( ) a t at = 1 ( ) ( ) d a t a t dt = ln ( ) d a t dt ดังนั้นจะได้ t = ln ( ) d a t dt = ln ( ) d A t dt
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-39 ค ุณสมบัติของ t 1. t เป็นการวัดการเพิ่มขึ้นของดอกเบี้ย ณ เวลา t 2. t จะอยู่ในรูปของอัตราต่อปี ตัวอย ่ำงที่ 1.25ก าหนด At() = 2 100(1 ) + t , t > 0 จงหาพลังของดอกเบี้ย ณ เวลา t วิธ ีท ำ พลังของดอกเบี้ย ณ เวลา t หาได้ดังนี้ t = ( ) ( ) A t At = 1 ( ) ( ) d A t A t dt = 2 2 1 [100(1 )] 100(1 ) d t t dt + + = 2 200 100(1 ) t +t = 2 2 1 t +t จะได้ พลังของดอกเบี้ย ณ เวลา t คือ t = 2 2 1 t +t จากนิยามของพลังดอกเบี้ย t = ln ( ) d a t dt เราสามารถหาฟังก์ชันสะสม at() ได้ โดยการเปลี่ยน จุดจาก t เป็นจุดใด ๆ ให้แทนด้วยr จากนั้นอินทิเกรตทั้งสองข้างจาก 0 ถึง t จะได้ 0 t r dr = 0 ln ( ) t d A r dr dr = 0 ln ( ) t A r . = ln ( ) ln (0) A t A − = ( ) ln (0) A t A = ( ) ln (0) a t a = ln ( ) at (จาก a(0) = 1) ดังนั้น at() = 0 t dr r e
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-40 ตัวอย ่ำงที่ 1.26 ก าหนดพลังของดอกเบี้ย ณ เวลา t ดังนี้ t = 1 6( 1) t + , t > 0 จงหา ก. ฟังก์ชันสะสม at() ข. เมื่อเงินลงทุนเริ่มต้น 5,000 บาท ข.1 ค่าสะสมของเงินลงทุน ณ ปลายปีที่ 45 ข.2 จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ 8 ข.3 อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงและอัตราส่วนลดที่เป็นจริงในปีที่ 8 ค. ค่าปัจจุบันของเงิน 80,000 บาท ณ ปลายปีที่ 23 วิธ ีท ำ ก. หาฟังก์ชันสะสม at() จาก at() = 0 t dr r e พิจารณา 0 t r dr = 0 1 6( 1) t dr r + = 0 1 1 6 1 t dr r + = 0 1 ln( 1) 6 t r + = 1 ln( 1) ln(1) 6 t + − = 1 ln( 1) 6 t + = 1 6 ln( 1) t + จะได้ at() = 1 6 ln( 1) t e + = 1 6 ( 1) t + ข. พิจารณาเงินลงทุนเริ่มต้น 5,000 บาท 5,000 0 t ข.1 หาค่าสะสมของเงินลงทุน ณ ปลายปีที่ 45 จาก A(45) = 5,000 (45) a จะได้ 5,000 (45) a = 1 6 5,000(45 1) + = 9,464.47 บาท
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-41 ข.2 หาจ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ 8 จะได้ 8 I = A A (8) (7) − = 5,000 (8) 5,000 (7) a a − = 1 1 6 6 5,000(8 1) 5,000(7 1) + − + = 140.18 บาท ข.3 หาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงและอัตราส่วนลดที่เป็นจริงในปีที่ 8 จะได้ 8 i = 8 (7) I A = 140.18 5,000 (7) a = 1 6 140.18 5,000(7 1) + = 0.0198 หรือ 1.98% และ จะได้ 8 d = 8 (8) I A = 140.18 5,000 (8) a = 1 6 140.18 5,000(8 1) + = 0.0194 หรือ 1.94% ค. หาค่าปัจจุบันของเงิน 80,000 บาท ณ ปลายปีที่ 23 ? 80,000 0 23 จะได้ 1 80,000 (23) a − = 1 6 80,000(23 1) − + = 47,103.67 บาท
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-42 จากพลังของดอกเบี้ย ณ เวลา t t = ( ) ( ) A t At จะได้ A t ( ) = ( ) t At พิจารณา 0 ( ) n t A t dt = 0 ( ) n A t dt = 0 ( ) n At = A n A ( ) (0) − ซึ่งก็คือ จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับ ในช่วงเวลา n ปี นับจากวันลงทุน จากเงินลงทุน k บาท ตัวอย ่ำงที่ 1.27จงหาระยะเวลาการลงทุน n ปี เมื่อก าหนดให้ 1. t = 1 t + 2 2. ในการลงทุน 1 บาท จะได้รับจ านวนดอกเบี้ยในช่วงระยะเวลา n ปี เท่ากับ 8 บาท วิธ ีท ำ จากจ านวนดอกเบี้ยในช่วงระยะเวลา n ปี = a n a ( ) (0) − = 8 บาท จาก at() = 0 t dr r e พิจารณา 0 t r dr = 0 1 2 t dr r + = 0 ln( 2) t r + = ln( 2) ln(2) t + − = 2 ln 2 t + จะได้ at() = 2 2 t + ดังนั้น a n a ( ) (0) − = 2 2 2 2 n + − = 8 จะได้ 2 2 n + = 9 n = 16 ปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-43 จากที่ผ่านมา เราทราบแล้วว่าพลังของดอกเบี้ย t เป็นค่าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา t และสามารถหา ฟังก์ชันสะสมได้จาก at() = 0 t dr r e ส าหรับกรณีที่พลังของดอกเบี้ย t มีค่าคงที่ t = จะสามารถหาฟังก์ชันสะสมได้ดังนี้ at() = 0 t dr e = t e ตัวอย ่ำงที่ 1.28 จงหาค่าสะสมของเงินต้น 50,000 บาท ที่มีระยะเวลาในการลงทุน 15 ปี เมื่อก าหนดพลังของ ดอกเบี้ยเป็น 4% ต่อปี วิธ ีท ำ พลังของดอกเบี้ยเป็น 4% ต่อปีคงที่ตลอดการลงทุน ดังนั้น t = = 0.04 หาค่าสะสมของเงินต้น 50,000 บาทที่มีระยะเวลาในการลงทุน 15 ปี ซึ่งคือ 50,000 (15) a จาก at() = t e จะได้ 50,000 (15) a = (0.04 15) 50,000e = 91,105.94 บาท 6. 2 พลังของส ่วนลด (force of discount) จะนิยามพลังของส่วนลด(force of discount) ณ เวลา t ด้วย t = 1 1 1 ( ) ( ) d a t a t dt − − − ควำมสัมพันธ์ระหว่ำง iกับ ที่สมนัยกัน กรณีที่พลังของดอกเบี้ยมีค่าคงที่ t = เมื่อพิจารณาระหว่างเวลา 0 ถึง n จะได้ฟังก์ชันสะสมดังนี้ an( ) = (1 )n + i = n e ดังนั้น i = e 1 − และ = ln(1 ) + i
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-44 ควำมสัมพันธ์ระหว่ำง i, ( ) m i , d, ( ) m d และ ที่สมนัยกัน ก าหนดให้ ( ) m i แทนอัตราดอกเบี้ยเพียงในนามต่อปีทบต้นปีละ m ครั้ง และ ( ) m d แทนอัตราส่วนลดเพียงในนามต่อปีทบต้นปีละ mครั้ง จากความสัมพันธ์ a(1) = 1+ i = ( ) 1 m m i m + = ( ) 1 n n d n − − = 1 (1 ) d − − และ a(1) = e ดังนั้นจะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง i, ( ) m i , d, ( ) m d และ ที่สมนัยกันดังนี้ a(1) = 1+ i = ( ) 1 m m i m + = ( ) 1 n n d n − − = 1 (1 ) d − − = e 7. ดอกเบี้ยที่แปรผัน (varying interest) ดอกเบี้ยที่แปรผันในหัวข้อนี้จะพิจารณาอยู่ 2 กรณี ดังนี้ 1. กรณีพลังของดอกเบี้ยมีการแปรผันต่อเนื่อง 2. กรณีอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงมีการแปรผันในแต่ละช่วงเวลาใด ๆ 7.1 กรณีพลังของดอกเบี้ยมีกำรแปรผันต ่อเนื่อง จากนิยามของพลังของดอกเบี้ยที ่ว ่า พลังของดอกเบี้ย t คืออัตราดอกเบี้ยต่อปีที่คิดทบต้นใน ช่วงเวลาสั้น ๆ หรือคิดทบต้นทุกจุดเวลา t ซึ่งจะเห็นได้ว่า t มีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาตามเวลาที่มีการ เปลี่ยนแปลงไป จึงอาจกล่าวได้ว่า t มีการแปรผันต่อเนื่อง ดังนั้นการหาฟังก์ชันสะสม at() ในกรณีนี้ยังคง หาได้จาก at() = 0 t dr r e ตัวอย ่ำงที่ 1.29ค่าสะสมของเงินต้น 10,000 บาท ในระยะเวลา 10 ปี เท่ากับ 27,183 บาท เมื่อคิดด้วยพลัง ของดอกเบี้ยที่แปรผันดังนี้ t = 2 ; 0 5 1 ; 5 10 2 ct t ct t เมื่อ c เป็นค่าคงที่ จงหา c วิธ ีท ำ ค่าสะสมของเงินต้น 10,000 บาท ในระยะเวลา 10 ปี เท่ากับ 27,183 บาท นั่นคือ 27,183 = 10,000 (10) a เมื่อ a(10) = 10 0 dt t e
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-45 จะได้ a(10) = 5 10 1 2 ( ) ( ) 2 0 5 ct dt ct dt e + = 5 10 2 3 2 2 3 0 5 t c t c e + = (25 0) (1000 125) 2 6 c c e − + − = 25 875 2 6 c c e + = 950 6 c e ดังนั้น 27,183 = 950 6 10,000 c e 950 6 c = ln2.7183 จะได้ c = 6 (ln2.7183) 950 = 0.0063 และได้พลังของดอกเบี้ยที่แปรผัน t = 2 0.0063 0.006 ; 0 5 ; 5 1 3 0 2 t t t t 7.2 กรณีอัตรำดอกเบี้ยที่เป็นจริงมีกำรแปรผันในแต ่ละช่วงเวลำใด ๆ ให้ n i แทนอัตรำดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ n นับจากวันลงทุน 1 1 i 2 i 3 i t 1 i − t i ปีที่ 0 1 2 3 ... t–2 t–1 t จะได้ 1. at() = 1 2 3 1 (1 )(1 )(1 )...(1 )(1 ) t t i i i i i + + + + + − = 1 (1 ) t k k i = + ; t 1 ถ้า 1 2 3 1 = = =...= = = t t i i i i i i − แล้ว at() = (1 )t + i
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-46 และ 2. 1 a t( ) − = 1 1 1 1 1 1 2 3 1 (1 ) (1 ) (1 ) ...(1 ) (1 ) t t i i i i i − − − − − + + + + + − = 1 1 (1 ) t k k i − = + = 1 t k k v = ; t 1 ถ้า 1 2 3 1 = = =...= = = t t i i i i i i − แล้ว 1 a t( ) − = t v ตัวอย ่ำงที่1.30ธนาคารแห่งหนึ่งก าหนดอัตราดอกเบี้ยให้กับลูกค้าที่น าเงินมาฝากเป็นระยะเวลา 20 ปี ดังนี้ - 5 ปี แรก ให้อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง 5% ต่อปี - 8 ปี ถัดไป ให้อัตราดอกเบี้ย 7% ต่อปี ทบต้นทุก 6 เดือน - 7 ปีสุดท้ยให้อัตราดอกเบี้ย6% ต่อปีทบต้นทุกเดือน จงหา ก. เงินสะสมของการฝากเงิน 5,000 บาท เป็นระยะเวลา 20 ปี ข. อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงต่อปีของข้อ ก. วิธ ีท ำ จากเงื่อนไขการจ่ายดอกเบี้ย จะได้ i =0.05 (2) i =0.07 (12) i =0.06 ปีที่ 0 5 13 20 เงินฝาก 5,000 ก. หาเงินสะสมของการฝากเงิน 5,000 บาท เป็นระยะเวลา 20 ปีนั่นคือ 5,000 (20) a เมื่อ 5,000 (20) a = 8 2 7 12 5 0.07 0.06 5,000(1 0.05) 1 1 2 12 + + + = 16,823.3037 บาท ข. หาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงต่อปีของข้อ ก. จาก 5,000 (20) a = 16,823.3037 จะได้ 20 5,000(1 ) +i = 16,823.3037 20 (1 ) + i = 3.3647 20ln(1 ) +i = ln(3.3647) ln(1 ) + i = 0.0607 1+ i = 0.0607 e i = 0.0626 หรืออัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง6.26% ต่อปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-47 ตัวอย ่ำงที่ 1.31ธนาคารแห่งหนึ่งปล่อยเงินกู้ โดยคิดดอกเบี้ยแปรผันในช่วงระยะเวลาการกู้ 4 ปี ดังนี้ - ปีแรก คิดอัตราส่วนลดทบต้น 7% ต่อปี - ปีที่ 2 คิดอัตราส่วนลด 6% ต่อปี ทบต้นทุก 2 ปี - ปีที่ 3 คิดอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี ทบต้นทุก 6 เดือน - ปีสุดท้าย คิดพลังดอกเบี้ย 6% จงหาอัตราดอกเบี้ยต่อปีที่สมนัยกับการคิดดอกเบี้ยแปรผันข้างต้น วิธ ีท ำ จากเงื่อนไขข้างต้น จะได้ d =0.07 (1/2) d =0.06 (2) i =0.06 =0.06 ปีที่ 0 1 2 3 4 หาอัตราดอกเบี้ยต่อปีที่สมนัยกับการคิดดอกเบี้ยแปรผันได้ดังนี้ a(4) = 4 (1 ) + i = 1 (1/2) 2 1 0.06(1) 0.06 0.06 (1 0.07) 1 1 1 / 2 2 e − − − − + 4 (1 ) + i = 1 (1/2) 2 1 0.06(1) 0.06 0.06 (1 0.07) 1 1 1 / 2 2 e − − − − + = 1.2912 1+ i = 1.0660 i = 0.0660 จะได้อัตราดอกเบี้ยต่อปีที่สมนัยการคิดดอกเบี้ยแปรผันข้างต้นเท่ากับ 6.6% ต่อปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-48 แบบฝึกห ัด ทฤษฎ ีดอกเบี้ย 1. พิจารณาฟังก์ชันเงินรวม At() = 2 100( 2 3) t t + + , t 0 จงหา ก. จ านวนเงินต้น ข. จ านวนดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ n ค. ฟังก์ชันสะสม at() ง. ฟังก์ชันส่วนลด 1 a t( ) − 2. ธนาคารพาณิชย์แห่งหนึ่งรับประกันดอกเบี้ยเงินฝาก เป็นดังนี้ ทางเลือกที่ 1 รับอัตราดอกเบี้ยคงที่ตลอดรระยะเวลาที่ฝากในอัตรา 1.75% ทบต้นทุก3 เดือน ทางเลือกที่ 2 ปีแรกรับอัตราดอกเบี้ยในอัตรา 1.25% ต่อปี ทบต้นทุก 3 เดือน ปีถัดไปรับอัตราดอกเบี้ยคงที่ในอัตรา 3.5% ต่อปี ทบต้นทุก 4 เดือน ถ้านางสาวอารดาต้องการฝากเงินจ านวน 5,000 บาท เป็นเวลา 5 ปีอยากทราบว่านางสาวอารดาควรเลือก ฝากทางเลือกใด 3. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงของการลงทุน 50,000 บาท เป็นระยะเวลา 10 ปี ของเหตุการณ์ต่อไปนี้ ก. เหตุการณ์ที่ 1 ค่าสะสมที่ได้จากการลงทุนเท่ากับ 65,000 บาท ข. เหตุการณ์ที่ 2 ค่าสะสมที่ได้จากการลงทุนเท่ากับ 80,000 บาท 4. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ 4 และปีที่ 8 นับจากวันลงทุน เมื่อฟังก์ชันเงินรวม At() = 100(1.1)t 5. จงหา A(7) เมื่อก าหนด A(4) = 5,000 และ n i = 0.02n 6. ถ้าค่าสะสมของเงินต้นจ านวน 1,000 บาท ณ ปลายปีที่ 30 เท่ากับ 8,000 บาท จงหาเงินต้นของค่าสะสม จ านวน 50,000 บาท ณ ปลายปีที่ 10, 20 และ 40 7. นายปริมวางแผนที่จะแต่งงานในอีก 5 ปี ข้างหน้า โดยคาดการณ์ค่าใช้จ่ายในการจัดงาน 800,000 บาท ถ้า นายปริมน าเงินมาฝากไว้กับธนาคารเพื่อออมไว้ใช้ในการจัดงาน จงหาเงินจ านวนฝากของนายปริม เมื่อก าหนด ก. ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยเชิงเดียว5.5% ต่อปี ข. ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยทบต้น 5.5% ต่อปี 8. นางสมสวยเปิดบัญชีเงินฝากจ านวน M บาท ไว้ให้กับบุตรที ่ก าลังจะเกิด โดยคาดว ่าเงินฝากก้อนนี้จะ เพียงพอให้การถอนรายปี ปีละ 100,000 บาท ตอนบุตรอายุครบ 20 ปี 21 ปี 22 ปีและ 23 ปี แล้วเงินหมด พอดี ถ้าธนาคารให้อัตราดอกเบี้ยทบต้น 4% ต่อปีจงหาจ านวนเงินฝาก M 9. ต้องการกู้เงินจ านวน 500,000 บาท เป็นเวลา 10 ปี จงหาจ านวนเงินที่ลูกหนี้จะได้รับในวันท าสัญญา ถ้า ก. เจ้าหนี้คิดอัตราส่วนลดเชิงเดียว 6% ต่อปี ข. เจ้าหนี้คิดอัตราส่วนลดทบต้น 6% ต่อปี
ทฤษฎีดอกเบี้ย ผศ.ดร.พรรณรัตน์ ก้วยเจริญพานิชก์ 1-49 10. สถาบันการเงินแห่งหนึ่งปล่อยเงินกู้ให้กับลูกค้า 2 คน โดยแต่ละคนมีรายละเอียดการจ่ายเงินให้กับสถาบัน การเงินดังนี้ ลูกค้าคนที่ 1 จะจ่ายเงินจ านวน 10,000 บาท ในอีก 18 เดือนข้างหน้า พร้อมเงินจ านวน 500 บาท ทุกสิ้นเดือนที่ 6, 12 และ 18 ลูกค้าคนที่ 2 จะจ่ายเงินจ านวน 20,000 บาท ในอีก 1 ปีข้างหน้า พร้อมเงินจ านวน 400 บาททุกสิ้น 3 เดือน เป็นจ านวน 4 ครั้ง ถ้าสถาบันการเงินคิดอัตราดอกเบี้ยทบต้น 6% ต่อปี อยากทราบว่าสถาบันการเงินปล่อยเงินกู้จ านวนเท่าใด 11. ถ้าค่าสะสมของเงินต้น 612 บาท ณ ปลายปีที่ 10 เท่ากับ 1,045 บาท จงหา ก. ค่าสะสมของเงินต้น 2,000 บาท ณ ปลายปีที่ 15 ข. อัตราดอกเบี้ยเพียงในนาม ทบต้นทุก 3 เดือนที่สมนัย ค. อัตราดอกเบี้ยต่อปี ทบต้นทุกเดือนที่สมนัยกับข้อ ข 12. อยากทราบว่าเราจะเลือกฝากเงินกับธนาคารใด ถ้ามีธนาคารเสนอเงื่อนไขการฝากเงินดังนี้ ธนาคาร A: ให้อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี ทบต้นทุกวัน (1 ปี มี 365 วัน) ธนาคาร B: ให้อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี ทบต้นทุก3 เดือน 13. พลังของดอกเบี้ย ณ เวลา t ดังนี้ t = 1 t + 2 , t > 0 จงหาอัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริงในปีที่ 3 14. จงหาระยะเวลาการลงทุน nเมื่อก าหนดให้ ก. พลังดอกเบี้ย t = 1 2 +t ข. ค่าสะสมจากการลงทุน 1 บาท เท่ากับ 8 บาท ในระยะเวลา n ปี 15. ให้พลังดอกเบี้ย t = 0.08 1 0.08 + t จงหา ก. ฟังก์ชันสะสม at() ข. อัตราส่วนลดเชิงเดียวที่สมนัย ของระยะเวลา 10 ปี ค. อัตราส่วนลดที่เป็นจริงในปีที่ 6 นับจากวันลงทุนจากอัตราส่วนลดเชิงเดียวที่ได้จากข้อ ข. 16. ถ้าค่าสะสมของเงินต้น 1 บาทมีค่าเป็น 4 บาท ในระยะเวลา n ปี ภายใต้พลังดอกเบี้ย จงหาค่าสะสม ของเงินต้น 1 บาท ในระยะเวลา n ปี ภายใต้พลังดอกเบี้ย 3 17. ถ้าพลังดอกเบี้ย t = 0.01tจงหาอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อปี (i ) ที่สมนัย 18. ถ้าก าหนดอัตราดอกเบี้ยเป็นดังนี้ - ช่วง 3 ปี แรก ให้อัตราดอกเบี้ยที่เป็นจริง 8% ต่อปี - ช่วง 3 ปี ถัดไป ให้อัตราดอกเบี้ย 12% ต่อปี ทบต้นทุก 6 เดือน - ช่วง 3 ปี สุดท้าย ให้อัตราดอกเบี้ย 16% ต่อปี ทบต้นทุก 3 เดือน จงหาค่าสะสมของการฝากเงิน 100,000 บาท เป็นระยะเวลา 9 ปี