E BOOK ความรู้ทางคณิตศาสตร์

แผน งระบบ นวน จ ง

นวนจ ง Realnumber นวนอ ตรรก ยะ Q "

านวน ตรรก ยะ Q ดราก I เ ยนเ นเศษ วนไ ไ
นวน เ ม
เศษ วน าน
ไไ สามารถ ถอด ราก ทศ ยมไ ว
นวน เ ม I
นนวน เ ม เศษ วน กช ด เ น นวนตรรก ยะห อ ทศ ยม ไ ด วเลข
l -1,0 1. . .
, 1 ° เ น นวน ตรรก ยะ ใน ปเศษ วนและทศ ยม

, .. . ± 10 ) า เ น 2 , \ 3,11

นวน เ ม บวก It เ น 0.918254992
.. .

}เ น ,

11,2 , 3) นวน บ N

นวน เ ม ลบ 2,3l 1 ) ปนวน ไ สามารถเ ยนใน เศษ วนของ
,
.. . นวนเ มไ เ อ เ ยนใน ปทศ ยมจะไ

)เ -1 ทศ ยมไ ำ แบบ ไ จบ
, -2 -3 .. .
,

ทศ ยม า

ปเ ยนใน เศษ วนไ โดย วน =10 ทศ ยมไ จบช ด

เ อ เ ยน ใน ปทศ ยม จะไ ทศ ยม ำ า น อ าเ น นวน

ตรรก ยะ เพราะ เ ยน r

เ น เศษ วนไ

เ น{ = 0.50000
...

ป §add :ทศ ยม จบ และทศ ยมไ จบช ด ว น เ ยนใน โดย b # 0

ูรีขัก้ํซินู้ร่มินู้ริน่ข้ด่ส็ปีขำจ็ป่วืถัก้ัซํซิน้ดินูรีข่ืมินู้ร่มิน่ส้ด่สูรีข้ํซินู้ร่มํซ่มิน้ดินูรีข่ืม้ด็ตำจ่สูรีข่ม่ีทำจ้ัฎิตำจันำจ่ช้ัฃุ๋ทุ่ว่ชิตำจ่ชิน่สูรำจ็ปัก้ซ่ีทัตุขีม่มินืรำจ็ปินุท่ส์ยูศิตำจิตำจ้ํซ่มิน้ด่ม่ส้ด่ม่ส็ปีขิต็ตำจํจำจิรำจิรำจัผ

การ แ สมการ ง สอง

/

ใน ปการ แยก วประกอบพ นาม a ำ× - bxtcca +- อ . b-+0,0=0) พ นาม อ ก มผลบวกของ ว แปร

เ นใพ นาม การ แยก วง เ บ ณ น 3 i เลข งเ น นวนเ ม บวก

c -

การ ง ว วม ผล าง ง สอง ณไข งสอง สม ร

Exi 6×3.2 - b? [ a-b) latb) ำExi × - เ× +9 la ± b) 2- ± 2 abtb
-
= 3.2 XXX - 2 ×× -
= 2 XXL 3 X - 1)
Exi ×2.9 = ×2- 32 q - (9,1 ) 1 3. 3)
ำ= 2 × 3×-1 ว _
=L ×- 3) 1✗ + 3)
,

☒} ←

มt t

2 9 6× การ แยก ว ประกอบของพ นาม

× อ การ พ ในาม เ นวงเ บ ณ นโดย

i. +6×+9 เ นแ ละ วงเ บ นจะ
-- (3+3) 1 ✗+ 3)

พ นาม ก าก าพ นาม ร หนด และการแยก วประกอบ

เ น( แยก วง เ บ ณ น )

-

ักูค็ล็ปัตำก่ีทีรีดุห่ว่ํตีรีด่ีทุห็ป้ัน็ล่ต่ีทักูค็ล็ป้หุหำทืค้ขุหัตูทฺภูส้ห้ห้ข์ณูบัลำก้วูคืมัลำก่ต่รัตึดีธิวิตำจ็ปัลำก้ีชีม่ีทีธิวีมักูค็ล็ป้หีมุหำคัตุ่ลืคุหูรุหัตัลำก้ก

อ 0.ญืa๋ฐํ๊ฐํ๊ mHออสมการ อ ประโยค ญ กษ ก าว งความ ม น นตอนการแ อสมการ สม า ม ร

อการ แ อสมการ การ หา set ตอบของ สมการ 1) ด ป แยก วประกอบ ① 1×1 ¥ 0 เสมอ ④ ำ ำ2
1 × = 1✗ = ×
"""""งงงง" """ " ฒื นน " " > ำ ไง ①" "
⑤ "" ""
" """" " """ อสมการ < ๐ = อง ลบ ⑥

ของ ว แปร บ นวนใด ๆ

โดยใ ญ กษ < 7,1= E 2
, ,,
๖ [เ อ ส )น ( อไ " """""""""" *
ณสม- การ ลบ วย นวน เ า น
สม รการ แ สมการ า
☐ะ:::::::::::::ณสม- การ ณ วย นวนจ งบวก
สม ร1A 1-- B ปลด อก า ไ A-.BA = B-

1A 1 = 1 131 ปลด อค า สม ร โดย การ ยก ง สอง ง สอง าง
; _:สม ไของการ เ า น
3 " """" "" ะ ละ ะ สม ร

21 ยก งสอง

.. →

✓ u
mmญ ฒู lhng,โไ า2) า aEbแวatcEbtc/aEbแวatc±btc
สม รการ แ อสมการ า
น นµ แแแµµµµ µ EX :| ✗ +51=10

ปลด ม ร1A 1=13 ไ A-- B A = -13 และ ตรวจ อา 1 ✗ 1 < a a- × × < a
อค า ตอบ

, 1 Xl Ea ¥Ea- ✗

× +5=10 งง a

× +5 = -10

a b และ c แทน นวนจ งใด ๆ X=5 ✗ ะ -15 1 ✗ 1 Xa งง ✗ < - a / xxa
,
ใ /1 ✗ 1 ¥ a งง × E- a × ± a

En 1 ✗ +11 E 4 µµ µ µµฒืณ ญµ ณญ,

- 4 EX +1 4

-5¥ × 3

๋ํต์ณุ่ฅ้ล้ล้ถูฌิรำจ้ห๊ึฏัก่ท่มิตับำค้ด์ณูบัส่ค็ลืค้ถ์ณูบ่ค้ก๊ึฏ๋ึศิรำจ้ดูคิตับุคัก่ทำจ้ดิตับุคัลำก์ณูบ่คีท่คีธิวีมิกิม้กิณ้ด้ข้ัทัลำก์ณูบ่ค็ล้ด์ณูบ่ค็ล์ณูบ่ค้ก์ณัลัส้ชำจักัต์ธัพัสึถ่ล่ีท์ณัลัสืค่ชู๊ฑู๊ณืลุหำนุ๊ฏ่ีทัตูรัจำคืค้ก์ณูบัส่คิตับ้ก้ัข

y

• การแยก ว ประกอบ ก มาก ก า สอง

mimnimmmgene ejbhtจµญสมห ก การ Ceใาจงแlน วประกอบ ำเ× +เ×-1::::::::::::::::Sแสดง า×-1 เ น วประกอบ 6×ำา ำ× -6✗-1กร[ × ะ แยกa. =11

สม รดใ เ น งสอง และ ผล าง งสอง จง แยก วประกอบ

เ นดใ ผลบวก งสาม ห อ ผล าง ง สาม ใ pcx) = 6×3-11 + เ× -1 ะ K

ะ±
1.จารณา ±2 ± ±6
1,61 = ± , 3 =m
,

±± ±

เ อก ไ×= -1 จะ 3) าp แา = 611 - 11 11 +61 1) ะ 1

' = 6- 11+6-1--0

ค
6 พบ ลดพจ กลาง และ ผล าง งสอง

ตร ะ เ น+ 1น + ลง 1 ะ 1 1- + นล + •:( x-D แ ×2- 5✗+1) ก 3 2 10
-11
ผล าง ง ะ 6×3-11×2+6×-1 1 6 6 -1
6
ล+ t -5 1
-5
6ะ• -5 ✗ +1 6 10 ง= 6 \/ \/ +1

สม รง สาม (น + +3 ลา ะ (3×-1) 12 X-D

ผล าง ง สอง ( น . ล) (น + ล ) ง น 6 ×ำา +6 ✗-1

-- lx - 1) 13 X -1) 12×-1 ang

ัลำก่ต้ข้ันัด้น้นำล์ณูบัลำก้ัข้ล้น่ล้นำล้น่ล้นัลำก่ดีรีดูสัต็ป่วัลำก่ต์น้ดืลิตับิพัลำก่ตืรัลำก็ป้หัจ้ข้หำทีธิว้พัตัลำก่ต์ณูบัลำก็ป้หัจัตีณัล่ว่ีทีรีดัต

แบบ แจก แ ก ④
_
ญื๋ " "แ ว ""
""""""" " - หาโดเมนโดย ด y ใน ป × แ ว จารณา า✗ งหมด หา า y ไ
Dm { 1 , 2,3 } "" ง"""" " ไ
Rn }{ 4,62-

_

ปอง,
*
*
ไ เมนและ เวนอ เซตของสมา ก วห าของ น บ ก Dr
เน

ไฒู่ ปอ สม . .
. นนบก " " ""

* Dr -- { xllx,yา Er} .. รน าย น

Rr - {yllx,yงย r} ฑื๋า พบ ' , แ ว อง า 91✗ 1=10
-

Pา พบ pm อง า pm ¥ 0 และ ( ✗ 7
า พบ 1pm 1" แ ว อง า lpcx
µ. N e อ

a. .. .. . า พบ * ×แ และ อง า " "" "
.

.. . . . .. . .. . ...
. . .
Rr ะ ..
*
{ 3 8,1 Oi 5,19 , -5,22 }
,

÷: :::: ::::* "" """

วเ องDr -
.
เซตของ หลวง โลก

่ัทืม๊ัฐ้ท่วู้ร้ต้ล้ถ่วู้ร้ต้ถ้ิฒุ่ฑุ๊ฑุฑุฑุฑุฑันิฒ่วู้ร้ต้ล้ถ่วู้ร้ต้ถู่คุทัดัอุทืล่ํซ์ณืคู่ฑ้ึข่ง้จ⃝?์จ้วู่คุทัดัอู่ค้นัติชืค์จ้ด้ัทิพ้ล๊ัฐ๊ีร๊ํณีด้ด่ค่ีท้ัท่คิพ้ลูรัจิชำ้จ

บท บท ยาม,โดย

ทฤษใ × "" """ ใ a เ น นวนจ ง าสม ร Cabsolutevdue
""""""""
จะไ า
{lal . a เ อ a
1 1 ✗ 1-- 1- ✗ 1 เ อ 0a-
a<
2 IXYI --1 ✗ 11 yl
1✗-
ดม31 1=1 1 เ อ \11=0
IX-yt.ly4
5 | ✗12 = 2
ญ
✗

6 Ixtyk 1 XHYI

วอ าง

เ นใ × นวนจ งจงแสดง า 1 ✗ 1 = 1- Xl

จ กร 1 เ อ × × 0 จากบท ยาม จะไ 1 ✗ 1 ะ ×

เ อ ไXXO จะ - ✗ < 0 ง น 1- × 1 ะ - 6- ×1 = ✗

กร เ อ 12 1-
✗ ะ 0 จากบท ยาม จะไ 1 ✗ 1--0 - ×
-

เ อกร 3 × < 0 จากบท ยาม จะไ 1× 1-- ×-

เ อ ไ× < 0 จะ น- × > 0 ง 1- ✗ 1-- X-

กรจาก สาม จะไ 1 ✗1 1ะ < ✗ 1 เสมอ

้ดีณ้ันัด้ด่ืม้ดิน่ืม่ีทีณ้ดิน่ืม่ีทีณ้ันัด้ด่ืม้ดิน่ืม่ีทีณ์นูสิพ่วิรำจ็ป้ห่ยัต่ืมุ้รุ๊ส่ืม้ัฐูส้ห่ืม่ีท่ว้ด์ณูบ่คิรำจ็ป้หีฎิน

ห กการ ④ bl การ แยก วประกอบ

สม รดใ เ น ง สอง และ ผล าง ลง สอง ; i×

เ นดใ ผลบวก ง สาม ห อ ผล าง ง สาม pm = ×3 + ×ะ 8✗ -12

"" " .im
= -8+4+16-12
เ ม ลดพจ กลาง และ ผล าง ง สอง 0=

กนาม """ " ฑื่ 1 -128-

/ พ ก า สอง• มาก 2- 1

2- 2 12

า- -6 0

+ละ อ น + ลง เ นละ
.

เ น( ลานะ- . ล+ Ex 27 +64 ไะ × -8×-12
.
ngy= (3XP1-43 ± [× + 2) [×2 ✗ - 6)
= (3×+4) 163 × -63 ×) (4) +4ำ
ำEX× 25 "c, gป"""""""" = 1 × +2) LX -3) 1× + 2)
.

×= 533
_

1×2ะ ( × - 5) + ( ✗ๅ (5) +5ำ

" " """ " " " ผล าง ง สอง

(น . ลา ( น+ ลง

2
r @ไกล 25× 7-
_

= ×452

งสามสบ รณ = [ × -5 แ× + 5)

(น+ ลาง = ล+3 +3น +

" ล น+3-

ลงเน- - -
-

§Ex ×3- bx +12 × -8 1) 212y P
.
ๆ= ×"-31 ×ำ 12y ) +31×7L 2

ะ CX -2 y] }

ุ้ทุ้ทึล้ล้น้นึล่ล้น้นูบัลำกัลำก่ตํว้ึข้ขำล้นึล้น่ว้ล้น้นู๋ฐีรีดูหู๊ฐู๊ฐุ่ฐุ๊ฐู๊ฐัลำก่ต์น่ิพัลำก่ตืรัลำก็ป้หัจ๊ํศ๋ืณุ่กุตำก่ต์ณูบัลำก็ป้หัจัลัต

• อ ควร
£ Cpgft๏
" ^- × ฿ะ { } ๏

ญื๋ ! ! ! !21A×13 ± Bx A แ สม ของ ผล ณคา เ ยน
Axm Bx A อเ อ
.
.

3) AXB ะ Axc และ A * {} แ ว B-- 17h CAX B) = nl BXAI - ท (A) × ท (B)
-

2) Axl Bv C) - CAX B) v ( Ax c)
-

3) Axl Bn C) - l Ax B) ^ ( Ax c)
-

ผล ณ ฅ เ ยน 411A - B) × c-- CA × c) -113 × c)

อ เซต สมา ก เ น น บ งสมา ก ผล คโน คน โยน 5) 1A X B) ก l 13 × A) = l An B)

วห าของ น บมาจาก เชนห าเค องหมาย × 1
และ สมา ก
อวห งมาจาก เซต ห ง เค องหมาย×
เ ยนแทน AXB - { Lxsy ) 1 XEA และ y EB} ศ 2a
_ าไงง
3b
[ 1✗ .
EX.nl AX B) = ท (A) ×ท (B)
ท CAX B) ะ n (A) × n (B)
A-- { 1,2 } ฏ =3 ✗ 2

6=

B-- { gb} D)} EX 2 A= { า 2,3}
. ,
b)
AXB = { ga 7,11 , ( 2,9), ( 2 B-- { 3,4 }
,
, { 3,47}

AXB - 11,3) , 11,4) 12,3) , ( 2,4 1,1 3,37,1
- ,

}BXA = { 13,11,1 3,2 ), ( 3,3) , ( 4,1 ) , ( 4,27,1 4,37} { 3)
AXA = 11,11,1 1,2) , 11,3), (2,11,1 2,3) ( 2,27,1 3,17,1 3,27,13
, ,

ีข่ืรัลู่ย่ีทัลัติชีท่ืร้นัดัอู่ค้นัติช่ึซัดัอู่ค็ปิชีม่ีทืคีข่ีท่ีรูค้ลีซ่ีท์รูคิตับืม่ต็ก่ต๋ํณุวฺรฺฑู้ร่ัว่ด็กู้ร้ข