Cálculo Diferencial

José Pablo Rábago Oliveros





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Licenciatura de Sistemas de Información Administrativa








Cálculo Diferencial

INDICE DE CONTENIDO:



OBJETIVO ____________________________________________________________4

FUNCION ____________________________________________________________5 _

RELACION ___________________________________________________________5 _

CLASIFICACION DE FUNCIONES ___________________________________________5__

➢ FUNCION CONSTANTE ____________________________________________5__
➢ FUNCION LINEAL ________________________________________________6 _
➢ FUNCION CUADRATICA ___________________________________________6 __
➢ FUNCION POLINOMIAL ___________________________________________6 __
➢ FUNCION ALGEBRAICA ___________________________________________7 __
o FUNCION COMPOSICION ___________________________________7 ___
➢ FUNCIONES PARES E IMPARES _____________________________________8 __
➢ CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL ___________________________________8 __

LIMITES DE FUNCIONES_________________________________________________9 __

➢ EVALUACION DE LIMITES CON CALCULADORA: ________________________9 _
➢ CLASIFICACION DE LIMITES _______________________________________10 __
➢ LIMITES BASICOS:_______________________________________________11___
➢ PROPIEDADES DE LOS LIMITES ____________________________________11
o MULTIPLO ESCALAR_______________________________________11
o SUMA O DIFERENCIA______________________________________12 ____
o PRODUCTO _____________________________________________13 _
o DIVISION________________________________________________13____
o POTENCIA_______________________________________________14___
o FACTORIZACION__________________________________________15____
o RACIONALIZACION________________________________________16
o ALGEBRAICA_____________________________________________17___


DERIVADAS__________________________________________________________18___
➢ POR INCREMENTOS _____________________________________________18 ___
➢ DE UNA CONSANTE _____________________________________________19 ___
➢ DE UNA VARIABLE ______________________________________________20 ___
➢ DE UNA FUNCION COMPUESTA____________________________________20__
➢ EXPONENCIAL__________________________________________________21_






2

➢ REGLAS DE DERIVADAS____________________________________________21 _
o SUMA-RESTA______________________________________________21 _
o PRODUCTO________________________________________________22__
o COCIENTE ________________________________________________22 __

PROBLEMAS DE APLICACIÓN _____________________________________________23 __
















































3

Objetivos


Lo que yo esperaba de este curso era un entendimiento pleno y limpio de la materia, con
anterioridad y sin pena a aceptarlo, reprobé cálculo en mi escuela de nivel medio superior, debido
a que a veces no entendía bien los temas o llegaba tarde, e incluso un día no me dejaron entrar a
la escuela por un famoso “paro” y no pude ver un tema esencial en ese curso. Por el contrario, en
este curso, logré reforzar mis conocimientos sobre esta materia y aclarar dudas que ya tenía desde
mi bachillerato y las cuales causaron mi mala calificación lo que conllevó a un curso de verano para
recuperarme.












































4

Funciones


¿Qué es una función?

Es una relación en la cual un elemento del dominio le corresponde solamente a ese mismo
un elemento del dominio.

Ejemplos de Funciones:


Jenny ¿Una función es una relación?

Pancha Sí, porque toda función es una
Pablo
Juana relación

Perla




¿Qué es una relación?

Es en donde a cada elemento del dominio le corresponden uno o más elementos de un
segundo conjunto llamado rango.

Ejemplo de Relaciones:


Hugo

Cumpleaños Pancho ¿Una relación es una función?
10 de mayo
Juan No, porque está la restricción de
las funciones en donde un solo
Rosa
elemento va con otro elemento



Clasificación de Funciones


1. Función Constante:
Es una relación en la cual, por tener una constante, a todos los elementos del
conjunto dominio(x) les corresponde solo un elemento del rango(y).
F(x) = a
F(x) = -3 Donde a es una

constante


En la función constante, el dominio es igual

5 a todos los números reales y el rango se
centra en la misma constante

2. Función Lineal:

Es una relación representada por f(x) = ax + b, donde “a” es diferente de cero, por
lo tanto, sabemos que la gráfica es una línea recta.

F(x) = x + 2


En la función lineal, el dominio abarca todos
los números reales y el rango también
abarca todos los números reales




3. Función Cuadrática:

2
Es una relación representada por f(x) = a + bx + c, donde “a” es diferente de
cero, por lo tanto, sabemos que la gráfica es una parábola.

2
F(x) = − 10 Dependiendo del signo
de “a” la parábola se

abrirá hacia abajo (-) o
arriba (+).


En la función cuadrática, el dominio abarca todos los
números reales, pero el rango abarca (dependiendo
de hacia donde se abra la parábola) hasta el punto
máximo de su curva

4. Función Polinomial:

3
Es una relación representada por f(x) = a + bx + c, donde “a” es diferente de
cero, por lo tanto, sabemos que la gráfica es una parábola cúbica.

3
F(x) = − 5 + 1





En la función polinomial, el dominio abarca todos
los números reales y el rango abarca todos los
números reales

6

Álgebra de Funciones


Es una función que puede expresarse en términos de sumas, restas, productos, cocientes
y raíces de polinomios.

Función Composición: Si se tienen dos funciones (f(x) y g(x)) y la segunda existe dentro del
dominio de la primera, se puede definir una nueva función, sustituyendo el valor de “x” en
la primera por g(x).



• F(x) + g(x)
• F(x)/g(x)
• F(x) - g(x)
• F[g(x)] [función composición]
• F(x)*g(x)

Ejemplos de ejercicios:






























7

Funciones Pares e Impares

Se sustituye en una función () por (−) y se aplican cambios exponenciales:


1. Si la ecuación queda igual es par
2. Si todas cambian es impar
3. Si no todas cambian, no es ninguna de las dos



















Criterio de la Recta Vertical

Cuando se tiene la gráfica de una función, ya sea una línea, parábola, etc. Se puede
verificar si esta es una función o una relación de acuerdo a lo siguiente:



• Si al graficar una función nosotros trazamos líneas verticales imaginarias, si estas
líneas tocan en un solo punto a la parábola/recta significa que es una función, de lo
contrario, si tocan más de dos veces, esta es una relación








Relación








8

Función











Límites de Funciones


Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un único número “L” cuando “x” se
aproxima a “c” por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando “c” es “L”
y escribimos:

→ () =



Evaluación de límites con Calculadora


El objetivo de este ejercicio es confirmar hacia qué número tiende una gráfica, llenando
una tabla que sustituye valores en la función dada para determinar por dos lados, hacia
qué número se acerca la gráfica. Por ejemplo:



→ () =




X -0.0001 -0.001 -0.01 -0.1 0 0.1 0.01 0.001 0.0001
F(x)









9

Afirmación de Límites


La siguiente fórmula significa que para cada (épsilon) Є>0 existe un (delta) δ>0 tal que
|f(x)-L|< Є siempre que 0<|x-c|<δ siempre que el límite exista.

Є>0Ε |f(x)-L|< Є <==> 0<|x-c|<δ




1. − →2 2 − 3 = −4











2. − →2 + 3 = 5













3. − →−3 2 + 5 = −1















10

Límites Básicos

Cuando el límite tiende a “c” b = b, es decir, cuando es una constante, su valor es el mismo
de esta constante:

→ =

1. − →2 3 =



2. − →−1 =



3. − →4 =



4
1. − →−3 =




Propiedades de los Límites

Si “b” y “c” son números reales, “n” un entero positivo y “f” y “g” funciones que tienen
límite cuando xc, entonces son ciertas las siguientes propiedades:



1.- Múltiplo Escalar: → [()] = [ → ()]

Al hacer una operación, la constante que acompaña a la “x” en este caso “b” se saca fuera
del límite multiplicándolo para cuando se resuelva el límite, la respuesta se termina
multiplicando por “b” para dar el resultado final.



1. − →2 3 =



2. − →−3 25 =



3. − →2 =
2




11

2.- Suma o Diferencia: → () ± () = → () + → ()



Esta operación es la más sencilla, cuando tienes una suma puedes dividir a partir de la
suma la ecuación y hacer límites por separado.



1. − →2 3 + 8 =












2
2. − →2 2 + − 1 =














2
3
3. − →0 − 2 − 2 =












12

3.-Producto: → [ () ∗ ()] = → () ∗ → ()

Esta operación primero se resuelve el límite por separado de los paréntesis para después
solo multiplicar.





3
1. − →2 ( )(2 + 1) =








2
2. − →2 ( + 2)(5 ) =








3. − →0 (3)(3) =








() → ()
4.- División: → [ () ] = → () () ≠ 0


En esta operación primero se resuelven los límites separando el de arriba y el
de abajo y después realizar la división.




49
1. − →2 =







13

3
2. − =
→−3
2 + 1




3
4 − 2 2
3. − =
→−1
2
− 2










5.-Potencia: → [()] = [ → ()]
En esta operación primero se realiza el límite sustituyendo el valor de “c” en
“x” y después se eleva a la potencia.



2
1. − →2 (4 − ) =






3 5
2. − →2 (3 − ) =






3
2
3. − →2 √ + 4 =









14

Factorización

En este tema es esencial saber álgebra para poder factorizar, que consiste en sacar
términos en la ecuación que se repiten para que multipliquen toda la ecuación y
simplificarla y ver si se puede eliminar con otra factorización de la parte de debajo de una
fracción.



3 − 12 3( − 4) 3
→4 = →4 =
5 − 20 5( − 4) 5





2
2 − 8
1. − =
→2
3
− 8







2
+ 4 − 5
2. − =
→2
2
+ 5 − 6







3
− 8
3. − →2 =
2
+ 3 − 10












15

Racionalización

Para este tema es necesario que en cuanto uno vea el problema, identificar que se
necesita hacer racionalización, si es correcto, es necesario multiplicar el numerador y el
denominador por el que tenga una raíz, pero con su signo contrario.

2
√+1−2 √+1+2 (√+1−2)
→3 ∗ = →3 =
−3 √+1+2 (−3)(√+1+2)
2
(√+1) −(2) 2 +1−4 (−3)
→3 (−3)(√+1+2) = →3 (−3)(√+1+2) = →3 (−3)(√+1+2) =

1 1 1 1 1
→3 = = =
(√+1+2) (√3+1+2) (√4+2) (2+2) 4




√ + 4 − 3
1. − =
→2
− 5








√4 − − √4
2. − →0 =









√2 − − 1
3. − →2 =
1 −












16

Algebraica

0
Utilizando todo el conocimiento anterior, evitaremos que la expresión termine en que es
0
“indeterminada” para poder calcular el límite.



2 + (2 + 1)
→0 = →0 = →0 2 + 1 = 2 + 1



2( + ) − 2
1. − →0 =



















( + + 1) − ( + 1)
2. − →0 =





















17

2
( + ) − 2
3. − =
→0

























Derivadas


La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función de un punto. Para este tema es necesario representar paso a paso la
forma en que se resuelve un problema.

1.- Derivada por Incrementos

También conocida como la regla de los cuatro pasos consiste en convertir una función en
una derivada:

() = 3 + 2

( + ) = 3( + ) + 2 1.-Se sustituye “x” por “ + ”

( + ) − () = 3( + ) + 2 − (3 + 2) 2.-Se le resta la ecuación original

( + ) − () 3( + ) + 2 − (3 + 2) 3.-Se divide todo entre ““
=

( + ) − () 3( + ) + 2 − (3 + 2) 4.-Se resuelve
→0 = →0

3 + 3 + 2 − 3 − 2 3
= →0 = →0 = →0 3 = 3




18

1. −() = 2 + 1









2
2. −() = + 2








3. −() = + 1










2.- Derivada de una Constante


La derivada de una constante siempre va a ser igual a cero.
1. −() = 1

2. −() = 200

3. −() = 9












19

3.- Derivada de una Variable

Cuando se tiene una variable en una función y se quiere derivar sobre su misma
diferencial, está siempre va a ser igual a uno.



()
() = = = 1


1. −() =

2. −() =
3. −() =



4.- Derivada de una función Compuesta

Si tienes una función en donde “x” está siendo multiplicada por una constante, al
momento de resolver, la constante en lugar de multiplicar a la variable, pasa
multiplicando toda la derivada y se resuelve de la siguiente manera:



()
() = 2 = 2 ( ) = 2(1) = 2


1. −() = 4





1. −() = 5





1. −() = 35













20

5.- Derivada Exponencial

Cuando se tiene una variable “x” que está elevada a una potencia, al momento de derivar,
la cifra que tiene por exponente pasa multiplicando a la variable “x” para después a la
exponencial de la variable “x” se le resta uno y se resuelve de la siguiente manera:



2
( )
2
() = = ( ) = 2( 2−1 ) = (2)

3
1. −() =
7
2. −() =
20
3. −() =




Reglas de Derivación

1.-Suma y Resta

Para realizar esta operación, tomaremos en cuenta que se están sumando dos funciones
con un signo intermedio, las separaremos en monomios y derivamos para al final
simplemente sumar.

2
( ) ()
2
() = + 2 = + 2 ( ) = 2( 2−1 ) + 2(1) = (2 + 2)



3
1. −() = +




4
2. −() = 3 +




5
3. −() = 4 + + 1






21

2.-Producto

Cuando tienes dos funciones que se multiplican, lo que necesitas hacer es lo siguiente; el
primero por la derivada del segundo más el segundo por la derivada del primero, para
después multiplicar y sumar, así como lo demuestro a continuación:



2
2
2
2
2
() = ( )(2) = ( )(2) + (2)(2) = 2 + 4 = 6

3
1. −() = ( )()




4
2. −() = ( )(3)



2
3. −() = (2 )(5)






3.-Cociente


Cuando tienes dos funciones en una fracción, para resolverlo hay que hacer la segunda
por la derivada de la primera menos la primera por la derivada de la segunda todo entre la
segunda al cuadrado.



3
3
2
2
3 2 (3) − (3)(6 ) 6 − 18 2 2 (3 − 9) 3 − 9
() = = = = =
3 2
2 3 (2 ) 4 6 4 6 2 4

5 2
1. −() =
4





22

2
6 + 1
2. −() =
2 + 2






2
+ 1
3. −() =
+ 1








Problemas de Aplicación

Para este último tema, estaremos viendo las aplicaciones de las derivadas y límites a
problemas de comercio y economía, denotando las siguientes definiciones y fórmulas:

• X = es el número de unidades producidas o vendidas.
• p = es el precio por unidad (demanda)
• R = es el ingreso producido al vender “x” unidades. R=xp
• C = es el coste de producción por “x” unidades.

• Ĉ = es el coste medio por unidad. Ĉ=

• P = es el beneficio por la venta de “x” unidades.
• P = R – C (Utilidad Máxima)
• P = xp - C

El punto de beneficio nulo es el número de unidades para el cual R = C. Marginales

• = Ingreso marginal = ingreso extra al vender una unidad adicional.

• = Coste marginal = coste extra al producir una unidad adicional.

• = Beneficio marginal = beneficio extra al vender una unidad adicional.











23

Ejemplo de aplicación:

2
() = −2 + + 3
1.- Derivar

′
() = −4 + 1
2.- Igualar a Cero

′
() = 0
−4 + 1 = 0

−4 = −1
−1 1
= = Punto crítico
−4 4
3.- Cruce con el eje “x”
2
− ± √ − 4
2
−2 + + 3 = (−2 + 3)( + 1) = 2
−2 + 3 = 0 + 1 = 0

−2 = −3 = −1
−3 3
= =
−2 2
4.- Criterio de la primera derivada

1 1
Intervalos (−∞, ) ( , ∞)
4 4

Valor de prueba K 0 1

Signo f’(K) +1 -3


Comportamiento Creciente Decreciente
















24

3
2
1.- Sea la función: () = 2 − 3 − 2 + 3
a) Puntos críticos

b) Intersección con el eje “x”

c) Intervalos donde la función es creciente o decreciente

d)Máximos y mínimos (Criterio de la primera derivada)

e) Coordenadas de máximos y mínimos














































25

2.- Un fabricante de guarniciones de alumbrado tiene costes diarios de producción dados
1 2
por: = 800 − 10 +
4
¿Qué producción diaria minimiza sus costes?






















3.- Una empresa determina que en la producción de “x” unidades de un artículo sus
funciones de ingreso y de costo son:

2
2
Ingreso: −3 + 970 Costo: 2 + 500
Encontrar la utilidad máxima.






















26

Conclusiones

Para lo que yo había visto con anterioridad en clases de cálculo cuando estaba en mi
prepa, nada que ver con lo que nos enseñaron en este curso, aprendí mucho y hasta me
llegaron a gustar mucho los límites y las derivadas, por el contrario se me complicaron los
problemas de aplicación ya que soy malo con la lógica y planteamiento de problemas.








































































27