ลำดับและอนุกรม

ลำดับและอนุกรม

คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน มธั ยมศึกษาปีที่ 5

ช่ือ............................................................... เลขท่ี........

ชอ่ื เล่น .....................................................................
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5/........

โรงเรียนเตรียมอดุ มศึกษาพฒั นาการ สระบรุ ี
สังกดั สำนกั งานเขตพน้ื ที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 4



ลำดับ ลำดบั คอื ฟังกช์ ันทมี่ ีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก
 ลำดบั ที่มโี ดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n จำนวนแรก คือ “ลำดับจำกัด”
บทนิยาม  ลำดับท่มี โี ดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก คือ “ลำดับอนนั ต์”

จากบทนยิ ามจะได้

f(1), f(2), f(3), …, f(n) เปน็ ลำดบั จำกัด

f(1), f(2), f(3), …, f(n), …. เป็นลำดับอนันต์

f(1) คือ พจนแ์ รกของลำดบั เขยี นแทนด้วย a1

f(2) คือ พจน์ที่ 2 ของลำดับ เขียนแทนด้วย a2
f(3) คือ พจนท์ ่ี 3 ของลำดบั เขยี นแทนดว้ ย a3

f(n) คอื พจน์ท่ี n ของลำดบั เขยี นแทนดว้ ย an

นั่นคือ a1, a2, a3, …, an เปน็ ลำดบั จำกดั

และ a1, a2, a3, …, an, … เปน็ ลำดับอนันต์
การเขยี นลำดับ นอกจากจะเขยี นโดยการแจงพจน์แลว้ อาจจะเขียนเฉพาะพจนท์ ี่ n หรือ พจน์ท่ัวไปพรอ้ มทั้งระบุสมาชกิ ใน

โดเมน

ตัวอย่างเช่น ลำดบั an = 2n+3 เมอื่ n = 1, 2, 3, …, 10

ลำดับ an = 2n เมอื่ n = 1, 2, 3, …

ในกรณีทกี่ ำหนดลำดับโดยพจน์ท่ี n หรือพจนท์ ่ัวไป ถ้าไม่ไดร้ ะบุสมาชิกในโดเมน ใหถ้ ือวา่ ลำดับนน้ั เป็นลำดับอนนั ต์

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 3 พจนแ์ รกของลำดับ an = 1 − 1
10n

วธิ ีทำ an = 1 − 1
10n

a1 = 1− 1 =9
10
10

a2 = 1 − 1 = 99
102
100

a3 = 1 − 1 = 999
103
1,000

 3 พจนแ์ รกของลำดบั นี้ คอื 9 , 99 , 999

10 100 1,000

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาพจน์ท่วั ไปของลำดบั จำกัด 1, 3, 9, 27

วิธที ำ a1 = 1 = 30 = 31-1
32-1
a2 = 3 = 31 = 33-1
34-1
a3 = 9 = 32 =

a4 = 27 = 33 =

= an 3n−1

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั 0, 2, 6, 12, 20, …

วธิ ที ำ a1 = 0 = 1(1-1)
a1 = 2 = 2(2-1)
a1 = 6 = 3(3-1)
a1 = 12 = 4(4-1)
a1 = 20 = 5(5-1)

 an = n(n −1)

แบบฝึกหัดท่ี 1
1. จงเขียน 4 พจน์แรกของลำดบั ต่อไปน้ี

1) an = n 2) an = 1 3) an = n +1
4) an = 2n +1 n 6) an = 5n−1

5) an = 2n

7) an = 2  3−n 8) an = n 9) an = n
n +1 5n−1

10) an = n(n +1) 11) an = (− )1 n+1 12) an = 1 − 1
10n

2. จงเขียน 5 พจนแ์ รกของลำดับทีก่ ำหนด f หรอื an ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้

 1) f = (x, y) y = 2x, x  +  2) f = (x, y) y = 4x +1, x  +

 3) f = (x, y) y = 2x2, x  +  4) f = (x, y) y = x2 −1, x  +

 5) f = (x, y) y = 2x , x  +

3. จงหาพจนท์ วั่ ไปของลำดับท่ีกำหนดให้ในแต่ละขอ้

1) 1, 2, 3, 4, ... 2) 2, 4, 6, 8, … 3) 3, 5, 7, 9, …

4) 1, 4, 9, 16, … 5) 1 , 2 , 3 , 4 ,... 6) 1 , 1 , 1 , 1 ,...

2345 2345

ลำดบั เลขคณิต (Arithmetic Sequence or Arithmetic Progression)

บทนิยาม ลำดบั เลขคณิต คอื ลำดับท่ีผลต่าง ซงึ่ ไดจ้ ากพจนท์ ่ี n +1 ลบดว้ ย พจน์ท่ี n มีคา่ คงตวั และเรยี กค่าคงตวั นี้วา่
“ผลตา่ งรว่ ม” (Common difference) เขียนแทนดว้ ย d

จากบทนิยาม จะได้ d= an+1 − an

นนั่ คือ =an+1 an + d เม่อื n+
รปู ทั่วไปของลำดบั เลขคณติ
กำหนด a1เป็นพจน์แรกของลำดับ

d เป็นพจน์ตา่ งรว่ ม

ดงั นนั้ รปู ทัว่ ไปของลำดับเลขคณิต คอื a1,a1 + d,a1 + 2d,a1 + 3d,...,a1 + (n −1)d
พจน์ท่วั ไปของลำดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d

จะเห็นว่า ถ้า d = 0 จะได้ an = a1 น่นั คอื ทุกพจนข์ องลำดับจะมคี ่าเทา่ กนั เรยี กลำดับนี้วา่ “ลำดับคงตัว”
หมายเหตุ : ใช้ A.P. แทนลำดับเลขคณิต

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาพจนท์ ่ี 30 ของลำดับเลขคณิต 1, 4, 7, …
วิธีทำ
a1 = 1, d = 3, n = 30
ตวั อย่างที่ 2
วิธีทำ จาก an = a1 + (n-1)d

a30 = a1 + 29d
= 1 + 29(3)

= 88

ดงั นน้ั พจน์ท่ี 30 ของลำดับนี้ คอื 88

ลำดับเลขคณิต 5, 9, 13, …, 101 มีกีพ่ จน์

ให้ลำดบั น้ีมี n พจน์ และ a1 = 5, d = 4, an = 101

จาก an = a1 + (n-1)d
101 = 5 + (n-1)4

101 = 4n+1

4n = 100

n = 25

ดังนัน้ ลำดบั น้มี ี 25 พจน์

ตัวอยา่ งท่ี 3 ลำดบั เลขคณิตลำดับหน่งึ มีพจนแ์ รกเท่ากบั 6 และพจน์ท่ี 15 เทา่ กับ -36 จงเขียน 4 พจนแ์ รกของลำดับเลขคณติ
วธิ ีทำ ลำดบั นี้
a1 = 6, a15 = -36
ตัวอย่างท่ี 4 จาก a15 = a1 + 14d
วธิ ีทำ
-36 = 6 + 14d
14d = -42
d = -3
ดงั นน้ั 4 พจนแ์ รกของลำดับเลขคณติ ลำดับน้ี คอื 6, 6+(-3), 6+2(-3), 6+3(-3) หรอื 6, 3, 0, -3
จำนวนเตม็ ระหว่าง 100 และ 500 ที่ 9 หารลงตัวมีกจี่ ำนวน
จำนวนเต็มระหว่าง 100 และ 500 ท่ี 9 หารลงตัว ไดแ้ ก่ 108, 117, 126, …, 495
ซงึ่ เป็นลำดับเลขคณิตที่ a1 = 108, d = 9 และ an = 495
ใหล้ ำดบั น้มี ี n พจน์
จาก an = a1 + (n-1)d
495 = 108 + (n-1)9
495 = 99 + 9n
9n = 396
n = 44
ดังนนั้ จำนวนเต็มระหวา่ ง 100 และ 500 ที่ 9 หารลงตวั มี 44 จำนวน

แบบฝึกหัดท่ี 2

1. จงเขยี น 5 พจนแ์ รกของลำดบั เลขคณติ ท่ีกำหนดค่าต่างๆใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

1) a1 = 3, d = 5 2) a1 = -2, d = 3 3) a1 = 8, a2 = 10

4) a1 = 12, a2 = 4 5) a1 = 3, a8 – a7 = 5 6) a5 = 12, d = -2
7) a10 = 6, d = 3 8) a1 = 14, a8 = 7 9) a2 = -7, a8 = 17

2. จงหาพจน์ท่ี n ของลำดบั เลขคณิตท่ีกำหนดใหใ้ นแต่ละข้อ

1) 4, 9, 14, … 2) -5, 1, 7, … 3) 3, 0, -3, …

4) 1 , 1 , 3 ,... 5) a, a+k, a+2k, …

848

3. จงหาพจน์ท่ี 7 ของลำดบั เลขคณิต 4, 9, 14, …

4. จงหาคา่ n ในแต่ละข้อ เมื่อกำหนดลำดับเลขคณิตในแต่ละขอ้

1) 2, 5, 8, … และ an = 131 2) 19, 14, 9, … และ an = -251

5. จงพจิ ารณาว่าลำดับเลขคณิตทีก่ ำหนดใหม้ ีทั้งหมดก่พี จน์

1) 4, 11, 18, 25, …, 613 2) 3b+2c, 5b+c, 7b, …, 17b-5c

6. กำหนดใหล้ ำดบั ในแต่ละขอ้ เป็นลำดบั เลขคณติ จงหาคา่ ตัวแปรในแตล่ ะขอ้

1) 3, x, 13 2) -2, 4, x, y 3) 12, x, 6-x

7. จำนวนเตม็ ต้ังแต่ 16 ถึง 775 ทหี่ ารด้วย 3 ลงตัว มีก่จี ำนวน

8. จำนวนเตม็ ทีอ่ ยู่ระหว่าง 20 กบั 153 ที่ 3 หารไม่ลงตวั มกี ่จี ำนวน

ตัวกลางเลขคณิต (Arithmetic Mean; A.M.)

 ให้ x เป็นตัวกลางเลขคณิต (A.M.) และ a, x, b เปน็ A.P.

x = a+b
2

 ให้ x1, x2, x3, …, xk เป็นตวั กลางเลขคณิต k พจน์ และ a, x1, x2, x3, …, xk, b เปน็ A.P.

d = b−a
k +1

ดงั นนั้ ตัวกลางเลขคณิต k พจนท์ ่ีอย่รู ะหวา่ ง a และ b คือ a+d, a+2d, a+3d, …, a+kd

ตัวอยา่ ง จงหาตวั กลางเลขคณิต 5 จำนวนระหว่าง -5 กบั 49
วธิ ีทำ ให้ –5, x1, x2, x3, x4, x5, 49 เปน็ ลำดับเลขคณติ และ a = -5, b = 49 และ k = 5

จากสตู ร d= b−a
k +1

d= 49 + 5 = 54 = 9

5+1 6

x1 = a+d = -5+9 = 4

x2 = x1+d = 4+9 = 13

x3 = x2+d = 13+9 = 22

x4 = x3+d = 22+9 = 31

x5 = x4+d = 31+9 = 40

ดงั นนั้ ตวั กลางเลขคณิต 5 จำนวนระหว่าง -5 และ 49 คือ 4, 13, 22, 31, 40

แบบฝกึ หดั ที่ 3
1. จงหาตัวกลางเลขคณิตระหวา่ ง 3 กับ 7
2. จงหาตัวกลางเลขคณิต 4 จำนวน ระหว่าง 6 กบั 16
3. จงหาตวั กลางเลขคณิต 6 จำนวน ระหวา่ ง 4 กบั 60
4. จงหาตัวกลางเลขคณติ 10 จำนวน ระหว่าง -25 กบั 19

การสมมตเิ พอ่ื หาลำดบั เลขคณติ สำหรับโจทย์ผลบวกลำดับเลขคณิต k พจน์
 k เป็นจำนวนค่ี

สมมติลำดบั เปน็ …, a-d, a, a+d, … (ผลตา่ งรว่ ม = d)
เช่น k = 3 ให้ลำดับ คือ a-d, a, a+d

K = 5 ใหล้ ำดบั คือ a-2d, a-d, a, a+d, a+2d
 k เปน็ จำนวนคู่

สมมตลิ ำดบั เป็น …, a-3d, a-d, a+d, a+3d, … (ผลต่างรว่ ม = 2d)
เชน่ k = 4 ให้ลำดบั คือ a-3d, a-d, a+d, a+3d

แบบฝกึ หัดที่ 4
1. ถ้าผลบวก 3 พจนท์ เ่ี รียงกันเปน็ ลำดับเลขคณิตเป็น 27 และผลบวกของกำลังสองแต่ละพจนเ์ ป็น 293 จงหาลำดบั เลขคณิตชุดนี้
2. ผลบวก 4 พจนแ์ รกท่ีเรยี งตดิ กันในลำดบั เลขคณิตชดุ หนึง่ เปน็ 20 และผลบวกกำลังสองของทกุ พจน์ทเ่ี รยี งติดกันเป็น 180 จงหา
ลำดับเลขคณิตชุดน้ี

ลำดับเรขาคณติ
บทนิยาม ลำดับเรขาคณิต คอื ลำดับทอ่ี ัตราสว่ นของพจนท์ ่ี n +1 ต่อ พจน์ท่ี n มคี ่าคงตวั และเรยี กคา่ คงตวั นี้วา่

“อตั ราส่วนร่วม” (Common ratio) เขียนแทนดว้ ย r

จากบทนยิ าม จะได้ r= an+1
an
นน่ั คอื
รปู ทว่ั ไปของลำดับเรขาคณิต =an+1 anr เม่ือ n+

กำหนด a1 เปน็ พจน์แรกของลำดบั

r เป็นอัตราสว่ นรว่ ม

ดงั นั้น รูปทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คอื a1,a1r,a1r2,a1r3,...,a1rn−1
พจน์ท่ัวไปของลำดบั เรขาคณติ คือ an = a1rn−1

จะเหน็ ว่า ถา้ r = 1 จะได้ an = a1 น่นั คอื ทกุ พจนข์ องลำดับจะมีค่าเทา่ กนั เรยี กลำดับนีว้ า่ “ลำดับคงตวั ”
ข้อสงั เกต ลำดับ 0, 0, 0, …, 0, … ไมเ่ ป็นลำดับเรขาคณิต แต่เปน็ ลำดับเลขคณิตได้ เพราะหาค่าของผลตา่ งร่วมไดเ้ ท่ากับ
0 แตห่ าค่าอัตราสว่ นรว่ มไมไ่ ด้ ดงั นน้ั แตล่ ะพจน์ของลำดับเรขาคณิตจะไมเ่ ท่ากับ 0

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาพจนท์ ี่ 10 ของลำดับเรขาคณิต 1, 1 , 1 , ...
วิธที ำ
24

a1 = 1, r= 1, n = 10

2

จากสูตร an = a1rn-1

a10 = a1r9

= (1) 1 9 = 1
512
2

พจนท์ ี่ 10 ของลำดับน้ี คอื 1

512

ตัวอย่างท่ี 2 ลำดับเรขาคณติ 64, -32, 16, …, − 1 มกี ี่พจน์
วิธที ำ
8

ใหล้ ำดับนีม้ ี n พจน์, a1 = 64, r = − 1 , an = − 1
2 8

จากสตู ร an = a1rn-1

−1 = 64  − 1 n−1

8  2

−1 =  − 1 n−1
 2
8 64

−1 =  − 1 n−1
23  26  2

 − 1 9 =  − 1 n−1
 2 =  2

n-1 9

n = 10

ดังน้ัน ลำดับนีม้ ี 10 พจน์

ตวั อย่างท่ี 3 ลำดบั เรขาคณติ ลำดับหนึ่งมีพจน์แรกเท่ากับ 3 และพจน์ที่ 3 เท่ากบั 1 จงหาพจนท์ ่ี 6 ของลำดับน้ี
วิธีทำ
3
ตวั อย่างที่ 4
วธิ ที ำ a1 = 3, a3 = 1
3

จากสตู ร an = a1rn-1
= a1r2
a3

1 = a1r2
3

1 = 3 × r2

3

r2 = 1
9

r = 1

9

นนั่ คอื a6 = a1r5 = 3  1 5 = 1 =1
34
3 81

หรอื a6 = a1r5 = 3  − 1 5 = − 1 = −1
34 81
 3

ดังน้นั พจน์ท่ี 6 ของลำดบั นี้ คอื 1 หรอื − 1

81 81

ลำดับเรขาคณติ ชุดหนง่ึ มีพจนท์ ี่หน่งึ เทา่ กับ 2 อัตราส่วนร่วมเทา่ กับ 3 จงหาว่า 13,122 เป็นพจนท์ ่เี ท่าไรของลำดบั

จากสตู ร an = a1rn-1
13,122 = 2(3)n-1

3n-1 = 6,561

3n-1 = 38

n=9

ดงั นัน้ 13,122 เปน็ พจนท์ ี่ 9 ของลำดบั

แบบฝกึ หัดท่ี 5
1. จงเขยี น 5 พจนแ์ รกของลำดับเรขาคณิตท่กี ำหนดค่าต่างๆใหไ้ ดแ้ ต่ละขอ้

1) a1 = 3, r = 2 2) a1 = -2, r = -1 3) a1 = − 1 , r = 3 4) a1 = 2, r = −1
2 3

2. จงหาพจนท์ ่ี n ของลำดับเรขาคณติ ต่อไปน้ี

1) 1, 2, 4, … 2) 1, 1 , 1 , … 3) 8, 4, 2, … 4) -9, 3, -1, …

24

3. จงหาพจนท์ ่ี 10 ของลำดับเรขาคณิต 1, 2, 4, …

4. จงหาพจน์ท่ี 8 ของลำดบั เรขาคณติ 1, 1 , 1 , …

24

5. ลำดับเรขาคณิต 1, 3, 9, …, 2187 มกี ่ีพจน์

6. พจน์ท่ี 2 ของลำดบั เรขาคณิตเท่ากับ 3 พจนท์ ี่ เท่ากบั 81 จงหาพจน์ที่ 10

8

ตัวกลางเรขาคณิต (Geometric Mean; G.M.)
 ให้ x เป็นตวั กลางเรขาคณติ (G.M.) และ a, x, b เป็นลำดบั เรขาคณิต

ดงั นั้น x2 = ab เมอื่ ab > 0
 ให้ x1, x2, x3, .., xk เปน็ ตวั กลางเรขาคณติ k พจน์ และ a, x1, x2, x3, …, xk, b เป็นลำดับเรขาคณติ

ถ้า k เปน็ จำนวนคูบ่ วก แลว้ r = k+1 b

a

ถา้ k เปน็ จำนวนคบู่ วก แลว้ r = k+1 b เมื่อ ab > 0

a

ตัวอย่าง จงหาตัวกลางเรขาคณิต 5 จำนวนระหวา่ ง 5 กับ 160

2

วธิ ีทำ ให้ a = 5 , b = 160, k = 5

2

จาก r = b

k +1

a

=  5+1160 2 =  6 64 = 2

5

ดงั น้ัน ตัวกลางเรขาคณิต 5 จำนวน ระหวา่ ง 5 กับ 160 ไดแ้ ก่ 5, 10, 20, 40, 80 หรอื -5, 10, -20, 40, -80

2

แบบฝกึ หัดท่ี 6

1. จงหาตวั กลางเรขาคณติ ระหว่างจำนวนในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1) 3 กบั 9 2) -4 กบั -16

2. จงหาตวั กลางเรขาคณติ 4 จำนวน ระหว่าง 1 กบั 243

การสมมตเิ พื่อหาลำดบั เรขาคณิต สำหรบั โจทย์ผลคณู ลำดบั เรขาคณติ k พจน์
 k เป็นจำนวนค่ี

สมมติลำดบั เป็น …, a , a, ar, … (อัตราสว่ นร่วม = r)

r

เชน่ k = 3 ใหล้ ำดับ คือ a , a, ar

r

K = 5 ใหล้ ำดบั คือ a , a , a, ar, ar2

r2 r

 k เป็นจำนวนคู่

สมมตลิ ำดับเปน็ …, a , a , ar, ar3, … (ผลตา่ งรว่ ม = 2d)

r3 r

เชน่ k = 4 ใหล้ ำดับ คือ a , a , ar, ar3

r3 r

แบบฝึกหดั ท่ี 7
1. จงหาจำนวน 3 จำนวนท่ีเรยี งตดิ กนั เป็นลำดับเรขาคณิต โดยมีผลบวกและผลคูณของท้ัง 3 จำนวนเทา่ กับ 26 และ 216
ตามลำดับ
2. จงหาจำนวน 3 จำนวนในลำดับเรขาคณิตทมี่ ผี ลบวกเป็น 38 และผลคูณของ 3 จำนวนเปน็ 1,728

สัญลักษณ์แทนการบวก

ใช้สัญลกั ษณ์ “∑” แทน การบวก กลา่ วคือ จะเขียนแทน a1+a2+a3+…+an ดว้ ย n (อ่านวา่ การบวก ai เม่ือ i = 1 ถึง

 ai
i=1

i = n) เรยี ก i ว่า ดชั นี

เชน่ 4 = 0+1+2+3+4

i
i=0

 = a1+a2+a3+…+an+…

 ai
i=1

3 = (-2)2+(-1)2+02+12+22+32

k2
k= −2

สมบตั ขิ อง ∑ ทค่ี วรทราบ

1. n = nc เมื่อ c เป็นคา่ คงตัว

c
i=1

2. n n เมื่อ c เป็นค่าคงตวั

 cai = c ai
i=1 i=1

n nn

(ai  bi ) = ai  bi
  3.
i=1 i=1 i=1

ผลบวกท่ีควรจำ

1. n = 1+2+3+...+n = n = n(n +1)

i 2

i=1

2. n = 12+22+32+...+n2 =  n2 = n(n +1)(2n +1)

i2
i=1 6

3. n = 13+23+33+...+n3 =  n3 =  n(n +1)2

i3 2

i =1

ตวั อย่างท่ี 1 จงเขียนผลบวกของจำนวนในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ โดยใชเ้ คร่ืองหมาย ∑

1) 1 + 2 + 3 + 4

2 5 8 11

2) 1− x2 + x4 − x6 + x8 − x10 + x12

2 4 6 8 10 12

วิธที ำ 1) ตวั เศษเป็นลำดบั เลขคณติ ที่มี an = n
ตัวส่วนเป็นลำดบั เลขคณิต ทีม่ ี an = 3n-1
ผลบวกมี 4 จำนวน

ดงั นน้ั 1+ 2+3+ 4 = 4 n
2 5 8 11
n=1 3n −1

2) ตัวเศษเป็นลำดับเลขคณิต ที่มี an = (-x2)n = (-1)nxn

ตัวส่วนเปน็ ลำดบั เลขคณิต ที่มี an = 2n

ผลบวกมี 6 จำนวน

ดังน้ัน 1− x2 + x4 − x6 + x8 − x10 + x12 = 1+ 6 (−1)n x2n
2 4 6 8 10 12 n=1 2n

การหาผลบวกของจำนวนที่อยูใ่ นรูปของการใช้สัญลกั ษณแ์ ทนการบวก ทำได้ 2 วธิ ี คอื

1. ใช้วิธีการแทนค่า

2. ใชส้ มบัตขิ อง ∑

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 3 2i
วิธีทำ
i=0 (i +1)

3 2i = 20 1) + 21 + 22 1) + 23

i=0 (i +1) (0 + (1+1) (2 + (3 +1)

= 1+1+ 4 + 2

3

= 16

3

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาค่าของ 20 −1)(k − 3)
วธิ ีทำ
 (k
k =1

20 = ( )20

(k −1)(k − 3)  k 2 − 3k + 3

k =1 k =1

= 20 20 20

=  k 2 − 3k + 3

= k=1 k=1 k=1

= 20 20 20
=
 k 2 − 3 k + 3

k=1 k=1 k=1

20(21)(41) − 3(20)(21) + 20(3)

62

2,870 – 630 + 60
2,300

แบบฝกึ หัดที่ 8 2) 2x1+2x2+2x3+…+2x10
1. จงเขยี นผลบวกของจำนวนในแต่ละขอ้ โดยใช้เครอ่ื งหมาย ∑ 4) 1+2+3+…
6) 1+4+9+..+121
1) x1+x2+x3+x4+x5

( ) ( ) ( ) ( )3) x12 − y1 + x22 − y2 + x32 − y3 + ... + x82 − y8

5) 9+12+15+18+21

7) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 8) 2x+4x2+6x3+8x4+10x5

23456

2. จงเขียนแทนสญั ลกั ษณ์ต่อไปนี้ใหอ้ ยู่ในรูปการบวก

1) 6 2) 5 3) 4 4) 5

4 i  4i i2
i=1 i=0 i=1 i=1

5) 5 6) 3 7) 3 −1)(i + 1) 8) 4 i − 2

(3i + 2) i(2i −1)  (2i 
i=1 i=1 i=1 i=1 5

9) 10 4i +1 10) 2 11) 5 12)0 1

i=6 5  3i (− )1 i+1 i (− )1 n−1 
i=−2 n + 3
i=0 i=2

3. จงหาผลบวกในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1) n 2) 8 3) n + 2) 4) 20

(− i)  5i  (i (2i −1)
i=1 i=1 i=1 i=1

5) n 6) 20 7) n 8) (6 −1)

 2i2 i(i −1)  5i 3 i i2
i=1 i=1 i=1 i=1

4. จงหาผลบวกของจำนวนเตม็ ค่บี วกตงั้ แต่ 31 ถึง 101

ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม
บทนิยาม ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดบั แลว้ จะเรยี ก a1+a2+a3+…+an+… ว่า อนกุ รม

บทนยิ าม กำหนดอนุกรม a1+a2+a3+… ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม หมายถึง ผลบวกต้ังแตพ่ จน์ท่ี 1 ถงึ พจนท์ ่ี n
ซงึ่ ตอ่ ไปจะเขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ Sn

จากบทนิยาม จะได้ Sn = a1+a2+a3+…+an = n

 an  ai
i=1
Sn − Sn−1
หรือ Sn =
ตวั อย่างที่ 1 นนั่ คือ an =
กำหนด ak = k3+2k จงหา Sn และ S50

วธิ ีทำ Sn = n (k 3 + 2k ) = nn
=
  k3 + 2 k
k =1 k=1 k=1

 n(n +1)2 + 2 n(n +1) = n2(n +1)2 + n(n +1)

2 2 4

= n (n +1)(n2 + n + 4)
4

=S50 50 (51)(2500 + 50 + 4) = 50 (51)(2554) = 1,628,175

4 4

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหา Sn และ S10 ของอนกุ รม 22+42+62+... = 4 n2
วิธีทำ
2, 4, 6, … เปน็ ลำดับเลขคณิตทมี่ ี an = 2n

22+42+62+... เปน็ อนุกรมที่มี an = (2n)2 = 4n2

Sn =  an =  4n2

= 4n(n +1)(2n +1)
=S10
6

4(10)(11)(21) = 1,540

6

แบบฝึกหัดที่ 9

1. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมที่กำหนด an ดงั ข้อตอ่ ไปนี้

1) an = 2n2+3n 2) an = (n-1)2

2. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 12+32+52+72+...

อนกุ รมเลขคณิต (Arithmetic Series)
บทนิยาม ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดับเลขคณติ แล้ว จะเรยี ก a1+a2+a3+…+an+… วา่ อนกุ รมเลขคณิต

ให้ Sn เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ ที่มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ d เป็นผลตา่ งรว่ ม จะได้
Sn = a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+a1+(n-1)d

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
2

หรือ Sn = n (a1 + an )
2

ตัวอย่างที่ 1 อนุกรมเลขคณติ ชุดหนึง่ มี a1 = 4, n = 10 และ a10 = 49 จงหา d และ Sn

วิธที ำ เนอื่ งจาก an = a1+(n-1)d

จะได้ a10 = 49 = 4+(10-1)d

45 = 9d

d=5

เนือ่ งจาก Sn = n (a1 + an )
2

n = 10 จะได้ S10 = 10 (a1 + an )
= 2

5(4+49)

= 265

ตัวอย่างที่ 2 อนุกรมเลขคณิตชุดหนง่ึ มี an = 23, d = 3 และ Sn = 98 จงหา a1 และ n
วธิ ีทำ
เนือ่ งจาก an = a1+(n-1)d
จะได้ 23 = a1+(n-1)3

26 = a1+3n -----------

เนื่องจาก Sn = n (a1 + an )
2

จะได้ 98 = n (a1 + 23)
2

196 = a1n+23n -----------
-----------
จาก  a1 = 26-3n

แทนคา่ a1 ใน  จะได้

196 = (26-3n)n+23n

196 = 26n-3n2+23n
3n2-49n+196 = 0
(3n-28)(n-7) = 0

n= 28 , 7

3

เน่อื งจาก n ต้องเปน็ จำนวนเต็ม ดังน้ัน n = 7

แทนคา่ n = 7 ใน  จะได้

n = 26-3(7)

=5

แบบฝึกหัดที่ 10

1. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต ท่กี ำหนดคา่ ต่างๆใหด้ ังนี้

1) a1 = 40, d = -3, n = 30 2) a1 = 5, d = 0.1, n = 40

3) a1 = -9, a10 = 15, n = 10 4) a1 = 7 , d = − 2 , n = 15
3 3

2. จงหาค่าสองคา่ ที่ขาดไปจากค่าห้าค่า คอื an, a1, n, d และ Sn ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี

1) a1 = -6, d = 3, n = 7 2) a1 = 12, d = -3, n = 7
3) a1 = 18, n = 6, an = -2 4) a1 = 19, d = -5, an = -11

ตวั อยา่ งที่ 3 นาฬิกาเรอื นหนง่ึ ตีทุกๆ 1 ช่ัวโมง โดยตี 1 ครัง้ เมื่อเวลา 1 นาฬิกา ตี 2 ครั้งเมอ่ื เวลา 2 นาฬิกา ตี 3 คร้ัง เมอื่ เวลา
3 นาฬกิ า เป็นดังนเี้ ร่ือยๆไป ในเวลา 24 ช่วั โมง นาฬกิ าเรอื นนตี้ ีทั้งหมดกคี่ ร้งั
วธิ ที ำ ..................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาผลบวกของพหุคณู ของ 3 ระหวา่ ง 2 กบั 67
วิธีทำ ..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
ตัวอยา่ งท่ี 5 ..................................................................................................................................................................................
พจนแ์ รก ..................................................................................................................................................................................
วธิ ีทำ ..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
อนกุ รมเลขคณติ ชดุ หน่ึง มพี จน์ท่ี 13 เทา่ กบั 27 และพจนท์ ่ี 7 มีค่าเป็น 3 เทา่ ของพจนท์ ี่ 2 จงหาผลบวกของ 12

..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................

แบบฝกึ หดั ท่ี 11

1. จงหาผลบวกของจำนวนเตม็ ค่บู วก 100 จำนวนแรก

2. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มทอี่ ยรู่ ะหว่าง 32 กบั 395 เมอ่ื จำนวนเตม็ แต่ละจำนวนดงั กล่าว

1) หารด้วย 6 ลงตัว 2) หารดว้ ย 6 ไม่ลงตวั

3. เดก็ ชายคนหน่งึ ขีจ่ ักรยานลงมาจากยอดเขา เขาขีไ่ ด้ระยะทาง 4 ฟตุ ในวนิ าทแี รก และทกุ ๆวนิ าทีถดั ไปเขาจะขไี่ ด้ระยะทางมาก

ข้ึนอกี วินาทีละ 5 ฟตุ จากระยะทางท่ีขไี่ ดใ้ นวินาทีก่อนหน้านัน้ เสมอ ถ้าเดก็ ชายคนนีใ้ ช้เวลา 11 วนิ าที จงึ ข่จี ักรยานถึงตีนเขา จง

หาระยะทางท่เี ขาขีจ่ กั รยานท้ังหมด

4. ถา้ ผลบวก 4 พจน์แรกและ 60 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตชุดหนง่ึ มคี า่ เท่ากับ 430 และ 945 ตามลำดบั จงหาผลบวก 80

พจน์แรกของอนกุ รมน้ี

อนกุ รมเรขาคณติ (Geometric Series)
บทนิยาม ถา้ a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดบั เรขาคณิตแล้ว จะเรียก a1+a2+a3+…+an+… วา่ อนุกรมเรขาคณิต

ให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิตทมี่ ี a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เป็นอตั ราสว่ นรว่ ม จะได้

Sn = a1+a1r+a1r2+…+a1rn-1

ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต

( )Sn naa1 1rr−n − 1 , r 1  anr − a1
1 , r =1
= r 1 หรอื =  r −1 , r 1
( ) Sn  a1 − an r , r 1

 n
a1 1− r
1− r ,  1−r

ตัวอย่างท่ี 1 อนกุ รมเรขาคณิต มี a1 = 3, a4 = -24 จงหา a10 และ s10

วิธีทำ ..................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................

ตวั อย่างที่ 2 จงหา n 1

4k

k =1

วิธีทำ ..................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................

แบบฝกึ หัดที่ 12
1. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต ที่กำหนดค่าตา่ งๆให้ดงั น้ี

1) a1 = 2, r = 1, an = 2 2) a1 = 1,r= 3 , an = 27
243 2 64
3 8

2. จงหาค่าสองคา่ ที่ขาดไปจากคา่ ห้าค่า คือ Sn, n, a1, r และ an ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1) a1 = 2, r = 3, n = 5 2) a1 = 8, r = − 3 , an = 81
3) Sn = 242, a1 = 2, r = 3 2 2
3. จงหาค่าของ
4) Sn = 781, n = 5, r = 1
5

1)10 2) 9  − 1 k+1

3k k=0  2 

k =1

4. อนกุ รมเรขาคณิตชุดหนึ่งมีพจนแ์ รกเทา่ กบั 160 อัตราส่วนรว่ ม 3 อนกุ รมนม้ี ีกีพ่ จน์ จงึ จะทำให้ Sn = 2,110
2

5. จงหาคา่ x ท่ที ำใหผ้ ลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม x+x2+x3+… มคี า่ เท่ากบั 0

6. รตั นาเปน็ ลูกสาวของคุณครรู าตรี ซ่ึงเปน็ ครูคณิตศาสตร์ รัตนาบอกคุณแมว่ า่ เธออยากให้คณุ แมจ่ ัดงานฉลองวนั เกิดใหเ้ ธอในวันท่ี

1 เมษายน เธอขอรอ้ งให้คุณแมฝ่ ากเงนิ ตลอดเดือนมนี าคม เพ่ือใช้ในการจดั งาน โดยวนั ท่ี 1 มีนาคม ฝาก 1 บาท วนั ที่ 2 มนี าคม

ฝาก 2 บาท วันที่ 3 มนี าคม ฝาก 4 บาท ดังน้เี รอ่ื ยๆไป คณุ ราตรีบอกรัตนาวา่ เธอไมส่ ามารถจัดงานให้ลกู ทรี่ กั ได้ เพราะเหตุใดจงึ

เป็นเช่นนั้น (กำหนด 210 = 1,024)