MATERI STATMAT PEU ACAK KONTINU

Peubah Acak Kontinu dan Fungsi Kepekatan Peluang (fkp)

Edi Syahputra

Definisi: Jika X adalah peubah acak (p.a) dan adalah fungsi distribusi kumulatifnya
maka:

= P[X x] = ∑ : untuk p.a. diskrit

()

= ∫ dy ;- untuk p.a. kontinu

dengan adalah fungsi kepekatan peluang (fkp) (1)

(2) ∫ (y)dy = 1

Sifat-sifat FX(x):

1. FX tidak turun yaitu: FX FX(y) untuk x

2. FX(- = 0 dan FX(+ =1

3. FX kontinu dari kanan yaitu: = FX ;

Jika X diskrit maka fX(x) disebut fungsi peluang

(1) p(xi)

(2) ∑ =1

Contoh:1

Apakah fungsi ; untuk x < 0
F(x) = ; untuk x

1-

a) Merupakan suatu fungsi distribusi kumulatif?

b) Jika ya, tentukanlah fungsi kepekatan peluangnya.

Jawab:

a) F(x) adalah fungsi distribusi kumulatif jika memenuhi sifat-sifat:

i. FX(x) tidak turun yaitu: FX(x) FX(y) untuk x

ii. FX(- = 0 dan FX(+ =1

iii. FX(x) kontinu dari kanan yaitu: = FX(x) ;

Bukti:

i. FX(x) FX(y) untuk x

Edi Syahputra 2020 1

Jika 0 x maka 1- jelas bahwa FX(x) FX(y), karena jika x

maka = ≥ akibatnya

1- dengan demikian FX(x) FX(y)

jika x (coba uji sendiri)

jika x < 0 y (coba uji sendiri)

ii. FX(- = ]=0
dan FX(+ = [1- ] = 1 - = 1 – 0 = 1

iii. Untuk x < 0; = [ ] = = F(x)

=[ ] = 1- = F(x)

Karena sifat (i) sampai (iii) terpenuhi berarti F(x) adalah fungsi distribusi kumulatif

b) Menentukan fungsi kepekatan peluangnya =. =
Misalkan fungsi kepekatan peluang nya adalah f(x)

Untuk x < 0 f(x) = [F(x)] = [ ] =

Untuk x f(x) = [F(x)] = [ ]=

Jadi fkp nya adalah f(x) = ;Untuk x < 0
;Untuk x

Contoh 2. 4 ;Untuk 0 <x <1
Apakah fungsi f(x) = ; selainnya

a) merupakan fungsi kepekatan peluang (fkp)
b) jika ya, tentukan fungsi distribusi kumulatifnya

Jawab: selainnya
a) f(x) adalah fkp (1) f(x)
(2) ∫ (x)dx = 1 2

Syarat (1) Untuk x < 0 f(x) = 5(1-x)4
Edi Syahputra 2020

Untuk 0 < x < 1 f(x) = 5(1-x)4 selainnya =
Untuk x 1 f(x) = 5(1-x)4

(2) ∫ = ∫ + ∫ + ∫

= 0+ + 0 = 0 – 1(1-x)5 + 0 = -(1-x)5 = 1

Karena syarat (1) dan (2) terpenuhi berarti f(x) adalah Fungsi kepekatan peluang

b) Fungsi distribusi kumulatifnya:

F =∫ ;-

={∫ untuk 0 ………(*)

persamaan (*) dicari sebagai berikut:

(*) ∫ dy = = -1(1-y)5 = -1((1- - ( 1-0)5) = - (1-x)5+1

= 1- (1-x)5

Jadi:

F(x) = { ;0

Catatan:
Peubah acak-peubah acak yang sebaran atau distribusinya mempunyai sejumlah titik terputus
dinamakan peubah acak diskrit. Peluang timbulnya peubah acak seperti ini dipusatkan hanya
pada beberapa nilai tertentu saja. Misalnya pada contoh sebelumnya (pelambungan tiga mata
uang sekaligus) pemusatan peluang hanya pada nilai X = x, untuk x = 0,1,2,dan 3.
Apabila suatu fungsi distribusi sama sekali tidak mengandung titik-titik putus, grafiknya tidak
berbentuk tangga, maka peubah acak yang memiliki fungsi distribusi seperti ini disebut
peubah acak kontinu.
Contoh:

f(x) = {

Edi Syahputra 2020 3

perhatikan bahwa f(x) memenuhi syarat-syarat peluang yaitu:

(1) f(x) =1
(2) ∫

Fungsi distribusinya F(x)=∫ {

Grafik f(x) dan Grafik F(x) ditunjukkan pada gambar 1.8

f(x) F(x)

11

1/2 1/2

-2 -1 0 2 5X 0 2 X

Gambar 1.8. Grafik Fungsi f(x) danGambar 5. Grafik Fungsi f(x) dan Grafik Fungsi F(X) Peubah
Grafik Fungsi F(x)

Acak Kontinu

Tugas-tugas pada pertemuan 1

Kerjakan tugas berikut ini di kertas folio

1. Tugas Rutin

1). Apakah F(x) =

{
Merupakan fungsi distribusi kumulatif?

2).Pandang peubah acak X dengan fungsi distribusi kumulatif:

( )

F(x) =

{ 4

Tentukan fungsi kepekatan peluang dari X yaitu fX(x)
Edi Syahputra 2020

3). {

a. hitunglah nilai k,
b. Gambarkan grafik dari g(x).

4). Diketahui: {
Tentukan nilai k agar f(x) merupakan fungsi densitas atau fungsi kepekatan dari
peubah acak X dan hitung P(1<X<2).

2. Tugas Critical Book Revieu (CBR)
Analisis satu buku statistika matematik, kemudian bandingkan dengan dua buku sejenis
lainnya. Lihat format laporan CBR dari dosen sebagai panduan bagi mahasiswa. Tugas
dikumpulkan pada pertemuan ke-5.

Edi Syahputra 2020 5