สรุป เซตกับเลขยกกำลัง

สรุป

เร่ือง เซต & เลขยกกำลงั

เซต (Set)

ความหมายของเซต

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด เเละเมื่อกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้
ทันทีว่าในเซตนนั้ มอี ะไรบ้าง เราเรยี กสง่ิ ท่อี ยูใ่ นเซตวา่ 'สมาชกิ '

สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชแ้ ทนเซต ชื่อเเละสมาชกิ ของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตตา่ งๆ ได้
2. ชอื่ เซตนิยมใช้ตัวใหญ่ท้งั หมด เชน่ A, B, C, ...
3. สญั ลักษณ์ ∈ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ "

∉ แทนคำวา่ " ไมเ่ ปน็ สมาชิกของ "
ลกั ษณะของเซต

เซตว่าง (Empty Set) คอื เซตทีไ่ มม่ สี มาชิก เขยี นแทนดว้ ย " { } " หรอื ∅
เช่น เซตของจำนวนเตม็ ที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
เซตของสระในคำวา่ " อรวรรณ "

เซตจำกดั (Finite Set) คอื เซตท่สี ามารถบอกจำนวนสมาชกิ ได้
เช่น ∅ มจี ำนวนสมาชกิ เป็น 0
{ 1, 2, 3, ... , 50 } มจี ำนวนสมาชกิ เปน็ 50

เซตอนันต์ (Infinite Set) คอื เซตทไ่ี มใ่ ชเ่ ซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น เซตของจำนวนเตม็ บวก {1, 2, 3, 4, ... } เซตของจดุ บนระนาบ

การเขียนเซต
1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชกิ (Tabular form)
หลักการเขยี น
1. เขียนสมาชกิ ทั้งหมดในวงเลบ็ ปกี กา
2. สมาชกิ เเต่ละตวั ค่ันดว้ ยเครอ่ื งจลุ ภาค (,)
3. สมาชกิ ทซ่ี ำ้ กันใหเ้ ขียนเพียงตวั เดียว
4. ในกรณที ่มี จี ำนวนสมาชกิ มากๆ ใหเ้ ขยี นสมาชิกอยา่ งน้อย 3 ตัว เเลว้ ใช้จุด 3 จดุ (Tripple dot) เเลว้ จึง
เขียนสมาชกิ ตวั สุดท้าย
2. การเขยี นเซตแบบบแกเง่ือนไขของสมาชิกในเซต (Set builder form)
หลักการเขียน
1. เขยี นเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชกิ ทัง้ หมดตามด้วยเครื่องหมาย l ( l อ่านวา่ โดยที ) เเลว้ ตามโดยเงือ่ นไขของตวั

แปรนนั้ ดังรปู แบบ { x l เงอ่ื นไขของ x }
ตัวอย่าง
ความสมั พันธ์ของเซต
1. เซตท่เี ทา่ กนั (Equal Sets) คือ เซตสองเซตจะเทา่ กัน กต็ ่อเมือ่ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน

สัญลกั ษณ์ เซต A เทา่ กบั เซต B แทนดว้ ย A = B
เซต A ไมเ่ ท่ากับ เซต B แทนด้วย A ≠

2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหน่ึง
ตอ่ หนึง่

สัญลกั ษณ์ เซต A เทียบเทา่ กบั เซต B แทนด้วย A ⟷ B

* หมายเหตุ 1. ถา้ A = B แล้ว A ⟷ B

2. ถา้ A ⟷ B แลว้ ไม่อาจสรปุ ได้ว่า A = B
สับเซต (Subset)
ถ้า สมาชกิ ทกุ ตวั ของเซต A เปน็ สมาชกิ ในเซต B เเลว้ เซต A จะเปน็ สับเซตของเซต B

สัญลักษณ์ เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B เขยี นแทนดว้ ย A ⊂ B

เซต B ไมเ่ ป็นสบั เซตของเซต A เขยี นแทนด้วย A ⊄ B
สมบตั ิของสบั เซต

1. A ⊂ A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )

2. A ⊂ U ( เซตทกุ เซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพทั ธ)์

3. ∅ ⊂ A ( เซตว่างเป็นสบั เซตของทุกๆ เซต)

4. ถ้า A ⊂ ∅ เเล้ว A = ∅

5. ถ้า A ⊂ B เเละ B ⊂ C เเล้ว A ⊂ C (สมบัตกิ ารถา่ ยทอด)

6. A = B ก็ต่อเม่ือ A ⊂ B เเละ B ⊂ A
7. ถ้า A มจี ำนวนสมาชิก n ตวั สับเซตของเซตจะมที ้งั สนิ้ 2^n ( 2 ยกกำลัง n )สับเซต
สับเซตแท้

นยิ าม A เป็นสบั เซตแทข้ อง B ก็ตอ่ เม่อื A ⊂ B เเละ A ≠ B
ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จงหาสับเซตแทท้ ั้งหมดของ A

วิธีทำ สบั เซตแทข้ อง A ไดแ้ ก่ ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}
หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้น 2^n-1 (2 ยกกำลัง n-1) สับเซต เรา

สามารถเขยี นความสัมพนั ธข์ องสับเซตออกมาในรปู แผนภาพไดด้ ังนี้

A⊂B
เพาเวอรเ์ ซต (Power Set)

ถ้า A เปต็ เซต เเล้ว เพาเวอรเ์ ซตของเซต A คอื เซตท่มี สี มาชิกประกอบไปดว้ ยสบั เซตของ A ท้ังหมด
สัญลักษณ์ เพาเวอรเ์ ซตของเซต A เขยี นแทนด้วย P(A) = {สับเซตทัง้ หมดขอA}
ตัวอยา่ ง A = {1, 2}
วธิ ที ำ สบั เซตของ A คือ ∅, {1}, {2}, A
ดังน้ัน P(A) = { ∅, {1}, {2}, A }

สมบตั ขิ องเพาเวอรเ์ ซต
กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ
1. ∅ ∈ P(A) เพราะ ∅ ⊂ A เสมอ
2. ∅ ⊂ P(A) เพราะเซตวา่ งเปน็ สบั เซตของทุกเซต เเลว้ P(A) กเ็ ป็นเซตเชน่ กัน
3. A ∈ P(A) เพราะ A ⊂ A เสมอ
4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมีสมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง

n(A) ) ตัว (เท่ากบั จำนวนสับเซตของ A)
5. A ⊂ B ก็ต่อเมอ่ื P(A) ⊂ P(B)
6. P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
7. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิง่ ท่ีเป็นสมาชิกของเซตน้ีเท่านั้น จะไม่กล่าวถึง
ส่งิ อนื่ ใดทไ่ี ม่เป็นสมาชกิ ของเซตน้ี โดยท่ัวไปจะใชส้ ญั ลกั ษณ์ U แทนเซตท่เี ป็นเอกภพสัมพทั ธ์

ตวั อยา่ งท่ี 1 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}

ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนดให้ U = { x ∈ N | 1 < x < 20 }
A = { x ∈ N | x = n + 3 เมอื่ n เป็นจำนวนนบั คี่ }
B = { x ∈ N | x = n + 3 เม่ือ n เป็นจำนวนนับคู่ }

น่ันคอื ทงั้ A และ B เป็นสบั เซตของ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์ (Venn - Euler diagram)
แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ แผนภาพแสดงความเกี่ยวข้องของเซตต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์
สองคน คือ จอห์น เวนน์ เเละ เลโอนารด์ ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทนเอกภพสมั พัทธ์ U ด้วยรูปสีเ่ หลย่ี มผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A,
B, C, D, ... ซึ่งเป็นเซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใดๆ โดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูป
ปิดใดๆ ทแ่ี ทนเอกภพสมั พัทธ์

ตวั อยา่ ง
กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, C = { 3, 5, 6, 7 }
เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แสดงภาพภพสัมพัทธ์ U ของเซตย่อยต่างๆ ดัง

แผนภาพตอ่ ไน้ี

ถ้าเซต A เเละเซต B ไม่มสี มาชกิ ร่วมกนั แผนภาพจะมลี ักษณะดงั นี้

ถา้ เซต A เเละ เซต B มีสมาชกิ ร่วมกันบางสว่ น (แตไ่ มท่ ั้งหมด) แผนภาพจะมลี กั ษณะดงั นี้

ถ้าเซต A ⊂ B เเต่ A ≠ B แผนภาพจะมีลักษณะดงั นี้

ถา้ เซต A = B แผนภาพจะมลี กั ษณะดังน้ี

การดำเนนิ การบนเซต
การดำเนนิ การระหว่างเซต คือ การนำเซตตา่ งๆ มากระทำกันเพือ่ ใหเ้ กดิ เป็นเซตใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วธิ ี คอื
1. ยูเนียน (Union)

ยเู นยี นของเซต A เเละเซต B คือเซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกของเซต A หรอื เซต B
เขยี นแทนดว้ ย A ∪ B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดงั นั้น A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

เราสามารถเขียนการยูเนยี นในแผนภาพได้ดงั นี้

2. อนิ เตอรเ์ ซกชัน (Intersection)
อินเตอรเ์ ซกชนั ของเซต A เเละเซต B คอื เซตท่ีประกอบด้วยสมาชกิ ของเซต A

เเละเซต B
เขียนแทนดว้ ย A ∩ B
ตวั อย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดงั นั้น A ∩ B = { 3 }
เราสามารถเขยี นการยเู นียนในแผนภาพไดด้ งั นี้

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนตข์ องของเซต A คอื เซตทป่ี ระกอบดว้ ยสมาชกิ ที่เปน็ สมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ A
เขยี นแทนดว้ ย A'

ตัวอยา่ ง A = { 1, 2, 3 }
ดงั นนั้ A' = { 4, 5}

เราสามารถเขียนการยเู นยี นในแผนภาพไดด้ ังน้ี

4. ผลตา่ งของเซต (Difference)
ผลตา่ งของเซต A เเละเซต B คอื เซตทปี่ ระกอบดว้ ยสมาชกิ ทเี่ ปน็ สมาชิกของเซต A แต่ไม่เปน็ สมาชกิ ของเซต B
เขียนแทนดว้ ย A - B

ตวั อยา่ ง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนนั้ A - B = { 1, 2 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพไดด้ งั น้ี

สญั ลกั ษณ์ที่เกย่ี วขอ้ งกับจำนวนตา่ งๆ ท่ีควรทราบ

สมบตั กิ ารดำเนนิ การบนเซต
สมบตั ิพนื้ ฐาน

1. A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A
2. A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4. (A')' = A
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
(A ∩ B)' = A' ∪ B'

5. A - B = A ∩ B'

เพม่ิ เตมิ 1. A - B = ∅
ถ้า A ⊂ B เเล้ว 2. A ∩ B = A
3. A ∪ B = B

การหาจำนวนสมาชกิ ของเซตจำกดั
1. เซตจำกัด 2 เซต

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n[(A - B) ∪ (B - A)] = n(A) + n(B) - 2[n(A ∩ B)]

2. เซตจำกดั 3 เซต
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C)
+ n(A ∩ B ∩ C)

แบบทดสอบเร่อื งเซต

1. ข้อใดใช้คำว่าเซตได้ถกู ตอ้ งทส่ี ุด

ก. เซตของนกั ร้องทม่ี ชี ื่อเสียงทสี่ ดุ ในประเทศไทย

ข. เซตของคนฉลาดที่สุดในประเทศไทย

ค. เซตของคนดีทส่ี ุดในประเทศไทย

ง. เซตของแหล่งมรดกโลกในประเทศไทย

2. ขอ้ ใดไม่เปน็ เซต

ก. เซตของจำนวนเต็มบวก

ข. เซตของประเทศที่มพี รมแดนตดิ กบั ประเทศไทย

ค. เซตของผลไม้ไทยท่ีมรี สหวานที่สุด

ง. เซตของชอื่ จงั หวดั ทลี่ งท้ายด้วย “ธาน”ี

3. ข้อใดคือเซตจำนวนเตม็ ทีม่ คี า่ มากกว่า 3 และน้อยกวา่ 10

ก. { 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ข. { 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9}

ค. { 4, 5, 6, 7, 8, 9} ง. { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

4. ขอ้ ใดคือเซตของพยัญชนะในคำว่า “สมาชิก”

ก. { ส, ม, า, ช, ก} ข. { ส, ม,า,ชิก}

ค. { ส, ม, ช, ก}

ง. { สมาชกิ }

5. ขอ้ ใดคอื เซตของจำนวนเตม็ ทีอ่ ยู่ระหวา่ ง -1 กับ 1

ก. { -1 } ข. { 0 }

ค. { -1, 1} ง. { -1, 0, 1}

6. { ตาก, ตราด, ตรัง} ตรงกับขอ้ ใด

ก. { x | x เป็นจงั หวัดท่ีมพี น้ื ทีน่ ้อย}

ข. {x | x เปน็ ชื่อจงั หวัดทข่ี นึ้ ตน้ ดว้ ย “ต” }

ค. {x | x เป็นจังหวัดทม่ี ปี ระชากรมาก}

ง. {x | x เป็นชอ่ื จงั หวัดทางภาคเหนอื ทช่ี อื่ ขึ้นต้นดว้ ย “ต”}

7. { 2, 3, 5, 7} ตรงกับขอ้ ใด

ก. { x | x เป็นจำนวนคี่}

ข. {x | x เปน็ จำนวนเฉพาะ}

ค. {x | x เป็นจำนวนคี่บวกทน่ี อ้ ยกว่า 10}

ง. {x | x เปน็ จำนวนเฉพาะบวกทีน่ ้อยกว่า 10}

8. กำหนด F = { x | x เปน็ จำนวนนบั และ 5 < x < 23 } ข้อใดกล่าวไม่ถูกตอ้ ง

ก. 5  F ข. 21  F

ค. 23  F ง. 24  F

9. ข้อใดกลา่ วถกู ต้อง

ก. 3  { 4, -1, 8, 10} ข. 6  { 5, 9}

ค. A = { 1, 4, 6} ดังน้นั 5  A ง. x  { 0 } ดงั น้นั x = { 0}

10. ข้อใดกล่าวไม่ถกู ตอ้ ง เม่ือกำหนด A = { -1, 0, { 0, 1}, 1, 2}

ก. { -1}  A ข. 0  A

ค. { 0, 1}  A ง. 1  A

แบบฝึกหดั เรอ่ื งเซตคร้ังท2ี่

ข้อท1่ี .ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง
1.{1} ∈ {1, 2, 3}
2. {2} ⊂ {1, 2, 3}
3.{{3}} ∈ {1, 2, 3}
4.{0} = ∅

ขอ้ ที่ 2. กำหนด A = {1, 2, 3} เซตท่ีเท่ากบั เซต A คอื ข้อใด
1.{1, {2, 3}}
2.{{2}, 3, 1}
3.{3, {1}, 2}
4. {1, 3, 2}

ขอ้ ที่ 3.กำหนดให้ A = {1, 2, 3, {4, 5}} ข้อใดไม่ถูกตอ้ ง
1.1 ∈ A
2.{4,5} ∈ A
3.2 ⊂ A
4.{3} ⊂ A

ข้อที่ 4.ข้อใดถูกตอ้ ง
1.{5} ⊂ {{5}}

2.∅ = 0
3.∅ ⊂ {{5}}
4.{5} = 5

ขอ้ ที่ 5.กำหนดให้ A = {2, 4, 6, 8, 10} ; P(A) มสี มาชิกกจี่ ำนวน
1.5 จำนวน
2.10 จำนวน
3.16 จำนวน
4.32 จำนวน

ข้อที่ 6.กำหนด A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6}
A ∩ B ตรงกบั ข้อใด
1.{2}
2.{1, 2, 3}
3.{2, 4, 6}
4.{1, 2, 3, 4, 6}
ข้อที่ 12.

ใชต้ อบคำถามข้อ 7-8
กำหนด U = {1, 2, 3, ..., 10}, A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 3, 5, 7}
A ∪ B มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
1.{1, 2, 3, 4, 5, 7}

2.{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
3.{1, 3}
4.{2, 4, 5, 7}

ข้อที่ 8 A' มีค่าตรงกับข้อใด
1.{1, 2, 3, 4}
2.{1, 3, 5, 7}
3.{5, 6, 7, 8, 9, 10}
4.{2, 4, 5, 7}
ข้อที่ 9 กำหนด A = {2, 3, 5, 7} และ B = {2, 4, 6, 8} จำนวนสมาชกิ ของ P(A∩B)
1.0
2.2
3.4
4.8

ข้อที่ 10.ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ต้อง
1.เซตของจำนวนท่สี อดคลอ้ งกับสมการ 3x - 3 = 0 คือ {1}
2.เซตของจำนวนตง้ั แต่ 3 ถงึ 6 คือ {3, 4, 5, 6}
3.{x/x เป็นจำนวนนับ} คอื {0, 1, 2, ...}
4.มขี ้อถูกมากกวา่ 1 ข้อ

เลขยกกำลัง
คอื การคณู ตวั เลขน้ันๆตามจำนวนของเลขชีก้ ำลงั ซ่ึงตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมนั เองและเมอ่ื แทน a เปน็
จำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเตม็ บวก โดยทมี่ ี a เปน็ ฐานหรือตวั เลข และ n เปน็ เลขชกี้ ำลงั (an) จะได้
วา่ a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa)
ตวั อย่าง

25 เป็นเลขยกกำลงั ท่มี ี 2 เป็นฐานหรอื ตัวเลข และมี 5 เป็นเลข
และ 25 = 2x2x2x2x2 = 32

สมบัตขิ องเลขยกกำลัง
1. สมบตั กิ ารคูณเลขยกกำลังทม่ี เี ลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ และ m,

n เป็นจำนวนเตม็ บวก

เช่น 23x 27x 29 = 2 (3 + 7 + 9) = 219
2. สมบตั ิการหารเลขยกกำลังท่มี ีเลขชก้ี ำลงั เป็นจำนวนเตม็ บวก

กรณที ี่ 1 เม่ือ a เปน็ จำนวนจริงใดๆทไี่ มใ่ ชศ่ ูนย์ และ m, n เปน็ จำนวนเต็มบวกที่ m > n

เชน่ 412÷ 43=412-3 = 49
กรณที ี่ 2 เมื่อ a เปน็ จำนวนจริงใดๆที่ไมใ่ ชศ่ ูนย์ และ m, nเปน็ จำนวนเต็มบวกท่ี m = n

กรณที ่ี 3 เม่ือ a เปน็ จำนวนจริงใดๆทไี่ มใ่ ช่ศนู ย์ และ m, n เปน็ จำนวนเต็มบวกท่ี
m<n

เช่น

3.สมบัตอิ นื่ ๆของเลขยกกำลงั
1.) เลขยกกำลังท่มี ฐี านเป็นเลขยกกำลัง
เม่อื a ≥0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

2.) เลขยกกำลังท่ีมฐี านอยใู่ นรปู การคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย ๆจำนวน
หรอื เมอื่ a ≠ 0 , b ≠ 0 และ n เปน็ จำนวนเตม็

เชน่
3.) เลขยกกำลังท่มี เี ลขช้ีกำลงั เป็นเศษส่วน

เมอ่ื a > 0 และ n เปน็ จำนวนเต็มบวกทม่ี ากกว่า
เมอ่ื a ≠ 0 และ m เปน็ จำนวนเตม็ บวก ; n ≥ 2

การใชเ้ ลขยกกำลงั แทนจำนวน

การเขยี นจำนวนท่มี คี ่ามากๆนิยมเขยี นแทนไดด้ ้วยรปู Ax10nเมือ่ 1≤A<10 และ n เป็นจำนวนเต็ม
บวก เชน่ 16,000,000 = 1.6×107 และทำนองเดยี วกันการเขยี นจำนวนเต็มทม่ี คี า่ น้อยๆกส็ ามารถเขียนใน
รูป Ax10n ไดเ้ ช่นเดียวกนั แต่ n จะเปน็ จำนวนเต็มลบ เช่น 0.000016 = 1.6×10-5

หลักการเปล่ียนจำนวนใหอ้ ยู่ในรูป Ax10n เม่ือ 1≤A<10 และ n เปน็ จำนวนเตม็ อยา่ งง่ายๆ คอื ให้
พิจารณาวา่ จุดทศนิยมมกี ารเล่ือนตำแหน่งไปทางซ้ายหรอื ขวาก่ตี ำแหน่ง ถา้ เลอื่ นไปทางซ้ายเลขชีก้ ำลงั จะเปน็ บวก
และถา้ เลือ่ นไปทางขวาเลขช้กี ำลงั กจ็ ะเปน็ ลบ

เช่น 75000.0=7.5×104

0.000075 = 7.5×10-5

หรือกล่าวไดว้ ่า ถ้าจุดทศนิยมเล่อื นไปทางขวา n ตำแหนง่ เลขชี้กำลงั ของ 10 จะลดลง n ถา้ จุดทศนยิ มเลือ่ นไป
ทางซ้าย n ตำแหน่ง เลขชก้ี ำลังของ10 จะเพิ่มขน้ึ n

สรุป

เลขยกกำลงั เปน็ การคณู ตวั เลขน้นั ๆตามจำนวนของเลขชี้กำลงั ซ่งึ ตวั เลขนน้ั ๆจะคูณตวั ของมนั เองและ
เมื่อแทน a เปน็ จำนวนใด ๆ และแทน n เปน็ จำนวนเต็มบวก โดยทมี่ ี a เปน็ ฐานหรอื ตวั เลข และ n เปน็ เลขช้ี
กำลงั (an) หรอื จะไดว้ า่ a คูณกนั n ตวั (axaxaxaxax…xa) อีกท้งั วธิ กี ารคำนวณหาคา่ เลขยกกำลังจะขึน้ อยู่กบั
สมบตั ิของเลขยกกำลังในแตล่ ะประเภทด้วย

การบวกเลขยกกำลัง

1.การบวกลบเลขยกกำลงั ที่มีฐานเหมือนกนั และเลขยกกำลังเท่ากนั ให้นำสัมประสทิ ธ์ขิ องเลขยก
กำลังมาบวกลบกนั

ตัวอยา่ ง

2.การบวกลบเลขยกกำลงั ทมี่ ีฐานเทา่ กนั แต่เลขยกกำลังไมเ่ ทา่ กนั จะนำสัมประสิทธ์ิมาบวกลบกนั
ไมไ่ ด้ ตอ้ งทำในรูปของการแยกตวั ประกอบ และดึงตวั ประกอบร่วมออก

ตัวอย่าง

หมายเหตุ
(-2)4 และ -24 มคี ่าไมเ่ ทา่ กนั เพราะ (-2)4 ฐานคือ (-2)

เลขช้กี ำลังคอื "4" อา่ นว่า ลบสองทั้งหมดยกกำลงั ส่ี มีค่าเท่ากบั 16
-24 ฐานคอื 2 เลขช้ีกำลังคือ "4" อ่านวา่ ลบของสองกำลงั สี่ มีคา่ เท่ากบั -16

แบบฝกึ หดั เลขยกกำลงั

ขอ้ ที่ 1 ( 2 + 8+ 18 + )2 มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้

32

ก. 60

ข. 60 2

ค. 100 2

ง. 200

ข้อที่ 2 5 − 32 + 26 3 มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้
3 27 (64 ) 2

ก. − 13

24

ข. − 5

6

ค. 2

3

ง. 19

24

21
(18)2
ข้อท่ี 3 คา่ ของ 83 มีค่าเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้

4 144 6

ก. 2

3

ข. 3

2

ค. 2

ง. 3

ข้อท่ี 4 (1− ) (2 ) (2 ) (3 )3 มีคา่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้

2 2+ 8 1+ 2 2− 8

ก. − 32
ข. − 24
ค. − 32 −16 2
ง. − 24 −16 2

ข้อท่ี 5  5− 2  2 มีค่าเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้
6 15

ก. 3

10

ข. 7

10

ค. 5 − 2

ง. 6 − 2

ข้อท่ี 6 ( 18 + 23 −125 − 34 )3 มีค่าเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้

4

ก. −1000

ข. 1000

ค. 2 5 − 5 2

ง. 5 2 − 2 5

ข้อท่ี 7 คา่ ของ 1  เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี ้
ก. -1  8 2 +2 2
(−2)2  32 
+

ข. 1

ค. 3

ง. 5

2

ข้อที่ 8 ถ้า  25 x = 3 27 และ y = 4x แล้ว คา่ ของ y เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้
 9  125

ก. 8
ข. 2
ค. -2
ง. -8

ข้อท่ี 9 ถ้า 9x = 3 และ 16−y = 1 แล้ว ค่าของ x + y เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้

8

ก. 2
ข. 1
ค. -1
ง. -2

ข้อที่ 10 ถ้า 2x+3 − 2x+2 − 2x = 48 แล้ว x มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้

ก. 0
ข. 2
ค. 4

ง. 6

นาย เอกสุวัชร์ มีประเสริฐ ม.6/9 เลขท่ี 25