ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน

จัดทำ โดย นางสาวณัฐธิชา ภิญโญ เลขที่16 ม.5/4 นางสาวชนิกานต์ สุขทอง เลขที่23 ม.5/4 นางสาวธิดารัตน์ แสงเลิศ เลขที่31 ม.5/4 นางสาวนาตาลี ศิริสมบูรณ์ เลขที่32 ม.5/4 นางสาวรินรดา คนรู้ เลขที่34 ม.5/4 เรื่องดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน เสนอ คุณครูทิพวรรณ แซ่ขอ รายงานเล่มนี้เป็นส่วนนึงของรายวิชาคณิตศาสตร์ ภาคเรียนที2 ปีการศึกษา2565 โรงเรียนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จพระศรีนครินทร์ ภูเก็ต ในพระราชูปถัมภ์สมเด็จพระเทพรัตนราชสุดาฯสยามบรมราชกุมารี

คำ นำ คํานํา วิชาคณิตศาสตร์ เป็นวิชาที่สำ คัญยิ่งวิชาหนึ่ง ที่พัฒนาเยาวชนให้เป็นผู้ที่มีความคิดอย่าง เป็น ระบบ สร้างเสริมความคิดในเชิงเหตุผล มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ เป็นบุคคลที่มีเหตุมีผล สามารถคิด วิเคราะห์ สังเคราะห์และแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้อย่างเหมาะสม เอกสารการเรียนการสอนเรื่อง ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน เล่มนี้ผู้รวบรวมได้จัดทำ ขึ้น เพื่อใช้ ในการประกอบการเรียนการสอนในเนื้อหารายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน โดยเนื้อหาตรงตามสาระ และมาตรฐานการเรียนรู้ของกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ในหลักสูตรการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) อนึ่งในเอกสารประกอบ การเรียนการสอนนี้ยัง เพียบพร้อมด้วยเนื้อหา โจทย์ตัวอย่าง เหมาะสำ หรับใช้ในการเรียนการ สอนเพื่อให้มีความคิดรวบยอดที่ ถูกต้องและสามารถนำ ไปใช้เป็นพื้นฐานในการเรียนระดับที่ สูงขึ้นต่อไปได้ ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่าเอกสารประกอบการสอนเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อ ผู้ศึกษาโดยถ้ามี ข้อผิดพลาดประการใด ขออภัยไว้ ณ ที่นี้ด้วย คณะผู้จัดทำ ณัฐธิชา ภิญโญ ชนิกานต์ สุขทอง ธิดารัตน์ แสงเลิศ นาตาลี ศิริสมบูรณ์ รินรดา คนรูั

สารบัญ เรื่อง หน้า ดอกเบี้ย ดอกเบี้ยคงต้น ดอกเบี้ยทบต้น มูลค่าของเงิน ค่ารายงวด 1-3 3-6 8-10 11-14 15-18

ในชีวิตประจำ วัน ครอบครัวนักเรียนอาจจะต้องซื้อสินค้าที่มีราคาสูง มาก เช่น บ้าน รถยนต์ การซื้อสินค้าที่ มีราคาสูงนั้นอาจจะไม่ใช่ชำ ระ เงินทั้งหมดในคราวเดียว ต้องมีการผ่อนชำ ระเป็นงวดๆ เป็นเวลาหลาย ปี ทำ ให้ต้องมี การคิดดอกเบี้ยและคำ นวณค่างวดในการผ่อนชำ ระ แต่ละเดือน ดังนั้น การคิดดอกเบี้ยการแบ่งชำ ระค่างวดเป็นเรื่อง ที่เข้า มาเกี่ยวข้องในชีวิตประจำ วันอยู่เสมอ ในหน่วยการเรียนรู้นี้จะเป็นการ ศึกษาเกี่ยวกับดอกเบี้ย เงินและมูลค่า ของเงิน และค่ารายงวด เพื่อให้ นักเรียนนำ ความรู้ไปวางแผน วิเคราะห์และร่วมกันตัดสินใจทางด้าน การเงินได้เกิด ประสิทธิภาพสูงสุด ดอกเบี้ย (Interest) ในการ ดำ เนินชีวิตทุกครอบครัวมีรายได้หรือภาระค่าใช้จ่ายแตกต่างกัน บาง ครอบครัวอาจประสบกับ สถานการณ์ทางการเงินหลายอย่าง เช่น มีเงิน ออมเก็บไว้โดยไม่ได้ใช้ให้เกิดประโยชน์เพิ่มเติม หรืออาจขาดแคลน เงิน ที่จำ เป็นต้องใช้จ่าย หรือต้องการเงินทุนเพื่อนำ มาลงทุนทางธุรกิจ เพื่อก่อให้เกิดรายได้ที่เพิ่มขึ้นกับครอบครัว หรือ ต้องการเงินเพื่อซื้อรถ ซื้อบ้านหรือสิ่งอำ นวยความสะดวกต่างๆ ซึ่งสถานการณ์เหล่านี้ก่อให้ เกิดการให้ยืมเงินแก่ผู้ จำ เป็นต้องใช้เงิน และการขอยืมเงินจากผู้มีเงิน ออม โดยทั่วๆ ไปแล้วในการให้ยืมเงินนั้นผู้ให้ยืมจะได้รับผล ประโยชน์ ตอบแทนจากเงินที่ให้ยืมไป ซึ่งผลประโยชน์ดังกล่าวนี้เรา เรียกว่า ดอกเบี้ย ดังนั้นความรู้เกี่ยวกับดอกเบี้ยจึงเป็น สิ่งจำ เป็น สำ หรับนักเรียนในการวางแผนการใช้จ่ายในอนาคต ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 1

ความหมาย ราชบัณฑิตยสภา ได้ให้ความหมายของ ดอกเบี้ย ไว้ว่า ดอกเบี้ย คือ ผลประโยชน์ที่บุคคลหนึ่งต้องใช้ให้แก่บุคคลอีกคนหนึ่ง เพื่อการที่ได้ใช้เงินของ บุคคล นั้น หรือเพื่อการไม่ชำ ระหนี้หรือชำ ระหนี้ไม่ถูกต้อง หรือชำ ระหนี้ล่าช้า ทั้งนี้ โดยคำ นวณเป็นรายวัน รายเดือนหรือรายปี จากยอดเงินต้นหรือยอดเงินที่ ต้องชำ ระ เพื่อให้เข้าใจได้ชัดเจนขึ้นและสามารถคำ นวณได้ง่ายขึ้น จึงให้คำ จำ กัด ความของดอกเบี้ย ไว้ดังนี้ ดอกเบี้ย(interest) คือ ผลประโยชน์หรือค่า ตอบแทนที่ผู้กู้จะต้องจ่ายให้แก่ผู้ให้กู้ยืมในช่วงระยะเวลาใด เวลาหนึ่งตามที่ผู้กู้ และให้กู้ยืมได้ตกลงกันไว้ โดยที่จำ นวนเงินที่ให้กู้ยืมเรียกว่า เงินต้น (principal) และค่าตอบแทน จะคิดเป็นอัตราร้อยละต่อหน่วยเวลาเรียกว่า อัตรา ดอกเบี้ย (interest rate) อัตราดอกเบี้ย (interest rate) ในการคำ นวณหา อัตราดอกเบี้ยเงินกู้มักอยู่ในลักษณะร้อยละต่อปี ซึ่งผู้ให้กู้ เช่น ธนาคาร หรือ บริษัทเรียกเก็บจากผู้กู้เพื่อเป็นผลตอบแทนจากการให้กู้ อัตราดอกเบี้ยเงินกู้มี หลายประเภท หลาย อัตรา โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับประเภทของเงินกู้หรือสินเชื่อ ซึ่ง ในที่นี้ผู้ให้กู้หมายถึง สถาบันการเงิน และผู้ประกอบธุรกิจ การเงินที่ไม่ใช่ สถาบันการเงินหรือ non-bank อัตราดอกเบี้ยอ้างอิงของแต่ละธนาคารอาจไม่เท่า กัน เนื่องจากต้นทุนของธนาคารแต่ละแห่งไม่เท่ากันซึ่ง อัตราดอกเบี้ยอ้างอิงจะมี การเปลี่ยนแปลงขึ้นลงในแต่ละช่วงเวลา นอกจากนี้ ในทางปฏิบัติธนาคารมักจะ ใช้ MLR ทั้งลูกค้ารายใหญ่และรายย่อย โดยนักเรียนสามารถหา ข้อมูลอัตรา ดอกเบี้ยดังกล่าวที่ธนาคารพาณิชย์ใช้อยู่ได้จากเว็บไซต์ของธนาคารแต่ละแห่ง และเว็บไซต์ของธนาคาร แห่งประเทศไทย 2

กํารคิดอัตรําดอกเบี้ยของธนําคํารพําณิชย์ มีวิธีกํารคิดต่ํางๆ เช่น 1. MLR(minimumloanrate)หมํายถึงอัตรําดอกเบยี้ที่ธนําคํารพําณิชย์เรียกเก็บจํา กลูกค้ํารํายใหญ่ ชั้นดี โดยส่วนใหญ่ใช้กับเงินกู้ระยะยําวที่มีกําหนดระยะเวลําที่แน่นอน 2. MOR (minimum overdraft rate) หมํายถึง อัตรําดอกเบี้ยที่ธนําคํารพําณิชย์ เรียกเก็บจํากลูกค้ํา รํายใหญ่ชั้นดี ประเภทวงเงินเบิกเกินบัญชี 3. MRR (minimum retail rate) หมํายถึง อัตรําดอกเบี้ยที่ธนําคํารพําณิชย์เรียกเก็บ จํากลูกค้ํารําย ย่อยชั้นดี เช่น สินเชื่อส่วนบุคคล สินเชื่อที่อยู่อําศัย ในหัวข้อนี้จะศึกษําวิธีกํารคิดดอกเบี้ย 2 ประเภท คอื 1. ดอกเบี้ยคงต้น(เชิงเดียว) (simple interest) 2. ดอกเบี้ยทบต้น (compound interest) ดอกเบี้ยคงต้น(เชิงเดียว) คือ ดอกเบี้ยที่กําหนดให้เงินต้นมีค่ําคงที่ตลอดระยะเวลําขอ งกํารฝํากเงิน หรือกํารกู้ยืมเงิน ซึ่งดอกเบี้ยดังกล่ําวจะมีค่ําเท่ํากันทุกปี ตัวอย่ํางอัตรําดอกเบี้ยคงต้น เช่น • ในการกู้ยืมเงินจากธนาคาร ธนาคารกําหนดให้ชําระดอกเบี้ยร้อยละ 7 ต่อปี เป็นเวลํา 10 ปี • ในกํารฝํากเงินในบัญชีประเภทออมทรัพย์ ธนําคํารคิดอัตรําดอกเบี้ยให้ลูกค้ําร้อยละ 0.5 ต่อปี • กํารฝํากเงินในบัญชีประเภทฝํากประจํา24เดือนอําจคิดอัตรําดอกเบี้ยร้อยละ1.75ต่อปี 1. ดอกเบี้ยคงต้น(เชิงเดียว) (Simple Interest) 3

การคํานวณดอกเบี้ยสิ่งที่นักเรียนต้องรู้และเข้ําใจดังนี้ เงินต้น คือ จํานวนเงินลงทุนหรือจํานวนเงินที่ให้กู้ ดอกเบี้ย คือ ค่ําตอบแทนที่บุคคลหนึ่งต้องใช้ใหแ้ ก่บุคคลอีกคนหนึ่งเพื่อทดแทนกําร ยืมเมื่อครบกําหนดเวลํา เงินรวม คือ จํานวนเงินต้นรวมกับดอกเบี้ย การคํานวณดอกเบี้ยสามารถคํานวณได้ ดังนี้ จําก ดอกเบี้ย (interest) = เงินต้น × อัตรําดอกเบี้ย × ระยะเวลําในกํารกู้เงิน จะได้ว่ํา โดยที่ จะได้ว่ํา นั่นคือ S=P+I 2 จํากสมกําร 1 และ 2 จะได้ S =P+Prt หรือ S = P( 1 + rt ) หมายเหตุ : ในหน่วยการเรียนรู้นี้ การฝากเงินกับธนาคารให้ถือว่า ฝากเงินจนครบกํา หนดเวลา โดยไม่มีการถอนเงินออกมาก่อน I = Prt 1 P คือ เงินต้นหรือมูลค่ําปัจจุบัน S คือ เงินรวมหรือมูลค่ําอนําคต t คือ เวลาในการกู้ยืม (หน่วยเป็นปี) r คือ อัตราดอกเบี้ยต่อปี I คือ ดอกเบี้ยคงต้น(เชิงเดียว) เงินรวม =เงินต้น+ดอกเบี้ย 4

ในการคำ นวณดอกเบี้ยคงต้น มีข้อสังเกตที่ควรทราบ ดังนี้ (1) ค่า r เป็นอัตราดอกเบี้ยร้อยละ ดังนั้น การแทนค่าในสูตรจะต้องหารด้วย 100 เสมอ เช่น ถ้ากำ หนดว่า อัตราดอกเบี้ยคือ 15% ก็จะต้องแทนค่า เป็น15/100=0.15 (2) ค่า rและ 1 จะต้องสัมพันธ์กัน เช่น น้ำ r คืออัคราดอกเบี้ยต่อปี t ต้อง ทำ ให้มีหน่วยเป็นปี •ถ้าคืออัตราดอกเบี้ยต่อเตือน ค่า t ก็ต้องทำ ให้มีหน่วยเป็นเดือนด้วย ดังนี้ ทำ t มีหน่วยเป็นเดือน สามารถทำ ให้มีหน่วยเป็นปี ได้ดังนี้ •ถ้า t มีหน่วยเป็นวัน สามารงทำ ให้มีหน่วยป็นปี ได้ทั้งนี้ 5

ตัวอย่าง 1 วีระชาติกู้เงินธนาคารเพื่อลงทุนธุรกิจของครอบครัวเป็นจำ นวนเงิน 200,000 บาท โดยธนาคารคิด อัตราดอกเบี้ยคงต้นที่ร้อยละ 3.5 ต่อปี ถ้าวีระชาติกู้เงิน เป็นเวลานาน 5 ปี เขาต้องจ่ายเงินให้ธนาคาร รวมทั้งหมดเท่าไร เมื่อครบ5ปี ต้องจ่ายเงินในธนาคาร ทั้งสิ้น 235,000 บาท 6

ตัวอย่าง 2 นิธิศฝากเงินกับธนาคารเป็นเงินจำ นวนหนึ่ง ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1.3% ต่อ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบ คงต้น เมื่อสิ้นปีที่ 5 นิธิศได้รับเงินพร้อมดอกเบี้ย ทั้งหมดเป็นเงินจำ นวน 8,520 บาท อยากทราบว่า นิธิศฝากเงินไว้กับ ธนาคารเป็นเงินจำ นวนเท่าใด นิธิศฝากเงินไว้กับธนาคารเป็นเงินจำ นวน8,000บาท 7

หลังจากที่ศึกษาการคิดดอกเบี้ยแบบคงต้นไปแล้ว ต่อไปเราจะศึกษาการคิด ดอกเบี้ยที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น ซึ่งการคิดดอกเบี้ยแบบนี้ระยะเวลาจะถูกแบ่งเป็น งวดๆ และเมื่อถึงกำ หนดการคิดดอกเบี้ยก็ จะมีการคิดดอกเบี้ยของงวดนั้น และนำ ดอกเบี้ยที่ได้มารวมเป็นเงินต้นของงวดถัดไป กรณีนี้ทำ ให้เงินต้นมี จำ นวนมากขึ้น เรื่อยๆ ซึ่งการคิดดอกเบี้ยทบต้นจะกำ หนดเป็นปีละครั้งหรือตามระยะเวลาที่ทำ สัญญาไว้ ดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) หมายถึง ดอกเบี้ยที่กำ หนดให้มี การนำ เอาดอกเบี้ยที่เกิดขึ้น ในแต่ละครั้งที่มีการคิดดอกเบี้ยไปรวมกับเงินต้นเพื่อนำ มาเป็นเงินต้นของงวดถัดไป กล่าวคือ ถ้ามีการคิด ดอกเบี้ยทบต้นไปเรื่อยๆ จะ ทำ ให้เงินต้นของงวดต่อไปมีจำ นวนมากขึ้น คาบเวลาหรืองวด หมายถึง ระยะเวลาของการคิดดอกเบี้ย ซึ่งในวงการธุรกิจ ประเภทต่างๆ นิยมคิด ดอกเบี้ยทบต้นต่อช่วงเวลาที่แตกต่างกัน เช่น อาจจะคิด ดอกเบี้ยทบต้นเป็นปี หรือต่อครึ่งปี หรือต่อเดือน จนไปถึงต่อวันก็ได้ ดังนั้นอัตรา ดอกเบี้ยที่ใช้คิดดอกเบี้ยทบต้น จะเป็นอัตราดอกเบี้ยต่องวด ดอกเบี้ยทบต้น (Compound Interest) 8

สูตรในการคำ นวณเงินรวมเมื่อคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นสามารถหาได้ ดังนี้ โดยที่ เมื่อได้รับอัตราดอกเบี้ย 1% ต่อปี n แทน จํานวนงวด (number of periods) ดังนั้น ได้สูตรการหาเงินรวมเมื่อคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกปี ปีละครั้ง) เมื่อสิ้นงวดที่ 1 คือ S = P(1+r) เมื่อ S แทน จำ นวนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นงวดที่ n (total amount) P แทน จํานวนเงินต้น (principle) r แทน อัตราดอกเบี้ยต่องวด (periodic interest rate) n และ ได้สูตรการหาเงินรวมเมื่อคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ 4 ครั้ง เมื่อสิ้นงวดที่ n คือ S = P(1+ ) r_k kn 9

ตัวอย่าง 7 ฝากเงิน 10,000 บาท กับธนาคารแห่งหนึ่งที่ให้อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ปีละครั้ง จงหาเงินรวมเมื่อฝากเงิน ครบ 10 ปี โดยที่ไม่มีการฝากและถอนเงินในระหว่างนี้ เมื่อฝากเงินครบ10ปี โดยที่ไม่มีการฝากและถอน เงินในระหว่างนี้จะมีเงนประมาณ 13,439.16 บาท 10

เมื่อเวลาเปลี่ยนค่าของเงินก็เปลี่ยนไปตามปัจจัยที่มากระทบ อัตราเงินเฟ้อ เป็นปัจจัยพื้นฐานที่หลีกเลี่ยง ไม่ได้ ซึ่งมูลค่าของเงินจะลดลงตามอัตรา เงินเฟ้อ จะเห็นว่าการอุปโภคบริโภค บางสินค้าแม้ไม่ได้รับการปรับปรุง สินค้า ผลิตภัณฑ์ใดๆ แต่มีราคาขายแพงขึ้น เพราะปัจจัยไม่ได้ขึ้นกับผลิตภัณฑ์ เพียงอย่างเดียวเท่านั้น แต่เป็นเพราะ มูลค่าของเงินที่ลดลงไปเรื่อยตามกาล เวลา และสิ่งที่ช่วยอธิบายคำ ตอบได้ดีที่สุดนั้นคือ มูลค่าเงินตามเวลา (time value of money) คือสิ่งสำ คัญที่เตือนว่า เงินสดที่เราถืออยู่วันนี้จะด้อยค่าลง ตามกาลเวลา หากเราไม่ทำ อะไรเลย หรือเก็บไว้เฉยๆ ในขณะเดียวกันเมื่อมี การบริหารเงินหรือทำ การลงทุนจะมีผลตอบแทนในรูปแบบต่างๆ มาเกี่ยวข้อง เช่น อัตราดอกเบี้ย อัตรากำ ไรเฉลี่ย อัตราเงินปันผล ฯลฯ ทำ ให้มูลค่าของ เงินเปลี่ยนไป 1.เส้นเวลา (Time Line) ในการศึกษาเรื่องมูลค่าของเงินตามเวลา จะให้เส้นเวลาเป็นเครื่องมือเพื่อ แสดงให้เห็นว่ามูลค่าของเงินใน อนาคตจะเกิดขึ้นเมื่อใด และจำ นวนเท่าใด ซึ่งเส้นเวลาจะมีตัวเลขกำ กับอยู่ด้านบนและด้านล่างดังรูป มูลค่าของเงิน (Value of Money) 11

มูลค่าของเงินจะมีการเปลี่ยนแปลงไปตามระยะเวลา ดังนั้น การเปรียบเทียบค่าเงิน ณ เวลาที่ต่างกัน สามารถทำ ได้โดยการแปลงจำ นวนเงินนั้นๆ ให้กลับมาเป็นค่าปัจจุบัน แล้วจึง ทำ การเปรียบเทียบค่าเงิน ณ ปัจจุบัน มูลค่าของเงินตามเวลา (time value of money) จึงเป็น ปัจจัยหนึ่งของการตัดสินใจในการลงทุนโดย มูลค่าของเงินนั้นจะขึ้นอยู่กับปัจจัย 2 ประการ ได้แก่ ระยะเวลา และอัตราดอกเบี้ย และมูลค่าของเงินตามกาลเวลา 1) มูลค่าปัจจุบัน (Present Value) คือ มูลค่าของเงิน ณ ปัจจุบัน ที่เกิดขึ้นในอนาคต และ มีค่าเท่ากับ จำ นวนเงินจำ นวนหนึ่ง ณ ปัจจุบัน ซึ่งการหาค่าเงินปัจจุบันมีกระบวนการคิดตรงกัน ข้ามกับการคิด ทบต้น ซึ่งจะเป็นการคำ นวณเอาดอกเบี้ยออกไปเพื่อให้เหลือเงินเริ่มต้น จะเรียก ว่า การคิดลดค่าเงิน (discounting) เช่น การเปรียบเทียบว่าเงิน 1,000 บาท ณ สิ้นปีที่ 3 กับ เงิน 1,200 บาท ณ สิ้นปีที 5 เงินจำ นวนใดมีค่ามากกว่ากัน ซึ่งสามารถคำ นวณได้จากการคิด ลดค่าเงินเพื่อหามูลค่าปัจจุบันของ เงินทั้งสองจํานวน แล้วจึงนำ มาเปรียบเทียบกัน 2) มูลค่าอนาคต (Future Value) คือ มูลค่าของเงินในอนาคตภายใต้ช่วงเวลา หรืออัตราผล ตอบแทนที ได้กำ หนดไว้ โดยมีกระบวนการเริ่มจากเงินจำ นวนหนึ่ง ณ ปัจจุบัน มีค่าเพิ่มมากขึ้น ในอนาคตจะ เรียกว่า การทบต้นของค่าเงินด้วยตอกเบี้ยที่ได้รับ (compounding) ซึ่งมูลค่าของ เงินในอนาคตจะมี ค่ามากหรือน้อยขึ้นอยู่กับตัวแปรสองตัว คือ อัตราผลตอบแทน แ.ละระยะเวลา มูลค่าของเงิน (Value of Money) 12

สูตรการคำ นวณมูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต ดังนี้ S แทน มูลค่าอนาคตของเงินต้น P P แทน มูลค่าปัจจุบันของเงินรวม เมื่อ r แทน อัตราดอกเบี้ยต่องวด (periodic interest rate) โดยที่ เมื่อได้รับอัตราดอกเบี้ย 1% ต่อปี n แทน จํานวนงวด (number of periods) และ ได้สูตรการหานาน ดอกเบี้ยทบต้นปีละ k ครั้ง เมื่อสิ้นงวด ก คือ หรือ 13

ตัวอย่าง 1 สมใจต้องการใช้เงิน 5,000,000 บาท ในอีก 3 ปีข้างหน้า อยาก ทราบว่า ณ ปัจจุบัน สมใจต้องฝาก เงินกับธนาคารเป็นเงินจำ นวน เท่าใด ถ้าธนาคารให้ดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นต่อปี สมใจต้องนำ เงินประมาณ3,447,046.17 บาท 14

ค่ารายงวด หมายถึง การจ่ายเงินหรือฝากเงินเป็นงวดๆ ติดต่อกันหลายงวด โดยการจ่ายเงินแต่ละงวดมี ระยะเวลาห่างเท่าๆ กัน เช่น การซื้อสินค้าเงินผ่อน การออม เงินแบบฝากประจำ กับธนาคาร การรับหรือจ่ายค่างวด มีลักษณะ 3 ประการ ดังนี้ 1. รับหรือจ่ายเท่ากันทุกงวด 2. รับหรือจ่ายติดต่อกันทุกงวด 3. รับหรือจ่ายตอนต้นงวดหรือสิ้นงวด ค่ารายงวด (Annuity) 1.ค่างวดรับหรือจ่ายตอนต้นงวด (annuities due) พิจารณาการรับหรือจ่ายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน 8 บาท ซึ่งเริ่มรับหรือจ่ายเงินตอนต้นงวด จะได้ เงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ 1 คือ R1 + 1) + R1 + 1) + +R(1+r)" ซึ่ง เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี n พจน์ พจน์แรก คือ R(1 + 1) และ อัตราส่วนร่วม คือ 1 + r 15

2.ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด (ordinary annuities) พิจารณาการรับหรือจ่ายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน 8 บาท ซึ่งเริ่มรับหรือจ่ายเงินตอนสิ้นงวด จะได้ เงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ n คือ R + R1 +r) +R(1+r)² +... +R(1+r)-1 ซึ่ง เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี n พจน์ พจน์แรก คือ R และ อัตราส่วนร่วม คือ 1 + r ตัวอย่าง 1 เพ็ญฝากเงิน 100 บาท เข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดือนเป็นเวลา 2 ปี และได้รับอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก เดือน เมื่อสิ้นปีที่ 2 เพ็ญจะได้เงินรวมเท่าใด เพ็ญจะได้เงินรวมประมาณ2,555.91 บาท 16

3.ค่างวดในการซื้อสินค้าแบบผ่อนชำ าระ อีกตัวอย่างหนึ่งของค่างวดที่พบเห็นได้ทั่วไป คือ ในการซื้อสินค้าแบบ ผ่อนส่ง โดยจะประกอบด้วยสองส่วน คือ เงินดาวน์ ซึ่งจ่ายทันทีเมื่อมี การตกลงซื้อขายกัน และเงินผ่อน ซึ่งจ่ายเป็นรายงวดโดยจ่ายเท่ากันทุก งวดติดต่อกัน จนครบกำ หนด ซึ่งเมื่อนำ เงินดาวน์บวกกับผลรวมของ มูลค่าปัจจุบันของเงินผ่อนแต่ละงวด จะต้องเท่ากับราคาสินค้า เมื่อชื้อ ด้วยเงินสด สำ หรับค่ารายงวดในการซื้อสินค้าแบบผ่อนชำ ระหาได้จากสูตร ต่อไปนี้ เมื่อ S แทน ราคาสินค้า R แทน จํานวนเงินที่ต้องผ่อนส่งในแต่ละงวด n แทน จํานวนงวด 17

พรชัยต้องผ่อนชำ ระค่าโทรศัพท์เดือนละ1,765.77 บาท ตัวอย่าง 1 พรชัยซื้อโทรศัพท์มือถือราคา 20,000 บาท โดยผ่อนส่ง 12 เดือน ดอกเบี้ยร้อยละ 10.8 ต่อปี คิดดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน อยากทราบว่า พรชัยต้องผ่อนชำ ระค่าโทรศัพท์เดือนละเท่าไร 18