6.3 TANGEN

6.3 Tangen Kepada Bulatan

Apakah yang anda faham tentang tangen kepada bulatan? STANDARD
PEMBELAJARAN
Anda telah ketahui bahawa bulatan merupakan satu bentuk yang unik
dan mempunyai banyak ciri yang istimewa. Mengenal dan
memerihalkan tangen
kepada bulatan.

Dalam gambar rajah di sebelah, titik T pada roda hanya akan
menyentuh jalan raya sekali dalam satu pusingan penuh. Jalan raya
berfungsi sebagai tangen kepada roda yang berbentuk bulat dan
titik T ialah titik ketangenan apabila titik T menyentuh jalan raya.

T

P Dalam rajah di sebelah, garis lurus PQ dan RS masing-masing
U X menyentuh bulatan pada titik X dan titik Y. Sementara garis lurus

Q UV melalui titik A dan titik B pada bulatan. Maka,

A S (a) PQ dan RS – Tangen kepada bulatan.
(b) X dan Y – Titik ketangenan bagi PQ dan RS, masing-masing.

B Y (c) UV – Bukan tangen.
VR
(d) A dan B – Bukan titik ketangenan bagi UV.

BAB 6 Tangen kepada bulatan ialah suatu garis lurus yang menyentuh bulatan tersebut pada satu
titik sahaja. Titik sentuhan di antara tangen dengan bulatan ialah titik ketangenan.

Contoh 14

Adakah semua garis lurus dan titik yang ditunjukkan dalam P E Q
GS
rajah di sebelah ialah tangen kepada bulatan dan titik ketangenan? RF

Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

Penyelesaian: T M
UN
PQ dan TU ialah tangen kepada bulatan kerana menyentuh
bulatan hanya pada satu titik. Titik E dan titik U ialah titik
ketangenan bagi PQ dan TU masing-masing.

RS bukan tangen kepada bulatan kerana melalui dua titik pada bulatan. Maka, titik F dan titik G
bukan titik ketangenan bagi RS. MN bukan tangen kepada bulatan kerana akan menyentuh dua

Saiz setibtieknpaadra bulatan jika dipanjangkan. Maka, titik M bukan titik ketangenan.

150

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

UJI MINDA 6.3a

1. Dalam rajah-rajah di bawah, kenal pasti

(i) tangen (ii) titik ketangenan (iii) bukan tangen (iv) bukan titik ketangenan

Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

(a) Q (b) D E
P
A B

GB

RX T F
Y F

H
C
S

Apakah yang anda tahu tentang nilai sudut di antara tangen dengan jejari
bulatan pada titik ketangenan?

Cetu san M inda 7 STANDARD
Berpasangan PEMBELAJARAN
Tujuan: Mengukur sudut di antara tangen dengan jejari bulatan
Kendiri Bperapdasaantgiatink kBeertkaunmgpuelnanan. Membuat dan
ABlealatjaarn: PdieLruiasrianBdiliiknamDiakrjah menentusahkan konjektur
tentang sudut di antara
Langkah: tangen dengan jejari bulatan
pada titik ketangenan.

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk
melukis suatu bulatan (Rajah 1).

2. Klik pada Straightedge Tool untuk BAB 6
melukis satu garis lurus dari pusat
bulatan ke satu titik pada lilitan Rajah 1 Rajah 2
(Rajah 2). Rajah 3
Rajah 4
3. Klik pada Arrow Tool untuk memilih
titik pada lilitan dan garis lurus. Saiz sebenar

4. Klik Construct dan pilih
Perpendicular Line (Rajah 3).

5. Gunakan Point Tool untuk
tandakan titik dan labelkan kesemua
titik tersebut dengan Text tool
sebagai A, B dan C (Rajah 4).

6. Gunakan Selection Arrow Tool
untuk memilih A, B dan C.

151

7. Kl ik pada menu M easure dan pilih Angle. Nilai ∠ABC akan dipaparkan.

8. Ulangi langkah 2 hingga langkah 7 untuk melukis garis tangen di bahagian lain bulatan
dan menentukan sudut di antara tangen dengan jejari pada titik ketangenan.

Perbincangan:
Apakah kesimpulan yang anda boleh buat tentang nilai sudut di antara tangen dengan jejari
pada titik ketangenan?

Hasil daripada Cetusan Minda 7, didapati bahawa;

∠ABC = 90° iaitu sudut di antara tangen dengan jejari yang bersilang pada titik ketangenan
ialah sudut tegak.

Secara generalisasi, Jejari suatu bulatan yang bersilang dengan tangen
kepada bulatan pada titik ketangenan akan membentuk
P 90°.
Tangen

O Titik
ketangenan

Jejari Q

BAB 6 Contoh 15 A C
xB
Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O C
yang bertemu dengan garis lurus ABC pada titik B sahaja. 138° O x
Hitung nilai x.
O
Penyelesaian:

Garis ABC ialah tangen kepada bulatan dan bertemu jejari
bulatan di titik B. Maka, sudut ∠OBA = 90°.

∠ AOB + 138° = 180° x + ∠AOB = 90°
∠AOB = 180° – 138° x = 90° – ∠AOB
= 42° x = 90° – 42°
x = 48°

UJI MINDA 6.3b AB
28°
1. Dalam rajah di sebelah, ABC ialah garis lurus dan O ialah
pusat bulatan. Diberi bahawa AB = OB dan ∠BAO = 28°.
Hitung nilai x.

Saiz sebenar

152

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan
di O. Diberi bahawa ∆OQS ialah segi tiga sama sisi P
dan PQR ialah tangen kepada bulatan. Hitung nilai
y x
(a) x Q O
(b) y
(c) z S
z
3. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan dan R
PQR ialah tangen kepada bulatan. Diberi bahawa
QT = ST dan ∠QTS = 48°. T

Hitung nilai x + y + z. 48°
PO

z x
Qy S

Apakah sifat-sifat berkaitan dua tangen kepada suatu bulatan? R

Cetu san M inda 8 STANDARD BAB 6
Berpasangan PEMBELAJARAN

Tujuan: Menentukan sifat-sifat berkaitan dua tangen kepada Membuat dan
Ke ndiri BseurpaatsuanbguanlatBaenrk.umpulan menentusahkan konjektur
BBaelhajaarn: KdieLrutaars luBkilikisan,Djaarjnahgka lukis, protraktor, pembaris dan pensel. tentang sifat-sifat berkaitan
dengan dua tangen
Langkah: kepada suatu bulatan.

1. Lukiskan suatu bulatan berjejari 3 cm berpusat di O. Lukis satu garis lurus 8 cm dari
pusat O dan labelkan sebagai OA (Rajah 1).

2. Lukiskan satu lagi bulatan berjejari 7 cm dengan titik A sebagai pusat bulatan. Tandakan
titik persilangan kedua-dua bulatan sebagai B dan C (Rajah 2).

3. Lukiskan garis-garis lurus OB, OC, AB dan AC (Rajah 3).

B B
O
O A O A A
3 cm 8 cm 7 cm

CC

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3 Saiz sebenar

153

4. Uk ur dan l engkapk an jadual di bawah. OB Panjang AC
∠AOB ∠AOC ∠OBA ∠OCA ∠OAB ∠OAC OC AB

5. Tampal hasil dapatan kumpulan anda di sudut matematik. Bandingkan jawapan kumpulan
anda dengan kumpulan lain.

Perbincangan:

Apakah kesimpulan anda berkaitan pasangan ∠AOB dan ∠AOC, ∠OBA dan ∠OCA, ∠OAB
dan ∠OAC serta panjang garis OB, OC, AB dan AC?

Hasil daripada Cetusan Minda 8, didapati bahawa;

(a) ∠AOB = ∠AOC, ∠OBA = ∠OCA dan ∠OAB = ∠OAC
(b) Panjang OB = OC dan panjang AB = AC

Secara generalisasi, Jika dua tangen kepada suatu bulatan berpusat di O dengan titik
ketangenan B dan C, masing-masing bertemu pada titik A, maka,
B
A ● BA = CA
O x y ● ∠BOA = ∠COA
x y ● ∠OAB = ∠OAC

C

BAB 6 Contoh 16

Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. P 14 cm Q
Tangen PQ dan RQ bertemu di titik Q. Hitung x
66°
(a) nilai x O y cm
(b) nilai y
(c) panjang jejari bulatan R

Penyelesaian:

(a) Segi tiga ∆OPQ bersudut tegak dan

∆OPQ = 90°.

Maka, x + 66° = 90°

x = 90° – 66°

x = 24°

(b) Panjang PQ = QR = y ( c) tan 24° = —O14P– tan 24°
OP = 14 ×
Saiz se beMnaarka, y = 14 cm
Jejari, OP = 6.233 cm

154

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

UJI MINDA 6.3c Q

1. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berjejari x
S 60° O
5 cm dan berpusat di O. Diberi bahawa PQ dan yP
5 cm
PR ialah tangen kepada bulatan dan ∠QSR = 60°. R

Hitung

(a) nilai x (b) nilai y

(c) panjang PQ (d) panjang OP

2. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan R
O
dengan jejari 3 cm dan ROS ialah garis lurus.
25°
Diberi bahawa ∠ORP = 25° dan PS ialah tangen 3 cm
P
kepada bulatan. Hitung

(a) nilai x (b) panjang PS xS

(c) panjang RS

Apakah hubungan sudut di antara tangen dan STANDARD
perentas dengan sudut dalam tembereng selang-seli PEMBELAJARAN
yang dicangkum oleh perentas tersebut?
Membuat dan
Dalam Rajah 1(a), PQR ialah tangen kepada bulatan. menentusahkan konjektur
∠x ialah sudut di antara perentas QS dengan tangen PQR pada tentang hubungan sudut
tembereng minor. di antara tangen dan
perentas dengan sudut
∠y ialah sudut pada tembereng major atau tembereng dalam tembereng selang
selang-seli yang dicangkum oleh perentas QS. seli yang dicangkum oleh
perentas itu.

S T Tembereng
y major
Dalam Rajah 1(b), O ialah pusat bulatan. OQ dan OS ialah =
jejari bulatan serta PQR ialah tangen kepada bulatan. Maka, BAB 6Tembereng
minor
(a) x + g = 90° P x
g = 90° – x P Q R
e = g
Rajah 1(a)

Gantikan ( c) G y a=nt—i2fkan T
y
(b) f = 180° – 2g 2 S e

f = 180° – 2(90° – x) 1 dalam 2 f ●O
=
g
f = 180° – 180° + 2x yy == —x22x x

f = 2x 1 Q R

Rajah 1(b)

Berdasarkan pernyataan bagi Rajah 1(a) dan Rajah 1(b), kita boleh merumuskan bahawa;

Sβ T ∠x = ∠y dan ∠θ = ∠β kerana sudut di antara perentas
y

dengan tangen bernilai sama dengan sudut pada tembereng

P xθ selang-seli yang dicangkum oleh perentas tersebut. Saiz sebenar
Q
R

155