BAB 1 UBAHAN MS5-11

BAB 1 2. Puan Wardina ingin membeli kacang hijau yang dijual pada harga RMx sekilogram.
Nyatakan harga kacang hijau jika Puan Wardina membeli
(a) 500 g kacang hijau,
(b) 2 kg kacang hijau.

3. Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara masa dengan bilangan botol jem yang
dihasilkan di sebuah kilang.

Masa (minit) 5 10 15 20 25

Bilangan botol 10 20 30 40 50

Nyatakan perubahan pada bilangan botol jem yang dihasilkan apabila
(a) masa bertambah sebanyak dua kali ganda lebih lama,
(b) masa dikurangkan separuh.

Apakah hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu
ubahan langsung?

MobiLIsasi Minda 2 Berkumpulan Menentukan hubungan
antara dua pemboleh
Tujuan: Menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah ubah bagi suatu ubahan
bagi suatu ubahan langsung. langsung.

Langkah:

1. Bahagikan murid kepada 6 kumpulan.

2. Setiap kumpulan memilih satu jenis kadar daripada senarai di bawah.
(a) Kadar tambang teksi mengikut jarak
(b) Kadar tempat letak kereta mengikut jam
(c) Kadar denyutan jantung mengikut minit
(d) Kadar tol mengikut jarak
(e) Kadar muat turun data (Mbps)
(f) Kadar faedah mudah simpanan setahun

3. Dengan melayari Internet, dapatkan maklumat bagi kadar yang dipilih dan lengkapkan
jadual seperti di bawah.

Misalnya, kadar tambang teksi ialah RM1.20 per km.

Jarak yang dilalui, x (km) 2 4 6 8 10

Tambang, y (RM)

y
x

4. Lukis graf y melawan x dengan skala yang sesuai berdasarkan jadual yang diperoleh.
5. Jawab soalan dalam Perbincangan.
6. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda kepada kelas.

4

KPM

BAB 1 Ubahan

Perbincangan: BAB 1

1. Berdasarkan nilai y , apakah kesimpulan yang boleh dibuat?
x

2. Nyatakan bentuk graf yang terhasil.

3. Apakah hubungan antara pemboleh ubah y dengan pemboleh ubah x?

Hasil daripada Mobilisasi Minda 2, didapati bahawa bagi

suatu ubahan langsung,

(a) nilai y ialah pemalar, y Graf y melawan x ialah
x graf dengan pemboleh
ubah y mewakili paksi
(b) graf y melawan x ialah satu garis lurus mencancang dan
pemboleh ubah x
yang melalui asalan, mewakili paksi mengufuk.

(c) pemboleh ubah y berubah secara O x
langsung dengan pemboleh ubah x.

Dalam ubahan langsung, kuantiti y dikatakan berubah secara Buletin Ilmiah
y
langsung dengan x jika dan hanya jika x ialah satu pemalar, Pemalar ialah nilai
sesuatu kuantiti yang
dikenali sebagai pemalar perkadaran, k. tetap atau tidak berubah.

Perkaitan antara nilai k Perkaitan antara nilai k
dengan konsep perkadaran: dengan kecerunan garis lurus
yang melalui asalan:
y y1 y2 y3 y4
x x1 x2 x3 x4 Kecerunan, y
y1 y1
m = x1 Adakah semua nilai
kecerunan mewakili nilai
k= y1 = y2 = y3 = y4 = k O x1 x perkadaran, k? Bincangkan.
x1 x2 x3 x4
Hubungan ubahan
Perkaitan ini hanya benar jika langsung yang ditulis
garis lurus melalui asalan. sebagai ‘y berubah secara
langsung dengan x’ juga
Apabila y berubah secara langsung dengan x, maka hubungan boleh ditulis sebagai ‘x
dan y adalah berkadaran
ini ditulis sebagai y ∝ x. Daripada hubungan ini, nilai pemalar langsung’.

perkadaran k dapat ditentukan, iaitu

k= y  .
x

Bagi suatu ubahan langsung, y berubah secara langsung Simbol ∝ merujuk kepada
dengan x boleh ditulis sebagai ‘adalah berkadaran
dengan’.
y ∝ x (hubungan ubahan)
y = kx (bentuk persamaan)

dengan keadaan k ialah pemalar.

5

KPM

BAB 1 MobiLIsasi Minda 3 Berkumpulan

Tujuan: Menentukan hubungan antara pemboleh ubah y dengan x 2 bagi suatu ubahan
langsung.

Langkah:

1. Diberi satu bulatan dengan jejari, x cm, dan luas, y cm2.

2. Dalam kumpulan, secara bergilir-gilir, lengkapkan jadual di bawah. (Guna π= 22 )
7

Jejari, x (cm) 3.5 7.0 10.5 14.0 17.5

Luas bulatan, y (cm2)

Kuasa dua jejari, x 2 (cm2)

Kuasa tiga jejari, x 3 (cm3)

y
x 2

y
x 3

3. Lukis graf y melawan x 2 dan graf y melawan x 3, dengan menggunakan nilai
penghampiran.

Perbincangan:

1. Bandingkan nilai-nilai bagi y dan y . Apakah kesimpulan yang boleh dibuat?
x 2 x 3

2. Graf yang manakah ialah graf garis lurus yang melalui asalan?

3. Apakah hubungan antara pemboleh ubah y dengan pemboleh ubah x 2?

Hasil daripada Mobilisasi Minda 3, didapati bahawa bagi suatu ubahan langsung,

(a) nilai y ialah pemalar. Oleh itu, k = y  , y
x 2 x 2

(b) graf y melawan x 2 ialah satu garis lurus yang melalui asalan,

(c) pemboleh ubah y berubah secara langsung dengan pemboleh ubah x 2. x2

O

Secara umumnya,

Bagi suatu ubahan langsung, y berubah secara langsung Dalam Mobilisasi Minda 3,
dengan x n, boleh ditulis sebagai
apakah perkaitan antara
y
y ∝ x n (hubungan ubahan) dengan keadaan nilai π dengan x 2 ?
y = k x n (bentuk persamaan)
n = 1, 2, 3, 1 , 1 dan
2 3

k ialah pemalar.

Graf y melawan x n ialah satu garis lurus yang melalui asalan y ∝ x adalah benar jika
dengan k ialah kecerunan garis lurus. dan hanya jika n = 1.

6

KPM

BAB 1 Ubahan

Contoh 2 BAB 1

Sebuah kereta mainan bergerak daripada keadaan pegun. Jarak
yang dilalui oleh kereta mainan itu, y, berubah dengan masa, t,
seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.

Masa, t (s) 2 4 6 8 10 12 Apabila y = 3x2, y tidak
Jarak, y (cm) 14 28 42 56 70 84 berubah secara langsung
dengan x. Bincangkan.

Tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan t atau t 2. Seterusnya, tuliskan
hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.

Penyelesaian:

t 2 4 6 8 10 12

y 14 28 42 56 70 84

y 14 = 7 28 = 7 42 =7 56 = 7 70 = 7 84 = 7
t 2 4 6 8 10 12

y 14 = 3.50 28 = 1.75 42 = 1.17 56 = 0.88 70 = 0.70 84 = 0.58
t 2 22 42 62 82 102 122

y berubah secara langsung dengan t kerana nilai y ialah pemalar. Maka, y ∝ t.
t
y
y tidak berubah secara langsung dengan t 2 kerana nilai t 2 bukan pemalar.

Contoh 3 (b) Dengan melukis graf y melawan x 2,
tentukan sama ada y berubah secara
(a) Dengan melukis graf y melawan x, langsung dengan x 2 atau tidak.
tentukan sama ada y berubah secara
langsung dengan x atau tidak.

x 0.4 0.8 1.2 x2 3 4 5

y 1.5 2.0 2.5 y 8 18 32 50

Penyelesaian: (b) y x2 x2 y
(a) y 48
50 9 18
2.5 40 16 32
2.0 30 25 50
1.5 Garis lurus 20
1.0 tidak melalui 10
0.5 asalan.
O 5 10 15 20 25
O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x
Garis lurus melalui asalan.
Maka, y tidak berubah secara
langsung dengan x. Maka, y berubah secara langsung
dengan x 2.
7

KPM

BAB 1 Contoh 4

Diberi m = 0.8 apabila n = 0.125. Ungkapkan m dalam sebutan Dalam graf Contoh 3(a),
n jika mengapakah y tidak berubah
(a) m berubah secara langsung dengan n, secara langsung dengan x?
(b) m berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga n.

Penyelesaian:

(a) m ∝ n Tuliskan hubungan (b) m ∝ 3n (i) y berubah secara
m = kn dalam bentuk m = k 3n langsung dengan x,
persamaan.
y∝x
0.8 = k (0.125) Gantikan nilai m 0.8 = k (30.125) (ii) y berubah secara
dan nilai n ke dalam
k = 0.8 0.8 langsung dengan
0.125 persamaan untuk k = 30.125 kuasa dua x,
y ∝ x2
mendapatkan nilai k. (iii) y berubah secara
langsung dengan
= 6.4 = 1.6 kuasa tiga x,
Maka, m = 6.4n Maka, m = 1.6 3n   y ∝ x3
(iv) y berubah secara
Contoh 5 langsung dengan
punca kuya∝saxdua x,
Pemanjangan spring, x cm, berubah secara langsung dengan (v) y berubah secara
jisim pemberat, w g, yang ditanggungnya. Diberi bahawa langsung dengan
pemanjangan spring ialah 3 cm apabila diletakkan pemberat punca kuasa tiga x,
sebanyak 200 g. Ungkapkan x dalam sebutan w. y ∝ 3x

Penyelesaian:

x ∝ w Tuliskan hubungan dalam bentuk persamaan.
x = kw

3 = k (200)

k = 3 Gantikan nilai x dan nilai w ke dalam
200 persamaan untuk mendapatkan nilai k.
Robert Hooke (1635-1703),
= 0.015 seorang saintis British telah
memperkenalkan Hukum
Maka, x = 0.015w Hooke pada tahun 1676
yang menyatakan bahawa
Contoh 6 pemanjangan suatu
bahan kenyal adalah
Diberi y berubah secara langsung dengan x. Jika y = 0.14 berkadar langsung dengan
daya regangan yang
apabila x = 0.2, hitung nilai bertindak, selagi tidak
melepasi had kenyal.
(a) y apabila x = 5, (b) x apabila y = 0.875 .

Penyelesaian:

y ∝ x (a) Apabila x = 5, (b) Apabila y = 0.875,
y = kx y = 0.7(5) 0.875 = 0.7x
0.14 = k (0.2)
= 3.5 x = 0.875
0.7
k = 0.14
0.2 = 1.25

= 0.7

Maka, y = 0.7x

8

KPM

BAB 1 Ubahan

Contoh 7 BAB 1

Luas, L cm2, satu semi bulatan berubah secara langsung 2.8 cm d cm
dengan kuasa dua diameternya, d cm. Diberi luas semi 3.08 cm2 19.25 cm2
bulatan itu ialah 3.08 cm2 apabila diameternya ialah
2.8 cm. Hitung nilai d apabila L = 19.25 .

Penyelesaian:

L ∝ d 2 Langkah Alternatif:

L = kd  2 Menggunakan konsep perkadaran:
3.08 = k (2.8) 2
Diberi L1 = 3.08, d1 = 2.8 dan L2 = 19.25
k = 3.08
(2.8) 2 L1 L2
(d1) 2 = (d2) 2
11
= 28 3.08 19.25
2.8­2 (d2) 2
Maka, L = 11  d 2 =
28
19.25 × 2.82
Apabila L = 19.25, (d2) 2 = 3.08

19.25 = 11  d  2 d2 = 49  
28 = 7 cm

d 2 = 19.25 × 28
11

d = 49  

= 7 cm

Contoh 8

Tempoh ayunan, A saat, bagi satu bandul ringkas berubah secara langsung dengan punca
kuasa dua panjang benang, p cm. Diberi bahawa satu bandul ringkas dengan panjang
benangnya ialah 9 cm mempunyai tempoh ayunan sebanyak 1.2 saat. Hitung tempoh ayunan
dalam saat, jika panjang benang ialah 25 cm.

Penyelesaian: Langkah Alternatif:
A ∝ p
Menggunakan konsep perkadaran:
A = kp

1.2 = k9 Diberi A1 = 1.2, p1 = 9 dan p2 = 25

k = 1.2 A1 = A2
9 p1 p2

= 0.4 1.2 = A2
Maka, A = 0.4p   9 25 

Apabila p = 25, A2 = 1.2 × 25 
9
A = 0.425
= 2 saat
= 2 saat

9

KPM

BAB 1 Latih Kendiri 1.1b

1. Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y.

(a) Tentukan sama ada y berubah (b) Tentukan sama ada y berubah

secara langsung dengan x atau sexc.aKraemlaundgisaunn,gtudleisnkgaann x atau
x3. Kemudian, tuliskan hubungan hubungan

tersebut dalam bentuk ubahan. tersebut dalam bentuk ubahan.

x12345 x 4 9 25 36 49
y 2.5 5 7.5 10 12.5 y 0.6 0.9 1.5 1.8 2.1

2. Spring digantung dengan beban. Jadual Jisim beban, x (g) 5 10 15 25 30
di sebelah menunjukkan jisim beban, x g
dengan pemanjangan spring, p cm. Dengan Pemanjangan spring, 1 2 3 5 6
melukis graf p melawan x, tentukan sama p (cm)
ada p berubah secara langsung dengan x
atau tidak.

3. Diberi p = 32 apabila q = 4. Ungkapkan p dalam sebutan q jika
(a) p berubah secara langsung dengan q3,
(b) p berubah secara langsung dengan punca kuasa dua q.

4. Gaji, RMx, yang diperoleh seorang pekerja berubah secara langsung dengan jumlah masa
bekerja, t jam. Diberi bahawa seorang pekerja telah menerima gaji sebanyak RM112
selepas bekerja selama 14 jam. Tuliskan persamaan yang menghubungkan x dengan t.

5. Diberi y = 1.8 apabila x = 0.6, hitung nilai y apabila x = 5 jika
(a) y ∝ x,
(b) y ∝ x 2.

6. Diberi s berubah secara langsung dengan t—13 . Jika s = 1.2 apabila t = 27, hitung nilai

(a) s apabila t = 64,
(b) t apabila s = 0.28.

7. Bilangan patah perkataan yang ditaip, a, oleh Saiful berubah secara langsung dengan
masa menaip, t minit. Jika Saiful menaip 270 patah perkataan dalam masa 6 minit,
hitung masa yang digunakan olehnya untuk menaip 675 patah perkataan.

8. Sebuah objek jatuh dari ketinggian, h m, berubah secara langsung dengan kuasa dua
masanya, t s di planet Q. Diberi bahawa objek itu jatuh dari ketinggian 5 m dalam masa
2 s, hitung masa yang diambil dalam saat, oleh objek itu jatuh pada ketinggian 45 m di
planet itu.

9. Diberi isi padu cat, x liter, berubah secara langsung dengan luas dinding, d m2. Jika 3 liter
cat boleh mengecat 36 m2 dinding,
(a) ungkapkan persamaan dalam sebutan x dan d,
(b) hitung isi padu cat dalam liter, yang diperlukan untuk mengecat dinding dengan
tinggi 9 m dan lebar 5 m.

10

KPM