GABUNGAN TRANSFORMASI

BAB 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi

3. Dalam rajah di sebelah, pentagon ACDEF ialah imej bagi AGF
pentagon ABKHG di bawah suatu pembesaran dengan bucu
A merupakan pusat pembesaran. Diberi bahawa B ialah titik B H
tengah sisi AC dan luas bagi pentagon ABKHG ialah 17 cm2. CK
Hitung luas dalam cm2 kawasan berwarna. E

4. Rajah di sebelah menunjukkan lencana berbentuk bulatan yang D
digunakan dalam suatu program perlindungan alam sekitar yang 8 cm
dilancarkan oleh Persatuan Alam Sekitar. Persatuan ini ingin
melukis mural pada dinding sebuah bangunan menggunakan
transformasi pembesaran ke atas lencana tersebut. Diberi
bahawa luas lukisan mural itu ialah 4π m2, berapakah faktor
skala bagi pembesaran itu?

5.3 Gabungan Transformasi

Bagaimanakah menentukan imej dan objek bagi suatu Menentukan imej BAB 5
gabungan transformasi? dan objek bagi suatu
gabungan transformasi.
Kita telah mempelajari 4 jenis transformasi seperti ditunjukkan
dalam contoh-contoh di bawah dengan P9 ialah imej bagi P di
bawah transformasi yang dinyatakan.

Translasi Pantulan Putaran Pembesaran

1 2Translasi4 Pantulan pada garis Putaran 90° lawan Pembesaran pada
–3 x=5 arah jam pada pusat pusat (1, 9) dengan
(6, 5) faktor skala 3

y y x=5 y (6, 5) y (1, 9)
8 4 unit 8 8
6 P 3 unit 8 6P
P PЈ P 4
4 PЈ 6 2
6
4 O 24
4

2 2 2 PЈ PЈ
x
O x O x O x
2468 2468 2468 68

149

KPM

Untuk menentukan objek apabila imej diberi, transformasi
translasi perlu dilakukan secara arah bertentangan contohnya

1 2 1 2translasi2 –2 . transformasi putaran, Mengapakah transformasi
– 4 menjadi 4 Bagi pantulan tidak berubah
seperti tiga transformasi
contohnya putaran ikut arah jam akan menjadi putaran lawan lain apabila mencari objek
jika imej diberi?
arah jam. Bagi transformasi pembesaran, contohnya pembesaran

dengan faktor skala k = 2 akan menjadi salingan iaitu

pembesaran dengan faktor skala k = 1  .
2

Suatu objek boleh dilakukan lebih daripada satu transformasi dan akan menghasilkan
imej berdasarkan transformasi yang terlibat. Secara umumnya, gabungan transformasi A dan
transformasi B boleh ditulis sebagai transformasi AB atau transformasi BA mengikut tertib
transformasi yang dikehendaki.

Gabungan transformasi AB bermaksud transformasi B diikuti dengan transformasi A.

Rajah di bawah menunjukkan langkah-langkah untuk menentukan imej atau objek bagi
suatu gabungan transformasi AB.

Lakukan Imej pertama Lakukan
transformasi B di bawah transformasi A

transformasi B

BAB 5 Objek Imej

Tentukan objek di Objek bagi Tentukan objek di
bawah transformasi B imej di bawah bawah transformasi A
transformasi A

Contoh 15 y
10

Rajah di sebelah menunjukkan beberapa segi 8

tiga dilukis pada satah Cartes. Diberi bahawa 6
S
transformasi T
A4
1 2P = translasi3 2 U
1 8 10

Q = putaran 90° lawan arah jam pada pusat –10 –8 –6 –4 –2 O 2 46 x
(3, 4) –2 X
W
R = pembesaran pada pusat (8, 0) dengan –4
faktor skala 2 –6

Tentukan imej bagi segi tiga A di bawah V –8
gabungan transformasi –10

(a) P2 (b) RQ

150

KPM

BAB 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi

Penyelesaian:

(a) Gabungan transformasi P2 bermaksud transformasi P berlaku 2 kali secara berturutan.

y

10 A9 ialah imej bagi A di bawah transformasi P.
8 A 0 ialah imej bagi A9 di bawah transformasi P.

6 A P A9 P A 0
A 4 AЈ AЉ
x Imej bagi segi tiga A di bawah gabungan
2 8 10 transformasi P2 ialah segi tiga T.
– 10 – 8 – 6 – 4 –2 O 2 4 6

(b) Gabungan transformasi RQ bermaksud transformasi Q diikuti transformasi R.

y
10

8

6
(3, 4)
A 4 A9 ialah imej bagi A di bawah transformasi Q.
A 0 ialah imej bagi A9 di bawah transformasi R.

2 (8, 0) A Q A9 R
x
–10 –8 – 6 – 4 –2 O A 0
2 4 6 8 10
–2 AЈ
AЉ Imej bagi segi tiga A di bawah gabungan
–4 transformasi RQ ialah segi tiga W.
BAB 5
–6

–8

–10

Contoh 16 y
10

Dalam rajah di sebelah, trapezium G 0 ialah imej 8 CD
bagi suatu objek di bawah gabungan transformasi. A6
Diberi bahawa transformasi
4
T = pembesaran pada pusat (1, 4) dengan faktor

skala –2 B2

V = putaran 180° pada asalan –8 –6 –4 –2 O 2 4 6 8 10 12 x
W = pantulan pada garis y = 1 E –2

Tentukan objek bagi trapezium G 0 di bawah –4 GЉ
gabungan transformasi F –6

(a) WV (b) VT –8

–10

151

KPM

Penyelesaian:

(a) Diberi imej untuk mencari objek, maka transformasi W diikuti transformasi V.

y

10

8

6 GЈ G 9 ialah objek bagi G 0 di bawah transformasi W.
4 G ialah objek bagi G9 di bawah transformasi V.
2
y=1 G 0 W G9 V G
–8 –6 –4 –2 O
–2 x
–4 2 4 6 8 10 12

Objek bagi trapezium G 0 di bawah gabungan

GЉ transformasi WV ialah trapezium F.

G –6

–8

–10

(b) Diberi imej untuk mencari objek, maka transformasi V diikuti transformasi T.

y

8
G 9 ialah objek bagi G 0 di bawah transformasi V.

6 G ialah objek bagi G9 di bawah transformasi T.

GЈ 4 G G 0 V G9 T G

BAB 5 2 (1, 4)

–8 –6 –4 –2 O 2 46 x Untuk menentukan objek G di bawah transformasi
–2 GЉ 8 10 12
–4 1
–6 T, lakukan pembesaran dengan faktor skala k = – 2
–8 pada imej G9.

Objek bagi trapezium G 0 di bawah gabungan
transformasi VT ialah trapezium C.

Contoh 17

Rajah di sebelah menunjukkan titik P dan titik Q y
10
pada satah Cartes. Diberi bahawa transformasi 8 Q
6 24
1 2A = translasi–5 4
2 2

B = pantulan pada garis y = x –2 O P
C = putaran 90° ikut arah jam pada pusat (5, 8) x

(a) Tentukan imej bagi titik P di bawah gabungan 6 8 10
transformasi

(i) AB (ii) BC

(b) Diberi bahawa titik Q ialah imej bagi titik K di
bawah transformasi CA. Tentukan titik K.

152

KPM

BAB 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi

Penyelesaian:

(a) (i) Gabungan transformasi AB bermaksud transformasi B diikuti transformasi A.

y

10 y = x

PЉ(–1, 8) 8 PЈ P9 ialah imej bagi P di bawah transformasi B.
2 unit 5 unit P 0 ialah imej bagi P9 di bawah transformasi A.
6
P B P9 A P 0
4
P

2 Maka, imej bagi titik P di bawah gabungan
transformasi AB ialah P 0(–1, 8).

–2 O x
2 4 6 8 10

(ii) Gabungan transformasi BC bermaksud transformasi C diikuti transformasi B.

y

10 y=x P9 ialah imej bagi P di bawah transformasi C.
8 (5, 8) P 0 ialah imej bagi P9 di bawah transformasi B.
6 PЈ
4 P C P9 B P 0
2
P

PЉ(7, 1) Maka, imej bagi titik P di bawah gabungan BAB 5
468 transformasi BC ialah P 0(7, 1).

–2 O 2 x
10

(b) Diberi imej untuk mencari objek, maka transformasi C diikuti transformasi A.

y

10 Q Untuk menentukan objek

8 (5, 8) K9 di bawah transformasi Semasa menentukan
C, lakukan putaran lawan objek, tertib transformasi
dipertimbangkan secara
6 5 unit arah jam pada imej Q. songsang dengan
Untuk menentukan objek tertib menentukan imej
di bawah gabungan
KЈ 2 unit K di bawah transformasi transformasi yang sama.
K (9, 3)
1 24 5
–2
2
A, lakukan translasi

pada imej K9.

–2 O x
2 4 6 8 10

K9 ialah objek bagi Q di bawah transformasi C.
K ialah objek bagi K9 di bawah transformasi A.

Q C K9 A K

Maka, K(9, 3)

153

KPM

Latih Kendiri 5.3a

1. Rajah di sebelah menunjukkan beberapa y
pentagon dilukis pada suatu satah Cartes. 10
Diberi bahawa transformasi 8 III
6
A = pantulan pada garis y = x
I4
B = putaran 180° pada pusat (1, 0) 2 J
x
C = pembesaran pada pusat (6, 7) dengan
3 4 6 8 10 12
faktor skala 2 –8 –6 –4 –2 O 2 IV
–2
Tentukan imej bagi pentagon J di bawah –4
gabungan transformasi
(a) AB II –6
(b) CA –8

2. Dalam rajah di sebelah, segi tiga bersudut tegak y R
N ialah imej bagi suatu objek di bawah gabungan 10
transformasi. Diberi bahawa transformasi
8
1 2A = translasi3 N
2 6

BAB 5 B = putaran 270° ikut arah jam pada pusat (6, 5) 4 Q T

C = pantulan pada garis x + y = 6 U

Tentukan objek bagi segi tiga N di bawah 2 S 8 x
gabungan transformasi P 46 10
(a) AC
(b) BA O2

3. Diberi bahawa transformasi y
10
1 2U = translasi4
–1 G
T8
V = pantulan pada garis x = 1 H
W = putaran 90° lawan arah jam pada pusat C 6E
(5, 5) A D4
B 2F

Rajah di sebelah menunjukkan beberapa titik –8 –6 –4 –2 O x
2 4 6 8 10

dilukis pada suatu satah Cartes.

(a) Tentukan imej bagi titik T di bawah gabungan transformasi
(i) U2
(ii) WV

(b) Diberi H ialah imej bagi suatu titik di bawah transformasi UV. Tentukan titik itu.

154

KPM