RANGKAIAN DALAM TEORI GRAF MS 135-138

Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf

Apakah beza antara graf terarah dengan graf tak terarah? Standard
Pembelajaran
Graf terarah ialah graf dengan keadaan tepi yang mengaitkan dua bucu
ditanda dengan arah kaitan. Graf terarah biasanya digunakan untuk Membanding beza
mewakilkan aliran suatu proses, peta jalan raya, peta penerbangan, litar ● Graf terarah dengan
elektrik, rangkaian komputer, carta organisasi dan sebagainya.
graf tak terarah.

● Graf berpemberat
dengan graf tak
berpemberat.

B ZON INTERAKTIF

> Sistem peredaran darah
dalam badan manusia
juga dikategorikan
sebagai graf terarah.
Mengapa?
A > >
>>
Rajah 1 C
BAB 5
Rajah 1 menunjukkan suatu graf mudah dan terarah. ZON INTERAKTIF
Mengikut arah anak panah yang ditandakan, didapati bahawa,
Bagi rangkaian
(a) bagi tepi AB, bucu A ialah bucu awal dan bucu B ialah bucu akhir. tenaga elektrik, stesen
jana kuasa, stesen
(b) bagi tepi BC, bucu C ialah bucu awal dan bucu B ialah bucu akhir. transformer, pencawang
serta pengguna ialah
(c) semua bucu dikaitkan dengan satu arah sahaja. bucu dan kabel serta
wayar berperanan
P> e1> Q e2 sebagai tepi. Adakah
e5 e4 rangkaian tenaga elektrik
R e3 merupakan graf terarah
atau graf tak terarah?
Bincangkan.

Rajah 2

Rajah 2 menunjukkan graf terarah yang mempunyai gelung dan berbilang tepi. Mengikut arah anak
panah yang ditandakan, didapati bahawa,

(a) e4 = (P, R); P ialah bucu awal dan R ialah bucu akhir.
(b) e5 = (R, P); R ialah bucu awal dan P ialah bucu akhir.
(c) e2 = (Q, Q); Q ialah bucu awal dan bucu akhir kerana e2 merupakan sebuah gelung.

Graf tak terarah ialah graf mudah atau graf yang mempunyai gelung dan berbilang tepi yang
dilukis tanpa penandaan arah pada tepi yang mengkaitkan dua bucu.

Saiz sebenar

135

Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf

Beza antara graf terarah dengan graf tak terarah.

Jenis Graf Graf Set V dan Set E Darjah
V = {A, B, C, D} d(A) = 2, d(B) = 2,
Graf tak terarah d(C) = 3, d(D) = 1
E = {(A, B), (A, C), Σd(V) = 8
AD (B, C), (C, D)}

BC Penulisan kedudukan pasangan
bucu adalah bebas. Kedua-dua
Graf terarah
pasangan bucu (A, B) atau
AD (B, A) boleh mewakili tepi AB.

Graf mudah B >C > V = {A, B, C, D} din (A) = 2 dan
BAB 5 > E = {(B, A), (C, A), dout (A) = 0
Graf tak terarah (B, C), (D, C)} Maka, d(A) = 2 + 0
> d(A) = 2
> R Penulisan kedudukan pasangan
PQ bucu adalah mengikut arah din (A) bermaksud
pada tepi. (B, A) dan (A, B) bilangan darjah bagi tepi
ialah set pasangan bucu yang yang masuk ke bucu A.
dout (A) bermaksud
mewakili tepi yang berlainan. bilangan darjah bagi tepi
yang keluar dari bucu A.
V = {P, Q, R, S, T}
E = {(P, T), (P, Q), (Q, R), din (B) = 0, dout (B) = 2
(Q, R), (Q, S), (S, T),
(T, T)} din (C) = 2, dout (C) = 1

din (D) = 0, dout (D) = 1

Σd(V) = 8

d(P) = 2, d(Q) = 4
d(R) = 2, d(S) = 2
d(T) = 4
Σd(V) = 14

Graf yang TS V = {P, Q, R, S, T} din (P) = 1, dout (P) = 1
mempunyai din (Q) = 3, dout (Q) = 1
gelung dan Graf terarah E = {(P, Q), (Q, R), (R, Q), din (R) = 1, dout (R) = 1
berbilang (S, Q), (T, S), (T, T), din (S) = 1, dout (S) = 1
R din (T) = 1, dout (T) = 3
tepi (T, P)}
P > Q> Gelung = 1 Gelung = 1
Saiz sebenar (T, P) = 1
T> S (T, S) = 1
136 >
>

}

}

Σd(V) = 14

Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf

Apakah beza antara graf berpemberat dengan graf tak berpemberat?

Jenis Graf berpemberat Graf tak berpemberat
graf Graf terarah dan graf tak terarah. Graf terarah dan graf tak terarah.
Diberi nilai atau pemberat. Tiada nilai atau pemberat yang dinyatakan.
Tepi

Contoh Tepi mewakili: Tepi mengaitkan maklumat:

• jarak di antara dua bandar. • hierarki jawatan dalam carta organisasi.
• masa yang diambil untuk suatu gerakan. • peta alir.
• nilai arus suatu litar elektrik. • peta pokok.
• kos dan sebagainya. • peta buih.

Contoh 7

Lukis graf terarah mengikut maklumat yang diberikan. ZON INFORMASI

(a) V = {P, Q, R, S, T, U} (b) Mempunyai satu gelung pada bucu Bagi contoh 7(a) bucu BAB 5
Q dan RS ialah berbilang tepi dengan U wujud dalam set V
E = {(P, Q), (P, R), keadaan tetapi tidak dalam set
(R, Q), (S, R), E. Hal ini bermakna
(S, Q), (S, T)} din (P) = 1, dout (P) = 1 bucu U tidak berkaitan
din (Q) = 3, dout (Q) = 2 dengan bucu-bucu lain
din (R) = 0, dout (R) = 3 dan dikenali sebagai
din (S) = 3, dout (S) = 1 bucu terpencil.

Penyelesaian: >R

(a) Pasangan bucu Arah >

(P, Q) }P ke Q Dua tepi dari bucu P P S
(P, R) Satu tepi dari bucu R Q
P ke R UT
Tiga tepi dari bucu S
(R, Q) R ke Q Bucu T hanya berkaitan dengan bucu S > >
(S, R) >>>
(S, Q) }S ke R
(S, T)
S ke Q

S ke T

(b) Jumlah bucu = 4 Q RS – berbilang tepi, Lengkapkan graf mengikut
Gelung pada bucu Q. bilangan tepi yang masuk
dan keluar pada setiap bucu.

P PQ P >Q

> >
>

SR SR S> R Saiz sebenar

137

Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf

Contoh 8 Mula
v1 500 m
Rajah di sebelah menunjukkan pilihan laluan sehala Izarul untuk
menjalankan latihan larian. Bucu v1 ialah tempat permulaan v3
dan bucu v5 ialah tempat terakhir sebelum dia balik ke rumah. 500 m
Tentukan, v4
BAB 5 900 m
600 m 800 m
(a) jarak laluan sehala yang terpendek, dari v1 ke v5. v2
(b) jarak laluan sehala yang terpanjang, dari v1 ke v5.
(c) bucu-bucu yang perlu dilalui jika jarak larian sehala adalah di 500 m
antara 1.4 km hingga 2.1 km. 500 m
v5
Penyelesaian: Tamat

(a) Laluan sehala terpendek (b) Laluan sehala terpanjang (c) v1, v3, v4, v5
=v1  v2  v5 = v1  v2  v3  v4  v5 dan
= (600 + 500) m = (600 + 900 + 500 + 500) m v1, v2, v4, v5
= 1 100 m = 2 500 m
= 1.1 km = 2.5 km

Praktis Kendiri 5.1b

1. Nyatakan dua perbezaan antara graf terarah dengan graf tak terarah.

2. Apakah maksud pemberat pada graf berpemberat?

3. Lukis graf terarah mengikut maklumat yang diberikan.

(a) V = {P, Q, R, S, T, U, V}
E = {(P, Q), (Q, R), (Q, S), (S, P), (S, R), (S, T), (U, T)}

(b) (i) Mempunyai satu gelung pada bucu Q dan (iii) din (P) = 0, dout (P) = 2
satu gelung pada bucu S. din (Q) = 4, dout (Q) = 2
(ii) QS ialah berbilang tepi. din (R) = 0, dout (R) = 2
din (S) = 4, dout (S) = 2

4. (a) Berdasarkan maklumat dalam Jadual 1 dan Jadual 2, lengkapkan graf berpemberat dan tak
terarah yang diberikan.

Nama tempat Bucu Pasangan bucu Pemberat (km)

Kuala Pilah KP (J, B) 11.6

Bahau B (KP, R) 40 JB
Rompin R (B, R) 20.7 KP
Batu Kikir BK (B, BK) 11.4

Juasseh J (BK, J) 6.6

(KP, J) 9.3

Jadual 1 Jadual 2 Graf tidak lengkap

(b) Encik Benny dan Encik Muruges memandu kereta masing-masing dari Kuala Pilah ke
Rompin dengan keadaan:

(i) Encik Benny memandu mengikut jarak terpendek.
(ii) Encik Muruges memandu melalui Juasseh dan Bahau.

Saiz se be narEH nitcuinkgMbuezruagjaersa. k, dalam km, perjalanan dari Kuala Pilah ke Rompin oleh Encik Benny dan

138