เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมพิเศษ1

เรอื่ ง เซต

1. เซต

เปน็ คำท่ใี ช้บ่งบอกถึงกลุ่มของส่งิ ต่าง ๆ และเม่ือกล่าวถึงกลุ่มใดแลว้ สามารถทราบได้แน่นอนว่า
สง่ิ ใดอยใู่ นกล่มุ และสิ่งใดไมอ่ ยู่ในกล่มุ เชน่

เซตของสระในภาษาอังกฤษ หมายถงึ กลุ่มของอักษร a, e, i, o และ u
เซตของจำนวนนับทนี่ ้อยกวา่ 10 หมายถึง กลุ่มของตวั เลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9
***ส่ิงทีอ่ ยใู่ นเซต เรยี กว่า สมาชิก (element หรอื members)***

2. การเขียนเซต

การเขียนเซตอาจเขียนไดส้ องแบบ คอื

2.1 การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular From) โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงใน

เคร่อื งหมายวงเลบ็ ปีกกา และใช้เคร่อื งหมายจลุ ภาค ( , ) ค่นั ระหวา่ งสมาชิกแตล่ ะตวั เช่น
เซตของจำนวนนบั ทน่ี อ้ ยกว่า 7 เขียนแทนดว้ ย {1, 2, 3, 4, 5, 6}
เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนดว้ ย {ก, ข, ฃ, ค, ฅ}
เซตของจำนวนคตู่ ั้งแต่ 2 ถึง 10 เขียนแทนดว้ ย {2, 4, 6, 8, 10}

2.2 เขยี นเซตแบบบอกเง่อื นไข (Builder Form) ใชต้ วั แปรเขียนแทนสมาชกิ ของเซต

แลว้ บรรยายสมบัติของสมาชิกทอ่ี ยู่ในรปู ของตวั แปร เชน่
{x | x เปน็ สระในภาษาองั กฤษ }
อ่านวา่ เซตของ x โดยที่ x เปน็ สระในภาษาอังกฤษ
{x | x เปน็ เดอื นแรกและเดือนสดุ ท้ายของปี }
อา่ นวา่ เซตของ x โดยที่ x เปน็ เดือนแรกและเดือนสดุ ท้ายของปี
เคร่อื งหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่

ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนนั้ จะใชจ้ ดุ สามจุด ( . . . ) เพ่อื แสดงว่ามีสมาชิกอื่น ๆ ซ่งึ เปน็ ที่
เขา้ ใจกนั ท่ัวไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต เชน่

{1, 2, 3, . . ., 10} สัญลักษณ์ . . . แสดงวา่ มี 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เป็นสมาชิกของเซต
{วนั จนั ทร์, อังคาร, พธุ , . . ., อาทติ ย์ } สัญลกั ษณ์ . . . แสดงวา่ มีวันพฤหัสบดี วนั ศกุ ร์
และวนั เสาร์ เปน็ สมาชิกของเซต

3. สัญลักษณ์แทนเซต

ในการเขยี นเซตโดยทว่ั ไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาองั กฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C และแทน
สมาชิกของเซตด้วยตวั พิมพ์เล็ก เช่น a, b, c เช่น

A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} หมายถึง A เปน็ เซตของกำลงั สองของจำนวนนับหกจำนวนแรก

4. สมาชกิ ของเซต

จะใชส้ ัญลักษณ์ “  ” แทนคำวา่ เป็นสมาชิกหรืออย่ใู น เชน่
A = {1, 2, 3, 4}

วิชา คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ พเิ ศษ รหัสวิชา ค20201 ชั้นม.1 หน้า 1 จาก 32

n(A) = จะไดว้ ่า 1 เป็นสมาชกิ ของ A หรอื อยใู่ น A เขยี นแทนด้วย 1  A

3 เป็นสมาชิกของ A หรอื อยใู่ น A เขยี นแทนด้วย 3  A

คำว่า “ไม่เปน็ สมาชกิ ของ” หรือ “ไม่อยู่ใน” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “  ” เชน่

5 ไม่เป็นสมาชกิ ของ A หรอื ไม่อยใู่ น A เขียนแทนด้วย 5  A

7 ไมเ่ ปน็ สมาชิกของ A หรอื ไม่อยใู่ น A เขยี นแทนด้วย 7  A
สำหรบั เซต A ซึ่งมสี มาชิก 4 ตวั เราจะใช้ n(A) เพือ่ บอกจำนวนสมาชิกของเซต A น่นั คอื
4

☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻

ตัวอย่างท่ี 1 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของจงั หวัดในประเทศไทยทลี่ งทา้ ยดว้ ยบุรี
2. เซตของจำนวนเต็มลบ
3. เซตของพยญั ชนะในภาษาไทย

วธิ ที ำ 1) ให้ A เปน็ เซตของจังหวัดในประเทศไทยท่ีลงท้ายดว้ ยบุรี
 A = {สุพรรณบรุ ี, ปราจีนบุรี, สิงหบ์ รุ ี, ลพบรุ ี}

2) ให้ B เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
 B = ................................................................................

3) ให้ C เปน็ เซตของพยญั ชนะในภาษาไทย
 C =................................................................................

ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขยี นเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ
1. เซตของพยัญชนะในคำว่า คณิตศาสตร์
2. เซตของสระในภาษาองั กฤษ
3.เซตของจำนวนเฉพาะทน่ี ้อยกวา่ 20

วิธที ำ 1) ให้ D เปน็ เซตของพยญั ชนะในคำวา่ คณติ ศาสตร์
 D = {ค , ณ , ต , ศ , ส , ร}

2) ให้ E เปน็ เซตของสระในภาษาอังกฤษ
 E =.................................................................................

3) ให้ F เป็นเซตของจำนวนเฉพาะทนี่ ้อยกว่า 20
 C =................................................................................

วชิ า คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ พิเศษ รหัสวชิ า ค20201 ช้นั ม.1 หน้า 2 จาก 32

ตวั อย่างที่ 3 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชิก
1. A = {2, 4, 6, 8, 10}
2. B = {1, 3, 5, 7}
3. C = {2, 3, 5, 7}

วธิ ีทำ 1) A = {x | x เป็นจำนวนคบู่ วกท่ีนอ้ ยกว่า 12}

2) B = {x | x เปน็ จำนวนคบี่ วกท่นี ้อยกวา่ 9}

3) C =…………………………………………………………..

แบบฝึกทกั ษะ

คำชีแ้ จง ให้นักเรียนเติมคำตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปน้ีให้ถกู ต้องสมบรู ณ์
1. จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก
1.1 เซตของจำนวนเต็มบวกท่ีหารด้วย 5 ลงตวั
วิธที ำ ให้ A เป็นเซตของจำนวนเตม็ บวกทีห่ ารดว้ ย 5 ลงตวั
 A = {5 , 10 , 15 , 20 ,…}

1.2 เซตของจงั หวดั ในประเทศไทยท่ขี ้ึนต้นดว้ ยพยัญชนะ “ม”
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 เซตของจำนวนค่บู วกท่ีน้อยกวา่ 20
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 เซตของจำนวนเต็มทม่ี ากกว่า 2 แตน่ อ้ ยกวา่ 10
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.5 เซตของอักษรในคำว่า MATHEMATICS
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.6 เซตของพยัญชนะของคำวา่ มงั กร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

วิชา คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติมพิเศษ รหสั วิชา ค20201 ชนั้ ม.1 หนา้ 3 จาก 32

1.7 เซตของสธี งชาติไทย
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.8 เซตของจำนวนนับที่มากกว่า 100
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.9 เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารดว้ ย 10 ลงตวั
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.10 เซตของจำนวนค่บี วกที่น้อยกว่า 50
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงเขยี นเซตต่อไปนี้แบบบอกเงือ่ นไข
2.1 A = {2, 4, 6, 8, 10}

วธิ ีทำ A = {x | x เป็นจำนวนคู่บวกท่ีนอ้ ยกวา่ 12}

2.2 B = {1, 3, 5, . . . , 99}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3 C = {1, 2, 3, . . . }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4 D = {1, 4, 9, 16, . . .}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.5 E = {1, 3, 5, 7, . . .}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.6 F = {1, 3, 5, 7, 9}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.7 G = {ม่วง, คราม, นำ้ เงิน, เขยี ว, เหลือง, แสด, แดง}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

วชิ า คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติมพเิ ศษ รหัสวิชา ค20201 ช้ันม.1 หน้า 4 จาก 32

2.8 H = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.9 I = {a, e, i, o, u}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.10 J = {มกราคม, กมุ ภาพันธ์, มีนาคม,...,ธันวาคม}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงบอกจำนวนสมาชิกของเซตตอ่ ไปน้ี
3.1 A = {2148}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.2 B = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวกท่ีอย่รู ะหว่าง 20 และ 30}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.3 C = {1 , 2 , { 3 , 4 }, 5}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.4 D = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.5 E = {1 , 12 , 123 , 1234 , 12345, 123456}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.6 F = {{ 1} , { 1 , 1 } , { { 1} } }

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เซตว่าง เซตจำกัด และเซตอนนั ต์

5.1 เซตว่าง (Empty set หรือ Null set)

บทนยิ าม เซตวา่ ง คือ เซตที่ไม่มสี มาชิก สัญลักษณ์ท่ีใชแ้ ทนเซตว่าง
คอื { } หรือ  (สัญลักษณ์  เป็นอกั ษรกรกี อ่านว่า ไฟ (phi)

ตัวอย่างของเซตว่าง ได้แก่
A = {x | x2 < 0}
B = {x | 2x2 + 3 = x – 3}
C = {x | x เปน็ จงั หวดั ในประเทศไทยทขี่ นึ้ ตน้ ด้วย “ ข ”}

วชิ า คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ พิเศษ รหัสวิชา ค20201 ชั้นม.1 หนา้ 5 จาก 32

5.2 เซตจำกดั (Finite set)
บทนยิ าม เซตจำกัด คอื เซตซง่ึ มีจำนวนสมาชิกเปน็ จำนวนเตม็ บวกหรือศูนย์

ตวั อย่างเซตจำกดั ได้แก่
A = {0, 2, 4, . . . , 10} , n(A) = 11

B = {x  I+ | x < 5} , n(B) = 4
C = {x | x เป็นพยัญชนะในคำวา่ “ เซตว่าง ”} , n(C) = 4

5.3 เซตอนนั ต์ (Infinite set)

บทนยิ าม เซตอนันต์ คือ เซตซึ่งไม่ใชเ่ ซตจำกดั

ตัวอย่างของเซตอนันต์ ได้แก่
A = {x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวก และ x  7}
B = {x | x เปน็ จำนวนเฉพาะทม่ี ากกวา่ 5}
C = {3, 7, 11, 15, . . .}

ขอ้ ตกลงทเ่ี กย่ี วกับเซต
1) เซตว่างเปน็ เซตจำกัด
2) การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชกิ นิยมเขยี นสมาชิกแตล่ ะตัวเพียงครั้งเดยี วเท่านัน้
เชน่ เซตของเลขโดดท่ีอยใู่ นจำนวน 232 คือ {2, 3}
3) เซตของจำนวนท่ีมักจะกล่าวถึงเสมอและใชก้ ันท่ัว ๆ ไป มดี งั น้ี
I เปน็ เซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .}
I+ เปน็ เซตของจำนวนเตม็ บวก หรือ I+ = {1, 2, 3, . . .}
I- เปน็ เซตของจำนวนเต็มลบ หรอื I- = {-1, -2, -3, . . .}
N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3, . . .}
P เปน็ เซตของจำนวนเฉพาะ หรอื P = {2, 3, 5, 7, . . .}

วิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ พิเศษ รหัสวชิ า ค20201 ช้นั ม.1 หนา้ 6 จาก 32

เซตทเี่ ท่ากัน (equal sets or identical sets)

บทนยิ าม เซต A เทา่ กบั เซต B หมายถึง สมาชกิ ทุกตวั ของเซต A เปน็ สมาชิก
ของเซต B และสมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A
เซต A เทา่ กบั เซต B เขียนแทนด้วย A = B

จากบทนิยาม เซต A เท่ากบั เซต B หมายความวา่ เซต A และเซต B มสี มาชกิ เหมอื นกนั ทุกตวั
และเซต A ไมเ่ ทา่ กับเซต B หมายความวา่ มีสมาชิกอย่างน้อยหนงึ่ ตวั ของเซต A ทไี่ ม่ใช่สมาชิกของเซต B

หรอื มสี มาชกิ อย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต B ท่ีไมใ่ ชส้ มาชกิ ของเซต A เขยี นแทนดว้ ย A  B

ตวั อยา่ งท่ี 1 กำหนด A = {2, 3} , B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}

จงแสดงว่า เซต A เทา่ กับเซต B

วธิ ีทำ  A = {2, 3}

B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}

 x2 – 5x + 6 =0

(x – 2)(x – 3) =0

x = 2 หรือ x = 3

 B = {2, 3}

ดังนนั้ A = B

ตัวอยา่ งที่ 2 กำหนด A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6} ,
C = {1, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 6} จงหาวา่ มีเซตใดบ้างที่เทา่ กัน

วิธที ำ A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6}
จะได้ A = B เพราะวา่ มสี มาชกิ เหมือนกนั ทกุ ตัว

แต่ A  C , B  C เพราะวา่ 7  A และ 7  B

วิชา คณิตศาสตร์เพ่มิ เติมพเิ ศษ รหัสวชิ า ค20201 ชัน้ ม.1 หน้า 7 จาก 32

แบบฝึกทักษะ

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นพิจารณาเซตในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนข้ี ้อใดเปน็ เซตว่าง เซตจำกดั เซตอนันต์
และเซตทเ่ี ทา่ กนั แล้วทำเครื่องหมาย / ลงในชอ่ งวา่ งให้ถกู ต้อง

ขอ้ ที่ เซตทก่ี ำหนดให้ เซตวา่ ง คำตอบ เซตทเ่ี ทา่ กัน
เซตจำกัด เซตอนันต์
1 A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}
2 A = {2, 4, 6, 8, 10},

B = {x | x เป็นจำนวนนบั ที่น้อยกว่า 5}
3 A = {2, 4, 6, 4, 2} , B = {4, 2, 2, 6, 6}
4 A = {1, 2, 3, . . .} , B = {x | x  2}
5 A = {x  I | 0 < x < 1} ,

B = {x  I | x เป็นจำนวนคู่ และ 4 < x < 6}
6 A = {x  R | x2 = 1} , B = {x  I | x2 < 1}
7 A = {1, 2, …, 20}, B = {2, 4, …,100}
8 A = {1, 2,3 …,}, B = {2, 4,6 …}
9 A = {x  I | x < 1}

B = {x  I | x  0}
10 A = {x  I | 1 < x < 2} ,

B = {x  I | -1 < x < 0}

2.เซตต่อไปน้มี ีเซตใดบา้ งทเี่ ท่ากันและเซตใดบา้ งทีไ่ ม่เท่ากัน
2.1 A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} และ
B = {x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่ีเปน็ จำนวนคู่ที่ไมเ่ กิน 12}

............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................................................................. .......
............................................................................................................................ ........................................................

วชิ า คณิตศาสตร์เพ่มิ เติมพเิ ศษ รหัสวชิ า ค20201 ชั้นม.1 หนา้ 8 จาก 32

2.2 R = {x | x = 2n + 4 เม่อื n เปน็ จำนวนนบั ทม่ี ากกวา่ 4 แต่ไม่เกิน 8} และ
S = {x | x = 2k + 4 เมือ่ k เป็นจำนวนนับทีม่ คี า่ ตงั้ แต่ 7 ถึง 10}

............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................................................................. .......
............................................................................................................................ ........................................................
............................................................................................................................. .......................................................
................................................................................................................................................ ....................................
............................................................................................... .....................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................

2.3 E = {x | x แทนสระของคำว่า Thursday} และ
F = {x | x แทนสระของคำว่า Saturday}

............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................................................................. .......
............................................................................................................................ ........................................................
............................................................................................................................. .......................................................
................................................................................................................................................ ....................................
............................................................................................... .....................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................

2.4 R = {x | x เป็นจำนวนเฉพาะท่ีน้อยกว่า 20} และ
S = {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 }

............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
................................................................................................................................................................................ ....
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
.................................................................................................................................................... ................................
............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................

วิชา คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติมพเิ ศษ รหัสวชิ า ค20201 ชัน้ ม.1 หน้า 9 จาก 32

6. สับเซต

บทนยิ าม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเม่ือสมาชิกทุกตัวของเซต A
เปน็ สมาชกิ ของเซต B

● เซต A เปน็ สับเซตของเซต B ก็ตอ่ เมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A  B

● เซต A ไม่เป็นสบั เซตของเซต B กต็ ่อเมอ่ื มสี มาชิกอยา่ งน้อยหนึ่งตัวของเซต A ทไ่ี ม่เปน็ สมาชกิ ของ
เซต B เขียนแทนด้วย A  B
ตัวอย่าง

ถา้ A = {0, 1} , B = {0, 1, 2, 3} , C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
จะได้ A  A เพราะสมาชิกทุกตัวในเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต A

A  B เพราะสมาชิกทุกตัวในเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B
A  C เพราะสมาชิกทุกตวั ในเซต A เปน็ สมาชิกของเซต C

B  A เพราะสมาชิกทุกตวั ในเซต B ไม่เปน็ สมาชิกของเซต A
B  B เพราะสมาชกิ ทุกตัวในเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต B
B  C เพราะสมาชกิ ทุกตัวในเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต C

C  A เพราะสมาชกิ ทุกตัวในเซต C ไมเ่ ปน็ สมาชิกของเซต A
C  B เพราะสมาชิกทุกตัวในเซต C ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของเซต B

C  C เพราะสมาชกิ ทกุ ตวั ในเซต C เป็นสมาชกิ ของเซต C

ข้อสงั เกต

เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง เชน่ X เปน็ เซตจะได้ X  X

ถ้ากำหนดให้ A = {a, b, c, d} , B = {d, c, b, a} นกั เรยี นจะสังเกตพบว่า A  B และ B  A
ดังนน้ั ถา้ เกดิ กรณเี ช่นนีข้ น้ึ เราจะไดว้ า่ เซต A เทา่ กับ เซต B

บทนิยาม ถา้ A  B และ B  A แลว้ A = B

วชิ า คณิตศาสตร์เพ่ิมเติมพิเศษ รหสั วิชา ค20201 ช้นั ม.1 หน้า 10 จาก 32

การหาสับเซตของเซตทกี่ ำหนดให้

ถา้ กำหนดให้ A = {1, 2} สบั เซตของเซต A ทัง้ หมด คอื {1} , {2}, {1, 2} และ 

*ข้อสังเกต* สมาชิกของสบั เซตของ A ทกุ ตวั อยู่ในเซต A และเซตว่างเป็ นสับเซตของทุกเซต

ซึง่ จำนวนสับเซตของเซต A เราอาจหาได้จาก 2n
เม่ือ n คือ จำนวนสมาชิกของเซต

ถา้ กำหนดให้ B = {3, 4, 5}
วธิ ีทำ
สับเซตของเซต B ทง้ั หมด คือ {3}, {4}, {5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4, 5} และ 
และเราเรียก {3}, {4}, {5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5} และ  วา่ สับเซตแท้ของเซต B

บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตแท้ของเซต B เม่ือ A  B และ A ≠ B
เช่น ถา้ A = {1, 2} สับเซตแท้ของ A คือ {1} , {2} และ 

7. เพาเวอร์เซต

เมือ่ กำหนดเซตใด ๆ ให้ เราสามารถหาสับเซตของเซตนน้ั ๆ ได้ เช่น ถ้ากำหนดให้
A = {1, 2, 3} เซต A มจี ำนวนสมาชิก 3 ตัว เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์จะได้ n(A) = 3 ดังน้ัน
สับเซตทงั้ หมดของเซต A ได้แก่ , {1} , {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} มี 8 เซต

เมอ่ื เขยี นเซตใหมโ่ ดยนำสบั เซตดงั กลา่ วขา้ งตน้ มาเป็นสมาชิกของเซตใหม่ จะได้
{ , {1} , {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }
จะเรยี กเซตของสับเซตนีว้ ่า เพาเวอรเ์ ซต ของ A

บทนยิ าม ให้ A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอรเ์ ซตของ A คอื
เซตของสับเซตทั้งหมดของ A

วชิ า คณิตศาสตร์เพิม่ เติมพิเศษ รหสั วชิ า ค20201 ชน้ั ม.1 หน้า 11 จาก 32

แบบฝึกหัด

2.จงเขียนสบั เซตท้ังหมดของเซตตอ่ ไปนี้
2.1 A = {5, 8, 11}

............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................................................................ ........
........................................................................................................................... .........................................................

2.2 B = {1, {1, 2}, 2}
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
.................................................................................................................................................................. ..................

2.3 A = {{3, 5}, }
....................................................................................... .............................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................

2.4 B = {5, 8, 12, 15}
.............................................................................................................................. ......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................................................................. .......
............................................................................................................................ ........................................................

วชิ า คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ พเิ ศษ รหสั วชิ า ค20201 ชน้ั ม.1 หน้า 12 จาก 32

3.จงเขียนเพาเวอรเ์ ซตทั้งหมดของเซตต่อไปนี้
3.1 Q = {4, 6, 9}

............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................................................................ ........
.......................................................................................................................... ..........................................................
............................................................................................................................. .......................................................

3.2 S = {2, {2, 4}, }
............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
.................................................................................................................................................................. ..................
................................................................................................................ ....................................................................
............................................................................................................................. .......................................................

3.3 T = { {4}, {8} }
............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................

3.4 V = { 1, {3}, {1, {3}} }
................................................................................................................................................ ....................................
............................................................................................... .....................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................

วิชา คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติมพเิ ศษ รหัสวชิ า ค20201 ชนั้ ม.1 หนา้ 13 จาก 32

แบบฝกึ ทักษะ

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนกาเครื่องหมาย / ลงในชอ่ งวา่ งแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีใ้ ห้ถูกต้อง

ความสมั พันธข์ องเซตท่กี ำหนดให้

เซตที่กำหนดให้ A เปน็ สับเซตของ A ไม่เป็นสบั เซตของ

ข้อท่ี เซต B เซต B

1 A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 4} /

2 A = {3, 4, 5} , B = {1, 2, 3, 4}

3 A = {a, b} , B = {a, b, c, d}

4 A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

5 A = {5, 10, 15, 20} , B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

6 A = {a, b, c} , B = {a, b, d, e, f}

7 A = {1, 2, 3, 4, 6} , B = {1, 2, 3, 4, 5}

8 A = { } , B = {1, 2, 3}

9 A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c, e, f, g}

10 A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3}

สรุป เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B กต็ ่อเม่ือ ………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เซต A ไมเ่ ปน็ สบั เซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ ………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

วิชา คณิตศาสตร์เพม่ิ เติมพิเศษ รหสั วชิ า ค20201 ชนั้ ม.1 หนา้ 14 จาก 32

แบบฝกึ ทกั ษะ

คำชีแ้ จง ใหน้ กั เรียนเตมิ คำตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อตอ่ ไปนีใ้ ห้ถกู ต้องสมบรู ณ์

ข้อ เซตทีก่ ำหนดให้ สบั เซตของเซตที่กำหนดให้ จำนวนสบั เซต เพาเวอร์เซตของเซตทก่ี ำหนดให้
ท้งั หมดของเซต

ทีก่ ำหนดให้

1 A = {a} {a} ,  2 = 21 {{a} , }
{1}, {2}, {1, 2}, 
2 A = {1, 2} 4 = 22 {{1}, {2}, {1, 2}, }

3 A = {1, 2, 3}
4 A = {1, 2, 3,

4}
5 A = {a, b, c}
6 A = {a, b}

สรปุ เพาเวอรเ์ ซตของเซต A คือ ………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

วชิ า คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติมพิเศษ รหสั วิชา ค20201 ช้ันม.1 หน้า 15 จาก 32

แบบฝกึ ทกั ษะ

คำชี้แจง ให้นักเรียนเติมคำตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกู ต้องสมบูรณ์

ข้อท่ี เซตทีก่ ำหนดให้ สบั เซตท้ังหมดของเซตท่ีกำหนดให้ จำนวนสบั เซตท้ังหมดของเซตที่
กำหนดให้
1.1 A = { }
1.2 A = {2}
1.3 A = {2, 3}
1.4 A = {2, 3, 4}

2. จงกาเครื่องหมาย / หน้าขอ้ ที่เห็นวา่ ถกู และกาเครือ่ งหมาย  หนา้ ข้อทเี่ หน็ ว่าผดิ
…………. 2.1 ถา้ A  B แลว้ B  A
…………..2.2 ถา้ A  B และ a  A แล้ว a  B
…………..2.3 ถ้า A  B และ B = C แลว้ A  C
…………..2.4 กำหนด A = {1, 2, {2, 5}} แล้ว {2, 5}  A
………….2.5 ถ้า A = {1, 3} แล้ว จำนวนสบั เซตของ A เท่ากับ 4 เซต
…………..2.6 ถา้ A = {a, b, c} แลว้   A

คำช้แี จง จงเตมิ คำตอบลงในช่องว่างแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์

1. กำหนด A = {6} จะได้ P(A) = ……………………………………………….....................
2. กำหนด A = {7, 5} จะได้ P(A) = ………………………………………………...................
3. กำหนด B = {6, 7, 9} จะได้ P(B) = ……………………………………………....................

…………………………………………………………………………………………........................................
…………………………………………………………………………………………........................................
4. ถา้ A = {2} จงหา P(P(A))
P(P(A)) = …………………………………………………………………………...................................
………………………………………………………………………………………….......................................
5. ถ้า A เปน็ เซตท่มี สี มาชิก 6 ตวั แลว้ P(A) จะมสี มาชกิ ………………. ตวั

วิชา คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติมพิเศษ รหสั วชิ า ค20201 ช้นั ม.1 หนา้ 16 จาก 32

เอกภพสมั พัทธ์ (Relative Universe)

ในการเขยี นเซตแบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชิก จะตอ้ งกำหนดเซตขึ้นมาหน่ึงเซตเรียกวา่ เอกภพสัมพัทธ์
เขียนแทนด้วย U โดยมีขอ้ ตกลงวา่ เมอื่ กล่าวถึงสมาชกิ ของเซตใด ๆ จะไม่กลา่ วถึงส่งิ อ่ืนทีน่ อกเหนือจากสมาชกิ
ในเอกภพสัมพัทธ์

ตวั อย่างที่ 1 กำหนด U = {x | x เปน็ พยัญชนะในภาษาไทย} และ
A = {x | x เปน็ พยญั ชนะในภาษาไทย 3 ตวั แรก}
จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก

วิธที ำ U = {ก, ข, ค, . . ., ฮ}
 A = {ก, ข, ค}

ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนด U = {1, 2, 3, . . . } และ B = {x | x เปน็ จำนวนนบั ทน่ี ้อยกวา่ 5}
จงเขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชกิ

วิธีทำ  U = {1, 2, 3, . . . }
 B = {1, 2, 3, 4}

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram)

แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เป็นแผนภาพทีใ่ ชแ้ สดงความเก่ียวข้องของเซต เพือ่ ช่วยในการคิดคำนวณ
หรอื แกป้ ญั หา ซ่ึงตวั ชือ่ แผนภาพตามชือ่ ของนักคณิตศาสตร์คอื เวนนแ์ ละออยเลอร์ การเขยี นแผนภาพเวนน์-
ออยเลอร์ มีวธิ ีการเขียนดังนี้

ให้ เอกภพสัมพทธ์ U แทนด้วยรปู สี่เหลี่ยมผนื ผา้ หรือรูปปดิ ใด ๆ
เซต A, B, C, . . . ซ่งึ เปน็ สบั เซตของ U แทนดว้ ยวงกลม วงรี หรอื รูปปิดอ่นื ๆ โดยใหเ้ ซต A,

B, C, . . . อยู่ใน U ดังตวั อย่าง

วิชา คณิตศาสตร์เพมิ่ เติมพิเศษ รหสั วิชา ค20201 ชน้ั ม.1 หน้า 17 จาก 32

ตัวอย่างท่ี 3 กำหนด U = {1, 2, 3, . . .} , A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {2, 4, 6, 8}
จงเขยี นแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์แทนเซต

วธิ ที ำ  เซต A และเซต B มีสมาชิกรว่ มกันคือ 2 และ 4 ซง่ึ สามารถเขียนแผนภาพ
แทนเซต A และ B ไดด้ ังน้ี

A U
16 B

32
54 8

ตวั อยา่ งที่ 4 กำหนด U = {a, b, c, . . . , z} , A = {a, b, c, d} , B = {e, f, g}
และ C = {h, i, j, k} จงเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

วธิ ีทำ เขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แทน A, B และ C ได้ดงั นี้

Aa b U

c dB C
ef hi
g jk

วชิ า คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ พเิ ศษ รหสั วิชา ค20201 ชนั้ ม.1 หนา้ 18 จาก 32

ตวั อย่างที่ 5 กำหนด U = {x | x เปน็ จำนวนนบั ท่นี ้อยกว่า 20}
A = {x | x เปน็ จำนวนนบั ท่ีนอ้ ยกว่า 10}
B = {x | x เป็นจำนวนค่บี วกท่ีนอ้ ยกว่า 7}
จงเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

วธิ ที ำ U = {x | x เป็นจำนวนนับทน่ี อ้ ยกว่า 20}

 U = {1, 2, 3, . . . , 19}
A = {x | x เป็นจำนวนนบั ทน่ี อ้ ยกว่า 10}

 A = {1, 2, 3, . . . , 9}
B = {x | x เปน็ จำนวนคบ่ี วกท่นี ้อยกวา่ 7}

 B = {1, 3, 5}

เขยี นแผนภาพแทน A และ B ได้ดังนี้

U

A2 4 6
7 1 3B
85 9

วิชา คณิตศาสตร์เพ่มิ เติมพิเศษ รหัสวชิ า ค20201 ชน้ั ม.1 หน้า 19 จาก 32

แบบฝึกทักษะ

คำชี้แจง ใหน้ กั เรยี นเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ของเซตที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้

ข้อท่ี เซตท่กี ำหนดให้ แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์

1 กำหนด U = {ก, ข, ค, . . . , ฮ} ,
A = {ก, ข, ค, ง, จ} และ B = {ก, ก, ข, ค, ง, จ}

2 กำหนด U = {x | x เป็นจำนวนจรงิ }
A = {x | x2 = 16} และ B = {x | x2 = 1}

3 กำหนด U = {1, 2, 3, . . . } ,
A = {2, 4, 6, 8, 10} และ B = {2, 3, 5, 7}

4 กำหนด U = {x | x เปน็ จำนวนคบู่ วก}
A = {x | x เปน็ จำนวนคู่บวกทีน่ อ้ ยกวา่ 10}
B = {x | x เป็นจำนวนค่บู วกทอ่ี ยูร่ ะหว่าง 2 กับ 20}

วชิ า คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ พิเศษ รหสั วชิ า ค20201 ช้นั ม.1 หนา้ 20 จาก 32

การปฏิบตั ิการทางเซต (Operation of sets)
คือ การสร้างเซตใหม่ โดยการนำเซตทีก่ ำหนดใหม้ ากระทำต่อกัน มี 4 แบบ คอื
1. ยเู นยี น (Union)

บทนยิ าม ยูเนยี นของเซต A และเซต B คอื เซตทีป่ ระกอบดว้ ยสมาชกิ ของ
เซต A หรอื ของเซต B หรือท้งั สองเซต
ยเู นียนของเซต A และเซต B เขยี นแทนด้วย A  B
และสญั ลักษณย์ เู นียนของเซต A และเซต B คือ

A  B = {x | x  A หรือ x  B หรอื x เปน็ สมาชิกของทง้ั สองเซต}

ตวั อยา่ ง ถ้า A = {0, 1, 2, 3} และ B = {1, 3, 5, 7}
 A  B = { 0, 1, 2, 3, 5, 7 }

2. อนิ เตอรเ์ ซกชนั (Intersection)

บทนยิ าม อนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซต A และเซต B คือเซตท่ปี ระกอบดว้ ยสมาชกิ
ที่อยูท่ ้ังในเซต A และเซต B อนิ เตอร์เซกชันของเซต A และเซต B
เขียนแทนดว้ ย A  B
สัญลกั ษณ์อนิ เตอร์เซกชันของ A และ B คือ
A  B = {x | x  A และ x  B }

ตัวอย่าง ถ้า A = {0, 1, 2, 3} และ B = {0, 3, 5}
 A  B = { 0, 3 }

ตวั อย่าง ถ้า A = {a, b, c} และ B = {d, e, f}
 AB = 

วชิ า คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ พิเศษ รหัสวิชา ค20201 ชน้ั ม.1 หน้า 21 จาก 32

3. คอมพลเี มนต์ (Complement)

บทนิยาม คอมพลีเมนต์ของเซต A คอื เซตของทกุ สมาชกิ ใน
เอกภพสัมพทั ธ์ U ที่ไม่อยู่ใน A เขยี นแทน
คอมพลีเมนต์ของเซต A ด้วย A/
สญั ลักษณค์ อมพลเี มนต์ของเซต A คือ
A/ = {x | x  U และ x  A}

ตวั อย่าง กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} และ A = {2, 4, 6, 8}
 A/ = { 1, 3, 5, 7 }

4. ผลตา่ ง (Difference)

บทนยิ าม ผลต่างของเซต A และเซต B คอื เซตของทกุ สมาชิก
ของเซต A ท่ไี ม่เป็นสมาชกิ ของเซต B เขยี นแทน
ผลตา่ งของเซต A และ B ด้วย A – B
สัญลักษณ์ผลตา่ งของเซต A และเซต B คอื
A – B = {x | x  A และ x  B}

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {2, 3, 4}
 A–B = {1}
 B–A = 

วิชา คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ พิเศษ รหัสวชิ า ค20201 ชนั้ ม.1 หนา้ 22 จาก 32

เอกสารแนะแนวทาง

คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนเติมคำตอบลงในช่องว่างแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ให้ถกู ต้องสมบรู ณ์

ข้อที่ เซตทก่ี ำหนดให้ ยูเนียนของเซตท่กี ำหนดให้

1 A = {1, 2} , B = {3, 4} {1, 2, 3, 4}
2 A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 10, 12, 14} {1, 2, 3, 4, 10, 12, 14}
3 A = {a, b, c} , B = {b, c, d, e, f}
4 A = {ก, ข, ค, ง, จ} , B = {ก, ข, ฉ, ช}
5 A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {1, 3, 5, 7, 9}
6 A = {1, 3, 4, 5} , B = {2, 3, 4}
7 A = {0, 1, 2, 3} , B = {2, 3, 4}
8 A = {p, q, r, s} , B = {a, b, p, q}

สรุป ยเู นยี นของเซต A และเซต B คอื …………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..........................................
……………………………………………………………………………………………………….……………………………........................................
……………………………………………………………………………………………………….…………………………….......................................

วิชา คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ พิเศษ รหัสวิชา ค20201 ชัน้ ม.1 หน้า 23 จาก 32

แบบฝึกทกั ษะ

คำช้แี จง ให้นกั เรยี นเติมคำตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปน้ีให้ถกู ต้องสมบูรณ์

1) กำหนด U = {1, 2, 3, . . . , 30} 3) กำหนด U = {x | x เปน็ จำนวนค่บู วกที่
A = {x | x เป็นจำนวนท่ี 8 หารลงตัว } นอ้ ยกวา่ 20}
B = {x | x เปน็ จำนวนที่ 7 หารลงตัว }
จงหา A  B และ B  A A = {x | x เปน็ จำนวนคูบ่ วกท่ีอยรู่ ะหวา่ ง
4 และ 16}
วิธีทำ A = ……………………………………..
B = …………………………………….. B = {x | x2 = 16}

A  B = ……………………………………. จงหา A  B และ B  A
B  A = …………………………………….. วธิ ที ำ A = ………………………………………

2) กำหนด U = {x | x เป็นจำนวนนบั } B = ……………………………………..
A = {x | x เป็นจำนวนคีบ่ วกท่นี ้อยกวา่ 7}
B = {x | x เปน็ จำนวนเฉพาะท่นี ้อยกวา่ 10} A  B = …………………………………….
จงหา A  B และ B  A
B  A = …………………………………….
วธิ ที ำ A = ……………………………………… 4) กำหนด U = {1, 2, 3, . . . , 50}
B = ………………………………………
A = {1, 2, 8} , B = {2, 4, 8, 10}
A  B = ……………………………………..
B  A = …………………………………….. จงหา A  B และ B  A
วธิ ที ำ A = ………………………………………

B = ……………………………………..

A  B = …………………………………….

B  A = ……………………………………

วชิ า คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ พิเศษ รหัสวชิ า ค20201 ช้ันม.1 หนา้ 24 จาก 32

เอกสารแนะแนวทาง

คำชีแ้ จง ให้นกั เรยี นเตมิ คำตอบลงในช่องวา่ งแตล่ ะข้อต่อไปนใ้ี ห้ถูกต้องสมบรู ณ์

ข้อที่ เซตทกี่ ำหนดให้ อนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซตทีก่ ำหนดให้
1 A = {2, 3, 4, 5, 6} , B = {3, 4, 6, 7, 8, 9} {3, 4, 6}
2 A = {a, b, c, d} , B = {a, b, e, f} {a, b}
3 A = {10, 20, 30, 40} , B = {10, 20, 80} {10, 20}
4 A = {7, 8, 9, 10, 11, 12} , B = {7, 8, 11}
5 A = {ก, ข, ค, ง, จ} , B = {ก, ข, ค}
6 A = {1, 2, 3, . . . , 10} , B = {2, 3, 5, 7}
7 A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {1, 3, 5, 7}
8 A = {8, 11, 14, 17, 20} , B = {10, 11, 14}

สรุป อินเตอรเ์ ซกชนั ของเซต A และเซต B คอื ………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………................................

ขอ้ ที่ เซต A เซต B อนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซต A และเซต B (A  B)

1 {1, 2, 4} {2, 4}
2 {1, 2, 3, 5, 6} {2, 3, 4, 5, 6}
3 {0, 2, 4, 6} {2, 4, 6, 8}
4 {1, 3, 5, 7, 9} {3, 5, 7}
5 {2, 4, 6, 8} {3, 5, 7}
6 {3, 4, 5, 6, 7} {1, 2, 4, 7}
7 {10, 11, 12, 13, 14} {11, 12, 13}
8 {5, 10, 15, 20, 25} {4, 8, 12, 16}
9 {1, 4, 9, 25} {0, 1, 9, 10}
10 {0, 1, 3, 4, 5} {}

วิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ พิเศษ รหสั วิชา ค20201 ชัน้ ม.1 หน้า 25 จาก 32

แบบสรปุ เน้อื หา

คำชีแ้ จง ใหน้ กั เรยี นสรปุ เนอ้ื หาเกี่ยวกับยเู นียนและอนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต ตามหวั ข้อต่อไปนี้
1. ยเู นียนของเซต A และเซต B คอื …………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………..
2. ถา้ กำหนด U = {1, 2, 3, . . . , 15} , A = {2, 3, 4, 5} , B = {10, 11, 13, 15}

แลว้ A  B = …………………………………………………………………….…………………………………………
B  A = …………………………………………………………………….…………………………………………
A  U = …………………………………………………………………….…………………………………………

3. อนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซต A และเซต B คือ …………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………..
4. ถ้ากำหนด A = {6, 9, 12, 15, 18, 21} และ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

แลว้ A  B = …………………………………………………………………….………………………………………
B  A = …………………………………………………………………….………………………………………

วชิ า คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ พิเศษ รหสั วชิ า ค20201 ช้ันม.1 หนา้ 26 จาก 32

แบบฝกึ ทักษะ

ขอ้ ท่ี เอกภพสัมพัทธ์ (U) เซต A คอมพลเี มนตข์ องเซต A (A/)

1 U = {1, 2, 3, . . . , 15} A = {1, 2, 3, 4, 5}

2 U = {1, 3, 5, 7, . . . , 17} A = {3, 5, 7, 9}

3 U = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} A = {4, 6, 8}

4 U = {x | x เปน็ จำนวนนับนอ้ ยกวา่ 10} A = {1, 2, 3}

5 U = {x | x เปน็ จำนวนค่บู วกทีน่ อ้ ยกว่า 30 และหารดว้ ย 4 ลงตวั } A = {2, 6, 14}

6 U = {x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่ีน้อยกวา่ 8} A = {3, 5, 7}

7 U = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49} A = {4, 9, 36, 49}

8 U = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40} A = {10, 20, 30, 40}

9 U = {a, b, c, d, e, f, g, h} A = {b, d, f, g}

10 U = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7} A = {-2, -4, -6}

คำชี้แจง ให้นกั เรียนเติมคำตอบลงในช่องวา่ งแต่ละข้อตอ่ ไปนใ้ี ห้ถกู ต้องสมบรู ณ์

ข้อ เซต A เซต B ผลตา่ งของเซต A และเซต B (A – B)
ที่

1 {1, 2, 3, 4, 5} {2, 3, 5}

2 {2, 4, 6, 8, 10, 12} {6, 8, 10}

3 {5, 10, 15, 20, 25, 30} {10, 15, 20}

4 {a, b, c, d, e} {b, c, d}

5 {p, q, r, s, t} {p, q, r}

6 {x | x เปน็ จำนวนนับท่ีน้อยกวา่ 10} {x | x เปน็ จำนวนคีบ่ วกท่ีน้อยกวา่ 7}

7 {x | x เป็นจำนวนนบั ทีน่ อ้ ยกวา่ 5} {x | x เป็นจำนวนนบั 3 จำนวนแรก}

8 {x | x เป็นจำนวนวันใน 1 สปั ดาห์} {x | x เป็นวันทข่ี ้นึ ต้นด้วย “ส”}

9 {x | x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกวา่ 20} {x | x เปน็ จำนวนค่ีบวกทนี่ ้อยกว่า
20 และหารด้วย 3 ลงตัว}

10 {10, 11, 12, 13, 14, 15} {11, 13, 15}

วชิ า คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติมพเิ ศษ รหัสวิชา ค20201 ชั้นม.1 หน้า 27 จาก 32

แบบสรุปเน้อื หา

คำช้ีแจง ให้นักเรียนสรุปเนอ้ื หาเกี่ยวกับคอมพลเี มนต์และผลตา่ งของเซต ตามหวั ขอ้ ต่อไปนี้
1. คอมพลเี มนต์เซต A คือ ……………………………………………………………………...................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………
2. ถ้ากำหนด U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} และ A = {2, 7, 13, 19} จะได้

A/ = ………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ผลตา่ งของเซต A และเซต B คือ ………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………..
4. ถ้ากำหนด A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} และ B = {2, 6, 10, 12} จะได้

A – B = ………………………………………………………………………………………………………………..
B – A = ……………………………………………………………………………………………………………….
เขยี นแผนภาพแทนเซต A และเซต B ได้ดังนี้

U

วิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ พิเศษ รหสั วชิ า ค20201 ชัน้ ม.1 หน้า 28 จาก 32

จำนวนสมาชกิ ของเซตจำกัด

จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด A ใด ๆ จะเขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ n(A) ซ่ึงสามารถแยกโจทย์ปญั หา
เก่ยี วกับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัดได้ดังนี้

1. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัด จำนวนสมาชิกของเซต A  B หรอื n(A  B) จะหาได้จาก

n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

ตัวอย่างท่ี 1 กำหนด A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {3, 4, 6, 7, 8} จงหา n(A  B)

วิธที ำ จาก n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

จากโจทย์ จะได้ n(A) = 5 , n(B) = 5 , n(A  B) = 2

แทนค่า n(A  B) = 5 + 5 – 2

=8

ซ่ึงเขียนแผนภาพไดด้ งั นี้

U

A B A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

123 6

5 47 8  n(A  B) = 8

2. ถ้า A และ B เปน็ เซตจำกัดที่ไม่มีสมาชกิ ร่วมกัน (A  B = )
n(A  B) = n(A) + n(B)

ตวั อย่างท่ี 2 กำหนด A = {1, 2, 3, 4} และ B = {5, 6 ,7} จงหา n(A  B)

วิธที ำ จาก n(A  B) = n(A) + n(B)
จากโจทย์ จะได้ n(A) = 4 , n(B) = 3

แทนคา่ n(A  B) = 4+3
=7

วชิ า คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติมพเิ ศษ รหสั วชิ า ค20201 ชั้นม.1 หนา้ 29 จาก 32

เขยี นแผนภาพได้ดังน้ี

A B A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
n(A  B) = 7
12 57
34 6

3. ถา้ A, B และ C เป็นเซตจำกัด จำนวนสมาชกิ ของเซต A  B  C หรอื
n(A  B  C) จะหาไดจ้ าก

n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)

ตัวอยา่ งท่ี 3 กำหนด A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 6, 7} และ C = {3, 6, 4, 8}
จงหา n(A  B  C)

วิธีทำ จาก n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C)
+ n(A  B  C)

จากโจทย์ จะได้ n(A) = 5 , n(B) = 4 , n(C) = 4
A  B = {3, 5} , n(A  B) = 2
A  C = {3, 4} , n(A  C) = 2
B  C = {3, 6} , n(B  C) = 2

A  B  C = {3} , n(A  B  C) = 1
แทนค่า n(A  B  C) = 3 + 4 + 4 – 2 – 2 – 2 + 1 = 8
เขยี นแผนภาพไดด้ งั น้ี

U
AB

157
2 43 6

8
C

จากแผนภาพ A  B  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
 n(A  B  C) = 8

วิชา คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ พิเศษ รหัสวิชา ค20201 ช้นั ม.1 หน้า 30 จาก 32

ตวั อยา่ งที่ 4 นักเรยี นชนั้ ม. 5 โรงเรยี นแหง่ หน่ึง จำนวน 100 คน ไดร้ บั รางวลั เรียนดี 20 คน

ไดร้ ับรางวลั มารยาทดี 30 คน ในจำนวนน้ีได้รบั รางวัลทง้ั สองประเภท 10 คน

จงหา

1. จำนวนนักเรยี นทั้งหมดท่ไี ดร้ ับรางวลั

2. จำนวนนักเรียนที่ไม่ไดร้ ับรางวัล

วิธีทำ ให้ A แทน เซตของนักเรียนที่ได้รบั รางวลั เรยี นดี

B แทน เซตของนักเรยี นท่ไี ด้รับรางวลั มารยาทดี

จากโจทยจ์ ะได้ n(A) = 20 , n(B) = 30 , n(A  B) = 10

จาก n(A  B) = n(A) + n(B) + n(A  B)

แทนค่า n(A  B) = 20 + 30 – 10

= 40

จำนวนนักเรียนท่ีไม่ไดร้ ับรางวลั = 100 – 40 = 60

จำนวนนกั เรียนทัง้ หมดทีไ่ ด้รับรางวัล = 40

วิชา คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ พเิ ศษ รหัสวชิ า ค20201 ชั้นม.1 หน้า 31 จาก 32

แบบฝึกทกั ษะ

คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนเติมคำตอบลงในช่องวา่ งแต่ละข้อตอ่ ไปนใี้ ห้ถูกต้องสมบรู ณ์

1. กำหนดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และจำนวนสมาชกิ
U ในเซตให้ จงหา

A B 1.1 n(A) = ……………………………………..
21 5 31 1.2 n(B) = ……………………………………..
1.3 n(A  B) = ………………………………
1.4 n(A  B) = ………………………………

2. กำหนดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และจำนวนสมาชิก
U ในเซตให้ จงหา

A B 2.1 n(A) = …………… 2.2 n(B) = ……….….
13 6 12 2.3 n(C) = …………... 2.4 n(A  B) = ……
5 2 3 2.5 n(A  C) = …….. 2.6 n(B  C) = ……
2.7 n(A  B  C) = ………………………..
10 C 2.8 n(A  B  C) = ………………………..

3. นักเรียนช้ัน ม. 4 โรงเรยี นแหง่ หน่ึงมี 300 คน ชอบเรียนฟสิ กิ ส์ 150 คน ชอบเรยี นเคมี
200 คน และชอบเรียนทัง้ ฟิสิกสแ์ ละเคมี 110 คน จงหา
3.1 นักเรยี นท่เี รียนฟิสิกสว์ ิชาเดยี ว มี …………… คน
3.2 นักเรยี นทเี่ รยี นเคมีวชิ าเดียว มี ………………. คน
3.3 นักเรยี นท่ีไมเ่ ลือกเรียนท้ังสองวิชา มี ………………… คน

วชิ า คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ พเิ ศษ รหสั วชิ า ค20201 ช้ันม.1 หนา้ 32 จาก 32