taller_curvilineo

vA = 60 mi /h PROBLEMA RESUELTO 11.10

A Un automovilista viaja sobre una sección curva de una autopista de 2 500 ft
de radio a una rapidez de 60 mi/h. El automovilista aplica repentinamente los
2500 ft frenos, provocando que el automóvil se desacelere a una tasa constante. Si se
sabe que después de 8 s la rapidez se ha reducido a 45 mi/h, determine la ace-
leración del automóvil inmediatamente después de que se han aplicado los
frenos.

SOLUCIÓN

Componente tangencial de la aceleración. Primero se expresan las
velocidades en ft/s.

΂ ΃΂ ΃΂ ΃60 mi/h ϭ 60ᎏmhᎏi ᎏ5128mᎏ0ift 3ᎏ610ᎏ0h s ϭ 88 ft/s

45 mi/h ϭ 66 ft/s
Como el automóvil desacelera a una tasa constante, se tiene

at ϭ promedio at ϭ ᎏ⌬⌬ᎏvt ϭ ᎏ66 ft/s8Ϫᎏs88 ft/s ϭ Ϫ2.75 ft/s2

Componente normal de la aceleración. Inmediatamente después
de que los frenos se han aplicado, la rapidez se mantiene en 88 ft/s, y se tiene

at = 2.75 ft/s2 an ϭ ᎏv␳ᎏ2 ϭ ᎏ(88 fᎏt/s)2 ϭ 3.10 ft/s2
Aa 2 500 ft
Movimiento
a Magnitud y dirección de la aceleración. La magnitud y dirección
de la resultante a de las componentes an y at son

an = 3.10 ft/s2

tan ␣ ϭ ᎏaᎏn ϭ ᎏ32..1705 ᎏfftt//ss22 ␣ ϭ 48.4°
at a ϭ 4.14 ft/s2

a ϭ ᎏseanᎏn ␣ ϭ ᎏ3se.1n04ᎏf8t/.s42°

PROBLEMA RESUELTO 11.11

Determine el radio mínimo de curvatura de la trayectoria descrita por el pro-
yectil considerado en el problema resuelto 11.7.

v = vx SOLUCIÓN

a = an Puesto que an ϭ v2͞␳, tenemos que ␳ ϭ v2͞an. El radio será pequeño cuan-
do v sea pequeño, o cuando an sea grande. La rapidez v es mínima en la parte
superior de la trayectoria, pues vy ϭ 0 en ese punto; an es máxima en el
mismo punto, ya que la dirección de la vertical coincide con la dirección de
la normal. Por lo tanto, el radio mínimo de curvatura ocurre en la parte supe-
rior de la trayectoria. En este punto, se tiene

v ϭ vx ϭ 155.9 m/s an ϭ a ϭ 9.81 m/s2

␳ ϭ ᎏvᎏ2 ϭ ᎏ(195.58.19ᎏmm//ss2)2 ␳ ϭ 2 480 m
an

670

A PROBLEMA RESUELTO 11.12
B
La rotación del brazo OA de 0.9 m alrededor de O se define mediante la rela-
r ción ␪ ϭ 0.15t2, donde ␪ se expresa en radianes y t en segundos. El collarín
B desliza a lo largo del brazo de modo tal que su distancia desde O es r ϭ
q 0.9 Ϫ 0.12t2, donde r se expresa en metros y t en segundos. Después de que
O el brazo OA ha girado 30°, determine a) la velocidad total del collarín, b) la
aceleración total del collarín, c) la aceleración relativa del collarín con res-
pecto al brazo.

eq SOLUCIÓN

er Tiempo t al cual ␪ ‫ ؍‬30°. Al sustituir ␪ ϭ 30° ϭ 0.524 rad en la ex-
B presión para ␪, se obtiene

␪ ϭ 0.15t2 0.524 ϭ 0.15t2 t ϭ 1.869 s

qr Ecuaciones de movimiento. Si se sustituye t ϭ 1.869 s en las ex-
O presiones para r, ␪ y su primera y segunda derivadas, se tiene

v = vrer + vqUeUq r ϭ 0.9 Ϫ 0.12t2 ϭ 0.481 m ␪ ϭ 0.15t2 ϭ 0.524 rad
a = arer + aqUeUq r˙ ϭ Ϫ0.24t ϭ Ϫ0.449 m/s ␪˙ ϭ 0.30t ϭ 0.561 rad /s
r¨ ϭ Ϫ0.24 ϭ Ϫ0.240 m/s2 ␪¨ ϭ 0.30 ϭ 0.300 rad /s2

vUq = (0.270 m /s)eUq a) Velocidad de B. Mediante las ecuaciones (11.45) se obtienen los
valores de vr y v␪ cuando t ϭ 1.869 s.
v
b B vr ϭ r˙ ϭ Ϫ0.449 m/s
v␪ ϭ r␪˙ ϭ 0.481(0.561)
ϭ 0.270 m/s

0.481 m vr = (–0.449 m /s)er Al resolver el triángulo rectángulo que se muestra, se obtiene la magnitud y
dirección de la velocidad.
O 30° =
r

v ϭ 0.524 m/s ␤ ϭ 31.0°

a r = (– 0.391 m /s2)er B b) Aceleración de B. Mediante las ecuaciones (11.46), se obtiene
g
ar ϭ r Ϫ r␪˙ 2
a aUq = (– 0.359 m /s2)eq ϭ Ϫ0.240 Ϫ 0.481(0.561)2 ϭ Ϫ0.391 m/s2

a␪ ϭ r␪¨ ϩ 2r˙␪˙
ϭ 0.481(0.300) ϩ 2(Ϫ0.449)(0.561) ϭ Ϫ0.359 m/s2
a ϭ 0.531 m/s2 ␥ ϭ 42.6°

a B/OA = (–0.240 m /s2)er A c) Aceleración de B con respecto al brazo OA. Hay que observar
O B que el movimiento del collarín con respecto al brazo es rectilíneo y está de-
finido por la coordenada r. Se escribe

aB͞OA ϭ r¨ ϭ Ϫ0.240 m/s2
aB͞OA ϭ 0.240 m/s2 hacia O.

671

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN FORMA INDEPENDIENTE

En los siguientes problemas se pide expresar la velocidad y la aceleración de las par-
tículas en términos de sus componentes tangencial y normal, o de sus componentes
radial y transversal. Aunque es posible que esas componentes no le sean tan fami-
liares como las rectangulares, descubrirá que aquellas componentes pueden simpli-
ficar la solución de muchos problemas, y que cierto tipo de movimiento se describe
de manera más sencilla con ellas.

1. Empleo de componentes tangencial y normal. Estas componentes son las
que se usan con mayor frecuencia cuando la partícula de interés viaja a lo largo de una
trayectoria circular, o cuando se va a determinar el radio de curvatura. Hay que recor-
dar que el vector unitario et es tangente a la trayectoria de la partícula (y, en conse-
cuencia, se alinea con la velocidad) mientras el vector unitario en apunta a lo largo de
la normal a la trayectoria y siempre está dirigido hacia su centro de curvatura. Se con-
cluye que, cuando se mueve la partícula, las direcciones de los dos vectores unitarios
están en constante cambio.

2. Expresión de la aceleración en términos de sus componentes tangencial y
normal. En la sección 11.13 se obtuvo la siguiente ecuación, aplicable al movi-
miento tanto bidimensional como tridimensional de una partícula:

a ϭ ᎏddᎏvt et ϩ ᎏv␳ᎏ2 en (11.39)

Las siguientes observaciones posiblemente ayuden a resolver los problemas de esta
sección.

a) La componente tangencial de la aceleración mide la razón de cambio de la

velocidad: at ϭ dv͞dt. Se deduce que cuando at es constante, es posible utilizar las
ecuaciones para el movimiento uniformemente acelerado con la aceleración igual a

at. Además, cuando una partícula se mueve a velocidad constante, se tiene que at ϭ 0
y la aceleración de la partícula se reduce a su componente normal.

b) La componente normal de la aceleración siempre está dirigida hacia el
centro de curvatura de la trayectoria de la partícula, y su magnitud es an ϭ v2͞␳. Por
consiguiente, la componente normal se determina con facilidad si se conoce la velo-
cidad de la partícula y el radio de curvatura ␳ de la trayectoria. De manera inversa,
cuando se conoce la velocidad y la aceleración normal de la partícula, es posible
obtener el radio de curvatura de la trayectoria al resolver esta ecuación para ␳ [pro-
blema resuelto 11.11].

c) En el movimiento tridimensional de una partícula, se recurre a un tercer
vector unitario, eb ϭ et ؋ en, el cual define la dirección de la binormal. En vista de
que este vector es perpendicular tanto a la velocidad como a la aceleración, puede
obtenerse al escribir

eb ϭ ᎏ͉vv ؋؋ᎏaa͉

672

3. Empleo de las componentes radial y transversal. Estas componentes se uti-
lizan para analizar el movimiento plano de una partícula P, cuando la posición P se
define mediante sus coordenadas polares r y ␪. Como se muestra en la figura 11.25,
el vector unitario er, que define la dirección radial, se une al punto P y apunta
alejándose del punto fijo O, en tanto que el vector unitario e␪, que define la dirección
transversal, se obtiene al rotar 90° er en el sentido contrario al de las manecillas del
reloj. La velocidad y la aceleración de la partícula se expresaron en términos de sus
componentes radial y transversal en las ecuaciones (11.43) y (11.44), respectivamen-
te. Se puede advertir que las expresiones obtenidas contienen la primera y segunda
derivadas con respecto a t de ambas coordenadas r y ␪.
En esta lección se encontrarán los siguientes tipos de problemas que implican a las
componentes radial y transversal:

a) Tanto r como ␪ son funciones conocidas de t. En este caso se calcularán
la primera y segunda derivadas de r y ␪ y se sustituyen las expresiones que se ob-
tengan en las ecuaciones (11.43) y (11.44).

b) Existe cierta relación entre r y ␪. Primero, es necesario que determine
esta relación a partir de la geometría de un sistema dado, y utilizarla para expresar r
como una función de ␪. Una vez que se conoce la función r ϭ f(␪), se puede aplicar la
regla de la cadena para determinar ˙r en términos de ␪ y ␪˙ y r¨ en términos de ␪, ␪˙ y ␪¨:

r˙ ϭ fЈ(␪)␪˙
r¨ ϭ f Љ(␪)␪˙2 ϩ fЈ(␪)␪¨
Las expresiones que se obtienen se sustituyen entonces en las ecuaciones (11.43) y
(11.44).
c) El movimiento tridimensional de una partícula, como se indicó al final
de la sección 11.14, en muchos casos puede describirse de manera eficaz en térmi-
nos de las coordenadas cilíndricas R, ␪ y z (figura 11.26). Los vectores unitarios de-
ben consistir en eR, e␪ y k. Las componentes correspondientes de la velocidad y la
aceleración se indican en las ecuaciones (11.49) y (11.50). Advierta que la distancia
radial R siempre se mide en un plano paralelo al plano xy, y tenga cuidado de no
confundir el vector de posición r con su componente radial ReR.

673

Problemas

8m 11.133 Determine la rapidez periférica de la cabina de pruebas centrí-
Figura P11.133 fuga A, para la cual la componente normal de la aceleración es de 10g.

A

11.134 A fin de probar el desempeño de un automóvil, éste es con-
ducido alrededor de una pista de pruebas circular con diámetro d. Determine
a) el valor de d si cuando la rapidez del automóvil es de 72 km/h, la compo-
nente normal de la aceleración es de 3.2 m/s2, b) la rapidez del automóvil si d
ϭ 180 m y se sabe que la componente normal de la aceleración es de 0.6g.

11.135 Determine el radio mínimo que debe usarse para una carretera
si la componente normal de la aceleración de un automóvil que viaja a 45
mi/h no debe ser mayor que 2.4 ft/s2.

B A
r

Figura P11.135

11.136 Determine la rapidez máxima que los carros de la montaña
rusa pueden alcanzar a lo largo de la porción circular AB de la pista, si la
componente normal de su aceleración no puede ser mayor que 3g.

D 80 ft
AB
C
90 mm Figura P11.136

A 11.137 El pasador A, que se encuentra unido al eslabón AB, está res-
tringido a moverse en la ranura circular CD. Si en t ϭ 0 el pasador empieza
B a moverse del reposo de manera que su rapidez aumenta a razón constante
Figura P11.137 de 20 mm/s2, determine la magnitud de su aceleración total cuando a) t ϭ 0.
b) t ϭ 2 s.
674

11.138 Un tren monorriel parte desde el reposo en una curva de 400 Problemas 675
m de radio y acelera a una razón constante at. Si la aceleración total máxima
del tren no debe exceder 1.5 m/s2, determine a) la distancia más corta en la v
que el tren puede alcanzar una rapidez de 72 km/h, b) la razón constante de
aceleración at correspondiente.

11.139 Una pista al aire libre tiene un diámetro de 420 ft. Una
corredora aumenta su rapidez a razón constante desde 14 hasta 24 ft/s en
una distancia de 95 ft. Determine la aceleración total de la corredora 2 s
después de que empieza a aumentar su rapidez.

11.140 En un instante dado en una carrera de aviones, el avión A Figura P11.139
vuela horizontalmente en línea recta, y su rapidez aumenta a razón de 8 m/s2.
El avión B vuela a la misma altura que el avión A y, al rodear un pilar, sigue
una trayectoria circular de 300 m de radio. Si se sabe que en un instante
dado la rapidez de B está disminuyendo a razón de 3 m/s2, determine, para
las posiciones mostradas, a) la velocidad de B relativa a A, b) la aceleración
de B en relación con A.

400 m B
A 540 km/h

450 km/h

200 m
30°

Figura P11.140

11.141 Un automovilista que viaja a lo largo de la parte recta de una
carretera, está disminuyendo la rapidez de su automóvil a razón constante
antes de salir de la carretera por una rampa circular con radio de 560 ft.
Continúa desacelerando a la misma tasa constante de manera que 10 s des-
pués de entrar a la rampa, su rapidez ha bajado a 20 mi/h, a partir de
entonces mantiene dicha rapidez. Si se sabe que a esta rapidez constante la
aceleración total del automóvil es igual a un cuarto de su valor antes de entrar
a la rampa, determine el valor máximo de la aceleración total del automóvil.

560 ft

Figura P11.141

676 Cinemática de partículas 11.142 Los automóviles de carreras A y B se desplazan sobre porcio-
nes circulares de una pista de carreras. En el instante que se indica, la rapi-
dez de A disminuye a razón de 7 m/s2 y la rapidez de B se incrementa a una
tasa de 2 m/s2. Para las posiciones mostradas, determine a) la velocidad de
B relativa a A, b) la aceleración de B relativa a A.

162 km/h 250 m
B 45°
400 m
144 km/h
300 m A
30°

700 m

Figura P11.142

vA 11.143 Un golfista golpea una pelota desde el punto A con una ve-
A 25° locidad inicial de 50 m/s a un ángulo de 25° con la horizontal. Determine el
Figura P11.143 radio de curvatura de la trayectoria descrita por la pelota a) en el punto A,
b) en el punto más alto de la trayectoria.
vA
A 40° 11.144 Según la fotografía de un hombre que está utilizando una
limpiadora de nieve, se determina que el radio de curvatura de la trayectoria
Figura P11.144 de la nieve era de 8.5 m cuando la nieve salía del tubo de descarga en A.
Determine, a) la velocidad de descarga vA de la nieve, b) el radio de curvatura
vA de la trayectoria en su altura máxima.
15°
11.145 Un balón de básquetbol es golpeado contra el suelo en el punto
A A y rebota con una velocidad vA de magnitud 7.5 ft/s, como se muestra en
la figura. Determine el radio de curvatura de la trayectoria descrita por el
balón a) en el punto A, b) en el punto más alto de la trayectoria.

11.146 Se descarga carbón desde la puerta trasera de un camión de
volteo con una velocidad inicial de vA ϭ 6 ft/s d 50°. Determine el radio
de curvatura de la trayectoria descrita por el carbón a) en el punto A, b) en
el punto de la trayectoria 3 ft por debajo del punto A.

Figura P11.145

50° A
vA

Figura P11.146

11.147 Un tubo horizontal descarga desde el punto A un chorro de Problemas 677
agua en un estanque. Exprese el radio de curvatura del chorro en el punto B
en términos de las velocidades vA y vB.

A vA
B vB

Figura P11.147 vA
A 25°
11.148 Un niño lanza una pelota desde el punto A con una velocidad
inicial vA de 20 m/s a un ángulo de 25° con la horizontal. Determine la velo-
cidad de la pelota en los puntos de su trayectoria donde el radio de curvatura
es igual a tres cuartos de su valor en A.

11.149 Se dispara un proyectil desde el punto A con una velocidad
inicial v0. a) Muestre que el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil
alcanza su valor mínimo en el punto más alto de la trayectoria, B. b) Si se
denota mediante ␪ el ángulo formado por la trayectoria y la horizontal en el
punto dado C, muestre que el radio de curvatura de la trayectoria en C es
␳ ϭ ␳mín/cos3␪.

x

B

v0 rmín Cq Figura P11.148
Aa

r

Figura P11.149 y P11.150

11.150 Se dispara un proyectil desde el punto A con una velocidad ini-
cial v0, la cual forma un ángulo ␣ con la horizontal. Exprese el radio de curva-
tura de la trayectoria del proyectil en el punto C en términos de x, v0, ␣ y g.

*11.151 Determine el radio de curvatura de la trayectoria que describe
la partícula del problema 11.95 cuando t ϭ 0.

*11.152 Determine el radio de curvatura de la trayectoria que describe
la partícula del problema 11.96 cuando t ϭ 0, A ϭ 3 y B ϭ 1.

11.153 a 11.155 Un satélite viajará de manera indefinida en una órbi-
ta circular alrededor de un planeta si la componente normal de la acelera-
ción del satélite es igual a g(R/r)2, donde g es la aceleración de la gravedad
en la superficie del planeta, R es el radio del planeta, y r es la distancia desde
el centro del planeta al satélite. Determine la rapidez de un satélite relativa
al planeta indicado, si el satélite se desplaza de manera indefinida en una ór-
bita circular a 160 km sobre la superficie del planeta.

11.153 Venus: g ϭ 8.53 m/s2, R ϭ 6 161 km.
11.154 Marte: g ϭ 3.83 m/s2, R ϭ 3 332 km.
11.155 Júpiter: g ϭ 26.0 m/s2, R ϭ 69 893 km.

678 Cinemática de partículas 11.156 y 11.157 Si el diámetro del Sol es de 864 000 mi y la acele-
ración de la gravedad en su superficie es de 900 ft/s2, determine el radio de

la órbita del planeta indicado alrededor del Sol suponiendo que la órbita es

circular. (Vea la información dada en los problemas 11.153 a 11.155.)
11.156 Tierra: (vmedia)órbita ϭ 66 600 mi/h
11.157 Saturno: (vmedia)órbita ϭ 21 580 mi/h

B 11.158 Si se sabe que el radio terrestre es de 6 370 km, determine el
A tiempo en el que el Telescopio Espacial Hubble recorre una órbita si este
rB instrumento viaja en una órbita circular a 590 km sobre la superficie de la
rA Tierra. (Vea la información dada en los problemas 11.153 a 11.155.)

Figura P11.160 11.159 Un satélite viaja en una órbita circular alrededor de Marte a
una altura de 180 mi. Después de que se ajusta la altura del satélite, se
P descubre que el tiempo de una órbita ha aumentado 10 por ciento. Si se sabe
r que el radio de Marte es 2 071 mi, determine la nueva altura del satélite.
(Vea la información dada en los problemas 11.153 a 11.155.)
q
11.160 Los satélites A y B viajan en el mismo plano en órbitas
circulares alrededor de la Tierra en alturas, respectivamente, de 120 y 200
mi. Si en t ϭ 0 los satélites están alineados en la forma que se muestra, y se
sabe que el radio terrestre es R ϭ 3 960 mi, determine cuándo los satélites
volverán a estar alineados radialmente. (Vea la información dada en los pro-
blemas 11.53 a 11.55.)

11.161 La trayectoria de una partícula P es un caracol. El movimiento
de la partícula está definido por las relaciones r ϭ b(2 ϩ cos ␲t) y ␪ ϭ ␲t,
donde t y ␪ se expresan en segundos y radianes, respectivamente. Determine
a) la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t ϭ 2 s, b) los valores
de ␪ para los cuales la velocidad es máxima.

11.162 El movimiento en dos dimensiones de una partícula se define
por medio de las relaciones r ϭ 2b cos ␻t y ␪ ϭ ␻t, donde b y ␻ son
constantes. Determine a) la velocidad y la aceleración de la partícula en
cualquier instante, b) el radio de curvatura de su trayectoria. ¿A qué
conclusión puede llegarse respecto a la trayectoria de la partícula?

Figura P11.161

11.163 La rotación de la varilla OA alrededor de O se define por medio
de la relación ␪ ϭ ␲(4t2 – 8t), donde ␪ y t se expresan en radianes y segundos,
O respectivamente. El collarín B se desliza a lo largo de la varilla de manera
que su distancia desde O es r ϭ 10 ϩ 6 sen ␲t, donde r y t se expresan en
pulgadas y segundos, respectivamente. Cuando t ϭ 1 s, determine a) la ve-
locidad del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración del
q collarín relativa a la varilla.

r

B 11.164 La oscilación de la varilla OA alrededor de O se define por

medio de la relación ␪ ϭ (2/␲)(sen ␲t), donde ␪ y t se expresan en radianes

y segundos, respectivamente. El collarín B se desliza a lo largo de la varilla

A de manera que su distancia desde O es r ϭ 25/(t ϩ 4), donde r y t se expresan
en pulgadas y segundos, respectivamente. Cuando t ϭ 1 s, determine a) la

Figura P11.163 velocidad del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración del

y P11.164 collarín relativa a la varilla.

11.165 El movimiento de la partícula P es la elipse definida por las Problemas 679
relaciones r ϭ 2/(2 – cos ␲t) y ␪ ϭ ␲t, donde r se expresa en metros, ␪ en
radianes y t en segundos. Determine la velocidad y la aceleración de la par-
tícula cuando a) t ϭ 0, b) t ϭ 0.5 s.

11.166 El movimiento bidimensional de una partícula se define por P
las relaciones r ϭ 2a cos ␪ y ␪ ϭ bt2/2, donde a y b son constantes. Deter-
mine a) las magnitudes de la velocidad y de la aceleración en cualquier ins- r
tante, b) el radio de curvatura de la trayectoria. ¿A qué conclusión puede lle- q
garse en cuanto a la trayectoria de la partícula?

11.167 Para estudiar el desempeño de un automóvil de carreras, una Figura P11.165
cámara de movimiento a alta velocidad se ubica en el punto A y se monta
sobre un mecanismo que permite registrar el movimiento del automóvil
cuando éste se desplaza en el tramo recto BC. Determine la rapidez del
automóvil en términos de b, ␪ y ␪˙.

B
va

r
Aq

b

C

Figura P11.167

11.168 Determine la magnitud de la aceleración del automóvil de
carreras del problema 11.167 en términos de b, ␪, ␪˙ y ␪¨.

11.169 Después de despegar, un helicóptero asciende en línea recta
en un ángulo constante ␤. Un radar sigue su vuelo desde el punto A.
Determine la rapidez del helicóptero en términos de d, ␤, ␪ y ␪˙.

v

Aq B
b

d

Figura P11.169

680 Cinemática de partículas *11.170 El pasador P está unido a la varilla BC y se desliza libremente
en la ranura de la varilla OA. Determine la razón de cambio ␪˙ del ángulo ␪,

si se sabe que BC se mueve a una rapidez constante v0. Exprese su respuesta
en términos de v0, h, ␤ y ␪.

B v0 A
q
h P
O b

C

Figura P11.170

11.171 Para el automóvil de carreras del problema 11.167, se encontró
que éste tardaba 0.5 s en pasar de la posición ␪ ϭ 60° a la posición ␪ ϭ 35°.
Si se sabe que b ϭ 25 m, determine la rapidez promedio del carro durante
el intervalo de 0.5 s.

11.172 Para el helicóptero del problema 11.169, se encontró que cuan-
do éste se ubicaba en B, su distancia y ángulo de elevación era r ϭ 3 000 ft
y ␪ ϭ 20°, respectivamente. Cuatro segundos después, la estación del radar
ubicó al helicóptero en r ϭ 3 320 ft y ␪ ϭ 23.1°. Determine la rapidez pro-
medio y el ángulo de ascenso ␤ del helicóptero durante el intervalo de 4 s.

11.173 y 11.174 Una partícula se mueve a lo largo de la espiral que
se muestra en las figuras; determine la magnitud de la velocidad de la par-
tícula en términos de b, ␪ y ␪˙ .

b O
O

Espiral hiperbólica r q = b Espiral logarítmica
Figura P11.173 y P11.175 Figura P11.174 y P11.176

11.175 y 11.176 Una partícula se mueve a lo largo de la espiral que
se muestra en la figura. Si se sabe que ␪˙ es constante y se denota dicha cons-
tante mediante ␻, determine la magnitud de la aceleración de la partícula
en términos de b, ␪ y ␻.

11.177 Muestre que r˙ ϭ h␾˙ sen ␪ si en el instante mostrado, el escalón Problemas 681
AB de la escaladora está girando en sentido contrario al de las manecillas del
reloj, a una razón constante ␾˙.

O
h

qr

f B
P d

A

Figura P11.177

11.178 El movimiento de una partícula sobre la superficie de un z
cilindro circular se define por medio de las relaciones R ϭ A, ␪ ϭ 2␲t y A
z ϭ At2/4, donde A es una constante. Determine las magnitudes de la velo-
cidad y la aceleración de la partícula en cualquier tiempo t. O

11.179 El movimiento tridimensional de una partícula se define por
medio de las coordenadas cilíndricas (vea la figura 11.26) R ϭ A/(t ϩ 1),
␪ ϭ Bt y z ϭ Ct/(t ϩ 1). Determine la magnitudes de la velocidad y de la
aceleración cuando a) t ϭ 0, b) t ϭ ϱ.

*11.180 Para la hélice cónica del problema 11.95, determine el án- x y
gulo que forma el plano oscilante con el eje y. Figura P11.178

*11.181 Determine la dirección de la binormal de la trayectoria des-
crita por la partícula del problema 11.96, cuando a) t ϭ 0, b) t ϭ ␲/2 s.

Respuestas a los problemas

En esta página y las siguientes se dan las respuestas a los problemas cuyo número está en caracteres normales.
Las respuestas a los problemas con número en letras cursivas no se proporcionan en esta lista.

CAPÍTULO 11 11.61 a) Los valores correspondientes de (t, v, x) son (0, 218 ft/s, 0),

11.1 266.0 m, 149.0 mys, 228 mys2. (4 s, 26 ftys, 245 ft), (10 s, 30 ftys, 24 ft), (20 s, 220 ftys,

11.2 3.00 m, 27.00 mys. 74 ft). b) 12 ftys, 74 ft, 176 ft. 20.0 ftys.
11.3 3.00 s, 259.5 ft, 25.0 ftys2.
11.4 248 in., 72.0 in.ys, 2383 in.ys2. 11.62 Consulte el problema 11.61 para ver las gráficas. a) 30.0 ft/s,

11.5 0.667 s, 0.259 m, 28.56 mys. b) 30 ft/s, 114 ft.

11.6 a) 1.000 s y 4.00 s. b) 1.500 m, 24.5 m. 11.63 a) 0 , t , 10 s, a 5 0; 10 s , t , 26 s, a 5 25 ftys2;
26 s , t , 41 s, a 5 0; 41 s , t , 46 s, a 5 3 ftys2;
11.9 a) 4.00 s. b)256.0 mys, 260 m.
11.10 x 5 t4y108 1 10t 1 24, v 5 t3y27 1 10. t . 46 s, a 5 0; x 5 2540 ft en t 5 0, x 5 60 ft en t 5 10 s,

11.11 233.0 in.ys, 2.00 s, 87.7 in. x 5 380 ft en t 5 26 s, x 5 80 ft en t 5 41 s, x 5 17.5 ft en
11.12 a) 3.00 ftys4. b) v 5 t3 2 32) ftys,
t 5 46 s, x 5 22.5 ft en t 5 50 s. b) 1 383 ft. c) 9.00 s, 49.5 s.
x 5 t4y4 2 32t 1 64) ft.
11.64 a) Igual que en el problema 11.63. b) 420 ft. c) 10.69 s, 40.0 s.
11.15 a) 5.89 ftys. b) 1.772 ft. 11.65 a) 44.8 s. b) 103.3 mys2x.
11.16 236.8 ft2, 1.832 s22.
11.17 a) 0.0900 s22. b) 616.97 mmys. 11.66 207 mmys
11.18 a) 48.0 m3ys2. b) 21.6 m. c) 4.90 mys.
11.67 a) 10.5 s. b) curvas v-t y x-t.
11.21 a) 22.5 m. b) 38.4 mys. 11.69 3.96 mys2.

11.22 a) 29.3 mys. b) 0.947 s. 11.70 a) 0.600 s. b) 0.200 mys, 2.84 m.

11.23 a) 50.0 in. b) `. c) 0.866 s. 11.71 9.39 s.

11.24 3.33 ftys. 11.72 8.54 s, 58.3 miyh.

11.25 a) 0.1457 sym. b) 145.2 m. c) 6.86 mys. 11.73 1.525 s.

11.26 a) 3.33 m. b) 2.22 s. c) 1.667 s. 11.74 a) 50.0 mys, 1 194 m. b) 59.25 mys.
11.27 a) 7.15 mi. b )22.75 3 1026 ftys2. c) 49.9 min.
11.28 a )20.0525 mys2. b) 6.17 s. 11.77 a) 18.00 s. b) 178.8 m, c) 34.7 kmyh.

11.31 a) 2.36 v0T, pv0yT. b) 0.363 v0. 11.78 b) 3.75 m.
11.33 a) 1.500 mys2. b) 10.00 s.
11.79 a) 2.00 s. b) 1.200 ftys, 0.600 ftys.
11.34 a) 25.0 mys. b) 19.00 mys. c) 36.8 m.
11.80 a) 5.01 min. b) 19.18 miyh.
11.35 a) 2.71 s. b) 50.4 miyh.
11.83 a) 2.96 s. b) 224 ft.
11.36 a) 252 ftys. b) 1 076 ft. 11.84 a) 163.0 in.ys2. b) 114.3 in.ys2.

11.39 a) 0.500 km. b) 42.9 kmyh. 11.86 104 ft.
11.40 a )22.10 mys2, 2.06 mys2. b) 2.59 s antes de que A llegue a 11.89 a) 8.60 mmys c 35.5°, 17.20 mmys2 a 35.5°.

la zona de intercambio. b) 33.4 mmys a 8.6°, 39.3 mmys2 a 14.7°.

11.41 a) 15.05 s, 734 ft. b) 42.5 miyh, 23.7 miyh. 11.90 a) 0, 159.1 mys2 b 82.9°. b) 6.28 mys y, 157.9 mys2w.
11.42 a) 5.50 ftys2. b) 9.25 ftys2.
11.43 a) 3.00 s. b) 4.00 ftys2. 11.91 a) 5.37 mys. b) t 5 2.80 s, x 5 27.56 m, y 5 5.52 m,
11.44 a )20.250 mys2, 0.300 mys2. b) 20.8 s. c) 85.5 kmyh. v 5 5.37 mys2 b 63.4°.
11.46 a) 17.36 ftys2 b, 3.47 ftys2 b. b) 20.1 ft. c) 9.64 ftys.
11.92 a) 2.00 in.ys, 6.00 in.ys. b) Para vmín, t 5 2Np s, x 5 8Np in.,
11.47 a) 2.00 mysx. b) 2.00 mysw. c) 8.00 mysx. y 5 2 in., v 5 (2.00 in.ys y o bien 2.00 in.ys z.
11.48 a) 20.0 mys2 y, 6.67 mys2w. b) 13.33 mysw, 13.33 mw.
Para vmáx, t 5 (2N 1 1)p s, x 5 4(2N 1 1)p, y 5 6 in.,
11.49 a) 30.0 ftysx. b) 15.00 ftysx. c) 45.0 ftysx. d) 30.0 ftysx.
11.50 a) 2.40 ftys2x, 4.80 ftys2w. b) 12.00 ftysx. v 5 6.00 in.ys y o bien 6.00 in.ys z.

11.53 a) 200 mmys y. b) 600 mmys y. c) 200 mmys z. 11.95 2R21 1 vn2t2) 1 c2, Rvn 24 1 v 2 t2.
n
d) 400 mmys y. 11.96 a) 3.00 ftys, 3.61 ftys2. b) 3.82 s.
11.54 a) 13.33 mmys2 z, 20.0 mmys2 z. b) 13.33 mmys2 y.
11.97 353 m.
c) 70.0 mmys y, 440 mm y.
11.55 a) 10.00 mmys y, b) 6.00 mmys2 y, 2.00 mmys2x. 11.98 a) 15.50 mys. b) 5.12 m.

c) 175 mmx. 11.99 15.38 ftys # v0 # 35.0 ftys.
11.56 a) 240 mmys2w, 345 mmys2x. b) 130 mmys y, 43.3 mmysx. 11.100 a) 70.4 miyh # v0 # 89.4 miyh. b) 6.89°, 4.29°.
11.101 a) 2.87 m . 2.43 m. b) 7.01 m de la red.
c) 728 mm y.
11.57 a) 2.00 in.ys2x, 3.00 inys2w. b) 0.667 s. c) 0.667 in.x. 11.102 0.244 m # h # 0.386 m.
11.58 a) 1 2 6t2 )y4 in.ys2. b) 9.06 in.
11.103 726 ft o bien 242 yd.

11.104 0 # d # 1.737 ft.

11.105 23.8 ftys.

11.106 a) 29.8 ftys. b) 29.6 ftys.

11.107 10.64 mys # v0 # 14.48 mys.
11.108 0.678 mys # v0 # 1.211 mys.
11.111 a) 4.90°. b) 963 ft. c) 16.24 s.

11.112 a) 14.66°. b) 0.1074 s.

1351

11.113 a) 10.38°. b) 9.74°. CAPÍTULO 12

11.115 a) 45.0°, 6.52 m. b) 58.2°, 5.84 m. 12.1 a) 4.987 lb en 0°, 5.000 lb en 45°, 5.013 lb en 90°. b) 5.000 lb
en todas las latitudes, c) 0.1554 lb ? s2yft en todas las latitudes.
11.117 a) 1.540 mys a 38.6°. b) 1.503 mys a 58.3°.

11.118 5.05 mys b 55.8°. 12.2 a) 3.24 N. b) 2.00 kg.
12.3 1.300 3 106 kg ? mys.
11.119 1.737 nudos c 18.41°.

11.120 a) 2.67 miyh d 12.97°. b) 258 miyh a 76.4°. 12.5 a) 6.67 mys. b) 0.0755.

c) 65 m c 40°. 12.6 a) 225 kmyh. b) 187.1 kmyh.
11.123 a) 8.53 in.ys b 54.1°. b) 6.40 in.ys2 b 54.1°.
11.124 a) 7.01 in.ys d 60°. b) 11.69 in.ys2 d 60.6°. 12.7 0.242 mi.
11.125 a) 0.835 mmys2 b 75°. b) 8.35 mmys b 75°.
11.126 a) 0.958 mys2 c 23.6°. b) 1.917 mys c 23.6°. 12.8 a) 135.3 ft. b) 155.8 ft.

12.9 419 N al inicio y 301 N durante el deslizamiento.

11.127 10.54 ftys d 81.3°. 12.10 0.414 mys2 c 15°.

11.128 a) 5.18 ftys b 15°. b) 1.232 ftys b 15°. 12.11 a) A: 2.49 mys2 y, B: 0.831 mys2w. b) 74.8 N.

11.129 17.49 kmyh a 59.0°. 12.12 a) A: 0.698 mys2 y, B: 0.233 mys2w. b) 79.8 N.

11.130 15.79 kmyh c 26.0°. 12.15 a) 0.986 mys2 b 25°. b) 51.7 N.

11.133 28.0 mys. 12.16 a) 1.794 mys2 b 25°. b) 58.2 N.

11.134 a) 250 m. b) 82.9 kmyh. 12.17 a) 0.997 ftys2 a 15°, 1.619 ftys2 a 15°.

11.135 1 815 ft. 12.19 Sistema 1: a) 10.73 ftys2. b) 14.65 ftys. c) 1.864 s.

11.136 59.9 miyh. Sistema 2: a) 16.10 ftys2. b) 17.94 ftys. c) 1.242 s.
11.137 a) 20.0 mmys2. b) 26.8 mmys2.
11.138 a) 178.9 m. b) 1.118 mys 2. Sistema 3: a) 0.749 ftys2. b) 3.87 ftys. c) 26.7 s.
11.139 2.53 ftys2.
11.141 15.95 ftys2. 12.20 a) 1.962 mys2x. b) 39.1 N.

12.21 a) 6.63 mys2 z. b) 0.321 m y.

12.22 a) 14.53 mys2 a 65°. b) 4.24 mys2 d 65°.

11.143 a) 281 m. b) 209 m. 12.24 0.347 m0 v 2 yF0.
0

11.144 a) 7.99 mys a 40°. b) 3.82 m. 12.26 2kym ( 2l2 1 x02 2 l).

11.145 a) 6.75 ft. b) 0.1170 ft. 12.27 119.5 miyh.

11.146 a) 1.739 ft. b) 27.9 ft. 12.28 a) 33.6 N. b) aA 5 4.76 mys2 y, aB 5 3.08 mys2w,
11.147 rB 5 v2By 9vA. aC 5 1.401 mys2 z.

11.148 18.17 mys a 4.04° y 18.17 m ys c 4.04°. 12.29 a) 36.0 N. b) aA 5 5.23 mys2 y, aB 5 2.62 mys2w. aC 5 0.
11.151 (R2 1 c2 )y2vn R. 12.30 a) aA 5 aB 5 aD 5 2.76 ftys2w, aC 5 11.04 ftys2x.

11.152 2.50 ft. b) 18.80 lb.
11.153 25.8 3 103 kmyh.
11.154 12.56 3 103 kmyh. 12.31 a) 24.2 ftysw. b) 17.25 ftysx.
11.155 153.3 3 103 kmyh.
11.156 92.9 3 106 mi. 12.36 a) 80.4 N. b) 2.30 mys.
11.157 885 3 106 mi.
12.37 a) 49.9°. b) 6.85 N.

12.38 8.25 ftys.

12.40 2.77 mys , v , 4.36 mys.

11.158 1.606 h. 12.42 9.00 ftys , vC , 12.31 ftys.
12.43 2.42 ftys , v , 13.85 ftys.
11.161 a) 3pb eu ,24p2b er. b) u 5 2Np, N 5 0, 1, 2, . . . .
11.162 a) 2bv, 4bv2. b) r 5 b, un círculo. 12.44 a) 131.7 N. b) 88.4 N.

11.163 a ) 2 ( 6 p in.ys2)er, (80 p in.ys2)eu. b) 0. 12.45 a) 553 N. b) 659 N.
11.165 a) (2p mys)eu ,24 p2 mys2)er
12.46 a) 668 ft. b) 120.0 lbx.
b)2(py2 mys)er 1 (p mys)eu ,2(p2y2 mys2)er 2 (p2 mys2)eu. 12.47 a) 6.95 ftys2 c 20°. b) 8.87 ftys2 c 20°.

11.166 a.) 2abt, 2ab 21 1 4b2t4. b) r 5 a(círculo) 12.48 a) 2.905 N. b) 13.09°.
11.169 du tan b sec bytan b cos u 2 sen u)2.
12.49 1 126 N b 25.6°.

11.170 v0 cos b tan b cos u 1 sen u)2yh. 12.50 24.1° # u # 155.9°.

11.171 185.7 kmyh. 12.51 a) 43.9°. b) 0.390. c) 78.8 kmyh.

11.172 61.8 miyh, 49.7°. 12.53 a) 0.1858 W. b) 10.28°.

11.175 ( bv2yu3) 24 1 u4. 12.55 468 mm.
11.176 (1 1 b2) v2ebu.
11.180 tan21[R2 1 vN2 t2 )yc 24 1 vN2 t2] 12.56 2.36 mys # v # 4.99 mys.

11.181 a) ux 5 90°, uy 5 123.7°, uz 5 33.7°. b) ux 5 103.4°, 12.57 a) 0.1904,movimiento inminente hacia abajo,

uy 5 134.3°, uz 5 47.4°. b) 0.349, movimiento inminente hacia arriba.

11.182 a) 1.00 s, 4.00 s. b) 1.50 m, 24.5 m. 12.58 a) No se desliza 1.926 lb b 80°.
11.184 a )22.43 3 106 ftys2. b) 1.366 3 1023 s.
b) Se desliza hacia abajo. 1.123 lb b 40°.

12.61 a) 0.1834. b) 10.39° para el movimiento inminente hacia la

11.185 a) 11.62 s, 69.7 ft. b) 18.30 ftys. izquierda, 169.6° para el movimiento inminente hacia la derecha.

11.186 a) 3.00 s. b) 56.25 mm arriba de su posición inicial. 12.62 a) 2.98 ft/s. b) 19.29° para el movimiento inminente hacia la

11.187 vA 5 12.5 mmysx, vB 5 75 mmysw, izquierda, 160.7° para el movimiento inminente hacia la derecha.

vC 5 175 mmysw. 12.64 1.054 2eV/mv20.
12.65 1.333 l.
11.189 17.88 kmyh a 36.4°.

11.190 2r. .454 ftys2. r¨ 5 34.8 mys2, . 5 20.0900 radys, 12.66 a) Fr 5 210.73 N, Fu 5 0.754 N.
11.193 120 mys, u b) Fr 5 24.44 N, Fu 5 1.118 N.
u¨ 5 20.0156 radys2.
12.67 Fr 5 0.0523 N, Fu 5 0.432 N.

1352