คณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน นางสาว ฐิชา แซ่จัง ม. 5/4 เลขที่ 15
RELATION AND FUNCTION ความสัมพันธ์และฟังก็ชัน 1. ความสัมพันธ์ (relation) บทนิยาม (a,b) = (c,d ) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d ผลคูณคาร์ทีเชียน ของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็น สมาชิกของเซต a และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A x B A x B { (a,b) | a A และ b B ความสัมพันธ์ • เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r c A X B • เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B หรือมีความสัมพันธ์บนเซต A ก็ต่อเมื่อ r c A X A Ex. A = { 1,3,5 } และ B = { 2,4 } ให้หา A x B และ B x A A X B = / (a x b) | a A และ b B ) ดังนั้น A x B = { (1,2),(1,4),(3,2),(3,9),(5,2),(5,4) } B X A = f (a x b) | a B และ b A ) ดังนั้น B x A = { (2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5) } - 6 jo E E E t E E .. - MATH
2. กราฟของความสัมพันธ์ ( Graph of Relation ) บทนิยาม ให้ r เป็นสับเซตของ R x R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุด ในระนาบที่แสดงคู่อันดับที่สมาชิกของความสัมพันธ์ r r = { (x,y) } R x R | y = 3x r = { (x,y) } R x R | y = x r = { (x,y) } R x R | y = | x | r = { (x,y) } R x R | y = 2 < x < 8 ทุกจุดที่อยู่บนเส้นปะไม่รวมอยู่ในกราฟ แต่ทุกจุดบนเส้นทึบรวมอยู่ในกราฟ Ex 2 t - - - - = = - 1 1 1 I I I I 1 1 I I 11 1 I 1111111111 I 11 1 I I I - - - - - - - - - - - - - - X = - 2 - 10 1 2 y = - 6 - 3036 Y -8 - I - = ! I = = ! I 1111111111 I 11 1 I 1 1 1 1 1 I 1, 11111111 I I i - - - - - - - - - - - - - - - = x = - 2 - 10 12 y = 2 1 0 1 2
3. โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ ( Domain and Range of Reletion ) ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B • โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนด้วย "Dr" Dr = { X A | มี y B ซึ่ง (x,y) r } • เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนด้วย "Rr" Rr = { y B | มี x A ซึ่ง (x,y) r } พิจารณา Dr และ Rr ของความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไข • Dr : จัดตัวแปร yในรูปของ x แล้วพิจารณาด่า x ที่ทําให้ค่า y สอดคลองกับเงื่อนไข • Rr : จัดตัวแปร Xในรูปของ y แล้วพิจารณาค่า y ที่ทําให้ค่า x สอดคลองกับเงื่อนไข การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กําหนดด้วยกราฟ • การหาโดเมน จะพิจารณาตามแนวแกน x จากด้านซ้ายไปขวาว่าเส้นกราฟ เริ่มต้นจากจํานวนใดไปจํานวนใด • การหาเรนจ์จะพิจารณาตามแนวแกน y จากด้านล่างไปบนว่าเส้นกราฟ เริ่มต้นจากจํานวนใดไปจํานวนใด E E E W z t E E - ↑~ O W -
4. ฟังก์ชัน ( Function) บทนิยาม ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคู่กับ สมาชิกในเรนจ์ของความสัมพันธ์ "เพียงตัวเดียว" เท่านั้น o จากแผนภาพความสัมพันธ์ r และ r ข้างต้นจะเห็นว่า สมาชิกแต่ละตัว ในเซต A จับคู่กับสมาชิกในเซต B ได้เพียงตัวเดียว 1 4 2 5 3 6 a 11 b 12 c 13 d 14 15 1 4 2 5 3 6 จากแผนภาพความสัมพันธ์ r จะเห็นว่ามี สมาชิกในเซต A ที่จับคู่สมาชิกในเซต B มากกว่า 1 ตัว เรียกความสัมพันธ์ r และ r ว่า "ฟังก์ชัน" และเรียกความสัมพันธ์ r ว่า “ไม่เป็นฟังก็ชัน" r r r A B A B A B 7 I 2 - 1 - 3 - 12 S3 Ea
x = -2 -1 0 1 2 y = -4 -2 0 2 4 ฟังก์ชันเชิงเส้น ( Linear Function ) y = 2x C y = -3x + 1 x = -2 -1 0 1 2 y = 7 4 1 -2 -5 จากกราฟ จะเห็นว่าฟังก์ชัน y = 2x และ y = -3x + 1 มีกราฟเป็นเส้นตรง จะเรียกฟังก์ชันที่มีลักษณะของกราฟเป็นเส้นตรงว่า “ฟังก์ชันเชิงเส้น" ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax + b เมื่อ a,b เป็นจํานวนจริง จากจากฟังก์ชัน y = ax + b ถ้า a = 0 จะได้ฟังก์ชันอยู่ในรูป y = b ซึ่งมีกราฟเป็น เส้นตรงที่ขนานกับแกน x จะเรียกฟังก็ชันแบบนั้ว่า "ฟังก์ชันคงตัว" • ถ้า a > 0 กราฟจะทํามุมแหลมกับแกน x ใน ทิศทวนเข็มนาWิกา • ถ้า a < 0 กราฟจะทํามุมป้านกับแกน x ใน ทิศทวนเข็มนาWิกา y = 6 ............ ...... = = =f - - # 1 1 1 1 1 I 11 1 1 1 1 1 111 = --
• กราฟฟังก์ชันกําลังสอง คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป " y = ax + bx + c " เมื่อ a,b และ c เป็นจํานวนจริงใด ในกรณีทั่วไปกราฟ y = ax + bx + c เมื่อ a = 0 1. กราฟของ Y = ax + 6x + c มีจุดวกกลับที่จุด 2. แกนสมมาตรของกราฟจะต้องผ่าน จุดตํ่าสูงสุดเสมอ 3. แกนสมมาตรของกราฟ คือ x = -b 4. กราฟจะติดแกนได้ 2 จุดและติดแกน y ได้เพียง ฟังก์ชันกําลัง 2 ( Quaradrat ic Function ) 2a b , 4ac - b 2a 4a y = ax + bx + c , a > 0 จุดตัดแกน x จุดตัดแกน y แกนสมมาตร จุดวกกลับ 2 2 2 2 s = 2 N .
• กราฟหงาย สปส. x เป็นบวก • ฟังก์ชันให้ค่า "ตํ่าสุด" กราฟหงาย/กราฟควํ่า • กราฟควํ่า สปส. x เป็นลบ • ฟังก์ชันให้ค่า "สูงสุด" จากสมการ y = f(x) = ax + bx + c a < 0 a > 0 พิกัดของจุดยอด ของฟังก์ชันกําลังสอง ฟังก์ชันกําลังสอง หรือสมการพาลาโบลา มีรูปสมการ 2 แบบคือรูปมาตรฐาน และรูปทั่วไป แต่ละ รูปแบบมีสูตรหาจุดยอด ดังนี้ • รูปแบบมาตรฐาน - ฟังก์ชันกําลังสอง y = f(x) = a(x-h) + k ; a = 0 - พิกัดจุดยอด (h,k) • รูปทั่วไป จาก y = f(x) = ax + bx + (h,k) = - . 2 · (h, k( ink( 2 2 2 2 C
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียล Exponential Function ฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียล จะเป็นฟังก์ชันขึ้นฐานอย่างง่ายที่เลขฐาน "เลขฐานเป็นบวกและไม่เท่ากับ 0 และไม่เท่ากับ 1 " เป็นกราฟหงายขึ้นหรือ ควํ่าลงเพียงด้านใดด้านหนึ่ง บทนิยาม f = { (x,y) R x R | y = a และ a > 0และ a = 1 } เขียนสั้นๆ y = a กราฟของฟังก็ชันเอกซ์โปเนเชียล กราฟของฟังก์ชันชนิดนั้มี 2 ลักษณะคือกราฟฟังก็ชันเพิ่มกราฟฟังก็ชันลด a > 1 ได้กราฟฟังก์ชันเพิ่ม 0 < a < 1 ได้กราฟฟังก์ชันลด x x Y Y I I 1 - I I >X 7 X 0 0
ฟังก์ชันขั้นบันได ( Step function ) คือฟังก์ชันที่มี D เป็นสับเซตของจํานวนจริง มีค่าของ f เป็น ค่าคงตัวเป็นช่วงๆมากกว่า 2 ช่วง 1. อัตราค่าบริการเช่ารถ 2 ชม. แรก คิดค่าบริการ 100 บาท ชั่วโมงที่ 3 ขึ้นไป คิดค่าบริการชั่วโมงละ 30 บาท ? : เขียนฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชันแทนอัตราค่าบริการเมื่อเช่ารถเป็นเวลา 5 ชม. 100 , 0 < x < 2 130 , 2 < x < 3 160 , 3 < x < 4 190 , 4 < x < 5 f(x) = ค่าเช่า ชม - o 190 - 160↓ ⑧ ⑧ 130 ⑧ 100 -!