GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

Bahan Ajar Matematika
SMP/MTs

Kelas
VIII

Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 1

BAHAN AJAR

Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : VIII (Delapan)/Genap
Materi Pokok : Garis singgung persekutuan dua lingkaran

A. Komptensi Dasar
3.8.Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dan cara
melukisnya
4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan luar dan
persekutuan dalam dua lingkaran

B. Indikator Pencapaian Kompetensi
3.8.1 Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
3.8.2 Menjelaskan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
3.8.3 Melukis garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran
3.8.4 Melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
3.8.5 Menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
3.8.6 Menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
4.8.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan luar dua
lingkaran
4.8.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan dalam dua
lingkaran

C. Tujuan Pembelajaran
Setelah membaca bahan ajar ini, diharapkan Peserta didik dapat:
1. Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
2. Menjelaskan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
3. Melukis garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran
4. Melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
5. Menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
6. Menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 2

7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan luar dua
lingkaran

8. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan dalam dua
lingkaran

D. Peta Konsep

Mengenal Garis Garis Singgung Garis Singgung
Singgung Lingkaran Persekutuan dua Persekutuan Luar Dua

lingkaran Lingkaran

Garis singgung
Persekutuan Dalam Dua

Lingkaran

E. Uraian Materi
1. Mengenal garis singgung lingkaran
Pernahkah kalian memperhatikan rantai sepeda yang menghubungkan pedal dan
as roda belakang? Apa saja komponen yang ada di sana? Ya, di sana terdapat dua gir
yang berbentuk lingkaran bergerigi yang dihubungkan oleh rantai. Panjang rantai
haruslah tepat, tidak terlalu ketat dan tidak terlalu longgar. Panjang rantai tersebut
menunjukkan salah satu penerapan garis singgung lingkaran dalam hal ini garis singgung
persekutuan luar dua lingkaran.

Sumber gambar: https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/
Gambar 1: Sepeda dan Rantai sepeda

Kali ini akan diuraikan garis singgung lingkaran. Apa itu garis singgung
lingkaran?. Untuk mengenal garis singgung lingkaran, cermati uraian berikut.

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 3

A

O g’
B g

Diadaptsi dari Nuniek, 2008
Gambar 2: Garis singgung lingkaran yang menyinggung lingkaran di titik A
Gambar 2 di atas menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik O dengan
diameter AB. Garis g tegak lurus AB dan memotong lingkaran di dua titik. Jika g digeser
terus menerus ke arah A hingga menyentuh titik A, maka akan diperoleh garis g' yang
menyinggung lingkaran dan tegak lurus AB. Garis g' disebut garis singgung dan titik A
disebut titik singgung.
Uraian ini menggambarkan definisi garis singgung lingkaran yaitu:
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat
di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.

Dari definisi di atas, kita dapat mengenal garis singgung dan bukan garis
singgung suatu lingkaran. Perhatikan gambar!. Garis berwarna merah dan banyak titik
pada lingkaran yang di potong oleh garis tersebut.

Bahan Ajar Sumber: As’ari et. All, 2016
Gambar 3; Perbedan garis singgung dan bukan garis singgung.

Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 4

Perhatikan kembali Gambar 1. Gambar 1 menunjukkan bahwa ukuran sudut yang
terbentuk antara jari-jari dan garis singgung lingkaran adalah sudut siku-siku.

2. Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
Pada mata pelajaran IPA, Saudara mempelajari tentang fenomena gerhana bulan.

Terdapat daerah umbra dan penumbra pada saat terjadinya gerhana bulan. Bagaimana
menentukan daerah umbra dan penumbra tersebut? Perhatikan gambar gerhana bulan
yang terjadi pada tanggal 28 Juli 2018 berikut ini. Saudara akan menemukan satu lagi
penerapan garis singgung persekutuan luar sekaligus persekutuan dalam pada penentuan
daerah umbra dan penumbra.

Sumber gambar: Sutaunti, 2019

Gambar 4: Gerhana bulan 28 Juli 2018

Misal kita memiliki dua lingkaran dengan pusat P dan Q. Jari-jari lingkaran P dan
Q berturut-turut adalah r1 dan r2. Garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q
adalah ruas garis terpendek yang meninggung kedua lingkaran tersebut dan tidak melalui
daerah di antara kedua lingkaran. Perhatikan Gambar 5. Ruas garis FH adalah satu dari
dua garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q. Tititk F adalah titik singgung
pada lingkaran P, tititk H adalah titik singgung pada lingkaran Q.

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 5

Gambar 5: Garis singgung persekutuuan luar lingkaran P dan Q
Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.
1. Buatlah dua lingkaran dengan pusat misalnya P dan Q dengan jari-jari r1 dan r2 (r2 <

r1) . kemudian hubungkan kedua titik pusat P dan Q

2. Lukislah busur lingkaran dari P dan Q dengan jari-jari yang sama dan r > 1 PQ,

2

sehingga berpotongan di titik misalnya A dan B.

3. Hubungkan A dan B sehingga memotong PQ di titik C.

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 6

4. Lukislah lingkaran yang berpusat di C, dengan jari-jari CP = CQ

5. Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dengan jari-jari (r1 – r2), sehingga
memotong lingkaran berpusat di C dengan jari-jari CP=CQ di titik D dan E.

6. Hubungkan titik P dengan titik D dan titik P dengan E, kemudian perpanjanglah
sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik F dan G

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 7

7. Lukislah busur lingkaran dengan pusat F dan jari-jari DQ sehingga memotong
lingkaran yang Q di titik H. Lukislah busur lingkaran dengan pusat G dan jari-jari
EQ sehingga memotong lingkaran Q di titik misalnya I (jadi, GI = EQ)

8. Hubungkan titik F dengan titik H dan titik G dengan I.sehingga terbentuk garis
singgung persekutuan luar dua lingkaran yaitu GI dan FH.

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 8

Menentukan Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan P dan Q, Cermati

beberapa informasi penting berikut!
1. Garis singgung FH menyinggung lingkaran P dan Q masing-masing tepat di satu

titik.
2. Dari titik F dan P dapat dibuat jari-jari lingkaran P sepanjang r1 dan siku-siku

dengan FH.
3. Dari titik H dan Q dapat dibuat jari-jari lingkaran Q sepanjang r2 dan siku-siku

dengan FH.
Dari ketiga informasi tersebut, dapat dibuat ilustrasi sebagai berikut

Gambar 6: Garis FH garis singgung persekutuuan luar lingkaran P dan Q
Perhatikan ruas garis FH dan jari-jari FP dan HQ pada gambar di atas. Kita
mendapatkan informasi bahwa ruas garis FH tegak lurus dengan jari-jari FP dan
HQ. Dengan demikian, dapat dibuat garis yang menghubungkan titik Q dengan titik
S pada PF, sedemikian sehingga SF=r2 . Diperoleh gambar baru.

Gambar 7 Garis SQ sejajar dengan garis FH
Setelah gambar terbentuk, perhatikan segiempat SQHF.
1. Panjang SF = HQ = r2
2. SFH = QHF sama-sama siku-siku! Mengapa?

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 9

Berdasarkan gambar terlihat bahwa QS sejajar dengan FH. Akibatnya FSQ
dan HQS adalah sudut siku-siku. Dengan kata lain, segiempat SQHF adalah persegi
panjang. Akibatnya adalah panjang QS = FH
Sekarang perhatikan segitiga PSQ. Terdapat beberapa informasi yaitu:
1. Sudut QSP berpelurus dengan sudut QSR (Sudut QSR siku-siku), sehingga sudut

QSP juga siku-siku. Dengan kata lain, segitiga PSQ berupa segitiga siku-siku
dengan sudut siku-siku di S.
2. Panjang PS=r1 – r2
Berangkat dari informasi tersebut, dengan menggunakan teorema Pythagoras kita
dapat menentukan panjang QS.

QS2 =PQ2 – (r1 – r2)2

QS = √ 2 – ( 1 – 1)2

Untuk lebih memahami, silakan cermati contoh berikut.

Contoh 1
Perhatikan gambar!,

Gambar menunjukkan bahwa AB adalah garis singgung persekutuan luar dua
lingkaran yang berpusat di P dan Q. Hitunglah panjang AB.

Alternatif Jawaban:
Dari gambar diperoleh:

Jarak kedua titik pusat lingkaran (PQ) = 13 cm,
Panjang jari-jari lingkaran pertama (r1) = 7 cm,
panjang jari-jari lingkaran kedua, r2 = 2 cm,

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 10

Ditanyakan:
Panjang garis singgung persekutuan luar (AB)= …
Penyelesaian:
Jika pada gambar tersebut kita tarik garis sejajar AB dari titik Q, maka kita peroleh
garis QC.
Dengan demikian, terbentuk segitiga siku-siku PQC siku-siku di C

C

Dengan demikian,
QC = √ 2 − ( − )2
QC = √ 2 − ( 1 − 2)2

= √132 − (7 − 2)2
= √169 − (5)2
= √169 − 25
= √144
= 12
Karena QC sejajar AB, maka panjang garis singgung AB adalah 12 cm

Contoh 2
Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran 12 cm dan jarak
kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkarannya
adalah 3 ½ cm, maka hitunglah jari-jari lingkaran yang lain!
Alternatif jawaban:
Diketahui:
Misal l garis singgung lingkaran, p jarak kedua titik pusat lingkaran.

Panjang garis singgung persekutuan luar l = 12 cm

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 11

Jarak kedua titik pusat lingkaran p = 13 cm
Jari-jari lingkaran r2 = 3,5 cm
Ditanyakan: r1 = …
Penyelesaian :
l2 = 2 − ( 1 − 2)2
122 = 13² – (r1 – 3,5)²
144 = 169 – (r1 – 3,5)²
(r1 – 3,5)² = 169 -144
(r1 – 3,5)² = 25
(r1 – 3,5) = √25
(r1 – 3,5) = 5

r1 = 5 + 3,5
r1 = 8,5
Jadi jari-jari lingkaran yang lainnya adalah 8,5 cm

3. Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
Misal kita memiliki dua lingkaran dengan pusat P dan Q. Jari-jari lingkaran P

dan Q berturut-turut adalah r1 dan r2. Garis singgung persekutuan dalam lingkaran
P dan Q adalah ruas garis terpendek yang meninggung kedua lingkaran tersebut dan
melalui daerah di antara kedua lingkaran. Perhatikan Gambar 6. Ruas garis FI adalah
satu dari dua garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan Q. Tititk F adalah
titik singgung pada lingkaran F. Sedangkan tititk l adalah titik singgung pada
lingkaran Q.

Bahan Ajar Gambar 8: Garis singgung persekutuuan dalam lingkaran P dan Q
Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 12

Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dua lingkaran
1. Lukislah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masing masing r1

dan r2 (r1 > r2), kemudian hubungkan titik pusat P dan Q

1

2. Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari r > PQ,

2

sehingga berpotongan di titik A dan B.

3. Hubungkan titik A dan B, sehingga memotong PQ di titik C

4. Lukislah lingkaran yang berpusat di C dengan jari-jari CP = CQ

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 13

5. Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari r1 + r2 sehingga
memotong lingkaran berpusat di C dengan jari-jari CP=CQ di titik D dan E.

6. Hubungkan titik pusat P dengan titik D dan P dengan E, sehingga memotong
lingkaran dengan pusat P di titik F dan G

7. Lukislah busur lingkaran dengan pusat F dan jari-jari DQ, sehingga memotong
lingkaran yang berpusat di Q pada titik J (jadi, FI=DQ).
Lukislah busur lingkaran dengan pusat G dan jari-jari EQ sehingga memotong
lingkaran yang berpusat di Q pada titik H (jadi, GH=EQ)

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 14

8. Hubungkan F dengan I dan G dengan H, sehingga terbentuk garis singgung
persekutuan dalam FI dan GH

Menentukan Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam, Cermati beberapa

informasi penting berikut!
1. Terdapat lingkaran P dan Q
2. Garis singgung FI menyinggung lingkaran P dan Q masing-masing tepat satu

titik.
3. Dari F dan P dapat dibuat jari-jari lingkaran P sepanjang r1 dan siku-siku dengan

FI
4. Dari titik I dan Q dapat dibuat jari-jari lingkaran Q sepanjang r2 dan siku-siku

dengan FI.
Dari keempat informasi tersebut dapat dibuat ilustrasi sebagai berikut.

Gambar 9: Garis singgung persekutuuan dalam lingkaran P dan Q
Perhatikan gambar tersebut, terdapat beberapa informasi penting yang kita peroleh
1. Ruas garis FI tegak lurus dengan jari-jari PF dan QI.
2. Kita dapat memperpanjang garis PF menjadi PZ, sedemikian sehingga panjang FZ

= r2.
3. Kemudian dengan menghubungkan titik P, Q, dan Z kita dapat membentuk

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 15

segitiga QPZ segitiga QPZ adalah suatu segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku
di Z.
Berikut gambar setelah segitiga QPZ terbentuk.

Gambar 9: Garis ZQ sejajar dengan singgung FI

Selanjutnya, dengan memperhatikan gambar setelah segitiga QPZ terbentuk,

maka kita dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk menentukan panjang QZ.

Diperoleh

QZ2 = PQ2 – PZ2
QZ2 = PQ2 – (r1 + r2)2

QZ = √ 2 − ( 1 + 2)2
Sebagaimana uraian sebelumnya, FI sejajar dengan QZ, dengan demikian

panjang QZ sama dengan FI, sama dengan panjang garis singgung persekutuan dalam

lingkaran P dan Q.

Untuk lebih memahami, silakan cermati contoh soal berikut.

Contoh 3

Gambar di bawah ini menunjukkan dua buah lingkaran dengan pusat P dan Q.

Panjang jari-jari PA = 7 cm, jari-jari BQ = 3 cm, dan AB adalah garis singgung

persekutuan dalam. Jika PQ = 26 cm, panjang AB adalah...

A Q
P B

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 16

Alternatif Jawaban
Diketahui:

Jari-jari besar (r1) = PA = 9 cm
Jari-jari kecil (r2) = BQ = 6 cm
Jarak antar pusat lingkaran PQ =17 cm
Ditanya:
Panjang garis singgung persekutuan dalam AB = …
Penyelesaian:
AB = √ 2 − ( 1 + 2)2
= √172 − (9 + 6)2
= √289 − (15)2
= √289 − 225
= √64
=8
Jadi, panjang garis singgung AB = 8 cm

F. Latihan soal
Pilihlah jawaban yang paling benar
1. Diketahui dua lingkaran berjari-jari masing-masing 12 cm dan 5 cm. Jika panjang garis
singgung persekutuan luarnya 24 cm, maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut
adalah . . . .
A. 36 cm
B. 30 cm
C. 25 cm
D. 17 cm
2. Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q 24
cm. Jika panjang jari-jari lingkaran kecil 4 cm dan jarak titik pusat kedua lingkaran 25
cm, maka panjang jari-jari lingkaran lainnya adalah . . . .
A. 7 cm
B. 10 cm

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 17

C. 11 cm
D. 12 cm
3. Jari-jari lingkaran yang berpusat di A sama dengan 2 kali jari-jari lingkaran yang
berpusat di B. Jika panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran itu 36 cm
dan jarak kedua pusatnya 39 cm, maka panjang jari-jari lingkaran A adalah . . . .
A. 15 cm
B. 20 cm
C. 25 cm
D. 30 cm
4. Perhatikan gambar!

Jika luas daerah yang diarsir adalah 165 cm2165 cm2, maka panjang AB adalah . . . .
A. 15 cm
B. 17 cm
C. 20 cm
D. 25 cm
5. Enam pipa paralon dengan penampang seperti gambar berjari-jari 21 cm saling
bersinggungan luar. Panjang tali minimum yang dapat digunakan untuk mengikat keenam
pipa paralon tersebut adalah . . . .
A. 406 cm
B. 384 cm
C. 312 cm
D. 284 cm
6. Dua buah lingkaran berjari-jari masing-masing 2 cm dan 7 cm. Jika jarak kedua pusat
lingkaran 15 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran
tersebut adalah cm.
A. 12

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 18

B. 10
C. 9
D. 8
7. Diketahui jarak dua pusat lingkaran adalah 34 cm, dan panjang jari-jari lingkaran A sama
dengan dua kali panjang jari-jari lingkaran B. Jika panjang garis singgung persekutuan
dalam kedua lingkaran tersebut adalah 16 cm, maka selisih panjang jari-jari kedua
lingkaran tersebut adalah cm.
A. 10
B. 12
C. 13
D. 15
8. Diketahui dua lingkaran masing-masing berjari-jari 10 cm dan 5 cm. Jika panjang garis
singgung persekutuan dalamnya 8 cm, jarak kedua titik pusat lingkaran itu adalah...
A. 15 cm
B. 17 cm
C. 18 cm
D. 20 cm
9. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran 24 cm. Jika panjang jari-
jari salah satu lingkaran 6 cm, dan jarak titik pusat kedua lingkaran 26 cm, maka panjang
jari-jari lingkaran lainnya adalah . . . .
A. 8 cm
B. 6 cm
C. 4 cm
D. 2 cm
10. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm, sedangkan
panjang jari-jari kedua lingkaran tersebut berturut-turut 12 cm dan 6 cm. Jarak kedua
pusat lingkaran adalah...
A. 15 cm
B. 18 cm
C. 23 cm
D. 30 cm

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 19

DAFTAR PUSTAKA

Agus, N. A. (2007). Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII Sekolah Menengah
Pertama/MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

As'ari, A. R., Tohir, M., Valentino , E., Imron, Z., & Taufiq, I. (2017). Matematika SMP Kelas 8.
Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebusayaan

Sutanti, T. (2019). Pembelajaran Geometri Datar . Jakarta: Dirjen Guru dan Tenaga
Kependidikan Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

https://www.ajarhitung.com/2016/11/ diakses tanggal 5 Mei 2021

https://www.maretong.com/2019/12/garis-singgung-persekutuan-luar-gspl.html diakses tanggal 5 Mei
2021

KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL

1. C
2. C
3. D
4. B
5. B
6. A
7. A
8. B
9. C
11. D

Bahan Ajar Garis singgung persekutuan dua lingkaran - 20