GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

Matematika
SMP/MTs
KeKlaeslas
VIIVI III

A. Tinjauan Pembelajaran

Gambar 1.1 Deskripsi Mata Pelajaran
Garis singgung lingkara garis
Kegunaan Mata Pelajaran
Pada pembelajara garissinggung yang memotong suatu lingkaran di
satu titik dua berpotongan tegak
dua lingkar ini berguna untuk lurus dengan jari-jari pada titik
mengidentifikasi garis singgung dua singgungnya. Pada kehidupan
lingkaran. Mencari panjang garis sekitar yang berkaitan dengan garis
singgung persekutuan luar ataupun singgung dua lingkaran adalah
dalam. Menentukan jarak panjang sepeda. Perhatikan pada sepeda
kedua titik pusat (persekutuan luar ibratkan gear pada sebuah sepeda
ataupun persekutuan dalam) adalah dua lingkaran. Lalu rantai
yang terpasang pada sebuah gear
KD 3.8 sebagai garis singgungnya. Agar
Mejelaskan garis singgung rantai dapat terpasang dan berfungsi
dengan baik di butuhkan dua gear
persekutuan luar dan persekutuan yang terpasang dengan benar dan
dalam dua lingkaran dan cara sejajar sesuai dengan aturannya.
melukisnya. Kedua gear dan rantai akan saling
bersinggung untuk menghasilkan
KD 4.8 fungsi yang maksimal.
Menyelesaikan masalah yang
Petunjuk Belajar
berkaitan dengan garis singgung 1. Sebelum memulai belajar
persekutuan luar dan persekutuan alangkah baiknya untuk membaca
dalam dua lingkaran. doa terlebih dahulu.
2. Menyiapkan alat tulis dan
Bahan Pendukung laptop atau handphone untuk
- Alat : Buku, pensil, penghapus, melihat internet / youtube.
bolpoint, penggaris, jangka. 3. Membaca deskripsi dan
- Internet : pendahuluan yang terdapat pada
https://idschool.net/smp/garis-singgu modul agar mendapatkan gambaran
ng-lingkaran/ mengenai materi yang ada didalam
- Youtube : modul.
https://www.youtube.com/watch?v=e 4. Membaca dan memahami isi
23tYKZFQB4 materi yang terdapat pada modul.
https://www.youtube.com/watch?v= 5. Melukis garis singgung antara
diyrUdhOHGE dua lingkaran dengan persekutuan
luar dan dalam, jika kurang
memahami langkah di modul dapat
melihat langkah di youtube dengan
url yang sudah disarankan.
6. Mengerjakan latihan soal yang
terdapat pada modul.

1

B. Pendahuluan

Dalam modul garis singgung dua lingkaran ini disajikan definisi mengenai
garis singgung dua lingkaran dengan persekutuan luar dan garis singgung dua
lingkaran dengan persekutuan dalam. Selain definisi juga disajikan rumus dan
bagaimana cara pengerjaannya menggunakan rumus phytagoras. Selanjutnya,
disajikan juga bagaimana cara melukis garis singgung lingkaran dengan langkah-
langkah yang benar agar sesuai dengan aturannya.

Indikator Pencapaiannya Kompetensi (IPK) KD 4.8
KD 3.8

3.8.1 Mengidentifikasi garis singgung 4.8.1 Menyelesaikan masalah yang

lingkaran. berkaitan dengan garis singgung

persekutuan luar antara dua lingkaran.

3.8.2 Menentukan rumus untuk garis 4.8.2 Menyelesaikan masalah yang

singgung persekutuan luar antara dua berkaitan dengan garis singgung

lingkaran. persekutuan dalam antara dua

lingkaran.

3.8.3 Menjelaskan cara melukis garis 4.8.3 Menyelesaikan bagaimana cara
singgung persekutuan luar antara dua menghitung panjang sabuk lilitan
lingkaran. minimal lingkaran.

3.8.4 Menentukan rumus untuk garis 4.8.4 Menyelesaikan gambar garis

singgung persekutuan dalam antara dua singgung persekutuan dalam antara dua

lingkaran. lingkaran.

3.8.5 Menjelaskan cara melukis garis 4.8.5 Menyelesaikan gambar garis

singgung persekutuan dalam antara dua singgung persekutuan luar antara dua

lingkaran. lingkaran.

Deskripsi Perilaku awal
Sebelum siswa membaca modul ini, siswa belum memahami definisi tentang garis
singgung lingkaran. Siswa juga belum mengerti cara menghitung / rumus untuk
setiap garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalam dua
lingkaran. Siswa belum mengerti langkah-langkah untuk melukis garis singgung
dua lingkaran.

Relevansi
Untuk mencapai indikator-indikator pada Kompetensi Dasar (KD), maka dalam
modul ini dibagi menjadi 4 materi, yakni :
1. BAB I : Mengenal Garis Singgung.
2. BAB II : Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
3. BAB III : Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
4. BAB IV : Melukis Garis Singgung

2

C. Materi Kegiatan Belajar

BAB Mengenal Garis Singgung lingkaran
I

Definisi Garis Singgung

Garis yang memotong
lingkaran tepat disatu titik
yang mana garis tersebut

juga menyinggung kedua
lingkaran.

Garis singgung lingkaran memiliki beberapa sifat yang merupakan akibat dari
definisi garis singgung lingkaran.

Sifat-sifat garis singgung lingkaran :
1. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan diameter lingkaran yang melalui
titik singgungnya. Titik singgung adalah titi perpotongan garis singgung dengan
lingkaran.

Gambar 2.1

2. Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu dan hanya satu garis
singgung pada lingkaran.

3

Gambar 2.2

Garis p di atas bukan merupakan garis singgung lingkaran O.
3. Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung lingkaran.

Gambar 2.3

4. Apabila dua garis singgung berpotongan pada suatu titik di luar lingkaran,

maka jarak antara titik potong tersebut dengan titik-titik singgung kedua g3aris

singgung tersebut sama.

Gambar 2.4

Sifat yang keempat ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema
pythagoras. Karena segitiga-segitiga POR dan POQ adalah segitiga siku-siku,
maka PQ2 = PO2 − r 2 dan PR2 = PO2 − r 2 . Sehingga PQ = PR.

4

BAB Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
II

Perhatikan Gambar dibawah ini!!!

Gambar 3.1

Gambar diatas adalah gambar garis singgung dengan persekutuan luar antara
dua lingkaran.

Diketahui lingkaran besar A memiliki panjang jari-jari R dan lingkaran
kecil B dengan panjang jari-jari r . Garis PQ merupakan garis singgung
persekutuan luar antara lingkaran A dengan lingkaran B , panjang garis PQ
dinamakan m (PQ = m) . Garis AP dan garis BQ tegak lurus terhadap garis
PQ (garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran di titi
singgung). Garis AB merupakan garis yang menghubungkan titik pusat
lingkaran A dengan titik pusat lingkaran B , sehingga AB = d merupakan
jarak pusat kedua lingkaran. Garis QT sejajar dan sama panjang dengan garis
AB , sehingga AB = QT = d . Garis BQ sejajar dan sama panjang dengan garis
AT , sehingga AT = BQ = r sehingga PT = R − r.

Rumus Garis Singgung Persekutuan Luar dengan Dua Lingkaran.
Dari gambar diatas , segitiga PQT merupakan segitiga siku-siku yang siku-

siku pada titik P, dan QT merupakan sisi miring sehingga akan berlaku rumus
Phythagoras :

5

Karena QT = AB = d , PQ = m, dan m = PQ , panjang garis singgung
PT = R − r, maka :
persekutuan luar.
AB2 = PQ2 + (R − r)2 d = AB , jarak titik pusat kedua
PQ2 = AB2 − (R − r)2
m2 = d 2 − (R − r)2 lingkaran.
m = d 2 − (R − r)2 R , panjang jari-jari lingkaran

Besar.
r , panjang jari-jari lingkaran

Kecil.

R>r

BAB Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
III

Perhatikan gambar dibawah ini!!!

k

Gambar 4.1

Gambar diatas adalah gambar garis singgung dengan persekutuan dalam
antara dua lingkaran.

Diketahui lingkaran besar M dengan panjang jari-jari R dan lingkaran kecil N
dengan panjang jari-jari r. Garis MA dan garis BN tegak lurus terhadap garis AB,
sehingga garis AB menyinggung kedua lingkaran (jari-jari selalu tegak lurus garis
singgung di titik singgung). dengan demikian garis AB merupakan garis singgung
persekutuan dalam lingkaran M dan lingkaran N. Jarak antara pusat lingkaran
besar M dengan pusat lingkaran kecil N dengan pusat lingkaran kecil N adalah
MN = p. Panjang garis AO = panjang garis BN dan garis AO sejajar dengan garis
BN, sehingga AO = BN = r. Garis AB sejajar dan sama panjang dengan garis NO,
sehingga AB = NO = k.

6

Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam dengan Dua Lingkaran.

Segitiga MNO merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di O, sehingga
berlaku rumus pythagoras :

Karena panjang garis NO = AB, d = AB, panjang garis singgung
maka : persekutuan dalam dua
AB2 = MN 2 − MO2 lingkaran.
Perhatikan kembali gambar!
MO = MA + AO P = MN, jarak pusat lingkaran
besar dengan pusat
=R+r lingkaran kecil.
MN = p
AB = d R , jari-jari lingkaran besar.
Sehingga : r , jari-jari lingkaran kecil.
d 2 = p2 − (R + r)2
R>r
d = p2 − (R + r)2

BAB Melukis Garis Singgung Dua Lingkaran
IV

Dalam melukis garis singgung terdapat cara atau langkah langkah untuk dapat
menggambarkannya dengan benar. Adapun langkah-langkah untuk melukiskan
garis singgung persekutuan luar antara dua lingkaran dan garis singgung
persekutuan dalam antara dua lingkaran, akan dibahas dibawah ini.

1. Cara melukis garis singgung persekutuan luar antara dua lingkaran

Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk melukis garis singgung
persekutuan luar dua lingkaran, sebagai berikut :

a. Langkah 1 :
Lukis dua lingkaran yang saling lepas. Misalkan lingkaran A dengan jari-jari

r1 dan lingkaran B dengan jari-jari r2. Kemudian tarik garis yang menghubungkan
kedua titik pusat lingkaran tersebut.

7

Gambar 5.1

b. Langkah 2 :
Lukis sebarang busur di titik A dan B dengan panjang jari-jari sama, sehingga

berpotongan di titik C dan D. Kemudian tarik garis yang menghubungkan titik C
dan D, sehingga memotong garis AB di titik O.

Gambar 5.2

c. Langkah 3 :
Lukis sebuah lingkaran yang berpusat di O dengan jari-jari sepanjang AO.

Gambar 5.3

d. Langkah 4 :
Lukis sebuah busur dengan pusat di titik A dengan jari-jari sepanjang AY,

dimana AY = r1 - r2, sehingga busur tersebut memotong lingkaran O di titik E
dan F.

8

Gambar 5.4

d. Tarik garis yang menghubungkan titik A dan E, kemudian perpanjang garis AE
sehingga memotong lingkaran A di titik G. Lalu lukislah busur dengan pusat di G
dan jari-jari sepanjang BE, sehingga memotong lingkaran B di titik J. Ulangi
langkah di atas, sehingga terbentuk garis AF, titik H, dan titik I

Gambar 5.5

e. Tarik garis yang menghubungkan titik G dengan titik J dan titik H dengan titik
I, sehingga terbentuk garis GJ dan HI. Garis GJ dan HI inilah yang dinamakan
dengan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di A dan B.

Gambar 5.6

9

2. Cara melukis garis singgung persekutuan dalam antara dua lingkaran
Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk melukis garis singgung

persekutuan dalam dua lingkaran, dengan menggunakan bantuan jangka dan
penggaris, maka langkahnya sebagai berikut :
a. Langkah 1 :

Lukis dua buah lingkaran yang saling lepas. Jari-jari lingkaran A = r1 dan
besar jari-jari lingkaran B = r2. Kemudian tarik garis yang menghubungkan kedua
titik pusat lingkaran tersebut.

Gambar 6.1

b. Langkah 2 :
Lukis sebarang busur di titik A dan B dengan panjang jari-jari sama, sehingga

berpotongan di titik C dan D. Kemudian tarik garis yang menghubungkan titik C
dan D, sehingga memotong garis AB di titik O.

Gambar 62

c. Lukis sebuah lingkaran yang berpusat di O dengan jari-jari sepanjang AO.

Gambar 6.3

10

d. Lukis sebuah busur dengan pusat di titik A dan jari-jari sepanjang AX, dimana
AX = r1 + r2, sehingga busur tersebut memotong lingkaran O di titik E dan F.

Gambar 6.4

e. Tarik sebuah garis yang menghubungkan titik A dan E sehingga memotong
lingkaran A di titik G. Kemudian lukis busur lingkaran dengan pusat di G dan jari-
jari sepanjang BE sehingga memotong lingkaran B di titik I. Ulangi langkahdi
atas, sehingga terbentuk garis AF, titik H, dan titik J.

Gambar 6.5

f. Hubungkan titik G dengan titik J dan titik H dengan titik I, sehingga terbentuk
garis GJ dan HI. Garis GJ dan HI inilah yang dinamakan dengan garis singgung
persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di A dan B.

Gambar 6.6

11

D. Contoh Soal Garis Singgung

1. Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ = 26 cm, jari-jari
lingkaran masing-masing 12 cm dan 2 cm. Panjang garis singgung persekutuan
luar kedua lingkaran adalah?

Pembahasan :
Menentukan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Misalkan hendak

menggunakan rumus seperti :

l 2 = p2 − (R − r)2 atau l = p2 − (R − r)2

Diketahui :
p = jarak pusat ke pusat = 26 cm.
R = 12 cm.
r = 2 cm.

Ditanya garis singgung persekutuan luar?

Jawab :
l = 262 − (12 − 2)2
l = 676 −100
l = 576 = 24 cm.

2. Perhatikan gambar dibawah ini!!!

Diketahui :
p = 30 cm
R = 14 cm
r = 4 cm

Ditanya :
Panjang d = ?
Atau panjang garis
singgung?

Jawab :
d = ( p2 − (R + r)2 )

d = (302 − (14 + 4)2

d = (302 −182 )
d = (900 − 324)
d = 576
d = 24

12

E. Latihan Soal Garis Singgung

1. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan

kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu
lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain…

a. r = 3 cm c. r = 7 cm

b. r = 5 cm d. r = 9 cm

2. Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm

dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar
18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah…

a. 8 cm c. 3 cm

b. 9 cm d. 5 cm

3. Perhatikan gambar berikut!

Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm.
Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah…..

a. 12 cm b. 15 cm c. 17 cm d. 20 cm

4. Diketahui panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran 20 cm. Jika
panjang jari-jari kedua lingkaran 9 cm dan 6 cm. Hitunglah jarak kedua pusat
lingkaran!
Jawab :

5. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat A dan B, dengan panjang jari-jari
masing-masing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak AB = 13 cm, hitunglah :
a. Panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.
b. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran.
Jawab :

13

Cara mengerjakan latihan soal :
1. Membaca semua materi yang sudah dipaparkan pada materi modul.
2. Mengetahui rumus pythagoras.
3. Baca dengan cermat soal diatas.
4. Semua latihan soal berhubungan dengan materi diatas.

F. Rangkuman

Dari materi diatas mengenai Garis Singgung Persekutuan Luar dan
Persekutuan Dalam dua lingkaran dapat disimpulkan bahwa garis singgung dua
lingkaran adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran. Untuk mencari
panjang salah satu garisnya didalam rumus garis singgung selalu menggunakan
teorema pythagoras, yang mana didalam teorema pythagoras pasti salah satu
memiliki sudut yang siku-siku. Sama halnya dengan garis singgung
persekutuan luat ataupun garis singgung persekutuan dalam, keduanya dari
akibat garis garis yang dihasilkan oleh dua lingkaran yang garisnya saling
menyinggung terdapat sudut yang berbentuk siku-siku.
Untuk membedakan rumus pythagoras antara garis singgung persekutuan
dalam dan garis singgung persekutuan luar dengan melihat jika garis singgung
persekutuan luar antara dua lingkaran menggunakan operasi penjumlahan (+)
seperti : a2 = b2 + c2 . sedangkan untuk garis singgung persekutuan dalam
antara dua lingkaran menggunakan operasi pengurangan (-) seperti :
c2 = a2 − b2 .

Untuk menggambar atau melukiskan garis singgungpun memiliki aturan
tersendiri. Dengan menggunakan bantuan penggaris dan jangka lalu ikuti
langkah-langkah untuk menghasilkan garis singgung persekutuan luat ataupun
garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang sesuai dengan aturannya.

14

G. Kunci Jawaban

1. b. 5 cm p2 − (R + r)2
2. a. 8 cm
3. d. 20 cm
4. a. Jawab :

d=

= 132 − (7 + 2)2
= 169 − 81
d = 88
b. jawab :
d = p2 − (R − r)2

= 132 − (7 − 2)2
= 169 − 25
d = 144 = 12
5. Jawab :
p = d 2 + (R − r)2

= 202 + (9 + 6)2

= 400 + 225
p = 625

15