ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 Part3

นำ้ หนัก

น้ำหนกั (weight) หรือ W⃑⃑⃑ คอื แรงดงึ ดูดของโลกท่ีกระทำตอ่ วัตถุ นำ้ หนักจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ ซงึ่ มี
ทิศทางเดยี วกบั ความเร่งโนม้ ถ่วงโลก ⃑g และมีหนว่ ยเชน่ เดยี วกบั แรงคือ นิวตนั

พิจารณาวตั ถุมวล m ซึ่งตกแบบเสรีด้วยแรงโน้มถ่วงของโลกจากกฎการเคลื่อนทข่ี ้อที่ 2 ของนวิ ตนั จะ
เขยี นนำ้ หนกั ⃑W⃑⃑ ของวัตถุได้เป็น

⃑w⃑⃑ = mg⃑

ดังนัน้ ถา้ พิจารณาวตั ถุ 2 กอ้ นซ่งึ แตล่ ะก้อนมีมวล 1 และ 2 ตามลำดบั โดยทีม่ วลท้งั 2 ก้อนอยใู่ นบรเิ วณ
เดยี วกนั มีคา่ g⃑ เท่ากัน

นำ้ หนกั ของมวล 1 หาได้จาก w1 = m1g

น้ำหนักของมวล 2 หาไดจ้ าก w2 = m2g

จะได้อัตราสว่ นนำ้ หนกั ของมวลทั้ง 2 เป็น

1 = 1
2 2

1 = 1
2 2

จะเหน็ ได้วา่ อัตราสว่ นระหวา่ งมวลของวัตถุ 2 ก้อนจะเท่ากับอัตราสว่ นของนำ้ หนักของวัตถทุ ้ัง 2 เม่ืออยใู่ น

บริเวณเดียวกัน เราจึงสามารถใช้เคร่ืองชงั่ สปรงิ หานำ้ หนกั ของวัตถุได้เพราะเป็นการเปรียบเทียบน้ำหนกั ของ

มวลมาตรฐาน

กฎแรงดงึ ดูดระหวา่ งมวลของนวิ ตัน

นิวตันเชอ่ื ว่าการท่ีดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทติ ยเ์ ป็นผลเน่ืองจากมแี รงกระทำระหว่าง
ดวงอาทิตย์กบั ดาวเคราะห์ ซึ่งเรยี กแรงนี้ว่าแรงดึงดูดระหว่างมวล นิวตันจึงเสมอกฎแรงดงึ ดูด
ระหวา่ งมวล (Newton’s law of gravitation) ซ่งึ มีใจความว่า วัตถทุ ้งั หลายในเอกภพจะดงึ ดดู
ซึ่งกันและกนั โดยขนาดของแรงดงึ ดดู ระหวา่ งวัตถคุ หู่ นงึ่ ๆ จะแปรผนั ตรงกบั มวลของวตั ถุทัง้
สอง และจะแปรผกผนั กบั ระยะทางระหวา่ งวตั ถุทงั้ สองนน้ั ยกกำลงั สอง

R



1 2

ถ้า 1 และ 2 เปน็ มวลของวัตถทุ งั้ สองซ่ึงอยู่หา่ งกนั เป็นระยะทาง R ขนาดของแรงดึงดูด
ระหวา่ งมวล FG ตามกฎแรงดึงดูดระหวา่ งมวลของนวิ ตนั จะเปน็ ไปตามสมการ

FG = Gm1m2
R2

โดยที่ G เปน็ ค่าคงตัวของแรงดงึ ดูดระหว่างมวล มคี ่าเทา่ กับ 6.67 10−11 2 −2และเป็นคา่ เดยี วกัน
เสมอไม่วา่ วตั ถทุ ด่ี ดู กนั จะเป็นวตั ถุใด ๆ กต็ ามในเอกภพ เรียกวา่ คา่ คงตวั โน้มถ่วงสากล (universal
gravitation constant) แรงดงึ ดูดระหว่างมวลเปน็ แรงกระทำร่วม โดยมวลที่ 1 ดงึ ดดู มวลท่ี 2 และมวลที่ 2 ก็
ดงึ ดูดมวลท่ี 1 ด้วยขนาดของแรงเท่ากนั ในแนวเดยี วกัน แต่ทิศทางตรงขา้ มนัน่ คือเปน็ แรงคูก่ ิรยิ า - ปฏกิ ิรยิ า

ตวั อยา่ งที่ 1 จงคำนวณหาแรงดึงดดู ระหวา่ งมวล ต่อไปนี้
ก. โลกกับดวงจันทร์ ซ่ึงมมี วล 5.98 1024 กิโลกรมั และ 7.36 1024 กโิ ลกรมั ตามลำดับ

โดยระยะหว่างระหว่างศนู ยก์ ารของโลกและดวงจันทรเ์ ท่ากบั 3.8 108 เมตร

ข. วตั ถุ 2 ก้อนมีมวล 50.0 และ 60.0 กิโลกรมั วางอยู่หา่ งกัน 2.0 เมตร

สนามโนม้ ถ่วง

ในกรณโี ลกดงึ ดดู วตั ถนุ ้ัน อาจถอื วา่ โลกแผ่สนามของแรงออกไปรอบ ๆ เรียกว่า สนามโนม้ ถว่ ง
(gravitational field) สนามโนม้ ถ่วงทำใหเ้ กิดแรงดงึ ดูดกระทำต่อมวลท้ังหลาย แรงดึงดูดนี้เรยี กวา่ แรงโน้ม
ถ่วง (gravitational force)

สนามโน้มถว่ งเป็นปรมิ าณเวกเตอร์ สนามโนม้ ถว่ งของโลกแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ g⃑ สนามโน้มถว่ งที่
ตำแหน่งใด ๆ หาไดจ้ ากแรงโนม้ ถว่ งที่กระทำต่อวัตถุมวลหน่ึงหน่วย

ขนาดของสนามโนม้ ถ่วงที่บรเิ วณต่าง ๆ จงึ หาได้จากขนาดและทิศทางของแรงที่โลกดงึ ดูดมวล 1 หนว่ ยท่ี
วางอย่จู ุดนนั้

ความเรง่ โนม้ ถ่วง ณ ตำแหน่งทห่ี า่ งจากผวิ โลก

เมอ่ื วัตถุอย่หู า่ งจากผิวโลก แรงที่โลกดงึ ดดู วัตถุจะน้อยลง ซึง่ แสดงให้เหน็ จากสมการ FG = Gm1m2
R2

โดยที่ G, m1, m2 มีคา่ คงตวั ดงั นั้น FG ∝ 1 ซึง่ หมายความว่าถา้ R มคี า่ มากขนึ้ FG จะมคี า่ น้อยลง
R2

แรงทีโ่ ลกดงึ ดูดวัตถุ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ก็คือนำ้ หนกั ของวัตถุ แสดงว่านำ้ หนกั ของวัตถจุ ะลดลงเมือ่ วตั ถอุ ยหู่ า่ งผวิ โลกมาก
ข้นึ เนอื่ งจาก F⃑⃑⃑⃑G = m⃑g ดงั น้ันขนาดความเร่งโน้มถว่ ง g จะมีค่าลดลง

เนอื่ งจาก ขนาดของแรงทโ่ี ลกดงึ ดดู วตั ถุ = ขนาดของนำ้ หนักของวตั ถุ

Gmem = mg
R2

ดังนน้ั g = Gme
R2

จะได้วา่ g ∝ 1
R2

ความเรง่ โน้มถว่ งของโลกที่ตำแหน่งใด ๆ แปรผกผนั กับระยะทางจากศูนย์กลางของโลกยกกำลังสอง

สภาพไร้น้ำหนัก

นำ้ หนกั ของวตั ถุมีความสัมพันธ์กับขนาดความเร่งโน้มถ่วง g ซง่ึ g มคี วามสัมพันธ์กบั R

g ∝ 1
R2

พจิ ารณาจากความสัมพันธร์ ะหว่าง g กบั R ถา้ R มีค่ามาก ๆ จะทำให้ค่า g มีคา่ เขา้ ใกล้ศูนย์ หมายความ

ว่าวัตถุทอี่ ยูห่ ่างจากโลกมาก ๆ แรงโน้มถ่วงของโลกที่กระทำต่อวตั ถจุ ะมคี า่ น้อยมาก จนเกือบมีคา่ เป็นศูนย์ได้

น้ำหนกั ของวัตถุทเ่ี กอื บเปน็ ศูนยเ์ ช่นกนั กลา่ วว่าตำแหนง่ น้ันวตั ถุจะอยู่ในสภาพไรน้ ำ้ หนัก (weightlessness)

พจิ ารณาถ้ายานอวกาศโคจรสูงจากพ้นื โลก 300 กโิ ลเมตร รัศมขี องโลกเทา่ กบั 6.37 106 เมตร

ณ ตำแหนง่ ยานอวกาศโคจรรอบโลก gs = Gme
ณ ตำแหนง่ ผิวโลก R2s
ดงั นน้ั
g = Gme
2

= 2
2

= ((6.37 (6.37 106 )2
106 )+(0.3 106 ))2

= (6.37 106 )2
(6.67 106 )2

gs = 0.9

แรงเสยี ดทาน

แรงเสียดทาน (frictional force) คอื แรงที่เกิดขึ้นจากการสัมผสั กนั ระหวา่ งวัตถสุ องผิว
ในชีวิตประจำวนั มกั จะมแี รงเสยี ดทานมากเกีย่ วข้องตลอดเวลา ไม่ว่าจะเป็นการเดนิ ที่ต้องอาศยั แรงเสียดทาน
ของผิวถนนกับพ้นื รองเท้า การเคลอ่ื นที่ของรถทตี่ ้องอาศยั แรงเสียดทานของผิวถนนกับยางรถ เปน็ ต้น เรา
สามารถทจ่ี ะศึกษาแรงเสียดทานต่าง ๆ ได้ จากการทดลองการดึงหรือการลากวตั ถุบนพื้นผิวต่าง ๆ ดงั รูป

แรงเสียดทานจะมขี นาดเทา่ กับแรงทเ่ี ราดงึ วตั ถุแต่มีทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม ซ่งึ แรงเสยี ดทานจะแบง่ ออกเปน็ 2
ประเภท ไดแ้ ก่ แรงเสยี ดทานสถติ (static friction) แทนด้วยสัญลักษณ์ เปน็ แรงเสียดทานทีเ่ กดิ ข้นึ เมื่อ
วตั ถุไดร้ บั แรงกระทำแตย่ งั อยู่นงิ่ ขนาดของแรงเสียดทานจะมคี า่ เทา่ กับขนาดของแรงท่ีกระทำต่อวตั ถุ แต่มีทศิ
ทางตรงขา้ ม เพราะแรงลัพธ์ท่ีกระทำตอ่ วตั ถเุ ป็นศนู ย์ ซึง่ เป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ขอ้ ที่ 1 ของนวิ ตนั ขนาด
ของแรงเสยี ดทานนจ้ี ะเพ่ิมตามขนาดของแรงกระทำที่เพม่ิ ขึ้นจนมคี ่ามากท่สี ุดเม่ือวัตถุเริ่มเคล่อื นที่ และแรง
เสียดทานจลน์ (kinetic friction) แทนด้วยสัญลักษณ์ เป็นแรงเสยี ดทานทเ่ี กดิ ข้นึ เม่ือวัตถุได้รบั แรง
กระทำแล้วเกดิ การเคลื่อนท่ี หลังจากเรมิ่ เคล่ือนทแี่ ลว้ ปกติจะใชแ้ รงน้อยลงในการทำใหว้ ตั ถเุ คล่ือนท่ีด้วย
ความเรว็ คงตัว การท่ีวัตถุเคล่ือนทีด่ ้วยความเรว็ คงตัวบนพ้ืนราบแสดงว่า แรงลพั ธใ์ นแนวราบมีคา่ เป็นศูนย์ตาม
กฎการเคลื่อนท่ขี องนวิ ตนั แสดงวา่ แรงเสยี ดทานขณะนั้นมีคา่ เท่ากบั แรงท่ีกระทำต่อวัตถุแตม่ ีทิศทางตรงกนั
ขา้ ม

,

,

= F

แรงเสยี ดทานสถติ แรงเสยี ดทานจลน์

วตั ถไุ มเ่ คลอื่ นท่ี วตั ถเุ คล่อื นท่ี

< ,

= ,

ขณะที่วตั ถกุ ำลงั เคล่ือนท่แี รงเสียดทานจลน์แปรผนั ตรงกบั แรงที่พื้นกระทำต่อวัตถใุ นแนวต้งั ฉากกับ
พื้น ซ่ึงมีขนาดเท่ากบั แรงกดพื้นในแนวต้งั ฉากกับผวิ สมั ผัส เมอื่ วตั ถุอย่บู นพ้ืนราบแรงนีจ้ ะมขี นาดเท่ากบั
น้ำหนักของวัตถุ การแปรผนั นีท้ ำให้สามารถเขยี นสมการแสดงความสมั พนั ธ์ระหว่างแรงเสยี ดทานและแรงกด
ระหวา่ งผิวในแนวตงั้ ฉากกับผิวไดว้ ่า

fk = μkN

เมื่อ fk คือแรงเสยี ดทานจลน์

N คือแรงกดระหว่างผิวสัมผัสในแนวตั้งฉากหรอื แรงทีผ่ ิวสัมผัสกระทำต่อวัตถุ

μk คอื สัมประสทิ ธิ์ความเสียดทานจลน์

ขณะวตั ถุอยนู่ ิ่ง ค่าของแรงทม่ี าทส่ี ดุ ทที่ ำใหว้ ตั ถุเคล่ือนทไี่ ด้จะเรียก แรงเสยี ดทานสถติ สงู สดุ แทนดว้ ย
สัญลกั ษณ์ fs,max ซง่ึ จะสัมพนั ธ์กับแรงทีพ่ ื้นกระทำต่อวตั ถุในแนวต้งั ฉากกับผวิ N ในทำนองเดียวกันกบั แรง
เสยี ดทานจลน์

fs,max = μsN

เม่ือ fs,max คือแรงเสียดทานสถติ สูงสุด

N คือแรงกดระหว่างผิวสัมผัสในแนวตัง้ ฉากหรือแรงท่ผี ิวสมั ผสั กระทำต่อวัตถุ

μs คือสมั ประสทิ ธิ์ความเสียดทานสถติ

สมั ประสิทธ์คิ วามเสยี ดทานสถติ และสัมประสิทธ์ิความเสียดทานจลน์ มคี ่าข้นึ กับชนิดของผิวสมั ผัส
ตามตาราง ซ่ึงพบวา่ สำหรบั ผิวสมั ผสั คูห่ นึง่ สัมประสิทธ์ิความเสยี ดทานสถติ มีค่ามากกวา่ สมั ประสทิ ธิ์ความ
เสียดทานจลน์เสมอ

ผิวสัมผัส
ไมก้ บั ไม้
เหลก็ กลา้ กบั เหลก็ กล้า 0.70 0.40
อะลมู เิ นียมกบั เหล็กกลา้ 0.74 0.57
ทองแดงกบั เหล็กกลา้ 0.61 0.47
ทองเหลืองกับเหล็กกล้า 0.53 0.36
แก้วกบั แกว้ 0.51 0.44
ทองแดงกับแก้ว 0.94 0.40
0.68 0.53

ยางกบั คอนกรีต (แห้ง) 1.00-4.00 0.86
ยางกับคอนกรีต (เปียก) 0.30 0.25
ลอ้ ยางกบั ถนน (แหง้ ) 0.90 0.65
ลอ้ ยางกับถนน (เปยี ก) 0.70 0.55

แรงเสยี ดทานเป็นแรงทเ่ี กี่ยวขอ้ งกับชวี ติ ประจำวัน แมว้ า่ บางครง้ั เราพยายามบดแรงเสียดทานลงเพ่ือลด
ความสญู เสียเนอ่ื งจากการเสียดสี เช่นตามจุดหมุนของเคร่ืองยนต์ เครอ่ื งกล เป็นต้น แตใ่ นบางเหตกุ ารณ์เรา
ตอ้ งการแรงเสียดทางที่มีค่ามากเชน่ พ้นื รองเท้า ยางรถยนต์ แผน่ เบรก เป็นตน้ ดงั นน้ั การเลอื กท่ีจะลดหรอื
เพิม่ แรงเสยี ดทานมักข้ึนอยกู่ ับงานทเ่ี ราต้องการ

ตัวอยา่ งที่ 2 วัตถุมนี ้ำหนัก 20 นวิ ตนั วางอยบู่ นพน้ื ระดับ และมีแรงดงึ 10 นิวตันในแนวระดบั ดงั รปู ถ้าวตั ถุ
เคล่ือนที่ดว้ ยความเรว็ คงตวั จงหาสัมประสทิ ธค์ิ วามเสยี ดทานจลนร์ ะหวา่ งวัตถุกับพ้ืน

10 N

20 N

ตัวอยา่ งท่ี 3 วตั ถมุ นี ำ้ หนัก 50 นิวตนั วางอย่บู นพื้นระดบั และมีแรงดึง 20 นวิ ตัน กระทำในทศิ ทางมมุ 30
องศา กับพืน้ ดังรูป ถ้าวตั ถุเคลื่อนท่ีดว้ ยความเร็วคงตัวจงหาสมั ประสทิ ธิค์ วามเสยี ดทานจลน์ระหวา่ งวัตถกุ ับพืน้

20 N

50 N 30°

การนำกฎการเคลือ่ นทขี่ องนวิ ตันไปใช้

การนำกฎการเคลอ่ื นท่ีของนิวตนั ไปใช้จะเปน็ การหาแรงและปริมาณตา่ ง ๆ เกยี่ วกบั การเคลือ่ นทข่ี องวตั ถุ
โดยจะพจิ ารณากรณีวัตถุเคล่ือนเปน็ แนวตรง นั่นคือแรงลัพธแ์ ละความเรง่ มีทศิ ทางอยู่ในแนวเดยี วกบั ทิศ
ทางการเคลือ่ นท่ีของวัตถุ ดังน้ันการหาแรงกระทำต่อวัตถุจะถือว่าทราบทิศทางของแรงกระทำ เช่น

น้ำหนกั ของวตั ถมุ วล m มีทิศทางช้ลี งในแนวด่ิง
แรงดึงในเส้นเชือก กรณเี ชอื กเบามีคา่ เดยี วกันตลอดเสน้ มีทศิ ทางช้ีออกจากวตั ถทุ ีถ่ ูกกระทำ
แรงเสยี ดทาน ท่ีพน้ื กระทำต่อวตั ถุ มที ิศทางตรงขา้ มกบั การเคล่ือนที่ของวตั ถุ
แรง ที่พืน้ กระทำต่อวัตถุในแนวต้งั ฉากผิว มที ิศทางพงุ่ ออกจากผวิ ในแนวตง้ั ฉาก
ส่วนทิศทางของแรงอ่ืน ๆ จะเปน็ ไปตามท่ีโจทยก์ ำหนด
ในการนำไปใชม้ ักเก่ียวข้องกบั การหาแรงลัพธ์กระทำตอ่ วตั ถุ เพือ่ ช่วยในการหาแรงลัพธ์มีการเขียนแผนภาพ
แสดงแรงทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ เรียกแผนภาพน้ีวา่ แผนภาพวัตถุอสิ ระ (free body diagram) ซึ่งมีขนั้ ตอน
ดังน้ี

1. เลอื กวัตถทุ ่ีตอ้ งการหาแรงลัพธ์ แสดงวตั ถุและจุดทแี่ รงกระทำบนวตั ถุ (ถือว่าวตั ถุเปน็ อนุภาค)
2. เขยี นเวกเตอร์แสดงแรงทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุลงในแผนภาพผ่านจดุ ทแ่ี รงกระทำบนวัตถุแสดง

ทศิ ทางและแนวแรง ดังทศิ ทางของแรงท่ีกลา่ วถงึ ข้างตน้
3. สรา้ งแกนฉาก (ถา้ มแี รงกระทำไม่อยู่ในแนวการเคล่อื นท)่ี โดยแกนหนงึ่ อยใู่ นแนวการเคล่ือนทแ่ี กนทง้ั

สองตัดกนั ณ จุดทแี่ รงกระทำ
4. แยกหาองคป์ ระกอบของแรงทีไ่ ม่อยใู่ นแนวฉาก (ในกรณมี ีแรงกระทำไม่อยู่ในแนวการเคลอื่ นท่)ี

แบบฝกึ หัดการเขยี นแผนภาพวตั ถุอิสระ (free body diagram)

a

⃑F m


a

1
2

a 1 2 F⃑

a

2 1



a 2
30°

ตัวอย่างท่ี 4 วตั ถมุ วล 5.0 และ 10.0 กโิ ลกรมั ผูกตดิ กนั ด้วยเชอื กเบา วางอยู่บนพ้นื ราบทไี่ ม่มีความฝืดดังรูป
ใหแ้ รง F⃑ ซึง่ มีค่าคงตวั กระทำต่อวตั ถทุ ้งั สองนาน 15 วินาที จนความเรว็ ของวัตถเุ ปล่ียนไป 40 เมตรต่อวนิ าที
จงหา ⃑F และแรงดึงเชือกมวล 5.0 กโิ ลกรมั

⃑ 10 kg

5 kg

ตวั อย่างที่ 5 วัตถุมวล 10 กิโลกรัม และ 15 กิโลกรมั ผูกติดกนั ด้วยเชือกเบา แลว้ คลอ้ งผา่ นรอกล่นื และวางอยู่
บนพนื้ เอยี งท่ีไม่มีความเสียดทาน ดังรูป เม่อื ปล่อยให้มวลทั้งสองเคล่อื นที่ จงหา

ก. ความเร่งของมวลทงั้ สอง
ข. แรงดึงในเส้นเชอื ก

10 kg 15 kg

30°

บทที่ 4
การเคลือ่ นที่แบบตา่ ง ๆ

การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์

ถา้ พิจารณาเส้นทางการเคลอื่ นที่ของลูกเหล็กที่ทุ่มโดยนกั กีฬาทมุ่ นำ้ หนัก หรือเส้นทางการเคลื่อนทขี่ องลูก
บาสท่ถี ูกทุ่ม จะพบวา่ เสน้ ทางการเคล่ือนทน่ี ั่นเปน็ แนวโค้ง ถา้ ไม่มีแรงต้านของอากาศหรือแรงตา้ นมผี ลน้อย
มากจนไม่ตอ้ งนำมาคดิ จะเรียกการเคล่ือนนว้ี ่า การเคลอ่ื นทแ่ี บบโพรเจกไทล์ (projectile motion) และ
เรียกวัตถุที่กำลงั เคล่ือนท่ใี นลักษณะนว้ี า่ โพรเจกไทล์ (projectile)

การทดลองเพื่อศกึ ษาลักษณะของการเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทล์

เขยี นกราฟระหว่างการกระจัดในแนวดิง่ y และการกระดับในแนวระดบั ยกกำลังสอง 2

เมื่อเขยี นกราฟระหว่างขนาดของการกระจดั แนวดิ่ง (y) กับขนาดของการกระจัดในแนวระดบั ยกกำลังสอง
( 2) จะได้กราฟเสน้ ตรงผ่านจุดกำเนดิ ดงั นน้ั จะไดว้ ่า y ∝ 2 หรือ y = k 2 เม่ือ k เป็นค่าคงตัวของการ
แปรผัน

เน่ืองจากสมการ y = k 2 เป็นสมการของกราฟพาราโบลา ดงั นนั้ การทดลองนจี้ ะเห็นชัดเจนวา่ การ
เคลอื่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์มีแนวการเคลื่อนทีเ่ ป็นเส้นโคง้ พาราโบลา โดยวัตถุจะมกี ารกระจัดทัง้ ในแนวระดับ
และแนวดงิ่ พรอ้ มกัน

พิจารณาลักษณะการเคลือ่ นที่ของวตั ถุ 2 อนั ที่ถกู ทำใหเ้ คลื่อนท่ีพรอ้ มกนั จากระดบั เดียวกนั โดยวตั ถุหนึ่งตกลง
ในแนวด่ิง ขณะเดยี วกันดดี อกี ลูกนึงให้เคลื่อนทใี่ นแนวระดับ

จะเห็นไดว้ ่า วตั ถทุ ่เี คลื่อนทแี่ บบโพรเจกไทลป์ ระกอบด้วยการเคล่อื นที่ทั้งในแนวระดับ และแนวด่งิ
พรอ้ ม ๆ กันและเปน็ อิสระต่อกัน การเคล่ือนทีใ่ นแนวระดับจะเหมือนการเคล่ือนในแนวตรงด้วยความเรว็ คงตัว
ส่วนการเคลื่อนท่ีในแนวด่งิ จะเหมือนการตกแบบเสรีด้วยความเรง่ คงตัว การท่ีมีการเคล่ือนทที่ ัง้ สองแนวน้ี ทำ
ให้วัตถุเคลื่อนทเ่ี ปน็ แนวโค้งได้

การเคล่ือนทใ่ี นแนวระดับและแนวดง่ิ
การวิเคราะห์การเคล่ือนทีแ่ บบโพรเจกไทลจ์ ะแยกพจิ ารณาการเคลอ่ื นทีใ่ นแนวระดบั และการ
เคลื่อนท่ีในแนวดง่ิ ออกจากกัน แลว้ จงึ นำมาพจิ ารณารวมกันเพ่ือหาความเรว็ ลัพธ์หรือการกระจัดลัพธข์ องวัตถุ
ท่ีเคลือ่ นทแ่ี บบโพรเจกไทล์ ดังน้ี
การเคลอ่ื นท่ีในแนวระดบั
วตั ถุซง่ึ ถูกขวา้ งออกไปในแนวระดับจะมคี วามเรว็ ในแนวระดบั คงตวั เพราะแรงลัพธ์ในแนวระดับทกี่ ระทำต่อ
วตั ถุมีคา่ เป็นศูนย์ โดยถอื วา่ แรงต้านของอากาศมคี า่ น้อยมาก จนไม่ต้องนำมาคดิ

จากรูปให้แกน x เปน็ แนวการเคลอ่ื นที่ของวตั ถใุ นแนวระดับ
คอื การกระจดั ของวตั ถใุ นแนวระดับ
คอื ความเรว็ ของวตั ถุในแนวระดบั ซึ่งมีคา่ คงตัว

การกระจัดของวัตถใุ นแนวระดบั ในชว่ งเวลา t ไดจ้ ากสมการ = t

การเคล่ือนในแนวดิ่ง

การเคล่อื นท่ีของวตั ถแุ บบโพรเจกไทลใ์ นแนวด่ิงจะเหมือนกับการปล่อยวัตถุตกแบบเสรี คือมีความเร็วตน้ เป็น
ศนู ย์ และมีความเร่งคงตัว ซึ่งมคี า่ เท่ากบั ความเรง่ โนม้ ถว่ งโลก g ซ่งึ มีทิศทางลง

จากรปู ใหแ้ กน y เปน็ การเคล่ือนท่ขี องวตั ถุในแนวด่ิง

คอื ความเร็วของวัตถใุ นแนวระดบั ซง่ึ มคี า่ คงตวั

การกระจัดของวตั ถุในแนวด่ิง เมอื่ เวลาผ่านไป t ใหจ้ ากสมการ = + 1 2
2

ดงั นั้น = −1 2

2

ความเรว็ ในแนวด่งิ เมื่อเวลาผา่ นไป t สามารถหาไดจ้ ากสมการ = +

ดงั นน้ั = −

การกระจดั และความเร็วของวัตถุซึ่งเคล่ือนทแ่ี บบโพรเจกไทล์

การเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทลม์ ีการเคลื่อนทท่ี ้ังแนวระดับและแนวด่ิงพร้อม ๆ กนั ซ่ึงสามารถหาขนาดของการ
กระจัดและขนาดของความเร็วในแนวด่งิ และแนวระดับแยกจากกนั แล้วนำมาคดิ รวมกนั ภายหลัง เพื่อหากระ
กระจัดขณะในขณะหนึ่งและความเร็วขณะในขณะหน่งึ

ให้ เป็นการกระจดั ในแนวระดับของวตั ถุจากจุดเริ่มตน้
เป็นการกระจัดในแนวดง่ิ ของวัตถุจากจุดเริ่มตน้
S เป็นการกระจดั ลัพธข์ องวตั ถุวดั จากจดุ เร่ิมตน้

ดงั นน้ั = √ 2 + 2

สำหรับทศิ ทางการกระจัดของวตั ถุ ถา้ ให้มุมทกี่ ระกระจัดทำกับแนวแกน +x มีค่า หาไดจ้ าก tanα = sy
sx

ความเร็วขณะหนึง่ ของการเคลอื่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์จะอยู่ในแนวเส้นสัมผัสกับเสน้ โคง้ พาราโบลา ซ่ึงหาได้
เชน่ เดยี วกับการกระจัด จะได้

ขนาดของความเร็ว = √ 2 + 2

ทิศทางของความเรว็ หาได้จาก tanθ = sy
sx

เมอื่ เป็นความเรว็ ของวัตถุในแนวระดบั

เป็นความเร็วของวตั ถุในแนวดงิ่
V เปน็ ความเรว็ ของวัตถใุ นแนวเสน้ สมั ผัส
θ เป็นมมุ ทคี่ วามเรว็ ลัพธข์ องวตั ถุในแนวสมั ผัสกระทำกับแนวระดับ

ตวั อย่างท่ี 6 ขา้ งวัตถุออกไปในแนวระดบั ดว้ ยความเร็วต้น 10.0 เมตรต่อวินาที เมื่อเวลาผ่านไป 2.0 วินาที จง
หาการกระจัดและความเร็วของวตั ถุ

วตั ถุท่ีมีความเร็วต้นทำมุมกับแนวระดบั

ใหว้ ัตถุเคล่อื นที่ออกจากจุดกำเนดิ ของระบบแกนมุมฉาก xy ด้วยความเรว็ ตน้ ⃑ ในทศิ ทางทำมุม θ แกน x
หรือพนื้ ระดบั แนวการเคลื่อนท่จี ะเปน็ เส้นโค้งพาราโบลาคว่ำ ดงั รูป ซ่งึ ความเร็วตน้ ⃑ แยกเปน็ ความเรว็ ใน
แนวระดับและแนวด่งิ การวเิ คราะหก์ ารเคล่ือนที่ในลกั ษณะน้ี จะแยกออกเปน็ การเคล่ือนทีใ่ นแนวดงิ่ ด้วย
ความเร่งคงตัว และการเคล่ือนท่ีในแนวระดบั ดว้ ยความเร็วคงตัว

⃑ ขนาดการกระจดั ในแนวระดับ sxหรอื
ระยะทางท่ีวัตถเุ คลอื่ นทีไ่ ดใ้ นแนวระดบั
จากเริม่ ต้นจนตกถึงพ้ืนระดบั เดมิ
⃑ เรียกว่า พสิ ยั (range) ของวัตถุ
⃑⃑ ⃑⃑


⃑ ⃑ ⃑⃑

การเคลอ่ื นท่ีแนวระดบั การเคลือ่ นทีใ่ นแนวดิ่ง
ux เปน็ ความเร็วตน้ ในแนวระดับ ux = ucos uy เป็นความเรว็ ตน้ ในแนวดง่ิ uy = usin
sx เป็นการกระจดั ในแนวระดบั sy เปน็ การกระจดั ในแนวดงิ่
t เป็นชว่ งเวลาของการเคลื่อนท่ี t เปน็ ชว่ งเวลาของการเคลือ่ นที่

ตวั อยา่ งท่ี 7 เตะลูกบอลขนึ้ ไปในอากาศดว้ ยความเร็วทำมุม 30 องศากับแนวระดับ ถ้าลูกบอลลอยอยูใ่ น
อากาศนาน 4.0 วนิ าที โดยไม่คิดแรงต้านทางของอากาศ จงหาว่าลกู บอลขน้ึ ไปไดส้ งู สดุ เท่าใด และความเร็วท่ี
ใชข้ ว้างมคี ่าเทา่ ใด ถ้าลกู บอลไปได้ไกลในแนวระดับ 45.0 เมตร

ตัวอย่างท่ี 8 ก้อนหินถูกขวา้ งออกจากหนา้ ผาในแนวระดบั ด้วยความเรว็ ตน้ 10 เมตรต่อวนิ าที ก้อนหินตกถงึ
พืน้ ดนิ ในเวลา 8 วินาที ก้อนหินตกห่างจากจดุ ขว้างในแนวระดบั เท่าใด

ตัวอยา่ งที่ 9 ขปี นาวุธถูกยิงจากพน้ื ดนิ ด้วยความเร็ว 60 เมตรตอ่ วนิ าทีในทิศทำมุม 30 องศากบั แนวระดบั
ขีปนาวุธนัน้ ลอยอยู่ในอากาศเป็นเวลานานเท่าใดจงึ จะตกถงึ พ้ืน และขณะท่อี ยู่จุดสงู สุดนน้ั สูงจากพืน้ เทา่ ใด

ตัวอย่างที่ 10 เครือ่ งบนิ ลำหนึง่ บินในแนวระดบั ท่ีความสงู 490 เมตร ด้วยความเรว็ คงตวั 360 กิโลเมตรต่อ
ช่ัวโมง ถ้าคนในเคร่ืองบนิ ทิ้งสัมภาระถุงหนึ่งลงมา จงหาว่าเครอ่ื งบินอยู่หา่ งจากตำแหนง่ ทที่ ้งิ ถุงสัมภาระใน
แนวระดับเมื่อถงุ สัมภาระตกถึงพ้ืนเทา่ ใด