Introducción a la Matemática Guía de Trabajos Prácticos elaborado por Dra. Nadina Rojas - Ing. Claudia Roitman supervisado por Ing. Pedro Santucho Universidad Nacional de Córdoba Marzo de 2015 c FaCEFyN 2015 CEU Digital
Índice general Contenido i 1. Números Reales y Desigualdades 1 1.1. Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3. Ejercicios de Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Funciones y Gráfficos 5 2.1. Funciones y gráfficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Ejercicios de Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Límite y Continuidad 9 3.1. Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3. Ejercicios de Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. Derivada 17 4.1. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2. Ejercicios de Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 25 5.1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.3. Matriz Inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.4. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.5. Ejercicios de Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 CEU Digital
6. Vectores geométricos, Recta y Plano 35 6.1. Vectores geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2. Recta y Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.3. Ejercicios de Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Contenido 1. Números Reales. Números reales. Operaciones y propiedades. Relación de orden. Desigualdades. La recta real. Sistemas de coordenadas. Valor absoluto. Distancia. Intervalos y entornos. 2. Funciones y Gráfficos Deffinición de Función. Clasifficación de las funciones. Gráffico de una función. Funciones pares, impares y periódicas. Funciones usuales: algebraica, potencial, exponencial, logarítmica. Función valor absoluto, signo y parte entera. Álgebra de funciones. Composición de funciones. Función inversa. Funciones circulares e hiperbólicas. Grafficación en una primera aproximación. 3. Límite y Continuidad. Intervalos y entornos simétricos. Valor absoluto. Distancia. Punto de acumulación y punto aislado. Límite ffinito, deffinición e interpretación gráffica. Límites laterales. Unicidad del límite. Enunciar los siguientes teoremas de la intercalación, relativo a las desigualdades y el teorema recíproco parcial del anterior. Álgebra de límites (demostrar la suma). Límites notables. Límites inffinitos y en el inffinito. Asíndotas horizontal y vertical. Indeterminación de límites. Continuidad de una función en un punto. Discontinuidades, tipos. Álgebra de funciones continuas. Continuidad de la función compuesta. Continuidad en un intervalo.Enunciado e interpretación de los siguientes teoremas: Bolzano, Valor Medio. Máximos y mínimos absolutos de funciones. Teorema de Bolzano Weierstrass. Grafficar. 4. Derivada. Derivada de una función en un punto. Obtención de la expresión, deffinición y ejemplos. Notaciones usuales. Derivadas laterales. Interpretación geométrica. Obtención de la recta tangente. Problema físico. Función derivada. Teorema que relaciona la continuidad con la derivabilidad de una función (demostrar). Obtención de la derivada de las funciones: constante, identidad, suma, logaritmo, compuesta. Derivada de la función logaritmo (demostrar). Derivada de un producto (demostrar). Regla de la cadena. Derivada logarítmica (demostrar). Derivación logarítmica de un cociente, de la función potencial, exponencial y potencial-exponencial (todas con demostración). Derivada de las funciones circulares (demostración) e hiperbólicas directas (demostración). Derivada de la función inversa (demostración). Derivada de las funciones circulares inversas, CEU Digital
arco seno con demostración. Derivadas sucesivas. Diferencial de una función: deffinición e interpretación geométrica. Deferenciales sucesivos. 5. Sistema de ecuaciones lineales y Matrices. Ecuaciones. Ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Método de eliminación. Matrices. Generalidades. Operaciones elementales de ffilas. Equivalencia por ffilas de matrices. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Matriz escalón reducida por ffilas. Rango de una matriz. Conjunto de solución de un sistema de ecuaciones lineales. Deffiniciones. Teorema de Rouche-Frobenius. Operaciones con matrices. Suma de matrices. Propiedades. Producto de un escalar por una matriz. Propiedades. Combinación lineal de matrices. Multiplicación de matrices. Propiedades. Matrices elementales. Teorema. Matriz inversa. Matriz inversible. Obtención de la inversa de una matriz. Determinante de una matriz. Regla de Sarrus. Desarrollo por cofactores. 6. Vectores geométricos, Recta y Plano Vectores geométricos. Equipolencia. Suma de vectores y producto de un escalar por un vector. Producto punto. Producto vectorial. Producto de tres vectores. Recta y plano. Problemas affines. Geometría euclidiana. Problemas métricos. CEU Digital
Capítulo 1 Números Reales y Desigualdades 1.1. Números Reales 1. Califfique con Verdadero o Falso, cada una de las siguientes proposiciones. Justiffique su respuesta. a) N ⊃ Z b) N ∪ Z = Q c) Z ∩ Q = N d) I ∪ Q = R e) I ∪ R = R. 2. Diga si los siguientes números son reales y en caso affirmativo a qué subconjunto de los números reales pertenecen. a) − 0, 25 b) √ −25 c) 3, 1272727272... d) (−27)− 2 3 3. Determine el opuesto y el inverso (en caso de existir) de los siguientes números reales. a) 0 b) 2 c) √ 7 d) π e) 0, 3 f) 1, ˆ2 4. Cuáles de las siguientes igualdades son válidas para todo a, b, c ∈ R. a) (a − b) − c = a − (b − c) d) a : (b + c) = (a : b) + (a : c) b) (a + b) : c = (a : c) + (b : c) e) ab(a −1 + b −1 ) = b + a c) a − (b − c) = a − b + c f) (a + b)(a −1 + b −1 ) = 1 1.2. Desigualdades 1. Escriba como intervalo y dibuje cada uno de los siguientes subconjuntos de R. a) {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 4} c) {x ∈ R : −1 < x < 3} b) {x ∈ R : −1 < x ≤ 3} d) {x ∈ R : −3 < x < 1 y x 6= −1} CEU Digital 1
2 Números Reales y Desigualdades 2. Para cada una de las siguientes desigualdades, calcule el conjunto solución y grafíque el conjunto solución. a) 2x − 7 < 4x − 2 f) x x−3 < 4 b) 4 < x − 2 ≤ 1 g) 2x−3 x+1 ≥ 0 c) x−2 x+4 < 2 3. Determine los valores de x ∈ R (si existen), que satisfacen las siguientes desigualdades. a) | x |≤ 3 c) | x+2 2x−3 |< 4 b) | x − 1 |< 3 d) | 2 + 5 x |> 1 1.3. Ejercicios de Repaso 1. Reemplace el símbolo * por el símbolo apropiado > , < , =. a) −2 ∗ −3 b) π ∗ 3, 15 c) − 1 5 ∗ − 1 6 d) √ 2−5 ∗ √ 3−5 e) (16 17 ) 2 ∗ ( 17 18 ) 2. Para cada una de las siguientes desigualdades calcule el conjunto solución. a) 3 1−x > 0 k) 1 3x−7 ≥ 4 3−2x b) 1 x−2 ≥ 2 l) 4 x ≤ x c) 1 x−1 < 2 3x−1 ll) −4(x − 2)2 ≥ 0 d) 2x−1 3 + 1 > x+1 2 m) 2x−1 3(x−1)2 ≥ 0 e) | x+2 2x−3 |< 4 n) | 5x − 3 |<| 3x + 5 |. f) x 2 + 2 < 0 o) x 2 − 2x + 2 < 0 g) (x − 1 2 ) 2 ≤ 0 p) 1 − x 2 − 2x ≥ 0 h) x 2 − x < 6 q) (x + 2)(x + 5) > 0 i) x 2 + x − 2 < 0 r) 2x 2 + 3x + 6 > x2 + 2x. j) −x 2 + x + 2 < 0 3. En las siguientes desigualdades encuentre el conjunto solución y graffique sobre la recta real. a) 2x 2 − 8 ≥ 0 CEU Digital
b) 2 <| 2 − x |< 3 c) |x−3| −2x ≥ 0 d) −2(x−3)2 |x−1| ≤ 0 e) |x−2| x−2 − 5x > 4 si − 4 < x < 1 4. Sabiendo que 0 < a < b, indique como están relacionados los siguientes números. Justiffique su respuesta. a) a 2 y b 2 b) √ a y √ b c) 1 a y 1 b 5. Sean a, b y A la altura, base y el área, respectivamente, de un triángulo. Si tenemos que 10 < b < 12 y 50 < A < 60, qué puede decir sobre a? 6. Bajo qué condiciones es | a + b |=| a | + | b |? 7. Haga corresponder a cada conjunto de la columna derecha un conjunto igual de la columna izquierda. e) El conjunto de números reales cuya distancia a -3 es mayor que la distancia de b a -2 y menor 5) | x + a |>| x − a | que el doble de la distancia de b al origen. d) El conjunto de números reales cuya distancia a b sea menor que su distancia a c y mayor que 4) | b + 2 |<| x + 3 |< 2 | b | la distancia de b a c. c) El conjunto de números reales cuya distancia a −a sea mayor que su distancia a a. 3) 2 <| x + 3 |< 8 b) El conjunto de números reales cuya distancia a 1 sea mayor que su distancia a 2. 2) | x − 1 |>| x − 2 | a) El conjunto de números reales cuya distancia a -3 sea mayor que 2 y menor que 8. 1) | b − c |<| x − b |<| x − c | CEU Digital
Capítulo 2 Funciones y Gráfficos 2.1. Funciones y gráfficos 1. Determine el dominio e imagen de las siguientes funciones y, en caso de ser posible, esboce la gráffica de cada una de ellas. En cada caso determine en que puntos el gráffico de la función corta a los ejes coordenados. a) f(x) = 5 j) f(x) = 3[x] b) f(x) = −3x + 5 k) f(x) = [3x] c) f(x) = x 2 − 5x + 4 l) f(x) = ln |x| d) f(x) = x 3 − 9x m) f(x) = sig x + 5 e) f(x) = x 3 − 16x n) f(x) = −2sig x f) f(x) = 2 | x | ñ) f(x) = √ x − 2 g) f(x) =| x − 2 | o) f(x) = ln(x 2 − 1) p) f(x) = 9 si x < 0 9 − x 2 si 0 ≤ x ≤ 3 x 2 − 9 si x > 3 h) f(x) = ( −1 si x ≤ 0 2x si x > 0 2. En cada caso determine la ley de asignación de (f + g)(x), (f − g)(x), (f.g)(x) y f g (x). Determine el dominio de cada una de ellas. a) f(x) = x 2 y g(x) = x − 2 e) f(x) = 1 x−2 y g(x) = x x−3 b) f(x) = x 3 − 1 y g(x) = x + 3 f) f(x) = 1 x2 y g(x) = 1 5−x c) f(x) = x 2 y g(x) = √ x g) f(x) = sen2 x − 1 y g(x) = sen2 x + 1 d) f(x) = 2x 2 + 5 y g(x) = 1 x 5 CEU Digital
6 Funciones y Gráfficos 3. Determine en cada caso (f ◦ g)(x) y (g ◦ f)(x) y obtenga su dominio. a) f(x) = x 2 y g(x) = √ x e) f(x) = 1 x−1 y g(x) = √ x + 1 b) f(x) = x 2 + 2x − 1 y g(x) = 1 x f) f(x) = x 2 − 4 y g(x) =| x | c) f(x) = [x] − 2 y g(x) = x + 1 g) f(x) = √ x + 1 y g(x) = x 4 d) f(x) = 3x + 2x+1 y g(x) = x 2 4. Determine en cada caso la función f −1 (x), calcule su dominio e imagen. Veriffique el resultado calculando (f ◦ f −1 )(x). a) f(x) = 5x c) f(x) = ln(x − 1) b) f(x) = −3x + 2 d) f(x) = √ x + 2 2.2. Ejercicios de Repaso 1. a) Determine si el punto 1 2 , 28 5 pertenece a la gráffica de la función g(x) = 2x+6 x2+1 . b) Calcule en que puntos (si existen) el gráffico de la función corta a los ejes coordenados. 2. Calcule f(0), f(1), f(2), f(2,4), f(−3), f(−1) para las siguientes funciones a) f(x) = x 1−x c) f(x) = (x − 1)2 b) f(x) = ( 2 si 0 ≤ x < 2 3 − x si 2 ≤ x < 5 d) f(x) = −1 si x < 2 x 2 − 1 si 2 ≤ x ≤ 3 x + 1 si 5 ≤ x ≤ 9 3. Graffique las siguientes funciones e indique, en caso de ser posible, su dominio e imagen. a) f(x) = 3x + 2 h) f(x) = − sen x + 1 b) f(x) = −2(x − 1)2 − 6 i) f(x) = [x] − 2 c) f(x) = sen(2x) j) f(x) = |x| x d) f(x) =| sen x | k) f(x) = 2x − 1 e) f(x) = cos x + 2 l) f(x) = −10x − 4 f) f(x) = − | cos x | +5 m) f(x) = 3( 1 3 ) x g) f(x) = ( 1 − x 2 si x < 1 2x − 1 si x > 1 n) f(x) = ( 1 2 ) x si x < −2 5 si x = −2 x + 6 si − 2 < x < −1 | x | si x > −1 4. a) Si f(x) = q 1 x−2 y g(x) = 1 2x determine CEU Digital
i. f + g ii. 2f − g iii. f g iv. g(3f) b) Si f(x) = x 2 − 2x y g(x) = 1 x determine i. f + g ii. fg iii. f ◦ g iv. g ◦ f 5. Dada f(x) = √ 2 − x y g(x) = −5 x a) Determine f ◦ g y g ◦ f. Indique el dominio de cada función. b) Calcule en caso de ser posible (f ◦ g)(0),(f ◦ g)(−1) c) Calcule (g ◦ f)(1),(g ◦ f)(3) 6. Dada f(x) = x 1 4 x−1 y g(x) = x 2 − 1 a) Determine f ◦ g y g ◦ f. Indique el dominio de cada función. b) Calcule, en caso de ser posible, (f ◦ g)(1),(f ◦ g)(−1) c) Calcule (g ◦ f)(0),(g ◦ f)(√ 5) 7. Para cada una de las siguientes funciones a. determine dominio e imagen. b. indique en cada ítem si la función es biyectiva. En caso negativo especiffique la o las causas. c. Para aquellas funciones que no son biyectivas realice, en caso de ser posible, alguna restricción (ya sea del dominio, del conjunto de llegada o de ambos) para que la función admita inversa, y dé la inversa de tal restricción. a) f(x) = 5 e) f(x) = 1 3x+6 b) f(x) = 1 3 x + 3 f) f(x) = x 2 + 1 c) f(x) = 6x − 9 g) f(x) = x(x − 5) d) f(x) = 4 x h) f(x) = x 5 + 7 8. a) Si f(x) = 2 + 1 x encuentre la fución g tal que (f ◦ g)(x) = x. b) Si f(x) = e x encuentre la función g tal que (f ◦ g)(x) = x. c) Para los apartados anteriores, una vez encontrada la función g calcule g ◦f. Puede establecer alguna vinculación entre f y g? Justiffique. CEU Digital
Capítulo 3 Límite y Continuidad 3.1. Límite 1. Esboce la gráffica de f y en ella calcule, en caso de existir, el límite y los límites laterales en x0. Justiffique su respuesta. a) f(x) = √ 7 en x0 = 1, π b) f(x) = 1 − x 2 en x0 = 1 2 , 1 c) f(x) = ( 1 − x 2 si x < 1 2x − 1 si x > 1 en x0 = 1, 9 2 d) f(x) = sigx si x ≤ −1 | x − 1 | si − 1 < x ≤ 2 px 2 si x ≥ 2 en x0 = −1, 0, 2. 2. Trace la gráffica de siguiente función y úsela para determinar los valores de a ∈ R para los cuales el límite de f existe: f(x) = 2 − x si x < −1 x si − 1 ≤ x < 1 (x − 1)2 si x ≥ 1 3. Evalúe los límites de los incisos (a)-(k) a partir de la gráffica mostrada en la ffigura 9 CEU Digital
10 Límite y Continuidad adjunta. El dominio de f(x) es [−1, 5]. a) l´ım x→−1+ f(x) i) l´ımx→2 f(x) b) l´ım x→0− f(x) j) l´ım x→3− f(x) c) l´ım x→0+ f(x) k) l´ım x→3+ f(x) d) l´ımx→0 f(x) l) l´ımx→3 f(x) e) l´ım x→2− f(x) m) l´ım x→5− f(x) f) l´ım x→2+ f(x) 4. Evalúe los límites de los incisos (a)-(k) a partir de la gráffica mostrada en la ffigura adjunta. El dominio de f(x) es [0, 5]. a) l´ım x→0+ f(x) i) l´ımx→2 f(x) b) l´ım x→1− f(x) j) l´ım x→4− f(x) c) l´ım x→1+ f(x) k) l´ım x→4+ f(x) d) l´ımx→1 f(x) l) l´ımx→4 f(x) e) l´ım x→2− f(x) m) l´ım x→5− f(x) f) l´ım x→2+ f(x) 5. En cada apartado, determine si existe el límite y en caso de no existir explique por CEU Digital
Límite 11 qué. a) l´ımx→−4 x 2 + 5x + 4 x 2 + 3x − 4 b) l´ımx→1 x 3 − 1 x 2 − 1 c) l´ımx→0 (2 + x) 3 − 8 x d) l´ımx→0 √ 1 + x − 1 x e) l´ımx→0 (3 + x) −1 − 3 −1 x f) l´ımx→0 x sen 1 x g) l´ımx→−4 √ x 2 + 9 − 5 x + 4 h) l´ımx→9 cos(x − 9) √ x − 3 i) f(x) = 2 si x < √ 3 −1 si x = √ 3 −3 si x > √ 3 l´ım x→ √ 3 f(x) j) f(x) = 2x + 3 si x < 1 2 si x = 1 7 − 2x si x > 1 l´ımx→1 f(x) k) f(x) = | x − 1 | si x < −1 0 si x = −1 | 1 − x | si x > −1 l´ımx→−1 f(x), l´ım x→1 2 f(x) l) f(x) = x + 5 si x < −3 √ 9 − x 2 si − 3 ≤ x ≤ 3 3 − x si 3 < x l´ımx→3 f(x), l´ımx→−3 f(x), l´ımx→0 f(x) ll) l´ımx→0 | x | ln(x + 1) 6. En cada caso determine determine el valor de k, a, b ∈ R para que el límite exista a) f(x) = ( 3x + 2 si x < 4 5x + k si 4 ≤ x l´ımx→4 f(x) d) f(x) = x 2 si x ≤ −2 ax + b si − 2 < x < 2 2x − 6 si 2 ≤ x l´ımx→−2 f(x), l´ımx→0 f(x), l´ımx→2 f(x) b) f(x) = ( kx − 3 si x ≤ −1 x 2 + k si − 1 < x l´ımx→−1 f(x) e) f(x) = x 2 si x ≤ −2 ax + b si − 2 < x < 2 2x − 6 si 2 ≤ x l´ımx→−2 f(x), l´ımx→0 f(x), l´ımx→2 CEU Digital f(x)
12 Límite y Continuidad 7. Determine los siguientes límites en el inffinito a) l´ımx→∞ 3x 2 − x + 4 2x 2 + 5x − 8 h) l´ımx→∞ √ 9x 6 − x x 3 + 1 b) l´ımx→∞ r 12x 3 − 5x + 2 1 + 4x 2 + 3x 3 i) l´ımx→∞ ( √ 9x 2 + x − 3x) c) l´ımx→∞ 2 2x + 3 j) l´ım x→−∞ (x + √ x 2 + 2x) d) l´ımx→∞ 3x + 5 x − 4 k) l´ımx→∞ ( √ x 2 + ax − √ x 2 + bx) e) l´ım x→−∞ 1 − x − x 2 2x 2 + 7 l) l´ım x→−∞ (x 4 + x 5 ) f) l´ım x→−∞ t 2 + 2 t 3 + t 2 − 1 m) l´ımx→∞ x 3 − 2x + 3 5 − 2x 2 g) l´ımx→∞ x + 2 √ 9x 2 + 1 n) l´ımx→∞ 1 − e x 1 + 2e x 8. Determine los siguientes límites a) l´ımx→0 sen(5x) 8x f) l´ımx→0 sen(5x) sen(3x) b) l´ımx→2 3 sen2 (x − 2) x 3 − 2x + 4x − 8 g) l´ımx→0 sen3 (5x) x 3 + 2x sen(4x) c) l´ımx→1 tan(x − 1) (x 2 − 1)(x 2 − 4x + 3) h) l´ımx→3 sen2 (x − 3) tan(x 2 − 9) d) l´ımx→2 tan(2x − 4) x 2 − 4 i) l´ımx→0 tan x x 2 + x e) l´ımx→0 1 − cos2 x 6x 2 j) l´ım h→0 sen(x + h) − sen x h 3.2. Continuidad 1. En cada caso estudie la continuidad de las siguientes funciones en el punto x = a. En caso de ser discontinuas, clasiffique la discontinuidad que presentan en dicho punto. a) f(x) = sgnx en a = 0 f) f(x) = x sen π x en a = 0 b) f(x) = x 2−4 x+2 en a = −2 g) f(x) = ln x en a = 0 c) f(x) = sen(2x) x en a = 0 h) f(x) = tan x en a = π 2 d) f(x) = [x] en a = 2 i) f(x) = x−1 ln x en a = 1 2. Estudie la continuidad de las siguientes funciones. Si existen, puntos de discontinuidad, CEU Digital
Ejercicios de Repaso 13 clasiffique el tipo de discontinuidad que presenta la función en dicho puntos. a) f(x) = ( x 2−1 x−1 si x 6= 1 4 si x = 1 f) f(x) = ln(3 − x) si x < 3 2 si 3 ≤ x ≤ 5 | x − 1 | si x > 5 b) f(x) = e −x si x ≤ 0 | x | si 0 < x < 4 log2 x si x > 4 g) f(x) = ( | x + 1 | si x < 1 log2 (x + 1) si x ≥ 1 c) f(x) = x 2 x2+9 h) f(x) = x+ √ 5 x2−5 d) f(x) = ln | x | i) f(x) =| ln x | d) f(x) = √x−4 x−4 i) f(x) = 3− √ x x−9 3. Veriffique si es aplicable el teorema de los valores intermedios para k = −1 si f(x) = x 2 + 5x + 6 en [2, 3]. 4. Puede affirmar que existe al menos un número c ∈ (1, 3) tal que la función f(x) = ln x tome el valor 1. Justiffique su respuesta. 5. La función f(x) = x 2 ¾satisface las condiciones del teorema de los valores intermedios para k = 0 en [−1, 3]? y ¾si k = −1? Justiffique. 6. Determine en cada apartado al menos un intervalo (si existe) tal que se veriffiquen las hipótesis del teorema de los valores intermedios para k = 0. a) f(x) = 2x 4 − 2x 3 + 2x 2 − x − 1 b) g(x) = (x − 2)(x + 5) 7. Para cada función f(x) = 3x 2+7x x2+2x y g(x) = 2x 2−5x x2−3x determine a. Dominio, gráffico y asíndotas de f y g respectivamente. b. Estudie la continuidad de f y g en su dominio. En caso de tener discontinuidad en algún punto clasiffique dicha discontinuidad. 3.3. Ejercicios de Repaso 1. Sean f y g las funciones deffinidas como f(x) = ( x + 1 si x < 1 x − 1 si 1 ≤ x g(x) = ( 1 − x si x < 1 1 + x si 1 ≤ x a) Muestre que l´ımx→1 f(x) y l´ımx→1 g(x) no existen. b) Deffina la función f + g. CEU Digital
14 Límite y Continuidad c) Demuestre que l´ımx→1 (f(x) + g(x)) existe. d) De los incisos anteriores se tiene que l´ımx→1 (f(x) + g(x)) 6= l´ımx→1 f(x) + l´ımx→1 g(x). Contradice este hecho al resultado dado en clases sobre el álgebra de los límites? 2. a) Si 1 ≤ f(x) ≤ x 2 + 2x + 2 para todo x ∈ R, encuentre el l´ımx→−1 f(x). b) Si 3x < f(x) ≤ x 3 + 2 para 0 ≤ x ≤ 2, encuentre l´ımx→1 f(x). 3. a) Pruebe que l´ımx→0 x 4 cos 2 x = 0. b) Pruebe que l´ım x→0+ √ xesen( π x ) = 0. 4. Para la función g cuya gráffica se muestra, responda cada uno de los incisos a) l´ımx→2 g(x) b) l´ımx→5 g(x) c) l´ım x→−3− g(x) d) l´ım x→−3+ g(x) e) Ecuaciones de las asíndotas verticales. 5. Para la función f cuya gráffica se muestra, responda cada uno de los incisos a) l´ımx→−7 f(x) b) l´ımx→−3 f(x) c) l´ımx→0 f(x) d) l´ım x→6− f(x) e) l´ım x→6+ f(x) f ) Ecuaciones de las asíndotas verticales. CEU Digital
6. Si f y g son funciones continuas tal que f(3) = 5 y l´ımx→3 (2f(x) − g(x)) = 4 determine el valor de g(3). CEU Digital
Capítulo 4 Derivada 4.1. Derivada 1. Otenga la función cociente incremental para las siguientes funciones en el punto indicado. Interprete geométricamente. a) f(x) = 3x + 1 en a = 1. b) f(x) = 5x 2 + 3 en a = 3. 2. Use la gráffica de la función para estimar el valor de cada derivada a) f 0 (−3) , f0 (−2) , f0 (−1) , f0 (0) , f0 (1) , f0 (2) , f0 (3) b) f 0 (0) , f0 (1) , f0 (2) , f0 (3) , f0 (4) , f0 (5) 17 CEU Digital
18 Derivada 3. Calcule la derivada de las siguientes funciones a) f(x) = 3 j) f(x) = xex−2 x sin x b) f(x) = 2x 2 − x + 1 k) f(x) = x x−1 ln x + e 3 c) f(x) = 1 x−1 l) f(x) = cos x+coth x log3 x d) f(x) = √ 1 − x m) f(x) = x tan x ln x e) f(x) = 1 x n) f(x) = 1 5 x 5 + 1 2 x 2 + π x arctan x f) f(x) = x √5 x + 3 cos x + π 3 ñ) f(x) = log3 e x + π 3 3 g) f(x) = 9x 5−3x 2−20 x o) f(x) = x −2 + 1 25x −5 + 1 6 x −3 + e −5 h) f(x) = 2xx 2 cos x + 2 5 π p) f(x) = 2 ln x i) f(x) = √ x cos x x2+1 4. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráffica de f en el punto indicado a) f(x) = x 2 + 1 en (2, 5) d) f(x) = √ x en (1, 1) b) f(x) = x 2 + 2x + 1 en (−3, 4) e) f(x) = x + 1 x en (1, 2) c) f(x) = x 3 en (2, 8) f) f(x) = 1 x+1 en (0, 1) 5. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráffica de la función f y es paralela a la recta dada a) f(x) = x 3 −→r : 3x − y + 1 = 0 b) f(x) = √ 1 x −→r : x + 2y − 6 = 0 c) f(x) = x 2 − 5x + 6 −→r : y = x + 2 d) f(x) = x 3 − 24x 2 el eje −→ox 6. Dada la función f y su gráffica, describa gráfficamente el dominio de f 0 y luego compruebe su resultado analíticamente. a) f(x) =CEU Digital | x + 3 |
Derivada 19 b) f(x) =| x 2 − 9 | c) f(x) = 1 x+1 d) f(x) = 2x x−1 7. Derive las siguientes funciones compuestas. a) f(x) = e −2x + e x sin(2x) g) f(x) = 3x+sin(ln(3x)) x3+1 5 b) f(x) = (10x 2 + sin(3x))10 h) f(x) = sin2 (5x) cos3 (3x) π3 c) f(x) = ln(e −2x+sin(4x+2)) i) f(x) = q 3 ln5 (x2+1) d) f(x) = ln6 π 2 cos(3x) + e 2x arctan(9x 2 j) ) f(x) = x arctan(4x2+1) e) f(x) = q ln x e−5x 5 tan(3x) k) f(x) = ln x 1+tan x3 5 f) f(x) = log(2 sin(3x+1)) tan2 x l) f(x) = q x + ln2 (cos3 x) 8. Obtenga la derivada de las siguientes funciones mediante el métodod de derivación CEU Digital
20 Derivada logaritmica a) f(x) = x sen x d) f(x) = x x 2 b) f(x) = (sin x) ( ln(2x)) e) f(x) = 2 x2+1 cos(2x) c) f(x) = (x + 1) √ x f) f(x) = 2arctan(2x) 4.2. Ejercicios de Repaso 1. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva a) f(x) = 2x 2 + 3 paralela a la recta −→r : 8x − y + 3 = 0 b) f(x) = 3x 2 − 4 paralela a la recta −→r : 3x + y = 4 2. Obtenga la ecuación de la recta normal a la curva a) f(x) = 2 − 1 3 x 2 que es paralela a la recta −→r : x − y = 0 b) f(x) = x 3 − 3x que es paralela a la recta −→r : 2x + 18y − 9 = 0. 3. a) Demuestre que no existe una recta que pase por el punto (1, 5) y que sea tangente a la curva f(x) = 4x 2 b) Demuestre que no existe una recta que pase por el punto (1, 2) y que sea tangente a la curva f(x) = 4 − x 2 4. Calcule la derivada de las siguientes funciones a) f(x) = √ 2 x f) f(x) = 1+sin x cos x+x b) f(x) = √ 1 x−1 g) f(x) = xex csc x c) f(x) = 3x 2 − 2 cos x h) f(x) = 1−sec x tan x d) f(x) = sin x + 1 2 cot x i) f(x) = cos x ln x e) f(x) = √ x sin x 5. Determine la derivada de las siguientes funciones a) f(x) = sinh2 (2x) b) f(x) = cosh(x 2 + 1) sinh(4x) c) f(x) = tanh2 (2x) sinh2 (2x) CEU Digital
Ejercicios de Repaso 21 d) f(x) = coth(3x) 6. Obtenga la derivada de las siguientes funciones a) f(x) = x x f) f(x) = x x+1 1 x b) f(x) = √x 3x g) f(x) = (4x 3 + 2) sin(3x) 4x c) f(x) = (sin x) π 2 −x h) f(x) = (x x ) x 7. Determine las derivadas laterales de f en x = 1 (si existen). Es f derivable en x = 1? a) f(x) =| x − 1 | b) f(x) = √ 1 − x 2 c) f(x) = ( (x − 1)3 si x ≤ 1 (x − 1)2 si x > 1 d) f(x) = ( x si x ≤ 1 x 2 si x > 1 8. a) Determine los valores de a, b tal que f sea diferenciable en x = 1 f(x) = ( x 2 si x < 1 ax + b si x ≤ 1 b) Determine los valores de a, b tal que f sea diferenciable en x = 2 f(x) = ( ax + b si x < 2 2x 2 − 1 si x ≥ 2 9. Decidir si son ciertas las siguientes affirmaciones. En caso de ser falsas, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre su falsedad a) Si una función es continua en un punto entonces es derivable en el punto. b) Si una función tiene derivadas laterales en un punto entonces es continua en el punto. c) Si una función es derivable en un punto entonces es continua en el punto. 10. Sean f(x) = ( x sen 1 x si x 6= 0 0 si x = 0 y g(x) = ( x 2 sin 1 x si x 6= 0 0 si x = 0 Probar que f es continua en x = 0 pero no derivable en x = 0. Demostrar que g es derivable en x = 0. 11. Calcule la derivada segunda de las siguientes funciones CEU Digital
a) f(x) = sen(5x − 8) b) f(x) = sen(cos(3x − 2)) c) f(x) = 1 + tan x 2 2 12. Para las siguientes funciones encuentre f (3) a) f(x) = √ 2x − 1 b) f(x) = 1 3x + 2 13. Encuentre los puntos donde la recta tangente al gráffico de las siguientes funciones es horizontal a) f(x) = 2x 2 − 6x + 8 d) f(x) = −x + sen x b) f(x) = 2x 3 − 15x 2 − 36 e) f(x) = cos(4x) c) f(x) = x x2+2 f) f(x) = x 3 + x − 2 14. Dos partículas se mueven a lo largo del eje x, variando sus posiciones con respecto al tiempo de acuerdo a las siguientes funciones S1(t) = 3t 3 − 12t 2 + 18t + 5 y S2(t) = −t 3 + 9t 2 − 12t. Calcule cuando las dos partículas tiene igual velocidad. 15. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x tiene una posición S con respecto al tiempo dada por la función S(t) = 10 cos t + π 4 para t ≤ 0. Indique a) La posición inicial de la partícula (t = 0). b) El máximo desplazamiento hacia la derecha y hacia la izquierda del origen alcanzado por la partícula y los valores de tiempo para los cuales estos desplazamientos máximos se producen. c) La velocidad y aceleración en dichos puntos. d) El valor de t para el cual la partícula alcanza el origen por primera vez. Calcule el valor de la aceleración y la velocidad es ese momento. 16. Estudie la continuidad de f en todo punto. Determine en que puntos f no es derivable. Justiffique. a) f(x) = | x | si − 1 < x < 2 x 2 2 si 2 ≤ x < 4 2 − x 2 si x ≥ 4 b) f(x) = e −x si x ≤ 0 √ x si 0 < x < 9 ln(x − 9) x > 9 CEU Digital
17. Sea f(x) = ( x 2 − 7 si 0 ≤ x ≤ b 6 x si b < x . Determine el valor de b ∈ R tal que f sea continua. Es derivable f en b para el cual es continua. CEU Digital
Capítulo 5 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 5.1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 1. a) Escriba la matriz A = [aij ] de 3 ffilas y 2 columnas tal que aij = i + j. b) Escriba la matriz B = [bij ] de 3 ffilas y 2 columnas tal que bij = (−1)1+j . 2. En cada apartado determine la matriz A = [aij ] de 3 ffilas y 3 columnas, distinta de la matriz nula, tal que a. aij = 0 si i 6= j; b. aij = aji para todo i, j; c. aij = 0 para toda i > j; 3. En cada apartado realice en forma sucesiva las operaciones elementales que se indican a) A = 1 2 5 3 0 4 2F1 , F3 + F2 , 1 3 F3; b) B = 1 0 −1 0 0 0 0 5 0 0 2 0 −2 0 0 F13 , F3 + F2 , F2 + (−3)F3 , F1 + 2 3 F3 , F12 c) C = 1 2 3 −1 4 5 0 1 1 1 2 −5 F12 , 2F3 , F2 + (−2)F1 , F31 , F3 + (−1)F2 , F24 , F4 + (−1)F2 CEU Digital 25
d) D = 2 −1 3 −4 3 −2 4 −3 5 −3 −2 1 3 −3 −1 2 (−1)F3 , F1 + (−1)F2 , F3 + F4 , 1 2 F3 , F1 + (−1)F3 , F24. 4. En cada apartado determine si los pares de matrices son equivalentes por ffilas. a. A = 1 −1 3 2 0 4 B = 2 −2 6 0 −1 1 b. A = 1 2 −1 1 1 1 −1 2 −1 B = 2 4 −2 1 5 3 1 3 −1 2 −1 c. A = 4 3 1 6 1 0 1 B = 0 1 3 −5 1 6 d. A = 1 −2 3 3 1 −1 5 −3 5 B = 1 −2 3 0 −7 10 0 0 0 5. Determine cual de las siguientes matrices son reducida por ffilas ó escalón reducida por ffilas. A = 1 2 3 0 1 0 0 0 1 B = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 C = 0 1 0 0 5 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 D = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 E = 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 F = 1 3 0 −1 0 1 0 0 1 1 0 −2 0 0 0 0 1 2 6. Determine en cada caso el rango de las siguientes matrices A = 1 0 −1 0 0 0 0 √ 5 0 0 2 0 −2 0 0 B = 1 3 1 1 −1 2 C = 2 −1 3 −4 3 −2 4 −3 5 −3 −2 1 3 −3 −1 2 D = 2 4 −2 3 5 1 −1 2 −1 E = 2 −2 −3 3 F = 1 − 5 2 3 −1 0 0 0 0 −2 5 1 −4 7. En cada apartado determine cuáles de los vectores son soluciones del sistema a) x − 2y − 4z = −2 2x + y − 3z = 6 3x + 4y − 2z = 14 (2, 2, 0) , (3, 1, 1) , (0, 0, 0) , (0, 3, −1) CEU Digital
b) 2x + 5y − 4z = 8 2x + 6y + 2z = 2 x + 3y + z = 1 x + 2y − 3z = 5 (2, 1, 0) , (0, 0, 0) , (2, 0, −1) , (0, 3, −1) c) 3x + y − 2z + 2t = 2 2x + 2y − z + 3t = 1 3x − 3y − 3z − 3t = 4 (π, 2π, 1, 0) , (0, 0, 1, 2) , (1, 1, 1, 0) , ( 1 2 , 1, 1 4 , 1) 8. Resuelva los siguientes sistemas, indique la solución general como combinación lineal de n-uplas y dos soluciones particulares. a) ( x1 − 2x3 + x4 = 0 x2 + 5x3 − 2x4 = 1 b) x1 − 2x2 + 5x5 = −2 x3 + 3x5 = 1 x4 = 3 c) ( x1 + x4 − 5x5 = 3 x2 + 6x4 − x5 = −1 d) ( x1 + 3x2 − x6 = 1 x3 − x4 + 5x5 + 9x6 = 2 e) ( x1 + 3x2 = 9 x4 + 5x5 = 2 9. Resuelva los siguientes sistemas y justiffique su respuesta usando el Teorema de Rouche CEU Digital
Frobenius. a) x1 + 2x2 + x3 = 1 x1 + x2 − x3 = 2 x1 + x2 + x3 = −1 b) 2x1 − 2x2 + x3 − x4 = 3 x2 + x4 = 0 x3 − 3x4 = 1 c) x1 + x2 + x3 = 0 x2 + 2x3 = −1 x1 + 2x2 + 3x3 = −1 x1 − x3 = 1 e) 3x = 10z − 2 y − 3x + 4z = −2 3y − 6x + 4z + 7 = 0 d) x1 + x2 − x3 + x4 = 0 x3 − 2x4 = 1 2x1 + 2x2 + x3 − 4x4 − 4 = 3 2x1 + 2x2 + x3 − 4x4 = 3 2x1 + 2x2 − 2x4 = 1 g) −x1 + x2 − x3 − 1 = 0 x1 = 2 − x3 3x1 + 3x3 − 2x2 = 1 h) −x1 + x2 − x3 − 1 = 0 x1 = 2 − x3 3x1 + 3x3 − 2x2 = 1 i) ( x + y = 3 −y + x = 1 j) x + y + z = −1 3x + 3y + 3z = 0 2y + x + z = 1 10. Determine el valor de y1, y2, y3 ∈ R para que los siguientes sistemas tengan solución: a) x1 + 4x2 + 5x3 = y1 2x1 + 3x2 + 5x3 = y2 x1 + 9x2 + 10x3 = y3 b) x + 2z = y1 y + z = y2 −x − y = y3 d) x1 + x2 + 2x3 − x4 = y1 x2 + 2x3 + x4 = y2 −x1 + x2 + 2x4 = y3 e) x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 = y1 2x1 − x2 + 2x3 − 4x4 = y2 x1 + 7x2 + 7x3 + 13x4 = y3 11. Analice los distintos valores de a, b ∈ R para que el sistema sea compatible determinado, CEU Digital
indeterminado e incompatible a) ( ax1 − 2x2 = 0 ax1 + 3x2 = 0 b) x1 − ax2 + x3 = 1 x1 + x2 = 1 x1 − x2 = b d) x1 − ax2 + x3 = 1 x1 + x2 = 1 x1 − x2 = b e) −ax + 2az = 2ay − a x + 2y + az − z = a 3y + (2a − 1)z = 2a + 1 − x 12. Responda las siguientes preguntas, justiffique su respuesta. a) Dados los sistemas A1X = B1, A2X = B2 tal que A1 es equivalente por ffilas a A2. El conjunto solución de ambos sistemas son iguales? b) Si B1 es equivalente a B2 entonces el conjunto solución de ambos sistemas son iguales? c) Si el conjunto solución de ambos sistemas coinciden entonces A1 es equivalente por ffilas a A2? 5.2. Operaciones con matrices 1. Determine cual de las siguientes matrices son elementales. En cada caso indique la(s) operación(es) elemental(es) que realizó E1 = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 E2 = −1 0 1 0 1 0 0 0 1 E3 = 1 1 0 1 E4 = 2 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 E5 = 0 1 1 0 2. En cada caso determine la matriz P tal que RA = P A y exprésela como producto de matrices elementales. a. A = 1 −1 0 −2 1 0 ; b. A = 1 −1 2 1 1 1 ; c. A = 1 −1 1 0 0 0 1 1 1 . CEU Digital
3. Dada las matrices A = 1 2 −1 0 3 −5 2 1 4 7 B = − 5 2 3 1 2 5 −1 2 −3 −6 C = √ 2 0 √ 8 −1 1 √ 2 F = 1 5 23 1 D = 0 √ 2 2 √ 2 5√ 2 7 √ 2 −4 √ 2 Realice, en caso de ser posible, las siguientes operaciones A + B A − B √ 2C 4D √ 2(C − D) 2F 4. Dada la matriz A = 4 3 0 −1 3 2 2 1 5 0 −1 4 3 0 en cada apartado construya a. una matriz B ∈ R 1×4 tal que sea combinación lineal de las ffilas de A con los escalares 3, −2, 3. b. una matriz C ∈ R 3×1 tal que sea combinación lineal con los escalares 4, 3, 1, 2. 5. Dada las siguientes matrices A = 1 2 3 0 −1 2 B = −2 3 0 4 1 2 C = 5 6 . Determine las siguientes operaciones AB , BA , (AB)C , A(BC). 6. a. Dada las matrices B = B1 B2 B3 y C = C1 C2 C3 tal que C1 = 2B1 + B2 − B3 , C2 = √ 3B1 + 5B2 , C3 = −3B3. Determine la matriz A tal que AB = C. b. Dada las matrices A = A1 A2 y C = C 1 C 2 C 3 C 4 tal que C 1 = −4A1 + 5A2 , C2 = A1 + 7A2 , C3 = πA1 , C4 = A1 + A2 . Determine la matriz B tal que AB = C. 7. a. De un ejemplo de matrices A, B, C tales que AB = CB y A 6= C. b. De un ejemplo de matrices A y B no nulas tales que AB = 0. c. De un ejemplo de una matriz B de de 2 ffilas y 2 columnas tal que B2 = 0. 8. Dadas las matrices A = 1 −4 1 0 3 −2 B = 0 10 2 1 5 2 y C = 1 1 0 −1 3 −2 0 1 0 , determine X tal que a. 3A + 2X − B = 0 b. −AC + X + 2A = 0. CEU Digital
5.3. Matriz Inversible 1. Determine, si existen, las inversas de las matrices: A = −1 2 −3 2 1 o 4 −2 5 B = 1 2 3 4 C = 2 4 6 1 1 1 3 5 8 E = 0 1 2 0 F = 2 0 5 0 0 7 0 2 3 0 7 0 0 0 0 6 . 2. a) Dadas (A − 2B) −1 = −1 1 −3 2 y (A − B) = 1 −1 −1 2 determine A y B que satisfacen dichas ecuaciones. b) Dadas (A+B) −1 = 2 3 1 3 1 y A−B = √ 5 √ 5 1 6 determine A y B que satisfacen dichas ecuaciones. 3. Calcule la matriz X tal que a. 1 0 1 0 1 1 1 1 1 X + 1 2 4 4 6 10 0 −2 = 1 0 5 5 1 −2 b. XA+BA = CA2−BA con A = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 B = 1 2 2 0 −2 −1 0 C = 0 4 5 −2 1 4 c. A(A + X) = X con A = 1 −1 1 −2 d. (AX) −1 = B con A = −1 1 −3 3 B = −1 1 1 −2 e. (B + X)A = X con A = −1 −1 1 2 B = 0 1 0 −1 f. A(A + X) = X con A = 1 −1 0 −2 5.4. Determinante 1. Calcule el determinante de las siguientes matrices A = √ 2 2 −4 7 B = 1 −1 1 1 2 1 3 1 1 2 3 C = 1 0 1 2 −3 1 −1 0 4 2 0 0 3 1 2 0 CEU Digital
2. Sea A ∈ R 4×4 , tal que det(A) = √ 5, calcule el determinante de las siguientes matrices A 2 , 2A , 2A −1 , (2A) −1 5.5. Ejercicios de Repaso 1. a) Demuestre que (A + B)(A − B) = A2 − B2 si y solamente si AB = BA. b) Demuestre que AB conmutan si y solamente si A − cI y B − cI conmutan para todo c ∈ R. 2. Verdadero o falso; dar un ejemplo en caso de ser falso. a. Si la primera y tercera columnas de B son iguales, también lo son la primera y tercera columnas de AB. b. Si la primera y tercera ffilas de B son iguales, también lo son la primera y tercera ffilas de AB. c. Si la primera y tercera ffilas de A son iguales, también lo son la primera y tercera ffilas de AB. d. (AB) 2 = A2B2 . 3. Hallar, si existen, las inversas de las siguientes matrices G = cos α − sen α sen α cos α H = 1 + a 1 1 1 1 + a 1 1 1 1 + a . 4. a. Justiffique, sin hacer cuentas, por qué las siguientes matrices no son inversibles A = 0 1 2 0 −1 0 0 0 1 B = 1 1 1 0 1 0 −1 −1 −1 C = 0 0 1 1 . b. Dado A ∈ R 2×1 y B ∈ R 1×2 , demuestre que AB no es inversible. 5. Calcule la matriz X tal que a) (2X +B)A−CA2 = XA+A con A = −1 2 1 0 1 1 4 3 1 B = 2 1 0 −2 −1 0 −1 2 3 C = 2 −1 3 0 4 5 −2 1 4 b) (3X − 2A) −1 + B = −2A con A = 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 0 −1 B = 3 4 1 0 5 2 1 0 0 CEU Digital
Capítulo 6 Vectores geométricos, Recta y Plano 6.1. Vectores geométricos 1. Dibuje los vectores cuyo origen es P y extremo Q a) P = 2, − 1 4 y Q = −3, 3 4 b) P = −5, 15 2 y Q = (0, 10) c) P = −1, 4 5 y Q = (2, 1) 2. Dados u = (1, 3, −1) y v = (2, 1, 4), determine || u ||, || v ||, || u + v ||, || 1 2 v || y || u − v ||. 3. Determine los vectores unitarios y el opuesto de v = (−3, 4). 4. Calcule los ángulos interiores de a) el triángulo cuyos vértices son los puntos P = (1, 2) , Q = (−3, 0) y R = (−1, 3). b) el paralelogramo cuyos vértices son los puntos P = (−1, −1), Q = (1, 0), R = 2, 3 2 y T = 0, 1 2 5. Calcule el ángulo entre los vectores a) u = (−1, 3, 6) y v = (1, 3, 2) b) u = (2, 0) y v = −1 2 , 3 2 c) u = (π, 2π) y v = (−3π, π) d) u = (1, −1, 2) y el vector cuyo extremo es el origen de coordenadas y origen el punto medio entre P = (1, 1, 1) y Q = (0, −1, 2). 35 CEU Digital
36 Vectores geométricos, Recta y Plano 6. Veriffique si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares a) u = (2, −1) y v = (−6, 3) e) u = (2, −1, 6, √3 5) y v = (2, 15, 1, 5 2 3 ) b) u = (1, 0) y v = (0, 1) f) u = (1, 0, 0) y v = (9, 0, 1) c) u = (1, 1) y v = (5, −2) g) u = (5, −1, −8) y v = (5, −1, 8) d) u = (0, 1, 0, 1) y v = (1, 0, 1, 0) h) u = (3, −8, 1) y v = (−3 √ 2, 2 √ 32, − √ 2) 7. Calcular la proyección ortogonal de u sobre v en cada caso a) u = (√ 2, −1) y v = (√ 2, 1) d) u = (0, 3, 0) y v = 2 3 , 2 3 , − 1 3 b) u = (−1, 3, 2) y v = (1, 2, −1) e) u = (0, 3, 0) y v = − 1 3 , 2 3 , 2 3 8. a) Determine el conjunto de vectores paralelos al vector v = 1, 2, 1 3 . b) Determine el conjunto de vectores perpendiculares a los vectores v = (0, 1, −3) y w = (−1, 1, 5). 9. Determine los valores de k ∈ R tal que los vectores u = (4, 5 − k, 4) y v = (3, k, −4) sean a) paralelos; b) ortogonales. 10. Sean u = (1, 2, 3), v = (3, 2, −1) y w = (0, −2, 4), calcule las siguientes operaciones a) u × v d) (u.v)w b) (2u + v) × w e) (w × v).v b) w.(u × v) 11. Determine los vectores unitarios perpendiculares a los vectores u = (2, 1, 0) y v = (0, −1, 3). 12. Calcule el área del triángulo de vertices los puntos a) P = (3, −2) , Q = (2, 1) y R = (−1d), −P1)= (1, 5, −2) , Q = (0, −2, 7) y R = (3, −1, 4) b) P = (1, 0, 0) , Q = (0, 1, 0) y R = (0e), 0P, 1)= (2, 1, 0) , Q = (1, −1, 1) y R = (2, −1, 1) 13. Determine el volúmen del paralelepípedo de aristas v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, −1, 2) y v3 = (2, 0, 4). CEU Digital
Recta y Plano 37 6.2. Recta y Plano 1. En cada uno de los siguientes pares de puntos P1 = (1, 2) y Q1 = (−2, 1) ; P2 = (−2, 5) y Q2 = 0, 1 3 , P3 = (√ 7, 2) y Q3 = (−1, 2) escriba la ecuación de la recta en su forma a) paramétrica vectorial b) paramétrica escalar c) cartesiana, en caso de ser posible d) forma explícita general e) forma explícita f ) forma segmentaria. 2. Dada la ecuación de la recta a) −→r : (x, y) = (−2, 4) + t(−1, 2). Escriba a −→r en su forma cartesiana y explícita general. b) −→r : x 3 + y −6 = 1. Escriba a −→r en su forma explícita y escalar. c) −→r : −2y + 3x − 1 = 0. Obtenga dos puntos de pasos P y Q y la pendiente de −→r . El punto medio entre P y Q es un punto de paso de −→r ? d) −→r : (x, y) = (0, 2) + t(1, 1). Los puntos P1 = (−1, 1), P2 = (0, 3), P3 = (4, −6) pertenecen a −→r ? 3. Escriba la ecuación de los ejes coordenados de R 2 . 4. Determine si P1 = (1, 2) , P2 = (2, 3) y P3 = (6, 7) están alineados. 5. En cada apartado determine cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q si el punto Q esta situado a a) 3 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha respecto de P. b) 5 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha respecto de P. c) √ 3 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia la izquierda de P. 6. En cada uno de los siguientes apartados calcule la pendiente y ordenada al origen de las rectas. Además realice la gráffica en cada caso. a) −→r : (x, y) = (2, −1) + t 1 2 , 1 3 d) x −4 + y 3 = 1 b) 4y − 2x = 0 e) 4 − y = 0 c) 4x + 3y = 0 CEU Digital
38 Vectores geométricos, Recta y Plano 7. En cada apartado, encuentre los puntos de intersección entre los ejes coordenados y con la recta a) 5x − 3y = 15 c) (x, y) = (2, −5) + t(1, 3) b) x−2 2 = y−3 5 d) ( x = 1 + 2t y = 5 − 3t 8. En cada uno de los siguientes apartados determine si las siguientes rectas son paralelas, perpendiculares o se cortan en algún punto, en tal caso dar el punto de intersección. a) y − 3 = 2x y (x, y) = (1, 1) + t(2, 4) b) 2x−1 3 = −2 + y y 2y + 3x = − 1 2 c) ( x + 1 = 2t y = −2 + −t y (x, y) = t(1, 0) d) (x, y) = (3, −2) + t 1, 3 2 y ( x = 1 + 2t y = 3 + 3t e) x−3 3 = 1−y 2 y (x, y) = (0, 3) + t 1, − 2 3 f ) x 2 + y 4 = 1 y y = − 1 2 x + 3 9. a) Halle la recta que pasa por el punto (−1, 7) y es paralela a la recta (x, y) = (2, 3) + t(4, 5). b) Halle la recta que pasa por el punto (8, −2) y es perpendicular a la recta 2x + 3y + 4 = 0. c) Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la recta y = −5x + 1. 10. a) Escriba la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, −1) y es paralela al eje x. b) Escriba la ecuación de recta que pasa por el punto (3, −1) y es paralela al eje y. 11. Dada la recta r : 5x − 7y + 11 = 0. Determine la ecuación de todas las rectas a) paralelas a r. b) perpendiculares a r. 12. a) Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por P = (−2, 0, 1) y Q = (−3, 1, 1). b) Escriba la ecuación cartesiana de la recta que tiene dirección (π, 2, −8) y pasa por el punto de abscisa −2 de la recta −→r : (x, y, z) = (0, 1, −6) + t(1, 1, 1). c) Determine la ecuación paramétrica escalar y paramétrica vectorial de la recta −→r : x−5 3 = y+4 5 = z − 1. 13. Determine el ángulo que forman las siguientes pares de rectas CEU Digital
Recta y Plano 39 a) 2x − 3y + 5 = 0 y (x, y) = (4, 2) + t 1 2 , 3 b) 2x−1 4 = 2 − y = −z+2 3 y (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(−1, 2, −1) c) ( 2x = 2 + 6t −y + 1 = t y y = √ 2x + 3 14. a) Escriba la ecuación paramétrica, vectorial y cartesiana del plano π que pasa por el punto P = (1, 2, 3) y tiene vectores directores u = (4, 5, 6) y B = (7, 8, 9). b) Escriba la ecuación paramétrica, vectorial y cartesiana del plano π que pasa por el punto P = (−8, 5, 1) y tiene vectores directores u = (2, 0, 3) y v = (1, −1, 5). c) Escriba la ecuación cartesiana del plano determinado por los puntos P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0) y R = (0, 0, 1). 15. Escriba la ecuación cartesiana de los planos coordenados. 16. Escriba la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto de abscisa cero de la recta r : (x, y, z) = (1, 1, −1) + t(1, 0, −3) y es paralelo al plano π : 2x + y − z = 4. 17. Determine la posición relativa de a) r1 : (x, y, z) = (2, 3, −1) + t(5, −1, 3) y r2 : (x, y, z) = (−7, 2, 0) + t(1, 0, 1) b) r1 : (x, y, z) = (0, 2, −3) + s(1, 2, −1) y r2 : x+5 3 = y−3 −5 = −z c) r1 : (x, y, z) = (−1, 3, 0) + t(6, −10, 2) y r2 : ( 2x + y − z = 1 x + y − 2z = 2 d) r1 : x − 5 = y+2 4 = z−1 3 y r2 : ( x + 2y − 3z = −2 x − y + z = 8 e) π1 : 3x + y − z = 2 y π2 : −x + y − 2z − 3 = 0 18. a) Calcule la distancia del punto (1, 2) a la recta r : x + y − 2 = 0. b) Calcule la distancia entre las rectas r1 : (x, y) = (2, 0)+t(1, −1) y r2 : (x, y) = (1, −1) + λ(2, 3). c) Calcule la distancia del punto (1, 1, 1) al plano π : x + y − 2z + 1 = 0. d) Calcule la distancia entre los planos π1 : x − 2y + z = 3 y π2 : x − 2y + z = 0. 19. a) Encuentre el punto de la recta 2x + 3y = 1 más cercano al punto P = (3, −6). b) Encuentre el punto más cercano de la recta r : x−1 2 = y −1 = 2z−2 4 al plano π : −2x + 2y + z = 0. 20. Calcule la distancia entre la recta y el plano a) r : x−2 6 = 3y+1 −6 = 1−z 3 y 2x − 3y + 6z + 3 = 0. b) r : (x, y, z) = (3, 2, 1) + t(1, 1, 1) y π : 2x − y − z = 3 CEU Digital
40 Vectores geométricos, Recta y Plano c) r : (x, y, z) = (0, 1, −2) + t(1, 0, −3) y π : x + y − z + 1 = 0 d) r : x + 1 = 2t −y + t = 2 z = t y π : 2x + y − z + 3 = 0 6.3. Ejercicios de Repaso 1. Se tienen dos cargas eléctricas positivas. Entre éstas se ejercen fuerzas de repulsión. Se sabe que una esta ubicada en P1 = (2, 1, 1) y otra en P2 = (3, 5, 4). Calcular un vector unitario que tenga la dirección de dichas fuerzas. 2. a) Pruebe que los vectores de R 2 de la forma (a, b) y (−b, a) son ortogonales. b) Dado el vector u = (a, b, c) determine el conjunto de vectores ortogonales a u. c) Calcule dos vectores no paralelos entre si que sean ortogonales al vector u = (1, 2, 3). d) Dados u, v, w vectores de R n tales que u ⊥ v y v//w demostre que u ⊥ w. 3. Descomponga el vector u = (7, 5, 4) a) en un vector paralelo y otro perpendicular al vector (−1, 1, 1). b) en un vector paralelo a (2, −1, 0) y otro perpendicular a (−1, 2, −1). 4. a) Veriffique que los puntos P1 = (1, 7, 1) , P2 = (−9, 2, −4) , P3 = (11, −8, −4) son vértices de un triángulo rectángulo. b) Calcule las coordenadas del punto P4 de manera que este punto junto con los del ejercicio anterior constituyan los vértices de un rectángulo. 5. Calcule el volúmen de las siguientes ffiguras a) el paralelepípedo cuyos vértices son los puntos u = (1, 0, 0) , v = (1, 1, 1) y w = (0, 0, 1). b) el tetraeddro con vértices en P = (1, 5, −2) , Q = (0, −2, 7) , R = (3, −1, 4) y T = (−7, 3, −5). c) el prisma triangular determinado por los vectores u = (2, 5, −1) , v = (1, 3, 5) y w = (5, 2, 3). 6. Determine bajo que condiciones sobre A, B, C la ecuación de la recta Ax+By +C = 0 representa a) una recta horizontal. b) un recta vertical. c) una recta que pasa por el origen. CEU Digital
Ejercicios de Repaso 41 d) una recta cualquiera que no cumpla las condiciones anteriores. 7. En cada apartado determine la ecuación de la recta en R 2 que satisface la condición a) pasa por el punto (−1, 2) y tiene dirección (−5, 4). Graffique. b) pasa por el punto (−3, 5) y tiene pendiente √ 2 5 . Graffique. c) pasa por el punto (0, −1) y su pendiente no está deffinida. Graffique. d) su ordenada al origen es 1 2 y pasa po el punto (−2, −3). Graffique. 8. En cada apartado determine la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto P = (−1, 5) y a) es perpendicular a la recta X = t(1, 2). b) es paralela a la recta3x − 2y = 1. 9. Determine la ecuación de la recta perpendicular a 2x + y = 4 y que corta a ésta en el punto de abscisa 3. 10. Dados A = (1, 2) y B = (2, −1), escriba la ecuación vectorial de la recta perpendicular al segmento AB y que pasa por el punto medio de dicho segmento. 11. a) Escriba la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P = (−1, 0, 3) y Q = (1, −2, 1). b) Escriba la ecuación paramétrica de la recta que une el punto P = (1, 1, 1) con el punto medio del segmento de extremos A = (2, −1, 4) y B = (3, 0, −2). 12. Demuestre que el conjunto de puntos (x, y, z) ∈ R 3 , tales que ( 2x − y + z = 8 x + 7y − 4z = 1 es una recta. 13. Escriba la ecuación paramétrica de la recta que une el punto P = (1, 1, 1) con el punto medio del segmento de extremos A = (2, −1, 4) y B = (3, 0, −2). 14. a) Escriba la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto P = (2, −1, −1) y es paralela a la recta X = t(3, −2, −4). b) Escriba la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es ortogonal a cada una de las rectas X = (−2, 4, 1)+t(3, 0, −1) y X = (7, 2, 4)+t(−1, 3−1). 15. Determine si la recta que pasa por los puntos P1 = (1, 3, 1), Q1 = (−1, 2, 4) es paralela o perpendicular a la recta que pasa por los puntos P2 = (2, 0, −3), Q2 = (1, −4, −3). 16. a) Halle, si existe, la intersección de las rectas x + y − 1 = 0 y x − 2y + 3 = 0. Además calcule el ángulo formado por dichas rectas. b) Halle el ángulo formado por las rectas determinadas por los vectores −→AB y −−→CD, siendo A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 1), C = (2, 3, 4) y D = (−1, −2, 5). CEU Digital
17. a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano π : z = 5x − y b) Escribir la ecuación paramétrica que pasa por el punto P = (1, −1, 3) y es perpendicular al plano π : 4x − 3y + z = 2. 18. a) Escriba la ecuación del plano que contiene a la recta ( y = 0 2z − x = 0 y es paralelo a la recta x = y = z. b) Escriba la ecuación del plano que contine a la recta ( 2x + 2y + z = 1 y = z y es perpendicular al plano y = z. 19. a) Determine la intersección entre los planos π1 : x−y+2z = 1 y π2 : 3x+y−z = 2. b) Determine los puntos comunes a los tres planos π1 : 2x − y − z = 0 , x + 2y + z = 1 y x − y − 3z = 2. 20. a) Determine la intersección de la recta que pasa por el origen en la dirección del vector (1, 1, 1) con el plano π : 4x − 3y + z = 2. b) Determine la intersección del plano π : x − 2y + z = 2 con la recta que pasa por P = (−1, 3, 2) y es ortogonal al plano. c) Determine la intersección de la recta que pasa por P = (1, 3, −2) y es paralela a la recta r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 2) con el plano que pasa por Q = (1, −1, 2) y es ortogonal a la recta dada. CEU Digital