i BAHAN AJAR BERBASIS IT & AV/VR MATEMATIKA KELAS IX PROGRAM PENDIDIKAN PROFESI GURU DALAM JABATAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG TAHUN 2023
i LEMBAR PENGESAHAN Bahan ajar ini dibuat Oleh: Nama : Levi Widiastuti, S.Pd NIP : 19861025200912 2 006 Digunakan sebagai bahan ajar pada : Instansi : MTsN 2 Solok Selatan Mata Pelajaran : Matematika Kelas : IX (Sembilan) Solok Selatan, 29 September 2023 Mengesahkan Kepala Madrasah Guru Bidang Studi Al Uska, S.Pd.I, M.M.Pd Levi Widiastuti, S.Pd NIP. 19800425 200604 1 001 NIP.19861025 200912 2 006
ii KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan karuniaNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar transformasi sub pokok bahasan translasi dan refleksi. Tak lupa juga mengucapkan sholawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW, karena berkatNya kita mampu keluar dari kegelapan menuju jalan yang lebih terang. Saya ucapkan juga rasa terima kasih saya kepada pihak-pihakyang mendukung lancarnya bahan ajar ini mulai dari proses penulisan hingga selesai, yaitu orang tua, suami tercinta, rekanrekan dan masih banyak lagi yang tidak bisa saya sebutkan satu per satu. Adapun, bahan ajar saya yang berjudul ‘Bahan Ajar: Transformasi : Translasi dan Refleksi’ ini telah selesai saya buat secara semaksimal dan sebaik mungkin agar menjadi manfaat bagi pembaca yang membutuhkan informasi dan pengetahuan mengenai matematika materi transformasi subab translasi dan refleksi. Dalam bahan ajar ini, tertulis bagaimana pentingnya transformasi translasi dan refleksi dan juga bagaimana materi yang disajikan yang relevan dengan mata pelajaran mengenai transformasi translasi dan refleksi yang menjadi alternatif pegangan bagi peserta didik dan guru yang sedang belajar materi tersebut. Saya sadar masih banyak kekurangan dan kekeliruan yang tentu saja jauh dari sempurna tentang bahan ajar ini. Oleh sebab itu, saya mohon agar pembaca memberi kritik dan juga saran terhadap karya bahan ajar ini agar saya dapat terus meningkatkan kualitas dalam membuat bahan ajar. Demikian bahan ajar ini saya buat, dengan harapan agar pembaca dapat memahami informasi dan juga mendapatkan wawasan mengenai bidang matematika khususnya materi transformasi translasi dan refleksi serta dapat bermanfaat bagi masyarakatdalam arti luas. Terima kasih. Padang Aro, September 2023 Penulis
iii DAFTAR ISI LEMBAR PENGESAHAN........................................................................................................i KATA PENGANTAR ...............................................................................................................ii DAFTAR ISI...........................................................................................................................iiI GLOSARIUM ...........................................................................................................................iv PETA KONSEP.......................................................................................................................... v PENDAHULUAN...................................................................................................................... 1 A. Identitas Modul................................................................................................................. 1 B. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................... 1 C. Capaian Pembelajaran ...................................................................................................... 1 D. Tujuan Pembelajaran........................................................................................................ 1 E. Indikator PencapaianTujuan Pembelajaran.............................................................. 1 F. Materi Pembelajaran........................................................................................................2 PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL ...............................................................................3 KEGIATAN PEMBELAJARAN 1.........................................................................................4 TRANSLASI (PERGESERAN).............................................................................................4 A. Tujuan pembelajaran .......................................................................................................4 B. Uraian Materi...............................................................................................................4 EVALUASI 1 ...........................................................................................................................10 KEGIATAN PEMBELAJARAN 2......................................................................................12 TRANSLASI (PERGESERAN)...........................................................................................12 A. Tujuan Pembelajaran .....................................................................................................12 B. Uraian Materi...................................................................................................................12 RANGKUMAN.........................................................................................................................18 EVALUASI 2...........................................................................................................................19 DAFTAR PUSTAKA..............................................................................................................21
iv GLOSARIUM Transformasi : Perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik,garis, kurva, bidang) Geometri : Cabang matematika yang menerangkan sifatsifat garis, sudut, bidang, dan ruang Transformasi Geometri : Perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang) dan dapat dinyatakan dalam gambar dan matriks Matriks : Susunan sekelompok bilangan dalam suatu jajaran berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom dan diapit oleh tanda kurung Translasi : Transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidangdengan arah dan jarak tertentu. Refleksi : Transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidangdengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin
v TRANSFORMASI TRANSLASI REFLEKSI Refleksi Terhadap sumbu X (garis x=a) Refleksi Terhadap sumbu Y (garis y=b) Refleksi Terhadap sumbu y=x (garis b=a) Refleksi Terhadap sumbu y= -x (garis y=b) PETA KONSEP
1 PENDAHULUAN A. Identitas Mata Pelajaran : Matematika Kelas : IX (Sembilan) Alokasi Waktu : 4 x 40 Menit (4 JP) B. Deskripsi Materi Anak-anak, banyak kegiatan atau kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang terkait dengan transformasi geometri. Transformasi geometri merupakan perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang) dan dapat dinyatakan dalam gambar dan matriks. Coba perhatikan gambar berikut, tentunya kalian pernah atau sering melakukan kegiatan ini bahkan setiap hari C. Capaian Pembelajaran Peserta didik dapat melakukan transformasi tunggal (refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi) titik, garis, dan bangun datar pada bidang koordinat Kartesius dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah. D. Tujuan Pembelajaran: Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan transformasi tunggal (translasi dan refleksi). E. Indikator Pencapaian Tujuan Pembelajaran: 1. Peserta didik dapat menjelaskan pengertian transformasi tunggal (translasi dan refleksi) melalui vidio pembelajaran dan pengerjaan LKPD dengan benar.
2 2. Peserta didik dapat menentukan transformasi tunggal (translasi dan refleksi) titik, garis, dan bangun datar pada bidang koordinat kartesius melalui pengerjaan LKPD dengan tepat. 3. Peserta didik dapat melakukan transformasi (translasi dan refleksi) dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah 4. Peserta didik mampu menyimpulkan dan menjelaskan masalah yang berkaitan dengan Transformasi (translasi dan refleksi). Konsep Utama: Transformasi (translasi dan refleksi) F. Materi Pembelajaran Modul ini terbagi menjadi 2 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraianmateri, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi. Pertama : Translasi Kedua : Refleksi
3 Anak-anakku sekalian, modul ini dirancang untuk memfasilitasi kalian dalam melakukan kegiatan belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut. 1. Berdoalah sebelum mempelajari modul ini. 2. Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secaraberurutan. 3. Perhatikan contoh-contoh soal yang disediakan dan jika memungkinkan cobalahuntuk mengerjakannya kembali. 4. Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasan pada modul ini. 5. Jika kalian menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untukmelihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada. 6. Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran. 7. Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia. 8. Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri. PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN AJAR
4 A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menjelaskan pengertian transformasi tunggal (translasi) melalui vidio pembelajaran dan pengerjaan LKPD dengan benar. 2. Peserta didik dapat menentukan transformasi tunggal (translasi) titik, garis, dan bangun datar pada bidang koordinat kartesius melalui pengerjaan LKPD dengan tepat. B. Uraian Materi Masih ingatkah ananda tentang Koordinat Kartesius? Caba amati gambar berikut ini!Tentukan koordinat titik A, B, C, D dan E! Y X KEGIATAN BELAJAR 1 TRANSLASI (PERGESERAN) MATERI PRASYARAT
5 Pengertian Translasi Anak-anak, pernahkan ananda mengamati objek atau benda-benda yang bergerak di sekitar kalian ? seperti kendaraaan yang berjalan di jalan raya, pesawat yang melintas di udara, eskalator yang bergerak atau diri kita sendiri yang bergerak kemana saja. Kegiatan tersebut menyebabkan benda atau objek mengalami perubahan posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Yuk kita memahami konsep translasi dengan menyelesaikan Masalah 1.1 dan Masalah 1.2 Anak-anakku, untuk mempermudah memahami konsep translasi kita bisa menggunakan pendekatan bidang Cartesius. Kita dapat mengasumsikan untuk pergeseran ke kanan pada bidang cartesius merupakan sumbu X positif, pergeseran ke kiri merupakan sumbu X negatif, pergeseran ke atas merupakan sumbu Y positif dan pergeseran ke bawah merupakan sumbu Y negatif. Jika Masalah 1.1 kita sajikan dalam bidang Cartesius maka diperoleh gambar 2. Yuk kita perhatikan gambar 2 ! Ayu ingin berangkat ke sekolah. Jika Ayu berangkat dari rumah maka untuk sampai ke sekolah ayu harus berjalan 7 satuan ke arah barat dan berjalan 5 satuan ke arah selatan. Coba kamu sketsa pergerakan Ayu pada bidang cartesius. Dapatkah kamu menemukan proses pergerakanAyu dari rumah menuju sekolah? MASALAH 1.1
6 Gambar 2. Pergerakan Ayu dari Rumah ke Sekolah pada bidang Cartesius Jika kita melihat posisi rumah Ayu pada bidang Cartesius berada pada koordinat (3,2). Untuk menuju ke sekolah Ayu harus berjalan ke arah barat 7 satuan artinya posisi Ayu bergeser 7 satuan ke kiri dari posisi rumah pada bidang Cartesius. Selanjutnya Ayu harus berjalan lagi ke arah selatan 5 satuan artinya posisi Ayu bergeser 5 satuan ke bawah. Jika kita melihat pada bidang Cartesius pada saat tiba di sekolah posisi Ayu berada pada koordinat(−4, −3). Hal ini berarti ( ) ( ) ( ) Jadi, posisi Ayu di sekolah terletak pada koordinat (−4, −3)
7 Anak-anak, jika perpindahan lukisan diilustrasikan dalam bidang Cartesius maka akanterlihat seperti gambar di bawah ini. Yuk kita perhatikan gambar 3. Gambar 3. Perpindahan lukisan Pada Bidang Kartesius Anak-anakku, untuk mempermudah kita memahami perpindahan lukisan yang terjadi, kita bisa memisalkan lukisan tersebut sebagai persegi panjang ABCD dan hasil perpindahan lukisan kita misalkan sebagai persegi panjang A’B’C’D’. Agar mudahmemahami yuk kita perhatikan gambar 4. Bimo akan memindahkan lukisan pada dinding dengan menggeser ke kanan sejauh 4 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan. Coba kamu sketsa pergerakan lukisan pada bidang Cartesius. Dapatkah kamu menemukan proses pergerakan lukisan dari posisi awal ke posisi akhir? Masalah 1.2
8 Anak-anakku, jika kita perhatikan persegi panjang A’B’C’D’ merupakan bayangan dari persegi panjang ABCD setelah ditranslasi. Dari hasil translasi tersebut diperoleh ′ = ′ = ′ = ′ Pergeseran 1 : Posisi awal titik adalah (−7, 1), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan keatas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat ′ (1, 4) Hal ini berarti : ( ) ( ) ( ) Pergeseran 2 : Posisi awal titik adalah (−2, 1), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan keatas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat ′ (6,4) Hal ini berarti : ( ) ( ) ( ) Pergeseran 3 : Posisi awal titik adalah (−2, 4), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan keatas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat ′ (6,7) Hal ini berarti : ( ) ( ) ( ) Pergeseran 4 : Posisi awal titik adalah (−7, 4), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan keatas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat ′ (1, 7) Hal ini berarti : ( ) ( ) ( )
9 Tabel 1.Translasi titik Pergeseran setiap titik pada uraian di atas dapat disajikan secara lebih sederhana dalamTabel 1. Titik awal Titik Akhir Proses Translasi (−7, 1) ′(1, 4) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( −2, 1) ′ (6, 4) ( ) ( ) ( ) = ( ) (−2, 4) ′ (6, 7) ( ) ( ) ( ) = ( ) (−7, 4) ′(1, 7) ( ) ( ) ( ) = ( ) Berdasarkan pengamatan pada Tabel 1, secara umum diperoleh konsep : Translasi (Pergeseran) adalah transformasi yang memindahkan titiktitik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. Titik A(x,y) di translasikan Oleh T( ) menghasilkan bayangan A’ ′ ′ A’ ′ ′ ( )
10 EVALUASI Soal Pilihan Ganda : Pilihlah jawaban yang tepat pada soal dibawah ini 1. Suatu segitiga ABC dengan koordinat titik A(-1,3), B(4.1), C(0,-2). Jika segitiga tersebut ditranslasikan sebesar ( ) maka hasil translasi titik B adalah … A. B’ (3,1) B. B’(8,-1) C. B’(4,-4) D. B’(3,-1) 2. Tentukan hasil bayangan titik (3, 5) oleh translasi ( ) A. A’ (5, 1) B. A’ (3, 7) C. A’ (7, -1) D. A’(7, 3) E. A’ (1, 9) 3. Jika suatu titik (3,-2) ditranslasikan dengan hasil translasi (3,1), besarnya translasi adalah … A. ( ) B. ( 0 ) C. ( ) D. ( 0 ) 4. Suatu titik di translasi sebesar ( ) dengan hasil translasi (-3,2). Titik tersebut adalah … A. (0, 1) B. (1, 1) C. (0, -1) D. (1, 0)
11 Kunci Jawaban N0 PEMBAHASAN SOAL SKOR 1. Koordinat titik B (4,-1) Ditranslasikan ke ( ) Hasil translasi titik B adalah : B’(4 + 4, -1 + (-2)) B’(8, -3) 25 2. Hasil bayangan titik (3, 5) Ditranslasikan ke ( ) adalah : (3 + (-2), 5 + 4) (1, 9) 25 3. titik (3,-2) ditranslasikan dengan hasil translasi (3,1), besarnya translasi adalah (3+a, -2+b) (3, 1) a a 0 -2 b b maka besarnya translasi adalah ( 0 ) 25 4 Suatu titik di translasi sebesar ( ) dengan hasil translasi (-3,2). Titik tersebut adalah (x ( ) ) ( ) x ( ) x x 0 y y y Titik tersebut adalah (0,1) 25
12 A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menjelaskan pengertian transformasi tunggal (Refleksi) melalui vidio pembelajaran dan pengerjaan LKPD dengan benar. 2. Peserta didik dapat menentukan transformasi tunggal (Refleksi) titik, garis, dan bangun datar pada bidang koordinat kartesius melalui pengerjaan LKPD dengan tepat. B. Uraian Materi Pengertian dan Sifat-sifat Refleksi (Pencerminan) Bercermin merupakan kegiatan yang sering kita lakukan dalam kehidupan sehari-hari. Tetapi pernahkan kita berpikir bagaimana bentuk bayangan yang dihasilkan pada cermin?Bagaimana jarak bayangan yang dihasilkan terhadap cermin? untuk menjawab pertanyaan tersebut, yuk kita simak ilustrasi 1 dan ilustrasi 2 KEGIATAN BELAJAR 2 REFLEKSI (PENCERMINAN) Terdapat sebuah bola yang diletakkan dihadapan cermin dengan jarak 30 cm. Bagaimana hasil refleksi bola terhadap cermin? Bagaimana jarak bayangan bola terhadap cermin ? Masalah 2.1
13 Gambar 5. Bola dihadapan cermin dengan jarak 30 cm Seperti telihat pada Gambar 5 hasil bayangan bola terhadap cermin berupa bola. Jika kita misalkan bola sebagai titik A dan bayangan bola sebagai A’, maka jarak titik A ke cermin sama dengan jarak titik A’ ke cermin yaitu 30 cm. Selain itu, jika titik A dan titik A’ kita hubungkan maka garis AA’ akan tegak lurus dengan cermin dan menghasilkan titik yang sama dengan jarak yang sama. Berdasarkan ilustrasi diatas, kita dapat memahami konsep refleksi secara umum dan sifat-sifatnya : Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Refleksi disimbolkan dengan dengan merupakan sumbu cermin.
14 Gambar 6. Perpindahan lukisan Pada Bidang Kartesius Masalah 2.2 Sebuah Gunung yang dan danau yang terlihat indah saat cuaca cerah, dimana Terlihat bayangan gunung yang ada di danau, peristiwa ini kita ilustrasikan seperti gambar dibawah ini, bagaimana antara gunung dan bayangannya?
15 Anak-anakku, jika kita lihat pada cermin hasil bayangan gunung degan objek gunungnya menghasilkan ukuran dan bentuk yang sama. Berdasarkan ilustrasi 1 dan ilustrasi 2, kita dapat memahami konsep refleksi secara umum dan sifat-sifatnya Sifat-sifat Refleksi: Jenis-Jenis Refleksi 1. Refleksi terhadap sumbu Anak-anakku, kita akan menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu dengan mengamati pencerminan Belah ketupat pada gambar 7 Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan tiaptitik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. 1. Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan 2. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurusterhadap cermin 3. Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titiktitik bayangan akan saling sejajar
16 2. Refleksi terhadap sumbu y 3. Refleksi terhadap titik asal O(0, 0)
17 4. Refleksi terhadap garis y = x 5. Refleksi terhadap garis y=-x
18 Dari bebera grafik diatas dapat diambil kesimpulan bahwa hasil refleksi sebuah titik adalah sebagai berikut: Garis Sumbu Titik Awal Bayangan Contoh Sumbu X A(x,y) A’(x,-y) A(-2,3) A’(-2,-3) Sumbu Y A(x,y) A’(-x,y) A((-2,3) A’(2,3) Garis y= x A(x,y) A’(y,x) A(-2,3) A’(3,-2) Garis y=-x A(x,y) A’(-y,-x) A(-2,3) A’(-3,2) RANGKUMAN Translasi (Pergeseran) adalah transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. Titik A(x,y) di translasikan Oleh T( ) menghasilkan bayangan A’ ′ ′ Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Refleksi disimbolkan dengan dengan merupakan sumbu cermin Garis Sumbu Titik Awal Bayangan Contoh Sumbu X A(x,y) A’(x,-y) A(-2,3) A’(-2,-3) Sumbu Y A(x,y) A’(-x,y) A((-2,3) A’(2,3) Garis y= x A(x,y) A’(y,x) A(-2,3) A’(3,-2) Garis y=-x A(x,y) A’(-y,-x) A(-2,3) A’(-3,2)
19 1. Titik (3,1) direfleksikan terhadap sumbu x. hasil refleksi tersebut adalah …. A. (-3, 1) B. (1, 3) C. (-1, -3) D. (3, -1) 2. Bayangan titik P(2,5) yang direfleksikan terhadap sumbu Y adalah... . A. P’(–2, 5) B. P’(2, –5) C. P’(–2, –5) D. P’(5, –2) 3. Bayangan titik P(–6,1) yang direfleksikan terhadap garis x = –2 adalah... . A. P’(2,1) B. P’(–6, –5) C. P’(–10,1) D. P’(–6, –3) 4. Titik A(4,2) dicerminkan terhadap sumbu x, kemudian di translasikan ( ). bayangan akhir titik A adalah …. A. (6, 5) B. (2, 3) C. (8, 1) D. (2, 5)
20 Kunci Jawaban : N0 PEMBAHASAN SOAL SKOR 1. Titik (3,1) direfleksikan terhadap sumbu x, hasil refleksi adalah (3, -1) 25 2. Bayangan titik P(2,5) yang direfleksikan terhadap sumbu Y adalah (-2, 5) 25 3. Bayangan titik P(–6,1) yang direfleksikan terhadap garis x = –2 adalah (-10, 1) 25 4 Titik A(4,2) dicerminkan terhadap sumbu x adalah A’ (4,-2) kemudian di translasikan ( ). bayangan akhir titik A adalah A” (4 ) ( ) 25
21 Salamah Umi. 2019. Berlogika dengan Matematika Kelas IX SMP/MTs. Solo. Tiga Serangkai. Kemendikbud. 2018. Matematika Kelas IX SMP/MTs