Solution Manual - Textbook Add Math BM F5 KSSM

∫  ( ) ∫  ( )(f)
5 x – 1 dx = 5 x – x– 21 dx
3 ! x 3

[ ] 15
x2 x2
= 2 – 1

23
[ ] [ ]=52 32
2 – 2! 5 – 2 – 2! 3

= 6.992

∫  ( ) ∫  2. (a)
4 x3 + x2 dx = 4 x2 + x dx
2 x 2

[ ]= x3 + x2 4
3 2 2

[ ] [ ]=43 + 42 – 23 + 22
3 2 3 2

= 74
3
∫ ( ) ∫(b)
3 5 + x2 dx = 3 5x–2 + 1 dx
1 x2 1

[ ]= 5x–1 + x 3
–1 1

[ ] [ ]=– 35 +3 – –  5 +1
1

= 16
3

(2x + 3)(x – 2)
x4
∫ ( ) ∫(c) 5 5 (2x–2 x–3 6x – 4) dx
1 dx = 1 – –

[ ]= 2x–1 – x–2 – 6x–3 5
–1 –2 –3 1

[ ] [ ]=– 52 + 1 + 2 – – 21 + 1 + 2
2(5)2 53 2(1)2 13

= – 110285

∫  [ ](d)
4 (3x – 4)2 dx = (3x – 4)3 4
3 93

[ ] [ ]=
[3(4) – 4]3 – [3(3) – 4]3
9 9
= 43

3
– 3x)3
∫ ∫(e) –1(5 dx = –1 3(5 – 3x)–3 dx
–3 –3

[ ]=
3(5 – 3x)–2 –1
6 –3
[ ] [ ]=
1 – 1
2[5 – 3(–1)]2 2[5 – 3(–3)]2

= 6 33
272
2x)– 21
02
–2 ! 3 – 2x
∫  ∫ (f) 0
dx = –2 2(3 – dx

[ ]–2 10
= –2(3 – 2x)2

[ ] [ ]1 1

= –2[3 – 2(0)]2 – –2[3 – 2(–2)]2
= 1.827

∫  ∫  3. (a) 2f (x)dx= –  5 f (x) dx
5 2

= –3

12

∫  ∫ (b) 51f (x) dx = 1   5 f (x) dx
2 2 2 2

= 1 (3)
2
3
= 2

∫  ∫  ∫ (c) 5 5 5
2 [3f (x) – 2] dx = 3  2 f (x) dx – 2 2 dx

= 3(3) – [2x] 5
2

= 9 – [2(5) – 2(2)]

= 3

∫  ∫  ∫  4. (a) 7 7 f (x) 7
3 [ f (x) + k(x)] dx = 3 dx + 3 k(x) dx

= 5 + 7

= 12
∫  ∫  ∫  ∫ (b) 5 5 5 7
3 f (x) dx – 7 f (x) dx = 3 f (x) dx + 5 f (x) dx

∫ = 7 f (x) dx
3

= 5

∫   ∫   ∫  (c) 7 7 f (x) 7
3 [ f (x) + 2x] dx = 3 dx + 3 2x dx

[ ] 2x2 7
=5+ 23

= 5 + [72 – 32]

= 45

Aktiviti Penerokaan 4 (Halaman 95)
4.

Bilangan segi empat Hasil tambah luas segi empat tepat di Luas rantau di bawah
tepat, n bawah lengkung lengkung yang sebenar

1 54 36

2 54 13

3 50

4 47

5 45
6 4 4

7 43

8 42

9 42

10 41

11 41

12 40

13 40

14 40

15 39

16 39

17 39

18 39

19 39

20 39

Perbincangan (Halaman 96)
Kita bahagikan luas di bawah suatu lengkung dengan n trapezium.

Oleh itu, terdapat (n + 1) garis menegak yang menjadi sempadan bagi setiap trapezium.

Lebar setiap trapezium = b – a
n
y1 + y2
2
( )( )Luas trapezium pertama = b–a
n

Maka,

∫ b f (x) dx = Jumlah luas di bawah lengkung
a
y1 + y2 y2 + y3 y3 + y4 yn + yn + 1
2 2 2 2
( )[ ] = b–a
n + + +…+

Aktiviti Penerokaan 5 (Halaman 97)
6.

Kamiran Nilai kamiran Kedudukan rantau

∫ 5 1  x3 dx 625 Di atas paksi-x
0 3 12

∫  0 1  x3 dx – 61225 Di bawah paksi-x
–5 3

Aktiviti Penerokaan 6 (Halaman 99)

6.

Kamiran Nilai kamiran Kedudukan rantau
Di sebelah kanan paksi-y
∫ 50 1 dy 6.412 Di sebelah kiri paksi-y

y3

∫  0 1 dy – 6.412
–5
y3

Perbincangan (Halaman 103)

Luas di bawah garis lurus y = x + 2 antara batasan x = –2 dengan x = 3 dapat dicari menggunakan rumus luas segi tiga.

Luas segi tiga = 1 ×5×5 y
2
25
= 2 unit2

∫Maka, luas rantau L = 3 (–x2 + 2x + 8) dx – 25 y=x+2
–2 2 5

[ ]=–  x3 + x2 + 8x 3 – 25 L 5 unit
3 –2 2

([ ] [ ])=
– 333 + 32 + 8(3) – – (–32)3 + (–2)3 + 8(–2) – 25 –2 O x
2 3

= 100 – 25 5 unit
3 2

= 125 unit2
6

Latihan Kendiri 3.6

∫ 1. (a) Luas rantau berlorek = 3 3x – x2 + 2 dx
0

[ ]= 3x2 – x3 + 2x 3
2 3 0

[ ] [ ]=3(3)2 – 33 3(0)2 03
2 3 + 2(3) – 2 – 3 + 2(0)

= 21 unit2
2

14

∫(b) Luas rantau berlorek = 2 1 x2 dx
–3 2

[ ]=x3 2
6 –3
[ ] [ ]=
23 – (–3)3
6 6

= 35 unit2
6

∫(c) Luas rantau berlorek = 1 y2 + y – 6 dy
–2

[ ]=y3 + y2 – 6y 1
3 2 –2

[ ] [ ]=13 12 (–2)3 (–2)2
3 + 2 – 6(1) – 3 + 2 – 6(–2)

= – 323
33
= 2 unit2

2. (a) Pada paksi-x, y = 0

–x(x + 3)(x – 4) = 0

x = 0 atau x = –3 atau x = 4
∫    ∫ 
Luas rantau berlorek = 0 –x(x + 3)(x – 4) dx  + 4 –x(x + 3)(x – 4) dx
–2 0

∫    ∫ =0–x3 + x2 + 12x dx  + 4 –x3 + x2 + 12x dx
–2 0

[ ]  [ ]=– x44 + x3 + 12x2 0 + – x44 + x3 + 12x2 4
3 2 –2 3 2 0

[ ] [ ] = (–2)3
–  04 + 03 + 6(0)2 – – (–42)4 + 3 + 6(–2)2
4 3
{[ ] [ ]} –
–  44 + 43 + 6(4)2 – – 044 + 03 + 6(0)2
4 3 3
 –   
= 52 + 160
3 3

= 212 unit2
3
(b) y = x2 – 4x + 5 …1
y = –2x + 5 …2

Gantikan 1 ke dalam 2:

x2 – 4x + 5 = –2x + 5

x2 – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 atau x = 2
∫   ∫  2 2
Luas rantau berlorek = 0 (–2x + 5) dx – 0 (x2 – 4x + 5) dx

[ ] [ ]=– 22x2 + 5x 2 – x3 – 4x2 + 5x 2
0 3 2 0
{[ ] [ ]}= {[–(2)2 + 5(2)] – [–(0)2 + 5(0)]} –
(c) y2 = 5x …1 23 – 2(2)2 + 5(2) – 03 – 2(0)2 + 5(0)
3 3
4
= 3 unit2

x = –2y …2

Gantikan 2 ke dalam 1:
y2 = 5(–2y)
y2 = –10y
y2 + 10y = 0

y (y + 10) = 0

y = 0 atau y = –10

15

∫   ∫   ( ) 0 – 0 y2 dy
Luas rantau berlorek = –10 (–2y) dy –10 5

[ ] [ ]=–  2y2 0– y3 0
2 15 –10
–10

{[ ] [ ]}= {[–(0)2] – [–(–10)2]} – 03 – (–10)3
15 15
100
3. (a) = 3 unit2

y = –x3 – x2 y

–1 O x
1

y = –x – x2
–2



Luas rantau di antara dua lengkung
∫   ∫   ∫   ∫        =
0 –x – x2 dx + 0 –x3 – x2 dx  +   1 –x – x2 dx  – 1 –x3 – x2 dx 
–1 –1 0 0

[ ] [ ] [ ] [ ]       =– x22–x30+– x44–x30 + – x22 – x3 1  + – x44 – x3 1
3 –1 3 –1 3 3 0
0

{[ ] [ ]} {[ ] [ ]}   = (–1)3
– 022 – 03 – – (–21)2 – 3 + –  04 – 03 – – (–41)4 – (–1)3
3 4 3 3

[ ] [ ]  [ ] [ ]      +– 12–13–– 02 – 03 – –  14 – 13 – – 044 – 03
2 3 2 3 4 3 3

= 1 + 1 + 5 + 7
6 12 6 12

= 5 unit2
3
(b) y = x2 – 4x …1
y = 2x – x2 …2

Gantikan 1 ke dalam 2:
x2 – 4x = 2x – x2
2x2 – 6x = 0

2(x)(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

y

y = 2x – x2

O 2 34 x

y = x2 – 4x
–3



16

Luas rantau di antara dua lengkung
∫   ∫   ∫      =
2 (2x – x2) dx + 3 x2 – 4x dx  –   3 (2x – x2) dx 
0 0 2

[ ] [ ] [ ]    =2x2–x32+x3 – 4x2 3 – 2x2 – x3 3
2 3 0 3 2 0 2 3 2

{[ ] [ ]} {[ ] [ ]}  {[ ] [ ]}      =22 –2303 33 03 32 – 33 22 – 23
3 – 02 – 3 + 3 – 2(3)2 – 3 – 2(0)2 – 3 – 3

= 4 +9– 4
3 3

= 9 unit2

Perbincangan (Halaman 108)
(a) Kon
(b) Silinder

Latihan Kendiri 3.7

∫   1. (a) Isi padu janaan = 2 π(–x2 + 3x)2 dx
0

∫   =π 2 (x4 – 6x3 + 9x2) dx
0
[ ]
= π  x5 – 6x4 + 9x3 2
5 4 3 0

{[ ] [ ]} 25 3(2)4 05 3(0)4
= π  5 – 2 + 3(2)3 – 5 – 2 + 3(0)3

= 32  π unit3
5
∫   ( )(b) Isi padu janaan = 6 – y
6 π  2 dy
0

( )∫   =π 6 3 – y dy
0 2

[ ] – y2 6
= π  3y 4 0

{[ ] [ ]} = π  3(6) – 62 – 3(0) – 02
4 4

= 9π unit3

∫   ( ) 2. Isi padu janaan =2π  –  y2 2
0 4
dy

( )∫   =π 2 y4 dy
0 16

[ ] = π  y5 2
80 0

 [ ] =π 25 – 05
80 80

= 2 π unit3
5

∫   ∫   3. Isi padu janaan =5π(5 – x)2 dx – 2 π(–x2 + 4)2 dx
0 0

∫   ∫   5 2
= π  0 (25 – 10x + x2) dx – π  0 (x4 – 8x2 + 16) dx

[ ] [ ] = – 10x2 x3 5 x5 – 8x3 16x 2
π  25x 2 + 3 0 – π  5 3 + 0

{[ ] [ ]} 53 03
= π  25(5) – 5(5)2 + 3 – 25(0) – 5(0)2 + 3

{[ ] [ ]} – π  25 8(2)3 05 8(0)3 +
5 – 3 + 16(2) – 5 – 3 16(0)

= 1325 π – 21556 π

= 1523 π unit3

17

4. (a) y2 = 4 – x …1
y = x – 2 …2
Gantikan 1 ke dalam 2:

(x – 2)2 = 4 – x

x2 – 4x + 4 = 4 – x

x2 – 3x = 0

x(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

x = 0, y = 0 – 2

= –2

Oleh itu, A(0, –2)

(b) x = 3, y = 3 – 2

= 1

Oleh itu, B(3, 1)
∫  ∫ (c) Isi padu janaan = 1 1
–2 π(4 – y2)2 dy – –2 π(y + 2)2 dy

∫  ∫  = π  1 (16 – 8y2 + y4) dy – π  1 (y2 + 4y + 4) dy
–2 –2

[ ] [ ] 8y3 + y5 1 – π  y3 – 4y2 1
= π  16y – 3 5 –2 3 2 + 4y –2

{[ ] [ ]} = π  8(1)3 15 8(–2)3 + (–2)5
16(1) – 3 + 5 – 16(–2) – 3 5

{[ ] [ ]} 13 + 4(1)2 4(1) – (–2)3 – 4(–2)2 +
– π  3 2 + 3 2 4(–2)

= 1508 π unit3

Latihan Formatif 3.3

∫  [ ] 1. (a)
3 (2 – x)5 dx = (2 – x)6 3
–1 – 6
–1

{ } { }=–  [2 – 3]6 – – [2 – (–1)]6
6 6
364
= 3

8x – 6x2 + 8 (6x + 4)(2 – x)
2–x 2–x
∫  ∫ (b) 2 2 dx
–3 dx = –3

∫ = 2 6x + 4 dx
–3

[ ]= 6x2 + 4x 2
2 –3

= [3(2)2 + 4(2)] – [3(–3)2 + 4(–3)]

= 5
∫  ∫ (c) 3 3
–2 2x2(x2 – x) dx = –2 2x4 – 2x3 dx

[ ]= 2x5 – 2x4 3
5 4 –2

[ ] [ ]=2(3)5 – 2(3)4 – 2(–2)5 – 2(–2)4
5 4 5 4

= 155
2

∫   ∫   ∫   ∫   2. (a) 01 f (x)+5 – 12   3 f (x) dx 5 dx
3 2 dx 2 3g(x) dx = 0 + 3 2 g(x)

= – 21  (2) + 3(7)

= –1 + 21
= 20

18

∫   ∫   ∫   ∫   ∫  (b) 3–3]dx+7 = 3 k(x) dx 3 3 dx + 7 k(x) dx
1 [ k(x) 3 k(x) dx 1 – 1 3

∫   ∫  =7 k(x) dx – 3 3 dx
1 1

= 10 – [3x]31

= 10 – [3(3) – 3(1)]

= 10 – 6

= 4

3. ∫  4 (x2 + hx – 5) dx = 28 1
1 2
[ ]x3
3 + hx2 – 5x 4 = 57
2 1 2

[ ] [ ]43+h(4)2 – 13 + h(1)2 – 5(1) 57
3 2 3 2 2
– 5(4) =

125 h + 6 = 57
2

h=3

4. (a) Persamaan HK ialah y = –x + 2
y = –x + 2 …1
y = x2 …2

Gantikan 2 ke dalam 1:

x2 = –x + 2

x2 + x – 2 = 0

(x – 1)(x + 2) = 0

x = 1 atau x = –2

x = 1, y = –1 + 2

=1

∫   ∫  º Titik K(1, 1) 4 1 dy – 2 (–y + 2) dy
1 1
(b) Luas rantau P = (y)2

[ ] [ ] = 3 4 –  y2 + 2y 2
2 1
y2 –
3
21
{[ ] [ ]} {[ ] [ ]}
33
2(4)2 2(1)2
=  3 – 3 – – 222 + 2(2) – –  12 + 2(1)
2

= 14 – 1
3 2

= 25 unit2
6

∫   ∫   1 1 dy + 2 (–y + 2) dy
Luas rantau Q = 0 1
(y)2

[ ] [ ] = 3 1 –  y2 + 2y 2
2 1
y2 +
3
20
{[ ] [ ]} {[ ] [ ]}
33
2(1)2 2(0)2
=  3 – 3 + –  22 + 2(2) – –  12 + 2(1)
2 2

= 2 + 1
3 2

= 7 unit2
6

19

Nisbah luas rantau P terhadap luas rantau Q = Luas rantau P
Luas rantau Q

25
6
= 7

6

= 25 : 7

5. (a)

y
y = 6x + x2

–6 O x

(–3, –9)

(b) dy = 6 + 2x
dx

Pada asalan (0, 0), persamaan tangen ialah y – 0 = [6 + 2(0)](x – 0)

y = 6x

Pada x = 2, y = 6(2) + (2)2

= 16

Pada titik (2, 16), persamaan tangen ialah y – 16 = [6 + 2(2)](x – 2)

y = 10x – 20 + 16

y = 10x – 4

(c) 6x = 10x – 4

– 4x = – 4

x = 1

x = 1, y = 6(1)

= 6

Titik A(1, 6)

6x + x2 = 10x – 4

x2 – 4x + 4 = 0

(x – 2)(x – 2) = 0

x=2

Pada x = 2, y = 10(2) – 4
= 16

Titik B(2, 16)

∫   ∫   ∫   2 1 2
Luas rantau antara garis-garis tangen dan lengkung = 0 6x + x2 dx – 0 6x dx – 1 10x – 4 dx

[ ] [ ] [ ] = 6x2 + x3 2 – 6x2 1 – 10x2 – 4x 2
2 3 0 2 0 2 1

{[ ] [ ]}= 23 03
3(2)2 + 3 – 3(0)2 + 3

– [3(1)2 – 3(0)2] – {[5(2)2 – 4(2)] – [5(1)2 – 4(1)]}

= 2 unit2
3
6. Pada x = 1, y = 12 + 2
=3

Pada x = 2, y = 22 + 2

=6

20

∫  Isi padu janaan = 6 π (y – 2) dy
3

[ ] = π  y2 – 2y 6
2 3

{[ ] [ ]} = π  62 – 2(6) – 32 – 2(3)
2 2

= 125  π unit3
dy
7. (a) dx = 2x

x = 1, dy = 2(1)
dx
=2

y – 5 = 2(x – 1)

y = 2x – 2 + 5

y = 2x + 3

º Titik Q(0, 3)
∫   ∫  (b) Luas rantau berlorek = 1 1
0 x2 + 4 dx – 0 (2x + 3) dx

[ ] [ ] = x3 + 4x 1 – 2x2 + 3x 1
3 0 2 0

{[ ] [ ]}=13 + 4(1) – 03 + 4(0) – {[12 + 3(1)] – [02 + 3(0)]}
3 3
1
= 3 unit2

∫  (c) Isi padu janaan = 8 π (y – 4) dy
4

∫   =π 8 (y – 4) dy
4

[ ] = π  y2 – 4y 8
2 4

{[ ] [ ]} = π  82 – 4(8) – 42 – 4(4)
2 2

= 8π unit3

8. (a) x = 6 – y2 …1
3y = 8 + 2x …2

Gantikan 1 ke dalam 2:

3y = 8 + 2(6 – y2)

3y = 8 + 12 – 2y2

2y2 + 3y – 20 = 0

(2y – 5)(y + 4) = 0

y= 5 atau y = – 4
2

( )Daripada 5 52
rajah, y = 2 , x = 6 – 2

= – 41
( )Jadi, A – 14 ,5
2

(b) x = 0, 3y = 8
8
y= 3

x = 0, 0 = 6 – y2

y2 = 6

y = ±! 6

y = ! 6

21

∫  ( ) ∫ Luas rantau Q =0 2 x + 8 dx – 0 ! 6 – x dx
– 14 3 3 – 14

= 31 – 0.619
48

= 0.027 unit2

∫ (c) Isi padu janaan bagi rantau P = 0 π (6 – x) dx
– 14

∫ =π  0 (6 – x) dx
– 41
[ ]=
π  6x – x2 0
2 – 41

{ [ ]}[ ] ( ) ( )= π  –  1 2
4
6(0) – 02 – 6 –  1 – 2
2 4

= 49  π unit3
32

Latihan Kendiri 3.8

1. (a) Lakarkan tudung saji pada satah Cartes:

y

–50 O x
50

(–50, –50) –50 (50, –50)

Gantikan titik (50, –50):

–50 = –k(50)2

k = 1
50
∫  (b) Isi padu bahagian dalaman = 0
–50 π (–50y) dy

[ ]
= π  – 502y2 0
–50

= π{[–25(0)2] – [–25(50)2)]}

= 62 500π cm3

2. (a) S(t) = 1 0A00 (20 – t) 48 000
∫  Nilai susutan selepas 7 tahun = 7 1 000
0  (20 – t) dt

∫   = 7 960 – 48t dt
0

[ ]=960t – 48t2 7
2 0

= [960(7) – 24(7)2] – [960(0) – 24(0)2]

= RM5 544

Harga kereta tersebut selepas 7 tahun = RM48 000 – RM5 544
= RM42 456

22

∫  (b) Nilai susutan kereta selepas 5 tahun = 5 88 500  (20 – t) dt
0 1 000

∫   = 5 1 770 – 1727t dt
0

[ ]= 177t2 5
1 770t – 4 0

[ ] [ ]=
1 770(5) – 177(5)2 – 1 770(0) – 177(0)2
4 4

= RM7 743.75

Peratus nilai susut = 7 743.75   × 100%
88 500

= 8.75%

Latihan Formatif 3.4

1. Diberi dh   = 5 cm min–1 dan dV = 3  t – 6
dt dh 5

dV = dV × dh
dt dh dt
( ) =
3  t – 6 ×5
5

= 3t – 30
∫  Isi padu minyak yang mengalir keluar dari tangki = 30
0 3t – 30 dt

[ ]= 3t2 – 30t 30
2 0

[ ] [ ]=3 (30)2 3 (0)2
2 – 30(30) – 2 – 30(0)

= 450 cm3

∫   2. Isi padu janaan bagi fungsi bahagian dalaman = 2.8 π (44.8 – 16y) dy
0

= 197.0407

∫  Isi padu janaan bagi fungsi bahagian luaran = 3 π (60 – 20y) dy
0

= 282.7433

Isi padu filamen plastik yang digunakan untuk menghasilkan 20 penutup mesin

= (282.7433 – 197.0407) × 20
= 1 714.052 cm3

Anggaran kos bagi filamen plastik yang digunakan untuk menghasilkan 20 penutup mesin
= 1 714.052 × RM0.07
= RM119.98

[ ] 3. dK
(a) dt = 50 1 + (t 300
+ 25)2

dK = 50 + 15 000
dt (t + 25)2

∫ Bilangan mesin yang dihasilkan selepas 5 tahun = 5 50 + 15 000 dt
0 (t + 25)2

∫  = 5 50 + 15 000(t + 25)–2 dt
0

[ ]= 15 25)–1
50t + 000(t + 5
–1 0

[ ] [ ]=
50(5) – 15 000 – 50(0) – 15 000
(5 + 25) (0 + 25)

= 350

23

∫ (b) Bilangan mesin yang dihasilkan selepas 6 tahun = 6 50 + 15 000 dt
0 (t + 25)2

∫  = 6 50 + 15 000(t + 25)–2 dt
0

[ ]= 25)–1
50t + 15 000(t + 6
–1 0

[ ] [ ]=
50(6) – 15 000 – 50(0) – 15 000
(6 + 25) (0 + 25)

= 416.129
≈ 416

Bilangan mesin yang dihasilkan pada tahun ke-6 = 416 – 350
= 66

Latihan Sumatif
∫ ∫ 1. (a) x(x – 2)(x + 3) dx = x3 + x2 – 6x dx
x4 x3 6x2
= 4 + 3 – 2 +c

= 1 x4 + 1 x3 – 3x2 + c
4 3

∫ ∫(b) 2 3)3 dx = 2(2x – 3)–3 dx
(2x –

= 2(2x – 3)–2 + c
2(–2)

= – 2(2x1– 3)2 + c

∫ ∫ 2. (a) 2 2)n dx = 2(3x – 2)–n dx
(3x –

= 2(3x – 2)–n + 1 +c
3(–n + 1)

= (3 –23n)(3x – 2)–n + 1 + c

Bandingkan dengan a(3x – 2)–2 + c:

–n + 1 = –2

n = 3

a = 3 2
– 3(3)

a = – 31
∫  [ ](b)
3 8 2)3 dx = 4 – 3(3x1– 2)2 3
1 (3x – 1

[{ } { }] = 4  – 3[3(31) – 2]2 – – 3[3(11) – 2]2
64
= 49

3. dy = 3(2)(2)(2x + 1)(5x – 1) – (5)[3(2x + 1)2]
dx (5x – 1)2

= 60x2 – 24x – 27
(5x – 1)2

= 3(20x2 – 8x – 9)
(5x – 1)2

∫  [ ]4
1
3(20x2 – 8x – 9) dx = 3(2x + 1)2 4
(5x – 1)2 5x – 1 1

[ ] [ ]=
3[2(4) + 1]2 – 3[2(1) + 1]2
5(4) – 1 5(1) – 1

= 459
76

24

∫ 4. f (x) = 2x2 + 5x – r dx

f (x) = 2x3 + 5x2 – rx + c
3 2

f (1) = 14

2(1)3 + 5(1)2 – r(1) + c = 14
3 2
2 5
3 + 2 – r + c = 14
=
r 2 + 5 – 14 + c
3 2

r = c – 65 …1
6

f (–2) = –16

2(–2)3 + 5(–2)2 – r(–2) + c = –16
3 2
– 136 + 10 + 2r + c = –16
16
2r + c = –16 + 3 – 10

2r + c = – 632 …2

Gantikan 1 ke dalam 2:
( )2
c – 65 + c = – 632
6
1
c = 3

r = 1 – 65
3 6
= – 221

∫  ∫  ∫  ∫  5. (a) 2f (x) 2 f (x) 2 f (x) + 4 f (x) dx
0 dx – 4 dx = 0 dx 2

∫ = 4 f (x) dx
0

= 4
∫  ∫ (b) 4 v
0 f (x) dx + 1 [g(x) + x] dx = 19

∫  ∫  ∫  4 f (x) dx + v g(x) dx + v x dx = 19
0 1 1

[ ]4 + 3 + x2 v = 19
2 1

7+ v2 – 1 = 19
2 2
v2 25
2 = 2

v2 = 25

v = 5 atau v = –5
Oleh itu, v = 5 (. 1)

6. dV = 10t + 3
dt

∫V = 10t + 3 dt
10t2
V = 2 + 3t + c

V = 5t2 + 3t + c

Gantikan t = 2 dan V = 24 ke dalam fungsi:
24 = 5(2)2 + 3(2) + c

c = –2

V = 5t2 + 3t – 2

Apabila t = 5, V = 5(5)2 + 3(5) – 2

= 138 cm3

25

7. (a) 3y = 4x – 13 …1
x = 2y2 + 2 …2

Gantikan 1 ke dalam 2:

3y = 4(2y2 + 2) – 13

8y2 – 3y – 5 = 0

(8y + 5)(y – 1) = 0
y = – 58 atau y = 1
y = 1, x = 2(1)2 + 2

=4

Maka, K(4, 1)
∫ (b) Luas rantau berlorek = 1
0 (2y2 + 2) dy

[ ] = 2y3 + 2y 1
3 0

[ ] [ ] = 2(1)3 + 2(1) – 2(0)3 + 2(0)
3 3

= 8 unit2
3
8. (a) 3x2 + 2x + 4 = (x – 4)2

2x2 + 10x – 12 = 0

2(x – 1)(x + 6) = 0

x = 1 atau x = – 6

x = 1, y = (1 – 4)2
= 9

Titik keseimbangan P ialah (1, 9)

(b) Lebihan pengguna

∫  = 1 (x – 4)2 dx – 1 × 9
0

∫  = 1 x2 – 8x + 16 dx – 1 × 9
0

[ ] = x3 – 8x2 + 16x 1 – 9
3 2 0

[ ] [ ] = 13 – 4(1)2 + – 03 – 4(0)2 + –9
3 16(1) 3 16(0)

= 10 unit2
3

(c) Lebihan pengeluar

∫  = 1 × 9 – 1 (3x2 + 2x + 4) dx
0

[ ] 3x3 2x2 + 4x 1
=9– 3 + 2 0

= 9 – {[13 + 12 + 4(1)] – [03 + 02 + 4(0)]}

= 3 unit2

9. (a) x = 3y – 18 …1
2
4x = 4 – y2 …2

Gantikan 1 ke dalam 2:

3y – 18
2
( ) 4 = 4 – y2

–y2 – 6y + 40 = 0

–(y – 4)(y + 10) = 0

y = 4 atau y = –10

Pada y = 4, x = 3(4) – 18
2

= –3

º P(–3, 4)

26

(b) Pada x = 0,

3y = 18 + 2(0)

y = 18
3

y = 6

4(0) = 4 – y2

y2 = 4

y = 2 atau y = –2

y = 2

Luas rantau berlorek A
 ∫   ∫     =
4 4 – y2 dy  + 6 3y – 18 dy 
2 4 4 2

[ ]   [ ]  = y–y34  + 3y2 – 9y 6 
12 4
2 4

[ ] [ ] [ ] [ ]    = 4–43–2 – 23 + 3(6)2 – 9(6) – 3(4)2 – 9(4)  
12 12 4 4

= 17 unit2
3

(c) Isi padu janaan rantau berlorek B

∫  = 0 π(4 – 4x) dx
–3

[ ] = π  4x – 4x2 0
2 –3

= π{[4(0) – 2(0)2] – [4(–3) – 2(–3)2]}

= 30π unit3

10. (a) y = –x2 + 4

dy = –2x
dx
x= 1, dy = –2(1)
dx
= –2

y – 3 = –2(x – 1)

y = –2x + 2 + 3

y = –2x + 5

Apabila x = 0, y = 5

Apabila y = 0, –2x + 5 = 0
5
x = 2

( ) 5 0 dan S(0, 4)
Oleh itu, P(0, 5), R 2 ,

(b) Luas rantau berlorek

∫  ∫  = 1 (–2x + 5) dx – 1 (–x2 + 4) dx
00
[ ] [ ] =– 22x2 x3
+ 5x 1 – –  3 + 4x 1
0 0



{[ ] [ ]}
= {[–(1)2 + 5(1)] – [–(0)2 + 5(0)]} – – 133 + 4(1) – – 033 + 4(0)

= 1 unit2
3
∫ (c) Isi padu janaan = 4 π(4 – y) dy
3

∫  = π  4 (4 – y) dy
3

[ ]= π  4y – y2 4
2 3

{[ ] [ ]}= π 4(4) – 42 – 4(3) – 32
2 2

= 1  π unit3
2

27

11. p(2)2 + 6(2) = 24
4p + 12 = 24
4p = 12
p = 3

q = 24(2) – 30
q = 18

12. (a) Luas rantau P

∫   ∫   = –3 ! (x + 28) dx + –2 x2 – 4 dx
–28 –3

= 3 –3

[[ ] [ ] ] {[ ] [ ]} =(x + 28)2+ x3 – 4x –2
3 3 –3
2 –28
33
2(–3 + 28)2 2(–28 + 28)2 (–2)3 (–3)3
3 – 3 + 3 – 4(–2) – 3 – 4(–3)

= 250 + 7
3 3

= 257 unit2
3
∫  (b) Isi padu janaan = 10 π(y + 4) dy
– 4

= π  10 y + 4 dy
– 4
∫  

[ ] = π  y2 + 4y 10
2 – 4

{[ ] [ ]} = π  102 (– 4)2
2 + 4(10) – 2 + 4(– 4)

= 98π unit3

13. (a) Gantikan (5, 33) ke dalam fungsi y = 2x2 – 3x + c:

33 = 2(5)2 – 3(5) + c

c = –2

Pada paksi-x, 2x2 – 3x – 2 = 0

(x – 2)(2x + 1) = 0
x = 2 atau x = – 12

A(2, 0)

(b) Luas rantau berlorek

∫  ∫   = 2 (2x2 – 3x – 2) dx  + 5 (2x2 – 3x – 2) dx
02

[ ] [ ]  =2x3– 3x2 – 2x 2  + 2x3 – 3x2 – 2x 5
3 2 3 2 2
0

[ ] [ ]  {[ ] [ ]}   =2(2)3–3(2)2– 2(2) – 2(0)3 – 3(0)2 – 2(0) + 2(5)3 – 3(5)2 – 2(5) – 2(2)3 – 3(2)2 – 2(2)
3 2 3 2 3 2 3 2
14 81
= 3 + 2

= 271 unit2
6
∫ (c) Isi padu janaan (180°) = 2 π
0 2  (2x2 – 3x – 2)2 dx

∫ = π   2 (2x2 – 3x – 2)2 dx
2 0

∫ = π   2 4x 4 – 12x3 + x2 + 12x + 4 dx
2 0

[ ]= π 4x5 – 12x4 + x3 + 12x2 + 4x 2
2 5 4 3 2 0

{[ ] [ ]}=π 4(2)5 – 3(2)4 + 23 + 6(2)2 + 4(2) – 4(0)5 – 3(0)4 + 03 + 6(0)2 + 4(0)
2 5 3 5 3

= 92  π unit3
15

28

14. 30 = a(30)2

a = 1
30

Isi padu bekas

∫  = 30 π(30y) dy
0

[ ]= π 30y2 30
2 0

= π{15(30)2 – 15(0)2}

= 42 411.5 cm3

Jisim beras yang boleh disimpan = 42 411.5 × 1.182
= 50 130.393 g
= 50.13 kg

15. (a) Isi padu kolam renang

∫  = 5 (3t 2 + 14t) dt
0

[ ] = 3t3 + 14t2 5
3 2 0

= [53 + 7(5)2] – [03 + 7(0)2]
= 300 m3

(b) Luas dasar kolam × kedalaman kolam = isi padu kolam

Luas dasar kolam = 300
1.2

= 250 m2

Kos mengecat dasar kolam = RM250 × 5
= RM1 250

º Encik Razak tidak dapat mengecat keseluruhan dasar kolam renang itu kerana wang yang diperuntukkan
adalah kurang daripada kos sebenar.

29

Jawapan

BAB 4 PILIH ATUR DAN GABUNGAN

Aktiviti Penerokaan 1 (Halaman 120)
2.

Roti canai Kuah kari {Roti canai, Kuah kari}
Kuah dal {Roti canai, Kuah dal}
{Roti nan, Kuah kari}
Roti nan Kuah kari {Roti nan, Kuah dal}
Kuah dal

Roti jala Kuah kari {Roti jala, Kuah kari}
Kuah dal {Roti jala, Kuah dal}


3. 3 jenis roti × 2 jenis kuah = 6 cara memilih set

4. 3 jenis roti × 2 jenis kuah × 4 jenis minuman = 24 cara memilih set

Perbincangan (Halaman 121)
Bilangan digit dari 0 hingga 9 ialah 10. Setiap digit bagi kod itu terdiri daripada 10 digit. Maka, bilangan cara kod 4

digit boleh dibentuk = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.

Latihan Kendiri 4.1

1. Bilangan cara padanan kemeja dan seluar:
3 × 5 = 15

2. Bilangan cara set jawapan diperoleh:
15 × 2 = 30

3. (a) Bilangan cara menggunakan jalan yang sama:
4 × 5 × 1 × 1 = 20
(b) Bilangan cara tidak menggunakan jalan yang sama:
4 × 5 × 4 × 3 = 240

Aktiviti Penerokaan 2 (Halaman 121)
3. Terdapat dua kaedah yang boleh digunakan.

Kaedah 1: Senaraikan semua susunan yang mungkin.

TUAH TUHA TAUH TAHU THUA THAU

UT A H UTHA UATH UAHT UHAT UHTA

ATUH ATHU AUTH AUHT AHTU AHUT

HTUA HTAU HUTA HUAT HATU HAUT
Terdapat 24 cara untuk menyusun huruf-huruf tersebut tanpa ulangan.
Kaedah 2:

Isi kotak kosong di bawah.

   

4 pilihan 3 pilihan 2 pilihan 1 pilihan

1

Bagi kotak pertama, terdapat empat cara huruf yang boleh diisi sama ada T, U, A atau H.
Bagi kotak kedua, terdapat tiga cara huruf yang boleh diisi.
Bagi kotak ketiga, terdapat dua cara huruf yang boleh diisi.
Bagi kotak keempat, terdapat satu cara huruf yang boleh diisi.
Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan cara susunan yang mungkin ialah 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Perbincangan (Halaman 122)
Diketahui bahawa n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1

Boleh juga ditulis sebagai n! = n × (n – 1)!

Seterusnya, (n – 1)! = n!
n

Gantikan nilai n = 1
1!
(1 – 1)! = 1

0! = 1

Perbincangan (Halaman 122)

(a) (n n! = n! × (n – 1)! × (n – 2)! × (n – 3)!… × 3 × 2 × 1
– 2)! (n – 2)! × (n – 3)! × … × 3 × 2 × 1

= n(n – 1)!

(b) (n – 1)! = (n – 1)!
n! n(n – 1)!

= 1
n

Aktiviti Penerokaan 3 (Halaman 123)

Jenis Susunan Bilangan
susunan susunan

Linear API IAP PIA AIP PAI IPA 6

AIP AP I
P I = I A=A P
Membulat I P=P A=A I 2

5. Jika perkataan API disusun secara linear, bilangan cara susunan yang mungkin ialah 3! = 6. Jika perkataan API
disusun secara bulatan, didapati bahawa 3 pilih atur secara linear bersamaan dengan 1 pilih atur dalam bulatan.

Latihan Kendiri 4.2

1. (a) 8! = 8 × 7 × 6 × 5!
5! 5!

= 336 8 × 7 × 6! – 6!
8! – 6! 6!
(b) 6! =

= 6!(8 ×7 – 1)
= 55 6!

(c) 4! = 4×3×2×1
2!2! 2×1×2×1

= 6

(d) 7!5! = 7 × 6 × 5 × 4! × 5 × 4 × 3!
4!3! 4! 3!

= 4 200

2. (a) Diberi n = 4.
Maka, bilangan pilih atur ialah 4! = 24.
(b) Diberi n = 5.
Maka, bilangan pilih atur ialah 5! = 120.

2

(c) Diberi n = 6.
Maka, bilangan pilih atur ialah 6! = 720.
(b) Diberi n = 9.
Maka, bilangan pilih atur ialah 9! = 362 880.

3. Terdapat 7 orang pelanggan yang perlu disusun untuk duduk di sebuah meja bulat.
Maka, bilangan cara menyusun 7 orang pelanggan ialah (7 – 1)! = 6! = 720.

4. Diberi n = 8. Didapati bahawa, susunan mengikut arah jam dan lawan arah jam tidak memberi perbezaan.

Maka, bilangan cara menyusun 8 butir permata berlainan warna untuk membentuk seutas rantai ialah
(8 – 1)! 7!
2 = 2 = 2 520.

Perbincangan (Halaman 125)
nP2 = 20
(a) n!
(n – 2)! = 20

n(n – 1)(n – 2)! = 20
(n – 2)!

n(n – 1) = 20

n2 – n – 20 = 0

(n + 4)(n – 5) = 0

n=5

(b) n + 2P3 = 30n

(n + 2)! = 30n
(n + 2 – 3)!
(n + 2)(n + 1)n(n – 1)!
(n – 1)! = 30n

(n + 2)(n + 1) = 30

n2 + n + 2 – 30 = 0

n2 – 3n – 28 = 0

(n – 4)(n + 7) = 0

n=4

(c) n + 1P4 = 10nP2 n!
(n + 1)! – 2)!
(n – 3)! = 10 (n

(n + 1)! = 10 ((nn – 3)!
n! – 2)!

(n + 1)n! = 10 (n (n – 3)! 3)!
n! – 2)(n –

(n + 1)(n – 2) = 10

n2 – n – 2 – 10 = 0

n2 – n – 12 = 0

(n – 4)(n + 3) = 12

n=4

Latihan Kendiri 4.3

1. (a) 5P3 = 5! = 5! = 5×4×3×2×1 = 60
(5 – 3)! 2! 2×1

(b) 8P7 = (8 8! = 8! = 40 320
– 7)! 1!
9! 9 × 8 × 7 ×6 × 5 × 4!
(c) 9P5 = 4! = 4! = 15 120

(d) 7P7 = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 040

2. Terdapat 9 orang peserta yang akan merebut 3 tempat utama
9!
9P3 = (9 – 3)! = 504

3

3. Terdapat 5 pintu yang boleh dimasuki oleh 3 orang penonton.
5!
5P3 = (5 – 3)! = 60

4. Terdapat 8 digit boleh dipilih untuk membentuk 4 digit nombor
8!
8P4 = (8 – 4)! = 1 680

5. Terdapat 6 daripada 10 biji pinggan yang perlu disusun secara bulatan. Susunan mengikut arah jam dan lawan
arah jam tidak memberi perbezaan.

10P6 = 25 200
6

Aktiviti Penerokaan 4 (Halaman 126)

2. A2 A1PA2
P P A1A2P

A1
A2

A1 A2 PA1A2
P

A2 A1 PA2A1

A1 P A2A1P
A2
P A1 A2PA1

3. Bilangan susunan = 3 2 1

=3×2×1

=6
= 3P3
= 3!

4. Apabila A1 = A = A2 dengan dua susunan yang sama dianggap sebagai satu susunan, 3 bilangan susunan
diperoleh, iaitu APA, AAP dan PAA. Cara untuk memperoleh 3 bilangan susunan ini adalah dengan
membahagikan jumlah susunan huruf-huruf dalam A1PA2 dengan 2 huruf secaman A, iaitu 3! = 3.

Perbincangan (Halaman 127)
Terdapat 9 huruf dengan 3 huruf S dan 3 huruf I.

Hanya 7 huruf sahaja yang perlu disusun. Huruf-huruf terdiri daripada tiga huruf S, tiga huruf I dan satu daripada

huruf M, B atau O.

2 kaedah dalam menentukan bilangan cara menyusun huruf-huruf:

Kaedah 1: 3 × 8! = 3 360
3!3!
1 × 8!
Kaedah 2 = S = 2!3! = 3 360

8!
2!3!

Latihan Kendiri 4.4

1. (a) Diberi n = 6. Bilangan objek secaman ialah 2 huruf O.
6!
Bilangan pilih atur, 2! = 360.

(b) Diberi n = 7. Bilangan objek secaman ialah 3 huruf A.
7!
Bilangan pilih atur, 3! = 840

(c) Diberi n = 9. Bilangan objek secaman ialah 2 huruf T dan 2 huruf I.
9!
Bilangan pilih atur, 2!2! = 90 720

4

(d) Diberi n = 14. Bilangan objek secaman ialah 5 huruf S, 3 huruf I dan 2 huruf O.
14!
Bilangan pilih atur, 5!3!2! = 60 540 480

2. Diberi jumlah pen, n = 8. Bilangan objek secaman ialah 5 batang pen biru dan 3 batang pen merah.
8!
Bilangan pilih atur, 5!3! = 56

3. Diberi jumlah bendera, n = 10. Bilangan objek secaman ialah 4 helai bendera putih dan 6 helai bendera kuning.
10!
Bilangan pilih atur, 6!4! = 210

4. Diberi 4, 6 dan 8 berulang sebanyak dua kali dan 3 sebanyak sekali, oleh itu n = 7.
7!
Bilangan pilih atur, 2!2!2! = 630

Latihan Kendiri 4.5

1. (a) Terdapat 3! = 6 cara untuk menyusun huruf konsonan.
Terdapat 2! = 2 cara untuk menyusun huruf vokal.
Bilangan cara ialah 3! × 2! = 12.

(b) Terdapat 2! = 2 cara untuk menyusun huruf vokal di awal dan akhir susunan.
Terdapat baki 3! = 6 cara untuk menyusun baki huruf.
Bilangan cara ialah 3! × 2! = 12.

(c) Jika huruf-huruf vokal dan konsonan dalam kelopok masing-masing,
KKK VV

Terdapat 3! × 2! = 12 cara untuk menyusun dengan keadaan kelompok huruf konsonan di hadapan dan
kelompok huruf vokal di belakang.

VV KKK

Terdapat 2! × 3! = 12 cara untuk menyusun dengan keadaan kelompok huruf vokal di hadapan dan kelompok
huruf konsonan di belakang.
Maka, bilangan susunan yang mungkin ialah 12 + 12 = 24.

2. Terdapat 6 digit yang boleh dipilih.

Didapati bahawa terdapat 5 digit yang memenuhi syarat untuk membentuk nombor 4 digit yang lebih daripada

2  000, iaitu 2, 4, 5, 6 dan 7. Pilih atur digit pertama ialah 5P1.
Untuk baki 3 digit seterusnya, pilih atur diberikan oleh 5P3.
Maka, bilangan cara nombor 4 digit yang lebih daripada 2 000 dapat dibentuk ialah 5P1 × 5P3 = 300.

3. Terdapat 12 huruf dalam perkataan TRIGONOMETRI dengan bilangan huruf secaman ialah 2 huruf T, 2 huruf

R, 2 huruf I dan 2 huruf O. Oleh sebab huruf pertama ialah G dan huruf terakhir ialah E,
10!
2!2!2!2! = 22 680.

4. (a) Bilangan cara menyusun 6 orang ahli keluarga mengelilingi meja bulat ialah (6 – 1)! = 120.
(b) Dengan menganggap ibu dan ayah sebagai satu unit, bilangan cara menyusun ibu dan ayah bersama 4 orang

anak ialah (5 – 1)! = 24
Kedudukan ibu dan ayah boleh saling bertukar, 2! = 2.
Maka, 24 × 2 = 42 cara.

Latihan Formatif 4.1

1. (5 × 2) × (5 × 4) = 200

2. (a) 10 × 10 × 10 = 1 000

(b) 10 × 9 × 8 = 720 atau 10P3 = 720

3. Bilangan nombor yang berada di antara 5 000 dan 6 000 ialah 1P1 × 4P3 = 24.
Bilangan nombor genap yang diperoleh di antara 5 000 dan 6 000 diberikan oleh 1P1 × 3P1 × 3P2 = 18.

4. (a) 2P2 × 9P9 = 725 760  atau 2! × 9! = 725 760
(b) 2P2 × 8P8 = 80 640  atau 2! × 8! = 80 640

(c) P10 – (2P2 × 9P9) = 2 903 040  atau  10! – (2! × 9!) = 2 903 040
10

5. BAKU: 4! = 24
4!
BAKA: 2! = 12

Tidak sama kerana perkataan BAKA mengandungi objek secaman, iaitu A.

5

6. 8! = 56
5!3!
7P6
7. 6 = 840

Latihan Kendiri 4.6
Gabungan kerana tiada syarat kedudukan untuk memilih saluran televisyen.

Kuiz Pantas (Halaman 133)

Diketahui bahawa nCr = n! r)!
r!(n –
n! n!
nC0 = 0!n!   ,  nC1 = 1!(n – 1)!

= 1 = n(n – 1)!
(n – 1)!

= n

Perbincangan (Halaman 134)
Dalam Contoh 7, kedudukan jawatan adalah penting, iaitu Presiden, Naib Presiden dan Setiausaha. Oleh itu, konsep

pilih atur digunakan.

Dalam Contoh 15, kedudukan jawatan tidak diambil kira. Mana-mana tiga orang calon akan dilantik menjadi

ahli jawatankuasa.

Latihan Kendiri 4.7

1. (a) 12P3 × 9P2 = 95 040

(b) 12C5 = 12! = 12! = 792
5!(12 – 5)! 5!7!

2. 25C3 = 25! 3)! = 25! = 2 300
3!(25 – 3!22!
6! 6!
3. 6C4 = 4!(6 – 4)! = 4!2! = 15

4. Bilangan garisan yang dapat dibentuk daripada bucu-bucu, 8C2 = 8! = 8! = 28
Maka, bilangan pepenjuru diberi oleh 28 – 8 = 20. 2!(8 – 2)! 2!6!

Perbincangan (Halaman 135)
Jawapan yang sama akan diperoleh walaupun memilih lima atau tiga orang terlebih dahulu.
10C2 × 8C3 × 5C5 = 2 520

10C5 × 5C3 × 2C2 = 2 520

10C3 × 7C5 × 2C2 = 2 520

Latihan Kendiri 4.8

1. 5C2 × 3C1 = 30
2. 3C2 × 6C4 = 45
3. (a) 5C5 × 6C2 = 15

(b) Apabila memilih sekurang-kurangnya lima orang graduan wanita, terdapat dua kes yang mungkin, iaitu

6 orang graduan wanita dipilih, 5C1 × 6C6 = 5
5 orang graduan wanita dipilih, 5C2 × 6C5 = 60
Maka, bilangan cara ialah (5C1 × 6C6) + (5C2 × 6C5) = 65

6

Latihan Formatif 4.2

1. Diketahui bahawa nCr = n! r)!
r!(n –
n!
n – (n – r) !
( ) nCn – r =
(n – r)!

C n = (n – n! n + r)!
n–r r)!(n –

nCn – r = (n n! r!
– r)!

nCn – r = nCr

2. (a) 8C5 = 56
(b) 5C3 × 3C2 = 30
(c) (5C4 × 3C1) + (5C5 × 3C0) = 15 + 1 = 16

3. (4C4 × 3C1) + (4C3 × 3C2) = 15

4. (4C4 × 6C4) + (4C3 × 6C5) + (4C2 × 6C6) = 45

5. (a) 12C4 × 8C4 × 4C4 = 34 650
(b) 12C6 × 6C6 = 924

Latihan Sumatif

1. Kod empat huruf yang dapat dibentuk tanpa ulangan, 8P4 = 1 680

Kod empat huruf yang bermula dengan konsonan, 5P1 × 7P3 = 1 050

2. 10 digit dan 26 huruf, 36P6 = 1 402 410 240

3. (a) Bilangan susunan huruf yang tidak bermula dengan huruf S,
5P5 – (1P1 × 4P4) = 96  atau  5! – (1 × 4!) = 96
(b) Bilangan susunan huruf yang tidak berakhir dengan huruf S atau P,
5P5 – (2P1 × 3P3 × 1P1) = 108

4. 5 kali perlawanan dengan 3 kesudahan, 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

5. Terdapat bilangan huruf, n = 7 dalam perkataan JANJANG. Bilangan objek secaman ialah 2 huruf J, 2 huruf A

dan 2 huruf N. 2!6!
2!2!2!
Bilangan susunan yang mungkin, = 180

6. Terdapat bilangan kemeja, n = 15. Bilangan objek secaman ialah 2 saiz S, 3 saiz M, 6 saiz L dan 2 saiz XL.
13!
Bilangan cara, 2!3!6!2! = 360 360

7. Terdapat bilangan anak pokok, n = 7, 7P5 = 504
5

8. (a) Susunan Emma dan Fakhrul bersama yang lain ialah (5 – 1)!.

Kedudukan Emma dan Fakhrul boleh saling bertukar.

(5 – 1)! × 2 = 24 × 2 = 48

(b) Susunan semua orang dalam bulatan ialah (6 – 1)! = 120.

Diketahui dari (a), bilangan cara Emma dan Fakhrul bersebelahan ialah 48.

Maka, 120 – 48 = 72

9. Terdapat 3 kuntum bunga merah, 4 kuntum bunga biru dan 5 kuntum bunga putih.
(12 – 1)!
2 × 3!4!5! = 1 155

10. Jika calon menjawab 4 soalan pada bahagian A, 6C4 × 7C6 = 105
Jika calon menjawab 5 soalan pada bahagian A, 6C5 × 7C5 = 126

Jika calon menjawab 6 soalan pada bahagian A, 6C6 × 7C4 = 35

Maka, 105 + 126 + 35 = 266.

7

11. (a) Bilangan cara jawatankuasa dapat dibentuk tanpa sebarang syarat, 8C3 = 56
(b) Bilangan cara jawatankuasa dapat dibentuk daripada 4 orang suami, 4C3 = 4
(c) Daripada (a), 8C3 = 56
Bilangan cara jawatankuasa dapt dibentuk jika pasangan suami isteri dipilih, 4C1 = 4
Baki satu tempat jawatankuasa boleh dipilih daripada 6 orang yang lain, 6C1 = 6 cara.
Oleh itu, bilangan cara jawatankuasa dibentuk jika terdapat pasangan suami isteri dipilih,
4C1 × 6C1 = 24
Maka, cara jawatankuasa dipilih jika tiada pasangan suami isteri boleh memegang jawatan ialah 56 – 24 = 32.

12. (a) Bilangan cara 4 orang memilih tempat duduk, 4C1 × 3C3 = 4
(b) Bilangan cara memilih tempat duduk jika Zara duduk di bahagian hadapan, 1C1 × 3C3 = 1
(c) Bilangan cara memilih tempat duduk jika Zara duduk di bahagian belakang, 3C1 × 2C2 × 1C1 = 3

13. (a) Bilangan cara bersalaman antara satu sama lain, 15C2 = 105
(b) Bilangan cara 3 orang yang saling mengenali bersalaman diberikan oleh 3C2.
Maka, 15C2 – 3C2 = 102

14. (a) Bilangan garis lurus yang dapat dibentuk, 9C2 = 36
(b) Bilangan segi tiga yang dapat dibentuk, 9C3 = 84
(c) Bilangan segi empat yang dapat dibentuk, 9C4 = 126

8

Jawapan

BAB 5  TABURAN KEBARANGKALIAN

Perbincangan (Halaman 142)
Ya. Jisim murid tidak boleh ditentukan terlebih dahulu.

Latihan Kendiri 5.1

1. (a) {menang, seri, kalah}
(b) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
(c) {0, 1, 2, 3}

2. X = {0, 1, 2, 3, 4}

Aktiviti Penerokaan 1 (Halaman 143)

3. Aktiviti 1
• Boleh dibilang.
• Nilai dalam bentuk integer.

Aktiviti 2
• Nilai bukan dalam bentuk integer.
• Nilai dalam satu selang.

Latihan Kendiri 5.2

1. (a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pemboleh ubah rawak diskret
(b) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Pemboleh ubah rawak diskret
(c) X = {x : 3 < x < 460}. Pemboleh ubah rawak selanjar

Aktiviti Penerokaan 2 (Halaman 145)

4. (a) X = (0, 1, 2} ialah 3 .
5. (b) Kebarangkalian mendapat nombor ganjil bagi setiap cabutan 5
nombor genap.
Katakan G ialah mendapat nombor ganjil dan G ialah mendapat

Cabutan Cabutan Kesudahan X=r P(X = r)
pertama kedua {G, G} 2
{G, G} 1 3 3 9
3 G 5 × 5 = 25
5
3G 2 G 3 × 2 = 6
5 5 5 25
5

2 3 G {G, G} 1 2 × 3 = 6
5 5 G {G, G} 0 5 5 25
G
2 2 2 4
5 5 × 5 = 25

6. (a) P(X = 0) = 2 × 2 = 4
5 5 25
3 2 2 3 12
P(X = 1) = 5 × 5 + 5 × 5 = 25

P(X = 2) = 3 × 3 = 9
5 5 25
4 12 9
(b) Jumlah kebarangkalian = 25 + 25 + 25

= 25
25

= 1

1

7. Kebarangkalian setiap nilai X adalah di antara 0 dan 1 dengan jumlah kebarangkalian ialah 1.

Latihan Kendiri 5.3

1. (a) X = {0, 1, 2, 3}
(b) Katakan H ialah suis dihidupkan dan H ialah suis tidak dihidupkan.

Suis 1 Suis 2 Suis 3

1 H P(H, H, H) = 1 × 1 × 1 = 1
3 3 3 27
1 H3
3 H P(H, H, H) = 1 × 1 × 2 = 2
2 2 3 3 3 27
H 3 3
1 H P(H, H, H) = 1 × 2 × 1 = 2
1 3 3 3 3 27
3
H 1 2 2 4
H P(H, H, H) = 3 × 3 × 3 = 27
2
3

1 H P(H, H, H) = 2 × 1 × 1 = 2
3 3 3 3 27
2 1
3 3 H H P(H, H, H) = 2 × 1 × 2 = 4
3 3 3 27
H 2
3

2 1 H P(H, H, H) = 2 × 2 × 1 = 4
3 3 3 3 3 27

H 2 2 2 8
3 3 3 27
2 H P(H, H, H) = × × =
3

1 2 2 4 2 4 4 8 27
(c) Jumlah kebarangkalian = 27 + 27 + 27 + 27 + 27 + 27 + 27 + 27 = 27 = 1

2. (a) X = {0, 1, 2}
(b) Katakan P ialah kereta putih dan P ialah bukan kereta putih.

I II

0.38 P P(P, P) = 0.38 × 0.38 = 0.1444
P P(P, P) = 0.38 × 0.62 = 0.2356
0.38 P 0.62

0.62 P 0.38 P P(P, P) = 0.62 × 0.38 = 0.2356
0.62 P P(P, P) = 0.62 × 0.62 = 0.3844

3. (a) X = {0, 1, 2, 3}
(b) Katakan G ialah mendapat gambar dan G ialah mendapat angka.

1 G P(G, G, G) = 1 × 1 × 1 = 1
2 2 2 2 8

1G 1 1 1 1
2 1 G 2 2 2 8
2 P(G, G, G) = × × =
G
1 G P(G, G, G) = 1 × 1 × 1 = 1
1 2 2 2 2 8
1 2 G
2 1 1 1 1
1 G P(G, G, G) = 2 × 2 × 2 = 8
2

1 1 1 1 1
2G P(G, G, G) = 2 × 2 × 2 = 8
1
2 1G 1 G 1 1 1 1
2 2 P(G, G, G) = 2 2 2 8
× × =
G
1 1 1 1 1
1 2 G P(G, G, G) = 2 × 2 × 2 = 8
2 G
1 1 1 1
1 G P(G, G, G) = 2 × 2 × 2 = 8
2
( )
1 8
(c) 8 ∑ P(X
Jumlah kebarangkalian = 8 = 1; = ri) = 1
i=1

2

Kuiz Pantas (Halaman 148)

Tidak. 4
7
Jika produk K pertama yang dipilih tidak dikembalikan ke dalam kotak, P(K) = (Hanya 4 buah produk K yang
tinggal dan kotak itu mempunyai 7 buah produk sahaja).

Jika produk K kedua yang dipilih tidak dikembalikan ke dalam kotak, hanya 3 buah produk K yang tinggal dan kotak
3 1
mempunyai 6 buah produk sahaja. Maka, P(K) = 6 = 2 .

Kuiz Pantas (Halaman 149)
( ) ( )(a) P(X
= 0) = 3C0 5 0 3 3 = 27
8 8 512
( ) ( )(b) P(X
= 2) = 3C2 5 2 3 1 = 225
8 8 512
( ) ( )(c) P(X
= 3) = 3C3 5 3 3 0 = 125
8 8 512

Kuiz Pantas (Halaman 149)

∑4 P(X = ri) = 27 + 135 + 225 + 125
512 512 512 512
i=1

=1

Latihan Kendiri 5.4
1. X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

P(X = 0) = 5C0(0.6)0(0.4)5 = 0.0102
P(X = 1) = 5C1(0.6)1(0.4)4 = 0.0768
P(X = 2) = 5C2(0.6)2(0.4)3 = 0.2304
P(X = 3) = 5C3(0.6)3(0.4)2 = 0.3456
P(X = 4) = 5C4(0.6)4(0.4)1 = 0.2592
P(X = 5) = 5C5(0.6)5(0.4)0 = 0.0778

P(X = r)

0.4

0.3

0.2

0.1

0 012345 r

2. (a) X = {0, 1, 2, 3, 4}

P(X = 0) = 4C0(0.59)0(0.41)4 = 0.0282
P(X = 1) = 4C1(0.59)1(0.41)3 = 0.1627
P(X = 2) = 4C2(0.59)2(0.41)2 = 0.3511
P(X = 3) = 4C3(0.59)3(0.41)1 = 0.3368
P(X = 4) = 4C4(0.59)4(0.41)0 = 0.1212

X=r 0 1 2 3 4
0.3511 0.3368 0.1212
P(X = r) 0.0282 0.1627

3

(b) P(X = r)

0.4

0.3
0.2

0.1

0 01234 r

3. X = {0, 1, 2, 3, 4}
( ) ( )P(X =
0) = 4C0 1 0 2 4= 0.1975
3 3
( ) ( )P(X =
1) = 4C1 1 1 2 3= 0.3951
3 3
( ) ( )P(X =
2) = 4C2 1 2 2 2= 0.2963
3 3
( ) ( )P(X =
3) = 4C3 1 3 2 1= 0.0988
3 3
( ) ( )P(X =
4) = 4C4 1 4 2 0= 0.0123
3 3
P(X = r)

0.4
0.3
0.2
0.1

0 01234 r

Latihan Formatif 5.1

1. (a) X = {0, 1, 2}
(b) Pemboleh ubah rawak diskret

2. (a) X = {x : 1.2 cm < x < 10.2 cm}

(b) Pemboleh ubah rawak selanjar

4
3. (a) ∑ P(X = ri) = 0.2 + 0.35 + 0.3 + 0.15
= 1
i = 1

4
Maka, ∑ P(X = ri) = 1 adalah pemboleh ubah rawak diskret.

i=1
(b) P(X = r)

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0123 r
4. (a) X = {0, 1, 2, 3}

(b) P(X = 0) = 3C0(0.2)0(0.8)3 = 0.512
P(X = 1) = 3C1(0.2)1(0.8)2 = 0.384

4

P(X = 2) = 3C2(0.2)2(0.8)1 = 0.096

P(X = 3) = 3C3(0.2)3(0.8)0 = 0.008
4
∑ P(X = ri) = 0.512 + 0.384 + 0.096 + 0.008
= 1
i = 1 4

Maka, ∑ P(X = ri) = 1 adalah pemboleh ubah rawak diskret.
i=1
(c)
P(X = r)

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0123 r



5. p + p + (p + q) + q + q = 1
3p + 3q = 1 …1
p = 2q …2

Masukkan 2 ke dalam 1, 3(2q) + 3q = 1

6q + 3q = 1

9q = 1

q = 1
9
( )p = 2 1 2
6. (a) 9 = 9

Kesudahan
M3

MS 2.5

K2

M 2.5

M SS 2

K 1.5

M2

KS 1.5

K1

M 2.5

MS 2

K 1.5

M2

S SS 1.5

K1

M 1.5

KS 1

K 0.5

M2

MS 1.5

K1

M 1.5

K SS 1

K 0.5

M1

KS 0.5

K0 5

(b) X = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3}

(c) P(X = 0) = 1 × 1 × 1 = 1
3 3 3 27
( )
P(X = 0.5) = 3 1 × 1 × 1 = 3
3 3 3 27
( )
P(X = 1) = 6 1 × 1 × 1 = 6
3 3 3 27
( )
P(X = 1.5) = 7 1 × 1 × 1 = 7
3 3 3 27
( )
P(X = 2) = 6 1 × 1 × 1 = 6
3 3 3 27
( )
P(X = 2.5) = 3 1 × 1 × 1 = 3
3 3 3 27

P(X = 3) = 1 × 1 × 1 = 1
3 3 3 27

P(X = r)

_7
27
_6
27
_5
27
_4
27
_3
27
_2
27
_1
27

0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 r

Aktiviti Penerokaan 3 (Halaman 153)

6. (a) Ya
(b) Tidak bersandar. Tidak
(c) Dua jenis – nombor ganjil, nombor genap
(d) X = {0, 1, 2, 3, 4}

Latihan Kendiri 5.5

1. (a) X = {0, 1}
(b) p = 0.3
Jadi, q = 1 – 0.3 = 0.7
Maka, kebarangkalian ‘kegagalan’ ialah 0.7.

2. Bukan eksperimen binomial kerana lambungan pertama tidak serupa dengan lambungan kedua.

P(lambungan 1) = 1
2

P(lambungan 2) = 1
6
3. Taburan binomial

(a) Terdapat dua kesudahan yang mungkin, iaitu upah lebih RM2 000 dan upah kurang RM2 000.

(b) Tidak bersandar.

(c) Pemboleh ubah rawak diskret, X = {0, 1, 2, 3}.

(d) Kebarangkalian upah lebih RM2 000 = 1 setiap kali.
2

4. Ya.
(a) P(pelajar mengambil kerja sambilan) = 190. Tetap
(b) X = {0, 1, 2, 3, 4}. Pemboleh ubah rawak diskret.

6

(c) Tidak bersandar.
(d) Hanya dua jenis kesudahan.

5.
Melanjutkan pembelajaran di luar negara

Melanjutkan pembelajaran dalam negara

Tidak menyambung pelajaran

Ada tiga jenis kesudahan.
Bukan taburan binomial kerana taburan binomial hanya mempunyai dua kesudahan sahaja dalam setiap percubaan.

Kuiz Pantas (Halaman 156)
P(X , 1) + P(X . 2) = P(X = 0) + P(X = 3)
= 0.42 + 0.02
= 0.44

Latihan Kendiri 5.6

1. P(menggunakan telefon pintar) = 0.57, n = 8

(a) P(X = 6) = 8C6(0.57)6(0.43)2 = 0.1776
(b) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= 8C0(0.57)0(0.43)8 + 8C1(0.57)1(0.43)7 + 8C2(0.57)2(0.43)6
= 0.0711

2. (a) P(komik) = 2
5

2 K Kesudahan
K5 K {K, K, K}
2 K {K, K, K}
5 3 K {K, K, K}
52 K {K, K, K}
K 5 K {K, K, K}
K {K, K, K}
2 3 K 3 K {K, K, K}
5 5 {K, K, K}

25
5
3 2 K 3
5 5
52
K 3 5

5 K

3
5

( ) ( )(b) (i) 2 1 3 2 54
P(X = 1) = 3C1 5 5 = 125

( ) ( )(ii) 3C0 2 0 3 3= 27
P(X = 0) = 5 5 125

3. P(komputer) = 0.95, n = 8

(a) P(X = 6) = 8C6(0.95)6(0.05)2 = 0.0515
(b) P(X < 2) + P(X . 7) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 8)

= 8C0(0.95)0(0.05)8­ + 8C1(0.95)1(0.05)7 + 8C2(0.95)2(0.05)6 + 8C8(0.95)8(0.05)0
= 0.6634

4. (a) P(X = n) = 0.0319

nCn × 0.65n × 0.350 = 0.0319
n log 0.65 = log 0.0319

n= log 0.0319
log 0.65
=8
(b) P(X . 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)

= 1 – 8C0(0.65)0(0.35)8 – 8C1(0.65)1(0.35)7 – 8C2(0.65)2(0.35)6
= 0.9747

Aktiviti Penerokaan 4 (Halaman 158)

2. P(bola biru) = 6 = 0.6
10

7

X=r P(X = r)

0 5C0(0.6)0(0.4)5 = 0.0102
1 5C1(0.6)1(0.4)4 = 0.0768
2 5C2(0.6)2(0.4)3 = 0.2304
3 5C3(0.6)3(0.4)2 = 0.3456
4 5C4(0.6)4(0.4)1 = 0.2592
5 5C5(0.6)5(0.4)0 = 0.0778

4. (a) P(X = 3) = 0.3456
(b) P(X , 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
= 0.0102 + 0.0768 + 0.2304
= 0.3174
(c) P(1 , X , 3) = P(X = 2)
= 0.2304

5. Baca daripada jadual atau graf mengikut syarat yang diberi.

Latihan Kendiri 5.7

1. P(gred B) = 0.35, n = 6

(a) P(X = 4) = 6C4(0.35)4(0.65)2 = 0.0951
(b) P(X . 1) = 1 – P(X < 1)

= 1 – P(X = 0) – P(X = 1)

= 1 – 6C0(0.35)0(0.65)6 – 6C1(0.35)1(0.65)5
= 0.6809

2. P(rosak) = 0.78, n = 7
(a) P(X = 4) = 7C4(0.78)4(0.22)3 = 0.1379
(b) 0.1379 × 200 = 27.59

≈ 28

3. P(buatan tempatan) = 0.54, n = 8
(a) P(X > 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)

= 1 – 8C0(0.54)0(0.46)8 – 8C1(0.54)1(0.46)7
= 0.9792


(b) P(X . 6) = P(X = 7) + P(X = 8)

= 8C7(0.54)7(0.46)1 + 8C8(0.54)8(0.46)0
= 0.0565

4. P(mesin yang kurang memuaskan) = 0.05, n = 5
(a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

X=r P(X = r)
0 5C0(0.05)0(0.95)5 = 0.7738

1 5C1(0.05)1(0.95)4 = 0.2036
2 5C2(0.05)2(0.95)3 = 0.0214
3 5C3(0.05)3(0.95)2 = 0.0011
4 5C4(0.05)4(0.95)1 = 0.00003
5 5C5(0.05)5(0.95)0 = 3.1 × 10–7

8

P(X = r)

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 012345 r

(b) (i) P(X = 2) = 0.0214
(ii) P(X . 1) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)

= 1 – 0.7738 – 0.2036

= 0.0226

5. (a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

(b) 1 + 1  m + 1 + 5 + m + 2m = 1
36 4 9 36 = 1
3m + 1  m – 10
4 36
26
= 36

13m = 26
4 36
2
m = 9

(c) P(X > 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)

= 1 – 1  m – 1
4 9
1 1
= 1 – 18 – 9

= 15
18
5
= 6

Maka, 5 × 100% = 83.33%
6

6. P(menghidap penyakit diabetes) = 0.17, n = 10

(a) P(X = 5) = 10C5(0.17)5(0.83)5 = 0.0141
(b) P(2 < X < 6) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)

= 10C2(0.17)2(0.83)8 + 10C3(0.17)3(0.83)7 + 10C4(0.17)4(0.83)6
+ 10C5(0.17)5(0.83)5 + 10C6(0.17)6(0.83)4

= 0.5267

A 2k. ti12vit×i Penerokaan 5 (Halaman 161)
100 = 50

Daripada 100 kali, 50 kali mungkin mendapat gambar.

3. 1 × 60 = 15
4
15 1
Daripada 60 soalan, 15 soalan mungkin betul, iaitu 60 = 4 .

Kuiz Pantas (Halaman 162)
Varians ialah kuasa dua beza data daripada min manakala sisihan piawai adalah beza data daripada min. Maka, untuk

mendapatkan sisihan piawai, kita perlu punca kuasa duakan nilai varians.

9

Latihan Kendiri 5.8

1. X ~ B(n, p)
m = 45 = np …1
s 2 = 9 = npq …2

2 ÷ 1: q = 9 ,  p = 4
45 5
1
= 5

np = 45
( ) n
4 = 45
n = 56.255

Oleh sebab n ialah suatu integer, maka n = 56.

2. X ~ B(120, 0.4)

m = np = 120(0.4) = 48

s = ! npq = ! 120(0.4)(0.6) = 5.367

3. n = 5 000, p = 8 = 4
10 5
4
m = 5 000 × 5 = 4 000

s 2 = 5 000 × 4 × 1 = 800
5 5
s = ! 800 = 20! 2

4. p = 3 , n = 1 000
5
3
m = 1 000 × 5 = 600

s 2 = 600 × 2 = 240
5
s = ! 240 = 4! 15

Kuiz Pantas (Halaman 163)

Nilai bagi log 0.88 adalah negatif.

Nilai bagi log 0.15 juga adalah negatif.

Diketahui bahawa jika – a , –b, maka a . b.

Maka, n log 0.88 , log 0.15
– 0.0555n , –0.8239
 0.0555n . 0.8239
0.8239
n . 0.0555

Latihan Kendiri 5.9

1. P(dapat biasiswa) = 1
3
( ) ( )(a) P(X
= 7) = 7C7 1 7 2 0 = 1
3 3 187
( ) ( )(b) P(X 2

= 2) = 7C2 1 2 2 5 = 224 = 0.3073
3 3 729

(c) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= 7C0
1 0 2 7 + 7C1 1 1 2 6 + 7C2 1 2 2 5
3 3 3 3 3 3
416
= 729

= 0.5706

2. m = np = 36, s 2 = npq = 14.4

(a) q = 14.4 = 0.4
36
p = 0.6
36
n = 0.6 = 60

10

(b) n = 8

P(X = 4) = 8C4(0.6)4(0.4)4 = 0.2322

3. P(Sains) = 0.8 = p

(a) P(X = n) = 0.1342

nCn(0.8)n(0.2)0 = 0.1342
n log 0.8 = log 0.1342

n = log 0.1342
log 0.8

= 9
(b) P(X , 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= 9C0(0.8)0(0.2)9 + 9C1(0.8)1(0.2)8 + 9C2(0.8)2(0.2)7
= 3.139 × 10– 4

Latihan Formatif 5.2
1. X = {0, 1, 2, 3, 4}

X=r P(X = r)

0 4C0(0.5)0(0.5)4 = 0.0625

1 4C1(0.5)1(0.5)3 = 0.2500

2 4C2(0.5)2(0.5)2 = 0.3750

3 4C3(0.5)3(0.5)1 = 0.2500

4 4C4(0.5)4 (0.5)0 = 0.0625

2. P(X . 3) = 3 = 1
6 2

X = {0, 1, 2, 3}

X=r P(X = r)
0
1 1
2 8
3 3
8
3
8
1
8

P(X = r)

_3
8
_2
8
_1
8

0 0123 r

3. P(Melanjutkan pelajaran selepas tamat) = 0.85, n = 8
(a) P(X = 8) = 8C8(0.85)8(0.15)0 = 0.2725
(b) P(X , 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= 8C0(0.85)0(0.15)8 + 8C1(0.85)1(0.15)7 + 8C2(0.85)2(0.2)6
= 2.423 × 10– 4

11

4. P(durian yang busuk) = 0.1, n = 50
m = 50(0.1) = 5
s 2 = 5(0.9) = 4.5
s = 2.121

5. X ~ B(n, p)

m = np = 5, s 2 = npq = 4

( )(a) q = 4 , p = 1
5 5
1
5 = n 5

n = 25
( ) ( )(b) P(X
= 3) = 25C3 1 3 4 22 = 0.1358
5 5
6. X ~ B(10, p)
12
(a) s 2 = npq = 5 , n = 10

12 = npq
5
6 2 × 3
pq = 25 = 5 × 5

p , 0.5, maka p = 2 dan q = 3
5 5
( ) 2
m = 10 5 =4

(b) P(X = 4) = 10C4(0.4)4(0.6)6 = 0.2508

7. m = np = 20 × 1 = 10
2
1
s 2 = npq = 10 × 2 = 5

8. P(Kalkulator bertahan lebih 8 tahun) = 1
(a) P(X = n) = 0.0016 5

( ) ( ) nCn 1 n 4 0 = 0.0016
5 5

n log 0.2 = log 0.0016

n = log 0.0016
log 0.2

= 4

(b) n = 4, p = 0.2
P(X . 1) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)

= 1 – 4C0(0.2)0(0.8)4 – 4C1(0.2)1(0.8)3
= 0.1808

9. (a) 16 × 3 = 12
4
3
(b) n = 16, p = 4

( ) ( )(i) P(X = 16) = C16 3 16 1 0
16 4 4

= 0.01
( ii) 1x6 ×
100% = 60%
x = 9.6

Maka, x = 10 soalan betul.
( ) ( )
P(X = 10) = C16 1 10 3 6
10 4 4

= 1.359 × 10–3

Kuiz Pantas (Halaman 166)
Tinggi manusia, tekanan darah, skor IQ dan ralat sukatan.

12

Kuiz Pantas (Halaman 167)
Apabila n ˜ ∞, maka taburan binomial akan menghampiri taburan normal, iaitu graf berbentuk loceng dan simetri
pada min.

Latihan Kendiri 5.10

1. (a) m = 15
(b) R: P(X , 12)
Q: P(X . 18)
(c) P(X , 18) = 0.7635
P(X . 18) = 1 – 0.7635
= 0.2365
P(15 , X , 18) = 1 – 2(0.2365)
= 0.5270

2. X ~ N(m, 16)
(a) m = 12
(b)
f (x)

0 10 12 15 x


Aktiviti Penerokaan 6 (Halaman 170)

5. (a) Nilai min percubaan akan menjadi lebih konsisten.
(b) Ya, nilai min percubaan menghampiri nilai min teori, iaitu 0.5.
(d) Nilai min percubaan, m’ = Nilai min teori, m.

Latihan Kendiri 5.11

1. Z = X–m = 19.5 – 24 = – 0.75
s 6

2. X ~ N(500, 169)

1.35 = X – 500
13

X = 13(1.35) + 500

= 517.55

3. (a) Z = 0.14 – 0.15 = – 0.2
0.05

(b) – 0.12 = X – 0.15
0.05

X = 0.15 – 0.12(0.05)

= 0.144 kg

4. m = 45 – 45
60 s
1.5 =

s = 15
1.5

= 10

Kuiz Pantas (Halaman 174)
P(Z . 0) = P(Z , 0) = 0.5

Kuiz Pantas (Halaman 175)
Semakin besar nilai z, semakin kecil luas di bawah graf.

Nilai z = 0.235 adalah lebih besar daripada z = 0.23, maka perlu tolak 0.0019 daripada 0.4090.

13

Latihan Kendiri 5.12 f (z)
–1.52 –0.253 0
1. m = 350, s = 45
( )P(280
, X , 375) = P 280 – 350 , Z , 375 – 350
45 45
( )= P – 194 5
,Z, 9

2. (a) P(Z < 0.538) = 0.7046
(b) P(–2.1 , Z , 1.2) = 0.8671
(c) P(–1.52 , Z , – 0.253) = P(Z . 0.253) – P(Z . 1.52)
z

= 0.3359
(d) P(0 < Z < 1.984) = 0.5 – P(Z . 1.984)
f (z)

= 0.4764

0 1.984 z



3. 0.0157, 0.8606, 0.5664, 0.2876, 0.2286, 0.3785, 0.821, – 0.984, – 0.107, 0.471, 0.729

4. (a) P(Z , k) = 0.6078 f (z)

1 – P(Z . k) = 0.6078
P(Z . k) = 0.3922

k = 0.274

0k z

f (z)
(b) P(Z > k) = 0.4538
k = 0.116

z
0k
5. P(X , 16.2) = 0.7654
( ) P f (z)
Z , 16.2 – 15 = 0.7654
s
( )
1 – P Z . 1.2 = 0.7654
s
( ) P
Z . 1.2 = 0.2346
s

1.2 = 0.724
s
1.2 z
s = 0.724 0 1_.2
σ

= 1.657

6. P(X . 0.69) = 0.5178
( ) P
Z . 0.69 – 0.75 = 0.5178
s
( )
P Z . – 0.06 = 0.5178
s

– 0.06 = – 0.045
s
s = 1.333

14

7. Y ~ N(m, s 2) = Y ~ N(m, 16) f (z)

14.5 – m
4
( ) PY . = 0.7321

14.5 – m = – 0.619 0.2679 0.7321
4
m = 14.5 + 4(0.619)

= 16.98

8. P(X . 80) = 0.0113 –0.619 0 z
f (z)
( ) PZ . 80 – m = 0.0113
s

80 – m = 2.28
s
80 – m = 2.28s …1
P(X , 30) = 0.0287
( ) 30 – m 0.0113
s
P Z , = 0.0287

30 – m = –1.9
s
30 – m = –1.9s …2 0 2.28 z

1–2

50 = 2.28s + 1.9s

s = 11.96

m = 80 – 2.28(11.96)

= 52.73 f (z)

Latihan Kendiri 5.13

1. m = 210, s = 12 0.245

(a) Z = 216 – 210 = 0.5
12

(b) –1.8 = X – 210
12

X = 210 – 12(1.8) z

= 188.4 0 2.8
_k - 24
2. m = 24, s = 0.5
0.5
( ) P k , X , 25.4 = 0.245

( ) P
k – 24 ,Z, 25.4 – 24 = 0.245
0.5 0.5

( ) P
k – 24 ,Z, 1.4 = 0.245
0.5 0.5
( )
P Z . k – 24 = 0.245 + 0.00256
0.5
= 0.2476
k – 24
0.5 = 0.682

k = 24 + 0.5(0.682)

= 24.34

3. m = 145, s = 10
( )(a)
P(X > 140) = P Z > 140 – 145
10

= P(Z > – 0.5)

( ) = 0.6915
(b) P(X < 150) = P Z < 150 – 145
10

= P(Z < 0.5)

= 0.6915

Bilangan murid = 0.6915 × 450 = 311

15

4. m = 50, s = 10
( )(a) P(X > 70) = P
Z> 70 – 50
10
f (z)
= P(Z > 2)

= 0.02275

Bilangan murid = 0.02275 × 200 = 5
(b) P(X > m) = 0.6
( ) 0.6

PZ> m – 50 = 0.6
10
m – 50
10 = – 0.253 m_- 50 0 z
10
m = 50 – 0.253(10)

= 47.47

≈ 47

5. (a) P(X . 75) = 0.1

75 – m
s
( )
PZ. = 0.1

75 – m = 1.282 f (z)
s 0.25

75 – m = 1.282s …1 4_0σ– µ 0
P(X , 40) = 0.25

40 – m
s
( )
PZ, = 0.25

40 – m = – 0.674 z
s

40 – m = – 0.674s …2
1 – 2:

35 = (1.282 + 0.674)s

s = 17.89

m = 75 – 1.282(17.89)

= 52.07

6. m = 840, s = 24
( )(a) P(812
, X , 882) = P 812 – 840 , Z , 882 – 840
24 24
( )= P –28 42
24 ,Z, 24

( )(b) P(X = 0.8383
–28
< 812) = P Z < 24

= 0.1217
Kebarangkalian buah betik yang tidak dijual di luar negara atau pasar tempatan = 1 – 0.8383 – 0.1217

= 0.04

Maka, bilangan buah betik yang tidak dieksport ke luar negara atau dijual di pasar tempatan = 0.04 × 2 500

= 100

Latihan Formatif 5.3

1. P(k , Z , 0) = 0.3415
P(Z , k) = 0.5 – 0.3415
= 0.1585
k = –1.001

2. m = 12, s 2 = 4

(a) Z = 14.2 – 12 = 2.2 = 1.1
2 2
( )(b) P(11 , X , 13.5) = P
11 – 12 , Z , 13.5 – 12
2 2
( )= 1.5
P – 0.5 , Z , 2

= 0.4649

16

3. P(m , Z , 0.35) = 0.5124
P(Z . 0.35) = 0.3632
P(Z , m) = 1 – 0.3632 – 0.5124
= 0.1244

4. m = 3.1, s = 0.3
( )(a) P(2.9 , X , 3.3) = P
2.9 – 3.1 ,Z, 3.3 – 3.1
0.3 0.3
( )= P – 23
,Z, 2
3

= 0.4950 f (z)
m0
(b) P(X , m) = 0.25

( ) P Z ,
m – 3.1 = 0.25 0.25
0.3
m – 3.1
= – 0.674
0.3
m = 3.1 – 0.3(0.674)
= 2.898 kg z

5. (a) P(X , 600) = 0.0012

( ) P Z ,
600 – 650 = 0.0012
p
– 5p0 = – 3.034
p 50
= 3.034

= 16.48
( )(b) P(645 , X , 660) = P
645 – 650 ,Z, 660 – 650
16.48 16.48
( )=
P – 165.48 , Z , 10
16.48

= 0.3472

Bilangan ikan = 350
0.3472

= 1 008

6. m = 80, s = 15
( )(a) P(X
. 85) = P Z . 85 – 80
15
( )= P Z .
1
3

= 0.3694

Maka, 0.3694 × 200 ≈ 74

(b) P(X , 85) = 1 – 0.3694
= 0.6306
p = 63.06

Latihan Sumatif

1. X = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

2. (a) 112 + 5 + 1 +q=1
12 3
1
q= 6

(b) P(X . 2) = 1 + 1 = 1
3 6 2

17

3. (a) + + Kesudahan
– – 6
+ 3
+ – 3
+ 0
+ – 3
+ 0
– – 0
–3
–


(b) X = {–3, 0, 3, 6}

4. (a) X = {0, 1, 2, 3}

X=r P(X = r)

0 3C0(0.45)0(0.55)3 = 0.1664

1 3C1(0.45)1(0.55)2 = 0.4084

2 3C2(0.45)2(0.55)1 = 0.3341

3 3C3(0.45)3(0.55)0 = 0.0911

4
∑ P(X
= ri) = 0.1664 + 0.4084 + 0.3341 + 0.0911 = 1
i=1

Maka, X ialah pemboleh ubah rawak diskret.

(b)

X=r 0 1 2 3

P(X = r) 0.1664 0.4084 0.3341 0.0911

P(X = r)

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0123 r

5. X ~ B(6, 0.4)

(a) P(X = 2) = 6C2(0.4)2(0.6)4 = 0.3110
(b) P(X . 4) = P(X = 5) + P(X = 6)

= 6C5(0.4)5(0.6)1 + 6C6(0.4)6(0.6)0
= 0.0410
(c) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= 6C0(0.4)0(0.6)6 + 6C1(0.4)1(0.6)5 + 6C2(0.4)2(0.6)4
= 0.5443

6. p = 0.6, n = 8

(a) P(X = 3) = 8C3(0.6)3(0.4)5 = 0.1239
(b) P(X . 4) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)

= 8C5(0.6)5(0.4)3 + 8C6(0.6)6(0.4)2 + 8C7(0.6)7(0.4)1 + 8C8(0.6)8(0.4)0
= 0.5941

7. p = 18 = 3 , n = 9
30 5

(a) P(X = 4) = 9C4(0.6)4(0.4)5 = 0.1672
(b) P(X > 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9)

= 9C7(0.6)7(0.4)2 + 9C8(0.6)8(0.4)1 + 9C9(0.6)9(0.4)0
= 0.2318

18

8. p = 1 , q = 4 , n = 35
5 5

m = np

= 35 × 1
5
=7

s 2 = npq

=7× 4
5
28
= 5

= 5.6

s = 2.366

9. m = 7, s 2 = 2.8

(a) m = np
7 = np …1

s 2 = npq

2.8 = npq

q = 2n.p8 …2
Masukan 1 ke dalam 2,

q = 2.8
7
2
= 5

Maka, p = 3 .
5
3 3
(b) P(2 orang guru) = 5 × 5

= 9
25

10. (a) P(X . 47) = k

( ) P Z .
47 – 48 =k
12
( )P Z . – 112 = k
k = 0.5332
(b) P(38 , X , 46) = k

( ) P 381–248
,Z, 46 – 48 =k
12
( )P– 1102 –2
, Z , 12 =k

(c) P(X < 49.5) = k k = 0.2315

( ) P Z <
49.5 – 48 =k
12
( )P 1.5
Z < 12 =k

k = 0.5497
(d) P(47 , X , 50) = k

( ) P 471–248
,Z, 50 – 48 =k
12
( )P– 112 2
, Z , 12 =k

k = 0.0995

19

(e) P(X . k) = 0.615 f (z)

( ) P Z . k – 48 = 0.615
12
k – 48
12 = – 0.292 0.385 0.615

k = 48 – 12(0.292)
= 44.5

k0 z

(f) P(45 , X , k) = 0.428

( ) P 451–248
,Z, k – 48 = 0.428 f (z)
12 0.428
( )P – 132
,Z, k – 48 = 0.428
12
( )P
Z. k – 48 = 1 – 0.428 – 0.4013
12
= 0.1707

k – 48 = 0.952 z
12
k = 48 + 0.952(12) _ _3 0 —k1–24–8
12
= 59.42
(g) P(X .  k ) = 0.435
f (z)
( ) P X . k = 0.2175
( )P
Z. k – 48 = 0.2175
12
k – 48
12 = 0.781

k = 48 + 12(0.781) –k 0 k z
= 57.37 f (z)

(h) P(– k , X , 48) = 0.2578 0.2578

( ) P –k – 48
12 ,Z,0 = 0.2578

( )P
Z , – k – 48 = 0.2422
12
– k – 48
12 = – 0.699

k = –39.61

11. m = 115, s = 10 z
( )(a) P(X > 96) = P –_k – 48 0
Z> 96 – 115 12
10

= P(Z > –1.9)
= 0.9713

Bilangan pelajar = 0.9713 × 500

= 485

Maka, bilangan calon yang tidak berjaya = 500 – 485

= 15 orang
(b) P(X . m) = 0.6

m – 115 = – 0.253
10
m = 115 – 10(0.253)
= 112.47
12. m = 65, s 2 = 56.25
(a) P(56 , X , 72)
( ) = P
56 – 65 ,Z, 72 – 65
7.5 7.5
( ) = – 79.5 7
P , Z , 7.5

= 0.7096

20

Bilangan pekerja = 250
0.7096

≈ 352
(b) P(X . m) = 0.05

m7–.565 = 1.645

m = 65 + 1.645(7.5)
= 77.34 kg
13. m = 260, s = 35
( )(a)
P(X . 300) = P Z . 300 – 260
35
( ) 40
= P Z . 35

= 0.1266
( )(b) P(200
, X < 300) = P 200 – 260 , Z < 300 – 260
35 35
( )= – 3605 40
P , Z < 35

= 0.8302 f (z)

Bilangan oren gred B = 0.8302 × 600

≈ 498
(c) P(X . m) = 0.99
( ) P Z 0.99
. m – 260 = 0.99
35
m – 260
35 = – 2.326
z
m = 178.59 _m – 260 0
≈ 179 35

21

Jawapan

BAB 6 FUNGSI TRIGONOMETRI

Kuiz Pantas (Halaman 190) 4. 120° = 120 × π rad 7. 270° = 270 × π rad
1. 0° = 0 rad 180 180

= 2 π rad = 3 π rad
3 2

= 2.094 rad = 4.712 rad

2. 45° = 45 × π rad 5. 180° = 180 × π rad 8. 300° = 300 × π rad
180 180 180
π 5
= 4 rad = π rad = 3 π rad

= 0.785 rad = 3.142 rad = 5.236 rad

3. 90° = 90 × π rad 6. 225° = 225 × π rad 9. 360° = 360 × π rad
180 180 180
π 5
= 2 rad = 4 π rad = 2π rad

= 1.571 rad = 3.927 rad = 6.283 rad

Aktiviti Penerokaan 1 (Halaman 191)

Sudut Sukuan Sudut Sukuan Sudut Sukuan
II 1 000° IV −550° II
140° III 123 π rad – – 136 π rad II
–135° –850° III
7  π rad II – 65  π rad III – 287 π rad I
6 IV III

500°

161 π rad

Latihan Kendiri 6.1

1. (a) 290° 10' = 290.17 × π (b) –359.4° = –359.4° × π
180 180

= 5.064 rad = –6.273 rad

(c) 620° = 620 × π (d) –790° = –790° × π
180 180

= 10.82 rad = –13.79 rad

2. (a) 1.3 rad = 1.3 × 180 (b) 143 rad = 143 × 1π80
π

= 74.48° = 186.21°

(c) –2.7π rad = –2.7π × 180 (d) 143 π rad = 143 π × 1π80
π

= – 486° = 585°

3. (a) 75° dalam sukuan I (b) –340.5° dalam sukuan 1

yy

75˚ x –340.5˚
O Ox



1

(c) 550° = 550° – 360° (d) –735° = –735° – 2(–360°)

= 190° = –15°

550° dalam sukuan III –735° dalam sukuan IV

yy

550˚ O x Ox
–735˚



(e) 0.36 rad = 20.63° (f) – 4 rad = –229.18°

0.36 rad dalam sukuan I – 4 rad dalam sukuan II

yy

O 0.3x6 rad – 4 rad O x

5  π rad = 300°
(g) 3 (h) –1 200° – 3(–360°) = –120°

5  π rad dalam sukuan IV – 230 π rad dalam sukuan III
3
y

y

—35 O Ox
π x –1 200˚



Latihan Formatif 6.1

1. 0° = 0 rad π π
30° = 30 × 180 6
= = 0.5236 rad

90° = 90 × π = π = 1.571 rad
180 2
π 5π
150° = 150 × 180 = 6 = 2.618 rad

210° = 210 × π = 7π = 3.665 rad
180 6
π 3π
270° = 270 × 180 = 2 = 4.712 rad

330° = 330 × π = 11π = 5.7596 rad
180 6
π
360° = 360 × 180 = 2π = 6.283 rad

yy y

O 30˚ x 90˚ x 150˚
O x

O

       

2

yyy

210˚ x 270˚ O x O x
O 330˚

       

Aktiviti Penerokaan 2 (Halaman 194)

Lajur A Lajur B

sin q = y y2 sin (90° – q) = x y2
! x2 + ! x2 +

kos q = x y2 kos (90° – q) = y y2
! x2 + ! x2 +

tan q = y tan (90° – q) = x
x y

kot q = x kot (90° – q) = y
y x

sek q = ! x2 + y2 sek (90° – q) = ! x2 + y2
x y

kosek q = ! x2 + y2 kosek (90° – q) = ! x2 + y2
y x

Latihan Kendiri 6.2

1. QR = ! 25 – 2 = ! 23

!(a) kot R = ! 23  223 ( )(b) sin2 R =! 2 2 2
! 2 5 25
= =

! 23 – ! 2 ! 23 – ! 2
5 5
(c) kos R – sin R = 5 = 5
kosek R 5
! 2 ! 2

( )=
! 23 – ! 2 × ! 2
5 5

= ! 46 – 2
25

2. (a) sin a = 2 ( )(b) kos2 a = 3 2 = 9
! 13 ! 13 13

(c) kot a = 3 (d) kosek a = ! 13
(( ))(e) 2 2
! 13 2
4 – sek2 a = 4– 3
2 – sek a 2– ! 13
3
( )=
36 – 13 × 3
9 6 – ! 13

= 3(6 23

– ! 13 )

3. (a) 90° – 54° = 36°
(b) 90° – 5° 17' 14" = 84° 42' 46"

3