Binarni svijet (brojevni sustavi i kodiranje)

BROJEVNI SUSTAVI

ssploce

Ishodi učenja

 A.1. 4 analizira ulogu Učenici će:
binarnoga, • Prepoznati i opisivati brojevne sustave
i heksadekadskoga broje • Vršiti pretvaranja preko dekadskog brojevnog sustava
vnog sustava u • Vršiti izravna pretvaranja
predstavljanju digitalnoga • Primjenjivati postupak binarnoga zbrajanja dvaju brojeva u
prikaza različitih tipova
podataka registrima zadanih duljina
• Upoznati i koristiti komplement broja kod binarnog
 A. 2. 2. Objašnjava
binarno zbrajanje cijelih oduzimanja
brojeva kao temeljnu • Opisivati pojam preljeva te objašnjava situacije u kojima
operaciju u računalu
dolazi do preljeva
• Upoznati pojam kodiranja i kodirati znakove po ACII tablici

Međupredmetne teme

Učiti kako učiti
 A 4./5.2. Učenik se koristi različitim strategijama učenja i samostalno ih

primjenjuje pri ostvarivanju ciljeva učenja i rješavanju problema u svim
područjima učenja.
Poduzetništvo
 A. 4. 1. Primjenjuje inovativna i kreativna rješenja.
Osobni i socijalni razvoj
 A. 4. 3. Razvija osobne potencijale
Uporaba IKT
 A. 4. 3. Učenik stvara pozitivne digitalne tragove vodeći se načelom sigurnosti



Kakve veze ima matematika sa
računalima?

 Računalo je digitalni uređaj. Što to znači?
 Kako računalo pamti i obrađuje podatke?
 Možemo li sliku ili tekst pohraniti i obraditi u računalu u izvornom obliku
 Od čega je građena radna memorija, radi li bez strujnog napajanja?
 Zašto se uvjek uz računalo vežu 0 i 1?
 Što je bit? Koliko stanja može imati?

Radna memorija je građena od bistabila, malih elektroničkih sklopova koji mogu zapamtiti
jedan bit podataka.
Svi podaci u računalu su pohranjeni kao bitovi.
U ovoj cjelini naučit ćemo kako to računalo zapisuje, računa i pretvara brojeve u bitove.

Kako bi shvatili kako računalo zapisuje i obrađuje podatke moramo upoznati brojevne
sustave.

Brojevni sustavi

 Brojevni sustav je skup znakova (znamenaka) i pravila za pisanje
tih znakova

 Dijelimo ih na: pozicijske (položajne) i nepozicijske (nepoložajne)

Rimski brojevi su nepozicijski
Napišite nekoliko rimskih brojeva

Pozicijski brojevni sustavi

 Kod pozicijskih brojevnih sustava vrijednost znamenke ovisi o
njenom položaju u zapisanom broju.

 Broj znamenaka brojevnog sustava naziva se baza sustava i
označava s B

 Najveća znamenka u nekom BS je B-1, a prva znamenka je 0.

 Napišite skup znamenaka brojevnih sustava sa bazom 2, 5 i 8.

POZICIJSKI BROJEVNI SUSTAVI

 Položajni/pozicijski brojevni sustav je sustav kod kojeg položaj znamenke u zapisu
određuje njezinu vrijednost

 Svaki je brojevni sustav određen vlastitim skupom znamenaka, a ukupni broj različitih
znamenaka se naziva BAZOM tog brojevnog sustava

Poznato: DEKADSKI BROJEVNI SUSTAVI

 Baza dekadskog brojevnog sustava je 10, a za zapis se rabe znamenke od
0 do 9

 Težinska vrijednost se dobiva tako da se osnova brojevnog sustava (10)
potencira sa eksponentom čija vrijednost ovisi o položaju znamenke u nizu

 U zapisu se koristi decimalni zarez
 Eksponenti težinskih vrijednosti lijevo od decimalnog zareza su pozitivni, a

desno od njega su negativni
 Eksponent 1. znamenke lijevo od zareza je uvijek 0
 Sa n znamenaka dekadskog brojevnog sustava moguće je prikazati 10n

različitih dekadskih brojeva (npr. Sa 2 znamenke može se prikazati 100
različitih dekadskih brojeva, sa 3 1000..)

Primjer rastavljanja broja :

12345,98 = 1*104 + 2*103 + 3* 102 +4*101+ 5*100+3*10-1+5*10-2
= 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 + 0,9 + 0,08

BINARNI BROJEVI

 Binarni brojevi imaju samo 2 znamenke, pa se može reći da binarni broj
sa n znamenaka ima 2n mogućih vrijednosti

 Baza binarnog brojevnog sustava je 2, a za zapis se rabe brojevi 0 i 1
 Binarni se broj na težinske vrijednosti rastavlja isto kao i dekadski broj

 Koliko brojeva možemo napisati sa 4, a koliko sa 8 znamenaka u
bazi 2?

Primjer pretvorbe binarnog broja u
dekadski:

11010000 = 1*27 + 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20
= 128 + 64 + 16
= 20810

Izačunom izraza dobije se dekadska protuvrijednost binarnog broja

Za one koji žele više

KORISTEĆI NAČELO RASTAVLJANJA BROJA NA TEŽINSKE VRIJEDNOSTI
MOGUĆE JE SVAKI BROJ IZ BILO KOJEG BROJEVNOG SUSTAVA PRETVORITI
U NJEGOVU DEKADSKU PROTUVRIJEDNOST (pri tome treba voditi računa o bazi
brojevnog sustava)

Pokušajmo pretvoriti broj 221 (u bazi 3) u dekadski?

Pretvaranje dekadskog broja u binarni

? Broj 21010 pretvori u binarni broj

210:2=105 i ostatak 0 Smjer čitanja rezultata
105:2=52 i ostatak 1
52:2=26 i ostatak 0 11010010
26:2=13 i ostatak 0
13:2=6 i ostatak 1 Dekadski broj uzastopno cjelobrojno
6:2=3 i ostatak 0 dijelimo sa 2 dok rezultat ne bude 0.
3:2=1 i ostatak 1 Pišemo ostatke dijeljena i čitamo ih u
1:2=0 i ostatak 1 obrnutom redosljedu.
Koja će biti binarna vrijednost broja
208?

Pretvaranje dekadskog decimalnog broja u
binarni

? Broj 210,12510 pretvori u binarni broj

210:2=105 i ostatak 0 Decimalni dio broja uzastopno
105:2=52 i ostatak 1 množimo sa 2, pišemo cijeli dio
52:2=26 i ostatak 0 rezultata kako ga dobijamo.
26:2=13 i ostatak 0
13:2=6 i ostatak 1 0,125*2=0,25
6:2=3 i ostatak 0
3:2=1 i ostatak 1 0,25*2=0,5
1:2=0 i ostatak 1
0,5*2=1

Kad dobijemo 1, gotovi smo.

Rezultat: 210,0012

VJEŽBA

Popuni tablicu. Pretvorite binarne brojeve u dekadske:

Binarni broj Dekadska vrijednost
1101012
101110112
1011100112
111,012
100111,0112

VJEŽBA

Pretvorite dekadske brojeve u binarne:

Dekadski broj Binarna vrijednost
4510
12010
21010
64,510
128,62510

OKTALNI I HEKSADEKADSKI BROJEVNI
SUSTAVI

 Uporaba ovih brojevnih sustava pri radu s računalom je samo
pomoć čovjeku i računalo te sustave ne “razumije”

 Za skraćeno zapisivanje binarnih brojeva najčešće se rabe
OKTALNI i HEKSADEKADSKI brojevni sustavi

 HEKSADEKADSKI sustav se koristi za zapise boja i IP adresa

OKTALNI BROJEVNI SUSTAV

 Baza oktalnog brojevnog sustava je 8, a za zapis se
rabe znamenke 0,1,2,3,4,5,6 i 7

 Svaka oktalna znamenka se može prikazati sa 3 binarne
znamenke, pa je iz tog razloga jednostavno binarni broj
pretvoriti u oktalni

 Algoritam pretvorbe u naš i iz našeg sustava već znamo 

PRETVORBA OKTALNOG BROJA U
DEKADSKI

 Oktalni broj se pretvara u dekadski rastavljanjem broja
na težinske vrijednosti, na ispi način kao i binarni

PRIMJER:
Pretvorite oktalni broj 3228 u dekadski.
3228 = 3 * 82 + 2 * 81 + 2 * 80

= 192 + 16 + 2 = 21010

VJEŽBA

Pretvorite oktalne brojeve u dekadske:

Oktalni broj Dekadski
158
328
1208
64,58
2568

PRETVORBA DEKADSKOG BROJA U
OKTALNI

 Pretvara se uzastopnim cjelobrojnim dijeljenjem broja u dekadskom
prikazu s osnovom brojevnog sustava (8), uz bilježenje ostatka
svakog pojedinačnog dijeljenja

 Decimalni dio se množi sa 8. kao i kod binarnog broja

PRIMJER:

Pretvorite dekadski broj 21010 u oktalni.

210 : 8 = 26 i ostatak 2

26 : 8 = 3 i ostatak 2

3 : 8 = 0 i ostatak 3

Smjer čitanja

Rezultat: 3228 rezultata

Napomena: Decimale množimo sa 8 i zapisujemo kako dobijemo cijeli dio rezultata

VJEŽBA

Pretvorite dekadske brojeve u oktalne:

Dekadski broj Oktalni
11010
3210
25010
64,510
30010

Što kada nema dekadskog sustava?
PRETVORBA BINARNOG BROJA U
OKTALNI

Grupirati binarne znamenke u skupine Oktalni broj Binarni
po 3 počevši od odjeljnog zareza. Ako ekvivalent
broj znamenaka nije višekratnik broja 3, 0
krajnje lijeva skupina binarnih 1 000
znamenaka nadopunjuje se potrebnim 2 001
brojem 0. Potom je potrebno svaku od 3 010
skupina znamenaka zamjeniti 4 011
odgovarajućom oktalnom znamenkom 5 100
6 101
Možemo li ove skupine bitova zapisati po nekom 7 110
algoritmu? 111

PRIMJER:

Pretvorite binarni broj 10010011,00112 u oktalni.

10 | 010 | 011 001 | 1
010 | 010 | 011 001 | 100
223
14

Rezultat: 223,148

Paziti na strelice koje označavaju smjerove uzimanja bitova za cijeli i decimalni dio broja

VJEŽBA

Pretvorite binarne brojeve u oktalne:

Binarni broj Oktalni
1101012
101110112
1011100112
111,012
100111,0112

PRETVORBA OKTALNOG BROJA U
BINARNI

 Svaku oktalnu znamenku potrebno je zamijeniti sa 3
binarne.

 Spajanjem skupina binarnih znamenaka dobiva se prikaz
zadanog oktalnog broja u binarnom sustavu

PRIMJER:

Pretvorite oktalni broj 1234,358 u binarni.

1242 35
001 010 011 100 001 101

Rezultat: 001010011100,0011012 = 1010011100,0011012

Nule na početku broja i na kraju decimalnog dijela ne trebamo pisati

VJEŽBA

Pretvorite oktalne brojeve u binarne:

Oktalni broj Oktalni
233,128
1100,118
2568
10248
32,648

HEKSADEKADSKI BROJEVNI SUSTAV

 Baza je 16, pa je zapis brojeva potrebno 16 različitih
znakova

 Rabe se znamenke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,
C, D, E, F

 A16 = 1010
B16 = 1110
C16 = 1210
D16 = 1310
E16 = 1410
F16 = 1510

PRETVORBA HEKSADEKADSKOG
BROJA U DEKADSKI

 Heksadekadski broj se pretvara u dekadski rastavljanjem na
težinske vrijednosti

 Postupak poznamo 

PRIMJER:
Pretvorite heksadekadski broj D216 u dekadski:

D516 = 13 * 161 + 5 * 160
= 208 + 5 = 21310

VJEŽBA

Pretvorite heksadekadske brojeve u dekadske:

Heksadekadski Dekadski
33,816
ABA16
7B16
1C16
FF16

PRETVORBA DEKADSKOG BROJA U
HEKSADEKADSKI

Pretvara se uzastopnim cjelobrojnim dijeljenjem broja u dekadskom
prikazu s osnovom brojevnog sustava (16), uz bilježenje ostatka
svakog pojedinačnog dijeljenja

PRIMJER:
Pretvorite dekadski broj 21310 u heksadekadski

213 : 16 = 13 i ostatak 5
13 : 16 = 0 i ostatak 13

1310 = D16

Rezultat: D516

Napomena: Decimalni dio broja ako ga ima množimo sa 16.

VJEŽBA

Pretvorite dekadske brojeve u heksadekadske:

Dekadski Heksadekadski
12810
20010
3510
55,510
25610

PRETVORBA BINARNOG BROJA U
HEKSADEKADSKI

 Što kada nema dekadskog sustava??
 Svaka se heksadekadska znamenka može prikazati sa 4 binarne

znamenke
 Pretvorba binarnog broja u heksadekadski:

Grupirati binarne znamenke u skupine po 4 (krajnje lijeva skupina
binarnih znamenaka se nadopunjuje potrebnim nulama) i svaku
skupinu zamijeniti odgovarajućom heksadekadskom znamenkom

Binarni broj Dekadski ekvivalent Heksadekadski Uočavate li
ekvivalent algoritam
0000 0 0 za zapisivanje
0001 1 1 bitova?
0010 2 2
0011 3 3
0100 4 4
0101 5 5
0110 6 6
0111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 10 A
1011 11 B
1100 12 C
1101 13 D
1110 14 E
1111 15 F

PRIMJER:

Pretvorite binarni broj 11010011,011112 u heksadekadski:

1101 0011 0111 1000
1310= D16 3,7 8

Rezultat: D3,7816

PRETVORBA HEKSADEKADSKOG BROJA
U BINARNI

Svaku heksadekadsku znamenku treba zamijeniti sa 4
binarne

PRIMJER:
Pretvorite hehsadekadski broj 2A216 u binarni:

2 A 2
0010 1010= 1010 0010

Rezultat: 0010101000102 = 10101000102

DOMAĆA ZADAĆA

 Pretvorite heksadekadske brojeve u binarne:
ADA16, 5F316, 11E16, CA716

 Pretvorite binarne brojeve u heksadekadske:
1110110001,12, 1001001112, 10101,11001112, 1100010102

 Pretvorite heksadekadske brojeve u dekadske:
5A16, 8B16, 3FA16, 58,816

 Pretvorite dekadske brojeve u heksadekadske:
15610, 84,510, 20010, 16510

BINARNO RAČUNANJE

 Zbrajanje binarnih brojeva se provodi po pravilima za zbrajanje
dvaju bitova:

0 + 0 =0
0 + 1 =1
1 + 0 =1
1 + 1 = 0 i 1 dalje

 Prijenos (1 dalje) se prenosi u susjedni stupac s lijeve
strane:

prijenos 11 11

1 1 011

+ 1 011

Rezultat: 1001102

1 0 0 110

 Oduzimanje se može svesti na zbrajanje (umanjitelj treba
pretvoriti u negativan broj)

Npr: 5 – 3 = 5 + (-3)

 Negativni se brojevi u binarnom sustavu predočuju s
pomoću dvojnog komplementa

 Dvojni komplement se dobiva na slijedeći način:
a) umanjenik i umanjitelj treba svesti na jednak broj
znamenaka (umanjitelju se s lijeve strane dodaje potreban
broj 0)
b) svaku “0” umanjitelja treba pretvoriti u “1”, i svaku “1” u
“0”  dobiveni broj je KOMPLEMENT BROJA
c) komplementu pribrojiti “1”  dobiveni broj je DVOJNI
KOMPLEMENT BROJA

 Nakon što se umanjeniku pribroji dvojni komplement
umanjitelja, treba odbaciti krajnje lijevu jedinicu da bi
rezultat bio ispravan.

Umanjenik 1 1 0 11
Umanjitelj 0 1 0 11

Komplement 1 0 1 00

+1

Dvojni komplement 1 0 1 01

Prijenos 11111

Umanjenik 1 1 0 11

Dvojni komplement + 1 0 1 01

RAZLIKA 1 1 0 0 00

Rezultat: 100002

ZA ONE KOJI ŽELE VIŠE
 Množenje binarnih brojeva svodi se također na

zbrajanje:

Pomnožimo brojeve 10112 i 1112

1111
1011* 111
1011

1011
+ 1011
1001101

Primjer zbrajanja i oduzimanja preko
zbrajanja

prijenos 1 1 1 111
+ 1 1 0 011
1 101

1 0 0 0 000

Umanjenik 11 0 0 11
Umanjitelj 00 1 1 01

Komplement 11 0 0 10

+1

Dvojni komplement 1 1 0 0 1 1

Prijenos 11 11

Umanjenik 1 1 0 0 11

Dvojni komplement + 1 1 0 0 11

RAZLIKA 11 0 0 1 10

Vježba

 111001+1100
 111111+100011
 1100-111
 110011-1000
 11001,111+110,01
 Napiši sljedbenik heksadekadskog broja F?

 Aktivnost
 https://www.e-sfera.hr/dodatni-digitalni-sadrzaji/b811c20e-1257-

4ca4-b477-bfd33d7da5c7/

JEDINICE ZA KAPACITET
MEMORIJE I KODIRANJE

BIT i BAJT

 Bit (engl. binary digit) je najmanja jedinica podataka koju računalo
može prepoznati

 Može imati 2 stanja: istina/laž, da/ne, isključeno/uključeno, no
najčešće se pod bitom podrazumijeva jedna binarna znamenka koja
može biti 0 ili 1.

 Bajt (Byte) je 8 binarnih znamenaka
 Koriste se veće jedinice: KB, MB, GB, TB, PB…

 K je prefiks za kilo i ima vrijednost 1000

bistabil 8 bistabila