Xây dựng hệ thống bài tập chứng minh tam giác bằng nhau cho sinh viên Cao đẳng Sư phạm Toán học trường Cao đẳng Sư phạm Hòa Bình

c) Từ C kẻ CD PAB (DEF) Bµ B·CD (slt).

Xét BME và CMD , có:
B·ME  C·MD (đối đỉnh)

MB  MC (gt)  BME  CMD(g.c.g)

Bµ B·CD (slt)

 BE  CD (hai cạnh tương ứng) (*)

+ Lại có: Eµ1  C·DF (cặp góc đồng vị) (4)
Do đó từ (3) và (4)  C·DF  Fµ CDF cân tại C  CF = CD ( **)

Từ (*) và (**) suy ra BE = CF (đpcm).

2.3.4. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm. Từ điểm M trung điểm
của AB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB nó cắt BC tại D. Trên tia AD lấy
điểm E sao cho AE = BC. Tính độ dài đoạn thẳng BE.
Bài 2: Cho tam giác ABC (AC > AB). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng
BC. Qua B và C vẽ các đường thẳng BK và CH cùng vuông góc với tia AI
(các điểm K và H thuộc tia AI). Chứng minh rằng CK // BH.
Bài 3: Cho tam giác ABC, lấy một điểm E trên cạnh BC, kẻ ED PAB ,
EM PAC ( D AC, M  AB). Chứng minh rằng hai đoạn thẳng AE và MD cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Bài 4: Cho tam giác ABC, µA  120o . BN và CM lần lượt là các đường phân
giác của Bµ và Cµ. Chứng minh rằng BM + CN < BC.
Bài 5: Cho tam giác ABC. Các đường phân giác của góc ngoài tại B và tại C
cắt nhau ở K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt đường thẳng AB
tại E. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt đường thẳng AC tại F.
Chứng minh rằng KE = KF.
Bài 6: Cho tam giác ABC có µA  120o . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao
cho ·ACD  ·ACB . Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho ·ABE  ·ABC .
Chứng minh rằng AD = AE.

51

Bài 7: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và
song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt
BC ở F. Chứng minh rằng:

a) AD = EF.
b) ADE  EFC.
c) AE = EC.
Bài 8: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
AD  AB. Trên tia đối của tía AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Một đường
thẳng đi qua A cắt cạnh DE và BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:
a) BCPDE .

b) AM = AN.
Bài 9: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC.
Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:

a) DB = CF.
b) BDC  FCD.
c) DE PBC và DE = 1 BC.

2

Bài 10: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho
AD  BE . Qua D và E, vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC
theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng DM + EN = BC.

Hướng dẫn: Qua N, kẻ đường thẳng song song với AB.
Bài 11: Cho tam giác ABC có µA  60o . Các tia phân giác của góc B, C cắt
nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng ID = IE.

Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác của góc BIC.
Bài 12: Cho tam giác ABC
Bài 13: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của
tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm
đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).

a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: ENPFM .

52

Bài 14: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Đường thẳng đi qua M
và song song với AC, cắt AB ở E. Gọi I là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng:

a) AD = ME.
b) Ba điểm A, I, M thẳng hàng.
Bài 15: Cho tam giác ABC. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác
vuông cân tại A là ABE và ACF. Vẽ AH vuông góc với BC. Đường thẳng AH
giao EF tại O. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Bài 16: Cho tam giác ABC cân đáy BC, B·AC =200. Trên cạnh AB lấy điểm E
sao cho B·CE =500. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho C·BD =600. Qua D kẻ
đường thẳng song song với BC,nó cắt AB tại F. Gọi O là giao điểm của BD
và CF.
a) Chứng minh AFC  ADB.
b) Chứng minh OFD và OBC là các tam giác đều.
c) Tính số đo góc EOB.
d) Chứng minh EFD  EOD .
e) Tính số đo góc BDE.
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Lấy điểm D thuộc cạnh
AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Đường thẳng đi qua D và
vuông góc với BE cắt đường thẳng CA ở K. Chứng minh rằng AK = AC.

53

KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận

Sau một thời gian nghiên cứu tôi đã hoàn thành đề tài “Xây dựng hệ
thống bài tập chứng minh tam giác bằng nhau cho sinh viên Cao đẳng Sư
phạm Toán học trường Cao đẳng Sư phạm Hòa Bình” và đề tài đã thu được
một số kết quả sau:

- Đã đưa ra được các cơ sở lí luận của hệ thống bài tập chủ đề: “Chứng
minh tam giác bằng nhau”.

- Xây dựng được hệ thống bài tập chứng minh tam giác bằng nhau, theo
hướng phân dạng bài toán cho SV.

- Nếu sử dụng tốt hệ thống bài tập theo hướng phân dạng bài toán đã
nêu trong đề tài thì SV sẽ hứng thú trong việc giải toán chứng minh tam giác
bằng nhau nói riêng, cũng như chứng minh các hình bằng nhau trong hình học
nói chung và kết quả của việc giải toán sẽ được nâng lên.

Từ những kết quả thu được cho phép tôi xác nhận giả thuyết khoa học
của đề tài là chấp nhận được và có tính hiệu quả.
2. Kiến nghị

- Việc sử dụng hệ thống bài tập theo hướng phân dạng bài toán còn phụ
thuộc vào nội dung kiến thức của từng bài; phụ thuộc vào trình độ tri thức
chuyên môn, năng lực sư phạm cũng như thái độ nghệ nghiệp của GV. Hơn
nữa, nó còn phụ thuộc vào trình độ nhận thức của SV, đặc biệt với đối tượng
SV trung bình trở xuống khả năng lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm
nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn đối với dạng toán chứng minh tam
giác bằng nhau. Do vậy cần có thời gian và vận dụng linh hoạt, thường xuyên,

kiên trì.
- Thông qua hệ thống bài tập SV có điều kiện để vận dụng những kiến

thức đã học và biến những nội dung tri thức đã học thành kiến thức của chính
mình. Chính vì vậy, bản thân mỗi GV cần nâng cao nhận thức và kĩ năng sử
dụng các hệ thống bài tập, biết cách vận dụng các hệ thống bài vào quá trình
giảng dạy; phải thường xuyên, liên tục tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh

54

nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo có liên quan; GV cần có sự chủ động, có
kế hoạch trong từng ngày, từng giờ lên lớp.

- Việc vận sụng hệ thống bài tập chứng minh tam giác bằng nhau cho
SV ngành sư phạm toán là một vấn đề cần thiết trong công tác dạy học toán
nói chung và dạy học hình học nói riêng. Vì vậy, tác giả mong muốn nhà
trường có hình thức phổ biến, trao đổi đề tài tới đông đảo GV, SV ngành Sư
phạm Toán trong trường.

55