FUNGSI TRIGONOMETRI (Murid)

SEKTOR PEMBELAJARAN
JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PERAK

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

PANDUAN PENGGUNAAN MODUL

1. Pembinaan modul ini adalah di atas inisiatif Sektor Pembelajaran Jabatan
Pendidikan Negeri Perak bersama guru-guru Matematik Tambahan di negeri
Perak Darul Ridzuan dalam usaha membantu guru-guru Matematik Tambahan
melaksanakan proses PdP Matematik Tambahan khasnya selepas Perintah
Kawalan Pergerakan (PKP) berakhir.

2. Objektif penyediaan modul adalah untuk membantu guru-guru melaksanakan
PdP Matematik Tambahan dalam tempoh yang terhad selepas PKP berakhir.
Guru-guru boleh menggunakan nota ringkas, contoh dan latihan pengukuhan
yang disediakan bagi membantu murid-murid untuk menguasai konsep
Matematik Tambahan. Selain daripada itu, modul ini boleh digunakan oleh guru
dan murid sebagai bahan pembelajaran akses kendiri.

3. Bahan yang terdapat di dalam modul adalah selaras dengan Rancangan
Pelajaran Tahunan dan Huraian Sukatan Pelajaran (HSP) – bagi tingkatan 5
dan Dokumen Standard Kurikulum Dan Pentaksiran (DSKP) – bagi tingkatan
4.

4. Setiap modul disusun mengikut bab/tajuk bagi tingkatan 4 (Bab 4 hingga Bab
10) dan tingkatan 5 (Bab 4 hingga Bab 10).

5. Modul ini mengandungi nota ringkas, tips-tips penting, contoh soalan, latihan
pengukuhan (yang dipadankan dengan soalan dalam buku teks) dan kod QR
kepada soalan tambahan pelbagai aras kesukaran supaya dapat membantu
murid untuk memahami konsep dengan lebih jelas.

6. Soalan latihan yang disediakan tidak kesemuanya menepati format SPM
sebenar. Jawapan yang diberikan adalah cadangan jawapan sebagai panduan
murid dan guru.

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 1

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

5 FUNGSI TRIGONOMETRI

KOMPONEN: TRIGONOMETRI

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif dalam Darjah dan Radian

Murid akan dapat:
5.1.1 Mewakili sesuatu sudut positif yang melebihi 360 atau 2π radian pada

suatu gambar rajah bulatan.
5.1.2 Mewakili sesuatu sudut negatif pada suatu gambar rajah bulatan.

SUDUT POSITIF DAN SUDUT NEGATIF

Sudut Positif dan Sudut Negatif

Sudut Positif Sudut Negatif

memutarkan garis OA memutarkan garis OA
LAWAN arah jam IKUT arah jam
pada asalan O pada asalan O
dari paksi-x positif
dari paksi-x positif

Contoh 1(a) Contoh 1(b)
Sudut Positif Sudut Negatif

y y

LAWAN
arah jam

x x
O
IKUT
arah jam

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 2

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 2

Wakilkan setiap sudut berikut dalam satah Cartes

(a) 510 (b) 2 2 π radian
9

Penyelesaian:

Sudut Positif Langkah-langkah wakilkan
sudut pada Satah Cartes
dalam satah Cartes
yang melebihi 1. Lakar Satah Cartes dengan
4 sukuan
atau radian
2. Tentukan kedudukan sudut
pada sukuan.

3. Contoh 2(a)

Sudut pada Sukuan II
Sudut rujukan = 30°
4. Contoh 2(b)

Sudut pada Sukuan IV
Sudut rujukan =

Sudut Negatif Tips Menukar Sudut
Darjah ke Radian
dalam satah Cartes
yang kurang daripada

atau radian

***************
Radian ke Darjah

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 3

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
LATIHAN PENGUKUHAN 1

1 Wakilkan setiap sudut berikut dalam satah Cartes.

(a) 245 (b) 319

(c) 14 π radian (d)  17 π radian
9 12

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 1, m/s 116 (Soalan 1 – 2)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 4

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.2 Enam Fungsi Trigonometri bagi Sebarang Sudut

Murid akan dapat:
5.2.1 Mentakrifkan sinus, kosinus dan tangen bagi sebarang sudut dalam satah

Cartes.

SINUS, KOSINUS, TANGEN SIN = SOH KOS = CAH TAN = TOA

Bulatan unit, j  1

y

j
y

θ
x

S P (– x, y) P (x, y) A

II θ θ I
θ x
III
P (– x, – y) θ IV

T P (x, – y) K

sin   y
kos   x
tan   y

x

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 5

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 3

Diberi bahawa sin  7 dan  adalah sudut cakah.

25

Cari nilai

(a) tan (b) kos 

Langkah-langkah Penyelesaian

Langkah 1: Tanda kedudukan sudut
Langkah 2: Nilai sin positif  Sukuan I dan II
Sudut cakah  Sukuan II
Oleh itu, sudut berada pada Sukuan II
Lengkapkan panjang sisi
Gunakan Teorem Pythagoras

Penyelesaian:

LATIHAN PENGUKUHAN 2

1 Jejari bagi sebuah bulatan yang berpusat O ialah 25 unit. P ialah satu titik yang
bergerak pada lilitan bulatan itu dan garis OP mendirikan sudut θ kepada paksi-x

positif.

Cari nilai bagi sin , kos  dan tan bagi setiap titik P yang berikut:

(a) P 24, 7 (b) P 24, 7

2 Diberi sin   15 , tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, hitung nilai-nilai yang
17

mungkin bagi tan .

3 Diberi kos    4 dan tan  0 tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, hitung
5

nilai yang mungkin bagi sin .

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 2, m/s 118 (Soalan 1 – 4)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 6

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.2 Enam Fungsi Trigonometri bagi Sebarang Sudut

Murid akan dapat:
5.2.2 Mentakrifkan kotangen, sekan dan kosekan bagi sebarang sudut dalam satah

Cartes.

KOTANGEN, SEKAN DAN KOSEKAN SALINGAN BAGI TANGEN, KOSINUS DAN
SINUS

Tips penting:
 tanda bagi nisbah trigonometri adalah sama
 tanda bagi kosek positif pada Sukuan I dan II
 tanda bagi sek positif pada Sukuan I dan IV
 tanda bagi kot positif pada Sukuan I dan III

Tahukah Anda dan kot   kos 
sin 
tan   sin
kos 

Contoh 4

Diberi A ialah sudut refleks dan kos A   12 . Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi
13

(a) kosek A (b) kot A

Langkah-langkah Penyelesaian

Langkah 1: Tanda kedudukan sudut -12
Langkah 2: Sudut refleks  Sukuan III dan IV A
Nilai kos negatif  Sukuan II dan III
Oleh itu, sudut berada pada Sukuan III -5
Lengkapkan panjang sisi 13
Gunakan Teorem Pythagoras

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 7

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Nota:

Sudut Pelengkap Sukuan I kos   sin 90  
 sek   kosek 90  
0    90 kot   tan 90  
90 
sin  kos 90  

kosek   sek 90  

tan  kot 90  

Sukuan II Sukuan III Sukuan IV

90   180 180    270 270    360
Sudut rujukan  180  Sudut rujukan   180 Sudut rujukan  360 

sin  sin 180   sin  sin  180 sin  sin 360  

kos    kos180   kos    kos 180 kos   kos 360  

tan   tan 180   tan  tan  180 tan   tan 360  

Contoh 5

Diberi sin 55  p , dengan keadaan p  0 , cari nilai bagi setiap fungsi trigonometri berikut

dalam sebutan p.

(a) kos 35 (b) kosek 55

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 8

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 6
Diberi kos A  q , dengan 0  A  90 , cari nilai bagi setiap fungsi trigonometri berikut dalam

sebutan q.

(a) kos 180  A (b) sek 360  

Penyelesaian:

LATIHAN PENGUKUHAN 3

1 Diberi kos x   24 dan sin x  0 . Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari nilai
25

bagi

(a) kosek x (b) kot x

2  ialah sudut tirus dan kot   4 . Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari
3

nilai bagi

(a) kos 90   (b) sek 360  

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 3, m/s 120 – 121 (Soalan 1 – 5)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 9

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.2 Enam Fungsi Trigonometri bagi Sebarang Sudut

Murid akan dapat:
5.2.3 Mencari nilai enam fungsi trigonometri bagi sebarang sudut

SUDUT-SUDUT KHAS
NISBAH TRIGONOMETRI BAGI SUDUT-SUDUT KHAS

Segitiga sama sisi  30 60
Sudut 30, 60 sin
kos  1 3
2 tan 2 2
3 1
60 2 2
1
1 3 3

Segitiga kaki sama 60 45
Sudut 45 sin 1
kos  2
1 tan 1
2
1
1

Contoh 7

Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari nilai bagi

(a) sek 240 (b) tan 7 π
4

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 10

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
LATIHAN PENGUKUHAN 4

1 Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari nilai bagi

(a) tan 480 (b) kosek 135

(c) kot 25 π (d) sin 1 π  tan 3 π
6 64

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 4, m/s 123 (Soalan 3)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 11

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.2 Enam Fungsi Trigonometri bagi Sebarang Sudut

Murid akan dapat:
5.2.4 Menyelesaikan persamaan trigonometri yang mudah

Contoh 8
Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0  x  360 :
(a) kos x  0.7880
(b) 5sin 2x  3

(c) 2 kot  x  60  3  0

Langkah-langkah Penyelesaian

Contoh 8(a)

Langkah 1: Tanda kedudukan sudut   38
Nilai kos negatif  Sukuan II dan III

Sudut dalam julat  0  x  360

(*Jika 2x, tukar julat jadi 0  2x  720 )

Langkah 2: Dapatkan sudut rujukan di Sukuan I

  38

Langkah 3: Sudut pada Sukuan II dan Sukuan III

Sukuan II : x  180  38

Sukuan III : x  180  38

Langkah 4: Semak jawapan dan pastikan sudut berada dalam julat yang diberi.

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 12

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 9
Selesaikan persamaan trigonometri 2 kos x 1  sek x bagi 0  x  360 .
Penyelesaian:

LATIHAN PENGUKUHAN 5
1 Selesaikan persamaan trigonometri kos 2x  0.5592 bagi 0  x  360 .

2 Selesaikan persamaan trigonometri sin  x  30  kos 120 bagi 0  x  360 .

3 Selesaikan persamaan trigonometri tan  kot 4 π  0 bagi 0    2π .

9
4 Selesaikan persamaan trigonometri 2 tan x  3 kot x  5 bagi 0  x  360 .

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 5, m/s 126 (Soalan 1 – 5)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 13

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen

Murid akan dapat:
5.3.1 Melukis dan melakar graf untuk fungsi trigonometri berikut :

y = c + a sin bx
y = c + a kos bx
y = c + a tan bx

Graf Fungsi Trigonometri

Graf sinus Graf kosinus Graf Tangen

CIRI-CIRI GRAF FUNGSI TRIGONOMETRI SINUS, KOSINUS DAN TANGEN

Graf Sinus Graf Kosinus Graf Tangen

Satu fungsi berkala Satu fungsi berkala dengan Satu fungsi berkala dengan
dengan kala 3600 atau 2π kala 3600 atau 2π radian kala 1800 atau π radian
radian
Nilai maksimum = 1 Nilai maksimum = tiada
Nilai maksimum = 1 Nilai minimum = - 1 Nilai minimum = tiada
Amplitud = 1 Menghampiri garis-garis
Nilai minimum = - 1 menegak, asimptot bila x =
90°, 270° dan sebagainya
Amplitud = 1

Contoh 10
Lengkapkan jadual dan lakarkan graf y  sin x untuk 0  x  360 atau 0  x  2π .

Penyelesaian: 90° 180° 270° 360°
x 0°

y = sin x

x 0 atau
y = sin x π π 3π 2π
22

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 14

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Tip Penting:
1π  180, 2π  360

LATIHAN PENGUKUHAN 6
1 Lengkapkan jadual dan lakarkan graf yang berikut untuk 0  x  360 atau

0  x  2π .
(a) y  kos x
(b) y  tan x

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 6, m/s 131 (Soalan 1)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 15

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen

Murid akan dapat:
5.3.1 Melukis dan melakar graf untuk fungsi trigonometri berikut :

y = c + a sin bx
y = c + a kos bx
y = c + a tan bx

MENENTUKAN AMPLITUD DAN KALA BAGI GRAF sin x, kos x DAN tan x

Tip Penting:
y = c + a sin bx

dengan keadaan
a = amplitud, dan
b = kala lengkap setiap 360° atau 2π radian

Contoh 11
Tentukan amplitud dan kala bagi graf y  sin x yang berikut.

Penyelesaian:

LATIHAN PENGUKUHAN 7

1 Tentukan amplitud dan kala untuk graf-graf berikut:

(a) y  kos x (b) y  tan x

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 16

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

(c) y  2sin x (d) y  3kos 2x

(e) y  2 tan 2x

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 6, m/s 131 (Soalan 3)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 17

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen

Murid akan dapat:
5.3.1 Melukis dan melakar graf untuk fungsi trigonometri berikut :

y = c + a sin bx
y = c + a kos bx
y = c + a tan bx

MELAKAR GRAF FUNGSI TRIGONOMETRI DALAM BENTUK y = c + a sin bx, y =
c + a kos bx DAN y = c + a tan bx

Melakar graf fungsi trigonometri berbentuk y  c  a sin bx
y  c  a kos bx
y  c  a tan bx

di mana a, b dan c adalah pemalar, a  0 dan b  0 .

Contoh 12
Lakar graf y  3sin x untuk 0  x  2π .

Penyelesaian:

x 0 π π 3π 2π
22

y  3sin x

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 18

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

LATIHAN PENGUKUHAN 8

1 Lakar graf fungsi trigonometri berikut untuk 0  x  2π atau 0  x  360 .
(a) y  2 kos x
(b) y  sin x 1
(c) y  kos x 1
(d) y  sin 2x
(e) y  tan 2x
(f) y  sin x
(g) y   kos x
(h) y  sin x

(i) y  kos x

2 Lakar graf fungsi trigonometri berikut untuk 0  x  2π atau 0  x  360 .
(a) y  2sin 2x
(b) y  3sin 2x  3

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 6, m/s 131 (Soalan 2 dan 4)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 19

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen

Murid akan dapat:
5.3.2 Menyelesaikan pelbagai persamaan yang berkaitan dengan ciri-ciri graf

fungsi trigonometri yang telah dilukis atau dilakarkan.

Contoh 13
Lakar graf bagi y   1 kos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

2
Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari
bilangan penyelesaian bagi persamaan π  kos x  0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

2x
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 20

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 21

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

LATIHAN PENGUKUHAN 9

1 Lakar graf bagi y   tan 2x untuk 0 ≤ x ≤ π.

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 3x  tan 2x  0 untuk 0 ≤ x ≤ π.
π

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

2 Lakar graf bagi y  2sin 2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2 sin 2x  2x  2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
π

(a) Tentukan nilai amplitudnya.

(b) Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

3 Lakar graf y  3 kos 2x untuk 0  x  3π .
22

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai

untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4 x  kos 2x  3 untuk
3π 2

0  x  3π .
2

(a) Nyatakan bilangan kala graf y  3 kos 2x .
2

(b) Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

4 Lakar graf y  kos 2x untuk 0° ≤ x ≤ 180°.

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai
untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2sin2 x  2  x untuk

180
0  x  180.
Nyatakan kala dan bilangan penyelesaian itu.

5 Lakar graf bagi y  2sin x  4 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2sin x  3x 2 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
2π

Nyatakan amplitud graf y  2sin x  4 dan bilangan penyelesaian itu.

6 Lakar graf bagi y  3 kos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
2

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 3π kos x  x  2π untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.
Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 7, m/s 132 (Soalan 1 – 3)
Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 8, m/s 134 (Soalan 1 – 2)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 22

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.4 Identiti Asas

Murid akan dapat:
5.4.1 Membuktikan identiti asas:

sin2 A  kos2 A  1
sek2 A  1 tan2 A
kosek2 A  1 kot2 A

Identiti Asas

MEMBUKTIKAN IDENTITI ASAS

x2  y2  j2

P x2  y2  j2
j2 j2 j2
Daripada Teorem
Pythagoras 2 2
 
j y  x    y  1
N  j  j
  
Ox
kos2   sin2   1

maka,

sin2θ  kos2θ  1

Bahagikan sin2  kos2   1 dengan sin2 Bahagikan sin2  kos2   1 dengan kos2 
sin2   kos2   1 sin2   kos2   1
sin2  sin2  sin2  kos2  kos2  kos2 
maka
tan2  1  sek2 
1 kot2θ  kosek2θ maka

1 tan2θ  sek2θ

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 23

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.4 Identiti Asas

Murid akan dapat:
5.4.2 Menggunakan identiti asas untuk membuktikan identiti trigonometri yang

lain

MEMBUKTIKAN IDENTITI TRIGONOMETRI DENGAN MENGGUNAKAN
IDENTITI ASAS

TIP!

Dalam pembuktian identiti trigonometri, kita boleh
cuba mempermudah ungkapan yang lebih kompleks
kepada ungkapan yang lebih mudah.

Contoh 14

Buktikan setap identiti trigonometri berikut:

(a) kot2  sin2   1 2sin2  (b) kosek y  sin y  kot y kos y

Penyelesaian:

LATIHAN PENGUKUHAN 10 24

1 Buktikan setiap identiti berikut:

(a) tan Atan A  kot A  sek2 A  2

(b) 1 sin2 A  2  kos2 A
(c) sek2 x  kosek2 x  sek2 x kosek2 x
(d) kosek2 A  kot2 A  2 kosek2 A 1
(e) 1  1  2 kot x kosek x

1 kos x 1 kos x
(f) 1  1  2sek2 y

1 sin y 1 sin y
Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 9, m/s 136 (Soalan 1)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.4 Identiti Asas

Murid akan dapat:
5.4.3 Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan menggunakan identiti asas.

MENYELESAIKAN PERSAMAAN TRIGONOMETRI MENGGUNAKAN IDENTITI ASAS

Contoh 15

(a) Buktikan 21  2sek x .
sek x  tan x sek x  tan x

(b) Seterusnya, tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, selesaikan, dalam sebutan π,

persamaan trigonometri 2  1  2 2  0 bagi  π  x  π.
sek x  tan x sek x  tan x

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 25

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
LATIHAN PENGUKUHAN 11

1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk 0    360 .

(a) sin2   kos  1 (b) 2 kot2   kosek2   2 kot  2

(c) sek2   tan2   4 (d) 3 kosek  4   1
sin2 

(e) kos2 2  3sin 2  3 (f) tan  2  30  kos  2  30
2

2 (a) Buktikan 1  1  2 kot2  .
1 sek 1 sek

(b) Seterusnya, selesaikan persamaan trigonometri 1  1  3kot 1
1 sek 1 sek

untuk 0    360 .

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 10, m/s 137 (Soalan 1 – 3)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 26

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.5 Rumus bagi sin( A  B), kos( A  B), tan( A  B), sin 2A, kos 2A, dan tan 2A

Murid akan dapat:
5.5.1 Membuktikan identtiti trigonometri dengan menggunakan rumus

penambahan bagi sin( A  B),kos( A  B), tan( A  B),

RUMUS PENAMBAHAN ATAU RUMUS SUDUT MAJMUK

sin  A  B  sin Akos B  kos Asin B kos  A  B  kos Akos B  sin Asin B
sin  A  B  sin Akos B  kos Asin B kos  A  B  kos Akos B  sin Asin B

tanA  B  tan A  tan B

1 tan A tan B

tanA  B  tan A  tan B

1 tan A tan B

Contoh 16

(a) Tunjukkan bahawa sin  A  B  sin  A  B  tan A .

2 kos Akos B

(b) Buktikan kos  x  45  kos  x  45   2 sin x .

(c) Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, tunjukkan bahawa tan105  3 1
.
1 3

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 27

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

LATIHAN PENGUKUHAN 12

1 Buktikan setiap identiti berikut

(a) 1  sin A sin B   kos A kos B   kot  A  B 
kos A kos B   
 sin  A  B 

(b) sek Asin  A  Bsek B  tan A  tan B

(c) kos A  B  kot B  tan A

sin B kos A

(d) kos B sin A  kos A  sin B kos A  sin A  sin  A  B  kos  A  B

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 11, m/s 139 – 140 (Soalan 1 – 5)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 28

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.5 Rumus bagi sin( A  B), kos( A  B), tan( A  B), sin 2A, kos 2A, dan tan 2A

Murid akan dapat:
5.5.2 Menerbitkan rumus sudut berganda bagi sin 2A, kos 2A, dan tan 2A

MENERBITKAN RUMUS SUDUT BERGANDA

Rumus sudut berganda bagi sinus

Daripada sin  A  B  sin Akos B  kos Asin B

Gantikan B  A :

sin  A  A  sin Akos A  kos Asin A

sin 2A  2sin Akos A

Rumus sudut berganda bagi kosinus

Daripada kos  A  B  kos Akos B  sin Asin B

Gantikan B  A :

kos  A  A  kos Akos A  sin Asin A

kos 2A  kos2 A  sin2 A

Gantikan sin2 A  1 kos2 A dalam kos 2A  kos2 A  sin2 A :

 kos 2A  kos2 A  1 kos2 A

 kos2 A 1 kos2 A
kos 2A  2 kos2 A 1

Gantikan kos2 A  1 sin2 A dalam kos 2A  kos2 A  sin2 A :

 kos 2A  1 sin2 A  sin2 A

 1 sin2 A  sin2 A
kos 2A  1 2sin2 A

Rumus sudut berganda bagi tangen

Daripada tan  A  B  tan A  tan B

1 tan A tan B

Gantikan B  A :

tan  A  A  tan A  tan A

1 tan A tan A

tan 2 A  1 2 tan A
 tan 2A

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 29

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

RUMUS SUDUT SEPARUH

sin  2sin 1  kos 1  2 tan 1 
22 2
tan 
kos  kos2 1   sin2 1  1 tan2 1 
22 2

 2 kos2 1  1
2

 1 2sin2 1 
2

Contoh 17
(a) Diberi kos  1 . Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari nilai bagi kos 2 dan

3
sek 2.
(b) Diberi kos  7 Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari nilai-nilai bagi sin 1 .

82

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 30

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
LATIHAN PENGUKUHAN 13

1 Diberi sin A  3 dengan A ialah sudut tirus. Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa
5

mencari nilai A.

(a) tan 2A (b) sin 2A (c) kos 2A

2 Diberi tan A   1 dan sin B  1 dengan A dan B berada di sukuan yang sama. Cari
23

nilai bagi setiap yang berikut tanpa mencari nilai A dan nilai B

(a) (i) tan 2A (ii) tan 4A A
(iii) tan

2

(b) (i) sek 2A (ii) kos 3A (iii) kos A
2

(c) (i) sin 4B (ii) sin 3B (iii) sin B
2

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 12, m/s 141 (Soalan 1 – 3)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 31

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.5 Rumus bagi sin( A  B), kos( A  B), tan( A  B), sin 2A, kos 2A, dan tan 2A

Murid akan dapat:
5.5.3 Membuktikan identiti trigonometri dengan menggunakan rumus penambahan

dan atau rumus sudut berganda.

MEMBUKTIKAN IDENTITI TRIGONOMETRI

Contoh 18

Buktikan setiap identiti trigonometri berikut.
(a) kos 2A 1   kot2 A

kos 2A 1

(b) sin  x  45sin  x  45   1 kos 2x

2

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 32

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
LATIHAN PENGUKUHAN 14

1 Buktikan setiap yang berikut:
(a) kos2 A  sin2 A  2 kot 2A
sin Akos A
(b) kos2 A 1  kos 2A  kos2 A

(c) tan A  tan Bsin Asin B  sin  A  B tan Atan B

(d) kosek 2A  tan A  kot 2A

2 Tunjukkan bahawa sin 2A  2sin Akos A .

3 Tunjukkan bahawa kos 2A  2 kos2 A 1 .

4 Tunjukkan bahawa tan 2A  2 tan A .
1  tan2 A

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 13, m/s 142 (Soalan 1 – 2)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 33

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Objektif Pembelajaran & Hasil Pembelajaran
5.5 Rumus bagi sin( A  B), kos( A  B), tan( A  B), sin 2A, kos 2A, dan tan 2A

Murid akan dapat:
5.5.4 Menyelesaikan persamaan trigonometri.

PENYELESAIAN PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, suatu
persamaan trigonometri yang rumit boleh
dipermudahkan terlebih dahulu menggunakan rumus
penambahan, rumus sudut berganda dan/atau rumus
sudut separuh.

Contoh 19

Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut
bagi 0  x  360 .
(a) 4sin x kos x 1  0
(b) 3tan 2x  2 tan x

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 34

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 20

Diberi kos A kos B  3 dan kos  A  B  1 , dengan A dan B ialah sudut tirus.

42

(a) Tunjukkan bahawa sin Asin B  1 dan kos  A  B  1.

4
(b) Seterusnya, cari

(i) dua persamaan linear dalam sebutan A dan B
(ii) nilai A dan nilai B

Penyelesaian:

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 35

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
LATIHAN PENGUKUHAN 15

1 Selesaikan persamaan 2 kos 2 15  1 untuk 0    360 .

2 Selesaikan persamaan sin 4  1 untuk 0    360 .
kos 2

3 Diberi sin A  k, 0  A  90 dan kos B  t, 90  B 180 . Cari dalam sebutan k
dan t bagi tan (A – B).

4 Selesaikan persamaan kos2 2  3sin 2  3 untuk 0    360 .

5 (a) Diberi sinx  y  3 . Tunjukkan bahawa tan x  4 tan y .
sinx  y 5

Seterusnya, jika tan y tan  x  y  1, cari nilai tan y untuk 90° < y < 180°.

(b) Selesaikan persamaan sin 2x  1 untuk 0  x  180 .
2 tan x

6 (a) Selesaikan persamaan 3 kos x  kos2 x untuk 0  x  360 .
2 sin x

(b) Buktikan bahawa tan A 1  tan A .
1 kot A

7 Selesaikan persamaan 4 kos x kos 2x  sin xsin 2x untuk 0  x  360 .

8 (a) Selesaikan persamaan sin x  kos x  1 untuk 0  x  180.
2

(b) Buktikan bahawa tan A  kot 2A  kosek 2A.

9 Tunjukkan bahawa sin  x  45 kos  x  45  1  sin2 x.

2

Rujuk Buku Teks: Penilaian Kendiri 14, m/s 144 (Soalan 1 – 5)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 36

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

SOALAN TAMBAHAN PELBAGAI ARAS
KESUKARAN

Sila imbas kod QR di bawah bagi mendapatkan soalan tambahan pelbagai aras kesukaran untuk
dicuba.

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 37

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
JAWAPAN

Latihan Pengukuhan 1
1 Melukis rajah

Latihan Pengukuhan 2 kos   24 tan    7
25 24
1 (a) sin   7
25 kos    24 tan   7
25 24
(b) sin   7
25

2 tan   15 , 15
88

3 sin   3
5

Latihan Pengukuhan 3 (b)  24
1 (a) 25 7

7 (b) 5
2 (a) 3 4

5

Latihan Pengukuhan 4 (b) 2 (c) 3 (d)  1
1 (a) 3 2

Latihan Pengukuhan 5

1 62,118, 242, 298
2 180,300

3 17 π, 35 π
18 18

4 71.57,153.43, 288.43,333.43

Latihan Pengukuhan 6
1 (a)

(b)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 38

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Latihan Pengukuhan 7 (b) amplitud = tiada, kala = 2
(d) amplitud = 3, kala = 2
1 (a) amplitud = 1, kala = 1
(c) amplitud = 2, kala = 1
(e) amplitud = tiada, kala = 4

Latihan Pengukuhan 8
1 (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 39

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
(g)

(h)

(i)

2 (a)

(b)

Latihan Pengukuhan 9 y  3x
1 π

y   tan 2x

3 bilangan penyelesaian. 40
Jabatan Pendidikan Negeri Perak

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
2

y  2sin 2x

y   2x  2
π

(a) Amplitud = 2 (b) 5 bilangan penyelesaian
3

y  2 x  9
π 4

9 y  3 kos 2x
4 2

(a) Bilangan kala = 1.5 (b) 3 bilangan penyelesaian

4

y  kos 2x

y  x 1
180

45° 90° 135° 180°

Bilangan kala = 1, 2 bilangan penyelesaian
5

y  2sin x  4

y   3x  6
2π

Amplitud = 2, 3 bilangan penyelesaian 41
Jabatan Pendidikan Negeri Perak

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

6 y  3 kos x
1.5 2

y   1 x 1
2π

4 bilangan penyelesaian

Latihan Pengukuhan 10
1 Pembuktian

Latihan Pengukuhan 11

1 (a) 0,90, 270,360 (b) 71.57,135, 251.57,315

(c) 50.77,129.23, 230.77,309.23 (d) 90,194.48,345.52

(e) 45, 225 (f) 60,150, 240,330

2 (a) Pembuktian (b) 116.57,135, 296.57,315

Latihan Pengukuhan 12
1 Pembuktian

Latihan Pengukuhan 13 (b) 24 (c) 7
1 (a) 24 25 25

7 (ii) 24 (iii) 2  5
2 (a) (i)  4 7 (iii) 0.2298
(iii) 0.9856
3 (ii)  2
(b) (i) 5 55 42

3 (ii) 23
27
(c) (i)  56 2
81

Latihan Pengukuhan 14
1 Pembuktian
2 Pembuktian
3 Pembuktian
4 Pembuktian

Latihan Pengukuhan 15

1 37.5,157.5, 217.5,337.5
2 15, 45, 75,135,195, 225, 255,315

3 kt  1 k2 1 t2 
t 1k2 k 1t2
4 45, 225

Jabatan Pendidikan Negeri Perak

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

5 (a)  1 (b) 30,90,150
3

6 (a) 33.69,90, 213.69, 270 (b) Pembuktian

7 39.23,90,140.77, 219.23, 270,320.77

8 (a) 24.295, 65.705 (b) Pembuktian

9 Pembuktian

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 43

MODUL #learning@home – MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

PENGHARGAAN

PENASIHAT

Hajah Rahimah binti Mohamed Timbalan Pengarah Pendidikan
(Sektor Pembelajaran)

Anas bin Mohammad Suffian Ketua Penolong Pengarah Kanan

Ahmad Rezauddin bin Hussein Ketua Penolong Pengarah

Khairul Farez bin Nahrawi PENYELARAS
Penolong Pengarah

PENGGUBAL

1. Rohaya binti Morat SM Sains Teluk Intan, Teluk Intan
2. Noranita binti Mohd Said SMK Bukit Jana, Kamunting
3. Muhammad Fazdhly bin Abdul Muttalib SMK Doktor Megat Khas, Ipoh
4. Abdul Nasir bin Abdul Rahman SMK Jalan Tasek, Ipoh
5. Ahmad Hilmi bin Hj Sabuki SMK Sultan Tajul Ariffin, Manong
6. Airil Iswan bin Mat Shamsuri SMK Anderson, Ipoh
7. Ding Bing Feng SMK Methodist (ACS), Sitiawan
8. Fatin Izzati binti Mohd Nasruddin SMK Ulu Bernam, Ulu Bernam
9. Hairul Rijal bin Haji Hafni SMK Horley Methodist, Teluk Intan
10. Haslina binti Saiddin SMK Pantai Remis, Pantai Remis
11. Ma Ai Hiong SMK Nan Hwa, Sitiawan
12. Muhamad Sharul Nizam bin Sarifhudin SMK Tun Abdul Razak, Selekoh
13. Norfaiezah binti Buyong SMK Bandar Behrang 2020
14. Norima binti Masa SMK Agama Slim River, Slim River
15. Nur Alifahtul Wahidah binti Musa SMK Proton City, Tanjung Malim
16. Soon Siew Wen SMK Seri Puteri, Ipoh

Jabatan Pendidikan Negeri Perak 44