ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎบี ทพที าโกรัส

มาตรฐานการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ทค่ี าดหวงั

มาตรฐาน ค 3.2 : ข้อ 1 1. อธิบายความสัมพนั ธ์ตามทฤษฎี
มาตรฐาน ค 6.1 : ข้อ 1 และ ข้อ 2 บทพที าโกรัสได้
มาตรฐาน ค 6.2 : ข้อ 1
มาตรฐาน ค 6.3 : ข้อ 1 2. ใช้ทฤษฎบี ทพที าโกรัสและบทกลบั
มาตรฐาน ค 6.4 : ข้อ 1 และ ข้อ 2 ในการให้เหตุผลและแก้ปัญหาได้
มาตรฐาน ค 6.5 : ข้อ 1

สาระการเรียนรู้
6.1 ทฤษฎบี ทพที าโกรัส (4 คาบ)
6.2 บทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรัส (4 คาบ)
6.3 การนาไปใช้ (2 คาบ)

พร้อมหรือยัง ? ถ้าพร้อมแล้ว กเ็ ร่ิมเรียนแล้วนะครับ

1

2 6.1 ทฤษฎีบทพที าโกรัส

MATH

Series

จุดประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ : นกั เรียนสามารถ
1. เขียนสมการแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ น
ท้งั สามของรูปสามเหล่ียมมุมฉากได้
2. หาความยาวของดา้ นใดดา้ นหน่ึงของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
เม่ือกาํ หนดความยาวของดา้ นสองดา้ นใหโ้ ดยใชท้ ฤษฎีบท
พีทาโกรัสได้

ด้านทกั ษะ / กระบวนการ : นกั เรียนมีความสามารถใน

1. การคิดคาํ นวณ

2. การแกป้ ัญหา

3. การใหเ้ หตุผล

4. การสื่อสาร การส่ือความหมาย และการนาํ เสนอ

5. การเช่ือมโยง

6. ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ด้านคุณลกั ษณะ : ปลกู ฝังใหน้ กั เรียน

1. มีความรับผดิ ชอบ

2. มีความสนใจใฝ่ รู้

3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวนิ ยั

4. มีความเช่ือมนั่ ในตนเอง

5. มีวิจารณญาณและทาํ งานอยา่ งเป็นระบบ

6. ตระหนกั ในคุณค่า และมีเจตคติที่ดีต่อวชิ า

คณิตศาสตร์

3

ทฤษฎบี ทพที าโกรัส

สมบัติของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก
ถา้ ABC เป็นสามเหล่ียมมุมฉากที่มี ACˆ B เป็นมุมฉาก ดงั รูป

B

c เรียก a และ b วา่ ………………………………………
a เรียก c วา่ ………………………………………………..

A bC

กจิ กรรมที่ 6.1 : ทกั ษะการแก้ปัญหา การสื่อสาร ส่ือความหมาย

และการนาเสนอ

1. ใหน้ กั เรียนสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลว้ วดั ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉากและเติมคาํ ตอบ
ลงในตารางที่กาํ หนดให้ โดยใชห้ น่วยเป็นเซนติเมตร เมื่อ a, b คือความยาวของดา้ นประกอบ
มุมฉาก c คือความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

ข้อที่ a b c a2 b2 c2 a2 + b2 c2 เท่ากบั a2 + b2 หรือไม่
1) 4 3
2) 6 8
3) 2.4 3.2

สร้างรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

ขอ้ ที่ 1) ขอ้ ที่ 2) ขอ้ ท่ี 3)

4

จากผลท่ีไดใ้ นกิจกรรมขา้ งตน้ เมื่อกาํ หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ีมี ACˆ B

เป็นมุมฉาก ดงั รูป B

ca

จะไดว้ า่ A bC
โดยที่ a และ b แทน ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก

c แทน ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

c2 = a2 + b2

ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ นท้งั สามของรูปสามเหล่ียมมุมฉากขา้ งตน้ เป็นไปตาม
สมบตั ขิ องรูปสามเหลย่ี มมุมฉากที่กล่าววา่

สรุป

สาหรับรูปสามเหลยี่ มมุมฉากใด ๆ กาลงั สอง ความยาวของด้านตรงข้าม
มุมฉาก เท่ากบั ผลบวกของกาลงั สองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

กจิ กรรมท่ี 6.2 : ทกั ษะการแก้ปัญหา การส่ือสาร ส่ือความหมาย

และการนาเสนอ

1. จงเขียนความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ นท้งั สามของรูปสามเหล่ียมมุมฉากตอ่ ไปน้ี

โดยใชส้ มบตั ิของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก โดยที่ตวั แปรแต่ละตวั และตวั เลขท่ีกาํ กบั ดา้ นเป็น

ความยาวของดา้ น

1) 2) p
xz n

ym
………………………………………………………………………………………………

5

3) r 4) 12

8 t a7

………………………………………………………………………………………………

5) 15 6)
b 9 24 26

c

………………………………………………………………………………………………

2. จาํ นวนที่กาํ หนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี เป็นความยาวของดา้ นประกอบมุมฉากของ

รูปสามเหล่ียมมุมฉาก จงหาความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

1) 3, 4 2) 9, 12

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

การหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 1 จงหาความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ในสามเหล่ียมมุมฉากท่ีกาํ หนดใหต้ อ่ ไปน้ี

A c=? วธิ ีทา จากสมบตั ิของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้
b=3 c2 = a2 + b2
= 42 + 32

C a=4 B = 16 + 9
= 25

ดงั น้นั c = 5

นน่ั คือ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก 5 หน่วย

6

ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ในสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีกาํ หนดใหต้ อ่ ไปน้ี

วธิ ีทา จากสมบตั ิของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก จะได้
A c2 = a2 + b2

b=8 c=? = 62 + 82
C a=6 B = ……………………
= ……………………

ดงั น้นั c = ……………………

นน่ั คือ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ……… หน่วย

ตัวอย่างที่ 3 จงหาความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่กาํ หนดใหต้ อ่ ไปน้ี

A วธิ ีทา จากสมบตั ิของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้
c2 = a2 + b2

b=8 c=? = ……………………
C a = 15 B = ……………………
= ……………………

ดงั น้นั c = ……………………

นนั่ คือ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ……… หน่วย

กจิ กรรมท่ี 6.3 : ทกั ษะการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การส่ือสารและการเช่ือมโยง

กาํ หนดรูปสามเหล่ียมมุมฉากและความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก จงหาความยาวของดา้ นตรงขา้ ม

มุมฉาก

1. x 2. 1.2
5 x

12 0.5
x2 = 52 + 122 x2 = 0.52 + 1.22
x2 = 25 + 144 x2 = ……………………..
x2 = 169 x2 = ……………………..
x = 13 x = ……………………..

3. 8 7
15 x 4. 0.4

x 0.3

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5. 7 6. x
24 1.2 1.6

x

……………………………………………………………………… x2 = 1.22 + 1.62……
………………………………………………………………………… = 1.44 + 2.56…………
…………………………………………………………………………= 4.00…
……………………………………………………………………… x = 2 ……………………
………………………………………………………………………………………………………

การหาความยาวของด้านต่าง ๆ

ตวั อย่างที่ 4 จงหาคา่ b ในสามเหล่ียมมุมฉากที่กาํ หนดใหต้ อ่ ไปน้ี

A วธิ ีทา จากสมบตั ิของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้
b=? c2 = a2 + b2
c = 13
C a=5 B หรือ b2 = c2 – a2
= 132 – 52

= 169 – 25
= 144
ดงั น้นั b = 12
นนั่ คือ ความยาวของดา้ น b คือ 12 หน่วย

8

ตัวอย่างที่ 5 จงหาความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปน้ี

A วธิ ีทา จากสมบตั ิของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก จะได้
b=6 c2 = a2 + b2
c = 10
C a=? B หรือ a2 = c2 – b2

= ……………
= ……………
= ……………
ดงั น้นั a = ……………
เพราะฉะน้นั ความยาวรอบรูป เท่ากบั …….หน่วย

เคลด็ (ไม่) ลบั ของการเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์
“ตาดู หูฟัง มือเขียน สมองคิด ปากถาม”

กจิ กรรมที่ 6.4 : ทกั ษะการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การส่ือสารและการเชื่อมโยง

กาํ หนดรูปสามเหล่ียมมุมฉากและความยาวของดา้ นสองดา้ น จงหาความยาวของดา้ นที่เหลือ

1. 2. 3.9
20 x
x

12 1.5

x2 = 202 – 122 x2 = 3.92 – 1.52
x2 = 400 – 144 x2 = ……………………..
x2 = 256 x2 = ……………………..
x = 16 x = ……………………..
ความยาวรอบรูป คือ 12 + 20 + 16 = 48 ความยาวรอบรูป คือ ……………=……

9

3. 8 4. 0.4
15 x x 0.3

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5. 12 6. 3.9
x

15 x 1.5

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

จากสมบตั ิของรูปสามเหลยี่ มมุมฉากท่ีกล่าววา่

สาหรับรูปสามเหลย่ี มมุมฉากใด ๆ กาลงั สอง ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
เท่ากบั ผลบวกของกาลงั สองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

สมบตั ิขา้ งตน้ น้ีเรียกวา่ ทฤษฎบี ทพที าโกรัส และเชื่อกนั วา่ นกั คณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ
พที าโกรัสเป็นผพู้ ิสูจนไ์ ดเ้ ป็นคนแรก

ซ่ึงความสมั พนั ธ์ของสามเหล่ียมมุมฉากที่ไดศ้ ึกษามาแลว้ เป็นท่ีรู้จกั กนั กวา่ 3,000 ปี มาแลว้
ในช่ือของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซ่ึงเชื่อกนั วา่ พที าโกรัสเป็นผพู้ สิ ูจน์ทฤษฎีน้ีในลกั ษณะของพ้นื ที่
สี่เหลี่ยมมุมฉาก ดงั ทฤษฎีบทท่ีวา่

10
“สาหรับรูปสามเหลยี่ มมุมฉากใด ๆ พนื้ ทขี่ องรูปสี่เหลยี่ มจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

เท่ากบั ผลบวกของพนื้ ทข่ี องรูปส่ีเหลย่ี มจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก”

C

AB

สรุปได้ว่า พ้นื ที่ของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉากเทา่ กบั ผลบวกของพ้นื ท่ีของ
รูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก 2 รูป

และถา้ ให้ ABC เป็นสามเหล่ียมมุมฉากที่มี ACˆ B เป็นมุมฉาก โดยที่มี a และ b แทน
ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก และ c แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ดงั รูป

B

ca

A bC
จากรูปจะไดว้ า่
c2 = a2 + b2
a2 = c2 – b2
b2 = c2 – a2

11

กจิ กรรมท่ี 6.5 : ทกั ษะการแก้ปัญหา การสื่อสาร ส่ือความหมาย

และการนาเสนอ

จงหาความยาวของดา้ นท่ีสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใชท้ ฤษฎีบทพีทาโกรัส

c หน่วย a หน่วย

b หน่วย

1. a = 7, b = 24 2. a = 30, c = 34

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

3. a = 21, c = 35 4. a = 18, b = 24

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5. a = 28, c = 35 6. a = 22, b = 120

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

อยากสูงต้องเขย่ง อยากเป็ นคนเก่งต้องขยนั

12 6.2 บทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรัส

MATH

Series

จุดประสงค์การเรียนรู้

ด้านความรู้ : นกั เรียนสามารถ

1. เขียนบทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้
2. พจิ ารณารูปสามเหลี่ยมเป็นรูป สามเหล่ียมมุมฉาก ไดต้ าม บท

กลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรัส

ด้านทกั ษะ / กระบวนการ : นกั เรียนมีความสามารถใน

1. การคิดคาํ นวณ

2. การแกป้ ัญหา

3. การใหเ้ หตุผล

4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาํ เสนอ

5. การเช่ือมโยง

6. ความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ด้านคุณลกั ษณะ : ปลกู ฝังใหน้ กั เรียน

1. มีความรับผิดชอบ

2. มีความสนใจใฝ่ รู้

3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินยั

4. มีความเชื่อมนั่ ในตนเอง

5. มีวิจารณญาณและทาํ งานอยา่ งเป็นระบบ

6. ตระหนกั ในคุณค่า และมีเจตคติที่ดีต่อวิชา

คณิตศาสตร์

13

บทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรัส

กจิ กรรมท่ี 6.6 : ทกั ษะการแก้ปัญหา การสื่อสารและการเช่ือมโยง

1. ใหน้ กั เรียนเขียนคาํ ตอบเติมลงในตารางใหส้ มบรู ณ์ เมื่อ กาํ หนดให้ a, b และ c เป็นความยาวของ
ดา้ นของรูปสามเหล่ียม

ข้อ a b c a2 + b2 a2 + b2 เท่ากบั c2 เป็ นสามเหลยี่ ม
36 + 64 c2 หรือไม่ มุมฉากหรือไม่
1) 6 8 10 เป็ น ไม่เป็ น
2) 6 12 13 เท่า ไม่เท่า
3) 9 12 15 100  
4) 7 15 14
5) 6 6.25 7.25
6) 1.4 3.6 4
7) 2.5 6 6.5
8) 4 6.5 8.5

2. จงวาดรูปสามเหล่ียมที่มีความยาวดงั ต่อไปน้ี พร้อมท้งั ตรวจดูวา่ มีมุมภายในสามเหล่ียมมุมใดเป็น
มุมฉาก
1) a = 3, b = 4 และ c = 5
a2 = ……………………….
b2 = ……………………….
a2 + b2 = …………………
c2 = ……………………….
a2 + b2 เทา่ กบั c2 หรือไม่…………………………
มีมุมภายในเป็ นมุมฉากหน่ึงมุมหรื อไม่………………………
2) a = 6, b = 8 และ c = 10
a2 = ……………………….
b2 = ……………………….
a2 + b2 = …………………
c2 = ……………………….

14

a2 + b2 เท่ากบั c2 หรือไม่…………………………
มีมุมภายในเป็ นมุมฉากหน่ึงมุมหรื อไม่………………………
3) a = 5, b = 5 และ c = 10
a2 = ……………………….
b2 = ……………………….
a2 + b2 = …………………
c2 = ……………………….
a2 + b2 เทา่ กบั c2 หรือไม่…………………………
มีมุมภายในเป็ นมุมฉากหน่ึงมุมหรื อไม่………………………
4) a = 6, b = 5 และ c = 11
a2 = ……………………….
b2 = ……………………….
a2 + b2 = …………………
c2 = ……………………….
a2 + b2 เท่ากบั c2 หรือไม่…………………………
มีมุมภายในเป็ นมุมฉากหน่ึงมุมหรื อไม่………………………

ผลที่ไดจ้ ากกิจกรรมท้งั สองกิจกรรมน้ีสามารถสรุปไดว้ า่
“ถ้ารูปสามเหลย่ี ม ABC ทม่ี ดี ้านยาว a, b และ c หน่วย และ c2 = a2 + b2 จะได้ว่ารูปสามเหลยี่ ม
ABC เป็ นรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก และมดี ้านทยี่ าว c เป็ นด้านตรงข้ามมุมฉาก”
ขอ้ สรุปขา้ งตน้ เป็นจริงตาม บทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรัส ที่กล่าววา่

สาํ หรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถา้ กาํ ลงั สองของ ความยาวของดา้ นดา้ นหน่ึงเทา่ กบั ผลบวก
ของกาํ ลงั สองของความยาวของดา้ นอีกสองดา้ น แลว้ รูปสามเหลี่ยมน้นั เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

บทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นการนาํ ผลของทฤษฎีบทพที าโกรัสมาเป็นเหตุ และ
นาํ เหตุมาเป็นผลซ่ึงอธิบายไดด้ งั น้ี

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส มีเหตุและผล ดงั น้ี
เหตุ : มีรูปสามเหล่ียมรูปหน่ึง เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ผล : กาํ ลงั สองของ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก เท่ากบั ผลบวกของกาํ ลงั สองของ
ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉากของรูปสามเหล่ียม

15

เม่ือนาํ ผลขา้ งตน้ มาเป็นเหตุ และเหตุมาเป็นผล ก็จะไดบ้ ทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ดงั กล่าวมาขา้ งตน้

สาํ หรับการพิสูจนบ์ ทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรัส สามารถศึกษาไดท้ ี่หน้ า 26 – 27 ของ
หนงั สือเรียน

ตวั อย่างที่ 1 กาํ หนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดงั รูป จงแสดงวา่ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
C

12

A 9D 16 B

วธิ ีทา จากรูปพบวา่ CDB เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จะได้ BC2 = CD2 + DB2
= 122 + 162
= 144 + 256
ดงั น้นั BC2 = 400
จากรูปพบวา่ ADC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
จะได้ AC2 = CD2 + AD2
= 122 + 92
= 144 + 81
ดงั น้นั AC2 = 225
เพราะฉะน้นั AC2 + BC2 = 225 + 400
= 625
และ AB2 = (AD + DB)2
= (9 + 16)2
= 625
ดงั น้นั AB2 = AC2 + BC2
นนั่ คือ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีมี ACˆ B เป็นมุมฉาก

16

กจิ กรรมที่ 6.7 : ทกั ษะการแก้ปัญหา การสื่อสารและการเช่ือมโยง

1. กาํ หนดความยาวดา้ นท้งั สาม ของรูปสามเหล่ียมต่าง ๆ ดงั น้ี จงหาวา่ รูปสามเหล่ียมในขอ้ ใดเป็น

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

1) 6, 8, 10 2) 4, 6, 8

ให้ a = 6 จะได้ a2 = 36 ………………………………………………

ให้ b = 8 จะได้ b2 = 64 ………………………………………………

ให้ c = 10 จะได้ c2 = 100 ………………………………………………

และ a2 + b2 = 36 + 64 = 100 ………………………………………………

ดงั น้นั a2 + b2 = c2 ………………………………………………

เพราะฉะน้นั เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ………………………………………………

3) 8, 10, 12 4) 8, 17, 15

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

5) 1, 4, 5 6) 0.3, 0.4, 0.5

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

17

2. กาํ หนดความยาวของดา้ นท้งั สามของรูปสามเหล่ียม จงพจิ ารณาวา่ รูปสามเหล่ียมในแต่ละขอ้

ตอ่ ไปน้ีเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ …………………………………………………
1) A

…………………………………………………
24 …………………………………………………

B 18 D 32 C …………………………………………………
…………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
2) A

60

B 25 E 144 C

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

18 6.3 การนาไปใช้

MATH

Series

จุดประสงค์การเรียนรู้

ด้านความรู้ : นกั เรียนสามารถ

1. นาํ ทฤษฎีบทพที าโกรัสและบทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโ กรัส
มาใช ในการแก ป ญหาได้

ด้านทกั ษะ / กระบวนการ : นกั เรียนมีความสามารถใน

1. การคิดคาํ นวณ

2. การแกป้ ัญหา

3. การใหเ้ หตุผล

4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาํ เสนอ

5. การเช่ือมโยง

6. ความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ด้านคุณลกั ษณะ : ปลกู ฝังใหน้ กั เรียน

1. มีความรับผิดชอบ

2. มีความสนใจใฝ่ รู้

3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินยั

4. มีความเช่ือมนั่ ในตนเอง

5. มีวจิ ารณญาณและทาํ งานอยา่ งเป็นระบบ

6. ตระหนกั ในคุณค่า และมีเจตคติที่ดีต่อวิชา

คณิตศาสตร์

19

การนาทฤษฎบี ทพที าโกรัสและบทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรัสไปใช

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาความยาวของดา้ นท่ีเหลือ A3B
A3B

3 33
7 EC
4
C
x
x

DD

วธิ ีทา 1. ลาก CE ต้งั ฉาก AD ท่ี E
ตวั อย่างท่ี 2
2. จะได้ ABCD เป็นส่ีเหลี่ยมจตั ุรัส และ DEC เป็นสามเหล่ียมมุมฉาก

3. ดงั น้นั EC = 3 และ ED = 4

4. เพราะฉะน้นั DC2 = 32 + 42

= 9 + 16

= 25

DC = 5

นนั่ คือ ความยาวของดา้ นท่ีเหลือยาวเท่ากบั 5 หน่วย

จากรูป ความยาวของดา้ น BD เป็นเทา่ ใด G
H C4
D

8
EF
A 6B
วธิ ีทา จากรูปจะพบวา่ AD = BD = 8
ดงั น้นั BD2 = AD2 + AB2

= …………………..
= …………………..
= …………………..
BD = …………………..
นนั่ คือ ความยาวของดา้ น BD ยาวเทา่ กบั ………………….. หน่วย

20

กจิ กรรมท่ี 6.8 : ทกั ษะการแก้ปัญหา การนาเสนอ และการเชื่อมโยงความรู้

1. จากรูปจงหาความยาวของดา้ น DE C
13

B 11
6

DE

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

2. จงหาพ้นื ท่ีของรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน ABCD B
A 10

5x

D3 C

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

21

3. เราใชค้ วามยาวของเส้นทแยงมุมของหนา้ จอโทรทศั น์ เพอ่ื บอกขนาดของโทรทศั น์

ถา้ โทรทศั น์เครื่องหน่ึงมีหนา้ จอที่วดั ตามแนวเส้นทแยงมุมได้ 25 นิ้ว และหนา้ จอสูง 24 นิ้ว

จงหาวา่ หนา้ จอโทรทศั นย์ าวเทา่ ไร
A ……………………………………………………………

24 นิ้ว 25 นิ้ว ……………………………………………………………
……………………………………………………………

B C ……………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
4. นกั สาํ รวจ คนหน่ึงต้งั กลอ้ งส่องอยทู่ ี่จุด C และปรับกลอ้ งจนทาํ ใหเ้ ห็น ABˆ C เป็นมุมฉาก

ดงั รูป วดั ระยะห่างระหวา่ งจุด A และจุด C ได้ 160 เมตร วดั ระยะห่างระหวา่ งจุด B และ

จุด C ได้ 128 เมตร จงหาระยะห่างระหวา่ งจุด A และจุด B

B 128 ……………………………………………………………
160 ……………………………………………………………
A C ……………………………………………………………
……………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

22

5. บนั ไดยาว 10 เมตร วางพาดบนผนงั ตึกโดยปลายบนั ไดอยู่สูงจากพ้นื 8 เมตร แลว้ เชิงบนั ได

อยหู่ ่างจากผนงั ตึกกี่เมตร

……………………………………………………………

……………………………………………………………

8 เมตร 10 เมตร ……………………………………………………………
……………………………………………………………

……………………………………………………………

……………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

ตัวอย่างที่ 3 ABC มีดา้ นยาว 21 เซนติเมตร 72 เซนติเมตร และ 75 เซนติเมตร ตามลาํ ดบั
วธิ ีทา
ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

B ให้ a = 21
b = 72

A 75 21 c = 75
จะได้ a2 = 441
72 C
b2 = 5,184

c2 = 5,625

และ a2 + b2 = 441 + 5,184 = 5,625

ดงั น้นั c2 = a2 + b2

นนั่ คือ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

ตวั อย่างท่ี 4 กาํ หนดให้ ABC มี CD ต้งั ฉากกบั AB ท่ีจุด D จงพจิ ารณาวา่ ความ ยาวท่ี
วธิ ีทา
กาํ หนดใหใ้ นขอ้ ใด ทาํ ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก เพราะเหตุใด

AC = 13, BC = 15 และ CD = 12 A วาดรูปประกอบ
DCB เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

จะได้ DB2 = BC2 – DC2 D B
= 152 – 122 13
= 225 – 144 = 81
12
C 15

23

ดงั น้นั DB = 9 A

ADC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก D B
จะได้ AD2 = AC2 – CD2 12

= ……………………… 13 15
= ………………………
ดงั น้นั AD2 = ……………………… C

AD = ………………………

จะได้ AC2 + CB2 = 132 + 152

= ………………………

= ………………………

และ AB2 = (5 + 9)2

= ………………………

= ………………………

ดงั น้นั AB2  AC2 + CB2

นน่ั คือ ABC ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เน่ืองจาก AB2  AC2 + CB2

กจิ กรรมท่ี 6.9 : ทกั ษะการแก้ปัญหา การสื่อสาร การนาเสนอ และ

การเชื่อมโยง

1. กาํ หนดให้ ABC มี CD ต้งั ฉากกบั AB ท่ีจุด D จงพจิ ารณาวา่ ความยาวท่ีกาํ หนดใหใ้ นขอ้ ใด
ทาํ ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก เพราะเหตุใด
1) AC = 10, BC = 17 และ CD = 8
วาดรูปประกอบ

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

24

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2) AC = 3, BC = 4 และ CD = 2.4
วาดรูปประกอบ

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

25

2. ABC มี AB = 63 เซนติเมตร, AC = 60 เซนติเมตร และ BC = 87 เซนติเมตร จงหาส่วนสูง AD

(ตอบเป็นทศนิยมสองตาํ แหน่ง) ……………………………………………………………
A

63 60 ……………………………………………………………

……………………………………………………………

B 87D C ……………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

3. A จากรูป กาํ หนดให้ AB = 21 หน่วย, BC = 28 หน่วย,

37 CD = 7.2 หน่วย DE = 9.6 หน่วย และ AE = 37 หน่วย
จงหาพ้นื ที่ของ ADE
21 E ……………………………………………………………

9.6 ……………………………………………………………

B 28 D 7.1 C ……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

26

ชวนคดิ คณติ ศาสตร์

ลองคาดการณ์

ลองทากจิ กรรมดู แล้วคุณจะรู้

กาํ หนด ABC มีความยาวของดา้ นตา่ ง ๆ ดงั รูป
C

ba

Ac B
1. ถา้ c2 < a2 + b2 แลว้ มุม ACB มีขนาดนอ้ ยกวา่ 90 องศา หรือมากกวา่ 90 องศา
2. ถา้ c2 > a2 + b2 แลว้ มุม ACB มีขนาดนอ้ ยกวา่ 90 องศา หรือมากกวา่ 90 องศา
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………