เวทคณิตพื้นฐาน

เวทคณติขั้นพ้นืฐาน

สมชาย ศรีวรางกูล
เวทคณิต ข้ันพืน้ ฐาน

ผู้ตรวจ ภาษาสันสกฤต

มณฑล นิมากร พระเตชินท์ อินฺทเตโช
กระจาย คงสง
ลือชยั ทิพรังศรี
พณั ณ์แสง ชูมงั

บรรณาธิการ

บญุ ญา พงศพ์ ุ่ม

จดั พมิ พ์และจาหน่ายโดย
บริษทั สานักพมิ พ์ บ้านคานวณ จากัด
80/159 ซอยนวมินทร์ 87 ถนนนวมินทร์
แขวงนวมินทร์ เขตบึงก่มุ กรุงเทพมหานคร 10240
โทร. +66 2090-2122-3 โทรสาร +66 2090-2124 email : baancnprinting@gmail.com

สงวนลิขสิทธ์ิตามพระราชบญั ญตั ิลิขสิทธ์ิ (ฉบบั เพิม่ เติม) พ.ศ. ๒๕๕๘

i

สารบัญ iv
v
คานา vii
อะไรคือเวทคณติ (What is Vedic Mathematics) xiii
xiv
ทาไมต้องเวทคณติ 1
3
สูตรเวทคณิต (Vedic Sutra)
10
อุปสูตรเวทคณิต (Vedic Sub-sutra) 15
18
1. การยันความถูกต้อง 24

1.1. เศษเหลือของจานวนท่ีถูกหารดว้ ยเกา้ (9) 27
1.2. การคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines) 32
1.3. การยนั ความถกู ตอ้ งของการคานวณดว้ ยการวธิ ีคดั ออกเกา้
1.4. เศษเหลือของจานวนที่ถกู หารดว้ ยสิบเอด็ (11) 35
1.5. การยนั ความถูกตอ้ งของการคานวณดว้ ยวิธีการคดั ออกสิบเอด็ 39
41
2. การบวก
47
เวทคณิตสาหรับการบวก (Vedic Mathematics Method for Addition) 51
2.1. การบวกดว้ ยวธิ ีการจดั กลมุ่ ใหค้ รบสิบและกลุ่มไมค่ รบสิบ 55
2.2. การบวกดว้ ยวิธีการแยกจานวนใหอ้ ยใู่ นรูปผลบวกหรือผลต่างของพหุคูณ 58
66
ของฐานสิบ 71
2.3. การคานวณจากซา้ ยไปขวา (Calculation From Left to Right) 78
2.4. ลาดบั การดาเนินการทางคณิตศาสตร์ (PIMDAS) 82
2.5. การบวกดว้ ยวิธีใชจ้ ุด (Addition Using Dot Method) 87

หรือการบวกดว้ ยวธิ ีการเพ่มิ 1 ใหก้ บั ตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้
2.6. การบวกดว้ ยการใชข้ บวนการศทุ ธิการัน (Addition Using Sudhikaran process)
2.7. การบวกดว้ ยสูตรศทุ ธ

3. การลบ

3.1. จานวนเติมเตม็ (Complement Number)
3.2. การลบดว้ ยสูตรนิขิลมั หรือการลบดว้ ยสูตรทกุ ตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบ
3.3. วธิ ีวินคิวลมั (Vinculum Method)
3.4. การลบดว้ ยวธิ ีวนิ คิวลมั (Subtraction by Vinculum Method)
3.5. การลบดว้ ยวิธีครบสิบหรือการลบดว้ ยสูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ
3.6. การบวกและการลบระคน

ii

4. การคูณ 92
95
4.1. การดาเนินการคณู จากซา้ ยไปขวา 100
4.2. เวทคณิตสาหรับการคูณ (Vedic Method for Multiplication) 101
4.3. การคณู ดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ 115
4.4. การเล่ือนคูณ (Moving Multiplication) 124
4.5. จานวนวินควิ ลมั (Vinculum Numbers) 131
4.6. การคณู ดว้ ยการใชจ้ านวนวนิ คูลมั
135
(Multiplication by using the vinculum numbers) 152
4.7. การคณู ดว้ ยสูตรนิขลิ มั 164
4.8. การคณู ดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วยหรือการคูณดว้ ยอุปสูตรอานุรูปเยณะ
4.9. การคูณเลขสองจานวนมีคา่ ใกลฐ้ านหลกั ตา่ งกนั 168
171
(Numbers Near Different Theoretical Base) 175

5. การหาร 198
210
5.1. การหารในกรณีที่ตวั หารเป็นจานวนเต็มหลกั 1 หลกั 218
5.2. การหารตรงหรือการหารยกธง (Straight Division or Flag Division)

หรือเป็นการหารดว้ ย อุปสูตรที่ 16 ธวาชางกะ
5.3. การหารดว้ ยวธิ ีนิขลิ มั (Division By The Nikhilam Method)
5.4. การหารดว้ ยวธิ ีปราวรรตย์ (Division By The Parāvartya Method)
บรรณานุกรม

iii

คานา

เวทคณิต (Vedic Mathematics) เป็นช่ือที่ต้งั ข้ึนใหก้ บั ระบบคณิตศาสตร์โบราณซ่ึงเป็นเทคนิค
เฉพาะในการคานวณที่แม่นยา ดว้ ย 16 สูตรและ 13 อปุ สูตร ดว้ ยกฎง่ายๆ โดยถูกบนั ทึกดว้ ยภาษา
สนั สกฤต

ทา่ นศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Sri Bharati Krishna Tirtha ji พ.ศ. 2427-2503) ผคู้ น้ พบ
ในช่วงตน้ ศตวรรษท่ีผา่ นมาระหวา่ งปี พ.ศ. 2454 ถึง พ.ศ. 2461 และไดถ้ ูกพฒั นาวธิ ีการและเทคนิค มี
การขยายหลกั การที่มีอยใู่ นคาพงั เพย ใหเ้ ป็นขอ้ สรุปท่ีประกอบดว้ ยรูปแบบสอดคลอ้ งกบั คณิตศาสตร์
สมยั ใหม่

เวทคณิต เป็นวิธีการคานวณเกี่ยวกบั ปัญหาทางคณิตศาสตร์เกือบท้งั หมดซ่ึงปัญหาทาง
คณิตศาสตร์ใด ๆ ไมว่ า่ จะเป็นเลขคณิต พีชคณิต หรือเรขาคณิต สามารถแกไ้ ขได้ อยา่ งความสวยงาม

เวทคณิตอยทู่ ่ีความจริงที่วา่ มนั ลดข้นั ตอนการคานวณท่ีดูยงุ่ ยาก ของคณิตศาสตร์ธรรมดาไปสู่
การคานวณท่ีเรียบง่ายมาก

ปัจจุบนั เวทคณิต ไดถ้ กู พฒั นาเพิม่ เติม อปุ สูตรหรือสูตรแทรก จาก 13 อุปสูตรเป็น 16 อุปสูตร
ซ่ึงอยใู่ นภาคผนวกของพระเวท และเป็นการนาสูตรเหลา่ น้ีมาประยกุ ตส์ าหรับขจดั การดาเนินการคิด
เลขท่ีน่าเบื่อและง่มุ ง่าม และยง่ิ ในกรณีท่ีจานวนมีค่ามาก ๆ แลว้ ก็จะสามารถลดข้นั ตอนการคานวณ
และใชพ้ ้นื ที่ในการคานวณ เพียงสองสามบรรทดั จึงทาใหส้ ามารถเสนอหลกั การคิดเลขเร็วได้

ในเร่ืองการคิดเลขเร็วน้นั มีผลงานของนกั คณิตศาสตร์ท่ีมีชื่อเสียง ไดแ้ ก่ วธิ ีระบบความเร็ว
ทรัชเทน็ เบริกของคณิตศาสตร์ข้นั พ้นื ฐาน (The Trachtenberg Speed of Basic Mathematics) หรือ
วิธีไฮสปี ด แมท ของ เลสเตอร์ มีเยอร์ช (Lester Meyers High-Speed Math) ท้งั สองระบบคิดเลขเร็วน้ี
ยงั เป็นระดบั พ้นื ฐานเม่ือเปรียบเทียบกบั ของเวทคณิตของท่านศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ

จากขอ้ ความขา้ งตน้ สรุปไดว้ ่าเวทคณิตไม่ใช่วชิ าในสาขาของวชิ าคณิตศาสตร์ เวทคณิตเป็น
วิธีการคดิ คานวณแบบฮินดู ดงั น้นั ความรู้พ้นื ฐานต่าง ๆ ในเลขคณิต พีชคณิต ตรีโกณ และ
เรขาคณิตวิเคราะห์ เป็นตน้ น้นั คงเป็นไปตามปกติของวิชาน้นั เพยี งแต่วิธีคดิ คานวณเพิ่มข้นึ มาเป็น
ทางเลือกอีกวธิ ีหน่ึงจากวิธีด้งั เดิม และเนื่องจากเวทคณิตถูกบนั ทึกดว้ ย ภาษาสันสกฤต ดงั น้นั เพ่ือไมใ่ ห้
เสียความหมายหรือความเป็นนยั จึงมีการอา้ งอิงสูตรต่าง ๆ ของการคานวณ ผศู้ ึกษาควรทาความเขา้ ใจ
จะทาใหถ้ ึงแก่นแทข้ องเวทคณิตไดอ้ ยา่ งลึกซ้ึง

iv

อะไรคือเวทคณิต (What is Vedic Mathematics)
“Like the crest of a peacock, like the gem on the head of a snake, so is

mathematics at the head of all knowledge.”

Vedanga Jyotisa (c. 500 bc)
พระเวท (สนั สกฤต: वदे ) หมายถึง “ คมั ภีร์ในศาสนาพราหมณ์-ฮินดู ท่ีเก็บรวบรวมความรู้ ”
ดงั น้นั พระเวทจึงเป็นแหล่งของความรู้ท้งั หมดที่จาเป็นอยา่ งยงิ่ สาหรับมนุษยชาติ
พระเวท (Veda) เป็นคาในภาษาสันสกฤต หมายถึง ความรู้ (knowledge) พระเวทเป็นงานเขียน
โบราณท่ีมีวนั ที่แน่นอนอยา่ งนอ้ ยหลายศตวรรษ ก่อนคริสตศ์ กั ราช เกี่ยวขอ้ งกบั ขนบธรรมเนียม
ประเพณีของชาวอินเดีย เน้ือหาของพระเวท กร็ ู้มานานแลว้ ก่อนท่ีจะมีการบนั ทึกการเขียน โดยถกู ส่งต่อ
ดว้ ยคาพูดจากปากตอ่ ปาก ทาใหท้ ุกคนสามารถเขา้ ใจและปฏิบตั ิไดอ้ ยา่ งดี งานเขียนที่เรียกวา่ พระเวทน้ี
ประกอบดว้ ยเอกสารจานวนมาก (มีคากล่าววา่ ยงั มีเอกสารนบั เป็นลา้ นฉบบั ในพระเวทที่ยงั ไมไ่ ดถ้ ูก
แปล) เน้ือหาในพระเวทยงั ประกอบดว้ ย ไวยากรณ์ ดาราศาสตร์ สถาปัตยกรรมศาสตร์ จิตวิทยา ปรัชญา
การยงิ ธนู เป็นตน้
หลายร้อยปี มาแลว้ นกั ปราชญด์ า้ นภาษาสนั สกฤตหลายท่านไดแ้ ปลเอกสารในพระเวท และ
รู้สึกวา่ พระเวทน้นั มีความลึกซ้ึงในเน้ือหาอยา่ งมาก ยงิ่ บางเอกสารมีหวั ขอ้ ที่เก่ียวขอ้ งกบั สูตร
คณิตศาสตร์ (Ganita Sutras) ซ่ึงหมายถึงวิชาคณิตศาสตร์ ท่ีไมส่ ามารถตีความไดใ้ นรูปของคณิตศาสตร์
เวทคณิต (Vedic Mathematics) อยใู่ นยคุ พระเวท (Vedic age : C 1500-500 BCE) แตถ่ ูกเกบ็ ไว้
อยใู่ นภาคผนวก จนถึงศตวรรษที่ 20 เป็นตาราโปราณเขยี นเป็นภาษาสันสกฤต ท่ีไดร้ ับความสนใจอยา่ ง
ยงิ่ โดยเฉพาะชาวยโุ รปและ ถกู ถอดรหสั ระบบการคานวณที่โดดเด่นที่เรียกวา่ สูตร์คณิต (Ganita sutras)
กล่าวถึงหลกั นิรนยั ทางคณิตศาสตร์ แตก่ ถ็ ูกละเลยเนื่องจากไม่สามารถเขา้ ใจเน้ือหาได้ เน้ือหาเหล่าน้ี
เชื่อวา่ เป็นรากเหงา้ ของวิชาเวทคณิต
เวทคณิตไดถ้ ูกคน้ พบใหม่ อีกคร้ังท่ีอยใู่ นคมั ภีร์อินเดียโปราณ ระหวา่ งปี พ.ศ. 2454 -2461 โดย
ทา่ นศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Sri Bharati Krishna Tirtha ji พ.ศ. 2427-2503) ทา่ นรวบรวมจากพระเวท
สูตรของเวทคณิตท่ีอยา่ งงดงาม 16 สูตร และ 13 อปุ สูตร
ท่านภารติ กฤษณะ อดีตท่านเป็นศกั ราจารย์ ทางศาสนาที่สาคญั ที่เมืองปรู ิ (Puri) รัฐโอดิศา
(Odisha) ประเทศอินเดีย ในช่วงที่ทา่ นเป็นนกั ศึกษาท่ีฉลาดหลกั แหลม จบเกียรตินิยมหลายสาขาวชิ า
โดยเฉพาะดา้ นภาษาสนั สฤต ปรัชญา ภาษาองั กฤษ คณิตศาสตร์ ประวตั ิศาสตร์ และวทิ ยาศาสตร์ เม่ือ
ท่านไดท้ ราบวา่ มีนกั วชิ าการยโุ รปไดก้ ลา่ วถึงส่วนหน่ึงในพระเวทน่าจะเก่ียวขอ้ งกบั คณิตศาสตร์
ท่านเลยตดั สินใจศึกษาเอกสารท่ีเกี่ยวขอ้ งและพบวา่ มนั มี “ความหมายทางคณิตศาสตร์จริง”
ใน ช่วงเวลา พ.ศ. 2454 -2461 ท่านกส็ ามรถที่จะฟ้ื นฟรู ะบบการคิดเลขแบบโบราณไดส้ าเร็จ และเรา
เรียกวา่ ส่ิงที่คน้ พบน้ีวา่ “เวทคณติ (Vedic Mathematics)”

v

“เวท” แปลวา่ ความรู้ และ “คณิต” แปลวา่ คานวณ
“เวทคณิต” แปลว่า ความรู้แห่งการคานวณ

ต่อมาหา้ ปี (พ.ศ. 2508) หลงั จากท่ีท่านเสียชีวิตซ่ึงถือไดว้ า่ เป็นการเริ่มตน้ สาหรับการทางานใน
เวทคณิตท้งั หมด มีรายงานวา่ หลงั จากหนงั สือเล่ม 16 เลม่ แรกของทา่ นไดห้ ายไป ในช่วงเวลาสุดทา้ ย
ของทา่ น ท่านเขยี นหนงั สือเล่มเดียวซ่ึงตีพมิ พเ์ ผยแพร่และขายดีที่สุด
การพฒั นาเวทคณิต

เวทคณิตไดร้ ับการยกยอ่ งวา่ เป็นระบบทางเลือกใหม่ของคณิตศาสตร์เมื่อสาเนาหนงั สือถึง
ลอนดอนในช่วงปลายทศวรรษที่ พ.ศ. 2503 นกั คณิตศาสตร์บางท่านคนขององั กฤษไดแ้ ก่ เคนเนท วลิ
เลียมส์ (Kenneth Williams) แอนดิวร์ นิโคลสั (Andrew Nicholas) และ เจอริมี่ พิงชเ์ คิลส์ (Jeremy
Pickles) สนใจในระบบคานวณใหม่น้ี พวกทา่ นไดข้ ยายเน้ือหาเบ้ืองตน้ ของหนงั สือของท่านภารติ
กฤษณะ และนาเสนอการบรรยายเก่ียวกบั เร่ืองน้ีในกรุงลอนดอน ในปี พ.ศ. 2523 น้ีไดร้ ับการจดั เรียง
เป็นหนงั สือท่ีมีช่ือเร่ืองการบรรยายเบ้ืองตน้ เก่ียวกบั เวทคณิต

แอนดรูนิโคลสั ไดเ้ ดินทางไปอินเดียโดยระหวา่ งปี พ.ศ. 2524 ถึง พ.ศ. 2530 ทาใหน้ กั วิชาการ
และครูในอินเดียเร่ิมเกิดความสนใจอยา่ งจริงจงั ในเวทคณิต
เวทคณิตในโรงเรียน

เมื่อหลายปี ก่อน โรงเรียนเซนตเ์ จมส์ กรุงลอนดอน (St James 'School, London) และโรงเรียน
อ่ืน ๆ เร่ิมสอนใชร้ ะบบการคิดเลขแบบเวทคณิตดว้ ยความสาเร็จที่โดดเด่น ปัจจุบนั เวทคณิตไดน้ าไปใช้
ในการสอนในโรงเรียนและสถาบนั ต่าง ๆ ในอินเดียและต่างประเทศรวมถึงนกั เรียนที่เรียนบริหารธุรกิจ
และเศรษฐศาสตร์

เม่ือปี พศ. 2531 มหาฤษี มหิศ โยคี (Maharishi Mahesh Yogi) ไดน้ าเอาเวทคณิตเขา้ สู่โรงเรียน
ความเป็นเลิศทางวิชาการ(School of Excellence)

vi

ทาไมต้องเวทคณติ

มีผอู้ าวโุ สหลายท่านท่ีเตม็ ใจท่ีจะยอมรับวา่ พวกเขาไม่เก่งคณิตศาสตร์และส่วนหน่ึงเป็นผลมา
จากความเช่ือการแกป้ ัญหาสาหรับการคานวณในการบวก การลบ การคณู การหาร การยกกาลงั สอง
หรือการถอดรากที่สอง ในการเรียนและการสอนเลขคณิตวธิ ีด้งั เดิมที่วา่ มี “วธิ ีแกป้ ัญหาท้งั หมดมีวิธี
เดียว”

มีครูสอนคณิตศาสตร์ท่านหน่ึง นามว่า “เคนเน็ธ วินเล่ียม ( Kenneth Williams)” สอนใน
โรงเรียน วิทยาลยั และมหาวิทยาลยั ไดร้ ับเชิญไปยงั หลายประเทศเพ่ือสอนเวทคณิตและไดพ้ ฒั นาส่ือ
การสอนและตาราการเรียนรู้เร่ืองต่าง ๆ เก่ียวกบั เวทคณิต ซ่ึงมีอยใู่ นเวบ็ ไซต์
Kenneth's Curriculum Vitae น้ี
เมื่อได้ศึกษาเวทคณติ จะพบว่า แล้วทาไมต้องเวทคณิต

1. ช่วยให้มีทางเลือกวิธีคดิ คานวณได้หลากหลาย (spreads diversity)

เวทคณิตสร้างสรรคว์ ธิ ีการคานวณไดห้ ลากหลายวิธีกล่าวคอื
(1) เวทคณิตสาหรับการบวก

ปัญหาท่ีวิธีคดิ เลขแบบเวทคณิตพยายามหลีกเลี่ยงการทด ไปยงั หลกั ถดั ไป ใหน้ อ้ ยลง มากที่สุด
และเพ่อื บรรลเุ ป้าหมายใหเ้ กิดการคดิ เลขเร็วและถกู ตอ้ งมากที่สุดแลว้ อีกเรื่องหน่ึงที่เวทคณิตยงั ไดเ้ สนอ
วิธีการบวกเลขท่ีหลากหลาย (Diversity) วิธีอีกดว้ ย การบวกมีวิธีใหเ้ ลือกที่จะพฒั นาตนเองตามความ
เหมาะสมกบั ความสามารถและความถนดั แต่ละบุคคล หรือสามารถควบรวมประยกุ ตว์ ิธีการบวกใหเ้ ขา้
กนั ซ่ึงจะทาใหเ้ กิดระบบการคิดเลขเร็วได้

การบวกมีให้เลือก ใช้ได้ 5 วธิ ี ดังนี้
- การบวกดว้ ยวิธีการจดั กลมุ่ ใหค้ รบสิบและกลุ่มไม่ครบสิบ
- การบวกดว้ ยวธิ ีการแยกจานวนใหอ้ ยใู่ นรูปผลบวกหรือผลต่างของพหุคณู ของฐานสิบ
- การบวกดว้ ยวธิ ีใชจ้ ุด
- การบวกดว้ ยการใชข้ บวนการศทุ ธิการัน
- การบวกดว้ ยสูตรศทุ ธ
(2) เวทคณติ สาหรับการลบ
การลบ แบบด้งั เดิมน้นั ตอ้ งมีการยมื ในกรณีท่ีตวั ต้งั มีคา่ นอ้ ยกวา่ ตวั ลบ อนั เป็นปัญหาที่ทาให้
การคิดเลขชา้ และน่าเบ่ือหนาย วธิ ีการลบแบบเวทคณิคไดข้ จดั ปัญหาน้ี แทนท่ีจะลบแบบวิธีด้งั เดิมกบั
ใชก้ ารหาจานวนเติมเตม็ (Complement Number) แลว้ ใชก้ ารบวกแทนการลบ จึงไม่มีการยมื เลขหลกั
ถดั ไปขา้ งหนา้ เหมือนวิธีด้งั เดิม เป็นการคิดดว้ ยวิธีการแยกหลกั (Digit Separator Method) และการลบ
กย็ งั มีวิธีใหเ้ ลือกใชไ้ ดต้ ามความถนดั แตล่ ะบุคคลไดอ้ ีกดว้ ย

vii

การลบในเวทคณิตมี 3 วธิ ี
- วธิ ีการลบดว้ ยสูตรนิขลิ มั นวตสั จรมมั ทศตหะ เรียกส้นั ๆ วา่ สูตรนิขิลมั
- การลบดว้ ยวิธีวินคิวลมั (Vinculum Method)
- การลบดว้ ยวิธีครบสิบหรือการลบดว้ ยวธิ ีทบสิบ
(3) เวทคณิตสาหรบการคูณ

ก็เช่นกบั การบวกและการลบมีหลากหลายวิธีใหไ้ ดศ้ ึกษา ท้งั วธิ ีปกติทวั่ ไปและวิธีเทคนิคท่ี
สามารถคดิ เลขไดร้ วดเร็ว และยงั เหมาะกบั การคานวณท่ีสองจานวนที่มีค่ามาก ๆ ซ่ึงวิธีแบบด้งั เดิมคิด
ไดต้ อ้ งใชเ้ วลาพอสมควร แต่บางกรณีเวทคณิตสามารถที่จะคดิ เลขในใจไดอ้ ยา่ งรวดเร็ว อนั เป็น
จุดมงุ่ หมายของเวทคณิตวธิ ีคิดเร็ว นน่ั เอง

การคูณในเวทคณิตมี 7 วิธี
- การคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ เป็นวธิ ีท่ีใชม้ ากที่สุด
- การคณู ดว้ ยสูตรนิขลิ มั
- การคูณดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย
- การคูณดว้ ยตวั คณู ลาดบั ของเลข 9,99,999,9999,…
- การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนสุดทา้ ยเทา่ กบั สิบหรือกาลงั ของสิบ
- การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ เท่ากบั สิบหรือกาลงั ของสิบแต่ตวั เลข
ส่วนหลงั ตอ้ งเทา่ กนั
- การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกเลขตวั หนา้ เป็นพหุคูณของสิบแต่ตวั หลกั หน่วยเท่ากนั

(4) การหารในเวทคณิต
การหารในเวทคณิต โดยเฉพาะ การหารตรงหรือการหารยกธง (Straight Division or Flag

Division) ถูกยกยอ่ งวา่ เป็น “อญั มณอี นั ลา้ ค่าของเวทคณิต” เพราะเป็นการหารท่ีใชต้ วั เลขหลกั หนา้ สุด
ของตวั หารเป็นตวั หารจริง ส่วนตวั เลขที่เหลือใชก้ ารคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้ คณู กบั ผลหารท่ีไดม้ า
ก่อนนาไปลบตวั ต้งั ข้นั ตน้ เพ่ือใหไ้ ดต้ วั ต้งั สุทธิ

ความหลากหลายการหารของเวทคณิต เป็นแบบพ้ืนฐานรูปทว่ั ไปแลว้ ยงั มีวิธีเทคนิคหรือวธิ ีลดั
ใหไ้ ดใ้ ชต้ ามความเหมาะสมของการคิดเลขเร็ว

การหารในเวทคณิตมี 7 วิธี
- การหารตรงหรือการหารธง เป็นการหารแบบทว่ั ไปดว้ ยการใชส้ ูตรแนวต้งั และแนวไขว้
- การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั
- การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ โยชเยต
- การหารดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย หรือการหารดว้ ยสูตรอนุรูปเยณะ
- การหารดว้ ยขบวนการวนิ คิวลมั

viii

- การหารดว้ ยสูตรเศษส่วนช่วย หรือการหารดว้ ยสูตรเอกาธิเกนปรุ เวณ
- การหารดว้ ยอปุ สูตรเวษฏนมั

2. เวทคณติ เน้นวิธีการคานวณจากซ้ายไปขวา

วิธีการคานวณจากซา้ ยไปขวา น่าจะเป็นทางเลือกวิธีอีกวิธีหน่ึง ซ่ึงไม่น่าขดั แยง้ กบั วิธีคานวณ
จากขวาไปซา้ ย เพราะคนเรามีท้งั ถนดั ขวาหรือถนดั ซา้ ยโดยธรรมชาติ อยแู่ ลว้
ถา้ หวนกลบั มาพจิ ารณาการคิดเลขของเราท่ีใชอ้ ยแู่ บบดงั เดิมน้นั จะพบวา่

“ ทาไมเวลาเราคดิ เลขด้วยการบวก ลบ และคูณ เป็ นการคิดจากทางขวาไปทางซ้าย แต่พอเราทา

การหารเลขแล้วเรากลบั ดาเนินการหารจากทางซ้ายไปทางขวา?”
น่ีคอื คาถามท่ีทาใหฉ้ ุกคดิ ทาไมเราจึงไมส่ ามารถดาเนินการหารจากขวาไปซา้ ยได้ละ ดงั น้นั การ

คดิ เลขเร็วแบบเวทคณิตจึงเสนอใหป้ รับเปล่ียนเทคนิค

“การคานวณจากซ้ายไปขวา (Calculation From Left to Right)”

3 . เวทคณติ เป็ นการคิดเลขทีใ่ ช้พื้นที่น้อยทีส่ ุด

เกือบทกุ การคานวณใหผ้ ลลพั ธเ์ พียงบรรทดั เดียว สืบเน่ืองมาจาก การคานวณจากซา้ ยไป
ขวา (Calculation From Left to Right)” จึงมีผลต่อการคานวณที่ใชพ้ ้นื ท่ีนอ้ ยท่ีสุด
การบวก ลดการทดเพราะเป็นการคดิ เลขแบบแยกหลกั (Digit Separator Method)

เช่น หาผลบวกของ 1567896869 +85372807

วิธที า 1 5 6 7 8 9 6 8 6 9

+
85372807

1 5 4 2 1 6 8 6 6 6 = 1653269676
1 1 1101 0 1

การลบ ไมม่ ีการการยมื แถมยงั ใชก้ ารบวกแทนการลบ
เช่น หาคา่ ของ 6745215− 4891538

วธิ ีทา 67 45215

5 1 08462 −

4891538

118 5 3 6 7 7 = 18536 7 7

การคูณ ใหผ้ ลคูณไดเ้ พียงบรรทดั เดียว
เช่น หาผลคณู ของ 32452135

วธิ ีทา 3 2 4 5


2135

6 7 9 5 7 5 5 = 6928075

0013232

ix

การหาร น้นั ถูกยกยอ่ งวา่ เป็น “อญั มณีอนั ล้าค่าของวิธีคิดเลขแบบเวทคณิต” น้นั เพราะ สามารถหา

คาตอบและเศษเหลือหรือทศนิยมของการหารไดอ้ ยบู่ นบรรทดั เดียวกนั และการดาเนินการหารน้นั

ตวั หารใชแ้ คห่ ลกั หนา้ เพียงตวั เดียวหรืออยา่ งมากสองหลกั ของตวั หารเป็นตวั หารจริง

เช่น การหาผลหารของ 94137 82

วธิ ีหารแบบด้ังเดิม วิธีหารแบบเวทคณิต

11 4 8 8 2 9 14 41 7 3 17

82)9 4 1 3 7

2 2 8 16

8 2 12 39 65 1 = r

121 1 148

82

393
328

657

656

1= r (remainder= เศษเหลือ)

4. เวทคณติ มีนวัตกรรมท่ีคิดเลขด้วยวธิ ีวนิ ควิ ลมั (Vinculum Method)

วิธีวนิ ควิ ลมั เป็นส่ิงใหมใ่ นการศึกษาเวทคณิต ท่ีหลายคนกล่าววา่ “ไมเ่ คยศึกษากนั มาก่อน” แต่
ท่ีจริงมาเคยมีปรากฏอยใู่ นเรื่อง “ลอการิทึม” แลว้ ไมท่ ราบวา่ ทาไมมนั หายไป

วิธีวนิ ควิ ลมั เป็น นวตั กรรมในการคิดเลขท่ีเวทคณิต ไดส้ ร้างสรรคใ์ ชส้ าหรับแกป้ ัญหาจานวน
ท่ีตวั เลขแตล่ ะหลกั น้นั มีคา่ มาก ๆ มากกวา่ หา้ (5) ดว้ ยการลดคา่ ตวั โดดแตล่ ะหลกั ของจานวนปกติท่ี
เขียนอยใู่ นรูป 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ใหต้ วั เลขแต่ละหลกั ของจานวนปกติใด ๆ ให้มีตวั เลขแตล่ ะ
หลกั เป็นตวั เลขที่เขยี นอยใู่ นรูปตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 แต่ค่ายงั คงเดิมดว้ ยวธิ ีวนิ คิวลมั (Vinculum
Method) และเรียกจานวนใหมน่ ้ีวา่ “จานวนวนิ คิวลมั ”

วินคิวลมั ( Vinculum) เป็ นคาในภาษาละติน
ตรงกบั ภาษาองั กฤษ บาร์ (Bar) หมายถึงเสน้ ตามแนวนอน (−) ใชเ้ ป็นสญั ลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์
เป็น เคร่ืองหมายบาร์ หรือ เรียกวา่ สญั กรณ์บาร์ (Bar Notation)
เขยี นสัญกรณ์บาร์ บนตวั เลขแทนตวั เลขลบ เช่น 1 = −1, 2 = −2, 3 = −3, ..., 9 = −9 แต่
0 = 0 เรียกจานวนเหลา่ น้ีวา่ จานวนบาร์ (Bar Number)
เช่น 1 อา่ นวา่ บาร์หน่ึง

2 อา่ นวา่ บาร์สอง
3 อ่านวา่ บาร์สาม เป็นตน้

x

วธิ ีวินควิ ลมั เป็นการเปลี่ยนตวั เลขโดดบวกของจานวนปกติ เป็นตวั เลขโดดลบ ดว้ ยเขยี น
เคร่ืองหมายบาร์บนเลขโดดน้นั แต่ค่าไม่เปล่ียน

เช่น −3 = 3

15 = 20 − 5 = 20 + 5 = 25

35698357862 = 44302442142 เป็ นตน้

พอจะเหน็ ได้ว่า วธิ ีวินควิ ลมั เป็ นส่ิงใหม่
ถา้ เราลดตวั เลขแตล่ ะหลกั ของจานวนปกติใหเ้ ป็นจานวนท่ีแตล่ ะหลกั ท่ีมีคา่ ไม่เกินหา้ (5) ที่

เรียกวา่ จานวนวนิ ควิ ลมั ก็จะสามารถคิดเลขไดเ้ ร็วและแม่นยามากข้ึน ซ่ึงจะไดศ้ ึกษารายละเอียดต่อไป

5. เศษส่วนช่วย (Auxiliary Fraction)

เศษส่วนช่วย เป็นเอกลกั ษณ์ และลกั ษณะเฉพาะ ทา่ นสวามี ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Swami
Bharati Krishna Tirtha) ไดส้ ร้างวิธีเศษส่วนช่วยข้ึนใชเ้ พ่ือแปลงเศษส่วนสามญั ใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม
เช่นการหาค่าของ 1/19 เศษส่วนน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม

ตวั อย่างเช่น การหาคา่ ของ 1 เศษส่วนน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม

19

สังเกตเศษส่วนน้ีเป็นเศษส่วนที่ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ย 9

ดว้ ยวธิ ีปัจจุบนั ดว้ ยวิธีเวทคณิต

19) 1.00(.052631578947368421... วธิ ีท่ี 1 ดาเนินการคณู ยอ้ นกลบั (Backwards)

95 1 = 0.1 = 0. 015126311151718914713168421
50 170 19 2
38 152
วิธีท่ี 2 ดาเนินการหารจากขา้ หนา้ (Forwards)

1 = 0.1 = 0. 0 15 1 2631115 1 7 189 1 47 1 31 68421 1015
19 2

120 180 = 0.0 15126311151718914713168421

114 171

60 90 160
57 76 152

30 140 80
19 133 76

110 70 40
95 57 38

150 130 20
133 114 19

170 160 1

xi

6. การยันความถูกต้อง (Cross Check)

ในการคานวณทกุ ประเภทน้นั ในขณะที่เรากาลงั กระทาการบวก ลบ คณู หาร ยกกาลงั สองหรือ
การหารากท่ีสอง ของจานวนตา่ ง ๆน้นั เม่ือการคานวณถึงข้นั ตอนสุดทา้ ยหาผลลพั ธ์สิ้นสุดของคาตอบ
แลว้ กย็ งั ถือวา่ การคานวณน้นั ยงั ไมส่ ิ้นสุดอยา่ งสิ้นเชิง ส่ิงท่ีจาเป็นและสาคญั อีกอยา่ งหน่ึงคอื การ
ตรวจสอบวา่ การคานวณที่ดาเนินการหาคาตอบอยนู่ ้นั คาตอบถกู ตอ้ งหรือไม่ ดงั ที่กล่าวมาแลว้ ขา้ งตน้
โดยปกติแลว้ การตรวจสอบความถูกตอ้ งเรากใ็ ชก้ ารคานวณซ้า ๆ อีกรอบหน่ึงหรือบา้ งคร้ังกส็ องถึงสาม
รอบ ซ่ึงเป็นการตรวจสอบดว้ ยการคานวณซ้า ๆ น้นั ยอ่ มมีโอกาสที่จะคานวณผดิ พลาดซ้าไดอ้ ีก และ
เป็นการเสียเวลาเทา่ กบั การคานวณใหม่ แลว้ จะมีวธิ ีการอื่นไหมท่ีสามารถตรวจสอบความถกู ตอ้ งของ
คาตอบไดร้ วดเร็วและมีประสิทธิภาพ ท่ีไม่ตอ้ งทาซ้ากบั วิธีเดิมน้นั อีก

คาถามคือ จะมีวิธีการตรวจสอบความถกู ตอ้ งของคาตอบในการคานวณ โดยใชว้ ธิ ีการอ่ืนที่
แตกต่างจากท่ีเคยใชอ้ ยดู่ ้งั เดิมที่ไดร้ ับการเรียนรู้มาน้นั หรือไม่? คาตอบกค็ ือ “ม”ี

แล้ว ถา้ มีวธิ ีการตรวจสอบ (ตวั เลขหรือขอ้ มูล) ในการคานวณคาตอบ วา่ ถูกตอ้ งหรือไมน่ ้นั ดว้ ย
วิธีที่ไม่ซ้ากบั วธิ ีการคานวณด้งั เดิมน้นั ที่ใชอ้ ยนู่ ้นั โดยการใชว้ ธิ ีการอื่นแทน” คือวิธีอะไร คาตอบก็คือ
“การยันความถกู ต้อง (Cross - Checked)”

การยันความถกู ต้องของคาตอบในการคานวณ มี 2 วิธี คือ

(1) การคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines)
(2) การคดั ออกสิบเอด็ (Casting Out Elevens)
มีงานเขยี นที่ยงั หลงเหลือที่เก่าแก่ที่สุดไดอ้ ธิบายถึงสมบตั ิของเกา้ (9) คือ
วิธกี ารคัดออกเก้า ท่ีสามารถใชต้ รวจสอบคาตอบของการคานวณทางคณิตศาสตร์ไดค้ ือ “ตารามหา
สิทธนั ตะ (Mahâsiddhânta)” ของอารยภฏั (Aryabhata II ค.ศ. 920 -1000 ) นกั คณิตศาสตร์และนกั ดารา
ศาสตร์ชาวอินเดีย แลว้ ทาไมเก่ียวขอ้ งกบั เวทคณิต ? เวทคณิตสามารถคานวณการบวก ลบ คูณ หาร และ
การคานวณอ่ืน ๆ ไดเ้ ร็วและยงั สามารถคดิ เลขในใจไดใ้ นเพยี งหน่ึงบรรทดั พร้อมกบั กลไกการ
ตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง (Cross-Checked ) ท่ีแขง็ แกร่ง มนั ง่าย ๆ และสนุกกบั การคานวณ

xii

สูตรเวทคณติ (Vedic Sutras)

1. เอกาธิเกนะ ปูรเวณะ
Ekādhikena Pūrveṇa (एकाधिके न पूवणे ) – By one more than the previous one.

2. นขิ ิลมั นวตัศจรมมั ทศตหะ
Nikhilam Navathaścaramam Dhaśataḥ (धनधिलं नवतश्चरमं दशतः) – All from nine and the last from

ten.

3. อุรธวะ ติรยัคภยามฺ
Ūrdhva Tiryagbhyām (ऊर्धववधतर्गव्भ्र्ाम)् – Vertically and crosswise

4. ปราวรรตย์ โยชเยต
Parāvartya Yojayet (परावर्तर्व र्ोजर्ेत)् – Transpose and Apply

5. ศูนยัง สามยสมุจจเย
Śūnyam Sāmyasamuccaye (शनू ्र्ं साम्र् समचु ्चर्े) – If the Summation is the same, it is Zero

6. อานุรูปเย ศูนยมนั ยตั
Ānurūpye Śūnyamanyat (आनरु ूप्र्े शनू ्र्मन्र्त)् – If one is in ratio, the other is zero

7. สังกลนะ วยฺ วกลนาภยามฺ
Sankalana– vyavakalanābhyām (संकलन-व्र्वकलना्र्ाम्) - By addition, and by subtraction

8. ปรู ณาปูรณาภยามฺ
Pūraṇāpūraṇābhyām (पूरणापरू णा्र्ाम)् – By the Completion or Non– Completion

9. จลนะ – กลนาภยามฺ
Calana–kalanābhyām (चलनकलना्र्ाम्) – Differential Calculus

10.ยาวทูนัม
Yāvadūnam (र्ावदनू म)् – By the deficiency

11.วยษั ฏิสมษั ฏหิ ะ

Vyaṣṭisamaṣṭiḥ (व्र्धिसमधिः) – Specific and General
12.เศษาณยังเกนะ จรเมณะ

śeṣāṇyaṅkena carameṇa (शषे ाण्र्ंके न चरमणे ) – The remainders, by the last digit
13.โสปานตย ทวยมนั ตยมั

Sopāntyadvayamantyam (सोपान्र्तर्द्वर्मन्र्तच्र्म)् – The ultimate and twice the penultimate
14.เอกนั ยูเนนะ ปูรเวณะ

Ekanyūnena Pūrveṇa (एकन्र्ूनेन पूवेण) – By One less than the One Before
15.คณุ ิตสมจุ จยหะ

Guṇitasamuccayaḥ (गधु णतसमचु ्चर्ः) – The product of the sums

xiii

16.คณุ กสมุจจยหะ
Guṇakasamuccayaḥ (गुणकसमचु ्चर्ः) – The product of the sum is equal to the sum of the product

อุปสูตรเวทคณิต (Vedic Sub-sutras)

1. อานุรูปเยณะ
Ānurūpyeṇa (आनुरूप्र्णे ) – Proportionately

2. ศิษยเต เศษสัมชญหะ
Śiṣyate Śeṣasamjñaḥ (धशष्र्ते शेषसजं ्ञः) – The Remainder Remains Constant

3. อาทยมาทเยนานตยะ มันตเยนะ
Ādyamādyenāntya-mantyena (आिमािेनान्र्तर्मन्र्तर्ने ) – The First by the First and the Last by the Last

4. เกวไลหะ สปิ ตกมั คุณยาต
Kevalaiḥ Saptakam Guṇyāt (के वलः सप्तकं गुण्र्ात)् – For 7 the Multiplicand is 143

5. เวษฏนัม
Veṣṭanam (वेिनम)् – By Osculation

6. ยาวาทูนัม ตาวทูนัม
Yāvadūnam Tāvadūnam (र्ावदनू ं तावदनू )ं – Lessen by the Deficiency

7. ยาวาทูนัม ตาวทูนิกฤตยะ วารคัญจะ โยชเยต
Yāvadūnam Tāvadūniktrya Varganca Yojayet (र्ावदनू ं तावदनू ीकृ र्तर् वगं च र्ोजर्ेत्)
– Whatever the Deficiency lessen by that amount and set up the Square of the Deficiency

8. อนั ตยาโยรทศเกปิ
Antyayordaśake’pi (अन्र्तर्र्ोर्द्शव के ऽधप) – When the sum of the last digits is ten.

9. อนั ตยาโยเรวะ
Antyayoreva (अन्र्तर्र्ोरेव) – Only the last terms.

10.สมุจจยคณุ ติ หะ
Samuccayaguṇitaḥ (समचु ्चर्गुधणतः) – Sum of the coefficients in the product.

11.โลปนสถาปนาภยมฺ
Lopanasthāpanābhyām (लोपनस्थापना्र्ां) – By Alternative Elimination and Retention

12.วโิ ลกนัม
Vilokanam (धवलोकनं) – Mere Observation or the product of the sum of coefficient.

13.คณุ ิตสมจุ จยหะ สมจุ จยคุณิตหะ
Guṇitasamuccayaḥ Samuccayaguṇitaḥ (गधु णतसमचु ्चर्ः समचु ्चर्गुधणतः) – The product of the sum of

the coefficients in the factors is equal to the sum of the coefficients in the product

xiv

14.ทวนั ทวโยคหะ
Dvaṅdvayogah -(द्वन्द्वर्ोग) – Duplex combination or sum of pairs.

15.ศุทธะ
Śūddha (शदु ्ध) – Purification.

16.ธวาชางกะ
Dvajāḍa or Dvajāṅka (र्धवजाकं ) – Flag digit.

xv

1. การยนั ความถูกต้อง

บทนา

เคยสงั เกตไหม วา่ ขณะที่เราทอ่ งสูตรคูณแมเ่ กา้ (9) “เกา้ หน่ึงเกา้ เกา้ สองสิบแปด เกา้ สามยส่ี ิบเจด็ ...
สิบสองเกา้ หน่ึงร้อยแปด” แลว้ เคยสังเกตไหมวา่ ผลคณู ต้งั แต่หน่ึงถึงสิบสอง เม่ือนาเลขโดดท่ีเป็นคาตอบของผล
คณู ในแต่ละจานวนน้นั มาบวกกนั จะไดผ้ ลบวกเลขโดดสุดทา้ ยเป็นเลขเกา้ (9)

สูตรคูณแม่ 9

91 = 09 → 0 + 9 = 9

9 2 = 18 →1+ 8 = 9

93 = 27 → 2 + 7 = 9

9 4 = 36 → 3+ 6 = 9

95 = 45 → 4 + 5 = 9

96 = 54 → 5 + 4 = 9

97 = 63 → 6 + 3 = 9

98 = 72 → 7 + 2 = 9

99 = 81 → 8 +1 = 9

910 = 90 → 9 + 0 = 9

911 = 99 → 9 + 9 =18 →1+ 8 = 9

912 = 108 →1+ 0 + 8 = 9

อาจมีหลาย ๆ คนพบสมบตั ิน้ีแลว้ ๆ คดิ ต่อไปหรือไม่วา่ ทาไม ? เอาไปใชป้ ระโยชน์อยา่ งไร
มีงานเขียนที่ยงั หลงเหลือท่ีเก่าแก่ที่สุดไดอ้ ธิบายถึงสมบตั ิของเกา้ (9) คือ
วิธีการคดั ออกเก้า ที่สามารถใชต้ รวจสอบคาตอบของการคานวณทาง
คณิตศาสตร์ไดค้ ือ “ตารามหาสิทธนั ตะ (Mahâsiddhânta)”
ของอารยภฏั (Aryabhata II ค.ศ. 920 -1000 ) นกั คณิตศาสตร์และนกั ดารา
ศาสตร์ชาวอินเดีย

แลว้ ทาไมเกี่ยวขอ้ งกบั เวทคณิต ? เวทคณิตสามารถคานวณการบวก ลบ คูณ หาร และการคานวณอื่น ๆ
ไดเ้ ร็วและยงั สามารถคิดเลขในใจไดใ้ นเพยี งหน่ึงบรรทดั พร้อมกบั กลไกการตรวจสอบดว้ ยการยนั ความถกู ตอ้ ง
(Cross-Checked ) ท่ีแขง็ แกร่ง มนั งา่ ย ๆ และสนุกไปกบั การคานวณ
https://en.wikipedia.org/wiki/Casting_out_nines

ดงั น้นั ก่อนท่ีจะศึกษาวธิ ีคิดเลขเร็วแบบเวทคณิตน้นั อนั เป็นสิ่งท่ีน่าศึกษายง่ิ แต่ก็ยงั ไม่เพยี งพอ ยงั ตอ้ ง
ศึกษาวธิ ีตรวจสอบวา่ การคดิ เลขหาคาตอบน้นั ๆ คดิ ไดอ้ ยา่ งถูกหรือไม่อีกดว้ ย ปกติวิธีที่เราใชด้ ้งั เดิมอยนู่ ้นั กค็ ือ
ตรวจซ้าอีกรอบซ่ึงมนั อาจจะตรวจสอบผดิ พลาดซ้าเเลว้ ซ้าเลา่ กบั การตรวจซ้าเดิม ๆ น้นั หรือก็ใชเ้ คร่ืองคิดเลข
ตรวจสอบคาตอบอยา่ งท่ีเราเคยชินกนั

การยันความถูกต้อง (Cross-Checked)

ในการคานวณทกุ ประเภทน้นั ในขณะที่เรากาลงั กระทาการบวก ลบ คูณ หาร ยกกาลงั สองหรือการหา
รากท่ีสอง ของจานวนต่าง ๆน้นั เมื่อการคานวณถึงข้นั ตอนสุดทา้ ยหาผลลพั ธส์ ิ้นสุดของคาตอบแลว้ ก็ยงั ถือวา่
การคานวณน้นั ยงั ไมส่ ิ้นสุดอยา่ งสิ้นเชิง ส่ิงที่จาเป็นและสาคญั อีกอยา่ งหน่ึงคือการตรวจสอบวา่ การคานวณท่ี
ดาเนินการหาคาตอบอยนู่ ้นั คาตอบถูกตอ้ งหรือไม่ ดงั ท่ีกลา่ วมาแลว้ ขา้ งตน้ โดยปกติแลว้ การตรวจสอบความ
ถกู ตอ้ งเรากใ็ ชก้ ารคานวณซ้า ๆ อีกรอบหน่ึงหรือบา้ งคร้ังก็สองถึงสามรอบ ซ่ึงเป็นการตรวจสอบดว้ ยการ
คานวณซ้า ๆ น้นั ยอ่ มมีโอกาสท่ีจะคานวณผิดพลาดซ้าไดอ้ ีก และเป็นการเสียเวลาเท่ากบั การคานวณใหม่ และยงิ่
ไมม่ ีเคร่ืองคิดเลขช่วยตรวจสอบ แลว้ เราจะมีวิธีการอื่นไหมที่สามารถตรวจสอบความถูกตอ้ งของคาตอบได้
รวดเร็วและมีประสิทธิภาพ ที่ไม่ตอ้ งทาซ้ากบั วิธีเดิมน้นั อีก

คาถามคือ จะมีวิธีการตรวจสอบความถูกตอ้ งของคาตอบในการคานวณ โดยใชว้ ิธีการอ่ืนท่ีแตกต่างจาก
ที่เคยใชอ้ ยดู่ ้งั เดิมท่ีไดร้ ับการเรียนรู้มาน้นั หรือไม่ ? ดงั จากเหตุผลขา้ งตน้ คาตอบกค็ ือ “ม”ี

แล้ว ถา้ มีวธิ ีการตรวจสอบ (ตวั เลขหรือขอ้ มูล) ในการคานวณคาตอบ วา่ ถูกตอ้ งหรือไม่น้นั ดว้ ยวิธีที่ไม่
ซ้ากบั วธิ ีการคานวณด้งั เดิมน้นั ท่ีใชอ้ ยนู่ ้นั โดยการใชว้ ิธีการอื่นแทน” คือวิธีอะไร คาตอบก็คือ

“การยันความถกู ต้อง (Cross - Checked)”
ความเป็นมาของการยนั ความถกู ตอ้ ง ในเวทคณิต มีอยใู่ นอุปสูตร

อปุ สูตรท่ี 13 คุณติ สมุจจยหะ
หมายถึง ผลการดาเนินการคานวณท้งั หมดน้นั ยอ่ มเทา่ กนั (the whole product is the same)

น่ีคือ ความมีเสน่หข์ องเวทคณิต นอกจากจะเก่ียวกบั เรื่องการคดิ เลขในใจและการคิดเลขเร็วไดแ้ ลว้ ก็
คือการตรวจคาตอบโดยผลการดาเนินการคานวณท้งั หมดยอ่ มเทา่ กนั (the whole product is the same)

น้นั ก็คือมีการตรวจสอบคาตอบในการคานวณวา่ ถกู ตอ้ งหรือไม่ ดว้ ยวิธีการยนั ความถูกตอ้ ง หรือ
ในเวทคณิตถูกบนั ทึกดว้ ยภาษาสนั สกฤต เรียกวธิ ีน้ีวา่

“วิธีพชี างกะ (Beejank Method)”

การยันความถกู ต้องของคาตอบในการคานวณ มี 2 วธิ ี คือ

(1) การคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines)
(2) การคดั ออกสิบเอด็ (Casting Out Elevens)

2

ก่อนท่ีจะศึกษา วิธีตรวจสอบคาตอบในการคานวณ เช่น การบวก การลบ การคูณและการหาร เป็นต้น

ด้วยวิธีการยนั ความถูกต้องนั้น เพื่อความเข้าใจอย่างถ่องแท้ในความรู้นีเ้ ราควรจะต้องศึกษาความรู้พืน้ ฐาน

ต่อไปนีเ้ สียก่อนจึงจะสามารถตกผลึกความคิดได้

1.1 เศษเหลือของจานวนที่ถูกหารด้วยเก้า (9)

เก้า (9) เป็นเลขมหศั จรรย์ ในคณิตศาสตร์ มนั เป็นเลขโดดที่มีคา่ มากที่สุด (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

ในระบบการนบั ฐานสิบ ของระบบฮินดู-อารบิก

ในเวทคณิตได้กล่าวถงึ การยนั ความถกู ต้องไว้ใน สูตรนวเศษ (Vedic Sutra Navasesh) ซ่ึงเป็นภาษา

สนั สกฤต มาจากรากศพั ท์

• นวนฺ ค. พพ. ‘นวนั ’ เกา้ (nine)

• เศษ. น. ส่ิงที่เหลือ เดน ทรัพยเศษ (remainder, leavings, balance)

สมบตั ิของ การหารจานวนเต็มบวก (Positive Whole Number) ใด ๆ ด้วย เก้า พบสมบตั ิเศษเหลือท่ีหารด้วยเก้านี้

สามารถหาได้จากผลบวกเลขโดดของจานวนเต็ม น้นั ได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

กาหนด ให้หาการหารของ 37589 และ 4572 9

วิธีต้งั หาร 417 508

9)3 7 5 8 9)4 5 7 2

36 45

15 0 7
09 00

68 72

63 7 2

50

จากการหารข้างต้น 37589 เศษเหลือ คือ 5
แต่พอหาผลบวกเลขโดดของ 3758 ใหไ้ ดผ้ ลบวกเลขโดดข้นั สุดทา้ ยเป็นตวั เลขโดดเพยี งตวั เดียว หรือ

ผลบวกเลขโดดของจานวนน้นั ตอ้ งม่ีคา่ ไม่เกินเกา้ ดงั น้ี 3+ 7 +5+8 = 23 แต่ผลบวกยงั ไม่เป็นเลขโดดตวั
เดียวหรือมีคา่ เกินเกา้ ยงั ตอ้ งคงหาผลบวกของ 23 ต่อไปอีกคือ 2 + 3 = 5 ไดเ้ ทา่ กบั 5 และก็พบวา่ 37589
เศษเหลือของการหารไดเ้ ท่ากบั 5 เท่ากบั พอดี
หมายเหตุ เราจะใชส้ ัญลกั ษณ์ ผลบวกเลขโดดของ 3758 ดงั น้ี 3+ 7 +5+8 = 23 → 2 + 3 = 5
ในทานองเดยี วกนั 4572 9 หาผลบวกเลขโดดของ 4572 คือ 4 +5+ 7 + 2 =18 →1+8 = 9
แต่ 9 หารดว้ ย 9 ลงตวั เหลือเศษ 0 (ศนู ย)์ ดงั น้นั 4572 9 เศษเหลือของการหารไดเ้ ทา่ กบั 0 หรือเป็นการ
หารลงตวั นนั่ เอง

3

พสิ ูจน์เชิงเลขคณิต

จากนิยามการหาร ถา้ a และ b เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ แลว้ a  b = a , b  0

b

ด้งั น้นั 3758 9 = 3758 แตต่ วั ต้งั 3758 สามารถ กระจายตามคา่ ประจาตาแหน่งของเลขฐาน 10 ได้

9

ด้งั น้ี 3758 = 3(1000) + 7(100) + 5(10) +8

ดงั น้นั 3758 = 3 (1000) + 7  (100) + 5 (10) + 8
99

= 3 (1000) + 7  (100) + 5 (10) + 8  a + b = a + b 
9 9 99  c c c 

= 3 (999 +1) + 7  (99 +1) + 5 (9 +1) + 8
9 9 99

=  3 999 + 3  +  7  99 + 7  +  5 9 + 5  + 8
 9   9   9  9

=  3 999 + 3  +  7  99 + 7  +  5 9 + 5  + 8
 9 9   9 9   9 9  9

=  333 + 3  +  77 + 7  +  5 + 5  + 8
 9   9   9  9

= 333 + 77 + 5 + 3 + 7 + 5 + 8 ผลบวกเลขโดด
9999
แต่ 23 = 2 + 5
= 415 + 3 + 7 + 5 + 8 = 415 + 23
99 99

= 415 + 2 + 5 = 417 + 5
99

จากการ 3758 9 เศษเหลือ คือ 5 และผลบวกเลขโดดของ 3758 (3+ 7 +5+8 = 23 → 2 + 3 = 5) ก็คอื 5

สรุปได้ว่า

จานวนเต็มใด ๆ ทีถ่ กู หารด้วยเก้า (9) เศษเหลือจากการหารจานวนเตม็ น้นั ด้วยเก้า สามารถหาได้จาก

ผลบวกเลขโดดทุก ๆ ตวั ของในจานวนเต็มน้ัน ๆ

บทนิยาม 1 นวเศษ (Navasesh) ของจานวนเตม็ ใด ๆ คือเศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหารจานวนเตม็ น้นั ดว้ ยเกา้ (9)

นวเศษ ของจานวนเตม็ I เขียนแทนด้วย N(I)
หมายเหตุ นวเศษ (Navasesh) มีความหมายในทฤษฎีจานวนน้นั คือโมดุโลของเกา้ (Modulo-Nine)

บทนยิ าม 2 เลขโดด ในระบบฐานสิบ หมายถึงตวั เลขตวั เดียว ไดแ้ ก่ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 และ 0
บทนิยาม 3 ผลบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ ท่ีสามารถหาผลบวกเลขโดดได้ คือผลบวกเลขโดดทกุ ๆ หลกั ของ

จานวนน้นั ตอ้ งมีคา่ ไมม่ ากกวา่ 9 หรือผลบวกเลขโดดทุก ๆ หลกั ของจานวนจะตอ้ งมีผลบวกข้นั สุดทา้ ยเป็น
ตวั เลขโดดเพยี งตวั เดียว แต่ถา้ ผลบวกยงั มีผลลพั ธเ์ ป็นเลขโดดมากกวา่ หน่ึงตวั แลว้ กใ็ หห้ าผลบวกเลขโดดน้นั ซ้า
อีกจนไดผ้ ลบวกเลขโดดสุดทา้ ยเป็นตวั เลขโดดพยี งตวั เดียว

4

เช่น ผลบวกเลขโดดของ 17 คือ 1+ 7 = 8
ด้งั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 17 คอื 8

ผลบวกเลขโดดของ 123 คอื 6 เพราะวา่ 1+ 2 +3 = 6

ผลบวกเลขโดดของ 5245 คือ 5+ 2+ 4+5 =16 แต่ 16 ยงั ไม่เป็นเลขโดดหรือมีค่ามากกวา่ 9 จะตอ้ ง
หาผลบวกเลขโดดของ 16 ต่ออีก คอื 1+ 6 = 7 ดงั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 5245 เทา่ กบั 7

เขียนแทนด้วย 5245 →16 → 7

ในทานองเดยี วกนั สาหรับ 39 ผลบวกเลขโดดของ 39 เขียนแทนดว้ ย 39 → 3+9 =12 →1+ 2 = 3

หมายเหตุ ผลบวกเลขโดดภาษาสนั สกฤต คือพชี างกะ ( बीज ंाक = Beejank = digit sum)

กฎของนวเศษ

ให้ a,b,c เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ

1. N(a + b + c) = N[N(a) + N(b) + N(c)]
2. N(a  b) = N[N(a) N(b)]
3. N(a − b) = N[N(a) − N(b)]
4. N(−a) = 9 − N(a)
5. N(9) = N(0)
6. ถา้ a หารดว้ ย b แลว้ ผลหาร q เศษเหลือ r

N(a) = N(q  b) + N(r) = N ( N(q)  N(b)) + N(r)

พสิ ูจน์ จากบทแทรกการหารของยคุ ลดิ (Euclid's division lemma)

สาหรับจานวนเตม็ a และ d ใด ๆ จะตอ้ งมีจานวนเตม็ q และ r เพยี งค่เู ดียวทีทาให้ a = dq + r
และ 0  r  d ข้นั ตอนการหาร กล่าวถึงผลลพั ธจ์ ากการหารของจานวนเตม็ ไวอ้ ยา่ งเท่ียงตรง ที่สาคญั ข้นั ตอน

การหารยนื ยนั วา่ จานวนเตม็ ที่เรียกวา่ ผลลพั ธ์ q (quotient) และ เศษเหลือ r (remainder) มีอยเู่ สมอและมีเพยี ง

คา่ เดียวสาหรับตวั ต้งั a และตวั หาร d โดยที่ d  0

จากสมการการหาร a = dq + r และ 0  r  d

ด้งั น้นั N(a) = N(q d) + N(r) = N ( N(q)  N(d)) + N(r)

ตัวอย่างนวเศษของจานวนเต็มใด ๆ

เช่น นวเศษของ 317 เขยี นแทนดว้ ย N(317) = N(3+1+ 7) = N(11) = N(1+1) = N(2) = 2
นวเศษของ 437 เขียนแทนดว้ ย N(437) = N(4 + 3+ 7) = N(14) = N(1+ 4) = N(5) = 5

5

ตัวอย่างวธิ ีการคดิ นวเศษ
กรณีท่ี 1 นวเศษของจานวนที่มีหลกั เดียวคอื ตวั เลขน้นั เลย เช่น

N(5) = 5

กรณีท่ี 2 นวเศษของจานวนท่ีมีมากกวา่ หน่ึงตวั คือผลบวกของเลขโดดแต่ละหลกั เช่น
N (52) = N (5 + 2) = N (7) = 7

N(68) = N(6 + 8) = N(14) = N(1+ 4) = N(5) = 5

N (234) = N (2 + 3 + 4) = N (9) = 9
แต่นวเศษ คือเศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหารจานวนเตม็ ดว้ ย 9 ดงั น้นั เม่ือเศษเหลือคอื 9 เมื่อดาเนินการหารต่อดว้ ย
9 จะไดผ้ ลหารเป็น 1 เหลือเศษเป็นศูนย์ (0)
ดังน้นั N (234) = N (2 + 3 + 4) = N (9) = 9 = N(0) = 0
กรณีที่ 3 นวเศษของสองจานวนบวกกนั เช่น 43+ 25 = 68
หา N(43+ 25) = N ( N(43) + N(25)) = N ( N(4 + 3) + N(2 + 5)) = N(N(7) + N(7)) = N(7 + 7)

= N(14) = N(1+ 4) = N(5) = 5

และหานวเศษของ N(68) = N(6 +8) = N(14) = N(1+ 4) = N(5) = 5
เพราะฉะน้นั N(43+ 25) = N(68)
แสดงวา่ “นวเศษของแตล่ ะจานวนท่ีบวกกนั จะตอ้ งเท่ากบั นวเศษของผลบวกทุกจานวนน้นั ๆ”
กรณีท่ี 4 นวเศษของสองจานวนลบกนั เช่น 63−19 = 44
หา N(63 −19) = N ( N(63) − N(19)) = N ((6 + 3) − N(1+ 9)) = N ( N(9) − N(10))

= N ( N(9) − N(1+ 0)) = N(9 −1) = N(8) = 8
และหา N (44) = N (4 + 4) = N (8) = 8
เพราะฉะน้นั N(63−19) = N(44)
หรือในกรณกี ารลบมคี ่าตดิ ลบ เช่น 49−82 = −33
ดงั น้นั N(49 − 82) = N ( N(49) − N(82)) = N (N(4 + 9) − N(8 + 2)) = N ( N(13) − N(10))

= N ( N(1+ 3) − N(1+ 0)) = N(4 −1) = N(3) = 3
แต่ N(−33) = 9 − N(33)) = 9 − N(3+ 3) = 9 − 6 = 3 (ตามกฎขอ้ ท่ี 4)
เพราะฉะน้นั N(49 −82) = N(−33)
กรณีที่ 5 นวเศษของสองจานวนคูณกนั เช่น 124 = 48
นวเศษของ N(12 4) = N ( N(12)  N(4)) = N (N(1+ 2)  N(4))

= N(3 4) = N(12) = N(1+ 2) = N(3) = 3

และนวเศษผลคูณ N(48) = N(4 +8) = N(12) = N(1+ 2) = N(3) = 3 เพราะฉะน้นั N(124) = N(48)

6

กรณีท่ี 6 นวเศษของสองจานวนหารกนั เช่น 1235 = 24 เศษเหลือ 3
จากบทแทรกการหารของยคุ ลิด 123 = 245+ 3
จากขอ้ ท่ี 6 ของนวเศษ N(123) = N ( N(24) N(5)) + N(3)

N(1+ 2 + 3) = N ( N(2 + 4)  N(5)) + N(3)
N(6) = N ( N(6)  N(5)) + N(3)
6 = N (6 5) + N(3) = N (30) + N(3) = N(3+ 0) + N(3) = 3+ 3 = 6

เพราะฉะน้นั N(123) = N(245) + N(3)

1.2 การคดั ออกเก้า (Casting Out Nines)

พจิ ารณา วงกลมเกา้ จุด จานวนในแต่ละจุดบนวงกลมจะมีผลบวกเลขโดดเท่ากนั ดงั รูป
https://vedicmaths4all.com/courses/topic-4-digit-sums/nine-
point-circle/
จากความรู้เรื่องวงกลมเกา้ จุด จะพบสมบตั ิ “การคัดออกเก้า”
อนั เป็นเทคนิควิธีของการหาเศษเหลือจากการหารจานวนเตม็
บวกใด ๆ ดว้ ยเกา้ ดงั ท่ีกล่าวมาแลว้ ขา้ งตน้ เพราะ 0 และ 9 มี
สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์สาหรับการหาผลบวกเลขโดดของ
จานวนใด ๆ

ศูนย์ (0) มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์สาหรับการบวกอยแู่ ลว้ เช่น
30 มีผลบวกเลขโดด คือ 3+ 0 = 3

ดงั น้นั แทนท่ีจะหาผลบวกเลขโดดดว้ ยวธิ ีตรง ๆ เราก็คดั หรือตดั 0 ออกไดเ้ ลยดงั น้ี 30 → 3
หรือ 300 → 3+ 0 + 0 → 3 คดั 0,0 ออกไดเ้ ลย 300 → 3 เป็นตน้

เก้า (9) มีสมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์สาหรับการบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ
ดงั น้นั ในการหาผลบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ เช่น 19 มีผลบวกเลขโดดคือ 1+9 =10

แต่ผลบวกเลขโดดยงั มีคา่ มากกวา่ 9 ยงั ตอ้ งหาผลลบวกเลขโดดต่อ คือ 1+ 0 =1
ดงั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 19 คือ 1
แต่ แทนท่ีจะหาผลบวกเลขโดดดว้ ยวธิ ีตรง ๆอยา่ งขา้ งตน้ เรากลบั ใชว้ ธิ ีการคดั หรือตดั 9 ออกไดเ้ ลยดงั น้ี

19 → 1

39 มีผลบวกเลขโดดคือ 3+ 9 =12 →12 →1+ 2 → 3
จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ คดั 9 หรือตดั 9 ออกไดเ้ ลย 3 9 → 3

หรือ 399 → 3+ 9 + 9 → 21→ 2 +1→ 3 คดั 9,9 ออกไดเ้ ช่นเดียวกนั 399 → 3

7

บทนยิ าม 3 การคดั ออกเก้า (Casting Out Nines) เป็นวิธีเทคนิควธิ ีแทนการหาผลบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ
ดว้ ยการคดั เลข 9 หรือผลบวกเลขโดดสามารถรวมกนั ไดเ้ ท่ากบั 9 ท่ีมีอยใู่ นจานวนน้นั ออกจนผลการคดั ออก
สุดทา้ ยมีค่าไม่เกิน 9 หรือตวั เลขเพียงตวั เดียว
ตัวอย่างที่ 1 หาผลบวกเลขโดดของ 3949
วธิ ีทา โดยวธิ ีปกติ

หาผลบวกเลขโดดคือ 3+ 9 + 4 + 9 = 25 → 2 +5 = 7
โดยวธิ คี ดั ออกเก้า

3 9 4 9 คดั 9 ท้งั สองตวั ออกไดเ้ ลย
เหลือ 3 เลข 4 กบั ดงั น้นั 3+ 4 = 7

ตัวอย่างที่ 2 หาผลบวกเลขโดดของ 4379348568219
วธิ ีทา ข้นั ท่ี 1 พิจารณาถา้ ในจานวนน้นั มีเลข 9 อยู่ ใหค้ ดั ออกก่อน

43793485 68219

ข้นั ที่ 2 พิจารณาผลบวกเลขโดด 2 ตวั ข้นึ ไปท่ีรวมกนั ได้ 9 ใหค้ ดั ออก เช่นกนั

437 9 348 5 68 219

พบวา่ 3+ 6 = 8+1= 4 + 5 = 7 + 2 = 9 คดั ออกได้ ตวั เลขท่ีเหลือหาผลบวก 4 + 3+8 =15 →1+ 5 = 6
ดงั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 4379348568219 เท่ากบั 6
ตัวอย่างที่ 3 หาผลบวกเลขโดดของ 4954653
วิธีทา ผลบวกเลขโดดของ 4954653 โดยวิธีคดั ออกเกา้

9

4+9+5+4+6+5+3 = 0

99

นอกจากนยี้ ังมสี มบัติอื่น ๆ เช่น
• แสดงค่าท่ีนอ้ ยท่ีสุดของผลบวกกาลงั สามของสองจานวนแรกของจานวนนบั จะมีผลบวก
เทา่ กบั เกา้ สมอ นนั่ คือ 13 + 23 = 9
• ผลคณู จานวนใด ๆ ที่ถูกคูณดว้ ย 9 ถึงจานวนน้นั จะมีค่าเท่าใดก็ตาม ผลบวกเลขโดดของผล
คูณจานวน น้นั ๆ จะเป็นเกา้ เสมอ
ตวั อยา่ งเช่น ก) 1239 =1107 ผลบวกเลขโดดของ 1107 คือ 1+1+ 0 + 7 = 9
ข) 4598739 = 4138857 ผลบวกเลขโดดของ 4138857 คือ

4 +1+ 3+8 +8 + 5 + 7 = 36 → 3+ 6 = 9

8

• รูปแบบการหารจานวนเตม็ ที่นอ้ ยกวา่ 9 จะมีรูปแบบเป็นเอกลกั ษณ์เสมอ ดงั น้ี

1 = 0.1111.... 2 = 0.2222.... 3 = 0.3333....
9 9 9
4 = 0.4444.... 5 = 0.5555.... 6 = 0.6666....
9 9 9
7 = 0.7777.... 8 = 0.8888.... 9 = 0.9999....
9 9 9

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 1 จานวนเตม็ ผลบวกของเลขโดด
จงหาผลบวกตวั เลขโดดของจานวนต่อไปน้ี
2346
จานวนเตม็ ผลบวกของเลข 16271
9653
465 36247
274 215841
3335
6139 7125
2561 9821736
891
723

9

1.3 การยันความถูกต้องของการคานวณด้วยวิธีการคดั ออกเก้า

เนื่องจากสมบตั ิจานวนใด ๆที่สามารถหาผลบวกเลขโดดได้ “เมื่อถูกการหารดว้ ยเกา้ (9) แลว้ จะพบวา่

เศษเหลือท่ีเกา้ หารจานวนน้นั จะเท่ากบั ผลบวกเลขโดดของจานวนน้นั ดว้ ย”

และการหาผลบวกเลขโดดกห็ าไดง้ ่าย รวดเร็วดว้ ยวิธคี ัดการออกเก้า

จึงนามาประยกุ ตใ์ ชใ้ นการตรวจสอบความถูกตอ้ งในการบวก ลบ คณู และหารได้ โดยไม่ตอ้ งตรวจสอบดว้ ยการ

ตรวจซ้า ๆ แบบวิธีด้งั เดิม เรียกวธิ ีการน้ีวา่

“การยนั ความถูกต้องด้วยวิธีการคดั ออกเก้า”

(Cross-Checked by Casting Out Nines)

1.3.1 การตรวจสอบยนั ความถกู ต้องสาหรับการบวก

ตวั อย่างท่ี 1 หาผลบวกของ 32 +12 และตรวจคาตอบดว้ ยวธิ ีการยนั ความถกู ตอ้ ง

วธิ ที า ผลบวกเลขโดด

ตวั ต้งั 3 2 →3+2=5 5
ตวั บวก
+ +
3
1 2 →1+ 2 = 3

ผลลพั ธ์ 4 4 →4+4=8 8 คาตอบ คือ 44 ถูกตอ้ ง

วธิ ีการยันความถูกต้องของคาตอบการบวก ว่าการบวกน้ันถกู ต้องหรือไม่มีข้นั ตอนดงั นี้

1. หาผลบวกตวั เลขของสองจานวนที่นามาบวกกนั คอื 32 ผลบวกเลขโดดคือ 3+ 2 = 5

และ 12 ผลบวกเลขโดดคือ 1+ 2 = 3

และคาตอบ 44 ผลบวกเลขโดดคือ 4 + 4 = 8

2. ยนั ความถูกตอ้ งดว้ ยการนามาจากผลบวกเลขโดดของของสองจานวนท่ีนามาบวกกนั น้นั คือ 5 กบั 3
บวกกนั ได้ 8 ซ่ึงไดเ้ ทา่ กบั ผลบวกเลขโดดของคาตอบ คือ 4 + 4 = 8 แสดงวา่ คาตอบถกู ตอ้ ง

แต่เนื่องจากการหาผลบวกเลขโดดทก่ี ล่าวข้างต้นสามารถใช้วิธีการคดั อออกเก้าแทนได้ดงั ตัวอย่างที่

แสดงวิธีการได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตวั อย่างท่ี 2 หาผลบวกของ 93615 + 18209 และตรวจคาตอบดว้ ยวธิ ียนั ความถกู ตอ้ ง

วิธีทา ใชว้ ธิ ีคดั การออกเกา้ เพื่อความรวดเร็วในการคิดเลข

ผลบวกเลขโดดดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้

9 3 615 6 ตัวต้ัง คดั 9 และ 3+ 6 = 9 ออก เหลือ 1+ 5 = 6
+
+ ตัวบวก คดั 9,0 และ 1+8 = 9 ออก เหลือ 2
18209 2

0 1 8 1 4 =1118 2 4 8 คาตอบ คดั 9 ออก เหลือ 1+1+1+8+ 2 + 4 = 8

1 1001

10

ตวั อย่างท่ี 3 หาผลบวกของ 279 + 121 และตรวจคาตอบดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้

วิธีทา 2 7 9 0 1. เราไดค้ าตอบ 400
+
+ 4 2. หาผลบวกเลขโดดของ 279 โดยการคดั ออกเลข 9 คอื 0

121

400 4 121 ผลบวกเลขโดด คือ 4

3. หาผลบวกของ 0 และ 4 ได้ 4

4. ผลบวกเลขโดดของคาตอบ 400 คอื 4 โดยการตดั ออกเลข 9

ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั 4 ในขอ้ 3

สรุปข้ันตอนการคดิ ดงั นี้

1. หาผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตวั บวก ดว้ ยวธิ ีการคดั ออกเกา้
2. หาผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์ของเลขสองจานวนที่นามาบวกกนั (ในขอ้ 1)

3. นาผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั ไปบวกกบั ผลบวกเลขโดดของตวั ที่นามาบวก แลว้ ถา้ ผลบวกเลขโดด
ของผลลพั ธ์น้ีเท่ากบั ผลบวกเลขโดดของผลลพั ธข์ องเลขสองจานวนที่นามาบวกกนั น้นั (ในขอ้ 2)
แสดงวา่ คาตอบในการบวกเลขสองจานวนน้นั ถูกตอ้ ง และในทางตรงขา้ มก็แสดงวา่ คาตอบไมถ่ ูกตอ้ ง

1.3.2 การตรวจสอบยันความถูกต้องสาหรับการลบ

ตวั อย่างท่ี 1 ตรวจสอบวา่ 4127 − 2376 =1751 ถูกตอ้ งหรือไม่
วธิ ีทา คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั ลบ

412 7 → 4+1 5

− −

2376 →0 0

17 51 →5 5 แสดงวา่ ถูกตอ้ ง

ตวั อย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 65451− 48769 =16682 ถกู ตอ้ งหรือไม่

วิธีทา คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั ลบ

−2 − 5 3−
7
654 5 1 →
−4
48769

−1

1 6 682

ในกรณีการคดั ออกเกา้ มีค่าเป็นลบ เน่ืองจากการหารเศษเหลือตอ้ งเป็นจานวนบวก ดงั น้นั จะตอ้ งนา 9
มาบวกกบั เศษเหลือท่ีเป็นจานวนลบเพือ่ ให้เศษเหลือมีคา่ เป็นบวกตามข้นั ตอนการหารของยคุ ลิด
ดงั น้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4
เพราะฉะน้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4 → −4 + 9 = 5

11

ตวั อย่างท่ี 3 หาค่าของ 35567 −11828 และตรวจสอบคาตอบดว้ ยการยนั ความถูกตอ้ ง

วิธที า 3 5 5 6 7 การยนั ความถกู ตอ้ ง 8

11 8 2 8 −

2

2 3 7 3 9 →6 6

สรุป ใชก้ ารคดั ออกเกา้ ในการยนั ความถกู ตอ้ งเป็นจริง
1.3.3 การตรวจสอบยนั ความถูกต้องสาหรับการคูณ
ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 243257 = 62451 ถูกตอ้ งหรือไม่
วิธีทา คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั คณู

243 → 9 → 0

257 → 5 ดงั น้นั 243257 → 05 = 0
คดั ออกเกา้ ของคาตอบ 62451→ 0 คาตอบถูกตอ้ ง

ตัวอย่างท่ี 2 ตรวจสอบวา่ 46723469 =16207168 ถูกตอ้ งหรือไม่

วธิ ที า คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั คูณ

4672 → 1

3469 → 4 ดงั น้นั 46723469 →14 = 4

คดั ออกเกา้ ของคาตอบ 16207168 → 4 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

ตัวอย่างท่ี 3 หาคา่ ของ 876143 และตรวจสอบผลเฉลยยนั ความถูกตอ้ ง

วธิ ีทา 8 7 6 1 4 การยนั ความถูกตอ้ ง 8

 

33

4 1 8 3 2 = 262842 24 → 6

2 2101

ผลบวกเลขโดดของคาตอบ 262842 ผลบวกเลขโดด เทา่ กบั 6

18 → 9 → 0

สรุป ใชก้ ารคดั ออกเกา้ ในการยนั ความถูกตอ้ งเป็นจริง

ตวั อย่างท่ี 4 หาผลคูณของ 84791247 ดว้ ย 25 และตรวจสอบยนั ความถูกตอ้ ง

วธิ ีทา การคูณดว้ ยตวั คูณ 25 มีเทคนิคการคิด ดว้ ยการเขยี นศูนยส์ องตวั ที่ทา้ ยเลข 84791247 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น

8479124700

แลว้ หารดว้ ย 4 = 8479124700  4 = 2119781175

ดงั น้นั 8479124725 = 2119781175

12

วธิ ีการคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines)
ตวั ต้งั 84791247 → 6
ตวั คูณ 25 → 7
คาตอบ 2119781175 → 6
ดงั น้นั 76 = 42 → 6

1.3.4 การตรวจสอบยันความถกู ต้องสาหรับการหาร

การยนั ความถกู ตอ้ งของการหาร ตอ้ งใชส้ มการจากข้นั ตอนการหาร
ตวั ต้งั = ตัวหาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

ตัวอย่าง แสดงการตรวจสอบยนั ความถูกตอ้ งของคาตอบในการหาร

ตัวอย่างที่ 1 แสดงการยนั ถูกตอ้ งของ 671 4 =167 + 3 ดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้

4

วธิ ีคิด จากสมการข้นั ตอนการหาร
กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

LHS = RHS
คดั ออกเกา้ สาหรับตวั ต้งั 671→ 5

สาหรับตวั หาร 4 → 4
สาหรับผลลพั ธ์ 167 → 5
สาหรับเศษเหลือ 3 → 3

RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ =1674 + 3 → 45+ 3 → 2 + 3 → 5

LHS = ตวั ต้งั = 5 ดงั น้นั คาตอบถกู ตอ้ ง
วิธที า จากสมการข้นั ตอนการหาร

ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

จากวิธีการคดั ออกเกา้ 5 = 45+3

5 = 20 + 3 → 5

หรือจากตวั อย่างท่ี 1 กรณผี ลหารเป็ นทศนิยม 6714 =167.75

กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

LHS = RHS

13

คดั ออกเกา้ สาหรับตวั ต้งั 671→ 5
สาหรับตวั หาร 4 → 4
สาหรับผลลพั ธ์ 167.75 →8

จากสมการข้นั ตอนการหาร RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ = 48 = 32 →5
LHS = ตวั ต้งั = 5 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

วิธที า จากสมการข้นั ตอนการหาร
ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

จากวธิ ีการคดั ออกเกา้ 5 = 48 → 32 → 5

14

1.4 เศษเหลือของจานวนที่ถูกหารด้วยสิบเอด็ (11)

บทนา
การตรวจสอบความถกู ตอ้ งของคาตอบในการคานวณดว้ ยวธิ ีการคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines) จะมี

ปัญหา อนั เน่ืองจากอนั ดบั ของตวั เลขโดดในแต่ละหลกั ของจานวนต่างกนั แต่ผลบวกตวั เลขทกุ ๆ หลกั มีค่า
เทา่ กนั ดงั ตวั อยา่ งน้ี
ผลบวกเลขโดดของ 634 → 6 +3+ 4 = 4
ผลบวกเลขโดดของ 463 → 4 + 6 +3 = 4
ผลบวกเลขโดดของ 643 → 6 + 4 +3 = 4

ดว้ ยเหตุผลขา้ งตน้ นกั คณิตศาสตร์พบวธิ ีแกป้ ัญหาดว้ ยวิธีการคดั ออกสิบเอด็ (Casting Out Elevens)
กล่าวคอื “วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ เหมาะกบั การคานวณท่ีจานวนท่ีนามาคิดเลขมีคา่ มาก ๆ หรือประกอบดว้ ยเลข
โดดหลาย ๆ หลกั ถา้ อนั ดบั ของตวั เลขโดดในแตล่ ะจานวนตา่ งกนั จะไดผ้ ลบวกเลขโดดต่างกนั ทนั ที นน่ั
หมายความวา่ วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ ใชไ้ ดด้ ีกวา่ วิธีการคดั ออกเกา้

แต่ก่อนท่ีจะศึกษาการตรวจสอบคาตอบถูกตอ้ งของการคานวณดว้ ยการยนั ความถกู ตอ้ ง ดว้ ยวิธีการคดั
ออกสิบเอด็ น้นั จะกล่าวสมบตั ิการหารจานวนใดดว้ ยสิบเอด็ เสียก่อน ดงั ต่อไปน้ี

สมบตั ิของ 11 สาหรับการหารจานวนใด ๆเสียก่อนเพ่ือความเขา้ ถึงเศษเหลือของการหารน้นั จาก
ความรู้ทฤษฎีทวินาม (Binomial Theorem)
พจิ ารณา (a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 − 2ab + b2

(a − b)3 = (a + (−b))3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

(a − b)4 = (a + (−b))4 = a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4

(a − b)5 = (a + (−b))5 = a5 − 5a4b +10a3b2 −10a2b3 + 5ab4 − b5

สังเกต ทวินามท่ียกกาลงั คู่เม่ือกระจายแลว้ พจนส์ ุดทา้ ยจะมีเครื่องหมายเป็นบวก ในทางตรงขา้ ม
ทวนิ ามที่ยกกาลงั คี่เมื่อกระจายแลว้ พจนส์ ุดทา้ ยจะมีเคร่ืองหมายเป็นลบ

ลองพจิ ารณา จานวนสองจานวนน้ี 3758 และ 58454
เม่ือเรากระจายใหอ้ ยใู่ นรูปของคา่ ประจาตาแหน่งของเลขฐานสิบจะได้

รูปแบบดงั น้ี
3758 = 3(10)3 + 7(10)2 + 5(10) + 8 แทน 10 ดว้ ย (11−1) =10

3758 = 3(11−1)3 + 7(11−1)2 + 5(11−1) + 8

ในทานองเดียวกนั

58454 = 5(10)4 + 8(10)3 + 4(10)2 + 5(10) + 4

หรือ 58454 = 5(11−1)4 + 8(11−1)3 + 4(11−1)2 + 5(11−1) + 4

15

แต่เมื่อพจิ ารณา

(11−1)3 =113 − 3112 + 311−1

ถา้ นา 11 หารจานวนน้ีแลว้ เศษเหลือจะเท่ากบั −1

(11−1)4 =114 − 4113 + 6112 − 411 +1

แตถ่ า้ นา 11 หารจานวนน้ี เศษเหลือจะเทา่ กบั +1

ดงั น้นั ถ้าพจิ ารณาอย่างละเอยี ดแล้วถ้านา 375811 แล้วเศษเหลือจะเท่ากบั −3+ 7 −5+8 = 7

และในทานองเดียวกนั ถ้านา 5845411 แล้วเศษเหลือจะเท่ากบั 5−8+ 4 −5+ 4 = 0

วิธีต้งั หาร 341 531 4

11)3 7 5 8 11)5 8 4 5 4

33 55

45 34
44 33

18 15
11 11

7 44

44

0

สรุป การหาเศษเหลือของจานวนใด ๆ ท่ีหารดว้ ย 11 น้นั เป็นดงั น้ี
- แบง่ ตวั เลขของจานวนที่จะถูกหารดว้ ย 11 น้นั ออกเป็นสองส่วนคือเลขโดดตาแหน่งหลกั คี่กบั เลข
โดดตาแหน่งหลกั คู่
ตาแหน่งหลกั คี่ ใหเ้ ร่ิมนบั จากหลกั หน่วยเป็นตาแหน่งท่ี 1 หลกั ร้อยเป็นตาแหน่งที่ 3
หลกั หมื่นเป็นตาแหน่งที่ 5 เป็นเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ
ตาแหน่งหลกั คู่ ใหเ้ ริ่มนบั จากหลกั สิบเป็นตาแหน่งท่ี 2 หลกั พนั เป็นตาแหน่งท่ี 4
หลกั แสนเป็นตาแหน่งท่ี 6 เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ
- กาหนดตาแหน่งหลกั ค่ี เป็น บวก ส่วนตาแหน่งหลกั คู่ เป็น ลบ สลบั เคร่ืองหมายบวกและลบ
ไปเรื่อย ๆ
- ถา้ หาผลบวกตวั เลขของตาแหน่งหลกั ค่กี บั ผลบวกตวั เลขของตาแหน่งหลกั คู่ขา้ งตน้ น้นั เป็น 0 หรือ
11 หรือพหุคูณของ 11 แลว้ แสดงวา่ จานวนน้นั 11 หารลงตวั
แต่ ทางตรงขา้ มผลบวกขา้ งตน้ น้นั ไม่ได้ 0 หรือ 11 หรือพหุคูณของ 11 แสดงวา่ จานวนน้นั ถูกหาร
ดว้ ย 11 หารไม่ลง ดงั น้นั ผลบวกของเลขโดดน้ีกจ็ ะเป็นเศษเหลือของการหารดว้ ย 11

16

- ในกรณีหาผลบวกตวั เลขของตาแหน่งหลกั คีก่ บั ผลบวกตวั เลขของตาแหน่งหลกั คู่ มีค่าเป็น
จานวนลบ ซ่ึงจานวนท่ีหารดว้ ย 11 เศษเหลือเป็นจานวนลบ ปกติเศษเหลือตอ้ งเป็นจานวนบวก
ตามข้นั ตอนการหาร ใหน้ าเศษเหลือท่ีเป็นจานวนลบบวกกบั 11 อีกคร้ังจนไดเ้ ป็นจานวนบวก
ก็จะเป็ นเศษเหลือของการหารน้ นั

ตัวอย่างที่ 1 แสดงวา่ 14641 ถกู หารดว้ ย 11ลงตวั
วิธีทา แจกแจงตาแหน่งหลกั ของตวั ต้งั 1 4 6 4 1

หาผลบวกเลขโดดตาแหน่งหลกั ค่ี =1+ 6+1= 8 (หลกั ที่ 1,3,5)
หาผลบวกเลขโดดตาแหน่งหลกั คู่ = 4+ 4 = 8 (หลกั ที่ 2,4)
ผลตา่ งของผลบวกเลขโดดหลกั คู่กบั หลกั คีข่ า้ งตน้ = 8+ (−8) = 0
แต่ ถา้ ใชว้ ิธีหารผลบวกสลบั เคร่ืองหมายท่ีหลกั จะรวดเร็วและมีความถูกตอ้ งสูงกวา่ และไม่ตอ้ งจดจา
ดงั นี้ เร่ิมทห่ี ลกั หน่วย เป็นหลกั คี่มีเครื่องหมายเป็นบวก หลกั สิบเป็นหลกั คู่มีเคร่ืองหมายเป็น ลบ

14641 : 1− 4 + 6 − 4 +1 = 0

ดงั น้นั 14641 ถกู หารดว้ ย 11 ลงตวั เขียนแทนดว้ ย
1114641(อา่ นวา่ “สิบเอด็ หาร หม่ืนส่ีพนั หกร้อยส่ีสิบเอ็ด ลงตวั ”)

ตวั อย่างท่ี 2 หาเศษเหลือของ 542781192 ถูกหารดว้ ย 11 มีคา่ เท่าไร
วธิ ที า สลบั ลาดบั ตวั เลขหลงั สุดกบั ตวั หนา้ สุดโดยเรียงลาดบั ดงั น้ี

542781192 : 2,9,1,1,8,7, 2, 4,5

แลว้ เขียนแสดงการหาผลบวกของตวั เลขแตล่ ะหลกั โดยตวั หนา้ สุดใส่เครื่องหมายบวกแลว้ ตวั เลขหลกั ถดั ไปใส่
เครื่องหมายลบสลบั กนั ไปจนถึงตาแหน่งสุดทา้ ย
ดงั น้ี 542781192 : 2 −9 +1−1+8 − 7 + 2 − 4 + 5 = −3
พบวา่ ผลบวกเป็นจานวนลบแลว้ ใหบ้ วก 11 กบั −3 ดงั น้นั −3+11= 8
แสดงวา่ 11 หาร 542781192 เหลือเศษ 8
ตัวอย่างที่ 3 หาเศษเหลือของ 382745 ถกู หารดว้ ย 11 มีค่าเทา่ ไร
วธิ ีทา สลบั หลกั ตวั เลขของ 382745 เป็น 5, 4, 7, 2, 8, 3
แลว้ ผลบวกของเลขโดดของ 382745 : +5− 4 + 7 − 2 +8−3 = 20 −9 =11
ผลบวกท่ากบั 11 แสดงวา่ 11 หาร 382745 ลงตวั หรือเศษเหลือเทา่ กบั 0
ตวั อย่างที่ 4 หาเศษเหลือของ 3987 ถูกหารดว้ ย 11 มีคา่ เทา่ ไร
วธิ ีทา สลบั หลกั ตวั เลขของ 3987 แลว้ ผลบวกคดิ เครื่องหมายแต่ละหลกั ของ 3987

3987 : 7 −8 + 9 −3 = 5

ผลบวกเลขโดด เทา่ กบั 5 ดงั น้นั แสดงวา่ 11 หาร 3987 ไม่ลงตวั เศษเหลือเทา่ กบั 5

17

1.5 การยันความถูกต้องด้วยวิธีการคัดออกสิบเอด็

เนื่องจากการยนั ความถกู ตอ้ งดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้ มีปัญหาในกรณีที่ผลบวกเลขโดดเทา่ กนั ของจานวนที่ไม่

เทา่ กนั เช่น 125,152,215,251,512 และ 521

พบวา่ จานวนขา้ งตน้ มีตวั เลขเหมือนกนั แตเ่ ขียนสลบั หลกั กนั หาผลบวกเลขโดดเท่ากนั คอื 8 น่ีคือ

ขอ้ บกพร่องของวธิ ีการคดั ออกเกา้ แต่วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ สามารถแกป้ ัญหาน้ีได้

1.5.1 การตรวจสอบยนั ความถูกต้องสาหรับการบวก

ตวั อย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 2415+ 289 = 2794 ถกู ตอ้ งหรือไม่ ดว้ ยวิธีการคดั ออกสิบเอด็

วธิ ที า ตวั ต้งั 2415: 5−1+ 4 − 2 = 6

ตวั บวก 289: 9 −8 + 2 = 3

ผลลพั ธ์ 2794: 4 −9 + 7 − 2 = 0

แตผ่ ลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตวั บวก ในที่น้ี 6 + 3 = 9 ไมเ่ ท่ากบั ผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์ คือ 0

ดงั น้นั 2415+ 289  2794 ไมถ่ ูกตอ้ ง

เพราะฉะน้นั ต้องหาผลบวกใหม่ คือ 2415+ 289 = 2704 แล้วตรวจสอบความถูกต้องของคาตอบ

วธิ ีทา ตวั ต้งั 2415: 5−1+ 4 − 2 = 6

ตวั บวก 289: 9 −8 + 2 = 3

ผลลพั ธ์ 2704: 4 − 0 + 7 − 2 = 9

ผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตวั บวก ในท่ีน้ี 6 +3 = 9 เทา่ กบั ผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์ คือ 9

ดงั น้นั 2415+ 289 = 2704 ถกู ตอ้ ง

หมายเหตุ ความแตกต่างพ้ืนฐานระหวา่ งวิธีการคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines) กบั วิธีการคดั ออกสิบเอด็

(Casting Out Elevens) คือ วิธีการคดั ออกสิบเอด็ เหมาะกบั การคานวณที่จานวนที่นามาคดิ เลขมีคา่ มาก ๆ หรือ

ประกอบดว้ ยเลขโดดหลาย ๆ หลกั ส่วนวธิ ีการคดั ออกเกา้ จะมีปัญหา อนั เน่ืองจากอนั ดบั ของตวั เลขโดดใแต่ละ

จานวนตา่ งกนั แต่ผลบวกตวั เลขเทา่ กนั แต่ในขณะที่วิธีคดั ออกสิบเอด็ ถา้ อนั ดบั ของตวั เลขโดดในแตล่ ะจานวน

ต่างกนั จะไดผ้ ลบวกเลขโดดต่างกนั ทนั ที นนั่ หมายความว่าวธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ ใชไ้ ดด้ ีกวา่ วธิ ีคดั ออกเกา้

ดงั ตวั อยา่ งน้ี

วิธีการคดั ออกเก้า วิธีคดั การออกสิบเอด็

ผลบวกเลขโดดของ 634 → 6 +3+ 4 = 4 634 : 4 − 3+ 6 = 7

ผลบวกเลขโดดของ 463 → 4 + 6 +3 = 4 463: 3− 6 + 4 =1

ผลบวกเลขโดดของ 643 → 6 + 4 +3 = 4 643: 3− 4 + 6 = 5

หมายเหตุ ขอ้ ดีของการคดั ออกเกา้ สามารถคิดไดร้ วดเร็ว จาวธิ ีการง่าย ในการยนั ความถกู ตอ้ ง ดงั น้นั ถา้ ผใู้ ช้

วิธีการคดั ออกเกา้ มีความระมดั ระวงั ละเอียดถี่ถว้ น ก็สามารถใชไ้ ดอ้ ยา่ งดี ๆ กวา่ วิธีการคดั ออกสิบเอด็

18

1.5.2 การตรวจสอบยนั ความถูกต้องสาหรับการลบ
ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 4127 − 2376 =1751 ถกู ตอ้ งหรือไม่
วธิ ที า ดว้ ยวิธีคดั การออกสิบเอด็ ของตวั ต้งั และตวั ลบ

4127 : 7 − 2 +1− 4 = 2

2376 : 6 − 7 + 3− 2 = 0

ดงั น้นั 4127 − 2376 : 2 − 0 = 2
คดั ออกสิบเอด็ สาหรับคาตอบ 1751:1−5+ 7 −1= 2 แสดงวา่ ถูกตอ้ ง
ตวั อย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 65451− 48769 =16862 ถูกตอ้ งหรือไม่
วิธีทา ดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั ล 6 5 4 5 1→ 12 →3

487 6 9→ 7

ดงั น้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4 เน่ืองจากเศษเหลือเป็ นจานวนลบตอ้ งบวก 9
เพราะฉะน้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4 → −4 + 9 = 5
ใชว้ ธิ ีการคดั ออกเกา้ สาหรับคาตอบ 1 6 8 6 2 → 5 แสดงวา่ คาตอบถูกตอ้ ง

แต่ถ้าใช้วธิ ีคดั การออกสิบเอด็ ของตัวต้งั และตัวลบ 65451: 1−5+ 4 −5+ 6 =1

48769 : 9 − 6 + 7 −8 + 4 = 6

ดงั น้นั 65451− 48769:1− 6 = −5 → −5+11= 6

คดั ออกสิบเอด็ สาหรับคาตอบ 16862: 2 −6 +8−6 +1= −1+11=10 นนั่ คือ 6 10

ซึ่งขดั แย้งกับการตรวจยนั ความถูกต้องของวิธีการคัดออกเก้า แสดงว่าคาตอบไม่ถกู ต้อง

ตัวอย่างที่ 3 หาคา่ ของ 35567 −11828 และตรวจสอบผลเฉลยยนั ความถูกตอ้ ง

วธิ ีทา ด้วยวิธีการคัดออกเก้า

35567 การตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง 8
11 8 2 8
−

2

2 3 7 3 9 →6 6

สรุป ใชก้ ารคดั ออกเกา้ ยนั ความถูกตอ้ งเป็นจริง
ด้วยวิธีการคัดออกสิบเอด็

35567 35567: 7 − 6 + 5 − 5 + 3 = 4 4
11828: 8 − 2 +8 −1+1 =14 : 4 −1 = 3
− −

11 8 2 8 3

2 3 7 3 9 23739 : 9 − 3+ 7 − 3+ 2 =12 : 2 −1 =1 1

สรุป ใชก้ ารคดั ออกสิบเอด็ ยนั ความถกู ตอ้ งเป็นจริง

19

1.5.3 การตรวจสอบยนั ความถูกต้องสาหรับการคูณ
ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 243257 = 62451 ถกู ตอ้ งหรือไม่
วธิ ีทา ด้วยวิธีคัดการออกสิบเอด็ ของตัวต้งั และตัวคูณ

243: 3− 4 + 2 =1

257 : 7 −5 + 2 = 4 ดงั น้นั 243257 :14 = 4

คดั ออกสิบเอด็ ของคาตอบ 62451:1−5+ 4 − 2 + 6 = 4 ดงั น้นั คาตอบถกู ตอ้ ง
ตัวอย่างท่ี 2 ตรวจสอบวา่ 46723469 =16207168 ถกู ตอ้ งหรือไม่

วิธที า คดั ออกสิบเอด็ ของตวั ต้งั และตวั คณู

4672 : 2 − 7 + 6 − 4 = −3+11 = 8

3469 : 9 − 6 + 4 −3 = 4

ในที่น้ี 46723469 →84 = 32 32: 2 −3 = −1+11 =10
แต่คาตอบ 16207168 :8−6 +1−7 + 0 − 2 + 6 −1= −1+11=10 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง
ตวั อย่างท่ี 3 หาค่าของ 876143 และตรวจสอบผลเฉลยยนั ความถกู ตอ้ ง

วธิ ที า วิธีการคัดออกสิบเอด็

87 614 10

33

4 1 8 3 2 = 262842 การตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง 30 : 0 − 3 = −3: −3 +11 = 8

2 2101

ตัวต้งั 87614: 4 −1+ 6 − 7 +8 =10 ตัวคูณ 3

ในที่น้ี 876143 →103 = 30: 0 −3 = −3: −3+11= 8

คาตอบ 262842 : 2 − 4 +8 − 2 + 6 − 2 = 8

ตัวอย่างที่ 4 ผลคณู ของ 9449 = 4606 และตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง

วิธีการคัดออกเก้า วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็

ตวั ต้งั 94 → 4 ตวั ต้งั 94: 4 −9 = −5
ตวั คณู 49 → 4 ตวั คณู 49: 9 − 4 = 5
คาตอบ 4606 → 7 คาตอบ 4606: 6 −0 + 6 − 4 = 8
ดงั น้นั 44 =16 → 7 ดงั น้นั −55 = −25: −(5 − 2) = −3: −3+11= 8

หรือ 9 4 → 4 94 :4 −9 = −5 → −5 +11 = 6 6

  :9−4 = 5 5 
49
49 → 4

4606 → 7 16 → 7 4606 : 6−0+6−4=8 30

: 0 − 3 = −3+11 = 8

20

ตวั อย่างท่ี 4 ผลคูณ 504321 =161874 และตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง

วิธีการคดั ออกเกา้ วิธีการคดั ออกสิบเอด็

ตวั ต้งั 504 → 0 ตวั ต้งั 504: 4 − 0 + 5 = 9
ตวั คูณ 321→ 6 ตวั คูณ 321: 1− 2 + 3 = 2

คาตอบ 161874 → 9 = 0 คาตอบ 161874: 4 − 7 +8 −1+ 6 −1 = 9

ดงั น้นั 06 = 0 → 0 ดงั น้นั 92 =18:8−1= 7 สรุป ผลคณู ไม่ถูกตอ้ ง

ตวั อย่างที่ 5 หาผลคูณของ 84791247  25 และตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง

วธิ ที า เขยี นศนู ยส์ องตวั ท่ีทา้ ยเลข 84791247 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 8479124700

หาร 8479124700 ดว้ ย 4 = 8479124700  4 = 2119781175

ดังน้นั 8479124725 = 2119781175

วิธีการคัดออกเก้า

ตัวต้งั 84791247 → 6

ตวั คูณ 25 → 7

คาตอบ 2119781175 → 6

ดงั น้นั 76 = 42 → 6

วิธีการคัดออกสิบเอด็

ตวั ต้งั 84791247 : 7 − 4 + 2 −1+ 9 − 7 + 4 −8 = 2
ตวั คณู 25:5− 2 = 3

คาตอบ 2119781175: 5 − 7 +1−1+8 − 7 + 9 −1+1− 2 = 6

ดงั น้นั (2)(3) = 6

ตวั อย่างที่ 6 ผลคูณ 3.953.953.95 = 61.629875 ถูกตอ้ งหรือไม่

วธิ ีการคัดออกเก้า วิธีการคัดออกสิบเอด็

3.953.953.95 → 888 = 512 → 8 3.95: 5 − 9 + 3 = −1

61.629875 → 8 3.953.953.95 : −1 −1 −1 = −1

61.629875 : 5 − 7 +8 −9 + 2 − 6 +1− 6 = −12 :

= −12 : −12 +11 = −1

21

ตัวอย่างที่ 7 ผลคูณของ 8070605040399999999999 = 8070605040219293949597 ถกู ตอ้ งหรือไม่
วธิ ีการคัดออกเก้า

ตวั ต้งั 80706050403 → 6 คาตอบ = 8070605040219293949597 → 0
ตัวคูณ 99999999999 → 0
ดงั น้นั 60 = 0 → 0
วิธีการคัดออกสิบเอด็

ตวั ต้งั 80706050403: 3− 0 + 4 − 0 + 5 − 0 + 6 − 0 + 7 − 0 +8 = 33: 3−3 = 0
ตัวคูณ 99999999999 : 9 −9 + 9 −9 + 9 −9 + 9 −9 + 9 −9 + 9 = 9
คาตอบ 8070605040219293949597: 7 −9 + 5 −9 + 4 −9 + 3−9 + 2 −9 +1− 2 + 0 − 4 + 0 −5

+0 − 6 + 0 − 7 + 0 −8 = −55 = −(5 −5) = 0 ดังน้นั 09 = 0
1.5.4 การตรวจสอบยันความถกู ต้องสาหรับการหาร

ตวั อย่างท่ี 1 กรณี 671 4 =167 + 3 โดยการใช้วธิ ีการคัดออกสิบเอด็

4

วิธคี ดิ เน่ืองจากการหารเป็นการผกผนั ของการคูณ การยนั ความถูกตอ้ งจึงตอ้ งใชส้ มการข้นั ตอนการหารมาช่วย

กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

LHS = RHS
วิธกี ารคัดออกสิบเอด็ สาหรับตวั ต้งั 671: 1−7+6 = 0

สาหรับตวั หาร 4: 4 = 4
สาหรับผลลพั ธ์ 167 : 7 −6+1= 2
สาหรับเศษเหลือ 3: 3

จากสมการข้นั ตอนการหาร
RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ = 42 +3 = 8+3 =11:1−1= 0
LHS = ตวั ต้งั = 0 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

กรณี 671 4 =167.75
วธิ ีคดิ กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

LHS = RHS

ใชว้ ธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ สาหรับตวั ต้งั 671: 1− 7+6 = 0

สาหรับตวั หาร 4: 4=4

สาหรับผลลพั ธ์ 167.75: 5− 7+7 − 6 +1= 0

22

จากสมการข้นั ตอนการหาร RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ = 40 = 0
LHS = ตวั ต้งั = 0 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

หรือวิธีทา จาก ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

จากวิธีการคดั ออกสิบเอด็ 1− 7 + 6 = 4(7 − 6 +1) + 3

0 = 4 2 + 3 =11: 0

หรือวธิ ีทา จาก ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

จากวธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ 1− 7 + 6 = 4(5− 7 + 7 − 6 +1) = 40 = 0

ตวั อย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 427424 เม่ือ ผลลพั ธ์ =178 เศษเหลือ 2

วิธีการคดั ออกสิบเอด็

สาหรับตวั ต้งั 4274: 4 − 7 + 2 − 4 = −5+11= 6

สาหรับตวั หาร 24: 4 − 2 = 2

สาหรับผลหาร 178: 8−7 +1= 2

สาหรับเศษเหลือ 2: 2

จากข้ันตอนการหาร

ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

RHS = 22 + 2 = 6 LHS = 6 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

หรือวิธีการคัดออกสิบเอด็ ทาย่อ ๆ ได้ดังนี:้

จากสมการข้นั ตอนการหาร 4274 =178(24) + 2

จากวิธีคดั ออกสิบเอด็ 4 − 7 + 2 − 4 = 8 − 7 +1(4 − 2) + 2

−5 = (2)(2) + 2

แตเ่ ศษตอ้ งเป็นบวก ดงั น้นั −5 +11 = (2)(2) + 2 → 6 = 6

ตวั อย่างท่ี 3 ตรวจสอบวา่ 7352127 เม่ือผลหารเทา่ กบั 2723 เศษเหลือ 0

วิธีทา สมการการหาร 73521 = 2723(27) + 0

จากวิธีการคดั ออกเกา้ 0 = (5)(0) + 0 = 0

จากวิธีการคดั ออกสิบเอด็ 1− 2 + 5−3+ 7 = (3− 2 + 7 − 2)(7 − 2) + 0

8 = (6)(5) + 0 = 30

8 = 0 −3 = −3 แตเ่ ศษตอ้ งเป็ นบวก
8 = −3+11= 8 สรุป ผลคูณถูกตอ้ ง

23

2. การบวก

บทนา

“เวทคณติ เป็นวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยขี องความแม่นยา มี
ความเป็นระเบียบอนั รักษาไวซ้ ่ึงเอกลกั ษณ์ของความเป็นหน่ึงเดียว
แต่ในขณะเดียวกนั ก็เตม็ ไปดว้ ยความหลากหลาย เวทคณิตคอื พลงั
แห่งความสมดุลภาพระหวา่ งสองคณุ สมบตั ิท่ีตรงกนั ขา้ มของความ
เป็นหน่ึงเดียวและความหลากหลาย เวทคณิตยงั เป็นโครงสร้างพลวตั ของกฎธรรมชาติที่ออกแบบมาอยา่ ง
เป็นปกติวสิ ยั และมีเป้าหมายของกฎธรรมชาติอยา่ งมีระเบียบของอรรถบทของวิวฒั นาการ”
ท่านศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Sri Bharati Krishna Tirtha ji พ.ศ. 2427-2503)

ผคู้ น้ พบเวทคณิตในพระเวท
เวทคณิตสาหรับการบวก (Vedic Mathematics Method for Addition)

การคดิ เลขวธิ ีด้งั เดิมในโรงเรียนท่ีใชก้ นั มายาวนานน้นั ขาดความเร็วอาจจะทาใหน้ ่าเบื่อหน่าย และ
ยงั มีความผิดพลาดสูงเพราะการใชว้ ธิ ีการตรวจสอบโดยการทาซ้า ๆ อีกเรื่องหน่ึงคอื การทดเลขจากหลกั
หน่ึงไปสู่หลกั หน่ึงน้นั โดยทว่ั ไปแลว้ ในการบวกน้นั เม่ือเราหาผลบวกตวั เลขของแต่ละหลกั ถา้ มีผลลพั ธ์
มากกวา่ หรือเทา่ กบั 10 แลว้ เราตอ้ งทด 1 ใหก้ บั หลกั ท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ หลกั ท่ีมากกวา่ แลว้ เขียนเฉพาะ
หลกั หน่วยที่เป็นผลลพั ธข์ องหลกั น้นั ๆ

นค่ี ือปัญหาทวี่ ธิ คี ิดเลขแบบเวทคณิตพยายามหลกี เลยี่ งการทด ไปยงั หลกั ถดั ไป ใหน้ อ้ ยลง มาก
ท่ีสุดและเพ่อื บรรลเุ ป้าหมายใหเ้ กิดการคดิ เลขเร็วและถกู ตอ้ งมากท่ีสุดแลว้ อีกเรื่องหน่ึงที่เวทคณิตยงั ได้
เสนอวธิ ีการบวกเลขท่ีหลากหลาย (Diversity) วธิ ีอีกดว้ ย

จุดเด่นของวิธีคดิ เลขเร็วของของเวทคณิต (Vedic Mathematics) สาหรับการบวกเลขคือเนน้

“การบวกด้วยวิธีใช้จุด” แทนการการทดด้วยหนึง่ (1)
เช่นเดียวกบั วธิ ีระบบความเร็วทรัชเท็นเบริก ของคณิตศาสตร์ข้นั พ้นื ฐาน (The Trachtenberg Speed of
Basic Mathematics) หรือวธิ ีไฮสปี ด แมท ของ เลสเตอร์ มีเยอร์ช (Lester Meyers High-Speed Math)

ท้งั สามวธิ ีน้ีไดก้ ล่าวถึงเทคนิควธิ ีในการทดท่ีตวั ทดมีค่าเท่ากบั 1 น้นั ท้งั สามวิธีดงั กล่าวขา้ งตน้
น้นั แทน 1 ดว้ ยจุด ( ) และยงั เสนอวิธีการคิดเลขจากซา้ ยไปขวาเพราะมี ขอ้ ไดเ้ ปรียบ กวา่ การคดิ เลข
จากขวาไปซา้ ย ในทานองเดียวกนั ท้งั สิ้น

ในทางปฏิบตั ิแลว้ เวทคณิตเสนอ การบวกด้วยวธิ ใี ช้จุด (Addition Using Dot Method) หรือการ
บวกเลขดว้ ยวิธีการเพ่ิม 1 กบั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ สามารถไดแ้ กป้ ัญหาเกี่ยวกบั เร่ืองของหน่วย
การชง่ั ตวง วดั

การวดั (เช่น หน่วยการวดั กิโลเมตร เมตร เซนติเมตร) หน่วยเงินตรา (บาทและสตางค)์ น้าหนกั
(กิโลกรัม-กรัม) ความจุ (ลิตร-มิลลิลิตร) เวลา (ชวั่ โมง นาที วนิ าที) ทศนิยม ดงั ตวั อยา่ งท่ีแสดงเหตุผลวา่
ทาไมจึงใชว้ ิธีการบวกเลข เม่ือมี การทด 1 ให้ใส่จุด ( ) ไวบ้ นตวั เลขหลกั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ดงั น้ี

ตวั อย่างที่ การหาผลบวกน้าหนกั ของ 5 รายการ ดงั ตารางขา้ งล่างน้ี

กิโลกรัม กรัม กิโลกรัม กรัม

112 65 112 065
360 85 → 360 085
289 872
156 345 289 872
231 897 156 345
231 89 7

1150 264

จากตัวอย่างแสดงถงึ การบวกมาตรการชั่ง การวดั ระยะทาง ท่ไี ม่ต้องมกี ารแปลงหน่วย

และเวทคณติ ยังเสนอการคิดเลขด้วยการดาเนินการคิดจากซ้ายไปขวา มเี หตุผลไหม?

ศกุนตลา เทวี (Shakuntala Devi) (4 พฤศจิกายน 1929 – 21 เมษายน 2013) เป็นนกั คณิตศาสตร์

เป็นนกั คานวณในใจ ชาวอินเดีย เธอเป็นท่ีรู้จกั ในช่ือ "มนุษยเ์ คร่ืองคิดเลข" (Human Computer) เธอได้

พยายามในการสร้างใหก้ ารคานวณเลขคณิตใหเ้ ป็นเร่ืองงา่ ย ๆ สาหรับเดก็ นกั เรียน

ด้วยความสามารถของเธอ สามารถคิดเลขหาคาตอบจากซ้ายไปขวาหรือขวาไปซ้าย

ท้งั ๆ ที่เธอไม่เคยไดร้ ับการศึกษาในระบบมาก่อน

โอโช (Osho) นกั ปราชญช์ าวอินเดียเป็น ผเู้ ขยี นบทความเก่ียวกบั “ศกุนตลา เทวี”

เรื่องมีอยวู่ า่ “ในอินเดียมีสุภาพสตรีผหู้ น่ึงชื่อวา่ สกุลตาลา เธอไดเ้ ดินทางไปรอบโลกและไดเ้ ยอื น

มหาวิทยาลยั แทบทุกมหาวิทยาลยั เพือ่ สาธิตการใชป้ ัญญาญาณของเธอ เธอมีการศึกษาแคร่ ะดบั มธั ยม

ปลาย และเธอกไ็ ม่ใช่นกั คณิตศาสตร์

ในช่วงท่ีอลั เบิร์ต ไอน์สไตน์ ยงั มีชีวติ อยู่ เธอไดเ้ คยเขา้ ไป

สาธิตเร่ืองน้ีต่อหนา้ ของเขา ดว้ ยการนงั่ อยหู่ นา้ กระดานดาใน

มือถือชอลก์ อยใู่ หค้ นต้งั โจทยอ์ ะไรก็ไดท้ ี่เกี่ยวกบั

คณิตศาสตร์บางคร้ังขณะท่ียงั ไมท่ นั เสร็จ เธอกเ็ ร่ิมเขียนคาตอบลงบนกระดานแลว้

อลั เบิร์ต ไอนส์ ไตน์ ไดม้ อบวฒุ ิบตั รใหก้ บั เธอ และเธอก็เคยโชวว์ ุฒิบตั รน้ีต่อ ท่านโอโช

(Osho-ผเู้ ขยี นบทความ) เมื่อคร้ังท่ีทา่ นโอโช ไดเ้ ดินทางไปยงั เมืองมทั ดราช ซ่ึงเป็นบา้ นเกิดของเธอ

เธอไดน้ าวุฒิบตั รมากมายมาให้ท่านโอโช ดู และหน่ึงใบในท้งั หมดน้นั ก็คอื ใบท่ี ไอนส์ ไตน์ เขียนไวว้ า่

“ขา้ พเจา้ ไดใ้ หส้ ุภาพสตรีท่านน้ีแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ซ่ึงปกติแลว้ ขา้ พเจา้ จะตอ้ งใชเ้ วลาถึง 3 ชว่ั โมง

25

ในการแกป้ ัญหาตามกรรมวธิ ีตามข้นั ตอน สาหรับผทู้ ี่ไม่เคยแกป้ ัญหาทานองน้ี อาจตอ้ งใชเ้ วลาถึง 6
ชวั่ โมง มีวธิ ีทาท่ียาวจนตอ้ งเขียนเตม็ กระดาน ไมม่ ีทางท่ีจะกระโดดขา้ มข้นั ตอนเขา้ ไปหาคาตอบได้
เลย…”

แตแ่ ลว้ ไอน์สไตน์ ก็ตอ้ งแปลกใจเป็นอยา่ งยงิ่ เพราะขณะท่ีเขาเขยี นโจทยย์ งั ไมท่ นั เสร็จ
สกุนตาลา กเ็ ร่ิมเขียนคาตอบลงบนกระดานแลว้ ไอน์สไตน์ งง ๆ มากและคดิ วา่ ไมน่ ่าจะเป็นไปได้

เขาถามเธอวา่ “คณุ ทาไดอ้ ยา่ งไร ? สกุนตลา ตอบวา่ “ไม่รู้เหมือนกนั วา่ ฉนั ทาอยา่ งไร มนั เป็นส่ิง
ท่ีอยดู่ ี ๆก็ผดุ ข้นึ มา พอคุณต้งั โจทย์ ตวั เลขตา่ ง ๆ กป็ รากฏแก่ฉนั ฉนั เห็นตวั เลขตา่ ง ๆ เตม็ ไปหมด ฉนั ก็
ไดแ้ ตเ่ พยี งแค่เขยี นตามมนั ไปเรื่อย ๆ เท่าน้นั ”

สุภาพสตั รี ผนู้ ้ีเกิดมาพร้อมกบั ปัญญาญาณท่ีทางานอยใู่ นตวั ของเธอ
(ปัญญาญาณหรือภาษาองั กฤษเรียกวา่ “Intuition”)
หรือภาษาไทยแปลวา่ “การรู้แบบปิ๊ งแวบ้ ”
ผเู้ ขยี น “สรุปวา่ สกนุ ตาลาสามารถปัญหาทางคณิตศาสตร์ไดร้ วดเร็วมาก สามารถให้
คาตอบไดท้ นั ที เร็วกวา่ ไอน์สไตน์ ซ่ึงปกติไอนส์ ไตน์จะตอ้ งใชเ้ วลาแกป้ ัญหาถึง 3
ชว่ั โมง จึงเป็นผเู้ ก่งกวา่ ”

“เวท” แปลวา่ ความรู้ และ “คณิต” แปลวา่ คานวณ
“เวทคณิต” แปลว่า ความรู้แห่งการคานวณ

เป็นคมั ภีร์โบราณในการคิดเลขเร็วของอินเดีย
ประกอบด้วยสูตร 16 สูตรและ 13 อุปสูตร ที่เกย่ี วกบั การบวก ลบ คูณ หาร

ใน 16 น้ี มี สูตรที่ 2 สูตรนิขิลมั อนั เป็นสูตรที่ใชม้ ากท่ีสุด โดยเฉพาะ การแปลงจานวนซ่ึง
ประกอบดว้ ยเลขโดดหลายตวั ที่มีค่าเกินกวา่ 5 ใหเ้ ขียนอยใู่ นรูปซ่ึงมีคา่ เลขโดดที่มีค่าไมเ่ กิน 5 ซ่ึงจะทา
ใหก้ ารคานวณง่ายข้นึ (นน่ั คือไดม้ ีการแปลงจานวนปกติใหเ้ ป็นจานวนวินควิ ลมั ท่ีจะกล่าวในบทต่อไป
ขา้ งหนา้ )
เวทคณติ เป็นสาขาหน่ึงของอถรรพเวท ซ่ึงเป็นหน่ึงในท้งั 4 ไดแ้ ก่ ฤคเวท สามเวท ยชุรเวท และ

อถรรพเวท
บทสรุป การท่ีสกุนตาลา มีความสามารถเป็นเลิศในทางคณิตศาสตร์น้นั เห็นวา่ ไดใ้ ชค้ วามรู้อยา่ งนอ้ ย 2
เร่ืองดว้ ยกนั

ได้แก่เวทคณติ (Vedic Mathematics) และปัญญาญาณ (Intuition) หรือความรู้แบบป๊ิ งแว้บ
ซ่ึงท้งั สองเรื่องน้ี ยงั ไม่คอ่ ยจะรู้จกั กนั นกั ในประเทศไทยเรา ถา้ เราจะหนั มาสนใจความรู้ของชาว
ตะวนั ออกใหม้ ากข้นึ กจ็ ะเขา้ ไดว้ า่ ทาไมประเทศอินเดียจะมีนกั โปรแกมเมอร์ระดบั โลก และสามารถ
พฒั นาเทคโนโลยคี อมพวิ เตอร์ใดเ้ จริญกา้ วหนา้ ทดั เทียมอารยประเทศ
https://www.gotoknow.org/posts/552556

26

วธิ ีการบวกเลขในเวทคณิตมีดวั ยกนั 5 วธิ ี ดังนี้

- การบวกดว้ ยวธิ ีการจดั กลุม่ ใหค้ รบสิบและกลุ่มไมค่ รบสิบ
ในเวทคณิต เป็นการบวกดว้ ยสูตรท่ี 8 ปูรณาปรู ณาภยาม

(Sutra 8 Pūraṇāpūraṇābhyām = सूत्र ८ परू णापरू णाभ्ा)ां

- การบวกดว้ ยวธิ ีการแยกจานวนใหอ้ ยใู่ นรูปผลบวกหรือผลต่างของพหุคณู ของสิบ
ในเวทคณิต เป็นการบวกดว้ ยสูตรท่ี 7 สูตรสังกลนะ วฺยวกลนาภยามฺ

(Sutra 7 Sankalana– vyavakalanābhyām = सतू ्र ७ सांकलन व््वकलनाभ्ांा )

- การบวกดว้ ยวธิ ีใชจ้ ุด (Addition Using Dot Method)
หรือการบวกดว้ ยวธิ ีการเพิ่ม 1 กบั ตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้
ในเวทคณิต เป็นการบวกดว้ ยสูตรที่ 1 สูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ

(Stura 1 Ekādhikena Pūrveṇa = सतू ्र १ एकाधिके न पवू णे )

- การบวกดว้ ยการใชข้ บวนการศุทธิการัน (Addition Using Sudhikaran process)
- การบวกดว้ ยอุปสูตรศทุ ธะ (उपसतू ्र १५ = Upasutra 15 Śūddha)

2.1 การบวกด้วยวิธีการจดั กล่มุ ให้ครบสิบและกลุ่มไม่ครบสิบ

เพ่ือไม่ให้เสียความนัย ของการศึกษาวธิ ีคดิ เลขเร็วแบบเวทคณิต จึงจาเป็นที่ตอ้ งกล่าวอา้ งอิงท่ีมา
ของสูตรแตแ่ ละสูตร ท่ีใชใ้ นแตล่ ะวธิ ีของการคานวณ

การบวกด้วยวิธกี ารจดั กล่มุ ให้ครบสิบและกลุ่มไม่ครบสิบ ในเวทคณติ เป็ นการบวกด้วย
สูตรท่ี 8 ปูรณาปูรณาภยาม

ปูรณาปูรณาภยาม (เป็นคาสนธิ)
ปรู ฺณ แปลวา่ เตม็ อนั ใส่เตม็ บริบูรณ์ ท้งั สิ้น (complete)
อปูรฺณ แปลวา่ ไมเ่ ตม็ (incomplete)
ภยาม แปลวา่ ใชท้ ้งั สอง (Using both)
ดังน้นั การบวกเลขสองจานวนเขา้ ดว้ ยกนั ใหไ้ ดค้ รบสิบหรือไม่ครบสิบ น้ีจึงเป็นสมบตั ิข้นั พ้นื ฐานของ
การบวกเลขสองจานวนในระบบฐานสิบ

เม่ือพจิ ารณา เซตของเลขโดด 1 ถึง 9 ก็จะพบวา่
1 และ 9 บวกกนั ไดค้ รบสิบ

ในทานองเดียวกนั 2 และ 8 หรือ 3 และ 7 หรือ 4 และ 6 หรือ 5 และ 5 บวกกนั ไดค้ รบสิบ
เช่นกนั “คขู่ องเลขเหลา่ น้ีเรียกอีกนยั หน่ึงวา่ เรียกวา่

“จานวนเตมิ เตม็ (complementary numbers)
สิบ (10) ซ่ึงกนั และกนั นนั่ เอง”

27

เม่ือเลขสองจานวนน้ีบวกกนั ได้ 10 กล่าววา่
“ครบสิบ”

มีความสาคญั อนั เป็นความรู้พ้นื ฐานในการบวก
เลข ดังแสดง ความสัมพนั ธค์ ขู่ องตวั เลขท่ีบวก
กนั ไดค้ รบสิบ (10) สามารถแสดงได้ บนวงกลม
สิบจุด (Ten Point Circle)
บทนยิ าม การบวกครบสิบ (หรือทบสิบ) คือการบวกจานวนเตม็ บวกสองจานวนใหไ้ ดค้ รบสิบหรือเทา่ กบั
10
ดงั น้นั ถา้ ให้ a และ b เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ แลว้ a + b = b + a =10
และเรียก a และ b ยงั เป็นจานวนเติมเตม็ สิบซ่ึงกนั และกนั
(10’s Complement of a decimal number)
ผลบวก คูค่ รบสิบ ของจานวนเตม็ 1 ถึง 10 มีดงั น้ี
0 และ 10 เป็นจานวนสองจานวนท่ีบวกกนั ครบสิบ เพราะ 0 + 10 = 10 + 0 = 10
1 และ 9 เป็นจานวนสองจานวนที่บวกกนั ครบสิบ เพราะ 1 + 9 = 9 + 1 = 10
2 และ 8 เป็นจานวนสองจานวนที่บวกกนั ครบสิบ เพราะ 2 + 8 = 2 + 8 = 10
3 และ 7 เป็นจานวนสองจานวนที่บวกกนั ครบสิบ เพราะ 3 + 7 = 3 + 7 = 10
4 และ 6 เป็นจานวนสองจานวนที่บวกกนั ครบสิบ เพราะ 4 + 6 = 6 + 4 = 10
5 และ 5 เป็นจานวนสองจานวนที่บวกกนั ครบสิบ เพราะ 5 + 5 = 10
ตวั อย่าง การบวกด้วยการจัดกลุ่มให้ครบสิบและกล่มุ ไม่ครบสิบ
การบวกดว้ ยวธิ ีน้ี โดยประจกั ษแ์ ลว้ คือพยายามจดั รวมกลุ่มตวั เลขสองตวั หรือมากกวา่ สองตวั ให้
บวกกนั แลว้ มีผลลพั ธเ์ ป็น 10 หรือพหุคูณของ 10 กจ็ ะเหลือตวั เลขหรือกลุ่มตวั เลขที่รวมกนั ไม่ครบสิบ
ตัวอย่างที่ 1 หาผลบวกของจานวนต่อไปน้ีโดยการบวกดว้ ยการจดั กลมุ่ ใหค้ รบสิบและกลมุ่ ไม่ครบสิบ
1. 5 + 6 + 4 + 5 + 3+ 8 + 2 + 7 +1 = (5 + 5) + (6 + 4) + (3+ 7) + (8 + 2) +1 = 41
2. 6 +10 + 9 + 2 + 30 + 20 +8 + 40 + 2 + 2

= (10 + 30 + 20 + 40) + 9 + (2 + 8) + (2 + 2 + 6)

=100 + 9 +10 +10 =100 + 9 + (20) =129

3. 10 + 7 + 20 + 30 + 5 + 20 + 4 + 8 + 40 + 2 + 3+11

= (10 + 20 + 20 + 30 + 40) + (7 + 3) + (5 + 4 +11) + (8 + 2)

=120 +10 + 20 +10 =160

4. 3+ 7 + 30 + 9 + 5 + 2 + 90 +1+ 3

= (3+ 7) + (30 + 90) + (9 +1+ 3+ 5 + 2)

=10 +120 + 20 =150

28

5. 17 +19 + 3+ 21+15 +12 +18 +15

= (17 + 3) + (19 + 21) + (15 +15) + (12 +18)

= 20 + 40 + 30 + 30 =120

6. 26 + 59 + 394 + 66 +11+14 = (26 +14) + (59 +11) + (394 + 66)

= 40 + 70 + 460 = (40 + 460) + 70 = 500 + 70

7. 456 + 361+ 244 +119 +11

= (456 + 244) + (361+119) +11

= 700 + 480 +11 =1180 +11 =1191

8. 36 + 5 + 23+ 2 +14

= 36 + (5 + 23+ 2) +14 = (36 +14) + 30 = 50 + 30 = 80

เน่ืองจาก ในวิชาคณิตศาสตร์ เม่ือมีการคานวณสิ้นสุดแลว้ น้นั เรายงั ถือวา่ ไม่สิ้นสุดโดยสิ้นเชิง
ยงั ตอ้ งตรวจสอบวา่ การคานวณน้นั ถกู ตอ้ งหรือเปล่า ดว้ ย

การยนั ความถูกต้อง (Cross Check)
การยนั ความถูกตอ้ งมี 2 วิธี ดงั กลา่ วมาแลว้ ในบทที่ 1 คอื การคดั ออกเกา้ หรือการคดั ออกสิบเอ็ด
ในกรณีที่การคานวนจานวนท่ีนามาคานวณและค่าของจานวนไมม่ ากนกั วิธีท่ีเหมาะสมใชไ้ ดร้ วดเร็ว
และมีประสิทธิภาพ ใชไ้ ดด้ ี คือ การคัดออกเก้า แตผ่ ใู้ ชต้ อ้ งมีความระมดั ระวงั และละเอียดถี่ถว้ นดว้ ย
ดงั น้นั จากตวั อย่างท่ี 1 ตอ้ งตรวจความถูกตอ้ งในการบวก ไดด้ งั น้ี
จากตวั อย่างท่ี 1 หาผลบวกของจานวนต่อไปน้ีโดยวธิ ีทบสิบ
1. 5 + 6 + 4 + 5 + 3+ 8 + 2 + 7 +1 = (5 + 5) + (6 + 4) + (3+ 7) + (8 + 2) +1 = 41
เน่ืองจากการบวกดว้ ยการจดั กลุ่มใหค้ รบสิบและกลุ่มไม่ครบสิบ หรือ 10n จึงงา่ ยกบั การยนั
ความถกู ตอ้ ง กลมุ่ ที่ครบสิบ ก็แสดงวา่ ผลบวกเลขโดดในกลมุ่ น้นั ๆ เท่ากบั 1 (10 →1+ 0 =1) จาก
ตวั อยา่ งขา้ งบนแสดงไดว้ า่

(5 + 5) + (6 + 4) + (3 + 7) + (8 + 2) +1 = 41 → (1) + (1) + (1) + (1) +1 = 4 +1→ 5 = 5

แสดงวา่ คาตอบของการบวกถกู ตอ้ ง
2. 6 +10 + 9 + 2 + 30 + 20 +8 + 40 + 2 + 2 =100 + 9 +10 +10 =100 + 9 + (20) =129

ในทานองเดียวกนั 100 + 9 + (20) =129 →1+ 0 + 2 =1+ 2 + 9 → 3 = 3
3. 10 + 7 + 20 + 30 + 5 + 20 + 4 + 8 + 40 + 2 + 3+11 =120 +10 + 20 +10 =160

ในทานองเดียวกนั 120 +10 + 20 +10 =160 → 3+1+ 2 +1=1+ 6 + 0 → 7 = 7
4. 3+ 7 + 30 + 9 + 5 + 2 + 90 +1+ 3 =10 +120 + 20 =150

ในทานองเดียวกนั 10 +120 + 20 =150 →1+ 3+ 2 =1+ 5+ 0 → 6 = 6
5. 17 +19 + 3+ 21+15 +12 +18 +15 = 20 + 40 + 30 + 30 =120

ในทานองเดียวกนั 20 + 40 + 30 + 30 =120 → 2 + 4 + 3+ 3 =1+ 2 + 0 → 3 = 3

29

6. 26 + 59 + 394 + 66 +11+14 == (40 + 460) + 70 = 500 + 70 = 570
ในทานองเดียวกนั 500 + 70 = 570 → 5+ 7 = 5+ 7 โดยประจกั ษ์

7. 456 + 361+ 244 +119 +11 =1180 +11 =1191
ในทานองเดียวกนั 1180 +11=1191 →1+ 2 =1+1+1→ 3 = 3

8. 36 + 5 + 23+ 2 +14 = 50 + 30 = 80
ในทานองเดียวกนั 50 +30 = 80 → 8 = 8 โดยประจกั ษ์

การบวกด้วยวิธีการจัดกล่มุ ที่ครบสิบและกล่มุ ไม่ครบสิบ

ในเวทคณิต เป็ นการบวกด้วยสูตรท่ี 8 ปูรณาปูรณาภยาม (เป็ นคาสนธ)ิ

(Sutra 8 Pūraṇāpūraṇābhyām = सतू ्र ८ परू णापूरणाभ्ांा )
Pūraṇāpūraṇābhyām mean By the Completion or Non– Completion

Purana = ปูรฺณ แปลวา่ เตม็ อนั ใส่เตม็ บริบูรณ์ ท้งั สิ้น (complete)
Apurana = อปูรฺณ แปลวา่ ไม่เตม็ (incomplete)
Bhyam = ภยาม แปลวา่ ใชท้ ้งั สอง (Using both)
https://www.wisdomlib.org/definition/bhyam

Bhyām (भ्ाम)् = Case-affix of the instrumental, dative and ablative dual; cf. स्वौजसमौट्
(svaujasamauṭ)

แบบฝึ กหัดชุดที่ 1 การบวกด้วยการจัดกลุ่มให้ครบสิบและกลุ่มไม่ครบสิบ

1. หาผลบวกโดยวิธีครบสิบหรือพหุคณู ขอลสิบของขอ้ ต่อไปน้ี

1.1 6 + 4 1.2 16 + 4 1.3 5 + 25 1.4 13+ 7 1.5 22 +8
1.10 85+ 5
1.6 38 + 2 1.7 54 + 6 1.8 74 + 6 1.9 61+ 9

หาผลบวกโดยดว้ ยการจดั กลุ่มใหค้ รบสิบและกลุ่มไมค่ รบสิบของขอ้ ต่อไปน้ี

และพร้อมตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ งของคาตอบดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้

2. 47 + 37 = 47 + 3+ 34 = (47 + 3) + 30 + 4 = 50 + 30 + 4 = 84

3. 55 + 28
4. 47 + 25
5. 29 + 7 +1+ 5

6. 16 + 3+ 6 + 7

7. 8 + 51+12 + 3

8. 37 + 7 + 21+13

9. 13+16 +17 + 24

30

10. 33+ 25 + 22 +15
11. 18+13+14 + 23
12. 3+ 9 + 5 + 7 +1
13. 27 +15 + 23
14. 43+ 8 +19 +11
15. 32 +15 + 8 + 4
16. 24 + 7 +8 + 6 +13
17. 6 + 33+ 24 +17
18. 23+ 48+ 27
19. 56 + 65 + 44 +87 + 33
20. 33+ 28 + 4 + 32

31

2.2 การบวกด้วยวิธีการแยกจานวนให้อย่ใู นรูปผลบวกหรือผลต่างของพหุคูณของสิบ

ในเวทคณติ เป็ นการบวกด้วยสูตรท่ี 7 สูตรสังกลนะ วยฺ วกลนาภยามฺ
ความหมายในภาษาสันสกฤต
สงฺกลน น. แปลวา่ การบวก วิธีบวก (Joining, adding, holding together)
วฺยวกลน น. แปลวา่ การลบ การหกั ทอนออก (Separation, subtraction,deduction) และ
Bhyam = ภยาม แปลวา่ ใชท้ ้งั สอง (Using both)
ดงั น้นั สูตรน้ีจึงหมายถึงสูตรที่วา่ ดว้ ย “การบวกดว้ ยวธิ ีการแยกจานวนใหอ้ ยใู่ นรูปผลบวกหรือผลตา่ ง
ของสิบหรือพหุคูณของสิบ” จะใชใ้ นกรณีที่มีตวั เลขสองจานวนไม่สามารถจบั คกู่ นั บวกกนั ในรูปฐาน
สิบหรือพหุคูณของสิบได้ ดงั น้นั จะตอ้ งแยกตวั เลขของจานวนที่กาหนดบา้ งคู่ ใหอ้ ยใู่ นรูปผลบวกหรือ
ผลต่างของพหุคูณของสิบ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

24 = 20 + 4 หรือ 24 = 30 + (−6)

39 = 40 −1 = 30 + 9

543 = 550 − 7 = 500 + 40 + 3

793 = 700 + 90 + 3 = 800 − 7

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ เป็นการแยกจานวนที่กาหนดใหอ้ อกเป็นรูปผลบวกหรือผลตา่ งของจานวนยอ่ ย ๆ
สองจานวนหรือมากกวา่ สองจานวน ให้อยรู่ ูปผลบวกหรือผลต่างของสิบหรือพหุคูณของสิบ ท้งั น้ีข้ึนอยู่
กบั ความเหมาะสมของโจทยท์ ่ีกาหนดใหน้ ้นั ๆ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตวั อย่างที่ 1 หาผลบวกของจานวนต่อไปน้ี
วิธีทา ข้นั แรกใหแ้ ยกจานวนท่ีกาหนดใหอ้ อกเป็นจานวนยอ่ ย ๆ ในรูปผลบวกหรือผลต่างของพหุคณู
ของสิบกบั เศษเหลือโดยการใชส้ มบตั ิการเปลี่ยนหมแู่ ละสมบตั ิการสลบั ที่

1. 7 + 9 = 7 + 3+ 6 = (7 + 3) + 6 =10 + 6 =16
หรือ 7 + 9 = 7 +10 + (−1) = 7 + (−1) +10 = 6 +10 =16
2. 46 + 8 = 40 + 6 + 8 = 40 + (4 + 2) + 8) = 40 + 4 + (2 + 8) = 40 + 4 +10 = 54
หรือ 46 + 8 = 46 +10 + (−2) = (46 + (−2)) +10 = 44 +10 = 54
3. 58 + 49 = (50 +8) + (40 + 9) = 50 + 40 +8 + 9
หรือ 58 + 49 = 58 + 50 + (−1) =108 + (−1) =107
หรือ 58 + 49 = 60 + (−2) + 50 + (−1) =110 + (−3) =107
4. 7 + 9 + 6 +8 = (10 −3) + (10 −1) + (10 − 4) + (10 − 2) = 40 −10 = 30
5. 18 +13+14 + 22 = (20 − 2) + (10 + 3) + (10 + 4) + (20 + 2)

= 20 +10 +10 + 20 + (2 + −2) + (3+ 4) = 67

32

หมายเหตุ การตรวจสอบวา่ คาตอบในการคานวณดว้ ยการยนั ความถกู ตอ้ งของการบวกดว้ ยวธิ ีการแยก
จานวนให้อยใู่ นรูปผลบวกหรือผลตา่ งของพหุคูณของสิบ เราใชว้ ิธีการเดียวกบั การบวกดว้ ยวิธีการจดั
กลุ่มใหค้ รบสิบและกล่มุ ไม่ครบสิบเพราะวา่ “กลุม่ ท่ีบวกไดค้ รบสิบตดั ศูนยอ์ อกกจ็ ะไดต้ วั เลขท่ีเหลืออยู่
เป็นผลบวกเลขโดดไดเ้ ลย”
ตวั อย่างท่ี 2 หาผลบวก 74 + 69
วธิ ีทา 74 + 69 = 70 + 4 + (70 −1)

= (70 + 70) + (4 −1)

=140 + 3 =143

การตรวจคาตอบด้วยการยันความถกู ต้อง (คัดออกเก้า)
คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั บวก

74 + 69 = 70 + 4 + (70 −1) = (70 + 70) + (4 −1) → (7 + 7) + 3 → 8

คดั ออกเกา้ ตวั ผลบวก

143 =140 + 3 =143 →1+ 4 + 3 = 8

ตวั อย่างที่ 3 หาผลบวก 324 + 296 +159+ 43
วิธีทา 324 + 296 +159 + 43 = (300 + 20 + 4) + (300 − 4) + (150 + 9) + (50 − 7)

= (300 + 300 +150 + 50) + (20 + 4 − 4 + 9 − 7)
= 800 + (20 + (4 − 4) + (9 − 7))

= 800 + 22 = 822

การตรวจคาตอบดว้ ยการยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )
324 + 296+159+ 43 ดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้ 0 + 8 + 6 + 7 = 21 → 2+1 = 3

และ 800 + 22 →8+ 2 + 2 → 3
ตวั อย่างท่ี 4 หาผลบวก 596 + 498+ 345+ 765
วธิ ีทา 596 + 498 + 345 + 765 = (600 − 4) + (500 − 2) + (350 − 5) + (750 +15)

= (600 + 500) + (350 + 750) + (15 − 4 − 2 − 5)
=1100 +1100 + 4 = 2204

การตรวจคาตอบดว้ ยการยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

596 + 498 + 345 + 765 =1100 +1100 + 4 → 2 + 2 + 4 = 8
= 2204 → 2 + 2 + 0 + 4 = 8

33

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 2
การบวกด้วยวิธกี ารแยกจานวนให้อย่ใู นรูปผลบวกหรือผลต่างของพหุคูณของสิบ
1. 47 + 29
2. 29 +11+ 27 +13
3. 35+18+ 21+19
4. 38 + 25 + 24 +15 +19
5. 109 + 208 +114 + 389
6. 248 + 799 + 819 +116 +1301
7. 163+ 37 + 666 + 778
8. 86 + 591+1929 + 311
9. 411+ 999 +111+107 +123

34