การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. Math By Teacher Bas
E-Book เรื่อง “การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ” ฉบับนี้จั นี้ จั ดทำ ขึ้น ขึ้ เพื่อใช้ประกอบการเรียนการ สอนวิชาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนวัดศรีวิเทศสังฆาราม ซึ่งมีเนื้อหาตรง ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น ขั้ พื้น พื้ ฐาน พุทธศักราช 2551 มาตรฐานการเรียนรู้ ค.1.4 เข้าใจระบบจำ นวนและนำ สมบัติเกี่ยวกับจำ นวน ไปใช้ ตัวชี้วั ชี้ วั ด ค 1.4 ป.6/2 หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำ นวนนับ ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า E-Book ฉบับนี้จ นี้ ะ เป็นประโยชน์ต่อนักเรียนทุกคน ที่กำ ลังศึกษาใน เรื่อง “การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ” และจะสามารถ ช่วยให้นักเรียนบรรลุตามวัตถุประสงค์การเรียนรู้ ตามมาตรฐานการเรียนรู้ ครูบาส-สราวุฒิ สาทน สิงหาคม 2566 คำ นำ ก
สารบัญ ข เรื่อง หน้า คำ นำ สารบัญ วัตถุประสงค์การเรียนรู้ การหา ห.ร.ม. การหา ค.ร.น. แบบฝึกหัดที่ 1 แบบฝึกหัดที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด อ้างอิง ประวัติผู้จัดทำ ก ข 1 2 5 9 12 15 23 25
เรื่อง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ค 1.4 ป.6/2 หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำ นวนนับ รู้ เข้าใจ สามารถหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ จำ นวนนับ • ตัวประกอบ จำ นวนเฉพาะ และตัวประกอบเฉพาะ • การหา ห.ร.ม. • การหา ค.ร.น. ตัวชี้วั ชี้ วั ด หน่น่น่ น่น่น่ วยการเรีรีรี รี ย รี ย รี ยนรู้รู้รู้รู้ที่รู้ที่รู้ที่ ที่ที่ที่ 1 จำจำจำจำจำจำนวนและการดำดำดำดำดำดำเนินินิ นินินิ นการ จุดประสงค์การเรียนรู้ สาระการเรียนรู้
จำ นวนนับใดๆ ที่นำ ไปหารจำ นวนนับตั้งแ ตั้ ต่สองจำ นวน ขึ้นไปลงตัวทุกจำ นวน เรียกจำ นวนนับใดๆ นั้น นั้ ว่า“ตัวประกอบ”หรือตัวหารร่วม การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ตัวหารร่วม เราทราบมาแล้วว่าตัวประกอบของจำ นวนใดๆ สามารถนำ ไป หารจำนวนนั้น นั้ ได้ลงตัว เช่น ตัวประกอบของ 12 คือ 1,2,3,4,6 และ 12 ทุกตัวสามารถนำ ไปหาร 12 ได้ลงตัว ดังนั้น นั้ เราอาจเรียก ตัวประกอบของ 12 แต่ละตัวนี้ว่า เป็นตัวหาร ของ 12 ลองพิจารณาตัวหารของ 8 และ 12 ตัวหารของ 8 คือ 1,2,4,8 ตัวหารของ 12 คือ 1,2,3,4,6,12 ตัวหารของ 8 และ 12 ที่เหมือนกันคือ 1,2 และ 4 เราเรียก 1,2 และ 4 ว่า เป็นตัวหารร่วม หรือ ตัวประกอบร่วม ของ 8 และ 12 ตัวอย่าง จงหาตัวหารร่วมของ 9,15 และ 21 วิธีทำ ตัวหารของ 9 ตัวหารของ 15 ตัวหารของ 21 ตัวหารร่วมของ 9,15 และ 21 คือ 1,3,9 คือ 1,3,5,15 คือ 1,3,7,21 คือ1,3 ตอบ 1 และ 3 2
เราเรียกตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุดว่า ตัวหารร่วมมาก ใช้ ตัวย่อว่า ห.ร.ม. ตัวหารของ 16 ตัวหารของ 20 ตัวหารร่วมของ 16 และ 20 ตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุดของ 16 และ 20 คือ 4 คือ 1,2,4,8,16 คือ 1,2,4,5,10,20 คือ 1,2,4 ดังนั้น นั้ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. ของ 16 และ 20 คือ 4 ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 วิธีทำ ตัวหารของ 18 คือ 1,2,3,6,9,18 ตัวหารของ 27 คือ 1,3,9,27 ตัวหารร่วมรากหรือ ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คือ 9 ตอบ 9 การหา ห.ร.ม. ของจำ นวนต่างๆ เราอาจใช้การแยกตัวประกอบ ช่วยหาได้โดยนำ ตัวประกอบที่เหมือนกันมาคูณกัน ตัวอย่างเช่น เราจะหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 เมื่อแยกตัวประกอบของ 18 และ 27 จะได้ดังนี้ 18 =2 x 3 x 3 27 =3 x 3 x 3 จำ นวนที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 18 และ 27 ลงตัว คือจำ นวนที่อยู่ใน รูป 3x3 นั่น นั่ คือ ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คือ 3x3 = 9 3
ลองดูตัวอย่างใหม่ เราจะหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 30 40 = 2 x 2 x 2 x 5 30 = 2 x 3 x 5 จำ นวนที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 40 และ 30 ลงตัว คือ จำ นวนที่ อยู่ในรูป 2x5 นั่น นั่ คือ ห.ร.ม. ของ 40 และ 30 คือ 2x5 = 10 ในการหา ห.ร.ม. ของจำ นวนหลายๆ จำ นวน เราอาจใช้วิธีตั้ง ตั้ หารทำนองเดียวกับการแยกตัวประกอบ โดยวิธีตั้งห ตั้ ารได้ ตัวอย่าง เช่น เราจะหา ห.ร.ม. ของ 12,18 และ 24 เราสามารถทำ ได้ดังนี้ (1) หาจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหาร ร่วมของ 12,18 และ 24 เช่น 2 นำ 2 ไปหาร 12,18 และ 24 ได้ผลหาร เป็น 6,9 และ 12 ตามลำ ดับ (2) หาจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหาร ร่วมของ 6,9 และ 12 ซึ่งเป็นผล หารที่ได้ เช่น 3 นำ 3 ไปหาร 6,9 และ 12 ได้ผลหารเป็น 2,3,4 ตาม ลำ ดับ (3) หาจำนวนเฉพาะที่เป็นตัว หารร่วมของ 2,3 และ 4 ซึ่งเป็น ผลหารที่ได้แต่ไม่มีจำ นวนเฉพาะ ดังกล่าว ดังนั้น นั้ ตัวหารร่วมมากที่สุด หรือ ห.ร.ม. ของ 12,18 และ 24 คือ ผลคูณของตัว หารร่วมทุกตัวซึ่งเท่ากับ 2x3 = 6 )12, 18, 24 6, 9, 12 2 2 ) 12, 18, 24 ) 6, 9, 12 2, 3, 4 3 )12, 18, 24 ) 6, 9, 12 2 3 2, 3, 4 ห.ร.ม. ของ 12,18 และ 24 คือ 2x3 = 6 ตอบ 6 4
ตัวคูณร่วมของจำ นวนตั้งแ ตั้ ต่สองจำ นวนขึ้นไป หมายถึง จำ นวนนับที่มีจำ นวนเหล่านั้น นั้ เป็นตัวประกอบ ตัวคูณร่วม จำ นวนที่มี 4 เป็นตัวประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …. จำ นวนที่มี 6 เป็นตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…. จำ นวนที่มีทั้ง ทั้ 4 และ 6 เป็นตัวประกอบ คือ 12, 24, 36, …..เราเรียกจำ นวนที่มีทั้ง ทั้ 4 และ 6 เป็นตัวประกอบว่า ตัวคูณร่วม ของ 4 และ 6 ตัวอย่าง จงหาตัวคูณร่วมของ 3 กับ 4 วิธีทำ จำ นวนที่มี 3 เป็นตัวประกอบ คือ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 36, … จำ นวนที่มี 4 เป็นตัวประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … ตัวคูณร่วมของ 3 และ 4 คือ 12, 24, 36, … ตอบ 12, 24, 36 จำ นวนที่มี 6 เป็นตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,… จำ นวนที่มี 8 เป็นตัวประกอบ คือ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72,… 5
เรียกตัวคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดว่า ตัวคูณร่วมน้อย ใช้ตัวย่อว่า ค.ร.น. ตัวคูณร่วมของ 6 และ 8 คือ 24, 48, …. ตัวคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของ 6 และ 8 คือ 24 ดังนั้น นั้ ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. ของ 6 และ 8 คือ 24 ตัวอย่าง จงหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 วิธิทำ จำ นวนที่มี 4 เป็นตัวประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … จำ นวนที่มี 6 เป็นตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, … ตัวคูณร่วมของ 4 และ 6 คือ 12, 24, 36, … ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 12 ตอบ 12 ในการหา ค.ร.น. ของจำ นวนต่างๆ เราอาจใช้การแยกตัวประกอบ ช่วยหาได้เช่น เราจะหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 เมื่อแยกตัวประกอบ ของ 4 และ 6 ได้ดังนี้ 4 = 2 x 2 6 = 2 x 3 จะเห็นว่า จำ นวนที่น้อยที่สุดที่มี 4 และ 6เป็นตัวประกอบ คือ 12 ซึ่ง12 = 2 x 2 x 3 เราได้2 x 2 x 3 จากวิธีการดังนี้ 4 = 2 x 2 6 = 2 x 3 2 x 2 x 3 =12 6
ดังนั้น นั้ ค.ร.น. ของ 4 แหละ 6 คือ 12 ตัวอย่าง จงหา ค.ร.น. ของ 15 และ 21 วิธีทำ 15 = 3 x 5 21 = 3 x 7 ค.ร.น. ของ 15 และ 21 คือ 3 x 5 x 7 = 105 ตอบ 105 ในการหา ค.ร.น. ของจำ นวนหลายๆ จำ นวน เราอาจใช้วิธีตั้งห ตั้ าร ตัวอย่าง จงหา ค.ร.น. ของ 8, 10, และ 12 (1) หาจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหาร ร่วมของ 8, 10 และ 12 หรืออย่าง น้อย 2 จำ นวน เช่นนำ 2 ไปหาร 8, 10 และ 12 ผลหาร เป็น 4, 5 และ 6 ตามลำ ดับ (2) หาจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหาร ร่วมของ 4, 5 และ 6 หรืออย่างน้อย 2 จำ นวน เช่น 2 เพราะนำ ไปหาร 4 และ 6 ได้ลงตัว แต่นำ ไปหาร 5 ไม่ ลงตัว เขียน 5 ไว้คงเดิม (3) หาจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหาร ร่วมของ 2, 5 และ 3 หรืออย่างน้อย 2 จำ นวน แต่จำ นวนเฉพาะนั้น นั้ ไม่มี ดังนั้น นั้ จำ นวนที่น้อยที่สุดมี 8, 10 และ 12 เป็นตัวประกอบคือ 2 x 2 x 2 x 5 x 3 = 120 ) ) ) ) ) 8, 10, 12 8, 10, 12 8, 10, 12 4, 5, 6 4, 5, 6 4, 5, 6 2, 5, 3 2, 5, 3 2 2 2 2 2 ค.ร.น. ของ 8, 10, และ 12 คือ 2 x 2 x 2 x 5 x 3 = 120 ตอบ 120 7
) ) ) ตัวอย่าง จงหา ค.ร.น. ของ 12, 16, 18 วิธีทำ 2 2 12, 16, 18 6, 8, 9 3 3, 4, 9 1, 4, 3 ค.ร.น. ของ 12, 16 และ 18 คือ 2 x 2 x 3 x 1 x 4 x 3 = 144 ตอบ 144 8
แบบฝึกหัดที่ 1 1. จงหาตัวหารร่วมมากของจำ นวนนับสองจำ นวนต่อไปนี้ 1.) 12 และ 9 วิธีทำ ตอบ 2.) 22 และ 92 วิธีทำ ตอบ 3.) 21 และ 42 วิธีทำ ตอบ 9
2. จงหาตัวหารร่วมมากโดยวิธีการแยกตัวประกอบ 1.) จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 42 วิธีทำ ตอบ 2.) จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 วิธีทำ ตอบ 10
) ) ) 3. จงหาตัวหารร่วมมากโดยวิธีการตั้ง ตั้ หาร 1.) จงหา ห.ร.ม. ของ 60 และ90 วิธีทำ ) ตอบ 2.) จงหา ห.ร.ม. ของ 1, 72 และ 48 ) ตอบ วิธีทำ 11
แบบฝึกหัดที่ 2 1.จงหาตัวคูณร่วมน้อยของจำ นวนนับสองจำ นวนต่อไปนี้ 1.) 5 และ 10 วิธีทำ ตอบ 2.) 3 และ 4 วิธีทำ ตอบ 12
2. จงหาตัวคูณร่วมน้อยโดยวิธีการแยกตัวประกอบ 1.) จงหา ค.ร.น. ของ 8 และ 10 ตอบ วิธีทำ 2.) จงหา ค.ร.น. ของ 4, 24 และ 30 วิธีทำ ตอบ 13
) ) ) ) ) 3.จงหาตัวคูณร่วมน้อยโดยวิธีการตั้ง ตั้ หาร 1.) จงหาค.ร.น. ของ 72 และ 90 ) วิธีทำ ตอบ 2.) จงหา ค.ร.น. ของ 30, 84 และ 90 วิธีทำ ตอบ 14
แบบฝึฝึฝึฝึ กหัหั หั ด หั ด เฉลย 15
แบบฝึกหัดที่ 1 1. จงหาตัวหารร่วมมากของจำ นวนนับสองจำ นวนต่อไปนี้ 1.) 12 และ 9 วิธีทำ ตอบ 2.) 22 และ 92 วิธีทำ ตอบ 3.) 21 และ 42 วิธีทำ ตอบ จำ นวนนับที่หาร 12 ลงตัว คือ 1,2,3,4,6,12 จำ นวนนับที่หาร 9 ลงตัว คือ 1,3,9 ดังนั้น นั้ ห.ร.ม. ของ 12 และ 9 คือ 3 ห.ร.ม. ของ 12 และ 9 คือ 3 จำ นวนนับที่หาร 22 ลงตัว คือ 1,2,11,22 จำ นวนนับที่หาร 92 ลงตัว คือ 1,2,4,23,46,92 ดังนั้น นั้ ห.ร.ม. ของ 22 และ 92 คือ 2 ห.ร.ม. ของ 22 และ 92 คือ 2 จำ นวนนับที่หาร 21 ลงตัว คือ 1,3,7,21 จำ นวนนับที่หาร 42 ลงตัว คือ 1,2,3,6,7,14,21,42 ดังนั้น นั้ ห.ร.ม. ของ 21 และ 42 คือ 21 ห.ร.ม. ของ 21 และ 42 คือ 21 16
2. จงหาตัวหารร่วมมากโดยวิธีการแยกตัวประกอบ 1.) จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 42 วิธีทำ ตอบ 2.) จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 วิธีทำ ตอบ 30 = 2 x 3 x 5 42 = 2 x 3 x 7 จะได้ว่า 2 และ 3 เป็นตัวหารร่วมของ 30 และ 42 ดังนั้น นั้ ห.ร.ม. ของ 30 และ 42 คือ 2 x 3 = 6 ห.ร.ม. ของ 30 และ 42 คือ 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 36 = 2 x 2 x 3 x 3 60 = 2 x 2 x 3 x 5 ดังนั้น นั้ ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 คือ 2 x 2 x 3 = 12 ห.ร.ม. ของ 24,36 และ 60 คือ 12 17
) ) ) 3. จงหาตัวหารร่วมมากโดยวิธีการตั้ง ตั้ หาร 1.) จงหา ห.ร.ม. ของ 60 และ90 วิธีทำ ) ตอบ 2.) จงหา ห.ร.ม. ของ 18, 72 และ 48 ) ตอบ วิธีทำ 60 90 20 30 4 6 2 3 3 5 2 ดังนั้น นั้ ห.ร.ม. ของ 60 และ 90 คือ 3 x 5 x 2 = 30 ห.ร.ม. ของ 60 และ 90 คือ 30 18 72 48 9 36 24 3 12 8 2 3 ดังนั้น นั้ ห.ร.ม. ของ 18, 72 และ 48 คือ 2 x 3 = 6 ห.ร.ม. ของ 18,72 และ 48 คือ 6 18
แบบฝึกหัดที่ 2 1.จงหาตัวคูณร่วมน้อยของจำ นวนนับสองจำ นวนต่อไปนี้ 1.) 5 และ 10 วิธีทำ ตอบ 2.) 3 และ 4 วิธีทำ ตอบ ตัวคูณของ 5 ได้แก่ 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,… ตัวคูณของ 10 ได้แก่ 10,20,30,40,50,60,70,80,90,… ตัวคูณร่วมของ 5 และ 10 ได้แก่ 10,20,30,40,50 ดังนั้น นั้ ค.ร.น. ของ 5 และ 10 คือ 10 ค.ร.น. ของ 5 และ 10 คือ 10 ตัวคูณของ 3 ได้แก่ 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,…. ตัวคูณของ 4 ได้แก่ 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,…. ตัวคูณร่วมของ 3 และ 4 ได้แก่ 12,24 ดังนั้น นั้ ค.ร.น. ของ 3 และ 4 คือ 12 ค.ร.น. ของ 3 และ 4 คือ 12 19
2. จงหาตัวคูณร่วมน้อยโดยวิธีการแยกตัวประกอบ 1.) จงหา ค.ร.น. ของ 8 และ 10 ตอบ วิธีทำ 2.) จงหา ค.ร.น. ของ 4, 24 และ 30 วิธีทำ ตอบ 8 = 2 x 2 x 2 10 = 2 x 5 ดังนั้น นั้ ค.ร.น. ของ 8 และ 10 คือ 2 x 2 x 2 x 5 = 40 ค.ร.น. ของ 8 และ 10 คือ 40 4 = 2 x 2 24 = 2 x 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 ดังนั้น นั้ ค.ร.น. ของ 4, 24 และ 30 คือ 2 x 2 x 3 x 2 x 5 = 120 ค.ร.น. ของ 4, 24 และ 30 คือ 120 20
) ) ) ) ) 3.จงหาตัวคูณร่วมน้อยโดยวิธีการตั้ง ตั้ หาร 1.) จงหาค.ร.น. ของ 72 และ 90 ) วิธีทำ ตอบ 2.) จงหา ค.ร.น. ของ 30, 84 และ 90 วิธีทำ ตอบ 72 90 36 45 12 15 4 5 3 3 2 ดังนั้น นั้ ค.ร.น. ของ 72 และ 90 คือ 2 x 3 x 3 x 4 x 5 = 360 ค.ร.น. ของ 72 และ 90 คือ 360 2 5 3 30 84 90 15 42 45 3 42 9 1 14 3 ดังนั้น นั้ ค.ร.น. ของ 30, 84 และ 90 คือ 2 x 5 x 3 x 1 x 14 x 3 = 1260 ค.ร.น. ของ 30, 84 และ 90 คือ 1260 21
เอกสารอ้างอิง เฉลิมพงศ์ วรวรรโณทัย และ วรกฤษณ์ ศุภพร. (2560). หนังสือเรียนรายวิชาพื้น พื้ ฐานคณิตศาสตร์ ชั้น ชั้ ประถม ศึกษาปีที่ 6 เล่ม1. กรุงเทพฯ: บริษัท ษั เลิร์น เอ็ดดูเคชั่น ชั่ จำ กัด สำ นักงานส่งเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตาม อัธยาศัย สำนักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ. (2559). เอกสารสรุปเนื้อหาที่ต้องรู้รายวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ประถมศึกษา(พ11001). [ม.ป.ท.]: [ม.ป.พ.]. 23
ชื่ชื่ชื่ ชื่ชื่ชื่ ชื่ อ ชื่ อ ชื่ อ : นายสราวุวุวุ วุ ฒิ วุ ฒิ วุ ฒิ ฒิฒิฒิสาทน ชื่ชื่ชื่ ชื่ชื่ชื่ ชื่ อ ชื่ อ ชื่ อเล่ล่ล่ ล่ น ล่ น ล่ น : บาส อายุยุยุ ยุยุยุ : 20 ปีปีปีปีปีปี วัวัวั วั น วั น วั น/เดืดืดื ดื อ ดื อ ดื อน/ปีปีปีปีปีปี เกิกิกิ กิ ด กิ ด กิ ด : 8 มีมีมี มี . มี . มี .ค. 2546 สัสัสั สั ญ สั ญ สั ญชาติติติ ติติติ : ไทย เชื้ชื้ชื้ชื้ อ ชื้ อ ชื้ อ ชื้ชื้ชื้ ชาติติติ ติติติ : ไทย ศาสนา : พุพุพุ พุ ท พุ ท พุ ทธ ที่ที่ที่ ที่ อ ที่ อ ที่ อยู่ยู่ยู่ยู่ยู่ยู่: 5 หมู่มู่มู่มู่มู่มู่1 ตำตำตำตำตำตำบลหนองไผ่ผ่ผ่ ผ่ผ่ผ่ อำอำอำอำอำอำเภอเมืมืมื มื อ มื อ มื อง จัจัจั จั ง จั ง จั งหวัวัวั วั ด วั ด วั ดอุอุอุ อุ ด อุ ด อุ ดรธานีนีนี นีนีนี41330 เบอร์ร์ร์ ร์โร์ร์ ทร : 0956154038 FB : บาส ลั่ลั่ลั่ ลั่ลั่ ลั่ น ลั่ ลั่ น ลั่ น. IG : lan._baas ประวัติผู้จัดทำ นันันั นันันั กศึศึศึศึ ก ศึ ก ศึ กษาชั้ชั้ชั้ ชั้ น ชั้ น ชั้ น ชั้ชั้ชั้ ปีปีปีปีปีปี ที่ที่ที่ ที่ที่ที่ 2 คณะครุรุรุ รุ ศ รุ ศ รุ ศาสตร์ร์ร์ ร์ร์ร์ สาขาวิวิวิ วิชวิวิ าคณิณิณิ ณิณิณิ ตศาสตร์ร์ร์ ร์ร์ร์ มหาวิวิวิ วิ ท วิ ท วิ ทยาลัลัลั ลั ย ลั ย ลั ยราชภัภัภั ภั ฏ ภั ฏ ภั ฏอุอุอุ อุ ด อุ ด อุ ดรธานีนีนี นีนีนี 25
ความพยายามอยู่ยู่ยู่ที่ยู่ที่ ที่ไที่ หน ความล้ล้ ล้ ม ล้ มเหลวอยู่ยู่ยู่ที่ยู่ที่ ที่ นั่ ที่ นั่ นั่นั่ น แต่ต่ ต่ ก็ ต่ ก็ ก็ไก็ ม่ม่ ม่ใม่ ช่ช่ ช่ เ ช่ เหตุตุตุ ที่ ตุ ที่ ที่ ต้ ที่ ต้ ต้ อ ต้ องหยุยุยุ ด ยุ ดพยายาม เพราะ ทุทุทุ ก ทุ กความพยายาม มีมี มี คมี ความหมายเสมอ