Pernahkah kalian berfikir bagaimana bayangan sebuah objek yang telah ditransformasikan lebih dari satu kali? Misalnya sebuah meja digeser ke kanan dan diputar sejauh 90° searah dengan arah jarum jam. Untuk mencari tahu tentang itu maka kita harus memahami masalah dibawah ini. MASALAH INTI Seorang siswa menggeser meja persegi 5 langkah ke kanan dan memutar meja tersebut sejauh 90° searah jarum jam. Bisakah kalian menggambarkan permasalahan tersebut dalam bidang koordinat kartesius dan menentukan posisi awal meja, posisi meja setelah digeser dan posisi akhir meja? Selesaikan soal masalah inti di atas, dengan melakukan langkahlangkah berikut ini: 7. Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang. 8. Diskusikanlah bersama teman kelompok kalian untuk menyelesaikan soal tersebut. 9. Mintalah kepada guru untuk mebimbing kalian apa bila mengalami kesulitan. 40 TRANSFORMASI KOMPOSISI
(, ) → ′(′,′) → ′′(′′, ′′) MATERI TRANSFORMASI KOMPOSISI Pengertian Transformasi Komposisi: Komposisi transformasi adalah transformasi majemuk yang memuat lebih dari satu transformasi yang dilakukan secara berurutan. (, ) →−−→ ′′(′′, ′′) ∘ Dalam konteks kehidupan sehari-hari perpindahan meja dan memutarnya merupakan salah satu contoh komposisi transformasi geometri. Untuk lebih memahami permasalahan komposisi transformasi geometri, silahkan baca dan pahami materi di bawah ini. Untuk memperluas wawasan, kalian juga bisa menambahkan dengan materi yang ada dalam sumber yang lain. Sebelum itu, ada beberapa hal yang harus kalian perhatikan, antara lain: 1. Pengertian komposisi transformasi. 2. Transformasi komposisi pada titik. 3. Transformasi komposisi pada kurva. 4. Luas bayangan kurva yang telah ditransformasikan. Diketahui 1 adalah transformasi yang memetakan titik (, ) ke titik ’(’, ’) dan 1 adalah ransformasi yang memetakan titik ′(′, ′) ke titik ′′(′′, ′′). Transformasi yang memetakan titik ke titik ′′ dapat ditulis Bentuk ∘ disebut komposisi transformasi dan dibaca “ komposisi ” yang berarti transformasi dilanjutkan oleh transformasi dan dapat dituliskan 41
′) ( 1 0 −1 0 untuk memahami komposisi transformasi lebih lanjut, silahkan simak pembahasan soal di bawah ini. Contoh Soal 1 Diketahui segiempat ABCD dengan (−2,5), (−5,4), (6,1), (2, −2). Bayangan segiempat tersebut setelah dicerminkan terhadap garis = − kemudian dirotasikan sejauh 90° searah jarum jam dengan titik pusat (0,0) adalah... Alternatif Penyelesaian Memahami masalah Diketahui :posisi awal segiempat ABCD adalah (−2,5), (−5,4), (6,1), (2, −2). Ditanya :bayangan segiempat ABCD dicerminkan terhadap garis = − kemudian dirotasikan sejauh 90° searah jarum jam dengan titik pusat (0,0). Merencanakan Penyelesaian 1. Menentukan transformasi yang dialami oleh segiempat ABCD. 2. Menghitung komposisi matriks transformasi. 3. Mencari persamaan transformasi. 4. Mencari bayangan pada setiap titik. Menyekesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. Transformasi geometri yang dialami oleh segiempat ABCD adalah (, =− ) →−−−→ (′ , (,90°) →−−−→ ′′ , ′′) Bentuk matriks untuk refleksi =− adalah 1 = ( 0 −1 ). Bentuk matriks untuk rotasi (,90°) adalah 2 = ( 0 −1 ). 2. Komposisi matriks transformasi tersebut adalah 42
( ) = 2 ∘ 1 = ( 0 −1 ) ( 0 −1) = ( 1 0 ). −1 0 1 0 0 −1 3. Selanjutnya kita cari persamaan transformasinya ′ ( 1 0 ( ′ ) = 0 −1) ( ) = (− ). 4. Mencari bayangan setiap titik Untuk titik bayangan titik A adalah ′ ( 1 0 ) ( −2 ) = ( −2 ). ( ′ ) = 0 −1 5 −5 Untuk titik bayangan titik B adalah ( ′ ) = ′ ′ ( 1 0 ) ( −5 ) = ( −5 ). 0 −1 4 −4 ( 1 0 6 6 Untuk titik bayangan titik C adalah ( ′ ) = 0 −1) (1 ) = ( −1 ). Untuk titik bayangan titik D adalah ′ ( 1 0 ) ( 2 ) = ( 2 ). ′ 0 −1 −2 2 Jadi bayangan persegi ABCD tersebut berada di titik ’(−2, −5), ’(−5, −4), ’(6, −1), ’(2,2). Contoh Soal 2 Persamaan bayangan garis 3 + 6 − 1 = 0 jika didilatasikan menggunakan faktor skala 2 dengan titik pusat (0, 0) dilanjutkan rotasi sejauh 90° berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat (0, 0) adalah … Alternatif Penyelesaian Memahami Masalah Diketahui garis 3 + 6 − 1 = 0. Ditanya : Persamaan bayangan jika didilatasikan menggunakan faktor skala 2 dengan titik pusat (0, 0) dilanjutkan rotasi sejauh 90° berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat (0, 0). Merencanakan Penyelesaian 1. Menentukan transformasi yang dialami oleh garis. 2. Menghitung komposisi matriks transformasi. 43
0 2 1 0 2 1 Luas Daerah Hasil Transformasi Komposisi: Luas Daerah Hasil Transformasi Komposisi adalah luas daerah bayangan yang telah dilakukan transformasi komposisi. 3. Mencari persamaan transformasi. 4. Mencari persamaan bayangan garis yang telah ditrasformasikan. Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. Menentukan transformasi yang dialami oleh garis 1 adalah matriks transformasi dari dilatasi [,2]. 1 = ( 2 0 ). 2 adalah matriks transformasi dari rotasi [,90°]. 2 = ( 0 −1). 2. Komposisi matriks transformasi tersebut adalah 2 0 0 −1 0 −2 ∘ = ( ) ( 0 2 1 0 ) = ( ). 2 0 3. Selanjutnya kita cari persamaan transformasinya ′ 0 −2 −2 ( ′ ) = ( ) ( ) = ( 2 ). 4. Mencari persamaan bayangan garis. Dengan kesamaan dua matriks diperoleh ′ 1 = −2 → = − 2 1 ′ ′ = 2 → = ′ 2 Selanjutnya substitusikan 6 − 1 = 0 Diperoleh 3 + 6 − 1 = 0 = 1 2 ′ dan = − 1 2 ′ ke persamaan 3 + 3 (− 1 ′) + 6 ( 1 2 2 ′) − 1 = 0 − 3 2 ′ + 6 ′ 2 − 1 = 0 3′ − 6′ + 2 = 0 Jadi, bayangan garis tersebut adalah 3 − 6 + 2 = 0 2 0 44
Misalkan matriks transformasi menjadi bangun ′, maka = ( ) mentransformasikan bangun ′ = || × |det A | merupakan nilai mutlak dari determinan matriks dan merupakan faktor perbesaran luas = − Untuk lebih memahami konsep tersebut, simaklah soal dibawah ini. Latihan Soal Diketahui segitiga ABC dengan (1, 0), (6, 0) (6, 3). Luas bayangan segitiga ABC oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks adalah … Alternatif Penyelesaian Memahami masalah Diketahui : segitiga ABC dengan (1, 0), (6, 0) (6, 3). 4 2 ( ) 1 −3 Ditanya : Luas bayangan segitiga ABC oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 4 2 ( ) 1 −3 Merencanakan Penyelesaian 1. Menggambar segitiga pada bidang koordinat kartesius. 2. Mencari luas segitiga ABC. 3. Mencari determinan matriks yang bersesuaian. 4. Menghitung luas bayangan segitiga ABC, Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. Menggambar segitiga pada bidang koordinat kartesius. 45 .
Pada gambar terlihat AB merupakan alas segitiga dengan panjang = 5 satuan dan BC merupakan tinggi segitiga dengan panjang = 3 satuan. 2. Menghitung luas segitiga ABC 1 = 2 × × 1 × 5 × 3 2 15 2 3. Mencari determinan matriks yang bersesuaian 4 2 = ( ) 1 −3 |det | = 4. (−3) − 2.1 −12 − 2 −14. 4. Mencari luas bayangan segitiga ABC = |det | × 14 × 15 2 105. Jadi, luas bayangan segitiga ABC adalah 105. 46
Setelah kalian menyelesaikan masalah di atas, buatlah laporan dari penyelesaian masalah di atas sesuai dengan langkah yang ada pada contoh soal, kemudian kumpulkan kepada guru untuk diperiksa. Presentasikan kepada teman kalian mengenai materi translasi yang kalian ketahui di depan kelas, kemudian diskusikan dengan guru kalian tentang materi yang telah kalian pahami. 1. Komposisi transformasi bisa berupa komposisi translasi, komposisi refleksi, komposisi rotasi, komposisi dilatasi, komposisi matriks tertentu atau komposisi dari translasi, refleksi, rotasi, dilatasi dan matriks tertentu. 2. Jika ) dan = ( ). 1 = ( 2 ℎ Komposisi transformasi 2 ∘ 1 berarti transformasi 1 dilanjutkan oleh transformasi 2. Bersesuaian dengan perkalian matriks ∘ = ( ) ( ). 2 1 ℎ Komposisi transformasi 1 ∘ 2 berarti transformasi 2 dilanjutkan oleh transformasi 1. Bersesuaian dengan perkalian matriks ∘ = ( ) ( ). 1 2 ℎ 3. ′ = |det | × , Dengan = ( ) dan = − . 47
j 1. Jika titik (3, 4) dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh 45° dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis = , maka koordinat bayangannya adalah … 2. Diketahui dua buah rumah dengan letaknya masing-masing di (8, 2) dan (4, 5). Sebuah tiang listrik akan dipasang sepanjang jalan pada sumbu . Carilah letak tiang listrik agar kawat yang digunakan untuk menghubungkan rumah dan adalah... TES FORMATIF 48 SILAHKAN MENGIRIM JAWABAN BAB III PADA BARCODE DIBAWAH INI
. 1. Ilustrasi di atas adalah representasi dari lampion pada klentheng Tay Kak Sie Semarang. Lampion tersebut direpresentasikan menjadi bentuk lingkaran yang memiliki persamaan ( − 1) 2 + ( + 1) 2 = 9. Apabila lampion tersebut mengalami dilatasi terhadap titik pusat (1,2) dengan faktor skala 1 Tentukan hasil dilatasi dari persamaan lingkaran pada 3 lampion tersebut. 2. Berdasarkan gambar tersebut, transformasi yang mengakibatkan perubahan posisi dari bangun A ke bangun D adalah..... UJI KOMPETENSI 49
3. Pak Budi ingin memindahkan lukisan dari dinding sebelah kiri ke kanan maka jika digambarkan di bidang kartesius didapat bahwa titik (4,5) ditranslasikan oleh (1,2) Tentukan A’! 4. Tentukan apabila terdapat cermin dengan titik E(-6,7) jika dicerminkan terhadap sumbu y dan sumbu x . 5. Tentukan bayangan kurva = 3 − 92 jika dirotasi dengan pusat o (0,0) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat o (0,0) dan faktor skala 3. 50 SILAHKAN MENGIRIM JAWABAN UJI KOMPETENSI PADA BARCODE DIBAWAH INI
Diharapkan bahwa refleksi diri ini dapat membantu kalian dalam memantau pemahaman kalian terhadap materi transformasi geometri yang dipelajari dengan pendekatan Problem Based Learning dan etnomatematika. Silakan melengkapi refleksi diri dengan menjawab pertanyaan berikut, berdasarkan pengalaman kalian setelah mempelajari buku pelajaran ini. 1. Apakah ada kesulitan yang dihadapi ketika mempelajari materi transformasi geometridalam Buku ajar ini? 2. Jika ada, mohon jelaskan kesulitan yang dihadapi dan langkah apa yang diambil untuk mengatasinya? 3. Apakah kalian dapat menghubungkan materi transformasi geometri dengan fenomena budaya lainnya? 4. Apakah kalian berhasil menyelesaikan masalah pada Buku ajar ini dengan mengikuti langkah-langkah penyelesaian yang diberikan dalam contoh soal? 5. Jika tidak berhasil mengikuti langkah-langkah penyelesaian, apa hambatan yang dihadapi dan bagaimana cara mengatasinya? 6. Menurut pandangan kalian, apa yang paling menarik dari materi transformasi geometri dalam buku ajar ini? REFLEKSI DIRI 51