LIMIT FUNGSI ALJABAR MATEMATIKA WAJIB KELAS XI
m Mini Book Mathematics 1 Kata Pengantar Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmat serta karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan bahan ajar matematika dengan materi limit fungsi untuk SMA/MA kelas XI kurikulum 2013 ini. Dengan terselesainya Bahan ajar ini, kami mengucapkan terimakasih kepada: 1. selaku dosen mata kuliah telaah kurikulum, yang telah membimbing hingga Bahan ajar ini dapat terselesaikan 2. Teman-teman rombel 5 Pendidikan Matematika Tahun 2021 yang telah mendukung, bekerja sama serta memberikan motivasi sehingga bahan ajar ini terselesaikan. 3. Kedua orang tua kami yang telah memberikan fasilitas dan motivasi.dalam penulisan bahan ajar ini. Saya selaku penulis merasa masih banyak kekurangan - kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi mengenai Limit Fungsi Aljabar demi lebih baiknya karya - karya saya selanjutnya, kritik dan saran sangat saya perlukan. Demikianlah sekelumit kata yang dapat saya sampaikan, semoga bahan ajar ini dapat bermanfaat untuk dunia pendidikan, baik digunakan oleh siswa dan atau digunakan sebagai tambahan bahan ajar oleh guru. Kab. Semarang, 24 November 2021 Saqinatul Mutiara Zahra
m Mini Book Mathematics 2 Daftar isi: COVER 1 KATA PENGANTAR 2 DAFTAR ISI 3 PETA KONSEP 4 PENDAHULUAN 5 a. Identitas Buku 5 b. Petunjuk penggunaan 5 c. Kompetensi inti 5 d. Kompetensi dasar 5 e. Indikator Pencapaian Kompetensi 6 f. Tujuan Pembelajaran 6 g. Materi Pembelajaran 6 MENELADANI SIFAT TOKOH 7 KATA KATA MOTIVASI 8 BAB 1. Pengertian dan Sifat Sifat Limit Fungsi 9 a. Pengertian Limit Fungsi 9 b. Sifat Sifat Limit Fungsi 12 BAB 2. Limit Fungsi Aljabar 15 a. Mencari Hasil dari Limit Tentu dan Tak Tentu 15 b. Aplikasi Limit Fungsi 19 RANGKUMAN 21 LATIHAN SOAL 22 KUNCI JAWABAN 24 DAFTAR PUSTAKA 28 INFORMASI PENYUSUN 29 GLOSARIUM 30
m Mini Book Mathematics 3 PETA KONSEP
m Mini Book Mathematics 4 PENDAHULUAN a. Identitas buku Mata Pelajaran : Matematika Wajib Kelas : XI Waktu : 8 x 45 Menit Judul Buku : Limit Fungsi Aljabar b. Petunjuk penggunaan Teman teman semua, buku ini di rancang untuk menunjang pembelajaran kalian agar bisa belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi dalam buku ini, maka ikutilah petunjuk penggunan berikut. 1. Berdoa sebelum membaca dan mempelajari buku ini. 2. Pelajari materi dalam buku secara urut. 3. Lihat contoh soal dan coba kerjakan sebisa mungkin. 4. Kerjakan latihan soal agar memudahkan untuk memahami materi dan cocokkan hasil belajar kalian denan kunci jawaban yang telah disediakan 5. Jika menemui kesulitan, coba baca daan pahami kembali materi yang telah ada dan coba kembali contoh soal yang telah diberikan. 6. Jika masih menemui kesulitan, tanyakan kepada teman ataupun guru yang mengajar. 7. Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai refleksi kalian terhadap penugasan pada materi. 8. Selalu ingat bahwa keberhasilan dalam pemahaman materi pda buku ini tergantung bagaimana kesungguhan kalian dalam memahami isi materi dan berlatih mandiri. c. Kompetensi Inti KI-1 dan KI-2:Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, santun, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), bertanggung jawab, responsif, dan pro-aktif dalam berinteraksi secara efektif sesuai dengan perkembangan anak di lingkungan, keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan kawasan internasional.” KI 3: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
m Mini Book Mathematics 5 KI4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan d. Kompetensi Dasar 3.7 Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional) secara intuitif dan sifat-sifatnya, serta menentukan eksistensinya. 4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar. e. Idikator Pencapaian Kompetensi 3.7.1 Mengamati dan mengidentifikasi fakta pada fungsi aljabar 3.7.2 Mengamati dan mengidentifikasi sifat sifat fungsi aljabar 3.7.3 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar 4.7.1Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar f. Tujuan Pembelajaran Dengan kegiatan diskusi dengan kelompok dalam pembelajaran limit fungsi aljabar diharapkan siswa terlibat aktif dalam kegiatan pembelajaran dan dapat menyampaikan pendapat, menjawab pertanyaan, memberi saran dan kritik, serta mampu : a. Mengamati dan mengidentifikasi fakta pada fungsi aljabar b. Mengamati dan mengidentifikasi sifat sifat fungsi aljabar c. Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi aljabar d. Menyelesaikan masalah ynag berkaitan tentang limit fungsi aljabar g. Materi Pembelajaran Buku ini terdiri dari 2 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan. Pertama : Pengertian limit dan sifat-sifat limit fungsi Kedua : Limit Fungsi Aljabar
m Mini Book Mathematics 6 MENELADANI SIFAT TOKOH . Muhammad bin Musa al-Khawarizmi (780 - 850 M) Sumber: http://1.bp.blogspot.com/-u2wwiNH3_4A/UTxfCDXCMI/AAAAAAAAAEk/d0BhHD0R77s/s1600/563_AL-KHAWARIZMI.jpg Di kalangan masyarakat Barat, al-Khawarizmi dikenal sebagai Algorisme atau Algoritme. Al-Khawarizmi lahir di Khawarizmi (sekarang Khiva), Uzbekistan dan meninggal di Baghdad. Beliau telah banyak menemukan teori dalam matematika. Al-Khawarizmi populer dengan sebutan Bapak Aljabar. Teori aljabar beliau tulis dalam kitabnya yang berjudul "Hisab Al-Jabr wal Muqabalah" atau buku tentang perhitungan, restorasi, dan pengurangan. Selain aljabar dan algoritma, persamaan kuadrat dan fungsi sinus adalah karyanya. Al-Kawarizmi juga dikenal sebagai seorang astronom dan ahli geografi. Beliau juga merupakan penemu angka nol yang kita kenal sekarang. Bayangkan jika tidak ada angka nol, darimana angka ratusan bahkan puluhan juta rupiah? Berkat angka nol, deret hitung menjadi semakin luas. Angka nol baru dikenal dan dipergunakan orang Barat sekitar 250 tahun setelah ditemukan oleh al-Khawarizmi. Angka nol itu dibawa ke Eropa oleh Leonardo Fibonanci dalam karyanya, Liber Abaci. Kehadiran angka nol itu sempat ditolak kalangan gereja Kristen. Angka nol telah membawa implikasi yang amat besar dalam seluruh aspek kehidupan dan peradaban manusia. Tanpa itu, revolusi digital mustahil bisa terjadi.
m Mini Book Mathematics 7 KATA KATA MOTIVASI SUMBER: http://assets.kompasiana.com/items/album/2021/01/29/animasi-belajar601411738ede4870bf635e53.jpeg?t=o&v=770 CARA TERMUDAH UNTUK MENJADI PANDAI ADALAH DENGAN BELAJAR DARI HAL TERBODOH YANG PERNAH KAMU LAKUKAN (WILSON KANADI)
m Mini Book Mathematics 8 Bab 1. Pengertian dan Sifat Sifat Limit Fungsi A.Pengertian Limit Fungsi Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut : Misalkan terdapat suatu fungsi () = 2−4 −2 , ≠ 2. Tentukan nilai lim→ () jika ada ! Untuk menentukan limit fungsi aljabar di → kita bisa menggunakan tabel seperti berikut X mendekati 2 dari kiri X mendekati 2 dari kanan X ........ 1,997 1,998 1,999 2 2,001 2,002 2,003 2,004 ....... f(x) ........ 3,997 3,998 3,999 4 4,001 2,002 2,003 4,004 ....... X mendekati 4 dari kiri X mendekati 4 dari kanan Jika kita subtitusi nilai-nilai dari kiri maka nilainya akan mendekati 4, sedangkan jika kita subtitusi nilai-nilai x dari kanan maka nilainya akan mendekati 4 juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Teman teman semua, pernahkan kalian berfikiran untuk mencoba menghitung kecepatan dan percepatan mobil yang sedang bergerak selama t sekon ? Jika gerak mobil memenuhi persamaan () = ( 2 + 4)meter, jadi berapa kecepatan dan percepatan mobil tersebut saat berada dalam = 3 sekon? Permasalahan tersebut merupakan salah satu permasalahan fisika dengan bantuan limit fungsi loh... Gambar 1. Mobil melaju dengan cepat Sumber : https://pbs.twimg.com/media/EdW7UyeU4AIYvSt.jpg
m Mini Book Mathematics 9 lim→2− ( 2−4 −2 ) = 4 dan lim →2+ ( 2−4 −2 ) = 4 jadi, lim→2 ( 2−4 −2 ) = 4 Jika dalam grafik seperti berikut: Gambar 2: Fungsi () = 2−4 −2 Sumber: gambar pribadi Jadi, nilai lim→2 ( 2−4 −2 ) = 4 adalah 4. Secara sistematis: Keterangan : - lim→+ ()dibaca limit () untuk nilai yang mendekati dari kanan ( > ) - lim→− ()dibaca limit () untuk nilai yang mendekati dari kiri ( < ) lim→ () = artinya jika mendekati ,tetapi tidak sama dengan , maka nilai () mendekati nilai . Jika fungsi () terdefinisi pada selang terbuka I, maka: a. lim→ () = (ada) jika dan hanya jika lim→− () = dan lim→+ () = . b. Jika lim→− () = 1dan lim→+ () = 2 dimana 1 ≠ 2 maka lim→ () = tidak ada.
m Mini Book Mathematics 10 CONTOH SOAL coba perhatikan limit fungsi di bawah ini lim→2 5 2+7x−6 4− Berapakah hasil nilai limit dari data diatas ? . 14 . 0 . 7 . 2 . ∞ CATATAN! Secara konsep dasar matematika, cara mengerjakan soal matematika yang ada limitnya, hanya tinggal mengganti/mensubtitusi variabel menjadi angka yang didekati oleh tersebut. Pembahasan: Pada limit diatas, untuk mencari hasil nilai limitnya, kalian hanya tinggal mensubtitusi atau mengganti variabel dengan angka 1, sehingga hasil limitnya menjadi lim→2 5 2 + 7x − 6 4 − = 5(2) 2 + 7(2) − 6 4 − 2 = 5(4) + 14 − 6 4 − 2 = 20 + 8 2 = 28 2 = 14 Jadi, nilai limit tersebut adalah 14 (Jawaban: A)
m Mini Book Mathematics 11 B.SIFAT SIFAT LIMIT FUNGSI GAMBAR 3: SIFAT SIFAT LIMIT FUNGSI SUMBER : https://3.bp.blogspot.com/-ihdnrbxsVvE/V_NHizlTSQI/AAAAAAAAEiM/LX48- DYVNGArQ2RG2uCRtuLFO162I0v8ACLcB/s1600/y3.PNG Ada 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut : 1. lim→ = 2. lim→ = 3. lim→ () = lim→ () 4. lim→ (() ± ()) = lim→ () ± lim→ () 5. lim→ (() × ()) = lim→ () × lim→ () 6. lim→ ( () () ) = lim→ () lim→ () 7. lim→ () = (lim→ ()) 8. lim→ √() = √lim→ ()
m Mini Book Mathematics 12 Contoh soal: 1. lim→6 4 = 4 2. lim→4 3 = 4 3 = 64 3. lim→3 2 3 = 2 lim→3 3 4. lim→3 ( 2 + 2) = lim→3 2 + lim→3 2 5. lim→4 2 × 2 = lim→4 2 × lim→4 2 6. lim→3 ( 2 ) = lim→3 2 lim→3 7. lim→1 (3 − 1) 2 = (lim→1 (3 − 1)) 2 8. lim→9 √4 = √lim→9 4 Itulah sifat-sifat atau teorema limit beserta contoh soal dan penyelesaiannya, semoga kalian paham ya dengan apa yang sudah dijelaskan di atas. = 2(3) 3 = 2(27) = 54 =(3) 2 + 2(3) = 9 +6 = 15 =(4) 2 + 2(4) = 16 +8 = 24 = (3) 2 3 = 9 3 = 3 = (3(1) − 1) 2 = (3 − 1) 2 = 2 2 = 4 = √4(9) = √36 = 6
m Mini Book Mathematics 13 Untuk lebih jelasnya penggunaan sifat di atas perhatikan contoh berikut: Pembahasan: Pada soal kita diminta untuk menerapkan sifat limit dan mencari nilai limit dari lim →3 ( 2 − 5) 3 Pada limit fungsi diatas, kita terapkan sifat limit yang nomor 7 ya, sehingga lim→3 ( 2 + 5) 3 = (lim→3 ( 2 − 5)) 3 Jadi, nilai hasil limitnya adalah 64 Perhatikan limit fungsi dibawah ini lim →3 ( 2 − 5) 3 = terapkan sifat limit dan berapa hasil nilai limit fungsi di atas ? A. 4 B. 8 C. 27 D. 64 E. 81 = (3 2 − 5) 3 = (9 − 5) 3 = 4 3 = 64
m Mini Book Mathematics 14 Bab 2. Limit Fungsi Aljabar a. Mencari Hasil Limit Tentu dan Tak Tentu Teman-teman, jika kalian menemukan sebuah limit fungsi lim→2 2−4 −2 dan disubtitusikan = 2, maka hasilnya adalah 0 0 . Dalam limit, ini tidak boleh dan harus diubah. Bagaimana cara merubahnya ya? Secara konsep matematika, cara merubah bentuk limit yang hasilnya 0 0 (bentuk tak tentu), kita menggunakan dua cara, yakni cara memfaktorkan dan merasionalkan (mengalikan dengan akar sekawan). Penasaran bagaimana caranya? Simak pembahasan selanjutnya ya… Nah berikutnya kita akan membahas metode penyelesaian limit bentuk tak tentu dengan pemfaktoran dan mengalikan dengan akar sekawan. Sebelum itu, kalian harus tahu dulu bentuk hasil limit. Bentuk hasil limit dibedakan menjadi dua yaitu bentuk tentu dan bentuk tak tentu. Hasil limit Bentuk Tentu: (, , 0 = ∞, 0 = 0) Hasil limit Bentuk Tak Tentu: ( 0 0 , ∞ ∞ , ∞ − ∞, ∞∞) Dengan menggunakan metode substitusi, jika hasilnya bentuk tentu maka bentuk tentu itulah hasil limitnya. Tapi jika hasilnya merupakan bentuk tak tentu, maka harus diselesaikan dengan menggunakan metode faktorisasi atau mengalikan dengan akar sekawan. CATATAN!!
m Mini Book Mathematics 15 Agar kalian paham dengan bentuk tentu dan tak tentu, mari kita lihat contoh di bawah ini: PENYELESAIAN 1. lim→2 5 3 = 5(2) 3 = 5(8) = 40 (bentuk tentu) 2. lim→2 6−2 5− = 6(2) − 2 5 − 2 = 12 − 2 3 = 10 3 (bentuk tentu)
m Mini Book Mathematics 16 3. lim→3 2−9 +1 = 3 2 − 9 3 + 1 = 0 4 (bentuk tak tentu) Dengan substitusi tidak di temukan jawaban lain, jadi kita harus menggunakan cara yang lain juga. Cara cara yang dapat digunakan untuk mencari hasil fungsi limit tak tentu. • Menyelesaikan Limit dengan cara Pemfaktoran • • • Contoh: lim→−2 3 + 8 + 2 substitusikan = (−2) 3 + 8 2 + 2 = (−8) + 8 4 = 0 4 (bentuk tak tentu) Beberapa bentuk faktor istimewa : − = ( + ) ( − ) (+ ) = + + (− ) = − + − = ( − ) ( + + ) + = ( + ) ( − + ) PENTING!!
m Mini Book Mathematics 17 Karena hasil limit fungsi tersebut tak tentu maka kita gunakan cara pemfaktoran lim→−2 3 + 8 + 2 = lim→−2 (x + 2)( 2 − 2x + 4) ( + 2) = lim→−2 ( 2 – 2x + 4) = (−2) 2 − 2(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 Jadi, hasil dari limit fungsi tersebut adalah 12. • Menyelesaikan Limit dengan cara Mengalikan dengan Akar Sekawan Selain menggunakan cara pemfaktora, kita juga bisa menggunakan cara mengalikan dengan akar sekawan. Contoh : lim→3 √3+−√2 3− = Nah penyelesaian bentuk limit akar ini jika diselesaikan dengan substitusi langsung hasilnya 0 0 (tak tentu). INGAT!! Bentuk sekawan dari: − bentuk sekawan dari + √ − bentuk sekawan dari √ + √ − √ bentuk sekawan dari √ + √ √ + − bentuk sekawan dari √ + +
m Mini Book Mathematics 18 Jadi untuk menyelesaikan limit ini kita selesaikan dengan akar sekawan. Langsung saja kita bahas ya... lim→3 √3 + − √2 3 − =lim→3 ( √3+−√2 3− ) ×( √3++√2 √3++√2 )= =lim→3 (3+)−(2) (3−)(√3++√2) =lim→3 (3−) (3−)(√3++√2) =lim→3 1 (√3++√2) = 1 (√3+3+√2(3)) = 1 √6+√6 = 1 2√6 × √6 √6 = 1 12 √6 Jadi, hasil limit fungsi tersebut adalah 1 12 √6. PENTING!! Ingat ! Tidak semua limit bentuk akar diselesaikan dengan mengalikan akar sekawan, sebelum menyelesaikan limit harus dicoba dulu dengan menggunakan substitusi, jika hasilnya bentuk tentu maka itulah hasilnya, tapi jika bentuknya tak tentu maka baru diselesaikan dengan cara lain. b.Aplikasi Limit Fungsi Pada awal materi sudah dijelaskan bahwa limit fungsi aljabar bermanfaat bagi kehidupan sehari hari. Berikut contoh penerapan limit fungsi aljabar dalam kehidupan sehari hari.
m Mini Book Mathematics 19 Sumber: https://content.fun-japan.jp/renewalprod/cms/articles/content/f81f43c3907a7f64dae815e4853ea4a9d5f043d0.jpg Sebuah logam dipanaskan memuai dengan pertambahan luas sebagai fungsi waktu () = 3,6 2 + 0,6(2 ). Kecepatan perubahan luas perubahan luas lempengan logam tersebut pada saat t menit dirumuskan = lim t→1 f(t)−f(1) −1 . Tentukan kecepatan perubahan luas lempengan logam pada saat = 5 menit. Pembahasan () = 3,6 2 + 0,6 (5) = 3,6(5) 2 + 0,6(5) = 3,6(25) + 3 = 9 + 3 = 12 Kecepatan perubahan luas lempengan logam pada saat = 5 menit adalah = lim t→1 f(t) − f(1) − 1 = lim t→1 f(t) − f(5) − 5 = lim t→1 3,6 2 + 0,6 − 12 − 5 = lim t→1 0,6(0,6 2 + t − 20) − 5 = lim t→1 0,6(0,6t + 4)(t − 5) − 5 = lim t→1 0,6. (0,6t + 4) = 0,6. (0,6 × 5 + 4) = 0,6(3 + 4) = 4,2 Jadi kecepatan perubahan luas lempengan logam adalah 4,2 2 ⁄ .
m Mini Book Mathematics 20 RANGKUMAN 1. Pengertian Limit Fungsi 2. Sifat sifat limit fungsi a. lim→ = b. lim→ = c. lim→ () = lim→ () d. lim→ (() ± ()) = lim→ () ± lim→ () e. lim→ (() × ()) = lim→ () × lim→ () f. lim→ ( () () ) = lim→ () lim→ () g. lim→ () = (lim→ ()) h. lim→ √() = √lim→ () 3. Secara konsep dasar matematika, cara mengerjakan soal limit, hanya tinggal mengganti/mensubstitusi variabel menjadi angka yang didekati oleh tersebut. 4. Untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar Langkah pertama adalah substitusi langsung, jika hasilnya bentuk tentu maka itulah nilai limitnya, jika substitusi langsung hasilnya bentuk tak tentu maka harus diselesaikan dengan cara lain yaitu metode pemfaktoran atau mengalikan dengan akar sekawan. 5. Bentuk hasil limit dibedakan menjadi dua yaitu bentuk tentu dan bentuk tak tentu. 6. Tidak semua limit bentuk akar diselesaikan dengan mengalikan akar sekawan, sebelum menyelesaikan limit harus dicoba dulu dengan menggunakan substitusi, jika hasilnya bentuk tentu maka itulah hasilnya, tapi jika bentuknya tak tentu maka baru diselesaikan dengan cara lain. Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. lim→ () = artinya jika mendekati ,tetapi tidak sama dengan , maka nilai () mendekati nilai .
m Mini Book Mathematics 21 LATIHAN SOAL Pilihan Ganda 1. Perhatikan tabel berikut X f(x) 1 3 1,5 3,5 1,9 3,9 1,99 3,99 1,999 3,999 Nilai lim→2− () = ⋯ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 2. Nilai dari lim→5 (−3) = ⋯ A. -5 B. -3 C. -2 D. 2 E. 3 3. Nilai dari lim→2 2 + 3 2 = ⋯ A. 16 B. 7 C. 5 D. 2√2 E. √3 4. Nilai lim→−2 ( − 4) = ⋯ A. -8 B. -6 C. -4 D. 0 E. 2 5. Nilai lim→−1 2−1 −1 = ⋯ A. -8 B. -6 C. -4 D. 0 E. 2 6. Nilai lim→0 2 +2 = ⋯ A. 0 B. 1 C. 3 D. 9 E. ∞ 7. Nilai lim→4 2−16 2−−12 = ⋯ A. 5 7 B. 6 7 C. 8 7 D. 9 7 E. 10 7 8. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan setiap saat dirumuskan denga () = 2 − n (v dalam meter, t dalam detik). Jika t mendekati 5 detik, kecepatan mobil mendekati…. A. 10 m/detik B. 12 m/detik C. 15 m/detik D. 20 m/detik E. 25 m/detik 9. Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan tertentu sehingga jarak tempuh setiap saat dirumuskan () = 1 2 2 + 3 ( S dalam meter dan t dalam detik). Jarak yang ditempuh mobil saat t mendekati 60 detik adalah… A. 1.980 m B. 2.000 m C. 2.160 m D. 2.700 m E. 2.980 m 10. Kecepatan benda setiap saat ditentukan dengan rumus () = 0,2 2 − 0,4. Perubahan kecepatan untuk t mendekati 5 dirumuskan denganlim →5 ()−() −5 . Nilai perubahan kecepatan benda tersebut adalah… A. 1,2 ⁄ 2 B. 1,6 ⁄ 2 C. 1,8 ⁄ 2 D. 2,0 ⁄ 2 E. 2,4 ⁄ 2
m Mini Book Mathematics 22 Uraian 1. Diketahui fungsi () sebagai berikut () { 2 − 1, untuk < −2 −2 − 1, untuk > 2 Nilai lim→−2 () = ⋯ 2. Diketahui () = lim→1 2−5 +1 Nilai lim→1 () = ⋯ 3. Diketahui lim→ () = , nilai lim→ (() + 1) 2 − 3() adalah ... Angka pertumbuhan penduduk setiap tahun dirumuskan dengan () = () = √ 1 2 2 − 3(5) + 5 % . Pertumbuhan penduduk saat mendekati tahunkelima (t=5) adalah…. 4. Sebuah mobil yang bergerak dengan kelajuan setiap saat dirumuskan dengan () = 5 − 1 2 2 , v dalam m/detik dan t dalam detik. a. Tentukan nilai pendekatan kelajuan untuk t mendekati 5 detik. b. Tentukan percepatan (dalam m/detik) pada saat t mendekati 3 detik Percepatan =Perubahan kelajuan Perubahan waktu = △v △t ( ⁄ 2)
m Mini Book Mathematics 23 KUNCI JAWABAN Pilihan ganda 1. Dari tabel terlihat untuk nilai-nilai yang mendekati 2 dari kiri terlihat, nilai fungsi () semakin mendekati 4 Jadi, lim→2− () = 4 Jawaban : D 2. lim→5 (−3) = −3 karena berdasarkan sifat limitlim→ = Jawaban : B 3. Untuk menentukan lim→2 2 + 3 2 kita terapkan sifat limit yang nomor 4 lim→2 2 + 3 2=lim→2 2 + lim→2 3 2 = 2 ∙ 2 + 3 ∙ 2 2 = 4 + 3 ∙ 4 = 4 + 12 = 16 Jadi, nilai hasil limitnya adalah 16 (Jawaban: A) 4. Untuk menentukan lim→−2 ( − 4) subtitusi nilai = −2 ke − 4 seperti berikut lim→−2 ( − 4) = (−2) − 4 = −6, Jawaban : B 5. Untuk menentukan nilai lim→−1 2−1 −1 bisa dengan mensubtitusi nilai = −1 sehingga diperoleh sebagai berikut lim→−1 2 − 1 − 1 = (−1) 2 − 1 (−1) − 1 = 0 −2 = 0 Jawaban : D 6. lim→0 2 +2 = ⋯ Distribusikan langsung lim→0 2 +2 = 2(0) 0+2 = 0 2 = 0, Jawaban : C 7. lim→4 2−16 2−−12 = Faktorkan pembilang dan penyebut lim→4 2 − 16 2 − − 12 = lim→4 (x − 4)(x + 4) (x − 4)(x + 3) = lim→4 (x + 4) (x + 3) = (4 + 4) (4 + 3) = 8 7 Jawaban : C
m Mini Book Mathematics 24 8. DiketahuI : () = 2 − t mendekati 5 detik maka kecepatan mobil mobil pada saat t mendekati 5 detik adalah : lim →5 ( 2 − ) = 5 2 − 5 = 25 − 5 = 20, Jawaban : D 9. Diketahui () = 1 2 2 + 3 Saat t mendekati 60 detik jarak yang ditempuh sebagai berikut. () = lim →60 1 2 2 + 3 = 1 2 (60) 2 + 3(60) = 1 2 3600 + 180 = 1800 − 180 = 1980 Jadi jarak yang ditempuhmendekati 1.980 meter Jawaban : A 10.Diketahui : () = 0,2 2 − 0,4 (5) = 0,2(5) 2 − 0,4(5) = 5 − 2 = 3 lim →5 v(t) − v(5) t − 5 = lim →5 0,2 2 − 0,4 − 3 t − 5 = lim →5 0,2(t – 5)(t + 3) t – 5 = 0,2(5 + 3) = 0,2(8) = 1,6 Jadi perubahan kecepatan benda tersebut adalah 1,6 ⁄ 2 Jawaban : B Uraian 1. Pendekatan dari kiri lim→−2− () = lim→−2− 2 − 1 = (−2) 2 − 1 = 4 − 1 = 3 Pendekatan dari kanan lim→−2+ () = lim→−2+ −2 − 1 = −2(−2) − 1 = 4 − 1 = 3 Karena lim→−2− ()= lim→−2+ () = 3, maka lim→−2 () = 3 Jadi, nilai lim→−2 () = 3. 2. Untuk mencari nilai (1) = lim→1 2−5 +1 dengan substitusi langsung seperti berikut lim→1 2 − 5 + 1 = 2(1) − 5 1 + 1 = −3 2 Jadi, nilai dari lim→1 2−5 +1 = −3 2
m Mini Book Mathematics 25 3. Diketahui lim→ () = Untuk menentukan nilai lim→ (() + 1) 2 − 3() , kita gunakan sifat-sifat limit seperti berikut: lim→ (() + 1) 2 − 3() = lim→ (()) 2 + 2f(x) + 1) − 3f(x) = lim→ (()) 2 − f(x) + 1 = lim→ (()) 2 − lim→ f(x) + lim→ 1 = 2 − + 1 Jadi, nilai lim→ (() + 1) 2 − 3() = 2 − + 1. 4. Rumus pertumbuhan penduduk setiap tahun : () = √ 1 2 2 − 3(5) + 5 % Pertumbuhan penduduk saat mendekati tahun kelima (t=5) (5) = √ 1 2 (5) 2 − 3(5) + 5 = √ 1 2 25 − 15 + 5 = √12,5 − 20 = √2,5% Jadi pertumbuhan penduduk setiap tahun √2,5% 5. a. Nilai pendekatan v(t) untuk t mendekati 5 detik () = 5 − 1 2 2 lim →5 (5 − 1 2 2) = 5(5) − 1 2 (5) 2 = 25 − 12,5 = 12,5 b.Percepatan =Perubahan kelajuan Perubahan waktu = △v △t ( ⁄ 2) Untuk waktu mendekati 3 detik lim →3 △ v △ t = lim → △ v(t) − v(3) t − 3
m Mini Book Mathematics 26 = lim →3 5 − 1 2 2 − 10,5 t − 3 = lim →3 1 2 (10 − 2 − 21) t − 3 = lim →3 1 2 (− 2 + 10 − 21) t − 3 = lim →3 1 2 (− + 7)(t − 3) t − 3 = lim →3 1 2 (− + 7) = 1 2 (−3 + 7) = 1 2 (4) = 2
m Mini Book Mathematics 27 DAFTAR PUSTAKA Anonim. Materi Lengkap Limit Fungsi Aljabar, Dalam : https://edumatik.net/materi-lengkap-limit -fungsi-aljabar/ diakses pada 20 November 2021, pukul 21.30. Anonim, Sifat-sifat limit fungsi Aljabar, Dalam : https://edumatik.net/sifat-sifat-limit-fungsi-aljabar/ , diakses pada 21 november 2021, pukul 15.32 Anonim. Soal-pg-pilihan Ganda - Bahas Limit Akar Sekawan, Dalam https://www.gupak.com/2017/06/soal-pg-pilihan-ganda-bahas-limit-akarsekawan.htmlMuklis, diakses pada 20 November 2021, pukul 14.13. Anonim.2016. “Sifat-Sifat Limit Fungsi dan Contohnya”, https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-limit-fungsi-dancontohnya.html , diakses pada tanggal 20 November 2021, pukul 13.28. Akuindo.2021.”Limit Fungsi”, https://id.wikipedia.org/wiki/Limit_fungsi, diakses pada tanggal 20 November 2021, pukul 13.30.
m Mini Book Mathematics 30 GLOSARIUM Limit : nilai pendekatan di sekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri suatu titik maupun pendekatan dari kanan titik tersebut. Limit Kiri : Pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri Limit Kanan : Pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan Metode Substitusi : menentukan nilai limit dengan mensubstitusi langsung batas limit ke dalam limit fungsi untuk limit tidak bentuk tak tentu. Metode pemfaktoran : menentukan limit bentuk tidak tentu dengan memfaktorkan pembilang dan atau penyebut agar dapat dilakukan metode substitusi. Metode Perkalian dengan Sekawan : menentukan nilai limit bentuk akar dengan mengalikan sekawan agar dapat dilakukan metode pemfaktoran.