Templete (1)

บทที่ 1
ช่ือบท

พมิ พเน้ือหา

1.1 หัวขอ

บทนยิ าม 1.1.1 เนื้อหาบทนิยาม
ตวั อยา ง 1.1.2 เนื้อหาตวั อยาง
วธิ ีทำ เน้ือหาวธิ ที ำ
ทฤษฎีบท 1.1.3 เนือ้ หาทฤษฎบี ท
พิสูจน เน้ือหาพิสจู น

1. เนอ้ื หา
1.1 ขอยอ ย 1
1.2 ขอ ยอ ย 2

2.

1

2 บทท่ี 1. ช่อื บท

3

จากตัวอยางที่ 2.4.4 และตัวอยางท่ี 2.4.5 เราจะเหน็ ไดว า sup S และ inf S อาจจะเปน
สมาชิกของ S หรือไมก็ได

ตอไปน้ีเปน สัจพจนของความบริบรณู ของจำนวนจรงิ ซ่งึ เปนสจั พจนท่ีสำคญั มาก (R12)
ให S เปนเซตยอยที่ไมวางของ R ถา S มีขอบเขตบนแลว S มีขอบเขตบนนอยสุด
ทฤษฎบี ท 1.1.4 ให S เปน เซตยอยทีไ่ มว า งของ R ถา S จะมขี อบเขตลา งมากสุด

พิสจู น ให −S = {−s|s ∈ S} เพราะวา S มีขอบเขตลาง ดงั นน้ั มีจำนวนจริง u ซงึ่ u s
สำหรับทุก s ∈ S ดงั นนั้ −s −u สำหรบั ทุก −s ∈ −S นัน่ คอื −S ปน เซตที่มีขอบเขตบน
โดย R12 จะไดวา −S มีขอบเขตบนนอ ยสดุ โดย R12 จะไดวา −S มีขอบเขตบนนอ ยสุด ให a
= sup (−S) ดังนนั้ สำหรบั ทุกสมาชกิ s ของ −S นน้ั −s a นั่นคือ −s −a ดงั นัน่ −a เปน
ขอบเขตลางของ S ให w เปน จำนวนจริงซึ่ง −a < w ดงั น้ัน −w < a เพราะวา a เปน ขอบเขต
บนนอ ยสุด −S ดังนนั้ มีสมาชกิ s ของ S ซึง่ −w < −s นนั่ คอื s < w ดังน้นั โดยทฤษฎีบทท่ี
2.4.4 −a = inf S

ตวั อยาง 1.1.5 ให S เปนเซตยอยท่ีไมใชเ ซตวางของ R และมขี อบเขตบน สำหรับคาคงตวั a ใดๆ
ให

a + S = {a + s|s ∈ S }

จงแสดงวา sup(a + S) = a + supS

วิธีทำ ให u ∈ a + S ดังนั้นจะมสี มาชกิ s ของ S ซง่ึ u = a + S เพราะฉะน้นั u = a + S
a + supS ดังน้ัน a + supS เปน ขอบเขตบนของ a + S

ให ε เปน จำนวนจริงบวกๆใดๆ โดยบทแทรกที่ 2.4.1 จะไดวามีสมาชิก sε ของ S ซงึ่
sup S − ε < sε ดงั น้นั (a + supS ) − ε = a + (sup S − ε) < a + sε
โดยบทแทรกท่ี 2.4.1 a + supS = sup (a + supS)
ทฤษฎบี ท 1.1.6 ให S1 และ S2 เปน เซตยอยที่ไมวางของ R ท่ีมีขอบเขตบน ถา S1 ⊆ S2
แลัว inf S2 = inf S1

3

4 บทท่ี 1. ชื่อบท

พิสูจน ให s1 ∈ S1 เพราะวา S1 ⊆ S2 ดงั นนั้ s1 ∈ S2 ดงั นนั้ S1 supS2 น่นั คอื supS2
เปน ขอบเขตบนของ S1 ดงั น้นั supS1 supS2

ทฤษฎบี ท 1.1.7 ให S1 และ S2 เปนเซตยอ ยที่ไมวา งของ R ที่มีขอบเขตลา ง ถา S1 ⊆ S2
แลว supS1 supS2

พสิ ูจน พสิ จู นท ำนองเดียวกันกบั ทฤษฎบี ทที่ 2.4.7
ทฤษฎีบทตอไปนี้ เปนทฤษฎบี ทท่ีความสำคัญอยา งยงิ่ และมีบทประยกุ ตม ากมาย

ทฤษฎบี ทดังกลา วนี้เปน ผลโดยตรงจากสมบตั ิ R12 จำนวนจรงิ

ทฤษฎีบท 1.1.8 สมบตั ิอารค ีมเี ดียน ( Archimedean property )
สำหรบั จำนวนจรงิ x ใดๆ เราสามารถหาจำนวนนับ nx ซึง่ x < nx ไดเ สมอ

พสิ ูจน ให x เปนจำนวนจรงิ ใดๆ สมมติวา เราไมสามารถจำนวนนับ nx ซ่ึง x < nx ได น่นั คือทุก
จำนวนนับ n จะไดวา n x ดังน้ัน x เปน ขอบเขตบนของ N โดย R12 จะไดวา N มีขอบเขต
บนนอยสดุ ให u = sup N โดยบทแทรกท่ี 2.4.1 จะไดวามีจำนวนนบั n1 ซ่งึ u - 1 < n1 ดังนนั้
u < n1 +1 แต n1 +1 เปนจำนวนนับ ดังน้นั จงึ ขัดแยง กับการเปน ขอบเขตบนของ u ที่สมมติไว
จงึ ไมถกู ตอ ง น่นั คอื จะมจี ำนวนนบั nx ซึ่ง x < nx

(b + 1 )2 = b2 + 2b + 1
n0 n0 n20

b2 + 1
(2b + 1)
n0

< b2 + (a − b2)

=a

ดงั นนั้ (b + 1 ) เปน สมาชิกของ S ซึ่งขัดแยงกบั ความเปนขอบเขตบนของ b นง่ั คอื กรณีท่ี 1 เปน
n0
ไปไมไ ด กรณที ่ี 2 สมมติให b2 > a
1 b2 − a
ให n1 เปนจำนวนนับซง่ึ n1 < 2b

ดังนั้น

(b − 1 )2 = b2 − 2b + 1
n1 n1 n21

> b2 − 2b
n1

> b2 − (b2 − a)

=a

1.1. หัวขอ 5
นนั่ คอื สำหรับทุกสมาชกิ s ของ S จะไดว า

s2 < a < (b − 1 )2
n1

ดงั นน้ั s < b− 1 จึงทำให b− 1 เปน ขอบเขตบนของ S ซึ่งขดั แยงกับการเปนขอบเขต

n1 n1

บนนอ ยสุดของ b ดงั นัน้ กรณที ี่ 2 น้ีจงึ เปนไปไมได
เนื่องจากกรณที ่ี 1 และกรณที ่ี 2 เปน ไปไมไ ด ดังนั้น b2 = a

สมมติให c เปนจำนวนจริงบวกซงึ่ c2 = a สมมติวา c > a ดังนนั้ c2 > a2 แต b2 = a ดงั น้ัน
c2 > a ซงึ่ ทำใหเ กดิ การขัดแยง ในทำนองเดียวกนั ถา c < b เราจะไดว า c2 < b2 แต b2 = a ดัง
น้ัน c2 < a ซึ่งทำใหเ กดิ การขัดแยงเชนกัน ดงั นั้น c = b

บทนยิ าม 1.1.9 ให a เปนจำนวนจรงิ บวกใดๆ จากทฤษฎีบทท่ี 2.4.11 จะไดวามีจำนวนจรงิ บวก

b เพียงจำนวนเดยี วเทานั้นท่ี b2 = a เราจะเรียก b วารากทสี่ องทีเ่ ปน จำนวนบวกของ a
( positive square root of a) และจะแทนดว ยสัญลักษณ √ หรอื
a a 1
2

บทแทรก 1.1.10 √ เปนจำนวนอตรรกยะ
2

พิสูจน สมมติให √ เปนจำนวนอตรรกยะ ดงั นน้ั จะมีจำนวนนับ p และ q ซ่งึ ตัวหารรวม
2 √ √
2 2
มากของ p และ q เทา กบั 1 และ = p ดังนนั้ p = q น่ันคอื p2 = 2q2

q

ดังนนั้ p2 เปนจำนวนคซู ่งึ ใหไดว า p เปนจำนวนคู ดังน้ันจะมจี ำนวนนับ k ซงึ่ p = 2k

และจาก p2 = 2q2 จงึ ไดวา (2k)2 = 2q2 หรือ 2k2 = q2 ดงั น้ัน q2 เปนจำนวนคซู ึง่

ทำใหไดว า q เปนจำนวนคู เพราะวา p และ q เปน จำนวนคู ดงั นั้นตัวหารรว มมากของ p

และ q ตอ งมีคา มากกวาหรือเทากบั 2 ซึง่ ขดั แยง กับการเลอื ก p และ q ดงั นั้นท่ีสมมตไิ วจึง
√
ไมถ ูกตอ ง น่ันคือ 2 เปนจำนวนอตรรกยะ

ทฤษฎบี ท 1.1.11 ให x และ y เปน จำนวนจรงิ ใดๆ ซ่งึ x < y จะไดว า
1. สามารถหาจำนวนตรรกยะ r ซง่ึ x < r < y ได
2. สามารถหาจำนวนอตรรกยะ r′ ซึ่ง x < r′ < y ได

พสิ ูจน กรณที ี่ 1 x > 0 1
−
โดยทฤษฎบี ทที่ 2.4.9 จะไดวามีจำนวนนับ n ซงึ่ y x < n และจาก y − x > 0 จะ

ไดว า ny > 1 + nx เพราะวา nx > o โดยทฤษฎีท่ี 2.4.10(3) จะไดวามจี ำนวนนบั m

ซ่งึ

m − 1 nx < m (1.1.1)

เพราะวา m − 1 nx และ > 1 + nx ดงั น้ัน

m nx+ < ny (1.1.2)

6 บทที่ 1. ชอ่ื บท

ดงั นนั้ จาก (1) และ (2) nx < m < ny ซึ่งทำใหไ ดว า x < m < y
ดังนนั้ เราจงึ ไดว ามีจำนวนตรรกยะ r = m ซงึ่ x < r < y n

n

กรณที ี่ 2 x 0 และ y > 0
จากกรณี 1 จะไดวา มจี ำนวนตรรกยะ r ซงึ่ y < r < y
2
ดังน้นั x < r < y เน่อื งจาก x < y

2

กรณีท่ี 3 x < 0 และ y < 0

ดังนนั้ 0 < −y < −x โดยกรณที ี่ 1 จะไดวา มีจำนวนตรรกยะ r

ซึ่ง −y < r < −x นัน่ คือ x < −r < y เพราะวา r เปนจำนวนตรรกยะ ดงั นนั้ −r

จงึ เปนจำนวนตรรกยะดวย

กรรที ่ี 4 x < 0 และ y = 0

พสิ ูจนทำนองเดียวกับกรณีที่ 3 โดยอาศัยกรณีท่ี 2 ชว ยในการพิสูจน
2. จาก 1. จะไดว า เราสามารถหาจำนวนตรรกยะ r ท่ีไมาเท ากบั 0 ซ่งึ √x < r < √r
22
√ √
ได 2r ดงั นน้ั x < 2r < y เปน จำนวนตรรกยะ ซ่ึง

ทฤษฎีบท 1.1.12 ( Nested Interval Property)
สำหรบั จำนวนนบั n ใดๆ กำหนดให In = [an, bn[ ถา I1 ⊇ I2 ⊇ · · ·
แลว จะไดว า
∩∞

In = [a, b]

n=1

เม่ือ a = sup {an|n ∈ N } b = inf {bn|n ∈ N }
โดยท่ี a b ดงั น้นั

∩∞
In ≠ ∅

n=1