theoria

Θεωρία 1

  ®
 
  Γ΄Λυκείου
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Προσανατολισµός

2 Θεωρία

 

 

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ  

 

Πραγματική συνάρτηση  

 

1.1Να αναφέρετε, τι καλούμε πραγματική συνάρτηση, ορισμένη στο  A ⊆ R   

Απάντηση 
Λέμε πραγματική συνάρτηση  f  από  A ⊆ R  στο  R  και συμβολίζουμε  f:A → R  

κάθε διαδικασία  f , που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο  x  του  A , σε ένα μόνο αριθμό 

y  του  R , ο οποίος συμβολίζεται και με  f(x) = y  και καλείται τιμή της  f  στο x  

 

1.2Να αναφέρετε πότε δύο συναρτήσεις  f  και  g   λέμε ότι είναι ίσες.  

Απάντηση 

Όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και τον ίδιο τύπο.  

 

 

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 

Κλασικές πράξεις   

1.3Έστω η συνάρτηση  f  ορισμένη στο  Α   

και η συνάρτηση   g  ορισμένη στο  B  και έστω  A ∩B = K ≠ ∅  

Να ορίσετε τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης. 
Απάντηση 

 Άθροισμα   f + g   / Κ   των  f , g  και με τύπο  (f + g)(x) = f(x) + g(x)  

 Διαφορά     f − g  / Κ   των  f , g  και με τύπο  (f − g)(x) = f(x) − g(x)  

 Γινόμενο     f ⋅g    / Κ    των  f , g και με τύπο   (f ⋅g)(x) = f(x)⋅g(x)  

  Πηλίκο         f       /  K −{x:g(x) = 0}  των f , g και με τύπο  ⎛ f ⎠⎞⎟(x) = f(x)  
g ⎜⎝ g g(x)

Σύνθεση συναρτήσεων 

 

1.4Έστω  f , g  δύο συναρτήσεις, με πεδίο ορισμού  A  και  B  αντιστοίχως. 

Να ορίσετε τη σύνθεση της  g  με την  f  
Απάντηση 

Ονομάζουμε σύνθεση της   g  με την  f   Ag ( )gAg g(x) Af f(Af )
και τη συμβολίζουμε με  f D g  
x g f(g(x))
τη συνάρτηση που έχει πεδίο ορισμού   K
f
το σύνολο  Κ = {x∈Β  ώστε g(x)∈A} ≠ ∅  
και τύπο  (f D g)(x) = f(g(x)) , για κάθε  x∈K    fDg

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 3

Δεν ισχύει η αντιμετάθεση στη σύνθεση 

Όταν ορίζονται οι συναρτήσεις  g D f  και  f D g , γενικότερα είναι  g D f ≠ f D g  

 

Ισχύει η προσεταιριστικότητα στη σύνθεση  
Γενικότερα, αν  f, g, h  είναι τρεις συναρτήσεις  και ορίζεται η συνάρτηση  hD(g D f) , 

τότε ορίζεται και η συνάρτηση  (hD g)D f  και ισχύει  hD(g D f) = (hD g)D f  

 

ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 

Έστω  f  μία συνάρτηση, με πεδίο ορισμού το διάστημα  Δ  

 

Γνήσια αύξουσα  

1.5Να αναφέρετε πότε η συνάρτηση  f  λέγεται γνησίως αύξουσα στο  Δ  

Απάντηση  y x1 x2 x
f (x2) ∆
  f (x1)

Η  f  λέγεται γνησίως αύξουσα στο   Δ   Ο

όταν για κάθε  x1 ,x2 ∈Δ , με  x1 < x2  είναι  f(x1) < f(x2)     
και γράφουμε   f:  Ä / Δ  
Αύξουσα 

Αν τώρα, από  x1 < x2  είναι  f(x1) ≤ f(x2)  η  f  λέγεται αύξουσα στο  Δ  

 

Γνήσια φθίνουσα 

1.6Να αναφέρετε πότε η συνάρτηση  f  λέγεται γνησίως φθίνουσα στο  Δ  

Απάντηση 

Η  f  λέγεται γνησίως φθίνουσα στο   Δ   y

όταν για κάθε  x1 ,x2 ∈Δ , με  x1 < x2  είναι  f(x1) > f(x2)      f (x1) x1 x2 x
και γράφουμε   f:  Å / Δ   f (x2) ∆
Φθίνουσα 
Ο

Αν τώρα, από  x1 < x2  είναι  f(x1) ≥ f(x2)   η  f  λέγεται φθίνουσα στο  Δ  

Μία συνάρτηση γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα, λέγεται γνήσια μονότονη. 

 

Σταθερή  

1.7Να αναφέρετε πότε η συνάρτηση  f  λέγεται σταθερή στο  Δ  

Απάντηση  y

Η  f  λέγεται σταθερή στο  Δ   c =f (x1)= f (x2)

όταν για κάθε  x1 ,x2 ∈Δ , με  x1 < x2  είναι  f(x1) = f(x2)   Ο x1 x2 x
ή όταν  f(x) = c , για κάθε  x∈Δ  και γράφουμε  f:  ct / Δ   ∆

 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

4 Θεωρία

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 

 

Έστω  f  μία συνάρτηση, με πεδίο ορισμού  A  και  xo ∈A  

 

Ολικό μέγιστο  

1.8Να αναφέρετε πότε η  f  έχει στο σημείο  xo ∈A , ολικό μέγιστο. 

Απάντηση  y

  f(xo)
f (x)

Αν  f(x) ≤ f(xο)  για κάθε  x ∈A   Ο x xo x
λέμε ότι η  f  παρουσιάζει στο  xο  ολικό μέγιστο, το  f(xο)    Cf

 

Ολικό ελάχιστο 

1.9Να αναφέρετε πότε η  f  έχει στο σημείο  xo ∈A , ολικό ελάχιστο. 

Απάντηση  y Cf
x
 
f (x)

Αν  f(x) ≥ f(xο)  για κάθε  x∈A   f (xo) xo x
λέμε ότι η  f  παρουσιάζει στο  xο  ολικό ελάχιστο, το  f(xο)  
Ο

 

Το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο, λέγονται από κοινού, ολικά ακρότατα. 

 

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 

 

Έστω  f  μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού  A  και  xo ∈A  

 

1‐1 Συνάρτηση  

 

1.10Να αναφέρετε πότε η ορισμένη στο  Α  συνάρτηση  f  λέγεται  1 −1  

 

Απάντηση  x1 f(x1)
x2 f(x2)
 
 
 
 

Η  f  λέμε ότι είναι  1 −1  στο  A   

αν για κάθε  x1 ,x2 ∈A  με  x1 ≠ x2  είναι  f(x1) ≠ f(x2)  

 

Επίσης, η  f  είναι  1 −1 , αν για κάθε  x1 ,x2 ∈A  με  f(x1) = f(x2) , είναι  x1 = x2  

 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 5

Αντίστροφη συνάρτηση  

 

1.11Να αναφέρετε τι ορίζουμε σαν αντίστροφη συνάρτηση της  f   

  Α f(Α)
f
Απάντηση 
f−1(y) = x f(x) = y
 
f −1
Έστω μια συνάρτηση  f  ορισμένη και  1 −1  στο  A  
Τότε, για κάθε στοιχείο  y  του πεδίου τιμών της  f(A)   

υπάρχει ένα ακριβώς  x∈A , ώστε να είναι   f(x) = y  

 

Έτσι, η αντίστροφη διαδικασία, είναι συνάρτηση που λέγεται αντίστροφη της  f   

συμβολίζεται με  f−1  , η οποία αντιστοιχεί το κάθε  y∈f(A) , με το αντίστοιχό του 

x∈A  

 

Σχόλια  

 

“ Το πεδίο ορισμού της  f−1  , είναι το πεδίο τιμών της  f  και το πεδίο τιμών της  
f−1   είναι το πεδίο ορισμού της  f  

 

“ Ισχύει η ισοδυναμία:   f(x) = y   ⇔   f−1(y) = x  

 

“ Η  f−1 D f  είναι ταυτοτική στο  A  και η  f D f−1  είναι ταυτοτική στο  f (A)  

 

Γεωμετρική ερμηνεία   y Μ′(f(x),x)

  C΄ Μ(x, f(x))

Οι γραφικές παραστάσεις  C  και  C′    Ο x

των συναρτήσεων  f  και   f−1  , αντίστοιχα  C

  (δ) : y = x

είναι συμμετρικές  

 

ως προς τη διχοτόμο  (δ):y = x  του Ι , ΙΙΙ τεταρτημορίου. 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

6 Θεωρία

 

 

 

 

Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης σε σημείο 

 

2.1   Έστω το πολυώνυμο  Ρ(x) = ανxν + αν−1xν−1 + ... + α1x + αο   με  αν ≠ 0   

            Είναι  lim P(x) = P(x o )  

x→ xo

Απάντηση  

( )limP(x) = lim
x→xo x→xo ανxν + αν−1xν−1 + ... + α1x + αο  

( ) ( ) ( ) ( )                = limανxν
x→xo
+ lim αν−1xν−1 + ... + lim α1x + lim αο  
x→xo x→xo x→xo

( ) ( ) ( )               xν + x ν−1 +
= α ν ⋅ lim α ν−1 ⋅ lim + ... α1 ⋅ lim x + αo  

x→xo x→xo x→xo

              = ανxoν + αν−1xoν−1 + ... + α1xo + αo   = P(xo)  

 

Όριο ρητής συνάρτησης σε σημείο που δεν είναι ρίζα του παρονομαστή 

2.2   Έστω η ρητή συνάρτηση  f(x) = P(x) , όπου  P(x),Q(x) , πολυώνυμα του  x   
Q(x)

και  xo ∈R  με  Q(xo) ≠ 0  

Είναι  lim f(x) = P(xo)   
x→xo Q(xo)

 

Απάντηση 

 

Είναι  lim f(x) = lim P(x) = lim P(x) = P(x o )  

x→ xo

x→ xo x→xo Q(x) lim Q(x) Q(x o )

x→ xo

 

 

Πρόσημο συνάρτησης με βάση το πρόσημο του ορίου της  y

Αν lim f(x) > 0   A
x→xο
x
τότε κοντά στο  xo , είναι  f(x) > 0  
Ο x o Cf

Όμοια, αν lim f(x) < 0 , τότε «κοντά» στο  x ο  είναι  f(x) < 0  

x→xο

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 7

Σχέση ορίων με βάση τη σχέση των συναρτήσεων  

 

Αν«κοντά» στο  xο  είναι  f(x) ≤ g(x)     y
Cf
 
Cg
και υπάρχουν τα όρια  lim f(x)  , lim g(x)   
x→xo x→xo Ο xo x

τότε είναι βέβαιο ότι  θα είναι   lim f(x) ≤ lim g(x)   
x→xo x→xo

 

Κριτήριο παρεμβολής 

  y

Αν «κοντά» στο xο  είναι   h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)    Cg

  Cf

και  lim h(x) = lim g(x) = A   A Ch
x→xο x→xο βx
Οα
  xο

τότε θα υπάρχει το όριο lim f(x)  και θα ισούται με  A   
x→xο

 

 

Βασική τριγωνομετρική ανισότητα  

 

Είναι |ημx|≤|x|, για κάθε  x ∈R  και η ισότητα ισχύει, μόνο όταν  x = 0  

 

 

Βασικά τριγωνομετρικά όρια 

 

lxi→m0 ⎛⎝⎜ ημx ⎞ = 1                                  lxi→m0 ⎜⎝⎛ συνx − 1 ⎞ = 0  
x ⎟⎠ x ⎟⎠

 

 

 

Όριο σύνθετης συνάρτησης 

 

Είναι  lim f (g(x)) = lim f(u) , όπου  uο = lim g(x)  και  u = g(x)  

x→xο u→uο x→xο

Εννοείται ότι υπάρχει το όριο  uο = lim g(x)  

x→xο

Επίσης, πρέπει «κοντά» στο  xο , να είναι  g(x) ≠ uο  και τέτοια θα δούμε.  

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

8 Θεωρία

 
 
 
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 

 

Συνέχεια σε σημείο  

3.1Να αναφέρετε πότε η συνάρτηση  f , λέμε ότι είναι συνεχής στο  xo  

 

Απάντηση 

 

Έστω η συνάρτηση  f   

και   xo , ένα σημείο του πεδίου ορισμού της  A   f(xo ) = lim f(x)

x→xo

Λέμε ότι η  f  είναι συνεχής στο  xo ∈A    O xo

αν και μόνο αν  lim f(x) = f(x o )  

x→xo

Ασυνέχεια συναρτήσεων 

 

Έστω η ορισμένη στο  A , συνάρτηση  f  και  xo ∈A  
Όταν υπάρχει το όριο της  f  στο  xo  και είναι διαφορετικό απ΄ το  f(xo)  
ή όταν δεν υπάρχει το όριο στο  xo ∈A  
θα λέμε η  f  δεν θα είναι συνεχής στο  xo  (… ή ότι είναι ασυνεχής στο  xo ) 
 
Δεν έχει νόημα η συνέχεια, σε σημεία, τα οποία δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού. 

 

Συνέχεια σε διάστημα 

 

3.2Να αναφέρετε πότε η συνάρτηση  f  λέμε ότι είναι συνεχής σε διάστημα.  

Απάντηση 

 

Μία συνάρτηση  f , θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β)  

όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του  (α,β)  

Μια συνάρτηση  f , θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  [α,β]  

όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του  (α,β)  και  lim f(x) = f(α) ,  lim f(x) = f(β)  
x→α+ x→β−

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 9

Η έννοια της συνέχειας 

Μία συνάρτηση  f , που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία  

του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται απλά, συνεχής συνάρτηση.  

 

Πράξεις συνεχών συναρτήσεων 

Αν οι  f  και  g  είναι συνεχείς στο  xο , τότε είναι συνεχείς στο  xο   
και οι συναρτήσεις:   f + g    ,    c ⋅ f  με  c∈R   ,     f ⋅g    ,      f     ,    |f|    και     ν f  

g

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το  xο  

 

Επίσης, για την πράξη της σύνθεσης  g(Ag) Af
αν η  g   είναι συνεχής στο  xο   
g(xο)

g f f(Af)
Ag f( g(xο))

και η  f  είναι συνεχής στο  g(xο)    xο

τότε και η συνάρτηση  f D g  θα είναι συνεχής στο  xο   fDg

 

 

Συνέχεια βασικών συναρτήσεων 
Γενικότερα, οι συναρτήσεις      Πολυωνυμικές 
   Ρητές συναρτήσεις 

   Τριγωνομετρικές:  f(x) = ημx  ,   g(x) = συνx   

              φ(x) = εφx  ,   τ(x) = σφx  

   Εκθετικές:  f(x) = αx            , με  α > 0 ,  α ≠ 1  

   Λογαριθμικές:  g(x) = logαx , με  α > 0 ,  α ≠ 1  
εκεί που ορίζονται, είναι συνεχείς. 
 

 

Θεώρημα Bolzano 

Έστω η ορισμένη στο [α,β]  συνάρτηση  f    y
Αν είναι συνεχής στο [α,β]   
B(β,f(β))
f(β)

και  f(α)⋅ f(β) < 0   α x′ο x′ο′ x
τότε  
θα υπάρχει ένα τουλάχιστον  xο ∈(α,β) , ώστε  f(xo) = 0   Ο xο β
 
f(α) Α(α,f(α))

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

10

Θεωρία

Σχόλια 

 Το Θ.Bolzano διαπιστώνει την ύπαρξη τουλάχιστον μίας ρίζας. 

 Γεωμετρικά η  Cf  τέμνει τον  x′x , σε ένα τουλάχιστον σημείο  Mo  

 Αν δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Bolzano 

δεν σημαίνει κατ΄ ανάγκη ότι η συνάρτηση δεν θα έχει ρίζες. 

 

Άμεση συνέπεια του Θ.Bolzano 

Έστω η ορισμένη στο διάστημα  Δ   

και συνεχής σ’ αυτό συνάρτηση  f  

Αν αυτή δεν μηδενίζεται στο  Δ   y y

θα είναι μόνο θετική ή μόνο αρνητική στο  Δ      f(x)>0 α βx

Ο

Δηλαδή θα έχει ομόσημες τιμές.   Οα β x

ή όπως λέμε, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο.   f(x)<0

  y

Είναι προφανές, ότι μία συνεχής  − ρ1 + ρ2 + ρ4 + ρ5
στο διάστημα  Δ  συνάρτηση   f    − −x
διατηρεί σταθερό πρόσημο   ρ3

σε καθένα από τα διαστήματα, στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της, χωρίζουν το  Δ  

 

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών 

3.3   Έστω η συνεχής στο διάστημα  [α,β]  συνάρτηση  f , με  f(α) ≠ f(β)  

Για κάθε αριθμό  ç  μεταξύ των  f(α)  και  f(β) , υπάρχει ένας τουλάχιστον 

αριθμός  xo ∈(α,β) , ώστε  f(xo) = η     y y=η
Απόδειξη 
Αν υποθέσουμε ότι  f(α) < f(β) , είναι  f(α) < η < f(β)    f(β)
η
Θεωρούμε τη συνάρτηση  g(x) = f(x) −η , με  x∈[α , β]  
f(α)

Η  g  είναι συνεχής στο  [α , β] , με  g(α) g(β) < 0    Οα xο β x
αφού  g(α)  = f(α) −η < 0  και  g(β)  = f(β) −η > 0   

Από το θ. Βolzano, υπάρχει  xo ∈(α , β)  ώστε  g(xo)  = f(xo) −η = 0 ,δηλαδή  f(xo) = η  

Όμοια, αν υποθέσουμε ότι  f(α) > f(β)    y y=η
f(β)
 
η
Σχόλιο 
Αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής  f(α)

αυτή, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.  Ο α βx

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 11

Εικόνα διαστήματος μέσω συνεχούς συνάρτησης  

Η εικόνα  f(Δ) , ενός διαστήματος  Δ  

μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης  f , είναι διάστημα. 
Στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι σταθερή, το  f(Δ)  είναι μονοσύνολο.  

 

Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής  y
Έστω η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση  f   Μ
στο διάστημα [α,β]  

Τότε αυτή παίρνει στο [α,β]  μια μέγιστη  τιμή  M    ε

 και μια ελάχιστη τιμή  ε   Ο α[ x2 x1 ] x
Δηλαδή το πεδίο τιμών της, είναι το  f(Δ) = [ε,Μ]   β

 

Δηλαδή η εικόνα κλειστού διαστήματος, μέσω συνεχούς και μη σταθερής 

συνάρτησης, είναι κλειστό διάστημα. 

 
Πεδία τιμών συνεχών συναρτήσεων με γνωστή μονοτονία 

Έστω η συνεχής στο  Δ = (α,β)  συνάρτηση  f   

Αν είναι γνησίως αύξουσα στο  Δ = (α,β)  

το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα  (Α,Β)    y
B
όπου  Α = lim f(x)  και   B = lim f(x)  
x→α+ x→β−

( )x→α+ A
Δηλαδή  f(Δ) = (Α,Β) = lim f(x), lim f(x)  
x→β− ( )
Ο α β x

Αν η συνάρτηση  f  είναι συνεχής σε ένα από τα άκρα της 

τότε το όριο, αντικαθίσταται με την τιμή της συνάρτησης, στο σημείο αυτό. 
 

Αν είναι γνησίως φθίνουσα στο  Δ = (α,β)   

το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα  (B,A)    y

όπου  Α = lim f(x)  και  B = lim f(x)   Α
x→α+ x→β−
Β
( )x→β− (
Δηλαδή  f(Δ) = (Β,Α) = lim f(x), lim f(x)  
x→α+ Οα
)
  β x

Αν η συνάρτηση  f  είναι συνεχής σε ένα από τα άκρα της 

τότε το όριο, αντικαθίσταται με την τιμή της συνάρτησης, στο σημείο αυτό. 
 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

12

Θεωρία

 
 
 
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 

Η έννοια της εφαπτομένης 

 

Έστω  f  μία συνάρτηση  

και  A(xο ,f(xο))   f(xo + h) = f(x) M
(ε)

ένα σημείο της γραφικής παράστασης  Cf  

Έστω ένα μεταβλητό σημείο  M(x,f(x)) ,  x ≠ xo   f(xo ) Α

της γραφικής παράστασής της   Ο ωφ x = xo + h
και η ευθεία  AM  που ορίζουν τα σημεία  A ,  M   xo

 

Παρατηρούμε, ότι καθώς το  x  τείνει στο  xo  με  x > xo , η τέμνουσα  AM  

φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση  ε  

Την ίδια οριακή θέση, φαίνεται να παίρνει και όταν το  x  τείνει στο  xo , με  x < xo   

Την οριακή θέση της  AM , την ονομάζουμε εφαπτομένη της  Cf  στο  A  

Επειδή η κλίση της τέμνουσας  AM , είναι ίση με  f(x) − f(xo)  
x − xo

είναι λογικό να αναμένουμε, ότι η εφαπτομένη της  Cf  στο σημείο  A(xο ,f(xο))  

θα έχει κλίση την τιμή του ορίου   lim ⎛ f(x) − f(x o ) ⎞ , όταν αυτό υπάρχει. 
⎜ x − xo ⎟
x→xo ⎝ ⎠

 

Παράγωγος σε σημείο  

4.1Να αναφέρετε πότε λέμε  ότι η συνάρτηση  f  είναι παραγωγίσιμη, στο  

σημείο  xo  του πεδίου ορισμού της.  

Απάντηση 

 

Η συνάρτηση  f  λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη  στο σημείο  xο  του πεδίου ορισμού 

της, αν υπάρχει το όριο  lim ⎛ f(x) − f(x ο ) ⎞  και είναι πεπερασμένο. 
⎜ x − xο ⎟
x→xο ⎝ ⎠

Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της  f  στο  xo  

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 13

Παραγωγισιμότητα και συνέχεια 

4.2  Αν η συνάρτηση  f  είναι παραγωγίσιμη στο xο , είναι και συνεχής σ’ αυτό. 

Απόδειξη 

Για  x ≠ xo  είναι  f(x) − f(x ο ) = f(x) − f(x ο ) ⋅(x − xο)  
x− xο

Οπότε        lim ( f(x) − f(xo )) = lim ⎛ f(x) − f (xo ) ⋅ ( x − xo ) ⎞  
⎝⎜⎜ (x −xo ) ⎟⎠⎟
x→xo x→xo

              = lim f(x) − f (xo ) ⋅ lim ( x − xo )  
(x −xo )
x→xo x→xo

         = f′ (xo )⋅0 = 0  

Δηλαδή  lim f(x) = f ( x o )  και έτσι διαπιστώνουμε ότι η  f  είναι συνεχής στο  xo  

x→xo

 

Δεν ισχύει το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος  

 

Αν μία συνάρτηση  f  είναι συνεχής, τότε δεν είναι πάντα παραγωγίσιμη. 

  y

Για παράδειγμα  

 

 

θεωρούμε τη συνάρτηση  f(x) =|x|  Οx

η οποία είναι φανερό, ότι είναι συνεχής στο σημείο  xo = 0   

αφού  limf(x)= f(0)  
x→0

αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη 

αφού  lim f(x) − f(0) = lim x = 1  ,  ενώ lim f(x) − f(0) = lim −x = −1  
x→0+ x − 0 x→0 x x→0− x − 0 x→0 x

 

Παρατηρούμε, ότι μια συνάρτηση  f   
μπορεί να είναι συνεχής στο σημείο  xo , χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό.  

 

 
Επίσης, είναι προφανές ότι αν μια συνάρτηση  f   
δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείο  xo , τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη σ’ αυτό.  

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

14

Θεωρία

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ  ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ‐ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ  ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 

 

Παράγωγος σε σύνολο 

 
 
 
 

4.3 Να αναφέρετε πότε μία συνάρτηση, είναι παραγωγίσιμη σε ένα σύνολο.  

Απάντηση 

 

Μία συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σύνολο  

όταν είναι παραγωγίσιμη, σε κάθε σημείο του συνόλου. 
Ειδικότερα  
Η συνάρτηση  f , λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα  (α,β)   

του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο  xο ∈(α,β)  
Η συνάρτηση  f , λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα  [α,β]  του 
πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο  (α,β)   

και επιπλέον ισχύει  lim f(x) − f(α) ∈R  και  lim f(x) − f(β) ∈R  
x→α+ x − α x→β− x − β

 

Παράγωγος συνάρτηση 

 

4.4 Να αναφέρετε, τι ορίζουμε σαν παράγωγο συνάρτηση.  

Απάντηση 

 

Έστω  f  μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού  A   
και  A1  το σύνολο των σημείων του  A , στα οποία αυτή  είναι παραγωγίσιμη.  

Αντιστοιχίζοντας κάθε  x ∈A1  στο  f′(x) , ορίζουμε τη συνάρτηση  f′:A1 → R  

η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της  f , ή απλά παράγωγος της   f  

Η πρώτη παράγωγος της  f  συμβολίζεται και με  df  
dx

Για πρακτικούς λόγους, αντί να γράφουμε  y = f′(x) , γράφουμε και  y = (f(x))′  

 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 15

Παράγωγος ανώτερης τάξης 

 

4.5Να αναφέρετε, τι ορίζουμε παράγωγο συνάρτηση, ανώτερης τάξης του  1   

Απάντηση 

 

Αν υποθέσουμε ότι το  Α1  είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η 

παράγωγος της  f′ , αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της  f  και 

συμβολίζεται με  f′′  

 

Επαγωγικά, ορίζεται η νιοστή παράγωγος της  f ,  με  ν ≥ 3 , συμβολίζεται με  f(ν)  

( )Δηλαδή:  f(ν) = ¢
f (ν ‐1) ,  ν ≥ 3  

 

Παράγωγος σταθερής συνάρτησης 

 

4.6  Έστω η σταθερή συνάρτηση  f(x) = c ,  c∈R  και  x ∈R  

Η συνάρτηση  f  είναι παραγωγίσιμη στο  R  και ισχύει  f′(x) = 0 , δηλαδή  (c)′ = 0  

Απόδειξη 

Αν  xo  είναι ένα σημείο του  R , για  x ≠ xo , είναι  f(x) − f (xo ) = c−c = 0  
x −xo
x −xo

Συνεπώς είναι  lim f(x) − f (xo ) = lim(0) = 0 , για κάθε  xο ∈R  

x→xo x − xo x→xo

Δηλαδή:  (c)′ = 0  

 
Παράγωγος ταυτοτικής συνάρτησης 
4.7  Έστω η συνάρτηση  f(x) = x ,  x ∈R  
Η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  R  και ισχύει  f′(x) = 1 , δηλαδή  (x)′ = 1  
Απόδειξη 

Αν  xo  είναι ένα σημείο του  R , για  x ≠ xo , είναι  f(x) − f(xο) = x − xο =1  
x − xο x − xο

Συνεπώς, είναι  lim f(x) − f(xο ) = lim (1) = 1 ,  για κάθε  xο ∈R  
x − xο
x→xο x→xο

Δηλαδή:  (x)′ = 1  
 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

16

Θεωρία

Παράγωγος δύναμης με εκθέτη φυσικό  

 

4.8  Έστω η συνάρτηση  f(x) = xν ,  ν∈Ν− {0,1}  και  x ∈R  

Η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  R  και ισχύει  f′(x) = νxν−1 , δηλαδή  (xν)′ = νxν−1  

 

Απόδειξη 

Αν  xo  είναι ένα σημείο του  R , για  x ≠ xo , είναι   f(x) − f(xο ) = xν − xον  
x − xο x − xο

( ) ( )= x v−1 + xv−2 + x v−1
x − xo   x o + ... o = x v−1 + x xv−2 + ... + x v−1    
o o
x − xo

Συνεπώς  

 

( )lim f(x) − f(xο) = lim +"+
x→xο x − xο x→xο x v−1 + x v−2x o + ... + x v−1 = x ν−1 + x ν−1 x ν−1 = νx ν−1     
o ο ο ο ο

 

Δηλαδή:  (xν)′ = νxν−1  

 

 

Παράγωγος τετραγωνικής ρίζας 

 

4.9  Έστω η συνάρτηση  f(x) = x ,  x∈[0,+∞)  

Η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  (0,+∞)  και ισχύει  f′(x) = 1 , δηλαδή  ( x)′ = 1  
2x 2x

Απόδειξη 

Αν  xo  είναι ένα σημείο του  (0,+∞) , για  x ≠ xo  

είναι  f(x) − f(xο)   = x − xο = ( x − xο )( x + xο )   
x −xο x − xο (x − xο)( x + xο )

  = x −xο =1 
(x − xο)( x + xο ) x + xο

και συνεπώς  είναι  lim f(x) − f(xο) = lim 1 = 1  
x→xo x − xο x→xo x + xο 2 xo

( )Δηλαδή:  ′ 1  , για κάθε  x∈(0,+∞)  
x=
2x

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 17

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 

 

Παράγωγος αθροίσματος 

4.10  Αν οι συναρτήσεις  f,g  είναι παραγωγίσιμες στο  xo  

τότε η  f + g  είναι παραγωγίσιμη στο  xo , με  (f + g)′ (xo) = f′(xo) + g′(xo)  

Απόδειξη 

 

Για  x ≠ xo , είναι   (f + g)(x) − (f + g)(x o )  
x − xo

                           = f(x) + g(x) − f(xo) − g(xo ) = f(x) − f(xo) + g(x) − g(xo)  
x − xo x −xo x −xo

Συνεπώς                          

lim (f + g)(x) − (f + g)(xo) = lim   f(x) − f(xo) + lim g(x) − g(xo) = f′(xo ) + g′(xo )  
x→xo x − xo x→xo x − xo x→xo x −xo

 

Δηλαδή:  (f + g)′(xo ) = f′(xo ) + g′(xo )   

 

Παράγωγος βαθμωτού πολλαπλασιασμού  

 

4.11  Αν η  f  είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ’ ένα διάστημα  Δ  και   c∈R  

τότε και η συνάρτηση  c ⋅f  είναι παραγωγίσιμη με  (cf(x))′ = cf′(x)  

Απόδειξη 

 

Από   (f(x)g(x))′ = f(x)′ g(x) + f(x) g(x)′  , για  g(x) = c  

είναι  (cf(x))′ = f′(x)⋅c + f(x)⋅0 , οπότε τελικά είναι  (cf(x))′ = cf′(x)  

 

 

Παράγωγος πηλίκου 

 

Αν οι  f,g  είναι παραγωγίσιμες στο  xο  και  g(xο) ≠ 0  

θα είναι  ⎛ f ⎞′ (x ο ) = f′(xο)g(xο) − f(xο)g′(xο)  
⎜⎝ g ⎟⎠ g2 (x ο )

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

18

Θεωρία

Παράγωγος δύναμης με εκθέτη ακέραιο  

4.12  Έστω η συνάρτηση  f(x) = xκ ,  κ∈Ζ − {0,1}  και  x ∈R*  

Η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  R*  και ισχύει  f′(x) = κxκ−1 , δηλαδή  (xκ)′ = κxκ−1  

Απόδειξη 

 

( )Αν  κ > 0 , τότε  κ = ν∈Ν  με  ν ≥ 2 , έχουμε αποδείξει ότι  xv ′ = vxv−1 = κxκ−1   

Αν  κ < 0 , τότε   κ = −ν ,  με  ν∈Ν*  

( ) ( ) ( ) ( )με  ⎞′ xv ′
′ ′ 1 ⎠⎟ (1)′⋅xv −1⋅ vx v−1
xκ = x−ν = ⎛ xν = xv 2 = − x2v = −vx−v−1 = κxκ−1  
⎜⎝

 

Παράγωγος εφαπτομένης  

4.13  Έστω η συνάρτηση  f(x) = εφx , με  συνx ≠ 0  ή   x ≠ κπ + π  και  κ∈Ζ  
2

Η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  R − ⎨⎧⎩κπ + π ,κ ∈ Ζ ⎫ , με   f′(x) = (εφx)′ = 1  
2 ⎭⎬ συν2x

Απόδειξη 

(εφx)′ = ⎛ ημx ⎞′  
⎝⎜ συνx ⎠⎟

   = (ημx)′συνx −ημx(συνx)′ = συνx συνx + ημx ημx = συν2x + ημ2x = 1  
συν2x συν2x συν2x συν2x

 

 

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης 

Αν η συνάρτηση  g  είναι παραγωγίσιμη στο  xo   
και η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  g(xo) , τότε η συνάρτηση  f D g  είναι 

παραγωγίσιμη στο  xo  και ισχύει  (f D g)′(xo) = f′(g(xo))⋅g′(xo)  

Αν θέσουμε  u = g(x) , τότε  (f(u))′ = f′(u)⋅u′   

Με το συμβολισμό του Leibniz έχουμε:  dy = dy ⋅ du  Κανόνας αλυσίδας. 
dx du dx

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 19

Παράγωγος δύναμης με εκθέτη πραγματικό  

 

4.14  Έστω η συνάρτηση  f(x) = xα ,  α∈R − Z  και  x∈(0,+∞)  

Η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  (0,+∞)  και ισχύει  f′(x) = αxα−1 , δηλαδή  (xα)′ = αxα−1  

Απόδειξη 

 

f(x) = xα = elnxα = eαlnx   

xα ′ = ′ ′ = eαlnx αlnx ′ = xα ⋅α ⋅ 1 = xα ⋅α ⋅x−1 = α ⋅xα−1  
( ) ( ) ( ) ( )f′(x) =elnxα=
eαlnx x

Αν  α > 1 , τότε η  f(x) = xα , είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο  0 , με  f′(0) = 0   

 

 

 

Παράγωγος εκθετικής με τυχούσα βάση  

 

4.15  Έστω η συνάρτηση  f(x) = αx ,  α > 0 ,  α ≠ 1  και  x ∈R  

( )Η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  R  και ισχύει  f′(x) = αx ⋅lnα , δηλαδή  αx ′ = αx ⋅lnα  

Απόδειξη 

 

( ) ( )f′(x) =′ ′ = exlnα ⋅(xlnα)′ = αx ⋅lnα ⋅1 = αx lnα  
αx = exlnα

 

 

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης, με βάση e 

 

4.16  Έστω η συνάρτηση  f(x) = ln|x|,  x ∈R*  

Η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  R*  και ισχύει  f′(x) = 1 , δηλαδή  (ln|x|)′ = 1  

xx
Απόδειξη 

Αν  x > 0 , τότε  (ln|x|)′ = (lnx)′ = 1   

x

Αν  x < 0 , τότε  (ln|x|)′ = (ln(−x))′ = 1 (−x)′ = 1  

−x x

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

20

Θεωρία

ΡΥΘΜΟΣ  ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 

 

Ρυθμός μεταβολής 

4.17Να αναφέρετε, τι λέμε ρυθμό μεταβολής του  y  ως προς το  x , αν  y = f(x)  

Απάντηση 
Αν δύο μεταβλητά μεγέθη  x,y  συνδέονται με τη σχέση  y = f(x)  

όταν   f  είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο  xo , λέμε ρυθμό μεταβολής  

του  y  ως προς το  x  στο σημείο  xo , την παράγωγο  f′(xo)  

 

ΘΕΩΡΗΜΑ  ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 

Θεώρημα Rolle 
Αν μια συνάρτηση   f  είναι:       συνεχής στο κλειστό [α,β]  

 παραγωγίσιμη στο ανοικτό  (α,β)  

       και   f(α) = f(β)  

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ ∈(α,β) , τέτοιο, ώστε  f′(ξ) = 0  

 

Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle  y Β
Γεωμετρικά  Μ(ξ,f(ξ)) βx
αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ ∈(α,β)  
f(α)=f(β)

Α

ώστε η εφαπτομένη της  Cf  στο σημείο  M(ξ,f(ξ))   Ο αξ
να είναι παράλληλη στον άξονα  x′x  

 

Θεώρημα Μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού 
Αν μια συνάρτηση   f  είναι:     συνεχής στο κλειστό [α,β]  

 και    παραγωγίσιμη στο ανοικτό  (α,β)  
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ ∈(α,β) , ώστε  f′(ξ) = f(β) − f(α)  

β−α

Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Μέσης τιμής  y Β
Γεωμετρικά  M(ξ,f (ξ)) βx
αυτό σημαίνει, ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ ∈(α,β)  
A
ώστε η εφαπτομένη της  Cf  στο  M(ξ,f(ξ))   Ο αξ
να είναι παράλληλη της ευθείας  ΑΒ  

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 21

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ  

Σταθερή συνάρτηση  
4.18   Έστω μια συνάρτηση  f  ορισμένη σε ένα διάστημα  Δ  
Αν  η  f  είναι συνεχής στο  Δ  και  f′(x) = 0 , για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο  x   

του  Δ , τότε η  f  είναι σταθερή σε όλο το διάστημα  Δ  
Απόδειξη 
Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε  x1  , x2 ∈Δ  ισχύει  f(x1) = f(x2)  

Αν  x1 = x2 , προφανώς  f(x1) = f(x2)   

Αν  x1 < x2 , τότε στο [x1 ,x2] η  f  ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ.  

Επομένως, υπάρχει  ξ ∈(x1 ,x2 ) , τέτοιο ώστε  f′(ξ) = f(x2 ) − f(x1)  
x2 − x1

Επειδή το  ξ  είναι εσωτερικό σημείο του  Δ , θα είναι  f′(ξ) = 0  

Οπότε η σχέση  f′(ξ) = f(x2 ) − f(x1) , δίνει  f(x1 ) − f(x2 ) = 0  ή  f(x1) = f(x2 )  
x2 − x1

Αν  x2 < x1 , τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι  f(x1) = f(x2)  

Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις, είναι  f(x1) = f(x2)   

Ισότητα παραγώγων συναρτήσεων  

 

4.19  Έστω δύο συναρτήσεις  f,g  ορισμένες σε ένα διάστημα  Δ  

Αν    οι  f,g  είναι συνεχείς στο  Δ   

και  f′(x) = g′(x)  για κάθε  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο  x του  Δ  

τότε υπάρχει σταθερά  c  τέτοια, ώστε για κάθε  x ∈Δ , να ισχύει:  f(x) = g(x) + c  

Απόδειξη  y
Η  f − g  είναι συνεχής στο  Δ  και για κάθε εσωτερικό  y=g(x)+c

σημείο  x∈Δ   ισχύει  (f − g)′(x) = f′(x) − g′(x) = 0   y=g(x)

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα 

η συνάρτηση  f − g  είναι σταθερή στο  Δ   Ο x

Άρα, υπάρχει σταθερά  c , ώστε για κάθε  x∈Δ , να ισχύει  f(x) − g(x) = c  

Οπότε, τελικά είναι  f(x) = g(x) + c  

Σχόλιο 
Τα παραπάνω, ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. 

 

Ισότητα συνάρτησης και παραγώγου  
Η συνάρτηση  f / R  με  f′(x) = f(x) , είναι μόνο της μορφής  f(x) = c ⋅ex , c∈R  

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

22

Θεωρία

ΜΟΝΟΤΟΝΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 

 

Γνήσια αύξουσα συνάρτηση 

 

4.20  Έστω μια συνάρτηση   f , η οποία είναι  συνεχής σε ένα διάστημα  Δ  

Αν  f′(x) > 0  σε κάθε  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο  x  του  Δ  

τότε η  f  είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  Δ  

Απόδειξη  y x
f (x2)
  f (x1)

Έστω  x1 ,x2 ∈Δ  με  x1 < x2   Ο x 1 x2

Θα δείξουμε ότι  f(x1) < f(x2)  
Στο διάστημα [x1 ,x2]    ∆

η συνάρτηση  f  ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.  

 

και συνεπώς 

υπάρχει  ξ ∈(x1 ,x2 ) , ώστε  f′(ξ) = f(x2 ) − f(x1) ⇔ f(x2 ) − f(x1) = f′(ξ)(x2 − x1 )  
x2 − x1

Επειδή  f′(ξ) > 0  και   x2 − x1 > 0 , είναι  f(x2) − f(x1) > 0  και τελικά  f(x1) < f(x2)  

 

Γνήσια φθίνουσα συνάρτηση  

 

Έστω μια συνάρτηση   f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα  Δ  
Αν  f′(x) < 0  σε κάθε  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο  x  του  Δ  

τότε η  f  είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το  Δ  

Η απόδειξη γίνεται ανάλογα με την προηγούμενη. 

 

Σχόλια 

Το παραπάνω ισχύει σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. 
Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει.  

 

Δηλαδή, αν η  f  είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο  Δ  
η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) 
στο εσωτερικό του  Δ , αφού μπορεί και να μηδενίζεται.  

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 23

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ  ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 

Τοπικό ακρότατα 

4.21Να αναφέρετε πότε λέμε ότι η συνάρτηση  f , παρουσιάζει στο  xο ∈A  

τοπικό μέγιστο.  

Απάντηση  y

  f (xο)
f (x)
Μία συνάρτηση  f  με πεδίο ορισμού  A  

λέμε ότι παρουσιάζει στο  xo ∈A  τοπικό μέγιστο 

όταν υπάρχει  δ > 0 , τέτοιο ώστε  f(x) ≤ f(xo)    Ο x xο x
για κάθε  x ∈A ∩(xo − δ,xo + δ)  
Cf

Ανάλογα για το τοπικό ελάχιστο. 

 

Θεώρημα Fermat 

4.22  Έστω μια συνάρτηση  f , ορισμένη σ’ ένα διάστημα  Δ  

και  xο  ένα  εσωτερικό  σημείο του  Δ  

Αν η  f  παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο  xο  και είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό 

τότε  f′(xo) = 0   f(xo ) Μ(xo , f(xo ))

Απόδειξη 

 

Έστω η  f  παρουσιάζει στο  xo  τοπικό μέγιστο. 

Επειδή το  xo  είναι εσωτερικό σημείο του  Δ   Ο xo − δ xo xo + δ
και η  f   παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο 

θα υπάρχει  δ > 0 , ώστε  (xo − δ,xo + δ) ⊆ Δ  

και  f(x) ≤ f(xo)  για κάθε  x ∈(xo − δ,xo + δ)  

Είναι  f′(xο ) = lim f(x) − f(x o ) = lim f(x) − f(x o )  
x − xo x − xo
x→xo− x→xo+

Αν  x ∈(xο − δ, xο ) , θα είναι  f(x) − f(xο ) ≥ 0  και   f′(xο ) = lim f(x) − f(x ο ) ≥ 0  
x − xο x − xο
x→xο−

Αν  x ∈(xο ,xο + δ) , θα είναι  f(x) − f(x ο ) ≤0  και  f′(x ο ) = lim f(x) − f(x ο ) ≤ 0  
x − xο x − xο
x→xο+

Οπότε καταλήγουμε ότι  f′(xο) = 0  

Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη. 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

24

Θεωρία

Πιθανές θέσεις ακρότατων 

Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος  Δ στα οποία η συνεχής συνάρτηση  f   

δεν παραγωγίζεται  ή η παράγωγός της  f′  μηδενίζεται , λέγονται κρίσιμα 

σημεία της  f  στο  Δ  και είναι οι πιθανές θέσεις των ακρότατων της  f  

στα εσωτερικά σημεία της. 

Τα κλειστά άκρα του  Δ , αν υπάρχουν είναι επίσης πιθανές θέσεις ακρότατων.  

Κριτήριο ακρότατων  
4.23  Έστω η παραγωγίσιμη  f  στο  (α,β)  με εξαίρεση ίσως   y

ένα σημείο του  xο στο οποίο όμως η   f  είναι συνεχής. 

Αν  f′(x) > 0  στο  (α,xο)  και  f′(x) < 0  στο  (xο ,β) , τότε το  f(xο)    Οα xo β x
θα είναι τοπικό μέγιστο της  f              

Απόδειξη 

Η  f  είναι γνησίως αύξουσα στο  (α,xo] , οπότε  f(x) ≤ f(xo) , για κάθε  x∈(α,xo]  

Η  f  είναι γνησίως φθίνουσα στο  [xo ,β) , οπότε  f(x) ≤ f(xo) , για κάθε  x ∈[xo ,β)  

Οπότε  f(x) ≤ f(xo)  για κάθε  x ∈(α,β) , και προφανώς το  f(xo)  είναι μέγιστο της  f   

 y

Όμοια, αν  f′(x) < 0  στο  (α,xο)  και  f′(x) > 0  στο  (xo ,β)  

τότε το  f(xο)  είναι τοπικό ελάχιστο της   f               Oα xo βx

 

Γενικότερα, αν η  f′   διατηρεί σταθερό πρόσημο στο σύνολο  (α,xo)∪(xo ,β)   

η  f  θα είναι γνησίως μονότονη στο  (α,β)  και στο  xo  δεν έχουμε ακρότατο. 

Πραγματικά 

Έστω ότι  f′(x) > 0 ,  για κάθε  x ∈(α,xο)∪(xο ,β)   y f'> 0

f'> 0

Επειδή η  f  είναι συνεχής στο  xο   Οα xo βx

θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα  (α,xο]  και [xο ,β)  

Επομένως, για  x1 < xο < x2  ισχύει  f(x1) < f(xο) < f(x2)  

Άρα, το  f(xο)  δεν είναι τοπικό ακρότατο της   f  
Έστω τώρα ότι  x1 ,x2 ∈(α,β) , με  x1 < x2  

Αν  x1 ,x2 ∈(α,xο] , επειδή η  f :↑   στο  (α,xο] , είναι  f(x1) < f(x2)  
Αν  x1 ,x2 ∈[xo ,β) , επειδή η  f :↑   στο [xo ,β) , είναι  f(x1) < f(x2)  
Τέλος, αν  x1 < xo < x2 , τότε όπως είδαμε  f(x1) < f(xo) < f(x2)   
Οπότε, σε κάθε περίπτωση  f(x1) < f(x2) , άρα η  f  είναι γνησίως αύξουσα στο  (α,β)  
Εντελώς  ανάλογα, κινούμαστε στην περίπτωση που είναι  f′(x) < 0  

 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 25

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ – ΣΗΜΕΙΑ  ΚΑΜΠΗΣ  ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 

 

Κυρτή συνάρτηση 

4.24Να αναφέρετε πότε λέμε ότι η  f  στρέφει τα κοίλα πάνω στο διάστημα  Δ  

Απάντηση 

Έστω μία συνάρτηση  f , συνεχής σ’ ένα διάστημα  Δ   y Μο
και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του  Δ  
Λέμε ότι η  f  στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο  Δ   y = f(x) xο x
αν η  f′  είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του  Δ   Ο

Συμβολίζουμε   f :        / Δ  

Σχόλιο 

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της  f , σε κάθε σημείο του  Δ  βρίσκεται 

“κάτω” από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής. 

 

Κοίλη συνάρτηση 

4.25Να αναφέρετε πότε λέμε ότι η  f  στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα  Δ  

Απάντηση 

Έστω μία συνάρτηση  f , συνεχής σ’ ένα διάστημα  Δ   y Μο
και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του  Δ   y = f(x)

Λέμε ότι η  f  στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο  Δ  

αν η  f′   είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του  Δ   Ο xο x

Συμβολίζουμε   f :        / Δ  

Σχόλιο 
Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της  f , σε κάθε σημείο του  Δ  βρίσκεται 
“πάνω” από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής. 

Κανόνες L’Hospital 

Για τα όρια πηλίκου, που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές  0 ,  ±∞  
0 ±∞

ισχύουν τα επόμενα θεωρήματα, που είναι γνωστά ως κανόνες de l’ Hospital. 

Αν  lim f(x) = 0 ,  lim g(x) = 0   ή   lim f(x) = +∞ ,  lim g(x) = +∞  , 
x→xο x→xο x→xo x→xo

xο ∈R ∪ {−∞, + ∞}  και υπάρχει το  lim f′(x)  , τότε  lim f(x) = lim f′(x)  
g′(x) g(x) g′(x)
x→xo x→xo x→xo

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Κριτήριο καμπυλότητας   26
 
Έστω συνεχής σ’ ένα διάστημα  Δ  συνάρτηση  f   Θεωρία
και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του  Δ  
Αν  f′′(x) > 0 , για κάθε εσωτερικό σημείο  x  του  Δ   y y = f(x)

τότε η  f  είναι κυρτή στο  Δ   Οx
Αν  f′′(x) < 0 , για κάθε εσωτερικό σημείο  x  του  Δ  

τότε η  f  είναι κοίλη  στο  Δ  

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. 
 
Σημεία καμπής 

4.26Να αναφέρετε πότε λέμε ότι η  f  παρουσιάζει καμπή στο σημείο  xo  

Απάντηση 

Έστω η συνάρτηση  f , παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα  (α,β)  

με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του  xο  

Αν η  f  είναι κυρτή στο  (α,xο)  και κοίλη στο  (xο ,β)   y
ή αντιστρόφως 

και η  Cf  έχει εφαπτομένη στο σημείο  A(xο ,f(xο))   y = f(x)

το σημείο  A(xο ,f(xο)) , ονομάζεται σημείο καμπής της  Cf  

και λέμε ότι η συνάρτηση  f  στο σημείο  xο  παρουσιάζει καμπή.   Ο x

Πόρισμα 

Αν το  A(xο ,f(xο))  είναι σημείο καμπής της  Cf  και η  f  είναι δύο φορές 

παραγωγίσιμη, τότε  f′′(xο) = 0  

Πιθανές θέσεις σημείων καμπής 

Οι πιθανές θέσεις   y

σημείων καμπής μιας συνάρτησης   f    y = f(x)
ορισμένης σ’ ένα διάστημα  Δ  

είναι: τα εσωτερικά σημεία του  Δ  στα οποία η  f′′  μηδενίζεται 

και τα εσωτερικά σημεία του  Δ  στα οποία δεν υπάρχει η  f′′   Ο x

Εμείς θα εξετάσουμε συναρτήσεις που είναι 2 φορές παραγωγίσιμες. 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 27

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ‐ ΚΑΝΟΝΕΣ  DE L’ HOSPITAL 
 
Κατακόρυφη ασύμπτωτη 

4.27Να αναφέρετε πότε μία ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη  

της γραφικής παράστασης  Cf  της  f  

Απάντηση  

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια  lim f(x) ,  lim f(x) , είναι  +∞  ή  −∞   
x→xο+ x→xο−

η ευθεία  x = xo  λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της  f  
 
Οριζόντια ασύμπτωτη 

4.28Να αναφέρετε πότε μία ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη  

της γραφικής παράστασης  Cf  της  f  στο  +∞  ή στο  −∞  

Απάντηση  

Αν  lim f(x) = A , η ευθεία  y = A  λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της  Cf  στο  +∞    

x→+∞

Όμοια για το  −∞  

 

Πλάγιες ασύμπτωτες 

4.29Να αναφέρετε πότε η ευθεία  y = λx + β , λέγεται ασύμπτωτη της  Cf   

στο  +∞  ή στο  −∞  

Απάντηση 

Η  y = λx + β  λέγεται ασύμπτωτη της  Cf  στο  +∞ , αν  lim ( f(x) − (λx + β)) = 0  

x→+∞

Όμοια για το  −∞  

 

Κριτήριο πλάγιας ασύμπτωτης  

Η  y = λx + β  είναι ασύμπτωτη της  C f  στο  +∞ , μόνο αν  lim f(x) = λ ∈R    
x
x→+∞

                                                                                         και  lim (f(x) − λx) = β∈R  
x→+∞

Αντίστοιχα στο  −∞  

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

28

Θεωρία

 
 

 

 
ΑΟΡΙΣΤΟ  ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 

 

Παράγουσα συνάρτηση  

 

5.1Να αναφέρετε τι ονομάζουμε αρχική ή παράγουσα μιας συνάρτησης  f  

η οποία ορίζεται στο διάστημα  Δ  
Απάντηση 
Έστω  f  μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα  Δ  
Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της  f  στο  Δ , ονομάζεται κάθε συνάρτηση  F  
που είναι παραγωγίσιμη στο  Δ  και ισχύει  F′(x) = f(x) , για κάθε  x∈Δ  
 
Σύνολο παραγουσών  

 

5.2  Έστω  f  μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα  Δ  
Αν  F  είναι μια παράγουσα της  f  στο  Δ , τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής 
G(x) = F(x) + c ,  c∈R   είναι παράγουσες της  f   στο  Δ  και  
κάθε άλλη παράγουσα  G  της  f  στο Δ  παίρνει τη μορφή  G(x) = F(x) + c , c∈R  
Απόδειξη 

 

Κάθε συνάρτηση της μορφής  G(x) = F(x) + c , όπου  c∈R , είναι μια παράγουσα  

της  f  στο  Δ , αφού  G′(x) = (F(x) + c)′ = F′(x) = f(x) , για κάθε  x ∈Δ  

Έστω  G , μια άλλη παράγουσα της  f  στο  Δ  

Τότε για κάθε  x∈Δ , ισχύουν:  F′(x) = f(x)  και  G′(x) = f(x)  

Οπότε  G′(x) = F′(x) ,  για κάθε  x∈Δ  

Άρα υπάρχει σταθερά  c  τέτοια ώστε  G(x) = F(x) + c , για κάθε   x∈Δ  
 
Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής σε διάστημα συνάρτηση έχει παράγουσες. 
 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 29

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 

 

Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος 

 

Έστω μια συνάρτηση  f   

συνεχής στο διάστημα [α,β]   y

  y=f (x)
 

Ακόμα  O α=xο ξ1 x1 ξ2x2 ξκ x
  xv-1 ξν xv=β

και στη γενικότερη περίπτωση  

 

που η συνάρτηση  f   

 

δεν διατηρεί πρόσημο 

∑αποδεικνύεται ότι το όριο  lνi→m∞ ⎛⎜⎝ ν f( ξκ )Δx ⎞  του αθροίσματος  Sν  
κ=1 ⎟⎠

υπάρχει στο  R  και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων.  

και  

 

ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης  f  από το  α  στο  β   

∫ ∑Δηλαδή  β = lim ⎛ ν f(ξκ ⎞  
 α f(x)dx ⎜⎝ κ=1 )Δx ⎠⎟
ν→∞

 

Το σύμβολο  ∫  

είναι το πρώτο γράμμα λέξης Summa (άθροισμα) των παραστάσεων  f(x)⋅dx  

 

Οι αριθμοί  α  και  β , ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης. 

 
Βασικές σχέσεις  

 

Έστω η συνεχής στο [α,β]  συνάρτηση  f  και  c∈R  

 β  α  α  β
∫ ∫ ∫ ∫ α  β
Είναι  O f(x)dx = − f(x)dx                     O f(x)dx = 0                    O  c dx = c ⋅(β − α)  
 α  α

 

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Σχέση εμβαδού και ολοκληρώματος  y 30
y=f(x)
  Ω Θεωρία

Αν για τη συνεχή στο [α,β]    Οα βx

συνάρτηση  f  είναι  f(x) ≥ 0  

 β

∫το  f(x)dx ≥ 0  θα δίνει το εμβαδόν  E(Ω)  του χωρίου  
 α

που περικλείεται από τη  Cf  τον  x′x  και τις  x = α  ,  x = β   

 β

∫Δηλαδή  f(x)dx = Ε(Ω) ≥ 0   
 α

 

β

Αν η  f  δεν είναι σταθερή και ίση με  0 , τότε από  f(x) ≥ 0 , είναι  f(x)dx > 0  

∫α

 

∫  β

Αν τώρα είναι  f(x) ≤ 0 , τότε θα είναι και  f(x)dx = −Ε(Ω)  
 α

 
Βασικές ιδιότητες  

 

Έστω  f,g  συνεχείς συναρτήσεις στο  Δ , με  λ,μ ∈R  και  α,β,γ∈Δ  

 β λf(x)dx = λ  β
Είναι  ∫ ∫O  
f(x)dx   
            α  α

            β  (λf(x) + μg(x)) dx = λ  β  β
 
  f(x)dx + μ g(x)dx  
∫ ∫ ∫O  
 α  α  α

 β  γ  β

∫ ∫ ∫O   f(x) dx =  f(x) dx+  f(x) dx  
 α  α  γ

∫Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ   F(x) =  x  f(t) dt     y
 α y=f (x)

Συνάρτηση ορισμένη από ολοκλήρωμα 
Αν  f  είναι μια συνεχής συνάρτηση 
σε ένα διάστημα  Δ  και  α  ένα σημείο του  Δ  

 x h⋅ f(x) ≈ Ω = F(x + h) − F(x)

∫H συνάρτηση  F(x) =  f(t) dt    Οα x x+h βx
 α
h → 0 ,h > 0
είναι μια παράγουσα της  f  στο  Δ , με  x∈Δ  

( ) x ′

∫Δηλαδή  f(t) dt = f(x) , για κάθε  x∈Δ  
 α

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 31

Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού 
 
5.3  Έστω  f  μια συνεχής συνάρτηση, σ’ ένα διάστημα [α,β]  

β

Αν  G  είναι μια παράγουσα της  f  στο [α,β] , τότε  f(t)dt = G(β) − G(α)  

∫α

Απόδειξη 
 

 x

∫Η συνάρτηση  F(x) =  f(t) dt  είναι μια παράγουσα της  f  στο [α,β]  
 α

και επειδή η  G  είναι κι αυτή μια παράγουσα της  f  στο [α,β] , θα υπάρχει  c∈R  

ώστε  G(x) = F(x) + c , αφού  G′(x) = f(x)  και   F′(x) = f(x)  είναι  F′(x)= G′(x)   

 

α

Για  x = α  έχουμε:  G(α) = F(α) + c = ∫α f(t)dt + c = c  και συνεπώς  c = G(α)  

β

Άρα  G(x) = F(x) + G(α)  και για  x = β , έχουμε  G(β) = F(β) + G(α) = ∫α f(t)dt + G(α)  και 

 β

∫τελικά   f(t) dt =   G(β) − G(α)  
 α

 

Η διαφορά  G(β) − G(α)  γράφεται συμβολικά και ως  [ ]G(x)   β  
  α

 

Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες 

∫ ∫ β  f(x)⋅g′(x) dx   =  [f(x)⋅ ]g(x)   β −  β  f′(x)⋅g(x) dx  
 α   α  α

όπου  f′,g′  είναι συνεχείς συναρτήσεις στο  [α,β]  

 
Μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση ή ολοκλήρωση σύνθετης 

∫ ∫ β  f (g(x))⋅g′(x) dx   =     u2 f(u) du   Γ΄Λυκείου
 α  u1

όπου  f,g′  συνεχείς  με  u = g(x) ,  du = g′(x)dx  και  u1 = g(α) ,  u2 = g(β)  

Προσανατολισµός

32

Θεωρία

EΜΒΑΔΟΝ  ΕΠΙΠΕΔΟΥ  ΧΩΡΙΟΥ 

 

Εμβαδόν που ορίζεται από τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης 

τον άξονα των τετμημένων και γενικότερα τις ευθείες x=α και x=β 
Έστω η συνεχής στο [α,β]  συνάρτηση  f  

και έστω  E(Ω)  το εμβαδόν του χωρίου  Ω  

που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της  f   

τις ευθείες με εξισώσεις  x = α ,  x = β  και τον άξονα  x′x   y
y=f (x)

Είδαμε ότι αν  f(x) ≥ 0 , για κάθε  x ∈[α,β]    Οα Ω
βx
 β

∫και είναι  E(Ω) = f(x)dx  
 α

  y β
Αν τώρα είναι  f(x) ≤ 0 , για κάθε  x ∈[α,β]    x
α
Ω
Ο y=f(x)

 β y − + β
−x
∫και είναι  E(Ω) = − f(x)dx   +
 α Οα

 

∫  β

Γενικότερα, είναι  E(Ω) =   f(x)  dx  
 α

 

 

Εμβαδόν που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων  

τον άξονα των τετμημένων και γενικότερα τις ευθείες x=α και x=β 

 

Το εμβαδόν του χωρίου  Ω που περικλείεται 

από τις γραφικές παραστάσεις   y y=g(x) y=f(x)
των συνεχών συναρτήσεων  f,g  στο [α,β]    Ω1 Ω2 Ω3
και τις ευθείες  x = α  και  x = β   
Ο αγ δ βx
 β

∫ισούται με  E(Ω) =  |f(x) − g(x)|  dx  
 α

Προσανατολισµός Γ΄Λυκείου

Θεωρία 33

  Γ΄Λυκείου
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Προσανατολισµός