เศษส่วนและทศนิยม
เศษส่วน คือตัวเลขหรือสัญลักษณ์แทนจานวนที่ไม่ใช่จานวนเต็มหรือแสดงความสัมพันธ์ตามสัดส่วน ระหว่างชิ้นส่วนของวัตถุหนึ่งเมื่อเทียบกับวัตถุทั้งหมด ในขณะที่อัตราส่วนพิจารณาจากปริมาณของสองวัตถุที่ แตกต่างกัน เศษส่วนจงึ ประกอบไปด้วย ตัวเศษ (numerator) หมายถึง จำ นวนชิ้นส่วนของวัตถุที่มี ตัวส่วน (denominator) หมายถึง จำ นวนชิ้นส่วนทั้งหมดของวัตถุนั้น และเศษส่วนนั้นอาจเรียกได้ว่าเป็นผลหาร (quotient) ของจานวน ซึ่งปริมาณที่แท้จริงสามารถคานวณได้จากการ หารตัวเศษด้วยตัวส่วน เศษส่วน ตัวอย่างเช่น 3/4 อ่านว่า เศษสามส่วนสี่ หรือ สามในส่ี หมายความว่า วัตถุสามชิ้นส่วนจากวัตถุทั้งหมดที่ แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน นอกจากนั้น การแบ่งวัตถุสิ่งหนึ่งออกเป็นศูนย์ส่วนเท่า ๆ กันนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น 0 จึงไม่สามารถเป็นตัวส่วนของเศษส่วนได
25% 75% รปูแบบของเศษสว่น เศษส่วนสามัญ เศษส่วนแท้ และเศษเกิน เศษสว่นสามัญ (vulgar/commonfraction)คือจานวนตรรกยะที่สามารถเขียนอยู่ในรูปa/b โดยที่ a และ b ซึ่งเรียกว่า ตัวเศษ และ ตัวส่วน ตามลาดับ เป็นจานวนเต็มทั้งคู่ตัวเศษแสดงแทนจานวนของส่วน แบ่ง และตัวส่วนซึ่งไม่เท่ากับศูนย์แสดงแทนการแบ่งส่วนจากทั้งมวล เช่น เศษ1/3 , เศษ3/4 นอกนั้นเศษส่วนสามัญยังแยกออกเป็น 2 ประเภท คือ เศษส่วนแท้(ท้ properfraction)ซงึ่มีค่าของตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วนทาให้ปริมาณของเศษส่วนน้อยกว่า1 เช่น 7/9 เศษเกิน (improperfraction)คือเศษส่วนที่ค่าของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนเช่น5/5,9/7 จำ นวนคละ (mixed number) เป็นการนาเสนอเศษส่วนอีกรูปแบบหนึ่ง โดยนาจานวนเต็มประกอบเข้ากับ เศษส่วนแท้ และมีปริมาณเท่ากับสองจานวนนั้นบวกกัน
จำ นวนคละสามารถแปลงไปเป็นเศษเกินและสามารถแปลงกลับได้ตามขั้นตอนดังนี้ การแปลงจำ นวนคละไปเป็นเศษเกิน (23/4) 1.คูณจำ นวนเต็มเข้ากับตัวส่วนของเศษส่วนแท้ (2 × 4 = 8) 2.บวกผลคูณในขั้นแรกด้วยตัวเศษ (8 + 3 = 11) 3.นำ ผลบวกเป็นตัวเศษประกอบกับตัวส่วน เขียนใหม่เป็นเศษเกิน (11/4) การแปลงเศษเกินไปเป็นจานวนคละ (11/4) 1.หารตัวเศษด้วยตัวส่วน ให้เหลือเศษเอาไว้ (11 ÷ 4 = 2เศษ 3) 2.นำ ผลหารที่ไม่เอาเศษไปเป็นจานวนเต็ม (2_) 3.นำ เศษจากการหารเป็นตัวเศษประกอบกับตัวส่วน เขียนเศษส่วนต่อท้ายจานวนเต็ม (23/4) เศษสว่นที่เทียบเท่ากัน เศษส่วนที่เทียบเท่ากับอีกเศษส่วนหนึ่งสามารถหาได้จากการคูณ หรือการหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำ นวนที่ เท่ากัน (ไม่จำ เป็นต้องเป็นจำ นวนเต็ม) เนื่องจากจกนวน n ที่คูณหรือหารทั้งตัวเศษและตัวส่วน คือเศษส่วน n/n ที่มีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นปริมาณของเศษส่วนจึงไม่เปลี่ยนแปลง
ตัวอย่างเช่น กำ หนดเศษ 1/2เมื่อคูณด้วย 2 ทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะได้ผลลัพธ์เป็น 2/4 จึงกล่าวได้ว่า 1/2เทียบเท่ากับ 2/4
เศษส่วนซ้อน เศษส่วนอื่น เศษสว่นซ้อนหรือเศษซ้อน(complex/compoundfraction)คือเศษส่วนที่มีตัวเศษหรือตัวส่วนเป็น
เลขคณิตของเศษส่วน การเปรียบเทียบค่า สำ หรับการเปรียบเทียบค่าของเศษส่วนนั้น หากตัวส่วน เท่ากัน สามารถนำ ตัวเศษมาเปรียบเทียบกันได้เลยถ้า ส่วนไม่ เท่ากันก็นาเศษไปคูณกับส่วนของอีกฝั่งและนาไปคูณทั้งสองจำ นวนเหมือนกัน 3/4>2/4เพราะ3>2 วิธีหนึ่งที่จะเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากันคือการหาตัวส่วนร่วม ในการ เปรียบเทียบ a/b กับ c/d ให้แปลงทั้งสองเป็น ad/bd และ bc/bd เมื่อได้ว่า bd เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว ตัวเศษ ac และ bc ก็สามารถนามาเปรียบเทียบกันได
การบวกเศษส่วน จะต้องทำ ให้ตัวส่วนให้เท่ากันก่อน โดยการหาตัวคูณ มาคูณเข้าไปให้ตัวส่วนทั้งสองฝั่งเท่ากัน และนำ ตัวเลขที่ คูณนั้น มาคูณกับตัวเศษด้วย แล้วจึงจะสามารถหาคำ ตอบออกมาได้ ตัวอย่างการบวกเศษส่วน
การลบเศษส่วน การลบเศษส่วนไม่เท่ากันต้องทำ ให้ตัวส่วนเท่ากันก่อน โดยการหาตัวเลขมาคูณให้ส่วนทั้งสองฝั่งเท่ากัน นอกจากนำ ตัวเลข มาคูณส่วนแล้ว ก็อย่าลืมนำ เลขนั้นมาคูณตัวเศษด้วย แล้วก็นำ มาลบกันได้ตามปกติ จึงจะได้ คำ ตอบที่ถูกต้อง ตัวอย่างการลบเศษส่วน
การคูณเศษส่วน การคูณเศษส่วนเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดสามารถนา“ตัวเศษ”คูณกับ“ตัวเศษ”และนำ “ตัวส่วน”คูณกับ“ตัวส่วนได้ เลยก็จะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง ตัวอย่างการคูณเศษส่วน
การหารเศษส่วน การหารเศษส่วน จะมีความซับซ้อนขึ้นนิดหน่อยในการคิดเลข แต่มีวิธีการง่าย ๆ คือ เปลี่ยนจาก “เครื่องหมายหาร” เป็น “เครื่องหมายคูณ” ตัวที่นำ มาหารนั้น ก็แค่กลับเศษเป็นส่วน แล้วใช้วิธีคูณธรรมดา เหมือนวิธีคูณเศษส่ว ตัวอย่างการหารเศษส่วน
เปลี่ยนจำ นวนคละใหเ้ป็นเศษเกิน จำ นวนคละ คือ จำ นวนที่มีจำ นวนเต็มอยู่ด้านหน้าเศษส่วน ถ้าในโจทย์มีจำ นวนคละ และต้องการนำ ไปบวก ลบคูณหารเศษส่วน ต้องเปลี่ยนจำ นวนคละให้เป็นเศษเกินก่อน ถึงจะสามารถทำ การบวก ลบ คูณ และหาร เศษส่วน ตามปกติได้ วิธีการเปลี่ยนจำ นวนคละให้เป็นเศษเกิน แค่คงตัวส่วนด้านล่างไว้เหมือนเดิม จากนั้นนำ จำ นวนเต็มคูณกับตัว ส่วน แล้ว บวกกับตัวเศษ ก็จะได้ตัวเลขด้านบน หรือ “ตัวเศษ” ออกมา จะได้เศษส่วนเกิน ตัวอย่างการเปลี่ยนจำ นวนคละ
แปลงจานวนเต็มให้เป็นเศษส่วน จำ นวนเต็ม บวก ลบ คูณ และหารเศษส่วนตัวอื่น ๆ ในสมการ ก่อนที่จะนาไปคานวณหาคำ ตอบ ต้องแปลง จำ นวนเต็มให้ เป็นเศษส่วนก่อน ถึงจะสามารถคิดคานวณตามสูตรได้ตามปกติแล้ว จำ นวนเต็มจะมีค่าเป็น ส่วน 1 เสมอ พอแปลงค่าเป็นส่วน 1 แล้ว ก็นาไปบวก ลบ คูณ และหารเศษส่วนตัว อื่น ๆ ในสมการ ได้เลย แต่ถ้าหากเป็นการลบเศษส่วนที่ไม่เท่ากัน หรือการบวกเศษส่วนที่ไม่เท่ากัน จะต้องทาตัว ส่วนให้เท่ากันก่อน ถึงจะ สามารถบวกลบเศษส่วนกันได ตัวอย่าง
ทศนิยม ทศนยิม หมายถึงการเขียนตัวเลขแสดงจานวนที่มีค่าน้อยกว่า1หรือการเขียนตัวเลขประเภทเศษส่วนที่มี ตัวส่วนเป็น 10,100,1000 แต่เปลี่ยนรูปจากเศษส่วนมาเป็นรูปทศนิยม โดยใช้เครื่องหมาย . (จุด) แทนทศนิยม และเศษส่วน ทศนิยมหนึ่งตาแหน่งเทียบได้กับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นสิบ และทศนิยมสองตาแหน่งเทียบได้กับ เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นร้อย 1.การบวกทศนิยม การบวกทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกันแล้วบวกตัวเลขที่อยู่ในหลักเดียวกัน ถ้าผลบวกได้เกิน 9ให้ ทศไปยังหลักข้างหน้าเหมือนการบวกจานวนนับ 2.การลบทศนิยม การลบทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกันแล้วลบจานวนที่อยู่ในหลักเดียวกันถ้าตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบให้ กระจายหลักข้างหน้ามาเหมือนกับจานวนนับ
3.โจทย์ปญัหาการบวกและลบทศนยิม ขั้นตอนการทาโจทย์ปัญหาการบวกและลบทศนิยม มีดังนี้ 1.) ถ้ากาหนดจานวนสิ่งของให้ และบอกจานวนที่เพิ่มขึ้น ใช้วิธีบวก 2.) ถ้ากาหนดจานวนสิ่งของให้ และบอกจานวนที่ลดลง ใช้วิธีลบ 4.การคูณทศนยิม 1. การหาผลคูณโดยใช้การบวก เช่น2 x 3.5 = 3.5 + 3.5 = 7.0 2. การหาผลคูณโดยการเปลี่ยนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนเช่น 3. การหาผลคูณโดยวิธีลัดให้คูณเหมือนการคูณจานวนนับด้วยจานวนนับ และผลคูณจะมีตาแหน่งทศนิยมเท่ากับ ทศนิยมที่โจทย์กาหนดให้ เช่น3×0.7 = 2.1 หรือ4 x2.17 = 8.68 เป็นต้น คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณเช่น5×0.8 = 0.8×5 =4.0
ความสัมพันธ์ระหวา่งเศษส่วนกับทศนยิม 1. การเขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยม แบ่งได้เป็น 2 กรณีดงันี้ 1.1 กรณีที่เศษส่วนมีตัวส่วนเป็น 10 หรือ 100 หรือ 1000 หรือ ... จะได้ค่าของเศษเป็นทศนิยม และมีจำ นวน ตกแหน่ง ของ ทศนิยมเท่ากับจกนวนเลขศูนย์ของตัวส่วนโดยเศษส่วนที่เป็นบวกจะได้ทศนิยมที่เป็นบวกและเศษส่วนที่เป็นลบ จะ ได้ทศนิยมที่เป็นลบ เช่น 1/10 = 0.1 1.2 กรณีที่เศษส่วนมีตัวส่วนไม่เป็น 10 หรือ 100 หรือ 1000 หรือ ... จะมีวิธีการเขียน 2 วิธี ดังนี้ 1.2.1 โดยการทำ ตัวส่วนให้เป็น 10 หรือ 100 หรือ 1000 หรือ ... โดยนาจานวนมาคูณ หรือ หารทั้งตัวเศษและตัว ส่วน ของเศษส่วนจำ นวนนั้นแล้วดำ เนินการหลักการเดียวกับข้อ 1.1 เช่น 1/2 = 1/2* 5 = 5/10 = 0.5 1.2.2โดยการนาตัวส่วนไปหารตัวเศษโดยเศษส่วนที่เป็นบวกจะได้ทศนิยมที่เป็นบวกและเศษส่วนที่เป็นลบจะได้ ทศนิยมที่เป็นลบ เช่น 3/4 4หาร3 = 0.75
ทศนิยมที่มีลักษณะดังเช่นในข้อ 1 ถึงข้อ 10 ข้างต้น เรียกว่า ทศนิยมซ้ำ สำ หรับทศนิยม เช่น 0.2 ถือว่าเป็นทศนิยมซ้า เช่นเดียวกัน เรียกว่า ทศนิยมซ้ำ ศูนย์ เพราะ 0.2 = 0.2000... „ 0.20 แต่ไม่ นิยมเขียนกันจึงเขียนสั้น ๆ เพียง 0.2 ดังนั้น จึงกล่าวได้ว่า “เศษส่วนทุกจำ นวนไม่ว่าจะเป็นจำ นวนบวกหรือลบ สามารถเขียนให้ อยู่ในรูปทศนิยมซ้ำ ได้” เศษส่วน ทุกจำ นวนที่มีตัวเศษเป็นจกนวนเต็มและตัวส่วนเป็นจำ นวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์ สามารถเขียนเป็นทศนิยม ซ้ำ ได้ เช่น 0.82000... เป็นทศนิยมซ้ำ ศูนย์ เขียนแทนด้วย 0.82 อ่านว่า ศูนย์จุดแปดสอง 0.666... เป็นทศนิยมซ้ำ หก เขียนแทนด้วย 0.6 อ่านว่า ศูนย์จุดหก หกซ้า -0.7272... เป็นทศนิยมซ้ำ เจ็ดสอง เขียนแทนด้วย -0.72 อ่านว่า ลบศูนย์จุดเจ็ดสอง เจ็ดสองซ้า 0.3181818... เป็นทศนิยมซ้ำ หนึ่งแปด เขียนแทนด้วย 0.318 อ่านว่า ศูนย์จุดสามหนึ่งแปดหนึ่ง แปดซ้า 0.254254254... เป็นทศนิยมซ้ำ สองห้าสี่ เขียนแทนด้วย 0.254 อ่านว่า ศูนย์จุดสองห้าสี่ สองห้าสี่ซำ
ทศนิยมซ้ำ คือจานวนตรรกยะอย่างหนึ่งในเลขฐานสิบที่มีตัวเลขบางชุดปรากฏซ้ากันโดยไม่สิ้นสุดซึ่งการซ้า ของตัวเลขอาจเกิดขึ้นก่อน หรือหลัง หรือคร่อมจุดทศนิยม และชุดตัวเลขที่ซ้ากันอาจจะมีเพียงแค่ตัวเลขตัวเดียวก็ ได้ ตัวอย่างเช่น 1/3 = 0.333333... (อ่านว่า ศูนย์จุดสาม สามซ้ำ ) สาหรับทศนิยมที่เขียน ให้ เลข 0 ตัวสุดท้ายซ้ำ กันไปเรื่อยๆ ไม่ถือว่าเป็นทศนิยมซ้ำ เนื่องจากตำ แหน่งของทศนิยมจะสิ้นสุด ก่อนถึงเลข 0 ตัวสุดท้าย เพราะการเติมเลข 0 ซ้ำ กันไปเรื่อยๆ นั้นไม่มีความจำ เป็นคือไม่ทำ ให้ค่าของตัวเลขเปลี่ยนแปลงไปจาก เดิม เช่น 0.56000000... = 0.56 ในกรณีพิเศษอย่างหนึ่งของทศนิยมซ้าที่ไม่จำ เป็น แต่บางครั้งก็มีประโยชน์ นั่นคือการซ้ำ ของเลข 9เพียงตัว เดียว ซึ่งเลข 9 ที่ ซ้ำ ทั้งหมดสามารถละทิ้งได้และเพิ่มค่าหลักที่อยู่ก่อนหน้าขึ้นไปหนึ่ง เช่น 0.999999... = 1 หรือ 1.77999999... = 1.78 โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบการซ้ำ ของเลข 9ใช้อธิบายว่าจกนวนมีที่มาอย่างไร หรือเพื่อแสดง ให้เห็นถึงความ สัมพันธ์ที่น่าสนใจ อาทิ 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333... = 0.999999... ดูเพิ่มที่ 0.999... ทศนิยมในประเภทอื่นจะมี ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ • ทศนิยมรู้จบ คือจำ นวนตรรกยะที่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งตัวเศษและตัวส่วน เป็นจำ นวนเต็ม และตัว ส่วนไม่เท่ากับศูนย์ • ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ คือจำ นวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถเขียนแทนด้วยอัตราส่วนของจานวนเต็ม สองจำ นวนได้
Thank you