RESPUESTAS AL POTPURRI DE EJERCICIOS DE GRAFOS Y ÁRBOLES

RESPUESTAS AL POTPURRI DE EJERCICIOS DE GRAFOS Y ÁRBOLES

a) Falso. En un árbol, todas las aristas son puentes.
b) Verdadero. Todas las aristas son puentes, ya que al sacar cualquiera de ellas, se desconecta el grafo.
c) Falso. Si dos árboles, tienen el mismo número de vértices, tendrán el mismo número de aristas, ya que
en todo árbol: |V|=|A| +1, y como todas las aristas son puentes en el árbol, ambos árboles tendrán el
mismo número de aristas puentes.
d) Falsa, ya que b, es verdadera.
De todos esos recorridos, ningún es el recorrido inorden del árbol. Es más, de esos recorridos solo el ii) es
correcto y es el recorrido preorden del árbol dado.

El recorrido en preorden, que escribimos en notación polaca es el que
expresa la o0pción d:

/^+*xy32-*5x3

Ninguna es correcta, la
notación en polaca inversa del recorrido post orden que se obtiene al
recuperar el árbol es

23x*+5^2x*/

Las condiciones para que una sucesión de grados de un grafo sea
gráfica son:
*La suma debe ser par

*El valor máximo debe ser menor que la longitud. Por ejemplo, la sucesión 6,4,4,2,1,1 no es gráfica
pues el valor mayor de la sucesión (6) es igual que la longitud de esta (6).

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Teniendo en cuenta eso:

a y b, no son sucesiones gráficas, porque su suma es impar
c) no es sucesión gráfica, pues tenemos un vértice de grado 4, que estaría conectado con cada uno de los
vért8ices de la sucesión. Pero uno de ellos es de grado 0, por lo cual es una inconsistencia.
d) La suma de esta sucesión es par, y el mayor grado es menor que la longitud de la sucesión. Cumple
con ambas condiciones. Las mismas son necesarias, pero no suficientes, pero es posible graficar ese
grafo simple:

b) VERDADERA. Son dos componentes conexas.
Definición
Dos vértices u y v de un grafo dirigido son conexos si
existe un camino de u a v y un camino de v a u.
Utilizando esta definición, podemos dividir V en
conjuntos disjuntos de vértices alcanzables entre ellos
bidireccionalmente; a tales conjuntos los llamaremos
componentes fuertemente conexos.

a) Todo grafo conexo y con al menos un ciclo de longitud igual al número de vértices es un árbol. FALSO.

Los árboles son acíclicos

b) Todo grafo en el que se cumple que el número de aristas es igual al de vértices menos uno es un árbo-
-l. VERDADERO |V|=|A|+1  |A|=|V|-1

c) En un árbol dirigido todos los vértices tienen que tener grado 2, excepto las hojas del árbol y el vértice

raíz del mismo. FALSO. Si el árbol es binario, todos los vértices, incluida la raíz tiene grado 2, menos las

hojas, que siempre tienen grado 1, esto es un contraejemplo, que afirma la falsedad del enunciado.

d) Todo grafo acíclico y conexo es un árbol. VERDADERO, por definición un árbol cumple con esas dos

condiciones.

a) Falso, ya que la fila tiene dos unos

b) El elemento (7,4) de la matriz de adyacencia es 1 y el elemento (1,2) es 1.

F ^ V FALSO

c) La columna 1 tiene 3 unos. FALSO, LA COLUMNA 1 ES TODA DE 0

d)El elemento (1,3) de la matriz de adyacencia es 1 y el elemento (5,6) es 0.

V ^V  VERDADERO

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1 234567
1 0111 000
2000011 0
3 0 0 0 0 0 0 0 MATRIZ DE ADYACENCIA QUE MODELIZA LA SITUACIÓN
4 0 0 0 0 0 01
50000000
60000000
70000000

Preorden ABCDEFG y en inorden CDBEAGF ( eS OTRO PROCEDIMIENTO, DISTINTO AL SUGERIDO EN EL

TRABAJO)

Para poder deducir el árbol binario que tiene esos recorridos, se debe recordar que dado un inorden y un

pre o postorden, existe un único árbol binario que cumple ambos recorridos. Por lo tanto, dibujaremos

una tabla donde en la vertical tendremos el preorden de arriba hacia abajo (SI tenemos el recorrido en

postorden, colocaremos el mismo de abajo hacia arriba, quedando la raíz en la casilla superior), y en la

horizontal tendremos el inorden:

AX

B X
CX
SECUENCIA

EN D X

PRORDEN EX

FX

GX

C DBEAGF

SECUENCIA EN INORDEN
Nos damos cuenta de que existe solo una casilla por cada letra donde fila y columna coinciden.
¿Pero qué hacemos con esto? Construimos el árbol. La marca de
más arriba será la raíz del árbol y con eso tenemos el primer nodo.
Los hijos de ese nodo serán, para las sub-tablas izquierda y derecha,
el nodo que esté más alto, y los hijos de esos nodos serán a su vez
los nodos más altos de las sub-tablas acotadas por las raíces ya
obtenidas. En el diagrama pinté de un color los nodos de un mismo
nivel. El orden de los colores es: amarillo, azul, rojo, verde.
Dibujando el árbol binario construido:

Prof. Esp. Lic. Teresa Fernández

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