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Resumen completo sobre estudio de funciones

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Published by Profe Tere, 2020-07-15 14:53:31

ESTUDIO DE FUNCIONES

Resumen completo sobre estudio de funciones

Keywords: funciones derivada crecimiento

Estudio de funciones

ESTUDIO DE FUNCIONES:

CRECIMIENTO Y PUNTOS CRÍTICOS.

Lo vemos en un ejemplo:

Dada f (x)  x
x2 1

Dominio =R

f ´ x  (x2 1)  x.2.x
(x2 1)2

f ´ x  0  (x2 1)  x.2.x  0  (x2  1)  x.2.x  0  x2 1  0,
(x2 1)2

 x  1  x  1

Luego, tenemos dos puntos críticos: 1 y -1. Realizamos el siguiente cuadrito,
donde colocamos los puntos críticos, y a cada lado de ellos, valores mayores y
menores a ellos:

x -2 -1 0 1 2
f '(x)

- 0+0 -

f(x) Mínimo Crece Máximo Decrece

Decrece

Luego, reemplazamos en f(x), por -1 y 1, para hallar la otra coordenada:
f(-1)=1/2existe un mínimo en (-1, ½)
f(1)=1/2 existe un máximo en (1, ½ )
La función es creciente en (-1,1). La función es decreciente en (-  ,-1) U (1,  )

Prof. Lic. Teresa Fernández Página 1

Estudio de funciones

FUNDAMENTEMOS LO HECHO:

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Obtener la primera derivada.

Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos
en la función. PUNTOS CRÍTICOS

Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente a los puntos críticos)
a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados;
cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de
negativo a positivo el punto crítico es mínimo.

En nuestro ejemplo, este paso lo hicimos en el cuadro. Pero supongamos que no querramos
usar el cuadro:

Para -1, tomamos como valor anterior -2 y posterior 0.

f´(-2)=-3

f´(0)= 1

Vemos que pasa de negativo a positivo, por lo tanto -1 es un mínimo.

Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la
precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de
evitar errores al interpretar los resultados.

Hacemos lo mismo con el otro punto crítico.

Sustituir en la función original (fx)) el o los valores de la variable independiente (x) para
los cuales hubo cambio de signo.(los puntos críticos). Cada una de las parejas de datos así
obtenidas, corresponde a las coordenadas del máximo y/o el mínimo..

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en
que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia,
su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es
hacia arriba y la segunda derivada es positiva.

Prof. Lic. Teresa Fernández Página 2

Estudio de funciones

Este procedimiento consiste en:
Calcular la primera y segunda derivadas
Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
Sustituir las raíces de la primera derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un
máximo.
Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.

Sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para
conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo

Apliquemos el criterio de la segunda derivada para nuestro ejemplo:

f ´´ x  2 x.( x 2  1)2  (x2 1).2.(x2  1).2 x
(x2 1)4

f ´´ x  (x2 1)[2x(x2 1)  4x(x2  1)  f ´´ x  2x3  2x  4x3  4x
(x2 1)4 (x2 1)3

f ´´ x  2x3  6x  f ´´ x  0  2x3  6x  0  2x3  6x 0
(x2 1)3 (x2 1)3

x0 x 3 x 3

Realizamos el cuadro con los tres puntos obtenidos:

x -2 - -1 0 1+ 2

f ’’ - 0 + 0 - 0 +

f  inflexión  inflexión  inflexión 

En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexión
La gráfica es:

Prof. Lic. Teresa Fernández Página 3

Estudio de funciones

Puntos de inflexión:

Criterio práctico.
Para calcular los puntos de inflexión se halla la derivada segunda de f, se iguala a cero y se
resuelve la ecuación. En las soluciones de la ecuación se estudia y, si cambia la curvatura
hay punto de inflexión.

También podemos trabajar con la derivada tercera:

f´´´(a)=0 no hay punto de inflexión

f´´´(a)≠0 en a existe n punto de inflexión en (a, f(a))

Prof. Lic. Teresa Fernández Página 4


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