semana5

UNIVERSIDAD FIDE´LITAS
II-115 INTRODUCCIO´ N AL CA´LCULO

COORDINACIO´ N
Lic. Hern´an V´ıquez C´espedes

hviquez@ufidelitas.ac.cr

Lineamientos semana 5
Pr´actica para el primer parcial

Tercer Cuatrimestre 2017

Operaciones con polinomios

1. Efectu´e las operaciones indicadas y exprese el resultado como un polinomio reducido.

a) (x4 − 5x2 − 3x) − 3 (3x3 − 8x2 − 6) − (5x − 1)2 R/ 8 + 7x − 18x2 − 9x3 + x4
2 2

b) (x4 − 2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − (2x − 2)3 R/ 15 − 30x + 10x2 − 6x3 + x4

c) x (x2 + 8x − 6) − (3x + 1)2 + 3(x3 − 8) R/ −25 − 9x − 5x2 + 7x3
2 2

d) (x2 − 2)(4 − 5x) − 2(4x3 − 5x2 + 6) − 5(−3x2 − 5x) R/ −20 + 35x + 29x2 − 13x3

e) x2(x − 7) − 2(x3 + 2x − 5) + 3(3x2 + 2) R/ 16 − 4x + 2x2 − x3

f) (2x − 3)3 + 2x2(x + 6) − 3(x + 6)(7 − 5x) R/ −153 + 123x − 9x2 + 10x3

g) (2a2 − 3a)3 − 5 (6a4 − 3a2) − 5(2a2 − 3a)(6a4 − 3a2) R/ 15a2 − 72a3 + 69a4 + 54a5 − 52a6
22

h) 5x2(2x − 3) − (8x2 − 4x) ÷ (2x) + (5 − 2x)3 R/ 127 − 154x + 45x2 + 2x3

i) (12m − 8m3) ÷ (4m) − 3m2(m + 8) + (6m − 5)3 R/ −122 + 450m − 566m2 + 213m3

j) 4(a2 + 2) − 5a4(a2 − 5a) + (8a7 − 6a5) ÷ (2a) R/ 8 + 4a2 − 3a4 + 25a5 − a6

2. Considere los siguientes polinomios

A(x) = x6 − 5x3 + 6 ; B(x) = x2 − 1 ; C(x) = 20x10 − 60x5

De acuerdo con los polinomios anteriores determine el polinomio reducido que se obtiene al efectuar

las operaciones

3A(x) − 2[B(x)]3 − 1 C(x) ÷ (x5)
10

R/ 26 − 6x2 − 15x3 + 6x4 − 2x5 + x6

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3. Considere los siguientes polinomios

P (x) = x + 1 ; Q(x) = 3x5 − 4x3 + 1 ; R(x) = x2 − 3

De acuerdo con los polinomios anteriores determine el polinomio reducido que se obtiene al efectuar
las operaciones

[P (x)]3 − 2Q(x) + 3(x + 1)[R(x)]2

R/ 26 + 30x − 15x2 − 9x3 + 3x4 − 3x5

4. Considere los siguientes polinomios

M (x) = 2x6 − 4x4 + 2x − 1 ; N (x) = x3 + 1 ; P (x) = x + 2

De acuerdo con los polinomios anteriores determine el polinomio reducido que se obtiene al efectuar

las operaciones

[N (x)]3 + 2(x2 + 1)[P (x)]2 − M (x) · N (x)

R/ 10 + 6x + 10x2 + 12x3 + 4x4 + x6 + 4x7 − x9

5. Considere los siguientes polinomios

R(x) = x2 + 1 ; S(x) = x3 − 4x + 1 ; T (x) = x3 − 3

De acuerdo con los polinomios anteriores determine el polinomio reducido que se obtiene al efectuar

las operaciones

[T (x)]3 − 2S(x) + 3(1 − 2x)[R(x)]2

R/ −26 + 2x + 6x2 + 13x3 + 3x4 − 6x5 − 9x6 + x9

Divisi´on Sint´etica y Algebraica

6. Determine el cociente C(x) y el residuo R(x) que se obtiene al efectuar cada una de las siguientes
divisiones de polinomios.

a) (2x5 − 4x4 + 2x3 + x2 − 5x + 2) ÷ (x3 − 2x2 + x − 3) R/ C(x) = 2x2 , R(x) = 2 − 5x + 7x2

b) (3x4 − 3x2 + x − 5) ÷ (x2 + 3) R/ C(x) = −12 + 3x2 , R(x) = 31 + x
c) (−2x3 + 4x2 + x) ÷ (2x + 1)
d) (8x5 + 1) ÷ (2x3 − 1) R/ C(x) = − 3 + 5x − x2 , R(x) = 3
42 4

R/ C(x) = 4x2 , R(x) = 31 + x

e) (x3 − 3x2 + 6x − 1) ÷ (x2 − 4x + 5) R/ C(x) = 1 + x , R(x) = −6 + 5x

f) (3x4 − 2x3 + 4x − 7) ÷ (x + 3) R/ C(x) = −95 + 33x − 11x2 + 3x3 , R(x) = 278

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g) (3x4 + 4x3 − 5x2 + 3x + 1) ÷ (x + 2) R/ C(x) = 5 − x − 2x2 + 3x3 , R(x) = −9
h) (−2x4 + 3x2 − 5) ÷ (x − 3) R/ C(x) = −45 − 15x − 6x2 − 2x3 , R(x) = −140
i) (x5 + 4x4 − 5x + 1) ÷ (x + 1)
j) (x4 − 3x3 + 4x2 + 3x − 5) ÷ (x − 5) R/ C(x) = −8 + 3x − 3x2 + 3x3 + x4 , R(x) = 9
R/ C(x) = 73 + 14x + 2x2 + x3 , R(x) = 360

Factorizacio´n de polinomios

7. Factorice al m´aximo cada una de los siguientes polinomios, utilice para ello el m´etodo que mejor se
ajusta.

a) (2 − 4b + 5a)2 − (2b − 7a − 10)2 R/ −12(2 + 2a − b)(4 + a + b)
b) 4x7 − 6x6 − 4x3 + 6x2 R/ 2x2(−1 + x)(1 + x)(−3 + 2x)(1 + x2)
c) a5b2 + 6a4b − a2b5 − ab4
d) (x2 − 7x + 1)2 − (x2 + 5x − 3)2 R/ ab(6a3 + a4b − b3 − ab4)
e) 2x4 − 5x3 − 11x2 + 20x + 12 R/ −8(−1 + 3x)(−1 − x + x2)
f) (a3 − 125) − (a − 5)3 − 5a3(a − 5) R/ (−3 + x)(−2 + x)(2 + x)(1 + 2x)
g) 12nx3 + 10nx2 − 6nx − 4n
h) 3x3 − 12x − 2x2y + 8y R/ −5a(−5 + a)(−3 + a2)
i) (x − 1)3 − 8x3 R/ 2n(1 + x)(1 + 2x)(−2 + 3x)
j) 4x4 − 13x2 + 9
k) 12bx3 + 96b − 3ba10x3 − 24ba10 R/ (−2 + x)(2 + x)(3x − 2y)
l) −10x3 + 5x2 − 5(2x − 1)2 R/ −(1 + x)(1 − 4x + 7x2)
m) x4 + x3 − 8x2 − 9x − 9
n) 324a3 − 81ab2 − 12a3b3 + 3ab5 R/ (−1 + x)(1 + x)(−3 + 2x)(3 + 2x)
o) 2x4 + 4x2 − 2x3 − 16 − 8x R/ −3b(−2 + a5)(2 + a5)(2 + x)(4 − 2x + x2)
p) −2a10x3 + 50x3a2 − 50a2 + 2a10
R/ −5(−1 + 2x)(−1 + 2x + x2)
R/ (−3 + x)(3 + x)(1 + x + x2)
R/ −3a(2a − b)(−3 + b)(2a + b)(9 + 3b + b2)

R/ 2(−2 + x)(1 + x)(4 + x2)
R/ −2a2(−5 + a4)(5 + a4)(−1 + x)(1 + x + x2)

Fraciones algebraicas racionales

8. Simplifique al m´aximo cada una de las siguientes expresiones algebraicas racionales. q − 2t
R/ 2q − t
nq − 2nt − 2mt + mq
a) 2nq − nt − mt + 2mq 1
R/
b−3
b) (5b − 14)b − 3 1 + 5n

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4a2 − 1 1 + 2a
c) R/

8a3 − 1 1 + 2a + 4a2
n−3 1

d) (3n − 8)n − 3 R/
1 + 3n
a+2 1
e)
R/
(a + 1)(a + 2) + 3a + 6 4+a
y−2 1

f) y(2y − 4) + (y − 4) + 2 R/
1 + 2y

9. Efectu´e las operaciones indicadas en cada caso y simplifique si es posible.

a) a2 − 5a ÷ a2 + 6a − 55 · ax + 3a (−1 + b)b
b + b2 b2 − 1 ab2 + 11b2 R/

a2 + 1 a3 + a 4a + 8 3+x
b) ÷ · −3 + a
3a − 6 6a − 12 a − 3 R/
2a(2 + a)
c) (a + b)2 − c2 · (a + c)2 − b2 ÷ a + b + c a(a + b + c)
(a − b)2 − c2 a2 + ab − ac a2 R/ a − b − c

d) (a2 − ax)2 · 1 ÷ a3 − a2x · a2 − x2 1
a2 + x2 a3 + a2x a2 + 2ax + x2 a3 + ax2 R/

e) x2 − x − 12 · x2 − x − 56 ÷ x2 − 5x − 24 a
x2 − 49 x2 + x − 20 x+5 1
R/ x − 7
f) x4 − 27x · x2 + 20x + 100 ÷ x2 − 100 x−3
x2 + 7x − 30 x3 + 3x2 + 9x x − 3 R/ x − 10
m(4m + n)
g) m3 + 6m2n + 9mn2 · 4m2 − n2 ÷ m3 + 27n3 R/
2m2n + 7mn2 + 3n3 8m2 − 2mn − n2 16m2 + 8mn + n2 n(m2 − 3mn + 9n2)
3(a − 1)(a + 2)
h) a + 1 · 3a − 3 ÷ a2 + a R/
a − 1 2a + 2 a2 + a − 2 2a(a + 1)

i) a2 − 8a + 7 · a2 − 36 ÷ a2 − a − 42 R/ 1
a2 − 11a + 30 a2 − 1 a2 − 4a − 5
(a + 9)2(x − 9)
j) 64a2 − 81b2 · (x − 9)2 ÷ 8a2 + 9ab R/
x2 − 81 8a − 9b (a + 9)2
a(x + 9)

10. Efectu´e las operaciones indicadas en cada caso y simplifique si es posible.

a) 2 + 3 − 4x − 7 1
x − 3 x + 2 x2 − x − 6 R/ x − 3

x + y x + 2y y R/ 0
b) −−
xy xy + y2 x2 + xy 3a2 + 2a + 4
R/ a3 + 1
c) a3 1 + a2 a+3 1 − a − 1
a3 + −a+ a + 1 5
R/
d) a− 1 a + 12
+ 12
3a + 6 6a + 12 12a + 24

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a+3 a−1 a−4 3a2 − 3a + 10
e) + + R/

a2 − 1 2a + 2 4a − 4 4(a2 − 1)
2x2 + 27x − 5
3x + 2 5x + 1 4x − 1 R/ x3 + 2x2 − 13x + 10
f) x2 + 3x − 10 − x2 + 4x − 5 + x2 − 3x + 2
3
a−b a+b a R/
g) a2 + ab + −
ab ab + b2 a+b
3x2 + 2x − 1
2x + 1 x2 2x R/ 4(6x2 + x − 2)
h) 12x + 8 − 6x2 + x − 2 + 16x − 8

Racionalizacio´n

11. Racionalice el numerador o el denominador de cada expresio´n algebraica racional, simplifique de ser

necesario.

√ R/ 1√
x−2 2+ x

a) x − 4

b) √x + 4 √
x+4 R/ x + 4
R/ √ 1 √
√√
x− a a+ x

c) x − a

d) √ x − 7 √ √√
x−4− 3 R/ x − 4 + 3

√ √√
e) √ 2x + 1 −√3 R/ 2(√x − 2 + 2)

x−2− 2 2x + 1 + 3
√
f) √ x + 1
6x2 + 3 + 3x 6x2 + 3 − 3x
R/
√
3x−2 −3(x − 1)
g)
x−8 R/ √ + 1 + 4
√ 3 x2 √
3 10 − x − 2 23x
h)
−1
x−2 R/ √
√ 3 (10 − x)2 + 2 3 10 − x + 4
i) √x − 8 √
3x−4 R/ 3 x2 √+ √ + 16
√ 43x
j) √x + 1 − 1
3x+1−1 x+8
√
3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1
R/ √
x+1+1

3 4 x3y 3
k) R/

x3y2 x2y 4 xy3

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Ecuaciones Lineales, Cuadr´aticas y Polinomiales

12. Determine el conjunto solucio´n de cada una de las siguientes ecuaciones.

a) 2(x2 − 4x) − 2x2 + 12 = 0 3
R/ S =
b) 2x2 − (x − 1)2 = 5x
2
c) x(x2 − 1) + x2(x2 − 1) − 3(x2 − 1) = 0 √
3 ± 13
d) 3a4 − 7a3 + 5a2 − 7a + 2 = 0 R/ S =
e) (x2 − 1)2 + 17 = 9x2 2
f) x(x2 − 8)(x2 − 7x + 11) = x(x2 − 7x + 11)
√
g) 3x4 + 7x3 − 33x2 = 10 − 33x R/ S = −1, 1, −1 ± 13

h) 16 − 36x − x3 = 36x2 − 3x4 2
m+3 m−1 m−2
1
i) + = + 3 R/ S = , 2
22 3
3
5(x − 1)2 x √√
j) + = 25 R/ S = −3, 3, 2, − 2

42 √
k) 1 (7v − 54) + 9 = 1 (27 − v) R/ S = −3, 0, 3, 7 ± 5

10 2 2 2
l) 4x3 − 8x2 + 5x − 1 = 0
m) x4 − 2x3 − 7x2 − 2x − 8 = 0 R/ S = −5, 2 , 1
n) x5 + x3 − x2 − 1 = 0 R/ S = 3
n˜) 6x4 + 5x3 − 15x2 + 4 = 0
−2, 1 , 4
o) (x − 3)2 − (2x + 5)2 = −16 3

p) (4x − 1)(2x + 3) = (x + 3)(x − 1) R/ S = R/ S = {2}
q) (x + 1)2 − 5x = 2x2 + 1 √

4 ± 491
5

R/ S = {12}

1
R/ S = , 1

2
R/ S = {−2, 4}

R/ S = {1}

R/ S = −2, −1, 2 , 1
23

R/ S = −26 ,0

3

−8
R/ S = , 0

7

R/ S = {−3, 0}

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Ecuaciones y Par´ametros

13. Determine el valor o valores del par´ametro k para que la ecuacio´n cuadr´atica 4x2 − 5kx + 1 = 0
posea una u´nica solucio´n real.

14. ¿Cu´al debe ser el valor del par´ametro k para que x = −3 sea un cero del polinomo definido por
P (x) = (k + 1)2x2 + 7kx + 2x − 9?

15. Hallar el valor del par´ametro k para que la ecuacio´n x2 − kx + 4 = 0 tenga dos soluciones reales e
iguales.

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