ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

mathematics

ทฤษฎบี ท
พีทาโกรสั

ม.2

กล่มุ สาระคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาชนั้ ปี ท่ี 2

คำนำ

หนังสือเร่ืองทฤษฎีบทพีทาโกรัส ฉบับนเี้ ป็นส่วนหน่งึ ของวชิ าคณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 โดยมี
จดุ ประสงค์ เพ่อื การศึกษาความรู้ทไ่ี ด้จากเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรสั ทั้งนี้ ในรายงานนม้ี ีเนื้อหาประกอบดว้ ย
ความรู้เก่ียวกับทฤษฎีบทพที าโกรสั ตลอดจนการประยุกตใ์ ช้ในชีวิตประจำวัน

ผู้จดั ทำได้เลือกหวั ข้อน้ี เน่อื งมาจากเปน็ เรื่องที่น่าสนใจ รวมท้ังแสดงใหเ้ ห็นถงึ ผจู้ ดั ทำต้องขอขอบคุณอาจารย์
ผู้ให้ความรู้ และแนวทางการศกึ ษา หวงั วา่ รายงานฉบับนจ้ี ะให้ความรู้ และเป็นประโยชนแ์ ก่ผ้อู า่ นทกุ ๆ ท่าน
หากมขี ้อเสนอแนะประการใด ผจู้ ัดทำขอรับไวด้ ว้ ยความขอบพระคณุ ย่ิง

ผู้จดั ทำ
ชนิพนธ์ ทองปลูก

สารบญั

พีทาโกรัส ....................................................................................................................................................... 1
ความสมั พันธ์ของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก........................................................................................................ 1
ทมี่ าของสตู รพีทาโกรสั .................................................................................................................................. 2
ใบงานที่ 1.1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส.................................................................................................................. 5
ใบงานที่ 1.1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (เฉลย)..................................................................................................... 7

ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

ทฤษฎีบทพที าโกรัส คือ ทฤษฎีความสมั พันธข์ องรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ถือเปน็ พื้นฐานในการคำนวณ
ต่าง ๆ ที่มกี ารประยุกต์ออกไปอยา่ งกวา้ งขวาง ซึ่งจำเป็นสำหรบั การทำโจทยป์ ระยุกต์ต่อไป เพราะฉะนนั้ จึง
ควรต้ังใจศกึ ษาและทำโจทย์ตัวอย่างด้วยการใชส้ ตู รพีทาโกรสั เป็นประจำ

ภาพที่ 1 ความสมั พนั ธ์ตามทฤษฎีบทพที าโกรสั

จากรปู ผลรวมของพ้ืนทีข่ องสี่เหลยี่ มสนี ้ำเงนิ และสีแดง เทา่ กบั พ้ืนท่ีของสี่เหลย่ี มสีมว่ ง
ซงึ่ สามารถเขยี นทฤษฎใี หอ้ ยู่ในรปู สมการ a2 + b2= c2

โดยที่ a และ b เปน็ ความยาวด้านประชดิ มุมฉากทงั้ สองของสามเหลย่ี มมมุ ฉาก
c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

ความสมั พนั ธ์ของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก

ความสัมพันธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ นทั้งสามของรูป
สามเหลย่ี มมมุ ฉากข้างตน้ เปน็ ไปตามสมบัติของรูปสามเหลีย่ มมมุ
ฉากที่กลา่ วว่า

ภาพที่ 2 รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก “สำหรบั รปู สามเหล่ียมมมุ ฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของ
ด้านตรงขา้ มมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาว
ของดา้ นประกอบมุมฉาก”

1

ซ่ึงสมบัติขา้ งต้นนเ้ี รยี กว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และเช่ือวา่ นักคณิตศาสตรช์ าวกรีกช่อื พีทาโกรัสเปน็ ผู้พิสูจน์ได้
เป็นคนแรก นัน่ คือ รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก ABC ใด ๆ ทีม่ ี B เปน็ มุมฉาก ถ้ากำหนดให้ b แทนความยาวของ
ดา้ นตรงข้ามมุมฉาก a และ c แทนความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก ดงั ตัวอยา่ ง

ตวั อยา่ งรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก

ทม่ี าของสูตรพที าโกรัส

ทฤษฎีบทของพที าโกรัส กล่าวไวว้ า่
แบบที่ 1 ในรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากใดๆ ความยาวกำลังสองของด้านตรงข้ามมมุ ฉากมีคา่ เท่ากับผลบวก

ของความยาวกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากทัง้ สองด้าน หรอื พจิ ารณาจากพ้นื ท่รี ูปสี่เหล่ียมจตั ุรสั ตาม
แบบที่ 2 คือ

แบบท่ี 2 ในรูปสี่เหล่ียมมุมฉากใดๆ พื้นทีข่ องรูปสเี่ หลยี่ มจตั ุรสั บนด้านตรงขา้ มมุมฉากมีค่าเท่ากบั
ผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสบนดา้ นประกอบมุมฉากสองดา้ น ดังรปู ประกอบ

2

จากรปู จะสงั เกตว่า พน้ื ท่ีของส่ีเหลี่ยมจัตรุ ัสสีแดง(ด้านตรงขา้ มมุมฉาก) จะเท่ากับ ผลรวมของพนื้ ที่
ของส่เี หลี่ยมจัตรุ ัสสีน้ำเงนิ (ดา้ นประกอบมมุ ฉาก)

ภาพแสดงความสัมพนั ธ์ของพ้ืนท่ีรปู ส่เี หลี่ยมจตั รุ ัส ท้ังสามรูป คือพนื้ ที่ของรปู สเ่ี หลยี่ มจตั ุรัสบนดา้ น
c เท่ากับ 25 ตารางหนว่ ย พน้ื ท่ีของรปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั บนดา้ น a และ b เทา่ กบั 16 และ 9 ตารางหน่วย
ตามลำดบั ซง่ึ จะเหน็ วา่

9 + 16 = 25
32 + 42 = 52
น่นั คอื a2 + b2 = c2
จากทฤษฎีบท ทั้ง 2 แบบ จะได้ความสมั พันธร์ ะหว่างความยาวของด้านทง้ั สามของรูปสามเหลี่ยม
สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ดังน้ี

c2 = a2 + b 2

3

ตัวอย่าง

ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มรปู หน่ึง มมี ุม C เปน็ มุมฉาก ด้าน AC ยาว 3 เซนติเมตร ดา้ น BC ยาว 4
เซนตเิ มตร ดา้ น AB ยาวเทา่ ไร

วิธีทำ จากสูตร AB2 = BC2 + AC2
= 42+ 32
= 16 + 9
= 25

AB = 5 เซนตเิ มตร
ดงั น้นั ความยาวดา้ น AB เทา่ กับ 5 เซนตเิ มตร

ตัวอย่าง

จงหาความยาวของ x มีค่าเท่าไร

วธิ ที ำ จากความสำพันธ์ c2 = a2 + b 2
102 = x2 + 62
100 = x2 + 36
x2 = 100 - 36
x2 = 64
x =8

ดังนั้น ความยาวของ x เทา่ กับ 8 หน่วย

4

ช่ือ..................................................................ชนั้ .............เลขท่.ี ............

ใบงานที่ 1.1 ทฤษฎบี ทพที าโกรัส

1. . จากรปู จงหาความยาวของด้านทเี่ หลือของรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกําหนดความยาวของด้านอกี สองด้าน
ของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากให้

(1) จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ท่ีกาํ หนดให้ (2) จากรูปสามเหล่ียมมุมฉาก PQR ท่ีกําหนดให้
จงหาคา่ c จงหาคา่ c

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

(3) จากรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก XYZ ท่กี ําหนดให้ (4) จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก SUN ทก่ี าํ หนดให้
จงหาคา่ จงหาคา่ b

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

ขอใหน้ กั เรียน 5
โชคดี

ช่ือ..................................................................ชน้ั .............เลขท่.ี ............

2. จงแสดงวธิ ีทำในแตล่ ะขอ้ ให้ถกู ต้อง

(1) จากรปู ∆ABC มีด้าน AB ยาว 10 เซนตเิ มตร ด้านBC ยาว 20 เซนตเิ มตร และ AD เป็นความสงู ของ
∆ABC ซง่ึ ยาว 8 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน AC

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

(2) จงหาพ้นื ทข่ี องรปู สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านหนงึ่ ยาว 7 เซนติเมตร และด้านตรงขา้ มมุมฉากยาว 25
เซนติเมตร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

(5) เสาต้นหนึ่ง ตั้งตรงอยู่ด้วยเสาข้างสองตน้ ซ่งึ มนี ็อตยึดตดิ อยู่ 2 ตัว โดยน็อตตัวบนอยู่สูงจากพนื้ ดิน 9 ฟตุ
นายสาํ ราญต้องการทาสเี สาธง เขาจึงถอดน็อตตวั ล่างแล้วหมนุ เสาธง จนกระท่ังยอดเสาธงแตะพื้นดังรปู โดย
ยอดเสาธงห่างจากโคนเสา 12 ฟตุ จงหาว่าเสาธงต้นนีเ้ ม่ือต้งั ตรง ยอดเสาธงจะห่างจากพนื้ ดนิ เท่าไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

6

ช่ือ..................................................................ชนั้ .............เลขท่.ี ............

ใบงานท่ี 1.1 ทฤษฎบี ทพที าโกรสั (เฉลย)

1. . จากรปู จงหาความยาวของด้านที่เหลือของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก เม่ือกาํ หนดความยาวของด้านอีกสองด้าน
ของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากให้

(1) จากรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ABC ท่ีกําหนดให้ (2) จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก PQR ท่ีกําหนดให้
จงหาคา่ c จงหาคา่ c

วธิ ีทำ จากสตู ร c2 = a2 + b2 วิธที ำ จากสตู ร c2 = a2 + b2
c2 = 52 + 122 c2 = 0.92 + 1.22
c2 = 25 + 144 c2 = 0.81 + 1.44
c2 = 169 c2 = 2.25
c = 13 c = 1.5

(3) จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก XYZ ทก่ี าํ หนดให้ (4) จากรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก SUN ทีก่ าํ หนดให้
จงหาคา่ จงหาคา่ b

วิธที ำ จากสูตร c2 = a2 + b2 วธิ ที ำ จากสตู ร c2 = a2 + b2
12 = a2 + 0.62 372 = 352 + b2
a2 = 1 - 0.36 b2 = 1,369 - 1,225
a2 = 0.64 c2 = 144
a = 0.8 c = 12

ขอใหน้ ักเรยี น 7
โชคดี

ช่ือ..................................................................ชน้ั .............เลขท่.ี ............

2. จงแสดงวิธที ำในแตล่ ะขอ้ ให้ถกู ต้อง

(1) จากรูป ∆ABC มีด้าน AB ยาว 10 เซนติเมตร ด้านBC ยาว 20 เซนติเมตร และ AD เป็นความสูงของ
∆ABC ซ่งึ ยาว 8 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของด้าน AC

วิธีทำ จากสตู ร c2 = a2 + b2 หาดา้ น AC วธิ ที ำ จากสูตร c2 = a2 + b2
102 = BD2 + 82 c2 = 82 + 142
100 = BD2 + 64 c2 = 64 + 196
BD2 = 36 c2 = 260
BD = 6 c = √260

ดา้ น BC - ดา้ น BD = 20 – 6 = 14

ดงั นน้ั ดา้ น AC ยาว √260

(2) จงหาพนื้ ทีข่ องรปู สามเหล่ียมมุมฉากท่ีมีด้านหนงึ่ ยาว 7 ซม. และดา้ นตรงขา้ มมุมฉากยาว 25 ซม.

วธิ ที ำ จากสตู ร c2 = a2 + b2 สตู ร = 1 x ผลคูณของด้านประกอบมุมฉาก
252 = a2 + 72
a2 = 625 - 49 2
a2 = 576
= 1 x (7x24)

2

= 1 x 168

2

= 84 เซนตเิ มตร

a = 24 ดงั นัน้ พนื้ ที่ของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก = 84 เซนตเิ มตร

(5) เสาต้นหนึ่ง ตง้ั ตรงอยู่ดว้ ยเสาข้างสองตน้ ซง่ึ มีน็อตยดึ ติดอยู่ 2 ตัว โดยน็อตตวั บนอยู่สูงจากพน้ื ดนิ 9 ฟตุ
นายสําราญต้องการทาสเี สาธง เขาจึงถอดน็อตตวั ล่างแล้วหมุนเสาธง จนกระทั่งยอดเสาธงแตะพืน้ ดงั รปู โดย
ยอดเสาธงห่างจากโคนเสา 12 ฟตุ จงหาว่าเสาธงต้นนี้เม่ือตง้ั ตรง ยอดเสาธงจะห่างจากพน้ื ดินเท่าไร

วธิ ที ำ จากสตู ร c2 = a2 + b2
c2 = 92 + 122
c2 = 81 + 144
c2 = 225
c = 15

ดังนั้น ยอดเสาธงจะห่างจากพืน้ ดนิ 15 ฟุต

8