เอกสารประกอบบทที่ 4

เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น

รายวิชา ว 31202 ฟิสิกส์ 2

ส ม ดุ ล ก ล

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

ชื่ อ สกุล- ..........................................................................
ชั้นม.4/............ เลขที่...........

โ ร ง เ รี ย น เ บ ญ จ ม ร า ชู ทิ ศ จั ง ห วั ด ปั ต ต า นี

ส อ น โ ด ย ค รู นิ ปั ท ม า นิ เ ฮ ง

บทท่ี 4 สมดุลกล 1

บทที่ 4 สมดุลกล

1 สภาพสมดุลกล (equilibrium)

คือ สภาพที่วัตถุสามารถรักษาสภาวะคงเดิมไว้ได้ เช่น หนังสือวางบนโต๊ะ รถวิ่งด้วยความเร็วคงที่ ล้อหมุน
ดว้ ยความเรว็ เชิงมมุ คงท่ี เปน็ ต้น

ประเภทของสมดลุ

1. วตั ถุทอ่ี ยู่ในสมดุลสถิต (static equilibrium)
คอื วตั ถทุ ่ีอยู่น่ิงและไมม่ ีการหมนุ
2. วัตถทุ อ่ี ยูใ่ นสมดุลจลน์ (dynamic equilibrium)
คือ วตั ถทุ ี่มีการเคลอ่ื นทดี่ ้วยความเร็วคงตัว หรอื มีการหมุนดว้ ยอัตราเรว็ คงตัว

เงอื่ นไขของสมดุล

1. วตั ถุท่อี ย่ใู นสมดุลตอ่ การเลื่อนท่ี (translational equilibrium)
คือ วัตถุทีห่ ยุดน่งิ หรอื มกี ารเคล่อื นทีด่ ้วยความเรว็ คงตวั
2. วัตถุทอี่ ยใู่ นสมดลุ ตอ่ การหมุน (rotational equilibrium)
คือ วตั ถทุ ี่ไมม่ กี ารหมุนหรือหมุนดว้ ยอัตราเรว็ คงตวั

ตัวอย่างท่ี 1 ระบบในขอ้ ใดต่อไปนอ้ี ยูใ่ นภาวะสมดุล

กข

คง

หน้า 1 สอนโดย ครูนปิ ทั มา นเิ ฮง

บทที่ 4 สมดลุ กล 2

ตวั อย่างที่ 2 จากข้อมูลในรูปด้านล่างน้ี ระบบอยู่ในภาวะสมดุลหรอื ไม่
ก. สมดลุ
ข. ไม่สมดุล
ค. เปน็ ไปไม่ได้ทงั้ สองกรณี
ง. ขอ้ มลู ไมเ่ พยี งพอท่จี ะหาคำตอบ

คำถามชวนคิด

1. การยนื นิ่งโดยมือขา้ งหนึ่งถือกระเปา๋ เป็นการอยู่ในสมดุลหรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. ใหน้ ักเรียนยกตวั อยา่ งวัตถุท่ีอย่ใู นสมดุลต่อการเลือ่ นที่มา 2 ตวั อย่าง

...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
3. ใหน้ ักเรียนยกตัวอยา่ งวตั ถุทอี่ ยูใ่ นสมดลุ ต่อการหมุนมา 2 ตัวอย่าง
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

4. นักกรฑี าท่กี ำลงั วงิ่ แขง่ 100 เมตร อยู่ในสมดลุ กลหรือไม่ เพราะเหตใุ ด
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

5. เป็นไปไดห้ รอื ไม่ ท่ีวัตถุหน่ึงจะอยู่ในสมดลุ จลน์และสมดลุ ต่อการเล่อื นท่ีพร้อมกัน
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
6. นกั เรียนคิดวา่ ทำไมหอเอนเมืองปิซา ประเทศอติ าลี ยังคงต้งั ตระหง่านได้ ท้ังทตี่ วั อาคารมกี ารเอียง?
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 2 สอนโดย ครูนิปทั มา นิเฮง

บทที่ 4 สมดลุ กล 3

2 ศูนย์กลางมวลและศูนย์ถ่วง
ศูนย์กลางมวล (center of mass, CM) คือ จุดที่เปรียบเสมือนเป็นจุดรวมมวลของวัตถุทั้งก้อน
ซ่ึงอย่ปู ระจำท่แี นน่ อนและไมข่ ้ึนกับสถานท่ีและอาจไม่อยภู่ ายในเนื้อของวตั ถุ เชน่ ศนู ย์กลางมวลของวงแหวน

ศนู ยถ์ ่วง (center of gravity, CG) คอื จดุ ทแ่ี รงโน้มถ่วงของโลกกระทำต่อวตั ถุ

วัตถุในรูป A วางอยู่ในลักษณะสมดุลเพราะแนวของ CG ที่ตั้งดิ่งลงสู่พื้นโลก อยู่ในกรอบฐาน
ถา้ โยกวัตถรุ ูป A ใหอ้ ยู่ในตำแหนง่ B มแี นวของจดุ ศนู ยถ์ ่วง CG ยังอยใู่ นฐาน วัตถจุ ะกลับมาตำแหนง่ เดมิ ตามรูป A
ถา้ โยกวัตถุรปู A ให้อย่ใู นตำแหนง่ C มแี นวจดุ ศูนย์ถว่ ง CG เลยออกจากฐานวัตถุจะลม้

หน้า 3 สอนโดย ครูนปิ ัทมา นเิ ฮง

บทที่ 4 สมดลุ กล 4

คำถามชวนคิด

1. วตั ถมุ วลสม่ำเสมอวางบนพ้ืนโลก ศนู ย์ถ่วงกบั ศนู ย์กลางมวลจะเป็นตำแหน่งเดยี วกันหรอื ไม่
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. แขวนวัตถุทรงกระบอกที่ปลายเชือกด้านหนึ่ง ปลายเชือกอีกปลายหนึ่งแขวนไว้กับเพดานจะต้องแขวนวัตถุ
ทรงกระบอกที่ปลายเชือกอยา่ งไร ใหว้ ัตถุนัน้ วางตวั ในระดับพอดี
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

3. ศูนยก์ ลางมวลและศูนย์ถ่วงของวัตถุหน่งึ บนผิวโลกอย่ทู ่ีตำแหน่งเดียวกัน ถ้าวตั ถุน้ีอยู่บนดวงจันทร์ ศูนย์กลางมวล
และศูนย์ถว่ งของวัตถกุ ้อนน้จี ะเปลยี่ นแปลงหรอื ไม่ อย่างไร
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

4. ยกตัวอยา่ งวัตถุท่ีศูนย์ถ่วงอยู่ภายนอกเน้ือวตั ถุมา 2 ตัวอยา่ ง
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

ศนู ย์กลางมวล (center of mass, CM) สามารถหาได้จาก CM = (x,̅ y)̅

เมอ่ื x̅= m1x1+m2x2+m3x3+ ……

m1+m2+m3+ ….
m1y1+m2y2+m3y3+ ……
และ y̅= m1+m2+m3+ ….

ศนู ย์ถ่วง (center of gravity, CG) สามารถหาไดจ้ าก CG = (x,̅ y)̅

เม่อื x̅ = W1x1+W2x2+W3x3+ ……
W1+W2+W3+ ….
และ y̅ = W1y1+W2y2+W3y3+ ……
W1+W2+W3+ ….

หนา้ 4 สอนโดย ครนู ปิ ทั มา นเิ ฮง

บทที่ 4 สมดลุ กล 5

ตัวอย่างที่ 1 แผ่นพลาสติกบางเบารปู สี่เหล่ยี มจตั ุรสั มีความยาวดา้ นละ 20 เซนตเิ มตร มีมวล 1 , 2 , 3
และ 4 กิโลกรัม ตดิ อยู่ทมี่ ุมทั้งสด่ี า้ น จงหาจดุ ศูนย์กลางมวลของระบบน้ี

Y 3 kg
2 kg

4 kg
1 kg X

วธิ ที ำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หน้า 5 สอนโดย ครนู ิปทั มา นเิ ฮง

3 สมดลุ ต่อการเลอ่ื นที่ บทที่ 4 สมดุลกล 6
1. วาดแรงท่ีกระทำต่อวัตถุ และพจิ ารณาแกน x,y
2. แรงเสียดทาน

สมดลุ ของแรง 2 แรง
วัตถุท่ีสมดลุ ภายใตแ้ รง 2 แรง เช่น หนังสอื วางนงิ่ บนโต๊ะ, วัถแุ ขวนดว้ ยเชือกในแนวด่งิ เป็นต้น
วตั ถุจะสมดุลภายใต้แรง 2 แรง เมื่อ

1. แรงทง้ั สองต้องมขี นาดเทา่ กัน แตม่ ีทิศตรงข้ามกัน
2. แรงทัง้ สองตอ้ งอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกนั (ผา่ นจดุ เดยี วกัน)
3. แรงทั้งสองอยู่บนระนาบเดียวกัน

หนังสือวางน่งิ อยู่บนโต๊ะ

หน้า 6 สอนโดย ครนู ปิ ัทมา นเิ ฮง

บทท่ี 4 สมดุลกล 7

สมดุลของแรง 3 แรง
เมือ่ มแี รง 3 แรง กระทำกบั วตั ถแุ ล้ววัตถอุ ยใู่ นสภาวะสมดุล แนวแรงทง้ั สามเป็นไปได้ 2 กรณี คือ
กรณที ่ี 1 แนวแรงทัง้ สามขนานกัน วัตถจุ ะสมดุล เมือ่

1. ผลบวกของแรงคูใ่ ดคหู่ นงึ่ ตอ้ งมขี นาดเทา่ กบั แรงท่ีสาม แต่มีทิศทางตรงข้าม
2. แรงท้ังสามอยู่บนระนาบเดยี วกนั
3. แรงสองแรงอยูใ่ นทิศเดียวกัน โดยมแี รงท่มี ีทิศตรงขา้ มอยู่ระหวา่ งแรงท้งั สอง

แรงท่กี ระทำกบั คาน

กรณีที่ 2 แนวแรงทง้ั สามไมข่ นานกัน วตั ถุจะสมดลุ เมือ่

1. ผลบวกของแรงคู่ใดคูห่ นึ่งตอ้ งมีขนาดเท่ากบั แรงที่สาม แต่มีทศิ ทางตรงข้าม
2. แรงทง้ั สามอยบู่ นระนาบเดียวกัน
3. แรงทัง้ สามต้องผ่านจุดเดยี วกัน

แรงดงึ เชือกท่ีกระทำกบั วตั ถุ แรงปฏกิ ริ ิยาทผี่ วิ สัมผัสกระทำกบั วตั ถุ

ตารางเปรียบเทยี บสมดุลของแรง

จำนวนแรง ผ่านจดุ เดยี วกัน ระนาบเดียวกนั แรงลพั ธ์
2 แรง
3 แรง

มากกว่า 3 แรง

หนา้ 7 สอนโดย ครูนิปัทมา นิเฮง

บทที่ 4 สมดลุ กล 8

เพ่มิ เติม
ทฤษฎีของลามี
ทฤษฎขี องลามีกล่าววา่ ถา้ มีแรงสามแรงกระทำรว่ มกันท่จี ุดเดียวกันและทำให้อยใู่ นภาวะสมดุล จะได้วา่ อัตราสว่ นระหวา่ ง
แรงต่อค่าไซน์ของมมุ ท่อี ยู่ตรงข้ามกับแรงนั้นมีค่าเทา่ กัน

คำถามชวนคดิ
1. วตั ถุท่ีอยูใ่ นสมดลุ ต่อการเล่อื นทแ่ี ละอยู่นิ่ง มีเงือ่ นไขอะไรบ้าง
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
2. ปล่อยให้วัตถตุ กอย่างอิสระ ถ้าไม่คดิ แรงต้านอากาศท่ีกระทำต่อวตั ถุ วัตถุน้ีสมดุลต่อการเล่อื นที่หรอื ไม่ อธิบาย
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
3. วางไมค้ านสม่ำเสมอพงิ กำแพงลื่น ปลายอีกข้างหนง่ึ วางบนพ้นื ลน่ื เชน่ กนั ในกรณนี ี้คานจะสมดลุ ตอ่ การเลอ่ื นที่
หรือไม่ เพราะเหตุใด
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
4. จงใหเ้ หตุผลวา่ เมอื่ มมี วลแขวนทจ่ี ุดกง่ึ กลางของเส้นเชอื กทขี่ ึงไวใ้ นแนวระดับทำไมเราจึงไม่สามารถทำให้เชือกเป็น
เส้นตรงโดยไม่หย่อนเลย
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 8 สอนโดย ครูนปิ ัทมา นิเฮง

บทที่ 4 สมดลุ กล 9

ตัวอย่างที่ 1 เด็กคนหนึ่งออกแรง 100 นิวตัน ลากกล่องให้เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอไปตามแนวระดับ โดยแนวของ
แรงดงึ ทำมุม 30 องศา กบั แนวระดับ จงหาแรงเสยี ดทานที่พนื้ กระทำตอ่ กลอ่ ง
วิธีทำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

ตวั อย่างที่ 2 วัตถุหนัก 50 นิวตนั วางอยนู่ ง่ิ บนพื้นเอยี งซง่ึ เอยี งทำมุม 30 องศา กับแนวระดบั จงหาแรงที่พ้ืน
เอียงดันวตั ถุในแนวตัง้ ฉาก และแรงเสยี ดทานท่เี กิดขึ้นระหว่างพน้ื เอียงกบั วัตถุ
วธิ ีทำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หน้า 9 สอนโดย ครนู ิปทั มา นิเฮง

บทท่ี 4 สมดลุ กล 10

ตวั อย่างที่ 3 ใช้เชอื กผกู วัตถุหนัก 4 นิวตนั แล้วนำไปแขวนให้วตั ถหุ ้อยอยใู่ นแนวดิง่ พบว่าถา้ ใชแ้ รงในแนวระดบั
ขนาด 3 นิวตัน ดงึ วัตถแุ ล้วทำใหว้ ัตถุอยู่นงิ่ ดงั รปู จงหาแรงดงึ ในเส้นเชอื กและมุมทแ่ี นวเส้นเชอื กทำกับแนวดงิ่
กำหนดให้ sin 370 = 3/5 , cos 370 = 4/5
ว..ิธ..ีท..ำ.............................................................................................................................θ...........T.................................
...............................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................F..............
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................W.......................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

ตัวอยา่ งที่ 4 วตั ถุหนัก W แขวนไว้ดว้ ยเชอื กดงั รูป ถ้าแรงดงึ ในเส้นเชอื กตามแนวระดับเปน็ 30 นวิ ตัน จงหา
น้ำหนัก W
วธิ ีทำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หน้า 10 สอนโดย ครนู ิปัทมา นเิ ฮง

บทที่ 4 สมดุลกล 11

แบบฝกึ ทกั ษะ เร่อื ง สมดลุ ต่อการเลอ่ื นท่ี

คำชีแ้ จง ให้นักเรียนแสดงวิธีทำให้ถูกต้อง

1. วัตถหุ นัก 40 นิวตัน ผูกด้วยเชือกเบายาว 100 เซนตเิ มตร แล้วนำไปแขวนห้อยอยู่ในแนวดิง่ ถ้าใชแ้ รงดึง F ใน

แนวระดับดึงให้วตั ถุสูงจากตำแหนง่ เดิมเป็นระยะ 20 เซนติเมตร ดงั รปู จงหาแรง F

วิธที ำ
...............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................1..0....0..........c...m.............................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................2....0..........c...m...................................F............
...............................................................................................................................................................4..0.....N.........
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. โคมไฟจราจรมวล m แขวนไวน้ ง่ิ กลางถนนด้วยลวดสามเส้น ดงั รปู จงหาแรงดึงในเส้นลวด เมื่อ มวลของโคมไฟ

จราจร 5 กิโลกรมั AC

.ว.ิธ..ีท..ำ.....................................................................................................................θ..1.....................................θ..2...........

.......................................................................................................................4.....m......................................3.....m........
...............................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................B....................................
...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................m........................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

หน้า 11 สอนโดย ครนู ิปัทมา นิเฮง

บทท่ี 4 สมดุลกล 12

3. มวล 20 กโิ ลกรมั แขวนดว้ ยเชือก 2 เส้น ทำมุมกับเพดานดังรปู ข้างลา่ งจงหาแรงตึงเชือกของ T1 และ T2
วธิ ที ำ
....................................................................................................................................3..0.๐..............................6..0.๐.......
...............................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................T..2...................................T..1....
................................................................................................................................................................O...............
............................................................................................................................................................2.0..................
............................................................................................................................................................k.g..................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

4. จากรูปวัตถุ A มมี วล 10 กโิ ลกรัม วางอยบู่ นพน้ื เอียงลืน่ อยากทราบว่ามวล B จะมีค่าเท่าไร มวล A จึงอย่นู ่ิง
ได้
วิธีทำ
...............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................B.
..............................................................................................................................................3.0..๐..............................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หน้า 12 สอนโดย ครนู ปิ ทั มา นิเฮง

บทที่ 4 สมดุลกล 13

4 สมดลุ ต่อการหมุน

สมดุลต่อการหมุน คือ การที่วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวหรือความเร็วเชิงมุมคงตัว โดยที่ความเร็วเชิงมุม
เปน็ การหมุนของวตั ถุรอบแกนทค่ี งทีไ่ มม่ คี วามเรง่ หรือ โมเมนตข์ องแรงที่กระทำตอ่ วัตถุมีค่าเปน็ ศูนย์
โมเมนต์ของแรงหรือทอร์ก ( ⃑ ) เมอื่ มีแรงกระทำตอ่ วัตถทุ อ่ี ยู่นงิ่ โดยไม่ผ่านศนู ยก์ ลางมวล วัตถุจะหมนุ รอบศนู ย์กลาง
ของมวลแต่หากวัตถุถูกยึดติดกับแกนหมุน วัตถุนั้น ๆ ก็จะหมุนรอบแกนหมุน โดยการหมุนของวัตถุจะขึ้นอยู่กับ
โมเมนตข์ องแรงหรือทอร์ก

โดยนิยามมีสมการเวกเตอร์ของทอร์ก คอื

⃑ = ⃑r×⃑F

จากการเคล่อื นที่แบบหมุนขนาดของทอร์กหรือขนาดของโมเมนต์

M ของแรง ⃑F จะเทา่ กับ

M = Frsinθ = Fd

d เป็นระยะทางจากจุดหมุนไปต้ังฉากกับแนวของแรง ⃑F จากรูป
ทศิ ทางของทอรก์ มที ิศทางพ่งุ ออกตง้ั ฉากกบั ระนาบของการหมุ
โดยวัตถจุ ะหมุนในทิศทวนเขม็ นาฬกิ า
ดังนั้น ขนาดของทอรก์ มีค่าเท่ากบั ผลคณู ระหว่างขนาดของแรงกับระยะทางจากจุดหมุนไปตงั้ ฉากกบั แนว
แรง มีหนว่ ย นิวตนั เมตร
เม่ือวัตถุอยใู่ นสภาพสมดลุ สถิต คอื ไม่หมนุ ผลรวมโมเมนต์ของแรงต้องเป็นศนู ย์

∑ni=1 Mi =0

หรอื อาจถือเปน็ หลักได้ว่า ผลรวมของโมเมนต์ทวนเขม็ นาฬิกา = ผลรวมของโมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา
d1
เชน่ ในกรณที ี่มนี ำ้ หนัก W1 W2 และ W3 แขวนกับไม้เมตร
W1
d3 และไม้เมตรอยูใ่ นสมดุลได้ คืออยู่น่งิ ในแนวระดบั ได้
d2
ดงั รปู (ไม่คิดน้ำหนกั ของไม้เมตร) จะเกิดโมเมนต์ของแรง
ทั้งสามกระทำตอ่ ไมเ้ มตร จากโมเมนตท์ วนเขม็ นาฬิกา

W2 W3 เท่ากบั โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกาจะได้ W
W1d1 = W2d2 + W3d3

เมือ่ ไมเ้ มตรสมดลุ ต่อการหมุน W1d1 - W2d2 - W3d3 = 0 1
ผลรวมของโมเมนตท์ วนเขม็ นาฬกิ า = ผลรวมของโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา
หน้า 13 d

1

=

สอนโดย ครูนปิ ทั มา นิเWฮง

2

d

บทที่ 4 สมดลุ กล 14

ตวั อยา่ งที่ 1 คานเบายาว 3L มีเชอื กผกู หา่ งจากปลายด้านซ้ายเปน็ ระยะ L และมีวตั ถุ 4 กอ้ น ท่ีมนี ำ้ หนักต่างกัน
แขวนที่ตำแหน่งตา่ ง ๆ ทำให้ไมค้ านวางตัวในแนวระดบั ดังรูป วตั ถุ x มีนำ้ หนกั เท่าใด
วิธที ำ
........................................................................................................................................................................................................................L..................................................L..........................................L..........................................
...............................................................................................................................................................................
....................................................................................................2.5...................5......................5.....................x............
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
........................................................................................................................ ......................................................

ตัวอย่างท่ี 2 แท่งไม้เบายาว 2.0 เมตร มีเชือก 2 เส้นผูกไวแ้ ละมีน้ำหนักแขวนไวท้ ่ีตำแหน่งตา่ ง ๆ ทำใหแ้ ทง่ ไม้
วางตวั ในแนวระดบั ดังรปู แรงตงึ เชอื ก T1 เปน็ กี่เท่าของ T2

0.5 m 0.5 m

1m 30 N 20 N
50 N

วิธที ำ

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

หนา้ 14 สอนโดย ครูนปิ ทั มา นิเฮง

บทท่ี 4 สมดลุ กล 15

โมเมนตข์ องแรงคู่ควบ เมื่อมีแรงคคู่ วบกระทำต่อวตั ถุ วัตถจุ ะเกิดการหมนุ โดยแรงคู่ควบ คือ แรงทีม่ ีขนาดเทา่ กัน 2
แรงท่ีกระทำตอ่ วตั ถุ โดยขนานกันและมีทิศทางตรงกนั ขา้ ม

พจิ ารณาจากรูป จะได้วา่ โมเมนตข์ องแรงคู่ควบ ⃑F⃑1 และ F⃑⃑2 รอบแกนหมุน O เปน็ โมเมนตต์ ามเข็ม
นาฬกิ า และเนื่องจากขนาดของแรงคู่ควบเทา่ กนั

ดงั นัน้ ถา้ ให้ F เปน็ ขนาดของแรงคคู่ วบแตล่ ะแรง จะหาผลของโมเมนต์ของแรงคู่ควบไดเ้ ปน็

F1l1+F2l2 = F1l1+F2l2
= F(l1+ l2)

ดงั น้ัน F1l1+F2l2 = Fl
ดังน้นั Mc = Fl

เมือ่ Mc เป็นโมเมนต์ของแรงคู่ควบ
F เปน็ ขนาดของแรงคู่ควบ
l เปน็ ระยะทางตัง้ ฉากระหว่างแนวแรงท้งั สอง

ในการหาโมเมนต์ของแรงรอบแกนหมุนอ่ืน เช่น A หรอื B ดังแสดงในรูป ผลรวมของโมเมนตข์ องแรงรอบแกนหมุน
ใด ๆ ก็ตามค่าทไ่ี ดจ้ ะคงเดิมและมที ิศหมุนตามเขม็ นาฬิกาเช่นเดิม

ดังนั้นสรุปได้ว่า โมเมนต์ของแรงคู่ควบใด ๆ มีขนาดเท่ากับผลคูณของขนาดของแรงใดแรงหนึ่งกับระยะทาง
ตั้งฉากระหว่างแนวแรงทั้งสอง ซึ่งจะหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือจะหมุนทวนเข็มนาฬิกา ขึ้นอยู่กับทิศของแรงคู่ควบนั้น
และแรงคู่ควบเป็นแรงที่ทำให้วัตถุไม่สมดุลต่อการหมุนแต่สมดุลต่อการเลื่อนที่ เนื่องจากแรงลัพธ์ของแรงคู่ควบจะเป็น
ศูนย์ เพราะแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แรงคุ่ควบจึงจะไม่มีผลในการเลื่อนที่ของวัตถุแต่จะ
มผี ลเฉพาะทำให้เกิดการหมนุ อยา่ งเดียว

ทบทวนความเข้าใจ
โมเมนตข์ องแรงและโมเมนต์ของแรงคู่ควบต่างกนั หรอื ไม่อยา่ งไร ?
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................

หนา้ 15 สอนโดย ครูนปิ ทั มา นิเฮง

บทที่ 4 สมดุลกล 16

ตัวอย่างท่ี 1 กรอบไม้เบารูปสี่เหล่ียมผนื ผ้า ABCD ด้าน AB ยาว 40 เซนติเมตร ด้าน BC ยาว 30 เซนติเมตร
มีแรงกระทำ 4 แรงดังรปู โมเมนต์รวมทก่ี ระทำตอ่ กรอบไม้ มขี นาดเทา่ ใดและเป็นชนิดใด

20 N

30 N 30 N
30 cm

วิธีทำ 40 cm 20 N
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

ตวั อย่างท่ี 2 ถงั รปู ทรงกระบอกเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง 20 เซนตเิ มตร สูง 40 เซนตเิ มตร หนัก 120 นวิ ตนั วางบน
พื้นราบ ใช้แรง 36 นิวตัน กระทำในแนวระดับ ทำให้ถังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว โดยไม่ล้ม แรงที่ใช้ต้องอยู่สูง
จากพื้นไมเ่ กินเทา่ ใด
วธิ ีทำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 16 สอนโดย ครูนิปัทมา นิเฮง

บทที่ 4 สมดุลกล 17

แบบฝึกทกั ษะ เรอื่ ง สมดุลตอ่ การหมุน

คำชี้แจง ให้นักเรยี นแสดงวิธีทำใหถ้ กู ต้อง

1. กำหนดให้คานเบายาว 0.6 เมตร มีเชือกแขวนอยู่ที่กึ่งกลางคาน ปลาย A มีมวล 10 กิโลกรัมแขวนอยู่ จะต้อง

แขวนมวล 15 กิโลกรัม บนคานที่ปลายอีกด้านหนึ่งห่างจากจุดหมุนเท่าใด คานจึงจะอยู่ในสมดุลในแนวระดับ (ให้

คิดจุดหมุนท่ี C, A และ B ตามลำดับ)

วธิ ีทำ A C B
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................1.0................................................................
......................................................................................................................................................................1.5........
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. บันไดขนาดสม่ำเสมอว่างน่ิงพิงกำแพงเกลี้ยงโดยปลายล่างทำมุม 60 องศากับพนื้ ดงั รปู บันไดหนัก 300 นิวตนั
ก. จงเขียนแผนภาพของแรงทีก่ ระทำกับบนั ได
ข. ถา้ คนมีน้ำหนัก 600 นวิ ตันยนื บนบันไดท่ีระยะ ¼ ของความยาวบันไดจากพื้นโดยบันไดยงั อยู่นิ่ง ขนาดของแรง
ทีพ่ นื้ กระทำและกำแพงกระทำกับบันไดเปน็ เท่าใด
วิธที ำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หน้า 17 สอนโดย ครนู ิปทั มา นเิ ฮง

บทที่ 4 สมดลุ กล 18

3. คานสมำ่ เสมอยาว 4 เมตรหนัก 50 นิวตนั ปลายบนพิงกาํ แพงเกล้ียงปลายล่างวางไว้บนพื้นขรุขระโดยทำมมุ 60

องศากบั พ้ืนระดับจงหา

ก. แรงปฏิกริ ยิ าที่กำแพง ข. มาแรงปฏกิ ิริยาท่ีพื้น

ค.แรงเสียดทานที่พื้น 4m
วิธีทำ

...............................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................6..0..0....................
..............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

4. กระดานสปริงสำหรบั กระโดดนำ้ มีนำ้ หนัก 400 นิวตัน มเี สายดึ กบั กระดานสปรงิ ที่ A และ B ซ่ึงห่างกัน ¼

ของความยาวของกระดานสปริง ดังรูป จงหาขนาดและทิศทางของแรงที่ A และ B กระทำตอ่ กระดานสปริง ขณะที่

นักกระโดดน้ำมีนำ้ หนัก 600 นวิ ตัน ยืนนง่ิ อย่ทู ีป่ ลายคาน C

วธิ ีทำ
......................................................................................................................................................................................................................................A............................B............................................................................................
..............................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................C......
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 18 สอนโดย ครูนปิ ทั มา นเิ ฮง

บทท่ี 4 สมดลุ กล 19

5 เสถียรภาพของวตั ถุ

เสถยี รภาพของสมดุล

สมดุลเสถียร คือ สมดุลของวัตถทุ ่ีเมอ่ื ออกแรงกระทำให้วัตถุเอียงจากเดิมแล้ว
ศูนยก์ ลางมวลของวัตถเุ ปลีย่ นตำแหน่งอย่ใู นระดบั ทส่ี ูงขึ้น พลังงานศักย์ของวตั ถุมากข้ึน
เมอื่ หยุดออกแรงกระทำ วตั ถสุ ามารถกลับมาอยใู่ นลักษณะเดิม

สมดลุ สะเทนิ คือ สมดลุ ของวัตถุทเ่ี มอ่ื อกแรงกระทำต่อวัตถุแล้ววตั ถุจะกล้ิงไป
โดยศนู ยก์ ลางมวลอยู่ในระดับความสงู เทา่ เดมิ พลังงานศกั ย์ของวัตถุคงเดิมวตั ถุ
จะเปล่ยี นตำแหน่งไปโดยวางตวั ในลักษณะเดิม

สมดุลไมเ่ สถยี ร คอื สมดลุ ของวตั ถทุ ีเ่ มือ่ ออกแรงกระทำให้วตั ถเุ อียงจากเดิม
ศนู ย์กลางมวลของวัตถุเปล่ยี นตำแหนง่ อยใู่ นระดบั ท่ีตำ่ กว่าเดิม พลงั งานศักยข์ องวัตถุ
จะลดลง วตั ถจุ ะล้ม และไมส่ ามารถกลบั มาวางตวั ในลักษณะเดิม

หนา้ 19 สอนโดย ครนู ปิ ัทมา นเิ ฮง

สภาพสมดุลเสถียร สภาพสมดลุ ไม่เสถียร บทท่ี 4 สมดุลกล 20
ขวดนำ้
สภาพสมดุลสะเทิน

กรวย

ลูกบอลจุด C.G.อยทู่ ก่ี ง่ึ กลาง

คำถามชวนคดิ

1. เสถียรภาพของวัตถุขึ้นกบั อะไรบ้าง
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. เพราะเหตุใด ชอ่ งเกบ็ สมั ภาระของรถบัสจึงอยู่ขา้ งล่างของตัวรถ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

3. ขวดน้ำดมื่ แบบเดียวกันสามขวด ขวดท่ีหนึ่งไม่มนี ้ำ ขวดทสี่ องมีนำ้ อยู่ครึ่งขวด และขวดที่สามมีนำ้ อยู่เตม็ ขวดใดมี
เสถียรภาพมากกวา่ กัน อธิบาย
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 20 สอนโดย ครนู ปิ ัทมา นิเฮง

บทที่ 4 สมดุลกล 21

ตวั อยา่ งที่ 1 หอเอนเมืองปิซ่าในประเทศอติ าลี หากยังไม่คิดถึงการเอียงตัวของหอคอยจะมคี วามสูงประมาณ 56 เมตร

และมีความกว้างของฐานประมาณ 15 เมตร แต่ในความเป็นจริงเมื่อหอคอยเอียงตัวและพบว่ายอดหอคอยด้านหนึ่งมี

ระยะห่างจากแนวดิ่งเป็นระยะประมาณ 3.9 เมตร ดังรูป หอคอยนี้เอียงตัวเป็นมุมเท่าใด และจะเอียงเป็นมุมมากที่สุด

เท่าใดโดยท่ีไม่ล้มลงมา 15 m 3.9 m
วิธที ำ

...............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................5..6....m...........................................................
...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

ตวั อยา่ งท่ี 2 วัตถุสมำ่ เสมอก้อนหน่ึงหนกั 2.0 x 103 นิวตันวางอยู่นิ่งบนพ้ืนระดบั ซง่ึ มีสัมประสทิ ธ์ิความเสยี ดทาน
สถติ ระหว่างผิวสัมผสั เทา่ กบั 0.4 มแี รง F กระทำต่อวัตถุในแนวระดับโดยสูงจากพื้น h ดังรปู

ก. จงหาขนาดของแรง F ท่ีพอดที ำให้วตั ถุเรมิ่ จะเลือ่ นท่ี
ข. เมอ่ื แนวแรง N อยู่ที่ริมสุดของฐานวัตถุ จงหาระยะ h ของแรง F ในขอ้ ก. ท่ีทำให้วตั ถเุ ร่ิมลม้
วธิ ีทำ
............................................................................................................................................................5..0....c..m...........
...............................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................1..0....0..........c....m................................F................
......................................................................................................................................................................h.........
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 21 สอนโดย ครนู ิปัทมา นเิ ฮง

บทท่ี 4 สมดุลกล 22

คำชแี้ จง จงเลอื กคำตอบท่ีถกู ตอ้ งเพียงขอ้ เดียว

1. มวล 20√3 กิโลกรัม ผูกเชอื กแขวนจากเพดาน ออกแรงผลกั มวลไปในแนวระดบั จนเชือกทำมุม 30๐ จงหาวา่
เชอื กมีความตึงเท่าไร และตอ้ งออกแรงผลักเท่าไร ตามลำดับ

ก. 400 นิวตนั , 200 นิวตนั

ข. 200√3 นวิ ตัน , 400 นิวตัน 30๐ T P
ค. 200 นวิ ตัน , 400 นวิ ตนั

ง. 400√3 นวิ ตัน , 400 นวิ ตัน

2. กรอบรปู ส่ีเหลี่ยมหนัก 30 นวิ ตนั มเี ชอื กเส้นหนึ่งผกู ท่ี มุมบนทัง้ สองของกรอบรูปแล้วคล้องกับตะปูลนื่ ตัวหน่ึง

ปรากฏว่าเส้นเชอื กทำมุม 37o กบั แนวกรอบรปู จงหาแรงดึงในเส้นเชอื ก ( sin 37o = 3/5 )

ก. 25 นิวตัน

ข. 30 นิวตัน 37๐ 37๐

ค. 40 นิวตนั

ง. 60 นวิ ตัน

3. วัตถุก้อนหน่ึงแขวนไวด้ ้วยเชือกเบา 3 เส้น ดังรปู ถ้าเชือกแต่ละเส้นรบั ขนาดแรงดงึ ได้ไม่เกิน 20 นวิ ตัน จงหา

วา่ จะแขวนนำ้ หนักได้มากที่สดุ ก่ีนวิ ตัน

ก. 2 นวิ ตัน 30๐
ข. 5 นิวตัน

ค. 7 นิวตัน W
ง. 10 นิวตัน

4. วัตถุ M และ m สมดลุ กันดังรปู อัตราส่วน M/m คอื ข้อใดตอ่ ไปน้ี ( sin 37o = 3/5 )

ก. 4/3

ข. 5/3

ค. 7/5 53๐ 37๐ m

ง. 8/5 M

5. วตั ถุมวล 20 กิโลกรมั วางอย่บู นพืน้ เอียงลื่น ซ่ึงทำมมุ 30o กับแนวระดับ จงหาแรงนอ้ ยท่ีสดุ ที่

ผลักวัตถุข้ึนตามแนวพน้ื เอียง ทีท่ ำใหว้ ัตถอุ ยูใ่ นสภาพสมดุลได้

ก. 100 นิวตัน ข. 200 นวิ ตัน

ค. 300 นวิ ตัน ง. 400 นวิ ตัน

6. ตามรูปเปน็ คานเบาอันหนึ่ง ถามวา่ m ควรมคี ่ากี่กโิ ลกรัม จึงจะทำใหค้ านอยู่ ในภาวะสมดลุ
ก. 0.5 ข. 1.0
ค. 1.5 ง. 2.0

หนา้ 22 สอนโดย ครนู ปิ ทั มา นเิ ฮง

บทที่ 4 สมดุลกล 23

7. คานสม่ำเสมอยาว 50 เซนติเมตร มีไม้หมอนหนุนไว้ที่จดุ กึง่ กลางคาน P และมีน้ำหนักแขวนไว้ที่ตา่ ง ๆ

ดังรูป ถ้าต้องการให้คานวางตัวตามแนวระดับ จะต้อง แขวนมวล 5 กิโลกรัม เพิ่มทางขวามือของจุด P ห่าง

ออกไปกี่เซนตเิ มตร 5 cm 20 cm 25 cm
ก. 2

ข. 4

ค. 6

ง. 8

8. แผ่นไม้สม่ำเสมอแผ่นหนึ่งยาว 4.0 เมตร มีมวล 60 กิโลกรัม วางพาดอยู่บนหมอนหนุนที่จุด C และปลาย A

ตั้งอยู่บนคมมีด ชายคนหนึ่งหนัก 600 นิวตัน เดินบนแผ่นไม้ จาก A ไป B ดังรูป จงหาว่าเขาจะเดินไปได้ไกล

จาก A เปน็ ระยะทางมากทสี่ ุดกีเ่ มตร แผน่ ไมจ้ ึงจะยงั คงสภาพสมดุล

ก. 2.0 A 2.5 cm C B
ข. 2.5

ค. 3.0

ง. 3.5

9. แรง 2 แรง ขนานกันแต่มีทิศตรงกันข้ามขนาด 100 นิวตันเท่ากัน แนวแรงทั้งสองห่างกัน 5 เซนติเมตร
โมเมนตข์ องแรงคู่น้ีรอบจดุ ใด ๆ ทอ่ี ยู่ระหว่างแนวแรงท้ังค่จู ะเปน็ กนี่ ิวตนั .เมตร

ก. 5 ข. 10 ค. 15 ง. 20

10. ชายคนหนึ่งขับรถเลี้ยวซ้าย เกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่พวงมาลัย 100 นิวตัน-เมตร ถ้าพวงมาลัยมีเส้นผ่าน
ศนู ย์กลาง 0.5 เมตร จงหาแรงที่มือแต่ละข้างดึงพวงมาลยั

ก. 50 นิวตนั ข. 100 นวิ ตัน ค. 150 นวิ ตนั ง. 200 นวิ ตัน

11. กลอ่ งสเ่ี หล่ยี มกว้าง 20 ซม. สงู 50 ซม. หนัก 100 นวิ ตนั วางอยูบ่ นพ้นื ราบซึ่งมีสมั ประสิทธค์ิ วามเสียดทาน

สถติ ระหว่างผิวสัมผัส 0.4 จงหาแรงผลักในแนวระดบั ทท่ี ำให้กลอ่ งเริม่ จะเคล่ือนท่ี

ก. 20 นิวตนั ข. 40 นวิ ตัน ค. 60 นิวตนั ง. 80 นวิ ตัน

12. จากขอ้ 11 ท่ผี า่ นมา แรงผลกั จะอยู่สงู จากพื้นมากท่สี ุดก่ีเซนตเิ มตร กลอ่ งจงึ ยงั ไม่ล้ม

ก. 15 ข. 20 ค. 25 ง. 30

13. เส้นลวดดึงคาน AB ซึ่งมีน้ำหนัก 50 นิวตัน แขวนไว้ถ้าคานสม่ำเสมอมีน้ำหนัก 20 นิวตัน ยาว 5 เมตร มี

ปลาย A ตรงึ ติดกบั กำแพง คานสมดุลอยไู่ ดด้ ังรูป จงหาแรงดงึ ในเสน้ ลวด

ก. 100 นิวตนั 53๐ เสน้ ลวด 1 m
ข. 125 นิวตัน

ค. 150 นิวตัน 37๐ B
ง. 175 นิวตนั
A 5N

4m

หนา้ 23 สอนโดย ครนู ปิ ัทมา นเิ ฮง

เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น

รายวิชา ว 31202 ฟิสิกส์ 2

ส อ น โ ด ย ค รู นิ ปั ท ม า นิ เ ฮ ง